Wiener-folyamatok definici´ oja. A funkcion´ alis centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel. A val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as egyik nagyon fontos fogalma a Wiener-folyamat, amelyet Brownmozg´ asnak is h´ıvnak. Az els˝ o elnevez´es e fogalom els˝ o matematikailag prec´ız bevezet˝oj´ere, Norbert Wienerre, a m´ asodik pedig egy Brown nev˝ u XIX. sz´azadban ´elt angol biol´ogusra utal, aki egy folyad´ekban lev˝ o, egym´ assal u ¨tk¨ oz˝ o apr´o r´eszecsk´ek mozg´ as´at tanulm´anyozta. K´es˝obb kider¨ ult, hogy a Wiener-folyamat az egy r´eszecske (v´eletlen) p´aly´ aj´at le´ır´o legjobb matematikai modell. Kor´abbi tanulm´anyainkban l´attuk, hogy a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok k¨ or´eben a norm´ alis eloszl´ as, a vektor ´ert´ek˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok k¨ oz¨ ott a t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´as k¨ ozponti szerepet j´ atszik. A Wienerfolyamat hasonl´oan fontos szerepet j´ atszik a sztochasztikus folyamatok elm´elet´eben, ´es tulajdonk´eppen u ´gy tekinthet˝ o, mint a standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok megfelelel˝oje a sztochasztikus folyamatok k¨oz¨ ott. Ennek a meglehet˝osen nagyvonal´ u kijelent´esnek pontosabb ´ertelmet ad a k´es˝obb ismertetett funkcion´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etel. A tov´ abbiakban felhaszn´alom a kor´ abban t´argyalt sztochasztikus folyamatokr´ ol sz´ol´ o alapvet˝ o fogalmakat ´es eredm´enyeket. A Wiener-folyamat definici´ oj´anak megad´asa el˝ ott vezess¨ uk be a k¨ ovetkez˝ o egyszer˝ u definici´ ot (elnevez´est). Szochasztikus folyamat trajekt´ ori´ aj´ anak a fogalma. Legyen adva egy T indexhalmazzal param´eterezett ξt (ω) = ξ(t, ω) sztochasztikus folyamat. Ennek egy r¨ ogz´ıtett ω elemi esem´enyhez tartoz´ o trajekt´ ori´ aj´ an a T halmazon defini´ alt ξ(t, ω), t ∈ T , f¨ uggv´enyt ´ertj¨ uk. Bevezetj¨ uk tov´ abb´a a k¨ ovetkez˝ o fogalmat is. Gauss (sztochasztikus) folyamat definici´ oja. Egy ξt , t ∈ T , folyamatot Gaussfolyamatnak nevez¨ unk, ha ennek minden v´eges dimenzi´ os eloszl´ asa norm´ alis eloszl´ as´ u, azaz a T halmaz minden T0 = {t1 , . . . , tk } v´eges r´eszhalmaz´ ara a (ξt1 , . . . , ξtk ) v´eletlen vektor t¨ obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u vektor. 1. feladat: Id´ezz¨ uk fel a t¨obb-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as definici´ oj´at. L´ assuk be, hogy egy n-dimenzi´os (X1 , . . . , Xn ) norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor eloszl´ as´at meghat´ arozz´ak az EXj , 1 ≤ j ≤ n v´ arhat´ o ´ert´ekek ´es a Cov (Xj , Xk ) = EXj Xk − EXj EXk , 1 ≤ j, k ≤ n, kovarianci´ak. Megfogalmazom a Wiener-folyamat definici´ oj´at. Wiener-folyamat definici´ oja. Egy a [0, T ] 0 < T ≤ ∞, intervallumon ´ertelmezett Wiener-folyamaton olyan Gauss-folyamatot ´ert¨ unk, amelyre a) EW (t) = 0, 0 ≤ t ≤ T , EW (s)W (t) = min(s, t), ≤ s, t ≤ T . b) A W (t, ω) folyamat trajekt´ ori´ aja minden ω elemi esem´enyre folytonos f¨ uggv´eny a [0, T ] intervallumon. A Wiener-folyamat definici´ oja kapcs´an sz´amos k´erd´est tiszt´azni kell. A f˝ o k´erd´es az, hogy a fent megadott definici´ o ´ertelmes-e. El˝osz¨ or tiszt´azni kell az a) pontot. 1
Mondhatjuk-e, hogy defini´altuk a Wiener-folyamat v´eges dimenzi´ os eloszl´ asait konzisztens m´ odon? A definici´ o b) pontja m´eg rejt´elyesebb. A Kolmogorov-f´ele alapt´etelben semmilyen kijelent´es nem szerepelt a sztochasztikus folyamat trajekt´ori´ aj´at illet˝oen. Honnan tudjuk, hogy l´etezik folytonos trajekt´ori´ aj´ u, a Wiener-folyamat a) felt´etel´et teljes´ıt˝ o Gauss-folyamat? Ha l´etezik, akkor mit mondhatunk a folytonos trajekt´oria l´etez´es´er˝ ol? Automatikusan teljes¨ ul-e ez a k¨ ovetelm´eny, vagy tenn¨ unk kell-e valamit ennek teljes´ıt´ese ´erdek´eben? Az els˝ o k´erd´es megv´ alaszol´asa egyszer˝ ubb. Egyr´eszt az el˝ obb megfogalmazott 1. feladat egyik ´ all´ıt´ asa szerint a v´ arhat´ o ´ert´ek ´es a kovariancia megad´as´aval ´es azzal a megk¨ ot´essel, hogy a Wiener-folyamat Gauss-folyamat, egy´ertelm˝ uen megadtuk e folyamat v´eges dimenzi´ os eloszl´ asait. M´asr´eszt igaz az al´abbi 2. feladat a´ll´ıt´ asa: 2. feladat. R¨ ogz´ıts¨ unk valamely 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn ≤ T sz´amokat, vegy¨ unk f¨ uggetlen, nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es tj − tj−1 , 1 ≤ j ≤ n, t0 = 0, norm´ alis eloszl´ as´ u k P ηj val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat, ´es defini´aljuk a Zk = ηj , 1 ≤ k ≤ n val´ osz´ın˝ us´egi j=1
v´ altoz´ okat. L´ assuk be, hogy a (Z1 , . . . , Zn ) v´eletlen vektor eloszl´ asa megegyezik a Wiener-folyamatban defini´alt (W (t1 ), . . . , W (tn )) v´eletlen vektor eloszl´ as´aval. L´ assuk be ennek az ´eszrev´etelnek a seg´ıts´eg´evel, hogy a Wiener-folyamat definici´ oj´aban el˝ o´ırt v´eges dimenzi´ os eloszl´ asok ´ertelmesek, azaz val´ oban l´eteznek a k´ıv´ant kovarianci´aval rendelkez˝ o v´eges dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ asok, ´es ezek az eloszl´ asok konzisztensek. A 2. feladat ´ all´ıt´ asa azt jelenti, hogy a Kolmogorov-f´ele alapt´etel szerint l´etezik a Wiener-folyamat definic´oj´aban szerepl˝o a) tulajdons´agot teljes´ıt˝ o Gauss-folyamat. A b) tulajdons´aggal kapcsolatban a helyzet bonyolultabb. Oldjuk meg el˝ osz¨ or a k¨ ovetkez˝ o feladatot. 3. feladat: Legyen adva egy ξt , 0 ≤ t ≤ 1, a [0, 1] intervallummal mint index halmazzal indexelt sztochasztikus folyamat valamely (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on. Jel¨olje F a ξt , 0 ≤ t ≤ 1, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ´ altal gener´ alt σ-algebr´at. L´ assuk be, hogy az az esem´eny, hogy a ξt folyamat folytonos trajekt´ori´ aj´ u nincs benne az F σ-algebr´aban. A 3. feladat eredm´enye az´ert ´erdekes a sz´amunkra, mert csak az ott defini´alt σ-algebra esem´enyeinek a val´ osz´ın˝ us´eg´er˝ ol tudunk besz´elni. Ha alaposabban meggondoljuk be lehet l´atni, hogy egy sztochasztikus folyamat v´eges dimenzi´ os eloszl´ asainak ismeret´eben nem besz´elhet¨ unk annak az esem´enynek a val´ osz´ın˝ us´eg´er˝ ol, hogy a sztochasztikus folyamat minden trajekt´ori´ aja folytonos f¨ uggv´eny. Viszont lehet˝ os´eg¨ unk van arra, hogy ha adva van egy sztochasztikus folyamat, akkor megpr´ob´ aljuk annak trajekt´ori´ ait ,,kijav´ıtani” u ´gy, hogy a sztochasztikus folyamatot defini´al´ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat egy null-m´ert´ek˝ u halmazon megv´ altoztatunk. Ez´altal a sztochasztikus folyamat v´eges dimenzi´os eloszl´ asait nem v´ altoztatjuk meg, viszont bizonyos esetekben es´ely¨ unk van arra, hogy egy sztochasztikus folyamatban kontinum sok null-m´ert´ek˝ u halmazon v´ altoztatva a trajekt´ori´ ak tulajdons´agait megv´ altoztatva jobb tulajdons´ag´ u trajekt´ori´ akat kapunk. Az al´ abbiakban megfogalmazok ´es bebizony´ıtok egy eredm´enyt, amely el´egs´eges felt´etelt ad arra, hogy egy sztochasztikus folyamat val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oit null-m´ert´ek˝ u halmazon megv´ altoztatva olyan sztochasztikus folyamatot kapjunk, amelynek trajekt´ori´ ai 2
folytonosak. (Term´eszetesen az u ´j folyamat v´eges dimenzi´ os eloszl´ asai megegyeznek az eredeti folyamat v´eges dimenzi´ os eloszl´ asaival.) Azut´an megmutatom, hogy ez az eredm´eny alkalmazhat´o a Wiener-folyamatok eset´eben is. Ez lehet˝ ov´e teszi, hogy a Wiener-folyamat definici´ oj´aban megk¨ ovetelj¨ uk a b) tulajdons´agot. Az eredm´eny megfogalmaz´asa el˝ ott bevezetem a k¨ ovetkez˝ o definici´ ot. Sztochasztikus folyamat sztochasztikus folytonoss´ ag´ anak a definici´ oja. Legyen adva egy X(t), a ≤ t ≤ b, sztochasztikus folyamat valamely [a, b] intervallumon. Azt mondjuk, hogy ez a sztochasztikus folyamat folytonos valamely a ≤ t ≤ b pontban, ha minden tn → t sz´ amsorozatra az X(tn ) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sztochasztikusan konverg´ alnak az X(t) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz, azaz ha minden ε > 0 sz´ amra ´es tn → t sz´ amsorozatra teljes¨ ul a lim P (|X(tn , ω) − X(t, ω)| > ε) = 0
tn →t
rel´ aci´ o. Most megfogalmazom a k¨ ovetkez˝ o Lemm´ at. Lemma sztochasztikus folyamat folytonos trajekt´ ori´ air´ ol. Legyen adva egy X(t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamat a [0, 1] intervallumon. Teljes´ıtse ez a sztochasztikus folyamat a k¨ ovetkez˝ o k´et tulajdons´ agot. a) Az X(t, ω) sztochasztikus folyamat sztochasztikusan folytonos a [0, 1] intervallum minden pontj´ aban. b) A sztochasztikus folyamat majdnem minden X(t, ω), 0≤ t ≤ 1, ω ∈ Ω, trajekt´ ori´ aja rendelkezik a k¨ ovetkez˝ o tulajdons´ aggal. Az X 2kn , ω , n = 1, 2, . . . , 0 ≤ k ≤ 2n f¨ uggv´eny, azaz az X(·, ω) f¨ uggv´eny megszor´ıt´ asa a diadikusan racion´ alis pontokra, egyenletesen folytonos. ¯ ω), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamat, amelynek minden Ekkor l´etezik olyan X(t, ¯ ¯ ω) = X(t, ω)) = 1 minden 0 ≤ t ≤ 1 X(·, ω) trajekt´ ori´ aja folytonos f¨ uggv´eny, ´es P (X(t, pontban. Megjegyz´es: Bel´ athat´ o, hogy a Lemm´ aban szerepl˝o a) ´es b) felt´etel teljes¨ ul´ese vagy nem teljes¨ ul´ese az X(t, ω) sztochasztikus folyamat v´eges dimenzi´ os eloszl´ asait´ol f¨ ugg. Tov´ abb´a nem neh´ez bel´ atni, hogy ha egy a [0, 1] intervallumon defini´alt sztochasztikus folyamat minden trajekt´ori´ aja folytonos f¨ uggv´eny, akkor teljes´ıti az el˝ oz˝ o lemm´aban megfogalmazott a) ´es b) felt´etelt. ¯ ω) sztochasztikus folyamatot a k¨ A Lemma bizony´ıt´ asa. Defini´ aljuk az X(t, ovetkez˝ o ¯ m´ odon: Legyen X(t, ω) = 0 minden 0 ≤ t ≤ 1 sz´amra egy olyan ω eset´eben, amelyre az uggv´eny nem egyenletesen folytonos. Az olyan ω elemi esem´enyekre viszont, X 2kn , ω f¨ amelyekre ez a f¨ uggv´eny egyenletesen folytonos a diadikusan racion´alis pontokban tekints¨ unk minden 0 ≤ t ≤ 1 sz´amra egy olyan k2nn = kn2n(t) sorozatot, n = 1, 2, . . . , amelyre ¯ ω) = lim X knn , ω . Ez a limesz l´etezik, mert az X knn , ω , lim k2nn = t, ´es legyen X(t, 2 2
n→∞
n→∞
3
¯ ω) val´ n = 1, 2, . . . , sorozat Cauchy sorozat. Az X(t, ω) ´es X(t, osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o 1 val´ osz´ın˝ us´eggel megegyezik, mert mind a kett˝oh¨ oz sztochasztikusan (a m´ert´ekelm´elet ¯ ω) ul az X(·, nyelv´en m´ert´ekben) konverg´al az X k2nn , ω , n = 1, 2, . . . , sorozat. Ezenk´ıv¨ trajekt´ori´ ak folytonos f¨ uggv´enyek minden ω ∈ Ω elemi esem´enyre. Az el˝ oz˝ o lemma seg´ıts´eg´evel bebizony´ıtom az al´ abbi ´ all´ıt´ ast, amely a kor´ abbi eredm´enyekkel egy¨ utt biztos´ıtja, hogy l´etezik Wiener-folyamat. T´ etel (folytonos trajekt´ ori´ aj´ u) Wiener-folyamat l´ etez´ es´ er˝ ol. Legyen adva egy ¯ olyan W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, Gauss-folyamat a [0, 1] intervallumon, amely teljes´ıti a Wiener-folyamat definici´ oj´ aban szerepl˝ o a) felt´etelt. Ekkor l´etezik olyan W (t, ω), 0 ≤ ¯ (t, ω)) = 1 t ≤ 1, Wiener-folyamat a [0, 1] intervallumon, amelyre P (W (t, ω) = W minden 0 ≤ t ≤ 1 sz´ amra, ´es trajekt´ ori´ ai 1 val´ osz´ın˝ us´eggel folytonosak. A Wiener-folyamat l´etez´es´er˝ ol sz´ ol´ o t´etel bizony´ıt´ asa. El´eg megmutatni, hogy mindk´et a ¯ (t, ω) Gauss-folyamatra, amely teljes´ıti Lemm´ aban szerepl˝o felt´etel teljes¨ ul egy olyan W a Wiener-folyamat definici´ oj´aban szerepl˝o a) felt´etelt. Ezek k¨ oz¨ ul az a) tulajdons´ag ¯ ¯ (t, ω) egy teljes¨ ul´ese ny´ılv´anval´ o a Csebisev egyenl˝otlens´eg alapj´ an, mert W (tn , ω) − W 0 v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es |t − tn | sz´or´ asn´egyzet˝ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. A b) tulajdons´ag bizony´ıt´ as´ahoz el´eg megmutatni azt, hogy ∞ X
n=1
P
k k−1 −n/8 ¯ ¯ sup W ,ω − W ,ω > 2 < ∞. 2n 2n 1≤k≤2n
(A)
¯ ⊂ Ω, Ebb˝ ol ugyanis a Borel-Cantelli lemma alapj´ an k¨ ovetkezik, hogy l´etezik olyan Ω ¯ = 1 esem´eny, amelyre igaz, hogy minden ω ∈ Ω ¯ elemi esem´enyre van olyan n(ω) P (Ω) k−1 k ¯ ¯ k¨ usz¨ obindex u ´gy, hogy sup W 2n , ω − W 2n , ω ≤ 2−n/8 minden n ≥ n(ω) 1≤k≤2n
sz´amra. Azt ´ all´ıtom, hogy ebb˝ol k¨ ovetkezik, hogy ha t ´es s k´et olyan diadikus racion´alis ¯ L ≥ n(ω) sz´am, amelyre 0 < t − s < 2−L valamely (nagy) L eg´esz sz´amra, ω ∈ Ω, ∞ ∞ P ¯ k−1 ¯ kn , ω − W ≤ 2 P 2−n/8 ≤ sup W akkor |X(t, ω) − X(s, ω)| ≤ 2 n ,ω 2
n=L 1≤k≤2n
−L/8
1000 · 2 ¯ ha ω ∈ Ω.
2
n=L
¯ (t, ω) folyamat teljes´ıti a b) tulajdons´agot, , ahonnan k¨ ovetkezik, hogy a W
A fenti egyenl˝ tlens´ o egyenl˝otlens´eg´enek bel´ asa ´erdek´eben tekints¨ uk k ok+1 egsorozat els˝ at´ k k+1 a leghosszabb 2j , 2j intervallumokat, amelyekre 2j , 2j ⊂ [s, t]. Egy vagy k´et ilyen k intervallum van, ´es j ≥ L. Legyen ezen intervallumok egyes´ıt´es´enek a bal v´egpontja 2ji, h ¯ ¯ jobb v´egpontja pedig kj , k¯ = k + 1 vagy k¯ = k + 2. Mind az s, kj mind a kj , t 2
2
−j ′
′
2
intervallum el˝ o´all´ıthat´ o k¨ ul¨ onb¨oz˝ o hossz´ us´ ag´ u 2 , j ≥ j+1, hossz´ us´ ag´ u diadikus intervallumok egyes´ıt´esek´ent. Az el˝ obbiekb˝ol k¨ ovetkezik, hogy az [s, t] intervallum el˝ o´all 2−j , j ≥ L, hossz´ us´ ag´ u diadikus intervallumok egyes´ıt´esek´ent, ´es ebben az egyes´ıt´esben minden j ≥ L-re legfeljebb 2 darab 2−j hossz´ us´ ag´ u intervallum szerepel. Innen k¨ ovetkezik a k´ıv´ant egyenl˝otlens´eg. 4
Az (A) rel´ aci´o bizony´ıt´ as´ahoz vegy¨ uk ´eszre, hogy ∞ X
k − 1 k −n/8 ¯ ¯ ,ω − W , ω > 2 P sup W n n n 2 2 1≤k≤2 n=1 ∞ X 2n X k k − 1 −n/8 ¯ ¯ ≤ P W ,ω − W , ω > 2 n n 2 2 n=1 k=1 4 ∞ ∞ X 2n −2n ¯ k−1 ¯ kn , ω − W X X , ω E W n n3 · 2 2 2 = < ∞, 2 ≤ 2−n/2 2−n/2 n=1 n=1 k=1
¯ k−1 osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok norm´ alis eloszl´ as´ uak, nulla v´ armert a W 2kn , ω − W 2n , ω val´ −n −2n hat´o ´ert´ekkel ´es 2 sz´or´ asn´egyzettel. Ez´ert a negyedik momentumuk 3 · 2 . A t´etel bizony´ıt´ as´at befejezt¨ uk. Megjegyz´es: A fenti t´etelben bel´ attuk, hogy l´etezik a [0, 1] intervallumon defini´alt Wiener-folyamat. A jel¨ol´esek n´emi v´ altoztat´ as´aval be lehet l´atni ugyanezzel a m´ odszerrel, hogy tetsz˝oleges T > 0 sz´amra l´etezik Wiener-folyamat a [0, T ] intervallumon. De be lehet l´atni azt, hogy l´etezik W (t, ω), t ≥ 0. Wiener-folyamat a pozit´ıv f´elegyenesen p´eld´aul a k¨ ovetkez˝ o feladat megold´ as´anak a seg´ıts´eg´evel. Feladat: Legyen Wn (t, ω), n = 1, 2, . . . , 0 ≤ t ≤ 1, f¨ uggetlen Wiener-folyamatok sorozata a [0, 1] intervallumon. L´ assuk be, hogy ,,ezeket a f¨ uggetlen Wiener-folya[t] P matokat o¨sszeragasztva”, azaz defini´alva a W (t, ω) = Wj (1, ω) + W[t]+1 ({t}, ω), j=1
0 ≤ t < ∞, Wiener-folyamat a t ≥ 0 f´elegyenesen, ahol [t] a t sz´am eg´esz r´eszet {t} pedit a t sz´am t¨ort r´esz´et jel¨oli.
Nem k¨ otelez˝ o feladat: Mutassuk meg, (felhaszn´ alva az el˝ oz˝ o bizony´ıt´ as gondolatait, hogy ha egy X(t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamat a [0, 1] intervallumon teljes´ıti az E|X(t, ω) − X(s, ω)|2+α ≤ C|t − s|1+β felt´etelt alkalmas α > 0, β > 0 ´es C > 0 konstansokkal mindet 0 ≤ s < t ≤ 1 sz´amp´ arra, akkor l´etezik az X(t, ω) sztochasztikus ¯ ¯ ω)) = 1 minden 0 ≤ folyamatnak olyan X(t, ω) m´ odos´ıt´ asa, amelyre P (X(t, ω) = X(t, ¯ t ≤ 1 sz´amra, ´es a X(t, ω) folyamat minden trajekt´ori´ aja folytonos f¨ uggv´eny. (Val´ oj´aban az α > 0 felt´etel elhagyhat´o a felt´etelk´ent szerepl˝o egyenl˝otlens´egb˝ol. Az´ert tett¨ uk ezt fel, mert a legt¨obb ´erdekes esetben csak α > 0 sz´ammal tudjuk biztos´ıtani a k´ıv´ant felt´etel teljes¨ ul´es´et.) 4. feladat: Mutassuk meg, hogy egy a [0, 1] intervallumon defini´alt folytonos trajekt´ori´ aj´ u sztochasztikus folyamat tekinthet˝ o, mint egy C([0, 1])-t´er ´ert´ek˝ u, azaz a [0, 1] intervallumon ´ertelmezett folytonos ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyekb˝ ol a´ll´ o, ´es a szupr´emum norm´ aval ell´ atott Banach t´eren ´ertelmezett val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. A probl´ema jobb meg´ert´ese ´erdek´eben a megfogamazom e k´erd´es 4a) v´ altozat´ at, amely megmagyar´ azza, mi a probl´ema l´enyege. 5
4a. feladat: Vil´ agos, hogy egy a [0, 1] intervallumon ´ertelmezett folytonos trajekt´ori´ aj´ u X(t, ω) sztochasztikus folyamat az (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ ot lek´epezi a C([0, 1]) t´erbe. De be kell l´atni, hogy ez a lek´epez´es m´erhet˝ o. Tudjuk, hogy mivel minden r¨ogz´ıtett 0 ≤ t ≤ 1 sz´amra az X(t, ·) f¨ uggv´eny folytonos, azaz tetsz˝oleges Borel m´erhet˝ o B halmazra {ω : X(t, ω) ∈ B} ∈ A, (azaz a B halmaz ˝ osk´epe m´erhet˝ o). L´ assuk be, hogy a C([0, 1]) t´er tetsz˝oleges m´erhet˝ o D halmaz´ ara {ω : X(t, ω) ∈ D} ∈ A. 4b. feladat: Az 4. feladat ´ all´ıt´ asa szerint tetsz˝oleges a [0, 1] intervallumon defini´alt folytonos trajekt´ori´ aj´ u folyamat tekinthet˝ o u ´gy, mint egy ´ert´ekeit a C([0, 1]) t´erben felvev˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. L´ assuk be, hogy e folyamat v´eges dimenzi´ os eloszl´ asai meghat´ arozz´ ak annak val´ osz´ın˝ us´eg´et is, hogy v´eve egy tetsz˝oleges Borel-m´erhet˝ o halmazt a C([0, 1]) t´erben, a sztochasztikus folyamat trajekt´ori´ ai ebbe a halmazba esnek. 5. feladat: Az el˝ oz˝ o t´etel megold´ as´aban fontos szerepet j´ atszott az a l´ep´es, hogy adjunk j´ o becsl´est annak val´ osz´ın˝ us´eg´ere, hogy egy norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o egy adott sz´amn´ al nagyobb ´ert´eket vesz fel. Ezt a becsl´est abban a bizony´ıt´ asban a negyedik momentum becsl´es´enek a seg´ıts´eg´evel kaptuk. Az ebben a feladatban megfogalmazott becsl´es pontosabb, ´es bizonyos nehezebb feladatokban erre van sz¨ uks´eg. A k¨ ovetkez˝ o jel¨ol´est fogjuk alkalmazni. Φ(x) jel¨oli a standard norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´enyt, 1 −x2 /2 √ ϕ(x) = 2π e , ennek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et. Mutassuk meg (parci´alis integr´al´ assal), hogy minden x > 0 sz´amra teljes¨ ul a k¨ ovetkez˝ o egyenl˝otlens´eg:
1 1 − 3 x x
ϕ(x) < 1 − Φ(x) <
6
1 ϕ(x). x
Wiener-folyamatok tulajdons´ agai. Megfogalmazom azt a fontos eredm´enyt, amelyet funkcion´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etelnek szok´ as nevezni, ´es amely a szok´ asos centr´ alis hat´areloszl´ast´etel term´eszetes ´es fontos a´ltal´ anos´ıt´ asa. A centr´ alis hat´areloszl´ast´etel ´ all´ıt´ as´at u ´gy lehet heurisztikusan megfogalmazni, hogy ha ¨ osszeadunk n f¨ uggetlen nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u kis ´ert´ekeket felvev˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot nagy n sz´amra, akkor ezen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok o¨sszeg´enek az eloszl´ asa k¨ ozel´ıt˝ oleg megegyezik egy olyan nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ as´aval, amelynek sz´or´ asn´egyzete egyenl˝o ennek az o¨sszegnek a sz´or´ asn´egyzet´evel. Mivel f¨ uggetlen, norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok o¨sszege szint´en norm´ alis eloszl´ as´ u, ez az ´ all´ıt´ as u ´gy is interpret´alhat´ o, hogy kis f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ¨ osszegei k¨ ozel´ıt˝ oleg u ´gy viselkednek, mintha az o¨sszeadand´ ok norm´ alis eloszl´ as´ uak lenn´enek. A funkcion´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etelnek is van hasonl´o heurisztikus interpreteci´oja. Eszerint, ha ezen kis val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oknak az osszes r´eszlet¨ ¨ osszeg´et tekintj¨ uk, azaz a tagokat 1-t˝ol m-ig ¨ osszeadjuk minden 1 ≤ m ≤ n sz´amra, akkor ezen r´eszlet¨ osszegek egy¨ uttese k¨ or¨ ulbel¨ ul u ´gy viselkedik, mintha az osszeadand´ ¨ ok norm´ alis eloszl´ as´ uak lenn´enek. Annak ´erdek´eben, hogy a funkcion´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt pontosan ´es altal´ ´ anos felt´etelek mellett megfogalmazhassam el˝ osz¨ or felid´ezem a centr´ alis hat´areloszl´ast´etelt f¨ uggetlen, de nem felt´etlen¨ ul egyform eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okra, illetve annak egy term´eszetes ´ altal´ anos´ıt´ as´at u ´gynevezett sz´eriasorozatokra. El˝osz¨ or a t´etel ´ altal´ anosabb, sz´eriasorozatokr´ol sz´ol´ o alakj´ at fogalmazom meg. Ennek ´erdek´eben megadom a sz´eriasorozatok definici´ oj´at. Sz´ eriasorozat definici´ oja. Legyen adva minden k = 1, 2, . . . sz´ amra egy nk pozit´ıv eg´esz sz´ am ´es val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok egy ξk,j , j = 1, 2, . . . , nk , sorozata, amelynek elemei (r¨ ogz´ıtett k sz´ amra) f¨ uggetlenek. Val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok egy ilyen rendszer´et sz´eriasorozatnak nevez¨ unk. nk P
Adva egy ξk,j , k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , sz´eriasorozat, tekints¨ uk az Sk = ξk,j , k = 1, 2, . . . , sor¨ osszegeket. Az Sk , k = 1, 2, . . . v´eletlen o¨sszegek nagyon
j=1
´ltal´ a anos felt´etelek mellett eloszl´ asban konverg´alnak a standard norm´ alis eloszl´ ashoz. A sz´eriasorozatokr´ol sz´ol´ o centr´ alis hat´areloszl´ast´etel egy ilyen jelleg˝ u a´ll´ıt´ ast fogalmaz meg. E t´etel ´erv´enyess´eg´enek a felt´etelei k¨ oz¨ ul a legfontosabb az u ´gynevezett Lindeberg felt´etel, amelyet k¨ ul¨ on ismertetek. Lindeberg felt´ etel definici´ oja sz´ eriasorozatokra: Legyen ξk,j , k = 1, 2, . . . , 1 ≤ 2 j ≤ nk , olyan sz´eriasorozat, amelynek elemeire Eξk,j = 0, Eξk,j < ∞, k = 1, 2, . . . , n k P 2 1 ≤ j ≤ nk , ´es lim Eξk,j = 1. Ez a sz´eriasorozat akkor ´es csak akkor teljes´ıti a k→∞ j=1
Lindeberg felt´etelt, ha tetsz˝ oleges ε > 0 sz´ amra lim
k→∞
nk X
2 I ({|ξk,j | > ε}) = 0, Eξk,j
j=1
7
ahol I(A) egy A halmaz indik´ ator f¨ uggv´enye. Centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel sz´ eriasorozatokra a Lindeberg felt´ etel teljes¨ ul´ ese eset´ en. Legyen ξk,j , k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , olyan sz´eriasorozat, amelyre Eξk,j = 0, nk P 2 2 Eξk,j < ∞, k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , lim Eξk,j = 1, ´es teljes´ıtse e sz´eriasorozat a k→∞ j=1
Lindeberg felt´etelt. Ekkor
a.) A sz´eriasorozat tagjai teljes´ıtik a lim
k→∞
b.) Az Sk =
nk P
sup 1≤j≤nk
2 Eξk,j
= 0 kicsis´egi felt´etelt.
ξk,j , 1 ≤ k < ∞, v´eletlen ¨ osszegek eloszl´ asban konverg´ alnak a standard,
j=1
azaz nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es 1 sz´ or´ asn´egyzet˝ u norm´ alis eloszl´ ashoz, ha k → ∞. Be lehet l´atni azt is, hogy a centr´ alis eloszl´ ast´etel ezen form´aja bizonyos ´ertelemben ´eles, ´es tov´ abb nem jav´ıthat´ o. Nevezetesen igaz a k¨ ovetkez˝ o t´etel. A sz´ eriasorozatokr´ ol sz´ ol´ o centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel ´ all´ıt´ as´ anak a megford´ıt´ asa. Legyen ξk,j , k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , olyan sz´eriasorozat, amelyre Eξk,j = 0, nk P 2 2 Eξk,j < ∞, k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk , lim Eξk,j = 1, ´es teljes´ıtse e sz´eriasorok→∞ j=1 2 sup Eξk,j = 0 kicsis´egi felt´etelt. zat a centr´ alis hat´ areloszl´ ast´etelt valamint a lim k→∞
1≤j≤nk
Ekkor a sz´eriasorozat teljes´ıti a Lindeberg felt´etelt is.
Minket az a k´erd´es ´erdekel, hogy ha adva van f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok egy v´egtelen ξ1 , ξ2 , . . . sorozata, arra hogyan sz´ol a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel, ´es az milyen felt´etelek mellett teljes¨ ul. Ebben az esetben term´eszetes azt k´erdezni, hogy ha Eξj = 0 n n P P minden j = 1, 2, . . . sz´amra, akkor az Sn = s1n ξj sorozat, ahol s2n = Eξj2 az j=1
j=1
Sn ¨ osszeg sz´or´ asn´egyzete mikor konverg´al eloszl´ asban a standard norm´ alis eloszl´ ashoz. A v´ alasz erre a k´erd´esre k¨ onnyen visszavezethet˝ o a sz´eriasorozatokr´ol sz´ol´ o centr´ alis hat´areloszl´ast´etelre. Val´ oban, defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o sz´eriasorozatot. Legyen nk = k ´es 1 ξk,j = sk ξj , 1 ≤ j ≤ k, minden k = 1, 2, . . . sz´amra. Ekkor az eredeti s1n Sn , n = 1, 2, . . . , k P normaliz´alt r´eszlet¨ osszegsorozat ´es az el˝ obb defini´alt ξk,j sz´eriasorozat S¯k = ξk,j , j=1
k = 1, 2, . . . , sor¨ osszegeib˝ ol ´ all´ o sorozat megegyezik, ez´ert a sz´eriasorozatokra megfogalmazott centr´ alis hat´areloszl´ast´etelb˝ ol k¨ ovetkezik az al´ abb megfogalmazott f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozatair´ol sz´ol´ o centr´ alis hat´areloszl´ast´etel. Ennek megfogalmaz´ asa ´erdek´eben el˝ osz¨ or megadom a Lindeberg felt´etel definici´ oj´at f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok sorozataira.
Lindeberg felt´ etel definici´ oja f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok sorozataira. Legyen adva f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ξ1 , ξ2 , . . . sorozata, amelyre teljes¨ ul, hogy ∞ P Eξj = 0 ´es Eξj2 < ∞ minden j = 1, 2, . . . sz´ amra, tov´ abb´ a Eξj2 = ∞. Azt mondjuk, j=1
8
hogy a ξ1 , ξ2 , . . . sorozat teljes´ıti a Lindeberg felt´etelt, ha minden ε > 0 sz´ amra n 1 X E(ξj2 I(|ξj | > εsn )) = 0, lim n→∞ sn j=1
ahol s2n =
n P
j=1
Eξj2 , ´es I(A) jel¨ oli egy A esem´eny indik´ atorf¨ uggv´eny´et.
Centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok sorozataira a Lindeberg felt´ etel teljes¨ ul´ ese eset´ en. Legyen adva f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok 2 ξ1 , ξ2 , . . . olyan sorozata, amelyre Eξj = 0 ´es Eξj < ∞ minden j = 1, 2, . . . sz´ amra, ∞ n P P Eξj2 = ∞, ´es e sorozatra teljes¨ ul a Lindeberg felt´etel. Legyen s2n = Eξj2 . Ekkor
j=1
j=1
a.) a sz´eriasorozat tagjai teljes´ıtik a lim
n→∞
b.) Az
1 sn Sn
=
1 sn
n P
sup
1≤j≤n
Eξj2 s2n
= 0 kicsis´egi felt´etelt.
ξj , v´eletlen ¨ osszegek eloszl´ asban konverg´ alnak a standard, azaz
j=1
nulla v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es 1 sz´ or´ asn´egyzet˝ u norm´ alis eloszl´ ashoz, ha n → ∞. Megjegyzem, hogy tekinthetj¨ uk a sz´eriasorozatokr´ol sz´ol´ o centr´ alis hat´areloszl´ast´etel a´ll´ıt´ as´anak a megford´ıt´ as´at is, ´es megfogalmazhatjuk annak term´eszetes megfelel˝ oj´et f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok r´eszlet¨ osszegeire. Ez az ´ all´ıt´ as is egy ´erv´enyes t´etel. Megfogalmazok egy olyan eredm´enyt, amely azt fejezi ki, hogy amennyiben vesz¨ unk egy a Lindeberg felt´etelt teljes´ıt˝ o sz´eriasorozatot, ´es r¨ogz´ıtett k sz´amra nemcsak az nk P Sk = ξk,j v´eletlen ¨ osszeget vezetj¨ uk be, hanem az ¨ osszes j=1
Sk (j) =
j X
ξk,p ,
1 ≤ j ≤ nk
(B1)
p=1
r´eszlet¨ osszeget, ´es tekintj¨ uk az Sk (j), 1 ≤ j ≤ nk , sorozat eloszl´ as´at, akkor ennek aszimptotikus viselked´ese bizonyos ´ertelemben j´ ol le´ırhat´ o egy Wiener-folyamat seg´ıts´eg´evel. A fenti ´ all´ıt´ as pontos megfogalmaz´as´anak ´erdek´eben vezess¨ uk be a k¨ ovetkez˝ o jel¨ol´eseket: Legyen adva egy ξ1,1 , . . . , ξ1,n1 .. .. . . (B2) ξk,1 , . . . , ξk,nk .. .. . . 9
2 2 sz´eriasorozat, amelyre Eξk,j = 0, Eξk,j = σk,j ,
nk P
j=1
2 σk,j = s2k , ´es feltessz¨ uk, hogy teljes¨ ul
a lim s2k = 1 rel´ aci´o. Vezess¨ uk be az Sk (0) = 0, Sk (j) = k→∞
s¯2k (0)
2
sk (j)2 , s2k
j P
p=1
ξk,p ´es sk (j)2 =
j P
p=1
2 σk,p ,
1 ≤ j ≤ nk , k = 1, 2, . . . , mennyis´egeket. Adjuk meg ezen = 0, s¯k (j) = mennyis´egek seg´ıts´eg´evel a k¨ ovetkez˝ o a [0, 1] intervallumon defini´alt Xk (t) = Xk (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, (v´eletlen) folytonos f¨ uggv´enyeket: Xk (¯ s2k (j), ω) = Sk (j),
0 ≤ j ≤ nk
´es
2
Xk (t, ω) =
s¯k (j) − t t − s¯k (j − 1)2 2 X (¯ s (j − 1), ω) + Xk (¯ s2k (j), ω) k k s¯k (j)2 − s¯k (j − 1)2 s¯k (j)2 − s¯k (j − 1)2 ha s¯k (j − 1)2 ≤ t ≤ s¯k (j)2 ,
1 ≤ j ≤ nk ,
(B3) azaz az Xk (·, ω) f¨ uggv´eny az s¯k (j) pontokban megegyeznek az els˝ o j ξk,p (ω) val´osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ¨ osszeg´evel, a k¨ ozt¨ uk lev˝ o pontokban pedig line´aris f¨ uggv´enyk´ent 2 s (j) k kieg´esz´ıtj¨ uk ˝ oket. (Vegy¨ uk ´eszre, hogy az s¯k (j)2 = s2 sz´am k¨ ozel´ıt˝ oleg egyenl˝o az 2
k
Sk (j) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o sz´or´ asn´egyzet´evel, mert sk (j)2 = Var Sk (j), ´es lim s2k = 1. k→∞
Ez a t´eny teszi term´eszetess´e az Xk (·) sztochasztikus folyamat sk´ al´ az´ as´at.) Tegy¨ uk fel, hogy a (B2) sz´eriasorozat teljes´ıti a Lindeberg felt´etelt is. Ekkor alkalmazhat´o r´a a centr´ alis hat´areloszl´ast´etel. N´emi plusz munk´aval be lehet l´atni, hogy nemcsak az Xk (1, ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok konverg´alnak eloszl´ asban a standard norm´ alis eloszl´ashoz, ha k → ∞, hanem az is igaz, hogy minden r¨ogz´ıtett t sz´amra az Xk (t, ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok konverg´alnak eloszl´ asban egy 0 v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es t sz´or´ asn´egyzet˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ohoz. S˝ot, az is igaz, hogy minden 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tm ≤ 1 sz´amokra az (Xk (t1 , ω), . . . , Xk (tm , ω)) v´eletlen vektorok eloszl´ asban konverg´alnak egy olyan (Z1 , . . . , Zm ) m-dimenzi´os norm´ alis eloszl´ as´ u vektor eloszl´ as´ahoz, amelyre EZj = 0, 0 ≤ j ≤ k, EZj Zj ′ = min(tj , tj ′ ). Ez szeml´eletesen azt jelenti, hogy nagy k indexre a (B3) k´epletben defini´alt Xk (t, ω) sztochasztikus folyamat k¨ ozel van eloszl´ asban egy a [0, 1] intervallumon defini´alt Wiener-folyamathoz. Az al´ abbiakban megfogalmazok egy t´etelt, amely a fent megfogalmazattokhoz hasonl´o, de tartalmasabb ´ all´ıt´ ast fogalmaz meg. A t´etel kimond´asa el˝ ott eml´ekeztetek arra, hogy mint azt a 4. feladatban megfogalmazott ´ all´ıt´ as megfogalmazza, egy a [0, 1] intervallumon defini´alt folytonos trajekt´ori´ aj´ u sztochasztikus folyamatot tekinthet¨ unk egy C([0, 1]) t´eren defini´alt val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ onak is. Ezt az ´eszrev´etelt alkalmazhatjuk mind a Wiener-folyamatra, mind a (B3) k´epletben defini´alt folyamatokra. Az a t´eny, hogy egy Wiener-folyamat felfoghat´o u ´gy, mint egy ´ert´ekeit a C([0, 1]) t´erben felvev˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o lehet˝ ov´e teszi, hogy bevezess¨ uk az al´ abb megadand´ o Wiener m´ert´ek fogalm´at. Wiener-m´ ert´ ek definici´ oja. Legyen adva egy Wiener-folyamat a [0, 1] intervallumban. Tekints¨ uk ezt, mint egy ´ert´ekeit a C([0, 1]) t´erben felvev˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot. Ennek eloszl´ as´ at, azaz a µW (A) = P (ω : W (·, ω) ∈ A) f¨ uggv´enyt minden a C([0, 1]) t´erbeli Borel m´erhet˝ o A halmazra, (azaz minden olyan A halmazra, amely benne van 10
a B([0, 1]) t´erben l´ev˝ o ny´ılt halmazok ´ altal gener´ alt legsz˝ ukebb σ-algebr´ aban) Wienerm´ert´eknek nevezz¨ uk. Fel fogjuk haszn´ alni azt a t´enyt, hogy az eloszl´ asban val´ o konvergencia term´eszetes altal´ ´ anos´ıt´ as´at defini´alt´ ak tetsz˝oleges szepar´abilis metrikus t´erben. Ezt gyenge konvergenci´ anak nevezik ´ altal´ aban az irodalomban, ´es euklid´eszi t´erben lev˝ o val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekek eset´eben ez ekvivalens az eloszl´ asban val´ o konvergenci´ aval. T¨ obb k¨ ul¨ onb¨oz˝ o alakja van ennek a definici´ onak, de ezek mindegyike ekvivalens. A definici´ okat megadom, de ekvivalenci´ajuk bizony´ıt´ as´at elhagyom. Val´ osz´ın˝ us´ egi m´ ert´ ekek (gyenge) konvergenci´ aj´ anak a definici´ oja, a) definici´ o. Legyen adva val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekek µn , n = 1, 2 . . . , sorozata egy (X, ρ) szepar´ abilis metrikus t´er Borel m´erhet˝ o r´eszhalmazain. Azt mondjuk, hogy e m´ert´ekek sorozata gyeng´en konverg´ al egy µ e szepar´ abilis metrikus t´er Borel m´erhet˝ o r´eszhalmazain definialt val´ ´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekhez, ha minden a metrikus t´eren ´ertelmezett folytonos ´es korl´ atos f (x) f¨ uggv´enyre Z Z lim
n→∞
f (x)µn ( dx) =
f (x)µ( dx).
Megjegyz´es. A fenti definici´ oban megk¨ ovetelt¨ uk, hogy az f (x) ‘tesztf¨ uggv´enyek’ ne csak folytonosak, hanem korl´ Ez a megszor´ıt´ as biztos´ıtja, hogy mindig Ratosak is legyenek. R besz´elhet¨ unk a (v´eges) f (x)µn ( dx) ´es f (x)µ( dx) integr´alokr´ol. Val´ osz´ın˝ us´ egi m´ ert´ ekek (gyenge) konvergenci´ aj´ anak a definici´ oja, b1) definici´ o. Legyen adva val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekek µn , n = 1, 2 . . . , sorozata egy (X, ρ) szepar´ abilis metrikus t´er Borel m´erhet˝ o r´eszhalmazain. Azt mondjuk, hogy e m´ert´ekek sorozata gyeng´en konverg´ al egy µ e szepar´ abilis metrikus t´er Borel m´erhet˝ o r´eszhalmazain defini´ alt val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekhez, ha minden a metrikus t´eren l´ev˝ o z´ art F halmazra lim sup µn (F ) ≤ µ(F ). n→∞
Val´ osz´ın˝ us´ egi m´ ert´ ekek (gyenge) konvergenci´ aj´ anak a definici´ oja, b2) definici´ o. Legyen adva val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekek µn , n = 1, 2 . . . , sorozata egy (X, ρ) szepar´ abilis metrikus t´er Borel m´erhet˝ o r´eszhalmazain. Azt mondjuk, hogy e m´ert´ekek sorozata gyeng´en konverg´ al egy µ e szepar´ abilis metrikus t´er Borel m´erhet˝ o r´eszhalmazain defini´ alt val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekhez, ha minden a metrikus t´eren l´ev˝ o ny´ılt G halmazra lim inf µn (G) ≥ µ(G). n→∞
A k¨ ovetkez˝ o eredm´enyben megfogalmazzuk, milyen kapcsolat van eloszl´ asf¨ uggv´enyek konvergenci´ aja ´es az eloszl´ asf¨ uggv´enyek ´ altal gener´ alt eloszl´ asok (gyenge) konvergenci´ aja k¨ oz¨ ott. 11
T´ etel eloszl´ asf¨ uggv´ enyek ´ es az ´ altaluk gener´ alt m´ ert´ ekek gyenge konvergenci´ aja k¨ oz¨ otti kapcsolatr´ ol. Tekints¨ uk Fn eloszl´ asf¨ uggv´enyek, n = 1, 2, . . . sorozat´ at ´es egy F0 eloszl´ asf¨ uggv´enyt a sz´ amegyenesen vagy az Rk k-dimenzi´ os eukideszi t´erben, valamint az ´ altaluk gener´ alt µn = µFn Stieltjes m´ert´ekeket, n = 0, 1, 2, . . . . Az Fn eloszl´ asf¨ uggv´enyek akkor ´es csak akkor konverg´ alnak eloszl´ asban az F0 eloszl´ asf¨ uggv´enyhez, ha az Fn eloszl´ asf¨ uggv´enyek ´ altal meghat´ arozott µn Stieltjes (val´ osz´ın˝ us´egi) m´ert´ekek gyeng´en konverg´ alnak az F0 eloszl´ asf¨ uggv´eny ´ altal meghat´ arozott µ0 (val´ osz´ın˝ us´egi) Stieltjes m´ert´ekhez. Most kimondhatjuk az el˝ obb sz´eriasorozatok ´ altal defini´alt v´eletlen line´aris darabokb´ ol a´ll´ o (t¨ or¨ ottvonal) f¨ uggv´enyeket ´ert´ekk´ent felvev˝o sztochasztikus folyamatok gyenge konvergenci´ aj´at a Wiener-m´ert´ekhez. Ezt a t´etelt az irodalomban funkcion´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etelnek h´ıvj´ ak. Funkcion´ alis centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel. Legyen adva egy a (B2) k´epletben le´ırt 2 2 sz´eriasorozat, amelynek tagjai teljes´ıtik az Eξk,j = 0, Eξk,j = σk,j , k = 1, 2, . . . , 1 ≤ j ≤ nk P 2 nk , lim σk,j = 1 rel´ aci´ okat ´es a Lindeberg felt´etelt. Vezess¨ uk be az e sz´eriasorozat k→∞ j=1
seg´ıts´eg´evel a (B3) formul´ aban defini´ alt folytonos trajekt´ ori´ aj´ u Xk (t) = Xk (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1, k = 1, 2, . . . , folytonos trajekt´ ori´ aj´ u sztochasztikus folyamatokat. Az Xk (t, ω) sztochasztikus folyamatok gyeng´en konverg´ alnak a Wiener m´ert´ekhez, ha k → ∞. Felmer¨ ul a k´erd´es, mi´ert ´erdekes a fenti eredm´eny. Az´ert, mert ez nem puszt´ an egy absztrakt t´erben megfogalmazott v´ altozata a centr´ alis hat´areloszl´ast´etelnek, hanem maguknak a sz´eriasorozatok r´eszlet¨ osszegeinek aszimptotikus viselked´es´er˝ ol is l´enyeges u ´j inform´ aci´ot tartalmaz. Annak ´erdek´eben, hogy ezt meg´erts¨ uk l´assuk be az al´ abbi egyszer˝ u lemm´at, amely azt fejezi ki, hogy egy folytonos transzform´ aci´o gyeng´en konvergens val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekek sorozat´at ism´et val´osz´ın˝ us´egi m´ert´ekek gyeng´en konvergens sorozat´aba visz. Pontosabban megfogalmazva a k¨ ovetkez˝o eredm´eny ´erv´enyes. Lemma gyeng´ en konvergens val´ osz´ın˝ us´ egi m´ ert´ ekek konvergenci´ aj´ ar´ ol. Legyen adva egy (X, X ) szepar´ abilis metrikus t´er (itt X a ρ metrika seg´ıts´eg´evel az X t´eren defini´ alt ny´ılt halmazok ´ altal gener´ alt Borel σ-algebr´ at jel¨ oli, ´es hasonl´ oan ´ertelmezz¨ uk k´es˝ obb az Y σ-algebr´ at egy (Y, Y) t´eren) ´es azon val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok µn sorozata, n = 1, 2, . . . , amely az el˝ obb defini´ alt gyenge konvergencia ´ertelm´eben konverg´ al egy µ val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekhez. Legyen adva ezenk´ıv¨ ul egy m´ asik (Y, Y) szepar´ abilis metrikus t´er, valamint egy T folytonos transzform´ aci´ o az (X, X ) t´erb˝ ol az (Y, Y) t´erbe. Ez a transzform´ aci´ o term´eszetes m´ odon induk´ al egy transzform´ aci´ ot, amely minden az (X, X ) t´eren defini´ alt ν val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´eknek a k¨ ovetkez˝ o T ν val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´eket felelteti meg az (Y, Y) t´eren: T ν(B) = ν({x : T x ∈ B}) minden B ∈ Y halmazra. Ekkor a T µn val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekek gyeng´en konverg´ alnak a T µ val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekhez. A lemma bizony´ıt´ asa. Alkalmazzuk a gyenge konvergencia a) definici´ oj´at. Ekkor azt kell bel´ atni, hogy tetsz˝oleges az (Y, Y) t´eren folytonos ´es korl´ atos g(y) f¨ uggv´enyre Z Z lim g(y)T µn ( dy) = g(y)T µ( dy). n→∞
12
Vezess¨ uk be a g(y) f¨ uggv´eny f (x) = g(T x) ˝ osk´ep´et. Ekkor az f (x) f¨ uggv´eny folytonos ´es korl´ atos, ´es a m´ert´ekelm´elet egyik fontos eredm´enye alapj´ an m´ert´ektart´ o transzform´aci´ok szerinti integr´alokr´ol Z Z Z Z f (x)µ( dx) = g(y)T µ( dy) ´es f (x)µn (dx) = g(y)T µn (dy) minden n = 1, 2, . . . sz´amra. A µn m´ert´ekek gyenge konvergenci´ aj´ ol ´es az f (x) Rab´ f¨ uggv´eny folytonoss´ag´ ab´ ol ´es korl´ atoss´ag´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy lim f (x)µn ( dx) = n→∞ R f (x)µ( dx) a fenti szereposzt´assal. A fenti ¨ osszef¨ ugg´esekb˝ol k¨ ovetkezik a lemma a´ll´ıt´asa. ´ Megjegyz´es 1: Erdemes megfogalmazni a fenti lemma ´ all´ıt´ as´at ekvivalens m´ odon m´ert´ekek helyett (metrikus t´erbeli ´ert´ekeket felvev˝o) val´osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok seg´ıts´eg´evel. Ez ´ıgy sz´ol. Legyen adva (X, X ) szepar´ abilis, metrikus t´erbeli ´ert´ekeket felvev˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oknak egy ξn , n = 1, 2 . . . sorozata, amelyek eloszl´ asai (gyeng´en) konverg´ alnak egy ξ ((X, X ) t´erbeli ´ert´ekeket felvev˝o) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ as´ahoz. Legyen T az (X, X ) t´er egy folytonos lek´epez´ese valamely (Y, Y) szepar´ abilis metrikus t´erbe. Ekkor a T (ξn ) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asai eloszl´ asban konverg´alnak a T (ξ) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ as´ahoz. Megjegyz´es 2: Be lehet l´atni, hogy igaz a fenti lemma olyan ´eles´ıt´ese, amely szerint a Lemma ´ altal´ anos´ıt´ asa ´erv´enyben marad akkor is, ha gyeng´ıtj¨ uk azt a felt´etelt, hogy a T transzform´ aci´o folytonos. Elegend˝o csak annyit megk¨ ovetelni, hogy a T transzform´ aci´o egy val´ osz´ın˝ us´eggel folytonos a µ (hat´ ar)m´ert´ek szerint. Ez az a´ltal´ anos´ıt´ as ´erdekes bizonyos alkalmaz´asokban. A fenti lemma sz´amunkra abban a speci´alis esetben ´erdekes, amikor az (X, X ) t´er a [0, 1] intervallumon defini´alt folytonos f¨ uggv´enyek C([0, 1]) tere, (Y, Y) a sz´amegyenes vagy egy v´eges dimenzi´ os euklid´eszi t´er a szok´ asos Borel σ-algebr´aval, ´es alkalmazunk egy T transzform´ aci´ot a C([0, 1]) t´erb˝ol ebbe a v´eges dimenzi´ os euklid´eszi t´erbe. Ekkor a funkcion´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etelnek ´erdekes k¨ ovetkezm´enyei vannak. Tekinthetj¨ uk p´eld´aul a k¨ ovetkez˝ o p´eld´akat: T1 f = sup |f (x)|, T2 f = sup f (x), T3 f = 0≤x≤1 0≤x≤1 R1 2 f (x) dx, T4 f = (T1 f, T2 f, T3 f ). Ezen a transzform´ aci´ok mindegyike folytonos, 0 k¨ oz¨ ul¨ uk az els˝ o h´arom a sz´amegyenesre, a negyedik a h´arom dimenzi´ os euklid´eszi t´erbe k´epez. A T1 transzform´ aci´o alkalmaz´asa p´eld´aul azt adja, hogy ha egy sz´eriasorozat P j teljes´ıti a funkcion´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etel felt´eteleit, akkor a sup ξk,p 1≤j≤nk p=1 val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok eloszl´ asban konverg´alnak egy a [0, 1] intervallumban defini´alt Wiener-folyamat szupr´emum´anak eloszl´ as´ahoz. Hasonl´ oan lehet egy hat´areloszl´ast´etelt mondani T2 , T3 vagy T4 transzform´ aci´o alkalmaz´asa seg´ıts´eg´evel. Vegy¨ uk ´eszre azt is, hogy a hat´areloszl´as csak a hat´arfolyamatt´ol (a Wiener-folyamatt´ol) f¨ ugg, teh´at minden a funkcion´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etel felt´eteleit teljes´ıt˝ o sz´eriasorozatra ugyanaz. Inform´alis m´ odon a fenti eredm´enyek u ´gy interpret´alhat´ oak, hogy a funkcion´ alis hat´areloszl´ast´etel felt´eteleit teljes´ıt˝ o sz´eriasorozatokb´ol k´epzett r´eszlet¨ osszegek sorozatai 13
nagy indexre hasonl´oan viselkednek, ´es ezt a hasonl´o viselked´est a Wiener-folyamat seg´ıts´eg´evel ´ırhatjuk le. V´eg¨ ul megjegyzem, hogy Brown angol biol´ogusnak az ismertet´es elej´en eml´ıtett azon megfigyel´es´enek a h´atter´eben, amely miatt a Wiener-folyamatot Brown mozg´ asnak is h´ıvj´ ak, szint´en a funkcion´ alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etel van. Egy apr´o r´eszecske az id˝ o folyam´an sok egym´ ast´ ol f¨ uggetlen apr´o l¨ok´est kap, ´es mozg´ asa az ezen l¨ok´esek hat´as´ara v´egzett sok kis egym´ ast´ ol f¨ uggetlen elmozdul´as ¨ osszegek´ent a´ll el˝ o. A funkcion´alis centr´ alis hat´areloszl´ast´etel szerint egy ilyen p´alya k¨ ozel´ıt˝ oleg u ´gy viselkedik, mint egy Wiener-folyamat trajekt´ori´ aja. Kieg´ esz´ıt´ es. Megjegyz´esek a feladatok megold´ as´ ahoz. 1. feladat Egy ξ = (ξ1 , . . . , ξk ) vektort k-dimenzi´os standard norm´ alis eloszl´ as´ u vektornak nevez¨ unk, ha koordin´ at´ ai f¨ uggetlen, standard norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok. Azokat a vektorokat nevezz¨ uk norm´ alis eloszl´ as´ unak, amelynek eloszl´ asa megegyezik egy ξA + m v´eletlen vektor eloszl´ as´aval, ahol ξ standard norm´ alis eloszl´ as´ u vektor, A egy k × k m´ atrix m egy k-dimenzi´os (determinisztikus) vektor. N´emi sz´amol´ assal bel´ athat´ o, hogy egy ilyen vektor kovariancia m´ atrixa D = A∗ A alak´ u. A line´aris algebra bizonyos eredm´enyeib˝ol k¨ ovetkezik, hogy a D = A∗ A egyenletnek (r¨ ogz´ıtett D m´ atrixra) akkor ´es csak akkor van megold´ asa, ha D szimmetrikus pozit´ıv (szemi)definit m´ atrix. (Mi´ert?) Viszont egy ilyen egyenletnek nem csak egy A m´ atrix lehet a megold´ asa. Ennek ellen´ere a D kovariancia m´ atrix ´es az m v´ arhat´ o ´ert´ek m´ atrix meghat´ arozza egy norm´ alis eloszl´ as´ u vektor eloszl´ as´at. Ennek egy lehets´eges magyar´ azata: El´eg megmutatni, hogy a ξ norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o Eei(t,ξ) karakterisztikus f¨ uggv´eny´et meghat´ arozza a D kovariancia m´ atrix ´es m v´ arhat´ o ´ert´ek. M´asr´eszt be lehet i(t,ξ) −(t,Dt)/2+i(m,t) l´atni, hogy Ee =e . 2. feladat Az eloszl´ asok megegyez´es´ehez a tekintett vektorok norm´ alis eloszl´ asa ´es nulla v´ arhat´ o ´ert´eke miatt elegend˝ o a kovarianciam´ atrixok megegyez´es´et ellen˝ or´ızni. A konzisztencia k¨ onnyen l´athat´ o, ha meg´ertj¨ uk, mir˝ol van sz´o. 3. feladat (V´azlatos indokl´ as) A σ-algebra csak megsz´ aml´alhat´ o sok koordi´at´ at´ ol f¨ ugg˝o esem´enyeket tartalmaz. Egy f¨ uggv´eny ismerete viszont megsz´ aml´alhat´ o sok koordin´ at´ aj´ aban nem hat´arozza meg, hogy folytonos-e, mert a t¨obbi koordin´ at´ aban el lehet rontani a folytonoss´agot. 4. feladat Mind a 4), mind a 4a) mind a 4b) feladat megold´ asa a k¨ ovetkez˝ o a´ll´ıt´ as igazol´as´an alapul: ! Q Q Bt szorzatteret, ahol Rt a sz´amRt , Tekints¨ uk az (R[0,1] , C [0,1] ) = t∈[0,1]
t∈[0,1]
egyenesnek Bt pedig a sz´amegyenes σ-algebr´aj´anak egy a t sz´ammal param´eterezett p´eld´anya. Jel¨olje Z az ¨ osszes a [0, 1] intervallumon folytonos f¨ uggv´enyb˝ol a´ll´ o halmazt, ´es tekints¨ uk az (R[0,1] , C [0,1] ) t´er (Z, Z) megszor´ıt´ as´at a Z halmazra. Ez azt jelenti, hogy vessz¨ uk a Z halmazt, ´es Z azokb´ ol a B halmazokb´ ol ´ all, amelyek el˝ o´allnak B = Z ∩ A, 14
A ∈ C [0,1] alakban. Nem neh´ez bel´ atni, hogy Z a Z halmaz bizonyos r´eszhalmazaib´ ol all´ ´ o σ-algebra. Azt ´ all´ıtjuk, hogy tetsz˝oleges a C([0, 1]) t´erben Borel m´erhet˝ o halmaz benne van a Z σ-algebr´aban. (Az is igaz, hogy a Z σ-algebra megegyezik a C([0, 1]) t´er Borel σ-algebr´aval, de ennek az ´ all´ıt´ asnak a m´ asodik fel´ere nem lesz sz¨ uks´eg¨ unk.) Az el˝ obbi ´ all´ıt´ as bizony´ıt´ as´ahoz el´eg megmutatni azt, hogy a C([0, 1]) t´er minden G ny´ılt halmaz´ ara G ∈ Z, mert ebb˝ol k¨ ovetkezik, hogy minden a ny´ılt halmazok a´ltal gener´ alt σ-algebr´aj´aban lev˝ o B halmazra, B ∈ Z. Tov´ abb lehet reduk´ alni az ´ all´ıt´ ast a k¨ ovetkez˝ o tipus´ u halmazokra: Ha x = x(t) ∈ C([0, 1]), ε > 0, akkor legyen S(x, ε) = {y : y ∈ C([0, 1]), sup |x(t) − y(t)| < ε}. El´eg t∈[0,1]
bel´ atni, hogy minden S(x, ε) tipus´ u halmazra S(x, ε) ∈ Z, mert tetsz˝oleges ny´ılt halmaz el˝ o´all´ıthat´ o megsz´ aml´alhat´ o sok ilyen halmaz uni´ojak´ent. A k¨ ovetkez˝ o meggondol´as mutatja, hogy S(x, ε) ∈ Z. Jel¨olje Q a racion´alis sz´amok halmaz´ at a [0, 1] intervallumban. Ekkor ∞ \ [ 1 ε ∈ Z. y : y ∈ Z, |y(r) − x(r)| < 1 − S(x, ε) = n n=1 r∈Q
(Mi´ert?) Az, hogy az X(·, ω) folytonos trajekt´ori´ aj´ u folyamat azt jelenti, hogy X(·, ω) ∈ Z minden ω ∈ Ω elemi esem´enyre. Mivel a C([0, 1]) t´er minden B Borel m´erhet˝ o hal[0,1] maza el˝ o´all B = A ∩ Z, A ∈ C alakban, ez´ert {ω : X(·, ω) ∈ B} = {ω : X(·, ω) ∈ B ∩ Z} = {ω : X(·, ω) ∈ A} ∈ A, ´es a P (X(·, ω) ∈ A) = P (X(·, ω) ∈ B val´ osz´ın˝ us´eget meghat´ arozz´ ak az X(·, ω) sztochasztikus folyamat v´eges dimenzi´ os eloszl´ asai. Innen k¨ ovetkezik mind a 4a) mind a 4b) feladat ´ all´ıt´ asa. 5. feladat Parci´alis integr´al´ assal bel´ athat´ o, hogy Z
∞ x
e
−u2 /2
Z ∞ 1 −x2 /2 1 −u2 /2 du = e − e du x u2 x Z ∞ 3 −u2 /2 1 −x2 /2 1 −x2 /2 − 3e + e du , = e x x u4 x
´es ebb˝ol az azonoss´agb´ol levezethet˝ o a feladat ´ all´ıt´ asa.
15
