Werken met Microsoft Excel Inhoudsopgave 3.1
Spreadsheets in Excel....................................................................................................................................2
3.1.1 Wat is een spreadsheet? ............................................................................................................................2 3.1.2 Het Excel-venster......................................................................................................................................2 3.1.3 Cellen ........................................................................................................................................................3 3.1.4 Simpel begin .............................................................................................................................................3 3.1.5 Tabellen ....................................................................................................................................................4 3.1.6 Grafieken ..................................................................................................................................................5 3.1.7 Externe gegevens ......................................................................................................................................6 3.1.8 Solver (optioneel voor W & I) ..................................................................................................................8 3.1.8.1 Oplossen van een derdegraadsvergelijking ......................................................................................8 3.1.8.2 Niet-lineaire regressie mbv Excel: exponentieel verval ...................................................................9 3.1.8.3 Excel: Solver Exercise Michaelis-Menten kinetiek........................................................................10
Woord vooraf Bij TIMNW worden een aantal verschillende Problem Solving Environments gebruikt en met elkaar vergeleken. Eén daarvan is Excel. Omdat de ervaring met Excel zeer verschilt tussen studenten is hier een inleidende tekst met opgaven. De beheersing van Excel die verwacht wordt voor TIMNW blijkt uit deze opgaven. Als je nog nooit met Excel hebt gewerkt kun je in je eigen tijd rustig stap voor stap dit document doorwerken. Als je ervaring hebt met Excel, kun je meteen proberen om de drie Solver opgaven in de laatste paragraaf te maken. Na de eerste week van deze cursus wordt je geacht op dit niveau Excel te beheersen. Data files staan in http://www.nat.vu.nl/~ivo/TIMNW/Module1/Excel
dit symbool geeft aan dat je hier iets moet doen.
3.1
Spreadsheets in Excel
3.1.1 Wat is een spreadsheet? Via spreadsheets (rekenbladen) kunnen grote hoeveelheden gegevens overzichtelijk worden gepresenteerd in grafieken of tabellen. Een spreadsheetprogramma maakt het eenvoudig op de meetgegevens berekeningen los te laten, deze in verschillende soorten grafieken weer te geven en te analyseren. In dit practicum gebruiken we Excel, een onderdeel van Microsoft Office. Een spreadsheet kent rijen en kolommen; elke kruising tussen een rij en een kolom wordt een cel genoemd. De cellen kunnen gevuld worden met een getal, een datum, een formule of een willekeurig stuk tekst. Met behulp van de vele rekenfuncties van Excel kun je bijvoorbeeld eenvoudig het gemiddelde of de som van een groep cellen bepalen of meetwaarden naar andere eenheden omrekenen. Cellen die formules bevatten worden opnieuw uitgerekend zodra één van de gegevens die in de formule voorkomen verandert. Omdat die gegevens ook uit andere cellen met formules kunnen komen kun je met een spreadsheet op eenvoudige wijze ingewikkelde berekeningen uitvoeren. Het grootste voordeel van een spreadsheet ten opzichte van klassieke programmeertalen is dat in een spreadsheet de invoer en (grafische) uitvoer van gegevens een fluitje van cent is.
3.1.2 Het Excel-venster De bovenkant van het Excel venster ziet er zo uit: Menubalk Standaard Toolbar Formatting Toolbar Cel
Loop eens langs de pictogrammen van de Standard Toolbar en de Formatting Toolbar, en laat de cursor bij elke knop even rusten. Er verschijnt een beschrijving van de betreffende knop. Als je wilt weten welke toetscombinaties je in plaats van de knoppen kunt gebruiken, klik dan met de rechter muisknop in de balk rechts van de Standard Toolbar, en ga naar Customize→Options. De vierde balk bevat specifieke Excel-elementen: de Naambox en de Formulebox. •
Naambox: Je kunt naar cellen verwijzen via hun coördinaten op de worksheet. De cel linksboven is A1 (rij 1, kolom A). Vaak is het handiger een cel een naam te geven. Ga met de cursor naar de Naambox, type een naam in, en druk op RETURN. Natuurlijk zorg je ervoor dat de naam niet lijkt op een celcoördinaat! Wanneer je een overzicht wilt hebben van alle gebruikte namen, of een naam wilt verwijderen doe je dat via de Insert / Name / Define dialog box.
•
Formulebox: De eigenlijke inhoud van de cel kun je veranderen met de Formulebox. Je kunt ook gewoon met de cursor op de cel dubbelklikken en daar gaan typen. Als je klaar bent geef je RETURN. Ga niet eerst naar een andere cel, want dan wordt het adres van die cel aan de inhoud van de eerste cel toegevoegd. (Dit is dus meteen een handige manier om in de ene cel naar de andere te verwijzen….).
3.1.3 Cellen Een cel kan drie soorten inhoud hebben: •
Een tekst die wordt ingevoerd als je in de wilde weg gaat typen
•
Een getal. NB Regional Settings van je Windows systeem bepaalt dat het decimale symbool bij USA of UK een punt . is en geen komma, Wanneer je zelf die instellingen wijzigt, geeft dit vaak problemen met Excel.
•
Een formule die wordt ingevoerd als je eerst een = tikt.
Terwijl je een formule tikt is de Naambox veranderd in een lijst van functies die je in de formule zou kunnen gebruiken. De meeste functies hebben getallen (of cellen waarin getallen staan) als argument nodig. Als het verkeerde soort argument aan een formule wordt meegegeven, verschijnt als resultaat #VALUE!
Bij het manipuleren van cellen gebruik je vaak de Fill Handle. Dit is het puntje rechts onderaan de cel. Als je aan de Fill Handle trekt wordt de inhoud van de cel gekopieerd naar de cellen waarover je de cursor hebt verschoven. Als je in plaats van de linker de rechter muisknop gebruikt krijg je een menu met andere manieren om die cellen te vullen. In veel speciale vensters staan invulvelden om te verwijzen naar cellen. Klik op het rechter blokje om het venster te verkleinen. Als je nu een cel of een groep cellen selecteert zie je hun adressen verschijnen in het verkleinde venster. Klik weer op het rechterblokje om terug te keren naar het oorspronkelijke venster.
3.1.4 Simpel begin We passen de basisprincipes van een spreadsheet toe in een simpel voorbeeld: het omrekenen van temperaturen in Fahrenheit naar Celsius.
Zet op het eerste werkblad in cel A1 de tekst Fahrenheit en in cel B1 de tekst Celsius. Zet in A2 een 0 en selecteer cel A2:A15. Kies het menu Edit→Fill→Series… en specificeer een stapgrootte van 10. Nu willen we deze temperaturen omzetten naar graden Celsius. De omrekenformule hiervoor is graden_Celsius= (5*(graden_Fahrenheit –32))/9 Type in cel B2 de volgende formule: =(5*(A2–32))/9 Trek de Fill Handle van de geselecteerde cel B2 naar beneden en de overige waardes worden automatisch aangevuld. Als de kolom links van de geselecteerde cel gevuld is, kun je dubbelclicken op de Fill Handle om de hele kolom van de geselecteerde cel te vullen. Probeer het ook op deze manier.
Zorg ervoor dat de getallen in kolom B met twee decimalen worden weergegeven.
L
Met de knoppen kun je het aantal decimalen regelen. Een handiger en veelzijdiger menu hiervoor is Format→Cells. Hiermee kun je onder andere categorieën (getal, breuk, percentage etc), het aantal decimalen, kleur en font in één keer kiezen. Na verandering van het aantal decimalen wil je misschien ook de breedte van de cellen aanpassen. Dit kun je automatisch doen door precies tussen twee kolomnummers te dubbelklikken.
Wanneer je nu op een cel in kolom B klikt zie je de bijbehorende formule. Omdat je in cel B2 de relatieve referentie A2 hebt gebruikt, wordt deze automatisch opgehoogd bij de volgende cel. In cel B4 staat dus =(5*(A4–32))/9 en dat is precies wat je wilt, in dit geval. Bij absolute referenties $A$2 gebeurt dit niet. Dit kunnen we gebruiken bij het omrekenen naar graden Kelvin. Geef cel C1 het kopje Kelvin. Geef cel E1 de waarde 273.15 Vul in cel C2 de juiste formule in (met gebruikmaking van E1) en laat automatisch de rest van de waarden aanvullen. We gaan nu naar een cel verwijzen met een naam. Ga naar cel E1 en type in de naambox const als naam voor de constante en geef RETURN. Maak nu in kolom D nogmaals een kolom met Kelvin-waardes maar nu door const in de formule te gebruiken. const verwijst altijd naar de zelfde cel, het is dus een absolute referentie (zelfs als je geen $ gebruikt). Geef de worksheet de naam temperatuur (dubbel-klik op de tab onderaan het scherm) en bewaar de file als temperatuur.xls.
3.1.5 Tabellen (facultatieve opgave) Maak een spreadsheet dat het gewichtspercentage van een element in een molecuul met een gegeven brutoformule berekent, dus geef bij een formule het aantal atomen per soort. Doe dit voor C2ONH7, C3ONH9, C3ON2H10. Het is de bedoeling dat er per molecuul een apart tabelletje wordt gemaakt.. Neem als massa voor N 14.01, voor C 12.01, voor O 16.00 en voor H 1.008. Ga als volgt te werk:
Maak voor deze opdracht een bestand massa.xls aan. Noem de massa van stikstof massaN, de massa van zuurstof massaO, de massa van koolstof massaC en de massa van waterstof massaH. Zet deze gegevens overzichtelijk bij elkaar. Maak een tabel van onderstaande vorm. Brutoformule C O N
Massa
Gewichtspercentage
H Sommeer de massa van de elementen in het molecuul.
L
Om een kolom of rij te sommeren, hoef je alleen de betreffende data te selecteren pictogram te klikken. en op het Bereken nu het gewichtspercentage.
L
Omdat je deze tabel nog een aantal keren wilt kopiëren is het gebruik van absolute referenties (of namen) niet aan te raden. Maar als je geen absolute referenties hebt kun je de Fill Handle ook niet gebruiken om de tabel snel (en correct) op de bouwen. Een oplossing hiervoor is de tekst van de formules van de ene cel naar de andere te kopiëren met het aloude cut-and-paste. Laat het gewichtspercentage van stikstof in bold en rood zien. Laat door sommatie zien dat het totaal van de gewichtspercentages gelijk aan 100
is. Deze tabel kun je steeds kopiëren en als je de juiste formules hebt gebruikt, hoef je alleen de brutoformule aan te passen om de gewichtspercentages voor de andere moleculen te genereren.
3.1.6 Grafieken De dichtheid d van water als functie van de temperatuur T (in °C) kan gegeven worden door:
d a0 a1 T a2 T met
2
a3 T
3
De formule is tot op 5 decimalen nauwkeurig voor temperaturen tussen 4 en 40oC. NB het decimale symbool is een punt . en geen komma ,
Maak in een bestand grafiek.xls een tabel met temperaturen en dichtheden. Zorg dat de a-waarden duidelijk geïdentificeerd worden en van de tabel gescheiden zijn. Let op: als je de cellen waarin de a-waarden staan namen wilt geven kun je niet zomaar a0, a1, enz. gebruiken omdat dat er uit ziet als een (relatieve) celreferentie! Noem ze bijvoorbeeld a_0, a_1,…
L
Machten van 10 kun je via de wetenschappelijke notatie aangeven: 2.5E-1 is gelijk aan 0.25. In formules kun je ook het dakje gebruiken: 2.5*10^-1 is gelijk aan 0.25. Het dakje kun je ook voor andere machten gebruiken: 16^0.5 is gelijk aan 4. Pas op: als je het dakje buiten een formule gebruikt (dus in een cel die niet met = begint) wordt de cel als een tekst beschouwd. Selecteer de hele tabel en maak een grafiek met behulp van de Chart Wizard Doordat je al van te voren de tabel hebt geselecteerd zal de Wizard min of meer automatisch de juiste (groepen van) cellen op de juiste plaats zetten.
niet het gewenste resultaat ? Welk Waarom geeft het Standard Type “Line” Standard Type moet je wel gebruiken ? (Hint: scatter) Je kunt het type grafiek veranderen via het Chart menu dat boven in het scherm verschijnt als je op een grafiek klikt. Je kunt ook allerlei elementen van de grafiek veranderen door op zo’n element te dubbelklikken. Zorg dat de assen labels en streepjes (tics) hebben op de juiste plaats. Let ook op het formaat en het aantal decimalen van de cijfers langs de assen. Welk bereik hebben de assen? Zorg ook dat de grafiek op een zwart-wit printer kan worden geprint (de meeste publicaties zijn nog steeds zwart-wit). Noem de worksheet water.
3.1.7 Externe gegevens Je zult een spreadsheet vaak gebruiken om gegevens uit een externe bron te bewerken. Je moet dus data in verschillende formaten kunnen inlezen en statistisch of wiskundig manipuleren. Maak een worksheet genaamd moore in het oude bestand grafiek.xls Op de fileserver staat een file Moore.dat met gegevens over de integratiedichtheid en snelheid van ICs.
Importeer deze textfile in Excel (File→Open). De kolommen in de file zijn door een tab gescheiden. Het decimale scheidingsteken (. of ,) kun je specificeren in de Text Import Wizard die verschijnt zodra je de tekstfile probeert te openen. Gebruik hiervoor de Advanced... -knop in de derde stap:
Kopieer de tabel naar de worksheet moore. Maak een grafiek met behulp van de Chart Wizard
als een nieuwe sheet in
hetzelfde bestand. Selecteer de data in de kolommen “Introductie”, “Aantal Transistoren” en “Snelheid (MIPS)” door met de pointer in de cel met “Introductie” te gaan staan en tegelijk de toetsen CTRL, SHIFT en ↓ in te drukken (selecteert alle jaartallen) en daarna tegelijk de toetsen CTRL, SHIFT en → (selecteert de bijbehorende data). Zet Introductie langs de X-as, Aantal Transistoren langs de ene Y-as en Snelheid langs de andere Y-as. Click om een tweede Y-as te krijgen tweemaal op een data punt, dan verschijnt het venster Format data series. Kies tabblad Axis. Zorg dat de datapunten niet door elkaar lopen. Omdat de snelheid en dichtheid snel stijgen willen we logaritmische Y-assen hebben. Click tweemaal op een as voor het venster Format Axis, kies tabblad Scale. Zorg dat op de beide Y-assen evenveel decades uitgezet staan. Fit de data (klik op de grafiek, Chart→Add Trendline, zorg dat de Display Equation on Chart optie aanstaat). Bedenk daarbij wel dat de fit betrekking heeft op de echte data. Hoeveel jaren duurt het om de snelheid of de integratiedichtheid van een IC te verdubbelen? Zorg dat de grafiek ook voor een buitenstaander te begrijpen is (titel, namen en eenheden bij assen, consistent kleurgebruik) en bewaar de file grafiek.xls. Zorg dat de sheet met de grafiek de eerste sheet is van het bestand (verschuif zonodig de tabs onderaan het venster). Open het Word document MooreLaw.doc en voeg de figuur toe aan de tekst via Insert→Object→Microsoft Excel Chart→From File met de Link to File optie aan. Bewaar het document op je eigen schijfruimte en sluit het. Verander iets aan de grafiek in de file grafiek.xls.
Open jouw versie van MooreLaw.doc en controleer of de wijziging in de grafiek is doorgevoerd.
L
Er zijn drie manieren waarop je grafieken van Excel in Word kunt kopiëren. •
Je opent het Excel bestand, selecteert de grafiek en cut-and-paste de grafiek in het Wordbestand. Veranderingen die je later in het Excel bestand doorvoert komen niet meer in het Wordbestand terecht. Je kan wel vanuit het Wordbestand de grafiek nog veranderen: niet alleen het plaatje maar ook de (oude) data zitten in het Wordbestand, en vanuit Word kun je Excel opstarten. Zelfs als je het Excel bestand zou weggooien staat de grafiek nog steeds in het Wordbestand.
•
Via Insert→Object→Microsoft Excel Chart→From File met de Link to File optie uit. Het resultaat is hetzelfde als bij de eerste methode. De eerste worksheet van het Excel bestand wordt in het Wordbestand afgebeeld, maar de rest is ook beschikbaar.
•
Via Insert→Object→Microsoft Excel Chart→From File met de Link to File optie aan. In dit geval worden wijzigingen in het Excel bestand automatisch doorgevoerd in het Wordbestand. Je moet dus wel zorgen dat het Excel bestand beschikbaar blijft !
Vergelijk deze mogelijkheden eens met de mogelijkheden die bestaan bij het invoeren van figuren in Word.
3.1.8 Solver 3.1.8.1 Oplossen van een derdegraadsvergelijking Stel dat we de dichtheid van water gemeten hebben en daaruit de temperatuur willen afleiden met de formule uit opgave “Grafieken”. We moeten dan de derdegraadsvergelijking uit sectie 3.1.6 oplossen. Dat kan analytisch, maar we zullen het hier numeriek doen. Maak een worksheet genaamd solver in het oude bestand grafiek.xls Maak een cel met de naam temp1, een cel met de naam dichth1 en een cel diff waarin het verschil wordt
1.05
1
0.95 -100
0
100
200
T
Schets van het derdegraadspolynoom.
berekend tussen de dichtheid volgens de formule en de dichtheid uit de cel dichth1. We willen nu de temperatuur berekenen die bij een bepaalde waarde in dichth1 hoort (zeg, 0.996 g/ml). We willen dus de temperatuur vinden waarvoor diff nul is. Dit doen we met de Solver (Tools→Solver).Als de Solver niet onder het Tools menu verschijnt is hij nog niet ingeladen, doe dit dan via Tools→Add-Ins → Solver Add-In. De Target Cell is diff, de waarde die diff moet krijgen is nul en de cel die moet veranderen is temp1.
Laat de Solver de waarde van temp1 aanpassen. Door de juiste startwaarde voor T1 te schatten kun je ervoor zorgen dat alleen een oplossing binnen het geldigheidsgebied van de formule wordt gevonden. In het vervolg ga je verder met dit snijpunt. Deze derdegraads kromme heeft drie temperaturen waarvoor de dichtheid gelijk is aan dichth1. Vind ook de twee andere snijpunten door verschillende startwaarden te kiezen, bijvoorbeeld aan de uiteinden van het geldigheidsgebied. Plot in de grafiek van de worksheet water een punt dat de waarde van temp1 en dichth1 aangeeft door een plot met maar één datapunt toe te voegen aan de grafiek. Ligt het berekende punt op de oude curve? Hint: Kies Chart Type Scatter with data points voor het ene punt maar zorg dat de curve van de worksheet water geen datapunten toont (dubbel-klik op de curve, en ga naar Patterns).
3.1.8.2 Niet-lineaire regressie mbv Excel: exponentieel verval Add Trendline is geschikt is om lineaire verbanden te schatten, en afgeleid daarvan ook polynomiale, exponentiële en logaritmische verbanden. Voor meer complexe verbanden is echter een geavanceerder Tool nodig, de Solver. Als de Solver niet onder het Tools menu verschijnt is hij nog niet ingeladen, doe dit dan via Tools Add-Ins Solver Add-In. Dit pakket stelt je in staat om door het veranderen van een aantal parameters een optimale oplossing te krijgen. Hierbij kunnen zelfs nog voorwaarden (constraints) worden opgelegd. In de analytische chemie kan met behulp van fosforescentie de concentratie bepaald worden. De fosforescentie valt dan exponentieel tegen de tijd af. Als nu echter een mengsel van twee fosforescerende stoffen wordt onderzocht, kan niet het normale regressie pakket worden gebruikt. In dit geval kan de intensiteit I als volgt als een functie van de tijd t worden beschreven:
I = a1e −b1t + a2e −b2t In deze formule zijn a1, a2 de amplitudeparameters, en b1, b2 de vervalsnelheidsparameters.
Lees het bestand fosforescentie.dat in. Noem de eerste kolom Tijd en de tweede Data. Sla nu het bestand op als Excel bestand fosforescentie.xls. Maak een grafiek met behulp van de Chart Wizard
op dezelfde sheet.
Schat zelf op het heilige oog welke levensduren in deze data zitten, en wat de amplitudes ongeveer zijn. Hint: kijk eerst op de lange tijdschaal, en daarna op de korte tijdschaal. Als je dit lastig vindt, kun je dit ook overslaan. Voeg
nu
een
derde
kolom toe met de functie a1 × EXP(−b1 × t ) + a 2 × EXP(−b2 × t ) Noem deze kolom Model. Begin met vier cellen F1 tot F4 voor de parameters a1, a2, b1, b2. (let op: het is niet mogelijk cellen a1, a2, b1, b2 te noemen, maar wel a_1, a_2, b_1 en b_2, zie ook hierboven). Gebruik voor de beginwaarden bovenstaande schatting. Merk op dat de b-parameters snelheden (rates) zijn, het omgekeerde van levensduren. Als je het niet weet, kies dan a1=10, b1=1, a2=1 en b2=0.2. Voeg deze kolom toe in de grafiek via Chart/Source Data, Add en selectie van de juiste x en y waarden (kolom A en C). Bekijk hoe goed deze modelfunctie de data beschrijft. Om het verschil tussen Data en Model nader te bestuderen gaan we het berekenen en plotten. Maak een kolom D met als inhoud het verschil tussen Data en Model, en noem deze kolom Residu. Selecteer kolom A door op A te klikken, en houdt CTRL ingedrukt wanneer je op D klikt. Plot nu dit residu als functie van de tijd in een aparte grafiek. Plaats de beide grafieken onder elkaar. We gaan nu de kwadraten van de residuen berekenen in kolom E, en deze sommeren. Noem de cel die de som bevat SSE, afkorting van Sum of Squares of Errors. Minimaliseer nu SSE met behulp van de Solver tool door de waarden van de parameters a_1, a_2, b_1 en b_2 aan te passen. Selecteer daarvoor de SSE cel, Tools→Solver, Minimize en varieer cellen F1 tot F4. Dit gaat bloedsnel. Om het proces te volgen, dien je nieuwe foute startwaarden te geven. Maak F1 bijvoorbeeld 20, en vink bij Solver in het Options Menu de box aan met Show Iteration Results. Click bij Show Trial Solution op Continue, en merk op dat de minimalisatie in ongeveer twintig stappen verloopt.
3.1.8.3 Excel: Solver Exercise Michaelis-Menten kinetiek In de biochemie kan met behulp van fluorescentie de concentratie bepaald worden. De intensiteit I kan als volgt als een functie van de concentratie c worden beschreven:
I=
θ1c c + θ2
In deze formule zijn
θ1 en θ 2 de parameters.
Lees het bestand MMdata500.txt in. Noem de eerste kolom Concentratie en de tweede Data. Sla nu het bestand op als Excel bestand MMdata500.xls Maak een scatterplot grafiek op dezelfde sheet met behulp van de Chart Wizard. Maak een tweede scatterplot grafiek met twee logaritmische assen. De xas van 0.01 tot 100, en de y-as van 0.001 tot 1. Voeg nu een derde kolom toe met de functie Noem deze kolom Model. Zorg zelf dat in twee cellen, bv. F1 en F2, de parameters theta1, theta2 staan. Kies als beginwaarden theta1 en theta2 gelijk aan 1. Voeg deze kolom toe in beide grafieken via Chart/Source Data, Add en selectie van de juiste x en y waarden (kolom A en C). Bekijk hoe goed deze modelfunctie de data beschrijft. Om het verschil tussen Data en Model nader te bestuderen gaan we het berekenen en plotten. Maak een kolom D met als inhoud het verschil tussen Data en Model, en noem deze kolom Residu. Selecteer kolom A door op A te klikken, en houdt CTRL ingedrukt wanneer je op D klikt. Plot nu dit residu als functie van de concentratie in een aparte grafiek. Plaats de grafieken onder elkaar. We gaan nu de kwadraten van de residuen berekenen in kolom E, en deze sommeren. Noem de cel die de som bevat SSE, afkorting van Sum of Squares of Errors. Minimaliseer nu SSE met behulp van de Solver tool door de waarden van de parameters theta1 en theta2 aan te passen. Selecteer daarvoor de SSE cel, Tools Solver, Minimize en varieer cellen F1 en F2. Dit gaat bloedsnel. Om het proces te volgen, dien je opnieuw startwaarden te geven. Maak theta1 en theta2 weer gelijk aan 1, en vink bij Solver in het Options Menu de box aan met Show Iteration Results. Click bij Show Trial Solution op Continue, en merk op dat de minimalisatie in slechts enkele stappen verloopt. We gaan nu de absolute waarden van de residuen berekenen in kolom F, en deze sommeren. Noem de cel die de som bevat SAVE, afkorting van Sum of Absolute Values of Errors. Save in een nieuw file MMdata500LAV.xls Minimaliseer nu SAVE met behulp van de Solver tool door de waarden van de parameters theta1 en theta2 aan te passen. Wat merk je op over de kwaliteit van de fit, en over de geschatte parameters? Welke van de beide fitmethoden is het minst gevoelig voor “uitbijters”? Dit kun je experimenteel testen door zelf een uitbijter te maken (in een nieuw Excel file) van een van de meetwaarden.
