Willem Claesz o van Assendelft Annis 1621, verkenning van zijn rekenschrift. Jan van Maanen, Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht

“Willem Claeszo van Assendelft Annis 1621”, verkenning van zijn rekenschrift Jan van Maanen, Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht

Figuur 1: “Willem Claeszo van Assendelft Annis 1621”, de titelpagina van het handschrift

Deze verkenning van het schrift koppelt historische belangstelling naar de inhoud van het schrift en de werkwijze van Van Assendelft aan een aantal rekendidactische vragen van vandaag. Op welke wijze voert Van Assendelft de bewerkingen uit? In hoeverre speelt context bij hem een rol? Zijn dit de aantekeningen van een toekomstige professional? Valt hieruit iets te leren voor onze eigen rekendidactiek?

De vier bewerkingen Aan het rekenen gaat een inleiding vooraf onder de kop “Numeration ofte uijtsprekinge der getallen.” Deze “Leert om alle getallen ende sommen (sy syn cleyn ofte groot) uytspreken, ofte prononceren. Let dan met opmerck op de naervolgende Instructie ende taffelen.” Deze tafelen staan in de figuren 2 en 3. Centraal staat hoe het getal 1234567890 uitgesproken moet worden. Voor de biografie van de auteur is de datering, onderaan, interessant: “Anno 1619 den 2en October In delft:”.

Figuur 2: de “taffelen” waarin staat hoe de getallen uitgesproken moeten worden

Panamaconferentie, 22 januari 2010

2

Figuur 3: de uitspraak van 1234567890, uitvergroot


3

Na de “Numeration” volgt het optellen onder de kop “Addition Ofte Sommeringhe”. Het zijn twee pagina‟s met direct grote voorbeelden. De uitleg is beperkt: Addition. Ofte Sommeringhe. Leert omme vele getallen die van eender waerden syn, in eene somma, ofte adderen. doet als volgt. Settet de getallen ofte sommen, soo ghij begeert te sommeren, Onder malkanderen, in sulcker voeghen dat de Eene somma niet en passere naer de rechterhandt der Andere, ende beginnet dan op te tellen van de rechterhandt naer de linker gaende. Alsoo ghij op volgende Exempelen sien cont. 1 7 3 1 , en volgende rechts naast 1 elke 3 kolom. Opvallend zijn de symbolen Divideert in 1 , dat werckt opt 7 is te weten hoe veel in 4 2 2 4 De twee optellingen in figuur 4 betreffen guldens, stuivers1en penningen (1G=20 S; 1 S=16 P), en cruys als grotere volcht facit 1 op de volgende pagina (f. 3v) staangelijck vier nog optellingen in ponden, schellingen en grooten. 2

Figuur 4: de voorbeelden bij het optellen (“Addition”), eerst „kaal‟, daarna met geldbedragen Het aftrekken, ook weer onder de Franse (of Engelse?) kop “Substraction” gaat analoog aan het optellen. Van Assendelft geeft op f. 4r een korte uitleg, waarna drie opgaven volgen met getallen van 10 cijfers. Steeds wordt de berekening gecontroleerd door na te gaan of de som van aftrekker en verschil het aftrektal oplevert. Voorbeelden met geldbedragen (in de verdeling 1 pond = 20 Panamaconferentie, 22 januari 2010

4

schellingen, 1 schelling = 12 grooten) staan op de pagina ervoor. De vier grote optellingen horen nog bij het hoofdstukje “Addition”, en aan het eind trekt Van Assendelft van elke som nog weer een bedrag af. In figuur 5 is een van de vier gecombineerde optel- en aftrekvoorbeelden weergegeven.

Figuur 5: optellen in het pond/schelling/grooten-systeem, gevolgd door een aftrekking “Multiplication Ofte vermenichvuldinghe” behandelt Van Assendelft in één bladzijde (f. 5r). Hij beperkt de toelichting tot Settet het ghetal dat ghij vermenichvuldighen wilt boven, ende het ghetal daerdoor ghij het voors[chreven] ghetal vermeerderen wilt onder ende werckt als volght. en geeft geen voorbeelden, maar alleen een “Taffel” van vermenigvuldigingen van 1 1 tot en met 10 10 , waarbij de vermenigvuldiger steeds kleiner dan of gelijk aan het vermenigvuldigtal is; 3 2 staat er dus niet in omdat 2 3 al genoemd is. Deze weergave van de tafels komt ook in oudere boeken en handschriften voor, bijvoorbeeld in het Cijferbouck van Adriaen van der Gucht, gedrukt in Brugge in 1569, zie (Kool 1999, pp. 80, 386). Bij Van Assendelft volgen na 10 10 100 nog 10 100 1000 en 10 1000 10000 . Steeds is de notatie met twee streepjes, zoals in dit voorbeeld: . 7 Panamaconferentie, 22 januari 2010

5

Ook de deling (f. 6r) duidt Van Assendelft met de Frans/Engelse kop “Division” aan: Division Leert een getal door hem selven, ofte door een ander verminderen, ofte deelen, Als bij exempel, 17 Jongmans ende Dochters hebben verteert de somma van 778 st[uivers]. De vraghe hoeveel elckx voor hooft, van sijn montkoste betalen moet, soo de dochters door beleeftheyt vrij gaen ende datter 10 Jongmans onder de voors[chreven] 17 persoonen ghe4 weest hadden. Antwoort elck Jongman 77 stuyvers. 7 Dit onjuiste antwoord correspondeert niet met de berekening die er onder staat. Die levert wel 4 correct 77 stuiver op. Interessanter zijn de vier voorbeelden die dan volgen (zie figuur 6). 5

Figuur 6: vier voorbeelden van delingen (f. 6r); de vierde is niet afgemaakt.


6

Kassiersrekening De kennis van de bewerkingen wordt meteen toegepast in een hoofdstuk getiteld “Reduction, Ofte Om beter te segghen: Casse of Cassiers-rekeninghe”. Van Assendelft geeft hier een hele serie korte rekenproblemen met geld als context. Een selectie (f. 7r − 10r): 1,1 “... hoe veel schellingen men heeft in 349 £ vlaems”; vermenigvuldiging met 20 1,2 “... hoe veel gr[ooten] hij hebben moet voor 40 £”; vermenigvuldiging met 240 1,3 (f. 7v) “... hoe veel stuvers maecken 431 gulden”; vermenigvuldiging met 20 1,4 “... hoe veel deuijten voor 945 gulden”; vermenigvuldiging met 160 1,5 “... hoeveel oortkens voor 329 £”; vermenigvuldiging met 480 1,6 “... hoeveel stuvers en deuijten voor 465 kroonen”; vermenigvuldiging met achtereenvolgens 65 en 8 1,7 “... hoeveel penningen in 573 daelders van 37 stuvers”; vermenigvuldiging met achtereenvolgens 37 en 16 1,8 (f. 8r) “reduceert 6537 daelders van 36 stuvers in stuvers en grooten”; vermenigvuldiging met achtereenvolgens 36 en 2 1,9 “reduceert 945 £ 13 s[chellingen] in schellingen”; vermenigvuldiging met 20, waarna bijtelling van 13 1,10 ontbreekt in het handschrift; blijkbaar selecteert Van Assendelft zelf uit een ander werk.Zo ontbreken ook de nummers 12 en 17 1,11 “hoe veel gr[ooten] maecken 431 £, 15 s, 6 gr”; vermenigvuldiging met 20, waarna bijtelling van 15; daarna vermenigvuldiging met 12, waarna bijtelling van 6 1,13 “hoe veel penningen voor 478 gul[den] 13 stuvers 6 penningen”; analoog aan 11 ong. “87654 gulden hoe veel stuvers”; als 1 1,14 (f. 8v) “hoe veel deuijten ende penningen moet men tellen voor 329 £”; vermenigvuldiging met achtereenvolgens 240 (van ponden naar grooten), 4 (van grooten naar duiten) en 2 (van duiten naar penningen) 1,15 “hoe veel oortgens ende deuyten salmen tellen voor 843 £, 15 s ende 6 p.”; eerst vermenigvuldiging van 843 met 20, waarna bijtelling van 15. Dit geeft 17475 s[chelling]. Daarna vermenigvuldiging van 17475 met 12, waarna bijtelling van 6. Dit geeft 209706 grooten . Verdubbeling hiervan geeft het aantal oortjes (419412) en verdubbeling daarvan het aantal duiten (838824). 1,16 1 “1608 jaren 6 maenden drye weeken 1 dach hoeveel dagen maenden weecken uren ende 2

minuijten maecken die”; de omrekeningsfactoren zijn bekend, en het antwoord 778289040 minuten wordt door een herhaalde deling gecontroleerd. 1,18 (f. 9r) “men zecht dat een weselken heeft 3 Jaeren ende 3 weselkens soo lang als een hondt[;] 3 honden soo lang als een peert 3 peerden soo lang als een mensch 3 menschen soo lang als een rave 3 ravens soo lang als een hart ende 3 harten zoo lang als een werelt. Bij aldien sulcx waer is vrage hoe veel Jaeren hier een werelt gerekent wort. facit”; achtereenvolgens wordt 3n berekend voor n van 2 tot en met 7, met 37 2187 als ouderdom van de wereld. Nu volgen opgaven waarbij deling centraal staat. De nummering begint opnieuw, en ook nu zijn de ontbrekende nummers al door Van Assendelft weggelaten. 2,1 “... 237600 p[enningen] hoe veel s[chellingen] maken die ende oock hoe veel £ [vlaems]”; deling door achtereenvolgens 12 en 2 2,3 “.. voor 879871 gr[ooten] hoe veel £ salmen tellen”; deling door 240, waarna de rest 31 (in het handschrift staat onjuist 32) nog in 2 s[chellingen] 7 gr[ooten] wordt onderverdeeld. Panamaconferentie, 22 januari 2010

7

2,4 (f. 9v) “... 328798 penningen hoe veel gulden”; deling door 16 geeft 20549 stuivers en 14 penningen; deling van 20549 door 20 geeft 1027 gulden 9 stuivers. Het antwoord is dus 1027 gulden 9 stuivers en 14 penningen. 2,5 “... 78965 penningen hoe veel £”; deling door 8 geeft 9870 grooten, rest 5 penningen. Deling van 9870 door 12 geeft 822 s[chelling] rest 6 grooten; deling van 822 door 20 geeft 41 £ rest 2 S. In totaal: 41 £ 2 S 6 gr 5 p 2,6 “... 32691 myten Brabants hoe veel £ vlaems”; 1 £ = 24 6 20 2880 myten. 2,7 2,8 (f. 10r) 2,9 “... 8432019 oortgens hoeveel guldens ende hoe veel £ vlaems”; van oortje naar gulden gaat via delen door 4 (dit geeft stuivers) en daarna delen door 20. Dit geeft 1054150 gulden 4 stuiver 3 oortje. Van oortje naar pond gaat via delen door 4 (dit geeft stuivers, als boven), waarna deling door 6 (van stuiver naar schelling) en deling door 20 (van schelling naar £). 1 Resultaat: 175691 £ 14 schelling 1 oortje. 2 2,10 2,11 “... hoe veel lasten maecken 32697859  ”; deling door 3 gaat van last naar  2,12 “... 60000000 uyren hoe veel dagen maenden ende Jaren maken die”; 6944 jaar, 5 maanden en 10 dagen. 2,13 “... 96879853 vellen papiers hoe veel riemen”; deling door 25 (van vel naar boek) en dan door 20 (van boek naar riem). Resultaat: 193759 riem 14 boek 3 vel. Er volgt nog een derde serie “exempelen”, waarin telkens de totale prijs berekend wordt bij levering van een aantal stuks waarvan de prijs per stuk gegeven is. Een iets complexer voorbeeld volgt hieronder in figuur 10. In de hoofdstukken daarna diept Van Assendelft de rekentechniek verder uit (onder meer voegt hij rekenen met breuken toe) en hij behandelt steeds complexere opgaven. Centrale techniek daarin is de regel van drieën (bij een evenredigheid a : b c : d één van de getallen berekenen als de andere drie gegeven zijn), en het toepassingsgebied is bijna steeds handelsrekenen (wisselen tussen verschillende munteenheden, koop met rente, duur van werkzaamheden). Uit het hele spectrum volgen hier nog vier voorbeelden: 1. een breuk delen door een andere breuk (figuren 7, 8 en 9) 2. hoeveel kosten 259⅜ ellen (figuur 10)? 3. hoe breed is het tweede veld (figuur 11)? 4. waar is de ring (figuren 12 en 13)?


8

Figuur 7: een breuk gedeeld door een breuk


9

In figuur 7 zien we een bladzijde vol met berekeningen, „sommen‟ zeg maar. De keuze voor deze bladzijde is door diverse factoren bepaald. In de eerste plaats zit er een duidelijke opbouw in de tekst, van eenvoudig naar tamelijk lastig. Ten tweede is het onderwerp (hoe deel je een breuk door een andere breuk) tegen het licht van de hedendaagse discussies relevant. En in de laatste plaats zitten er voor de lezer die de zeventiende-eeuwse rekentechniek en –notatie niet kent, enkele instructieve elementen in.

Figuur 8: een breuk gedeeld door een breuk, eerste voorbeeld Bovenaan de bladzijde staat een voorbeeld (figuur 8), dat ik hier omwille van de kennismaking met het weerbarstige zeventiende-eeuwse schrift volledig uitschrijf: Exempel Divideert

3 1 1 3 in , dat is te weten hoe veel in werckt 4 2 2 4 1 opt cruys gelijck als volcht facit 1 2

en daarbij hoort de eerste berekening in de linkerkolom. Deze wordt met de woorden “gelyck als volcht” aangekondigd en heet blijkbaar werken „op het kruis‟. Het ziet er zo uit: 6 4 (2 3 1 4 2

6 4

1

1 2

1 3 3 1 in , ofwel: bereken : . Het kruis tekent zich duidelijk af tussen de teller van 2 4 4 2 het deeltal en de noemer van de deler (respectievelijk 3 en 2), en tussen de andere teller (1) en noemer (2). De producten 6 en 4 komen boven deeltal en deler te staan, en in kolom daarnaast staat de deling 6:4, in een notatie die we hieronder uitvoeriger zullen zien. 4 gaat 1 keer in 6, de 1 wordt rechts van de accolade genoteerd en (6 1 4 ) 2 wordt boven de kolom geschreven, terwijl de 6 Hoe vaak gaat


10

en 4 worden doorgehaald. De deling heeft rest 2, en

2 1 wordt als aan de eerder genoteerde 1 4 2

1 1 toegevoegd. “facit 1 ” zegt de tekst: dit maakt 1 . 2 2

Figuur 9: tweede opgave

1 1 De volgende deling (figuur 9) is 3 :1 . De stappen in de berekening zijn dezelfde als hiervoor, 2 2 maar de notatie verschilt wel. In de eerste plaats staan nu het deeltal en de deler zelf ook genoteerd, in de tweede plaats staan de kruisproducten van teller en noemer nu onder het kruis, en wel aan het andere uiteinde van de diagonaal. Terwijl in het eerste voorbeeld het linker getal boven het kruis door het rechter gedeeld werd (6:4), moet nu het rechter getal onder het kruis door het linker gedeeld worden (14:6). De deling 14:6 verloopt analoog aan 6:4, alleen is de scheidslijn tussen de deling en het antwoord hoekiger geworden. Maar nu... Vragen bij de derde opgave: hoe consistent is de terminologie “divideert a in b”? in welke stappen verloopt de berekening? In het bijzonder: hoe komt Van Assendelft aan het getal 1869 onder de eerste horizontale streep, en hoe verloopt aan het eind de deling?


11

Hoeveel kosten 259⅜ ellen?

Figuur 10: hoeveel kosten 259⅜ ellen?

Twee gelijke velden

Figuur 11: hoe breed is het tweede veld? De speciale uitdaging hier is om het door water beschadigde rekenwerk te reconstrueren.


12

“... een Ring genomen werdende van yemant ...

Figuur 12: een gezelschapsspel: waar is de ring?


13

Een aantal personen staat op een rij. Eén van hen heeft aan een van de kootjes van een van de vingers een ring. De laatste persoon uit het gezelschap staat tegenover de anderen en heeft, om te kunnen raden waar de ring is, de uitkomst van een berekening nodig. Puzzel zelf verder. Hieronder staat de tekst nog uitvergroot.

Figuur 13: een gezelschapsspel: waar is de ring? Tekst nog iets uitvergroot.

Literatuur Kool, M.J.H. (1999). Die conste vanden getale : een studie over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw, met een glossarium van rekenkundige termen. Hilversum : Verloren (ook proefschrift Utrecht, en behoudens de illustraties digitaal beschikbaar op http://www.dbnl.org/tekst/kool006cons01_01/index.htm, geraadpleegd 1-1-2010) Smeur, A.J.E.M. (1960). De Zestiende-eeuwse Nederlandse Rekenboeken. ‟s-Gravenhage: Martinus Nijhoff (ook proefschrift Utrecht)


14

Willem Claesz o van Assendelft Annis 1621, verkenning van zijn rekenschrift. Jan van Maanen, Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht

Recommend Documents