WD prof.dr. R.A. Hirschfeld dr. M.C.A. van Zuijlen. Augustus 1987

WD 87-08 Opties: theorie en praktijk voor beleggers

prof.dr. R.A. Hirschfeld dr. M.C.A. van Zuijlen Augustus 1987

Wiskundige Dienstverlening Faculteit Wiskunde en Natuurwetemschappen Katholieke Universiteit Toernooiveld 6525 ED Nijmegen

Opties: theorie en practijk voor beleggers.

OPTIES: THEORIE EN PRAKTIJK VOOR BELEGGERS 1. INLEIDING

In deze Inleiding verzamelen we enkele losse opmerkingen die in de volgende, meer systematisch ingerichte hoofdstukken, geen geschikte plaats konden vinden. Volledigheid en systematiek wordt hier uitdrukkelijk niet nagestreefd.

Economische betekenis van opties In algemene economische termen beoogt optiehandel niets anders dan een herverdeling van risico . (Daarbij wordt de term "risico" voorlopig nog gevoelsmatig gehanteerd; later zal een statistische definitie gegeven moeten worden.) Een optie is in wezen een contract tussen twee partijen, waarin wordt vastgelegd welk deel ieder krijgt van de waardeschommelingen van een onderliggend economisch goed. Daardoor brengt een dergelijke herverdeling van risico tevens een herverdeling van de opbrengst mee. Een herverdeling van risico! Daarbij is geen sprake van het creëren van welstand. Dit laatste is in de ogen van een groot publiek één van de ernstigste tekortkomingen van optiebeurzen. Dit bezwaar lijkt echter te zijn ingegeven door een onderschatting van het belang van risico-verzekering. Inderdaad is een optiebeurs op te vatten als een gegeneraliseerde verzekeringsmaatschappij. Men zoekt beperking van het risico dat bijv. een daling van aandeelkoersen leveren voor de waarde van een portefeuille. Lange puts vormen het klassieke verzekeringsmiddel tegen dergelijke waardeverliezen. In dit verband lijkt een methodologische opmerking op zijn plaats. Grote institutionele beleggers blijken zich in de praktijk bij voorkeur te beperken tot het schrijven van calls en puts. Daardoor treden zij eigenlijk op als verzekeraars (voor de kleine beleggers, die deze opties graag kopen). Pensioenfondsen hebben echter een ander oogmerk: zij dienen de pensioensmogelijkheden van hun cliënten te maximaliseren en hun risico te minimaliseren. Dat is wat anders dan het verzekeren van andermans risico. Het stelselmatig (gedekt) schrijven van opties valt hier beslist niet onder. Overigens blijkt er onder de "kleine" beleggers nogal veel animositeit t.o.v. die "grote"beleggers te bestaan. Zo vermeldt een recent persbericht dat particuliere optiebeleggers zich in hun winstkansen achtergesteld voelen bij professionele beleggers, met als voornaamste grief dat de "kleine" belegger niet beschikt over adooquate informatie over koersen en fondsen. Ook zouden voorlichting en advies door banken en commissionairs te wensen overlaten. Weinig particulieren volgen de beleggingsadviezen van hun bank op de EOE.

1


Naast dit "informatiemonopolie" is het interessant dat bij dezelfde enquête bleek dat 55.6% van de ondervraagden minder dan 10% van hun portefeuille in opties had belegd en dat opties voor slechts 11 ,5% meer dan 40% van hun vermogen uitmaakt. De resultaten lopen per belegger echter zo sterk uiteen dat er weinig duidelijke conclusies aan vastgeknoopt kunnen worden. Vanuit speltheoretisch standpunt is er bij elk optiecontract sprake van een nulsomspel. Dat betekent dat de winst van de ene partij voortgebracht wordt door het verlies van de andere. Helemaal correct is dit niet! Vaak is, dankzij de handel in een secundaire optiemarkt, de winst behaald op een optie niet afkomstig van een enkele tegenpartij, maar van een hele rits tegenpartijen.

Defensief en offensief gebruik van opties Het deelnemende publiek op Optiebeurzen wordt gewoonlijk in twee categorieên ingedeeld: hedgers en speculanten . Hadgers zijn beleggers die opties hoofdzakelijk gebruiken om hun reeds bestaande aandelenportefeuille te beschermen tegen waardeverlies door koersdaling. Speculanten zijn beleggers die optiestrategieën uitvoeren, gebaseerd op hun visie over het toekomstig gedrag (à la hausse of à la baisse) van koersen van één of meer aandelen (dan wel andere onderliggende op de EOE genoteerde waarden). Hadgers zou men defensieve en speculanten offensieve gebruikers van opties kunnen noemen. Vooral de groep der speculanten staat bij een niet gering deel van de waarnemers in een kwade reuk. Eén der redenen waarom deze slechte reputatie minder verdiend is, is wel dat er zonder deze speculanten niet voldoende omzet op de EOE zou zijn om de optiehandel vlot te doen verlopen. Speculanten en hadgers kunnen elkaar niet missen: dankzij de speculanten is er voldoende liquiditeit op de beurs en dankzij de hadgers kunnen de speculanten verzekerd zijn van een voldoende afname van hun geschreven opties.

Opties

v.s.

gewone verzekeringen

Het gezonde verstand vraagt zich af: waarom zouden hadgers zich vermoeien met het bedenken van steeds ingewikkeldere optiestrategieên ter bescherming van bepaalde bestanddelen van hun portefeuille, als zij zich zoveel eenvoudiger konden behelpen met het sluiten van gewone verzekeringen tegen waardeverlies. Welnu, daar is i.h.a. geen eenvoudig en eensluidend antwoord op te geven: hadging vindt soms beter plaats via opties, maar soms is het sluiten van verzekeringen voordeliger; bovendien zijn er situaties waarin noch het één, noch het ander optimaal is, maar veeleer het kopen of verkopen van zg. futures- en/of termijncontracten. Er zijn momenteel intensieve onderzoekingen gaande van theoretische, zowel als van praktische aard, om dit ogenschijnlijk simpele probleem op te lossen.

Futures- en termijncontracten

2


3

Het is zeer instructief om optiecontracten te vergelijken met twee andere veelvoorkomende financiële instrumenten, nl. het futurescontract en het termijncontract. Het grote verschil tussen enerzijds optiecontracten en anderzijds de twee andere typen is wel dat er bij opties steeds sprake is van een recht voor de houder (= koper), terwijl er bij de andere steeds een verplichting in het spel is. (De verschillen tussen futures en termijncontracten, die overigens nog al eens door elkaar gehaald worden, zijn subtieler, maar nu niet aan de orde.) We zullen zien dat formules voor opties nogal ingewikkeld zijn. Voor futurescontracten is de berekening van de contractprijs echter een zeer eenvoudige zaak. Verklaring: bij optietransacties worden rechten om, zeg, aandelen te kopen dan wel te verkopen, verhandeld. Daarbij speelt de verwachting omtrent de toekomstige waarden van de aandeelkoers een belangrijke rol en deze factor moet daarom op de één of andere manier in de optieprijs verwerkt worden. Bij futures, daarentegen, wordt het onderliggende goed min of meer rechtstreeks verhandeld (er moet geleverd en afgenomen worden!), waarbij tijdsverwachtingen nauwelijks van belang zijn. Het ontbreken van de waarschijnlijkheidstheoretische problemen die met dit soort tijdsverwachtingen samenhangen, verklaart de eenvoud van prijsformules voor futures- en termijncontracten.

Vakliteratuur De literatuur over opties valt grosso modo handelsliteratuur en academische.

uiteen in

De handelsliteratuur houdt zich hoofdzakelijk bezig met het uitwerken van praktische beleggingsstrategieën. Naast reeds min of meer ingeburgerde noties als spreads, combinations, ... worden ook onderwerpen als praktisch portefeuillebeheer, hedgingsmethoden, ... behandeld. In de theoretische literatuur over opties staat centraal het probleem "Wat is een fatsoenlijke prijs voor een optie?" Daarbij blijkt dat de term "fatsoenlijk" eigenlijk maar op één zinvolle wijze kan worden geïnterpreteerd: de prijs van een optie moet zodanig zijn, dat elke arbitragemogelijkheid uitgesloten is. Onder arbitrage wordt in financiële theorieën verstaan de mogelijkheid om (bijv. door te opereren op twee verschillende markten, waartussen onvoldoende informatie-uitwisseling bestaat) geld te creëren zonder enig risico te lopen. Iemand die arbitrage kan verrichten heeft daardoor een geldmachine gemaakt. Zoals bekend bestaan dergelijke machines niet in de werkelijkheid. Dit is de inhoud van het arbitragebeglnsel: het is onmogelijk om, zonder risico te lopen, geld uit het niets te genereren. Dit centrale beginsel, dat door iedereen wordt aanvaard, doet denken aan de fundamentele bahoudswetten uit de natuurwetenschappen. Analoog met bijv. de gevolgen van de Wet van het Energiebehoud, kan men op grond van het arbitrageprincipe vele belangrijke resultaten over opties afleiden.

Modelvorming en arbitrage


Er bestaan meerdere modellen voor de prijsvorming van opties. Deze berusten alle op een toepassing van bovengenoemd arbitragebeginseL In zo'n optiemodel worden allereerst zo nauwkeurig mogelijk axioma's geformuleerd die enerzijds betrekking hebben op de markt (beurs) met zijn karakteristieken en anderzijds op de optiecontracten. Zo wordt doorgaans verondersteld dat de markten wrijvingsloos zijn (d.w.z. dat er geen transactiekosten, beursbelastingen, ... worden aangerekend) en dat elke deelnemer voortdurend op de hoogte is van alle recente informatie. De marktaxioma's zijn dus sterk idealiserend. Dat is noodzakelijk om een enigszins hanteerbaar model te op te stellen. Wat betreft de veronderstellingen nopens de optiecontracten eist een eerste axioma gewoonlijk dat deze slechts op hun afloopdatum uitoefenbaar zijn (zg. Europese opties, i.t.t. Amerikaanse opties, die op elk moment gedurende hun leven uitgeoefend kunnen worden). Voorts beperkt men zich in den beginne gewoonlijk tot dividendbeschermde opties: hun onderliggend aandeel keert gedurende het leven van de optie geen dividend uit.

Black-Scholesmodel Onder deze ideale omstandigheden zijn Black en Scholes er in 1972 in geslaagd het eerste bevredigende model voor Europese dividendbeschermde calls op te stellen. We geven ter kennismaking de Black-Scholesformule, onder de belofte er later uitvoerig op terug te komen. De prijs c van een Europese dividend-beschermdecall is een functie van de vijf grootheden •S •T •X • r • cr

-

huidige prijs aandeel resterende looptijd call uitoefenprijs call risico-vrije interest volatiliteit aandeel.

Van deze vijf veranderlijken zijn de eerste drie onmiddellijk uit het contract af te lezen. De vierde, de risico-vrije interest r, is al wat lastiger. In de praktijk neemt men voor r meestal de interest op een Nederlandse Staatsobligatie (hoewel deze rente op de kapitaalmarkt de laatste tijd nogal schommelt). Het probleem is echter dat met r bedoeld wordt de risico-vrije interest gedurende het toekomstig leven van de optie, en deze r is in beginsel niet bij voorbaat exact te bepalen. Gewoonlijk gaat men er van uit dat de rente in de toekomst constant op het huidige peil zal blijven staan. Dat is wel de simpelste extrapolatie die men zich kan voorstellen en in wezen nergens door gewaarborgd.

Volatiliteit Nog lastiger is het met de vijfde parameter, de onzichtbare sigma. Hiermee wordt een standaarddeviatie bedoeld. Dat is een in de statistiek gebruikelijke parameter die optreedt in de kans dat een toevalsgrootheid een waarde aanneemt gelegen in een bepaald

4


interval om het gemiddelde. Met sigma wordt hier bedoeld de standaarddeviatie van de toevalsgrootheid log (St I So) op toekomstige tijdstippen t. Het woord volatiliteit (van Lat. volare = vliegen)

wordt bedoeld om de bewegelijkbeid of tutbuientie van de aandeelkoers aan te duiden. In de praktijk ligt sigma meestal tussen 20% en 75%. Helaas kan niemand in de toekomst kijken en moet men zich behelpen met oude data uit een gegevensbank van aandeelkoersen. Het feit dat toekomstige waarden van r en van a in de formule optreden vormt de zwakke plek van het SS-model, maar is inhEBrent aan het prijsbepalingsprobleem voor opties.

BS-formule In termen van deze parameters vormen we de uitdrukkingen

Deze uitdrukkingen gaan we invullen in de formule voor de normale (Gaussische) verdeling met gemiddelde nul en variantie één: d

1 N(d) = ~

J -l e

dx,

V 21t_oo waarna dan de Black-Scholesformule

c = S.N(d 1) - e

-rT

X.

N(~)

ontstaat. Bij eerste kennismaking zal men hierin niet licht een grote doorbraak op optiegebied zien en nog minder een formule die zich heel gemakkelijk op een microcomputer laat programmeren. Deze SS-formule is niets anders dan de wiskundige weerslag van het arbitragebeginsel, losgelaten op de hypothese (en het is niet meer dan een hypothese!) dat de koers St van het aandeel op elk ogenblik t door het toeval bepaald is. Precieser, voor elke t is de logarithme van St "normaal" verdeeld (à la Gauss, met een chapeau de gendarme), met gemiddelde= 0 en spreiding = 1.

Gedaante van de formule De opbouw van de formule is in wezen heel eenvoudig. Als er "niets aan de hand was", zou de pseudo-prijs "c" van de call gelijk zijn aan

5


"c" = huidige aandeelkoers minus huidige waarde uitoefenprijs = S - continu verdisconteerde huidige waarde van X =s-e -rTx =intrinsieke waardecall (indien niet negatief). In de formule van Black-Scholes komen nog de coëfficienten N(d1) en N(d2) voor. Die kunnen we beschouwen als kanstheoretische gewichtjes waarmee het toevalselement in rekening wordt gebracht.

Computerprogramma's Bij de praktische programmering op een computer wijst de eenvoudige structuur van de formule zich vanzelf. Alleen de probabilistische gewichtjes vragen enige speciale aandacht. In principe zouden we de vrij ingewikkelde uitdrukkingen d1 en d2 moeten invullen in de bovengrens van de integraal supra . Dat leidt tot ingewikkelde toestanden. In de numerieke wiskunde zijn voor de normale verdeling benaderingsformules van verbazingwekkende nauwkeurigheid ontwikkeld. Volledigheidshalve volgt er hier eentje. Eerst declareren we enkele constanten. a= 0.2316419 b = 1.330274429 c =-1.821255978 d = 1.781477937 e = -0.356563782 f = 0.319381153 De functie N van x is een integraal die we numeriek berekenen door eerst de hulpgrootheid y te maken volgens 1 y = 1 + alxl ·

Daarna behelpen we ons eerst met een functie die erg veel op N lijkt en die we even M noemen: 1 2 2

--x

M(x)=

J;;

((((by +c)y + d)y + e)y +f)y.

21t

Als x > 0, dan is N = 1 - M, anders is N = M.

De vijfdegraads veelterm in M is in zijn zg. Hornerse vorm geschreven teneinde zijn berekening wat te versnellen.

Misprijzingen Een voor de hand liggende toepassing van de SS-formule kan hier Bekijk een gepubliceerde callprijs direct vermeld worden. (marktprijs), bereken zijn theoretische waarde en vergelijk die twee uitkomsten. Als de marktprijs groter is dan de BS-prijs, dan noemen we de call overgewaardeerd (t.o.v. het Black-Scholesmodel); ligt

6


de marktprijs onder de theoretische, dan heet de optie ondergewaardeerd. De stelregel is nu: koop ondergewaardeerde en verkoop overgewaarderde opties.

Wat het verkopen betreft: indien men de optie niet in bezit heeft gaat men toch kort (d.w.z. men verkoopt de optie) in de hoop en verwachting dat het volgende gaat gebeuren: iedereen heeft gemerkt dat de optie overgewaardeerd is (hier speelt het axioma van de volledige informatie) en gaat hem dus verkopen. Door dit toenemende aanbod daalt de prijs. Moet men de vandaag verkochte optie over enige tijd leveren, dan is hij (hopelijk) goedkoper geworden, waardoor er alweer winst ontstaat.

Kritiek op BS Hier is een principiële opmerking op zijn plaats: bij het onderzoek of een bepaalde optie juist geprijsd, dan wel onder- of overgewaardeerd is, speelt enigerlei prognose over het toekomstig gedrag van de koers van het aandeel geen enkele rol. Immers, het BlackScholesmodel werkt, wat die koers betreft, uitsluitend met de volatiliteit van het aandeel en deze grootheid legt generlei rekenschap af over toekomstige koersstijgingen, dan wel -dalingen. Een visie op het aandeel, hoe goed onderbouwd ook, legt dus geen enkel gewicht in de schaal bij het gebruik van dit model. Dit model geeft uitsluitend een momentopname van het marktgebeuren. Dit is een blinde vlek van het model.

Delta's en hedging Een tweede toepassing van de formule van Black-Scholes, die hier slechts volledigheidshalve genoemd kan worden, en waarvan de bijzonderheden pas later aan bod zullen kunnen komen, behelst de hedge ratio. Een centraal begrip bij de opbouw van beleggingsportefeuilles is hedglng. Letterlijk vertaald is dit: van een haag of heg voorzien. Zo'n haag dient ter bescherming. Omhaglng betekent dus: beperking van het risico door een positie in te nemen waarvan de bestanddelen elkaar beschermen tegen ongewenste wijzigingen in marktniveaux. De hedge ratio is het aantal opties dat geschreven of gekocht moet worden om één lang aandeel van zekere onderneming in een portefeuille te beschermen tegen koersdaling (long = gekocht). Men vatte delta op als de gevoeligheld van de optieprijs voor kleine veranderingen van de aandeelkoers. (Wiskundig is delta niets anders dan de partiële afgeleide vandecall naar de koers.) Op grond van het SS-model kan deze "omhagingsverhouding", die doorgaans als griekse delta (~) wordt aangegeven, worden uitgerekend. Er komt iets heel eenvoudigst uit, nl. ~

=N(d1).

7

8


Dit is een getal gelegen tussen nul en één: het is immers een kans! Is die waarde bijv. 0,67, dan betekent dit dat één aandeel wordt geprotegeerd door

0.~ 7

opties, dus praktisch gesproken, door 2.

Een positie waarin tegenover elk lang aandeel 100/A gekochte puts staan heet delta-neutraal en is bestand tegen kleine koersdalingen van elk van zijn aandelen. Het is duidelijk dat over deze toepassing van het model nog heel wat gezegd zal moeten worden. Later zal niet allen uitvoerig over delta's moeten worden gesproken, maar ook over de daarmee verwante gamma's en theta's. Impliciete volatiliteit Nog een ander populair begrip dat met SS samenhangt: de Impliciete volatiliteit. Van de vijf variabelen die in de SS-formule optreden is de volatiliteit a de lastigste. Sigma is "onzichtbaar" en moet, zoals boven reeds aangestipt, uit "historische gegevens" (databanks) worden gereconstrueerd (en daarna als constante worden geêxtrapoleerd). De zg. impliciete volatiliteit nu is de "wildheid" van het aandeel zoals die wordt geïmpliceerd door de marktprijs van de optie. Omdat de vier andere parameters die de optieprijs bepalen duidelijk zichtbaar zijn, wordt de marktprijs vaak opgevat, als een middel om, omgekeerd, die vijfde op te lossen als onbekende. Als we de SS-formule stenografisch afkorten tot c = c(S, X, T, r, s), dan kunnen we dit inderdaad, bij bekende waarden van c, S, X, T en r, beschouwen als vergelijking met onbekende a. Om hieruit sigma op te lossen zou een niet alledaags karwei zijn als er geen zg. Newtonmethode voor bestond. De gevonden waarde voor sigma kan beschouwd worden als ingebouwde volatiliteit in de marktprijs. Sommige optiehandelaren verhandelen volatiliteiten: zij kopen opties als hun geïmpliceerde volatiliteit laag is en verkopen hen als zij hoog is. Het is nuttig om zich de redenen van deze handelwijze voor te stellen. Schema: impliciete volatiliteit

hoog laag

actie

kort lang

Nu bevinden zich in de financiêle databanks letterlijk duizenden gegevens over één en hetzelfde aandeel. Door steeds een geschikte verzameling van deze gegevens te nemen, kunnen we telkenmale een candidaatwaarde uitrekenen voor de impliciete volatiliteit. Dat geeft aanleiding tot een groot aantal impliciete volatiliteiten. Er bestaan allerlei methoden om hieruit als gewogen gemiddelde een aanvaardbare waarde voor de uiteindelijke im-

Opties: theorie en practijk voor beleggers. pliciete volatiliteit te vinden. Vaak weegt men naar zg. open interest , zijnde het aantal openstaande contracten bij slot.

9


2. LITERATUUR De Optiebeurs in Amsterdam heeft in de loop der jaren reeds talrijke brochures en publicaties het licht doen zien. Deze zijn alle van groot praktisch belang en zij kunnen met de grootste nadruk ter kennismaking worden aangeraden. Gezien hun aantal is het ondoenlijk hier een volledig overzicht van deze publicaties te presenteren. Zij zijn gratis verkrijgbaar bij de EOE, Rokin 65, 1012 KK Amsterdam, tel. 550 4 550.

NEDERLANDS E.Boddé, Opties, Kluwer, 1986 A.L.Hiele, BELEGGEN IN OPTIES, Spectrum, 1984 {populair) NIBE/OPTIEBEURS, OPTIEHANDEL DOOR PARTICULIEREN, Amsterdam, 1986 OPTIES, PROFIEL VAN EEN NIEUW J.H.Pontier, INSTRUMENT, Kluwer, 1983 BELEGGINGS(nieuwe druk in voorbereiding)

ENGELS R.M.Bookstaber, OPTION PRICING AND STRATEGIES IN INVESTING, Addison Wesley, 1981 J.C.Cox & M.Rubinstein, OPTIONS MARKETS, Prentice Hall, 1985 (het beste wetenschappelijke boek, maar erg duur!) L.G.McMillan, OPTIONS AS A STRATEGIC INVESTMENT, New Vork lnstitute of Finance, New Vork, N.V. J.E.Swanson,THE EUROPEAN OPTIONS MARKETS, Kluwer, 1984

FRANS M.Levasseur et V.Simon, MARCHÉ DE CAPITAUX: OPTIONS ET NOUVEAUX CONTRACTS À TERME, Dalloz, 1980

10


2. MECHANISME OPTIEBEURS Hoe is de handel in opties georganiseerd? Een goed begrip van de organisatie en de techniek van de moderne optiebeurs is onmisbaar voor institutionele, zowel als particuliere, belegger. Volledigheidshalve beginnen met het herhalen van enkele reeds bekende definities. Definities Een calloptie is een kooprecht , d.w.z. een contract dat ZIJn ho u der (= koper/eigenaar) het recht (en niet de verplichting!) verschaft om vóór of op een bepaalde datum (de afloopdatum ) een welomschreven hoeveelheid van een onderliggend economisch goed te kopen tegen een vastgelegde prijs (de zg. uitoefenprijs of uitgifteprijs ). De schrijver (= verkoper) van de call ontvangt bij deze transactie een premie, de eaUprijs , waarvoor hij de verplichting op zich neemt om te leveren indien de houder zijn kooprecht wenst uit te oefenen . Puts zijn de tegenhangers van calls, waarbij de handelingen "kopen" en "verkopen" met elkaar verwisseld worden. (We zullen nog zien dat deze "dualiteit" tussen calls en puts op wezenlijke punten doorbroken wordt.) Aldus ontstaat: Een putoptie is een verkooprecht , d.w.z. een contract dat zijn ho u der (= koper/eigenaar) het recht (en niet de verplichting!) verschaft om vóór of op een bepaalde datum (de afloopdatum ) een welomschreven hoeveelheid van een onderliggend economisch goed te verkopen tegen een vastgelegde prijs (de zg. uitoefenprijs of uitgifteprijs ). De schrijver (= verkoper) van de put ontvangt bij deze transactie een premie, de putprijs , waarvoor hij de verplichting op zich neemt om af te nemen indien de houder zijn verkooprecht wenst uit te oefenen . Geheugensteuntje: "to call" betekent "oproepen", zodat het object door U gekocht kan worden; "to put" is "neerleggen", waardoor het gereed is om door U te worden verkocht. De houder (koper/eigenaar) van een optie mag zelf beslissen of hij/zij die optie wil uitoefenen. In het volgende wordt steeds van een rationaal gedrag uitgegaan: er wordt dan en

10 a


slechts dan uitgeoefend indien dit voor de houder méér profijt oplevert dan niets doen. Grafieken Een plaatje verduidelijkt veel. In de volgende grafiekjes zetten we horizontaal de aandeelkoers op de afloopdatum uit en verticaal de winst (of het verlies) op die dag. (Horizontaal kan evenzeer de eindprijs van een obligatie, van een edel metaal, van een vreemde valuta, van de Index, staan.) Verondersteld wordt: • er worden geen transactiekosten in rekening gebracht (de al eerder genoemde wrijvingsloze markt ); • de opties zijn van het zg. Europese type, d.w.z. zij kunnen alleen op de afloopdatum worden uitgeoefend en niet eerder; • de opties zijn di v i den d- bes c he r m d , d.w.z. dat het onderliggende aandeel gedurende het leven van de optie niet ex-dividend gaat. Dit zijn standaard vereenvoudigingen, die slechts een benadering van de werkelijkheid mogelijk maken. Een bespreking van dit soort idealiseringen komt later. Voorts gebruiken we de volgende notatie, waarbij het sterretje "*" telkens aangeeft dat de bewuste veranderlijke betrekking heeft op de eindtoestand. • • • • •

S* W* X c p

koers op einddatum (afgeleid van "Stock") winst/verlies op einddatum uitoefenprijs (afgeleid van "eXercise price") prijs van Europese call prijs van Europese put.

De termen lang en kort gebruiken we als synoniemen van gekocht, resp. verkocht. Een lange optie is er een die wij (indertijd) gekocht hebben; kort gaan met een call betekent dat wij de call verkocht hebben, daarbij in het midden gelaten of wij het onderliggende aandeel al dan niet (gevaarlijk!) in ons bezit hebben.

11


12

ELEMENTAIRE POSTIES W*

W*

lang aandeel

konaandeel

Opties; theorie en practijk voor beleggers.

W*

-c langecall

langeput

13


*

c

korte call (gedekt)

p

korte put (altijd ongedekt)

14


Het is nuttig deze plaatjes (© R.J. Kruizenga, proefschrift M.I.T., 1956, ongepubliceerd) uit het hoofd te leren. Zij geven weliswaar een oververeenvoudigd en vertekend beeld van de werkelijkheid, maar leveren een qualitatief juist inzicht. We geven enige toelichting op het plaatje voor de lange call; de andere grafiekjes worden analoog opgebouwd. Wanneer we een call kopen, beginnen we met een investering ten bedrage c. Op de einddatum kunnen er precies twee mogelijkheden optreden: de horizontale "koersas" wordt door het punt X in tweeën gedeeld, dus hetzij S* < X, hetzij S* > X. In het eerste geval heeft de houder het recht om het aandeel voor X gulden te kopen, terwijl de marktwaarde, S*, lager ligt. De houder zal wijselijk afzien van zijn/haar recht om uit te oefenen, maar is daardoor de begininvestering kwijt. Blijkt na afloop daarentegen dat S* rechts van X ligt, dan is het voor de eaUhouder wèl rationaal om uit te oefenen: hij koopt het aandeel voor X en verdient daarop bruto S* - X, waaruit het nettoprofijt volgt door de aanloopkosten c in rekening te brengen. Grafisch wordt dat juist het aangegeven plaatje. Gevolgtrekkingen We lezen van de plaatjes o.a. af: • alle plaatjes stellen continue functies voor en bestaan uit horizontale rechte stukken, alsmede uit lijnsegmenten die hoeken van 45° of 135° met de positieve horizontale as maken; • in de twee plaatjes voor gekochte en verkochte aandelen geeft het snijpunt van de winstgrafieken met de koersas telkens de huidige aandeelkoers aan.; • een gekochte eaU kan slechts beperkt verlies opleveren (niet meer dan de inleg c ), maar biedt in beginsel onbeperkte winstmogelijkheden; • het aanschaffen van een call is vooral dan aangebracht als men verwacht dat de toekomstige koers zal gaan stijgen; een beetje meetkunde leert dat een lange eaU winst afwerpt als S* >X+c;

15


• een lange call in portefeuille nemen behoort bij een bullish prognose (à la hausse); • een lange put vertegenwoordigt een bearish visie op de toekomst (à la baisse); winstmogelijkheden treden op als de koers daalt onder X - p; zij zijn beperkt, maar de verliesmogelijkheden gelukkig ook; • een korte èall, waarbij de schrijver het onderliggende aandeel vanaf het begin der transactie in bezit had, levert een beperkte winst bij lage koers (< X + c ), maar leidt tot desastreuse gevolgen bij sterke koersstijging; het is een typisch baisse-instrument. Er zal zich nog genoeg gelegenheid voordoen om na te gaan hoe men hieruit op eenvoudige wijze de winstprofielen kan opbouwen van posities bestaande uit meerdere opties en aandelen.

Optieprij zen Voor het recht om al dan niet uit te oefenen moet door de houder een prijs betaald worden, de optiepremie (de reeds gebruikte c en p). Voor deze premie wordt niet rechtstreeks een bepaalde hoeveelheid van het onderliggende goed (aandelen, obligaties, edele metalen, aandelenindex, obligatiesindex, ... ) verhandeld, maar, zoals gezegd, een recht om te verhandelen. (Lat. optio = vrije keuze.) In de optiepremie zit ook verwerkt een stuk tijdsverwachting waarin tot uitdrukking komt dat het al of niet gebruikmaken van dit recht wel eens heel lucratief kan zijn. Modellen die een verantwoorde optiepremie leveren komen echter pas later ter sprake.

Vereniging European Options Exchange N. V. De belangrijkste optiebeurs op het Europese vasteland (hiermee sluiten we opzettelijk London uit!) is ongetwijfeld de EOE (NV European Options Exchange) te Amsterdam en sinds april 1987 gevestigd in eigen fraaie behuizing op Rokin 65. Een volle, nog zeer jonge dochter, de FTA (Financiële Termijnmarkt Amsterdam) heeft daar vlakbij haar kwartier geslagen: Nes 49. De EOE opende haar poorten op 4 april 1978. Zij is geheel op moderne leest geschoeid, wat er op neerkomt dat zij een getrouwe copie is van de optiebeurs van Chicago (een prettige

16


afwijking ligt op het fiscale vlak, aangezien Nederland geen Capital Gains Tax heft). De CBOE (Chicago Board Options Exchange) dateert van 1973 (een gedenkwaardig jaar voor het optiewezen, omdat toen ook het fundamentele werk bekend raakte van Black en Scholes, waarin een "eerlijke" optieprijs berekend wordt op grond van het zg. arbitragebeginsel). Dat de CBOE model stond voor de EOE weerspiegelt zich in het feit dat alle vaktermen op de EOE correct engeis zijn (beginnend bij "call" en "put"), hoewel de uitspraak dat niet altijd is! Anderzijds heeft de EOE inmiddels ruimschoots bewezen veel meer dan een "look alike" van de CBOE te zijn. Zo was het de EOE die als eerste obligatie- en valutaopties invoerde; ook heeft zij het heft in handen genomen ter bevordering van de wereldwijde handel in opties op edele metalen gedurende 24uur per etmaal. De belangrijkste kenmerken van de huidige optiebeurzen zijn:

standaardisatie

en

garantie.

• Met standaardisatie wordt bedoeld dat de contracten die op de EOE verhandeld worden niet op de individuele wensen van de contractanten zijn toegesneden, maar dat de parameters, waarop de beurs vat heeft, (denk aan: afloopdata, ui toefenprij zen, waarborgsommen, transactiekosten, beursbelasting, ... ) door de EOE worden vastgelegd in korte lijstjes (met zoveel mogelijk "mooie", afgeronde getallen). • De genoemde garantie die de EOE biedt betekent voor de belegger de absolute zekerheid dat alle contracten stipt en correct afgehandeld worden. Mogelijke faillissementen van leden van de EOE zullen nooit afbreuk doen aan de rechten en verplichtingen van het beleggend publiek. De standaardisatie heeft een stroomlijning van optiecontracten tot gevolg gehad, waardoor deze dermate goedkoop zijn geworden dat steeds grotere groepen particulieren zich op de optiemarkt zijn gaan bewegen. Daarbij hebben de garanties een hoge mate van vertrouwen in de administratieve en financiële afwikkeling van optietransacties in het leven geroepen. Andere taken van de EOE behelzen:

17


• Het beschikbaarstellen van de benodigde infrastructuur, waaronder een verfijnd computernetwerk op de beursv loer. • Intensieve con tröle op het naleven van de beursregels. • Het verstrekken aan het publiek van alle relevante informatie. Zo vindt dagelijks publicatie van koersen en optieprijzen plaats. Helaas worden volatiliteiten nog niet gepubliceerd. • Het opvangen van klachten en het beslechten van geschillen. De betekenis van deze taakomschrijving van de EOE kan pas naar waarde worden geschat als men de toestand van vóór 1978 in ogenschouw neemt. Opties hebben een eeuwenlange geschiedenis (zo herinnert de term Europese optie, voor een optie die alleen op zijn afloopdatum en niet eerder uitgeoefend kan worden, aan Londense gebruiken van zo'n driehonderd jaar geleden). Al die optiesoude-stijl gingen over-the-counter. Zulke OTC's kwamen tot stand doordat twee partijen elkaar vonden en onder supervisie van een makelaar hun wensen en voorwaarden op papier zetten. Dit was een uitermate tijdrovend proces, dat op puur individuele basis plaats vond. Er was weinig omzet en de contracten waren erg duur. Van standaardisatie was klaarblijkelijk geen sprake en niemand garandeerde een correcte afhandeling. Wèl is er bij OTC's rechtstreeks contact tussen koper en verkoper, iets dat op moderne optiebeurzen ontbreekt, wat weleens als een gemis gevoelt wordt. European Options Clearing Corporation BV Deze EOCC (een 100% dochter van de EOE), die als het centrale zenuwstelsel van een optiebeurs te beschouwen is, heeft tot taak o.a. de reeds genoemde administratieve afwikkeling en garantie van optiecontracten. Ook treedt de clearing bij elke transactie als tussenpersoon op: koper en verkoper kennen elkaar niet, maar houden met elkaar contact via de clearing. De EOCC bestaat uit Clearing Memhers (CM's), die alle lid zijn van de EOE (een Vereniging, zoals gezegd). CM's zijn zonder uitzondering grote kapitaalkrachtige organisaties (hoofdzakelijk nederlandse banken). De EOCC is geen monolitische instelling, maar een boldingmaatschappij van verscheidene instituten. We noemen daarvan:

18


• European Stock Options Clearing Corporation (ESCC), clearing van aandelen-, index- en obligatieopties; • International Options Clearing Corporation (IOCC), clearing van valuta- en edele metalenopties; • Nederlandse Liquidatiekas (NLKKAS), clearing voor futures op goud, aardappels en varkens (bestaan reeds meer dan honderd jaar!) Terwijl de EOE voor 100% deelneemt in de EOCC en de ESCC, is zij meerderheidsaandeelhouder in de andere corporaties. Tevens zijn belangen te melden in de clearing voor de Rotterdamse oliefutures en in de clearing voor de Financiële Termijnmarkt Amsterdam {FTA), alwaar voorlopig alleen futures op de EOE-FTA Obligaties-Index verhandeld worden. De clearing voor Market Makers (een categorie van beursleden waarover aanstonds meer) wordt behartigd door de KasAssociatie (voor 60% eigendom van de Effectenbeurs) en wèl via Europtions. De Kas-Associatie heeft zojuist plannen gelanceerd om iets dergelijks ook in Londen te gaan doen. Beursleden Onder de leden van de Vereniging EOE tellen we de • Puhlic Order Memhers (POM's): banken en commtsstonairs die opdrachten van het publiek mogen aannemen en deze ter beurze laten uitvoeren door • Floor Brokers (FB's): beursleden die, hetzij in opdracht van een POM, hetzij op eigen rekening, orders vanuit het publiek zo goed en zo snel mogelijk uitvoeren. Een POM zal zijn cliënten vaak vóór of tegen een voorgenomen transactie adviseren; een FB is hoofdzakelijk belast met de technische en administratieve uitvoering van opdrachten. Margin requirements (zekerheidsstellingen of waarborgen) worden gewoonlijk door de POM's in rekening gebracht (volgens minima vastgesteld per aandeel, ... , door de EOE), niet door de FB's. Een POM bezet een zetel bij de EOE; in 1978 kostte zo'n zetel F1.25.000,--, tegenwoordig ongeveer een half mln.! • FB's ontvangen hun opdrachten niet alleen van POM's, maar soms ook van een Puhlic Order Correspondent Memher (POCM). De functie van een POCM doet sterk denken aan die

19


van een gewone POM: in ontvangst nemen van opdrachten vanuit het publiek, raadgeven aan beleggers, ... , maar er zijn verschillen: zo mag een POCM opdrachten niet rechtstreeks doorgeven aan een Floor Broker, maar hij/zij moet dat steeds via een POM doen.

• Market Makers (MM's): dit zijn leden die uitsluitend voor eigen rekening mogen handelen (die dus geen opdrachten vanuit het publiek mogen aanvaarden). Het behoort tot de taak van een MM de handel aan te zwengelen door het (luidkeels!; open outcry) bekend maken van zg. biedprijzen en laatprijzen waarvoor hij bereid is transacties aan te gaan (en de verplichting draagt minstens één zo'n verplichting metterdaad na te komen). Daarbij is een biedprijs (bid), vanzelfsprekend geredeneerd vanuit het standpunt van de MM, een inkoopprijs en een laatprijs (ask) een verkoopprijs. De marge laatprijs minus biedprijs biedt zowel een gedeeltelijke risico-dekking als de volle winst voor de MM. Een MM is verplicht om, op verzoek van EOE functionarissen, voor de hem toegewezen fondsen bieden laatprijzen af te geven. Per fonds zijn er doorgaans minstens drie MM's; de bedoeling is dat daardoor monopolies worden vermeden. Helaas zijn er in de praktijk wel eens omineuse fondsen, waar, althans tijdelijk, één MM de scepter blijkt te zwaaien. Door hun voortdurende (gedwongen) activiteit zorgen de MM's voor de liquiditeit van de markt. Momenteel zijn er tegen de tweehonderd MM's op de vloer werkzaam. • Off Floor Traders (OFT) handelen uisluitend voor eigen rekening (dus niet voor het publiek) en kunnen hun opdrachten slechts via FB's laten uitvoeren. Opgemerkt zij nog dat deze categorieën soms niet geheel los van elkaar staan. Zo zijn er Market Makers die tevens een seat (zetel) van Floor Broker bezetten. Tenslotte noemen we nog een belangrijk genus dat niet lid is van de EOE, maar employé:

• Order Dook Officials (OBO's). Zij houden, zoals de naam al zegt, het Order Book bij. Daarin komen o.a. de zg. gelimiteerde opdrachten voor, zijnde die orders van het publiek die vergezeld gaan van een door de opdrachtgever gesteld maximum (de limit bid van een "buy order"), dan wel

20


een minimum (de limit ask van een "sell order"). De OBO ziet er op toe dat deze orders, voor zover nog niet uitgevoerd, als eerste aan de beurt komen zodra de genoteerde optieprijzen daarvoor in aanmerking komen. We vatten bovenbeschreven taakverdeling op de vloer samen in het volgende plaatje, waarin de pijlen de richting aangeven waarin de opdrachten verwerkt worden.

opdrachten be 1eggers

beursvloer Buitenlandse

samenwerkingsverbanden

Er bestaat een intensieve samenwerking op het gebied van opties op edele metalen en valuta's tussen enerzijds de EOE en anderzijds Montreal Exchange (ME); Vancouver Stock Exchange (VSE); Sydney Stock Exchange (SSE). Daardoor wordt het mogelijk om 22 uur per etmaal (soms zelfs 24) transacties in goud, .... te laten uitvoeren. Men kan in A'dam goudopties kopen en die in Vancouver verkopen, ... (uiteraard volgens de locale voorschriften). Om deze samenwerking vlot te doen verlopen hebben de leden van de vier genoemde beurzen de bevoegdheid om op elkaars vloer te werken. Contracten kunnen zelfs in meerdere tijdzones verhandeld worden. Er is een toevoeging als "EOE-only" nodig om te maken dat een opdracht strikt binnen Amsterdam blijft.

21

22


Vervolgens een beknopt afdelingen van de EOE.

overzicht

van

de

belangrijkste

• Floor Operations: verleent service en houdt toezicht op de handel; bestaat voornamelijk uit de Order Book Officials; • Surveillance: voert strenge controle op alle handelingen ter beurze uit (vooral op die van grote omvang); rapporteert aan de afdeling • Compliance: die o.a. inzage in de administratie van alle beursleden heeft en waar ook het publiek terecht kan met klachten (meestal dat een POM niet attent genoeg over iemands belangen heeft gewaakt); de ontvankelijkheid van klachten is streng gereglementeerd; • Business Conduct Committee: kan disciplinaire maatregelen tegen beursleden nemen; er is een commissie van beroep. Positielimieten De EOE heeft voor elk zijner fondsen een position limit vastgesteld: een maximaal aantal contracten in één en dezelfde optieklasse dat één belegger of beurslid (of samenwerkende groep van beleggers of beursleden) aan de verkoopkant, dan wel aan de koopkant mag aanhouden. (Die verkoopkant bestaat uit alle lange calls en korte puts van de belegger, de koopkant uit de korte calls en lange puts; men spreekt ook van hausse kant = koopkant baisse kant = verkoopkant. Deze benaming is duidelijk: de haussekant 1s die welke profiteert van een koersstijging, de baissekant profiteert juist van een koersdaling. Men noemt deze onderscheiding het the same side of the market concept.) Zowel aan de koop- als aan de verkoopkant mag de positielimiet gebruikt worden. Deze limiet is bedoeld om het zg. "cornering" (beïnvloeding, monopolisering) van de onderliggende waarden door individuele beleggers of collectiva te voorkomen. (In economische termen is de Optiebeurs een prijsnemende en geen prijszettende instelling, d.w.z. dat zij geacht wordt geen invloed op de prijsvorming op de Effectenbeurs te hebben.)

Uitoefenlimieten


23

De exercise limit is het door de EOE vastgestelde maximale aantal contracten per klasse (met klasse wordt op de beurs bedoeld de totaliteit van alle opties, calls zowel als puts, op één en dezelfde ·onderliggende waarde, zoals alle RD opties, ... ) dat een individuele persoon, of een groep samenwerkende personen (waarmee zowel beleggers uit het publiek als beursleden bedoeld wil zijn) in een tijdsbestek van vijf op éénvolgende beursdagen mag uitoefenen. Net als positielimieten zijn deze uitoefenlimieten bedoeld om monopoliseringspogingen te verijdelen (subs. te bemoeilijken). OBO's hebben onder meer tot taak te controleren dat positieen uitoefeningslimieten niet overschreden worden. Contractgrootte Bij het plaatsen van opdrachten dient de belegger precies te weten hoeveel exemplaren van de onderliggende waarde per contract meetellen. Zo heeft elke aandelenoptie betrekking op honderd aandelen van de gespecificeerde soort. Als zekere call voor Fl.2,80 genoteerd staat bedenke men dat er een factor 100 bij moet, zodat men bij aankoop Fl.280,-- moet investeren. Hier volgen enkele contractgrootten aandelen obligaties goud zilver valuta's

100 aandelen per optie Fl.10.000,-- nominaal per optie 10 oz. goud per optie 250 oz. zilver per optie 10.000 ECU of$ per optie.

Marktgegevens Hier volgt de lijst per 1 januari 1987 van alle waarden waarvoor op de EOE opties verhandeld worden. Eerst de 18 aandelen: AANDELENOPTIES

naam Algemene Bank Nederland Aegon Ahold Akzo

symbool ABN

limiet 200

AGN AH

1000

AKZ

1000

500

24


Amev Amro El se vier Gist-Brocades Heineken Kon.Ned.Hoog.& Staalfabr. Kon.Luchtvaart Mij. Kon.Nedlloyd Nationale Nederlanden Philips Gloeilampenfabr. Kon.Ned.Petroleum Mij. Robeco Unilever Contractgrootten: 100 aandelen Vervalmaanden: JAN/ APR/ JUL/

1000 1000

AMV

ARB ELS GIS HEI HO KLM NED

200 1000 500 500 1000 200

NN PHI RD ROB UNI

2500 5000 5000 1000 1000

OCT

OPMERKING

Inmiddels zijn er ook opties Bührmann-Tetterode en Océ.

op

aandelen

Kon.

Papier,

LANGLOPENDE AANDELENOPTIES AKZ, KLM, PHI, RD, UNI

Vervalmaand: OCT 1991 Alleen gedekte korte calls! INDEXOPTIES EOE Aandelenindex, opgebouwd uit twintig fondsen die ook op de EOE verhandeld worden. Bij uitoefening 100 maal (Index minus uitoefenprijs) gulden (contante afrekening!). Men kan "monokini" gedekt schrijven via het EOE Index Fund (beheerd door AMRO). Maximale looptijd 1 jaar, zelfde vervalmaanden als aandelenopties. Binnenkort worden opties op de Amerikaanse MMI Index gelanceerd. OBLIGATIEOPTIES Negen populaire staatsleningen


25

per contract Fl.10.000,-- nominaal Vervalmaanden: FEB/ MEI/ AUG/ NOV (sommige lopen 2 jaar).

OPMERKING Sinds kort wordt op de Financiële Termijnmarkt Amsterdam (FfA), een volle dochter van de EOE, opties verhandeld op een obligatie-index, de zg. EOE-FTA Obligatie-Index. Deze is opgebouwd uit een achttal obligaties, die ook individueel als optie-vehikel optreden. EDELE METALEN Goud heeft het symbool GD en zilver SI (sterk afwijkend van de chemische notatie). De specificaties luiden: GD

SI

verve~lmnc·

FEB/ MEI/ AUG/ NOV

MAR/ JUN/ SEP/ DEC

contre~ctgr.

10 oz.

250 oz.

1i miet me~x.loop.

5000

10000

9 mnd

9 mnd

Sinds kort worden ook opties op platina verhandeld. VALUTAOPTIES type

symbool

f/gld $/gld

DOS

limiet

grootte

10000 DGX

25000

$

10000 $/DM

DMX

25000

$

10000 Ecu/$ 10000

XEC

25000

ECU


(Met bijv. $/DM wordt bedoeld: US$, genoteerd m Deutsche Mark.) Vervalmaanden: MAR/ JUN/ SEP/ DEC.

Procedures De EOE biedt twee mameren om een opdracht te verstrekken: • bestens (een market order) • gelimiteerd (een limit order). Een bestensorder moet zo vlug mogelijk worden uitgevoerd tegen zo gunstig mogelijke voorwaarden (laagste prijs bij inkoop en hoogste bij verkoop). Deze snelle uitvoering behoort tot het takenpakket van nde FB (Floor Broker). Aan een bestensorder zijn geen beperkende bepalingen opgelegd, wèl aan een gelimiteerde opdracht. Bij een gelimiteerde order geeft de opdrachtgever aan voor welk maximum hij/zij wil kopen of, bij een verkoop, welk minimum hij/zij wil handhaven. De bieden laatprijzen van de belegger zijn juist deze maximale aankoop-, resp. minimale verkoopprijzen. Wanneer de limietprijs van de belegger verschilt van de marktprijs die op dat moment geldt, dan wordt de opdracht niet uitgevoerd maar (bij de zg. GTC order, infra ) door een OBO geplaatst in het Order Book in afwachting van betere tijden. Een limietopdracht wordt derhalve niet uitgevoerd indien geldt:

26


27

biedprijs van belegger < laatprijs van MM, laatprijs van belegger > biedprijs van MM. Het verschil tussen bieden laatprijs mag een zeker gereglementeerd maximum niet overschrijden. Hoe groter de liquiditeit van de markt overigens is (d.w.z. hoe meer vraag en aanbod er aanwezig is), des te geringer is deze spreiding tussen bieden laatprijs, zoals gemakkelijk te begrijpen is. De gepubliceerde Market Quote is de hoogste bied- (de Dook bid) en de laagste laatprijs (de zg. Dook ask). In een normale situatie ligt de slotnotering (close) in tussen bid en ask; is dit niet het geval dan wordt in de Prijscourant een "a" (voor "ask = laat) of een "b" (voor "bid" = bied) toegevoegd. Bij het bereiken van de limietprijs hebben de opdrachten die liggen te wachten in het Order Book voorrang boven alle overige opdrachten met hetzelfde prijskaartje die op de vloer bekend zijn. Ook deze volgorde wordt gecontroleerd door de OBO's. Het Order Book zelf wordt chronologisch bijgehouden. Er zijn twee manieren om een gelimiteerde opdracht te verstrekken:

cancelled"

• als dagopdracht (day order) • als doorlopende opdracht of GTC order).

("good-till-

Een dagorder is een limietopdracht die niet onmiddellijk uitgevoerd kan worden (omdat de gestelde limiet niet gehaald wordt), maar die tegen slot automatisch komt te vervallen. Een doorlopende of GTC-opdracht blijft net zo lang in het Order Book tot zijn limiet wèl gehaald wordt (tenzij de afloopdatum voorbij zou gaan; dan komt de order natuurlijk te vervallen). Provisies De EOE heeft m1mma gesteld voor de kosten die een POM zijn elienten in rekening moet brengen (de POM mag wel hoger gaan, maar niet lager dan deze provisietarieven). Mede door deze transactiekostenregelingen wordt ongewenste concurrentie tussen commissionairs bemoeilijkt. Van de zijde van het publiek worden deze tarieven echter vaak als excorbitant ervaren. Tilburgse onderzoekingen over de

28


doelmatigheid van de Optiebeurs hebben aangetoond van stelselmatige winst op de beurs geen sprake is, doordat daarvoor de transactiekosten te hoog liggen. Makers ondervinden aanzienlijk lagere onkosten en wèl systematische winst boeken.)

dat er en wel (Market kunnen

Genoemde mmtma gelden slechts voor de eerste tien contracten; voor grotere aantallen is het tarief ter beoordeling door de POM. Deze minima zijn niet simpelweg een bepaald percentage van de optiepremie, maar worden ook beïnvloed door het aantal verhandelde opties, zowel als door de vraag of het om een opening- of een afsluitingstransactie gaat. Bij valutacontracten worden de provisies in de bijbehorende munt gefactureerd. Zekerheid ss tellingen Margin requirements worden verlangd als waarborg bij het schrijven (verkopen) van opties waarvan de schrijver de onderliggende waarden niet in bezit heeft. Dit heet ongedekt (of naakt ) schrijven. Bezit men de onderliggende waarde wèl, dan spreekt men van gedekt schrijven. Uit voorgaande grafiekjes blijkt zonneklaar dat men bij het ongedekt schrijven van calls, zowel als van puts, rekening moet houden met onbegrensde verliesmogelijkheden : de grafieken gaan onbegrensd vèr in ZO-richting.

Opmerkingen • Bezit men een (lange of gekochte) call op een waarde ABC met zekere afloopdatum en uitoefenprijs X en zet men daartegenover gelijktijdig een korte call op ABC met dezelfde afloopdatum, maar met een hogere uitoefenprijs X' > X, dan wordt die laatste geschreven call wèl als gedekt beschouwd. Deze situatie komt veelvuldig voor in een zg. spread. • Het verkopen van een put wordt altijd als ongedekt schrijven beschouwd. Immers, bij uitoefening zal de schrijver verplicht zijn de onderliggende waarde te kopen en daarbij speelt het geen enkele rol of hij/zij zich nu toevallig wel of niet in het bezit van die waarde verheugt.


• De handeling van het schrijven van een optie heet in beursargot open sell (het openen van een verkoop). Naakt schrijven heet wel eens naakt kortgaan. Welnu, bij het ongedekt schrijven wordt van de schrijver steeds een zekere waarborg verlangd, zekerheidsstelling of margin re q u i rement genoemd, teneinde een correcte afwikkeling van het contract tot op zekere hoogte te garanderen. Die zekerheidsstelling dient steeds betaald te worden vóór de open sell. De grootte van die dekking wordt bepaald volgens de volgende margin formule van de EOE zekerheidsstelling = callprijs + (2S - X).perc zekerheidsstelling = putprijs + (2X - S).perc Daarbij • • •

cr, tijd

is S: koers onderliggende waarde X: uitoefenprijs van de optie call- resp. putprijs: de gepubliceerde marktprijs van de optie • perc: een door de EOE per fonds vastgesteld percentage (meestal tussen 10% en 40% ), waarin o.a. de volatiliteit van de onderliggende waarde een rol speelt; hoe groter des te groter perc. Deze percentages, die van tijd tot herzien worden, worden regelmatig door de EOE gepubliceerd.

In het begin van de EOE werd een ander stelsel voor de berekening van margin requirements gevolgd. Iedere dag stuurt de EOCC een Members, waarin de door een zekerheden vermeld staan. berekend aan de hand van het de optieprijs.

margin report naar de Clearing Clearing Member aan te houden Deze dekking wordt telkens slot van de vorige dag, alsmede

Als een POM wordt geattendeerd op een onvoldoende margin op de rekening van een cliënt, dan staan hem niet veel prettige wegen open: hij kan of de cliënt verzoeken margins bij te storten, of de positie van die cliënt zover te liquideren dat voor het overblijfsel wel aan de zekerheidsnormen is voldaan.

29


Aanwijzing Stel een optiehouder is zinnens zijn recht uit te oefenen. Aangezien er, zoals reeds eerder opgemerkt, geen rechtstreeks contact bestaat tussen koper en verkoper, is het niet duidelijk wie de houder als schrijver moet aanspreken om dit recht uit te oefenen. Immers, het was ede Clearing die als tussenpersoon optrad. Welnu, het is ook de Clearing die de schrijver die aan zijn/haar verplichtingen moet voldoen, aanwijst. De ESCC/IOCC zal, bij het ontvangen van het bericht dat zekere houder zekere optie wil uitoefenen, eerst nagaan welke schrijvers een identieke optie hebben verkocht. Daarna vindt een loting (een door het toeval beheerst proces, ook wel at random genoemd) plaats onder deze schrijvers. Het slachtoffer wordt van de uitslag prompt in kennis gesteld en zal binnen zeker tijdsbestek aan zijn verplichting tegenover de houder moeten voldoen. Deze kennisgeving heet aanwijzing of assignment. Het tijdstip van kennisgeving door de houder aan zijn/haar POM moet vallen vóór de zg. exercise-cut-off-time , die van POM tot POM kan verschillen, maar meestal valt op 14.00 van de derde vrijdag van de afloopmaand. Beleggers dienen dit tijdstip goed in de gaten te houden! In werkelijkheid gaat alles een tikkeltje ingewikkelder. We geven eerst het schema waarmee de aanwijzing in gang wordt gezet, doordat de houder de wens daartoe te kennen geeft: SCHEMA UITOEFENING

u1toefen1ngsopdracht ESCC/IOCC

(aanw1 j z1 ngsprocedure)

30


Als de aanwijzingsprocedure eenmaal in gang is gezet verlopen de gebeurtenissen a.v.: AANW IJZ I NGSPROCEDURE bericht van uitoefening

loting van Clearing Member CLEARING MEMBER loting van POM schrijver lotinQ van schrliver of FIFO

Hierin is FIFO een afkorting van first in- first out. Openen en sluiten van posities Hoe verricht men een openingskoop, een openingsverkoop, een sluitingskoop, een sluitingsverkoop, .. . ? Allereerst de beursterminologie: OB = Opening Buy = openingskoop OS = Opening Sell = openingsverkoop CB = Closing Buy = sluitingskoop CS = Closing Sell = sluitingsverkoop. (Strikt genomen moet telkens "sale" i.p.v. "sell" gebruikt worden.) Het is van groot belang met deze termen vertrouwd te zijn, aangezien zij gebruikt worden bij het verstrekken van opdrachten aan de POM's, waarbij gauw funeste fouten kunnen insluipen. Het schema is heel eenvoudig:

31


KOPEN OPENING SLUITING

32

VERKOPEN

open1ngskoop open1ngsverkoop sluH1ngskoop sluH1ngskoop

Klaarblijkelijk is een • openingstransactie het creëren van een open posttte; • sluitingstransactie het liquideren van een open positie; • OB een transactie waarbij door het kopen van enkele opties de lange kant van een positie aangroeit; • OS een transactie waarbij door het verkopen van één of meer opties een short positie wordt vergroot; • CB een transactie waarbij een korte positie wordt beëindigd of verkleind door het terugkopen van één of meer vroeger geschreven opties; • CS een transactie waarbij een belegger zijn/haar lange positie zo niet beëindigt, dan toch verkleint door het verkopen van één of meer opties uit zijn/haar portefeuille. Deze transacties verlopen alle vanuit de belegger via zijn/haar POM.


3. OPTIESTRATEGIEEN We beginnen met het stelselmatig opbouwen van een aantal klassieke optieposities. De nadruk zal daarbij gelegd worden op een begripsmatige ontwikkeling, steunend op grafische voorstelingen van de winstmogelijkheden, veeleer dan op een repertorium aanpak. Al spoedig zal blijken dat de optievaktaal veelal versluierend, en soms zelfs mystificerend werkt, maar dat de plaatjes veel verduidelijken. De raison d'être van optiestrategieën is: door handige combinatie van lange of korte calls en puts ontstaan allerlei risico/rendementsituaties, waarvan sommige voor een belegger op een bepaald moment zeer profijtelijk kunnen blijken. Deze theoretische voordelen worden echter tegengestreefd (en soms zelfs geheel opgeheven!) door de vrij hoge transactiekosten die met elke opening en sluiting van posities zijn gemoeid. Het vergt een nuchtere kijk op deze praktische moeilijkheden om zich niet al te enthousiast door theoretische manceuvres te laten meeslepen. De lange call en put, alsmede hun korte versie, zijn reeds erder ter sprake gekomen. We geven de plaatjes volledigheidshalve hier nog eens, dit keer aangevuld met een formule voor de winstpotentialen. Daarbij bedienen we ons van de volgende compacte schrijfwijze voor de zg. plusfunctie:

voor een willekeurig getal a duidt a+ het volgende getal aan: als a niet-negatief is, dan is a+ gewoon a zelf, maar is a negatief dan staat a+ voor nul. Kortweg a

als a> 0

a+= 0 als a< 0. Anders gezegd, als we voor twee getallen a en b met max (a, b) het grootste van die twee aangeven, dan is eenvoudigweg a+ = max (a, 0).

31h


Een uitdrukking als (S* - X)+ betekent derhalve S* - X als dit > 0 uitvalt en = 0 anders. Als functie van de eindkoers S* (notatie als in vorig hoofdstuk) ziet deze "plus-functie" er a.v. uit: W*

S* de "plusfunct1e" W*= max (S*-X)

Dit is een fundamentele uitdrukking in de theorie van de opties, met als financiële betekenis de zg. intrinsieke waarde van een call op de afloopdatum. (Aangevuld met de tijdswaarde van de call vormt de huidige intrinsieke waarde juist de callprijs.) Merk op dat de grafiek een knik vertoont, i.t.t. de grafiek van de lineaire functie S*-X van S*. Vermenigvuldigingsfactor We zullen voortdurend formules opstellen voor de winst (of het verlies) W* van een bepaalde positie (met Europese opties) op de einddatum. Daarin zal de plus-functie vaak optreden. Bedacht moet daarbij worden dat elke aandelenoptie steeds betrekking op HONDERD exemplaren van dat aandeel heeft. De in formules en tekeningen figurende W*'s moeten daarom steeds met 100 vermenigvuldigd worden om de juiste winst/verliesbedragen te verkrijgen! We brengen in herinnering

32C


-p

lange call

lange put

W*= max (5*-X,O)-c

W*= ma x (X-5*, )-p

Kenmerken:

koersstijging verwacht beperkt risico onbegrensde opbrengst

koersdaling verwacht beperkt risico forse winstmogelijkheid.

Vervolgens willen we de ongedekte, zowel als de gedekte, korte call portretteren. We beginnen met de ongedekte, omdat die erg eenvoudig is: W*

c + - - - - -...... 5*

korte ongedekte call W* = c - max (5* - X)

Kenmerken:

33


weinig vertrouwen in de markt onbeperkt risico maximale winst = ontvangen callprijs. Hieruit leiden we de grafiek van de gedekte call af op een manier die fundamenteel is voor de meeste van dit soort plaatjes: de gedekte korte call vatten we op als een positie bestaande uit twee dingen: een ongedekte korte call (als zoëven) en een lang aandeel. Hier volgt het algemene recept, dat in het volgende herhaaldelijk zal worden toegepast.

Constructie

van

samengestelde

grafieken

De gevraagde grafiek ontstaat dan als "resultante" van de grafiekjes van deze twee onderdelen. M.a.w., we moeten van beide deelgrafieken de "som" tekenen. Dat gaat het snelste a.v.: maak eerst een tekening van beide losse grafieken in één plaatje. Zoek dan op de snijpunten van één van die grafiekjes met de horizontale as. Recht onder of recht boven zo'n snijpunt zoeken we het punt op van de andere grafiek. Als we dit punt eenmaal gevonden hebben weten we: dit punt is een punt waar de gevraagde grafiek doorheen gaat. Als we op dergelijke wijze een paar punten van de gezochte grafiek bepaald hebben, is het meestal erg envoudig de hele grafiek te tekenen. Immers, we weten dat de gezochte grafiek opgebouwd is uit een paar rechte lijnstukjes, die telkens aan elkaar moeten aansluiten.

lang aandeel

"

/

/ /

'

korte ongedekte call

'

Het resultaat van deze zg. superpositie ziet er a.v. uit:


lang aandeel /

'\.

korte ongedekte call

'

korte gedekte call W* =c- max (5*-X,O) Hadden we ineens het eindresultaat getekend, dan was er gekomen, wat nogal onbegrijpelijk was!

34


35

W*

c S*

korte gedekte call W* = c - max (S* - X, 0) Kenmerken: korte gedekte can weinig vertrouwen in de markt forse, maar begrensde risico's maximale winst = ontvangen callpremie. Vervolgens nogmaals de korte put (altijd ongedekt!): W*

p -

S*

korte put = p- max (X- 5*, 0)

W*

Kenmerken:

licht pessimisme over markt forse verliesmogelijkheden


36

maxtmum winst = ontvangen premie. We wijzen op de volgende symmetrieën:

korte ongedekte put

lange put

Cl-----~

-c----"" kor~e

ongedekte call

re sul taat:n1 h11

re sul taat:n1 h11

Beide getekende posities zijn gelijkwaardig met die van de lege portefeuille. SPREADS

Een spreiding (spread) is een posztze die ontstaat door gelijktijdig twee tegengestelde transacties te ondernemen in hetzij alleen calls, hetzij alleen puts en wel op één en dezelfde onderliggende waarde. Onder tegengestelde transacties wordt hier bedoeld: kopen vs verkopen. We onderscheiden een korte (verkochte) en een lange (gekochte) kant van zo'n spreiding. Aan elke kant staat of één call, of één put op eenzelfde fonds. (Dit zou men elementaire spreidingen kunnen noemen en onder een spread een positie met meerdere opties aan de korte en de lange kant bedoelen; dit doen we bijv. bij variabele spreidingen.) Derhalve kunnen de opties aan weerskanten van de spread uitsluitend verschillen in de volgende kenmerken: kort en lang zijde hebben verschillende afloopdata: men spreekt van een


time spread, of calendar spread, of tij dspreiding, of horizontale spreiding; uitoefenprijzen: price spread, of prijsspreiding, of vertical spread; afloopdata EN uitoefenprijzen: diagonal

spread.

Er bestaan ook ratio spreads, butterfly spreads, sandwich spreads, ... , maar zo gedetailleerd kunnen we hier niet te werk gaan. Een call spread bestaat dus uit een gekochte (of lange) call en een verkochte (of korte) call, beide op één en dezelfde onderliggende waarde. Een putspreiding bestaat uit een lange en een korte put. Een spreiding heet bullish (of à la hausse) als zij pas profijtelijk wordt als de koers van de onderliggende waarde zal gaan stijgen, en bearisch (of à la baisse) als die koers zal dalen. De benaming horizontaal, verticaal en diagonaal voor spreidingen is afgeleid van de wijze waarop in de Amerikaanse pers optiekoersen worden gepubliceerd. Hier volgt een schema à la Wall Street Journal:

37

38


8fl(J()pffiiJ8ntl uitfJf/flnprijs

ABC® ABC 40 ABC 50

JAN APR 11

4 1

12 6 2

@9 @ 7 @)

verticale call spre1d1ng

De uitoefenprijzen staan horizontaal gerangschikt en de afloopmaanden verticaal. Een horizontale spreiding heeft daardoor betrekking op verschillende afloopdata, maar dezelfde uitoefenprijs. Voor een verticale spreiding is de ene optie van dezelfde afloopmaand als de andere, maar hebben zij verschillende uitoefenprijzen. Opgemerkt zij dat in de Nederlandse koersenpublicaties de uitoefenprijzen juist horizontaal plegen te staan en de data verticaal. De benamingen "horizontale spreiding" en "verticale spreiding" zouden daardoor verwisseld moeten worden, ware het niet dat niemand dit in zijn/haar hoofd zal halen. In de Linnreus-achtige systematiek van de optievloer worden bovenstaande termen gecombineerd tot omschrijvingen als bearisch vertical put spread of bullish horizontal call

spread. We gaan deze postttes tekenen; eindresultaten steeds wat dikker dat deze resultaten niet meer uit dat het duidelijk is hoe zij door ingrediënten zijn ontstaan.

daarbij worden de gezochte aangegeven. Gehoopt wordt de lucht komen vallen, maar superpositie uit de gebruikte


lange call met lage X

-c

1

korte call met hoge X bull1sh vert1cal call spread Het is duidelijk te zien dat er verlies optreedt bij lage koersen en winst bij hoge. De positie is daarom à la hausse. Men spreekt ook wel van een hausse spread (een taalkundig monstrum!). Kenmerken: bnl!RHslht

vertD.cal

can

Sjplreadl

matig optimisme over koersstijging beperkt risico beperkte winstmogelijkheid.

39


W* = C2- Cl + (S* - Xt)+ - (S* - X2)+ Zo'n buil spread wordt graag ingenomen door een belegger die een kleine koersstijging van het aandeel verwacht, maar daar toch niet al te zeker van is en er niet al te veel geld aan wil spenderen.

Dezelfde kenmerken gelden voor een verticale putspreiding:

40


korte put met hoge X

lenge put met lege X

bu111 sh vert 1cel put spreed

In beide gevallen is de winst gemakkelijk uit te rekenen (door nl. de winst/verliesuitdrukkingen voor beide bestanddelen op te tellen).

Vervolgens bekijken geldspreidingen à la baisse.

41

42


W* lenge c~ll met hoge uitoef enpr1 j s

S* -('

2

korte cell met lege uit n~f ~npr1 j s beer1 sh vert 1cel cell spreed W* =Cl- c2- (S*- Xt)+ + (S*- X2)+ hoogste winst: Cl - c2 ergste verlies: Cl - C2 + X1 - X2 Kenmerken: lbeariisllll

verdcaA

caB

spread!

nogal pessimitische marktvisie beperkt risico (zie ergste verlies) beperkte opbrengst (zie hoogste winst).


Vervolgens doen we het analogon met puts:

43


W*

korte put met la e X

-p 2

I

lange put met hoge X bear1 sh vert 1cal put spread

winst korte put "1" = Pt - (Xt - S*)+ winst lange put "2" = (X2- S*)+- P2 W* = Pl- P2 - (Xt - S*)+ + (X2- S*)+ Erg populair zijn voorts de variabele spreidingen, tegenover één kant met een enkele optie een overkant staat met meerdere opties. Zo is er vaak sprake van een ééntweetje, waarmee bedoeld is dat tegenover elk lang contract twee korte contracten staan. Een één-drietje zit analoog in elkaar.

44


W*

2c

2

-c 1

·n Een-tweetje

2 korte cBlls met hoge X

Deze call spread wordt gekenmerkt door een matig haussisme; de opbrengst is beperkt, maar het nstco onbeperkt (althans naar rechts; bij lage koers blijft het verlies beperkt). De korte kant dient om het risico te beperken, de lange kant om de prognose in klinkende munt om te zetten. Een één-tweetje met puts is ook heel populair. Lang staat een put met hoge X, terwijl aan de korte kant twee puts met lage uitoefenprijs zijn te vinden. Dit keer is het verlies beperkt aan de hoge kant van de koersas, maar vrij fors voor lage koerswaarden. De winst vertoont een top tussen de twee

45

46


uitoefenprijzen in. Het is een nuttige oefening de winstgrafiek van deze positie te tekenen! Veranderlijke back spreads in calls en dito's in puts zijn spreidingen met meerde korte opties tegen elke lange. Call back spreads zijn geschikt voor optimisten en put back spreads voor pessimisten. Beide soorten dragen een beperkt risico en onbegrensde winst met zich mee. Een andersoortige spreiding is de Vlinderspreiding Een typische butterfly spread bestaat uit vier puts waarvan er twee lang zijn en verschillende uitoefenprijzen Xl en X3 hebben (met, zeg X 1 < X3) en de twee andere kort (en natuurlijk ongedekt!) zijn en van dezelfde uitoefenprijs X2, daar tussenin gelegen. Er geldt dus Xl <X2<X3. Het winst- en verliesplaatje ziet er a.v. uit:

W*

2 korte puts met tussen X

S*

-r 1 1ange put met hoge X

vtinderspreiding Kenmerken: Alleen de naaste omgeving van X2 is profijtelijk. Als een belegger een rustige periode voor de onderliggende waarde


verwacht en slechts een beperkt risico wil dragen, dan biedt een vlinder met middelste uitoefenprijs in de buurt van de huidige koers (de korte calls zijn dan at- t he-money) uitkomst. Het opstellen van een formule voor W* laten we aan de aandachtige lezer over. Het eindresultaat luidt: W* = c2 - cl - c3 + (S* - Xl)+ + (S* - X3)+ - (S* - X2)+. Time

spreads

Totnogtoe hebben we alleen spreidingen bekeken waarvan de korte en de lange kant verschillende uitoefenprijzen hebben, maar wier afloopdata samenvallen. Dit waren dus alle price spreads (alias geldspreidingen). Voor tijdspreidingen zijn de plaatjes veel ingewikkelder. Zij bestaan niet meer per sé uit rechte lijnstukjes, maar veelmeer uit krommen . Dit komt uiteraard omdat er op de eerste vervaldag een optie minder overblijft, terwijl we van de resterende optie OP DIE DAG moeten weten wat zijn opbrengst op de laatste vervaldag zal zijn. Dit is wel wat anders dan bij prijsspreidingen! Immers, daarvoor konden we de afloopsituatie met het grootste gemak in kaart brengen. Om op genoemd tussentijdstip een eindtoestand te evalueren hebben we een mode I voor het optiegedrag nodig. Het klassieke model is dat van Black en Scholes. De theorie van zulke horizontale spreidingen is grotendeels gebaseerd op het BS-model en daardoor een heel stuk ingewikkelder dan de voorafgaande. Volledigheidshalve geven we een (erg primitief) plaatje:

47


van de waarde van en horizontale spreiding met een lange en een korte call, als functie van de eindkoers S*. Merk op dat deze spreiding zich van bullish naar bearish ontwikkelt als beide calls in-the-money komen. Ook voor horizontale spreidingen is vanzelfsprekend de onderscheiding in bullish en bearish geldig, evenals die in call- en putspreidingen. Conclusie • Spreads zijn opgebouwd uit opties van één en dezelfde klasse en type (alleen calls Philips, alleen puts KLM, ... ), waarvan een aantal gekocht en een aantal lang is. M.a.w. men koopt calls op een onderliggende waarde en schrijft daar gelijktijdig calls op met een andere afloopmaand en/of uitoefenprijs. Dito voor put spreads. • Het idee is dat een positie met lange calls onbeperkte winstmogelijkheden biedt en één met puts zeer grote. Door daartegenover opties te verkopen worden de investeringen beperkter, zodat ook het

48


nstco afneemt. Natuurlijk wordt hierdoor de maximale winst ook beinvloed. • Diagonale spreidingen zijn een mengvorm van horizontale (tijdspreidingen) en verticale (geldspreidingen). • In het algemeen leveren spreidingen beperkte winstmogelijkheden, maar ook het risico blijft beperkt. Er is supra geen rekening gehouden met provisies en kosten. Gezien de vrij beperkte winstcapaciteit drukken deze transactiekosten vrij zwaar op het rendement, terwijl zij bovendien het risico proportioneel sterk beïnvloeden. Boxes Lange dozen zijn optiestrategieën die op de beursvloer aangeduid worden door long boxes. Zo'n box (alias "doos") is een positie die in de VS hoofdzakelijk uitgedokterd is als reactie op een beslissing van de IRS (lnternal Revenue Service = Belastingdienst) uit 1977 over de fiscale afwikkeling van een bepaal;d soort spreads. Een belangrijk aspect van het optiegebeuren, nl. de al eerder aangehaalde herverdeling van risico en rendement tussen koper en verkoper van een optie, ontbrak derhalve in dfe oorspronkelijke opzet van boxes. Achteraf is er alsnog een profijtrechtvaardiging naar voren gekomen, waardoor dozen ook bij ons (met een geheel ander fiscaal regime) van belang zijn. Dozen zijn vooral populair onder Market Makers, maar zij verheugen zich in een groeiende belangstelling van het beleggend publiek. Vandaar dat zij hier niet ontbreken mogen. Zowel een "lange" (= gekochte) doos als een "korte" (= verkochte) wordt gekenmerkt door prognose: winst:

het aandeel blijft kalm beperkt, maar vantevoren

bekend verwachting: actie:

koersverloop geen invloed belegger geheel passief.

Dit laatste doet sterk denken aan de fameuze zwarte doos en staat in schril contrast met de meeste andere optiestrategieën, die voortdurend aandacht en optreden van de belegger vergen. Zo'n box heet daarom wel een locked trade ( een

466


afgegrendelde positie). Een gekochte doos heet ook wel een conversion, terwijl een verkochte box een reversal vaak wordt genoemd. (Conversie = omzetting, reversie=terugzetting.) Een probleem bij korte dozen is echter dat de houder van een verkochte optie voortijdig kan (en soms wil) uitoefenen, waardoor de hele strategie op de helling komt. Een box is opgebouwd uit een aantal spreads. We gaan een fictief voorbeeldje bekijken voor zeker aandeel ABC, dat vandaag Fl.55,-- noteert. Enkele van zijn januariopties kosten call 50: 7, put 50: 1, call 60: 2 en put 60: 5,5. We vormen nu met die JAN-opties (de tijd blijft vast,dus we spreiden het geld!) de volgende box spread (waarbij met "uitgifte" een compacte uitdrukking voor "uitoefenprijs" bedoeld is en onder "afstand uitgiften" het verschil (de basis) tussen de uitoefeningsprijzen, dus de maximale winstmogelijkheid, in één en dezelfde spreiding) koop een call hausse spread lange 50 call korte 60 call

koop een put baisse spread

7 2

investering calls 5 4,5 afstand uitgiften 10

lange 60 put korte 50 put

5,5 1

kosten puts afstand uitgiften 10

Totale investering van doos 9,5. Om te begrijpen wat er gaat gebeuren maken tekening. De twee spreidingen zien er a.v. uit

we een


lange 50 call

korte 60 call call hausse spre1d1ng


korte 50 put

1Bnge 60 put put bB1 sse sprei d1 ng

De maxima voor winst en verlies zijn in beide gevallen weer gemakkelijk te berekenen. Voor de box spread resulteert hieruit het volgende plaatje

48.1

49


W* call spread

à la hausse

S* put spread à la baisse lange doosspreiding

De belegger heeft er geen omkijken naar! Wat er ook moge gebeuren, zijn winst staat van meet af aan vast. Voor gewone stervelingen ligt hier echter geen geldmachine te wachten: de bijbehorende transactiekosten zijn voor hen te hoog. Market Makers genieten echter een veel gunstiger tarief. Vanuit theoretisch oogpunt is er bij zo'n winstgevende doos eigenlijk sprake van arbitrage: het risico-loos creëren van geld. Dat is in strijd met het alom aanvaarde principe dat arbitrage niet mogelijk is (of hoogstens tijdelijk, doordat zich bij volledige informatie over alle marktgebeurtenissen al snel een evenwichtstoestand voordoet). Zoals net gezegd, treden de transactiekosten als wrijvingsmiddel op.


Deze conversion is een uitstekend instrument om te gebruiken als de markt "uit evenwicht" is, doordat er grote vraag naar calls is en er vooral puts in de aanbieding zijn. Vervolgens gaan we op weg naar een andere klassieke optiestrategie, de zg. combination. Daar is allereerst de straddle een speciaal geval van.

Straddles "To straddle" betekent "wijdbeens staan" en de naam is goed gekozen voor de volgende positie: of een lange call en een lange put; of een korte call en een korte put. Wat is het nut van zoiets? Stel de onderneming ABC lanceert publiekelijk een groot en groots project (bijv. een technologische doorbraak, een massale investering, een overname, ... ). Het resultaat zal naar alle waarschijnlijkheid of een groot succes, of een reuze flop worden. Kunnen opties hier iets uitrichten? Het is niet te zeggen of de koers omhoog, dan wel omlaag zal gaan. De enige zekerheid is dat de koers met grote kans een sterke fluctuatie zal ondergaan. In optietermen: het aandeel ABC zal een grote volatiliteit vertonen, hetgeen meebrengt dat de koers ABC met grote kans zal vallen buiten een intervalletje om de huidige koerswaarde. Bekijk nu het volgende plaatje van een gekochte call en een gekochte put, met dezelfde afloopdatum, en (gemakshalve even) als gemeenschappelijke uitoefenprijs juist de huidige koers S (dus X= S). Een optie met als uitoefenprijs (ongeveer) de huidige koerswaarde wordt overigens at-the-money genoemd (een term ontleend aan de paardenraces.) Plaatje:

50

51


W*

-c=-p~------~~~,.~----------

lange call

lange put

dal of lange straddle

(Gemakshalve hebben we verondersteld dat de call en de put evenveel kosten. Dat is in de praktijk vrijwel nooit het geval. Er bestaat wel een nauw verband tussen c en p, geleverd door de zg. cali/put pariteit, iets, waarover later meer gezegd zal worden.) Bekijk de twee snijpunten van de straddlegrafiek met de koersas. Zij vormen de eindpunten van een intervalletje dat mooi symmetrisch om de huidige koers S = X is gelegen. Wegens de (verwachte) grote volatiliteit s is de kans groot dat de eindkoers S* buiten dit interval zal liggen. Maar dan zitten we of lings van het linker snijpunt, of rechts van het rechter. In beide gevallen komt de dikgetrokken winstlijn boven de as uit, hetgeen positieve winst betekent. We zijn dus naar twee kanten gedekt: de lange call wordt actief bij grote koersen (en dan is de lange put waardeloos) en de lange put verzekert een profijt als de koers scherp daalt (en dan is de call waardeloos). Gezien de vorm heet deze straddle een bottorn straddle (of dalstraddle). De winstformule is a.v. af te leiden: winst gekochte call = (S* - X)+ - c winst gekochte put = (X - S*)+ - p W* = (S* - X)+ + (X - S*)+ - c - p.

52


Dit kunnen we ietwat vereenvoudigen door de schrijfwijze voor de absolute waarde van getallen te gebruiken. Voor een getal a is lal gedefiniëerd door lal = a als a > 0 & lal = -a als a < 0, terwijl natuurlijk 101 = 0. Het verband tussen I . I en max (., 0) is lal =a+ + (-a)+, wat we aan een voorbeeldje kunnen verifiëren: voor a = +6 is 1+61

= (+6)+ + (-6)+ = 6 + 0

en dat klopt, terwijl voor een negatief getal als a = -5 geldt 1-51

= (-5)+

+ (-(-5))+

=0 + 5

en ook dat is OK. Voor a= (S* - X)+ is dan W* =IS*- XI - c- p. Deze uitdrukking hangt slechts af van de absolute waarde van het verschil tussen koers en uitoefenprijs, hetgeen in averenstemming is met het uitgangspunt voor een straddle dat we niet a priori weten welke richting de koers uit zal wijken.

Nazorg

dalstraddle

In de praktijk gebeurt het vaak dat een turbulent aandeel inderdaad bizarre koersfluctuaties laat zien. Hierdoor gaat een straddle in korte tijd punten winnen, om die daarna weer even vlug te verliezen. Het is vaak onverstandig om de straddle niet aan te passen aan de nieuwe omstandigheden. Men spreekt van follow up (nazorg): als de koers klimt gaat de houder de straddle omhoogrollen door de positie te liquideren (CS: sluitingsverkoop) en de opbrengst te investeren in een nieuwe straddle met hogere uit oefenprijs (OB: openingskoop); als de koers daalt gaat de houder terugrollen door de straddie weer te verkopen, maar nu een nieuwe te kopen met lage re uitoefenprijs. In beginsel zou deze nazorg voortdurend moeten plaatsvinden. Er is echter een duidelijke begrenzing aan deze follow up gesteld: iedere handeling op de EOE vergt forse transactiekosten en een herhaalde nazorg gaat al gauw duur uitvallen. De kunst is dan ook om met de nodige


zelfbeheersing vast te stellen welke koerswijzingingen van meer blijvende aard zijn en welke niet. Ervaren beleggers ontwikkelen een Fingerspitzengefühl voor de noodzaak al of niet corrigerend op te treden. Nu de omkering

van zo'n dalstraddle ("duale positie")

Stel er is reden om te vermoeden dat de aandelenkoers van onderneming ABC de eerstvolgende tijd slechts geringe fluctiaties zal tonen. (Zoiets komt nogal eens voor als de eerste berichten van een dreigende overname geluwd zijn.) Dat betekent de prognose dat ABC een tijdje een lage volatiliteit zal hebben. Anders gezegd, de kans dat de koers blijft steken in een gegeven klein intervalletje dat symmetrisch ligt om het huidige koerspeil, is vrij groot. Welnu, als we de grafiek van de dalstraddle spiegelen t.o.v. de horizontale as, krijgen we zoiets als

en we hopen op een soort top straddle. Economisch is dit gemakkelijk te verwezenlijken: verwissel de handelingen "kopen" en "verkopen". Hier volgen de details van deze "dualisering":

53


54

W*

p

S*

korte call top straddle W*=c+p-IS*- XI

'\

We zien inderdaad het beoogde interval [A,B] optreden, waarin de koers met grote waarschijnlijkheid zal blijven steken. Een iets andere, maar voor de hand liggende, kijk op straddles blijkt uit de volgende Strategie

straddles

Het geschikte markt de voOVERSCHAT.

verkopen van een top straddle is een strategie als men van mening is dat de latiliteit van de onderliggende waarde

Het kopen van een dal straddle is een geschikte strategie als men van mening is dat de markt de volatoliteit van de onderliggende waarde ONDERSCHAT. In zekere zin zijn straddle transacties dus handel in volatiliteiten. De schrijver van een straddle levert de houder een verzekering tegen forse tegenslagen in onbekende richting . Als de houder de volatiliteit overschat heeft, betaald hij (al dan niet graag) méér voor die verzekering dan strikt nodig is (maar dat blijkt pas achteraf), en dat wordt door de schrijver in dank afgenomen.


De aangeduide winstformule wordt op de zo langzamerhand bekende wijze afgeleid.

Classificatie Een straddle is geen spread: bij een straddle is sprake van een call èn een put, maar een spreiding bestaat alleen uit calls of puts. Een straddle is een bijzondere combination (aanstonds).

Combinations Heel populair is de COMBINA TION: een positie bestaande uit een call en een put op één en hetzelfde aandeel, die allebei of gekocht, of verkocht zijn (zonder overige restrictie op expiratie en/of uitoefenprijs). Inderdaad zijn straddles bijzondere combinaties (waarbij beide opties dezelfde T en X hebben). Straddles zijn zelfs de meest populaire combinations. In navolging van het gebruik bij spreidingen spreken we over horizontale combinaties of prijscombinaties als de opties dezelfde afloopdatum, maar verschillende uitoefenprijzen hebben. Bij verticale combinaties is natuurlijk sprake van verschillende expiraties, maar gelijke uitoefenprijzen: het zijn tij dscombinaties. Tenslotte hebben de opties in een diagonale combinatie ongelijke T's en ongelijke X'en. Ook nu weer zijn de verticale- of prijscombinaties het gemakkelijkste. Alweer om picturale redenen onderscheiden we dalcombinatie = gekochte combinatie, bergcombinatie = verkochte combinatie. Het verschil met bovenstaande straddles is wel dat de combinaties i.h.a. geen scherpe pieken of dalen vertonen, maar plateaux voor hun maxima (topcombinatie) en minima ( dalcombinatie ). We noteren steeds Xe en Xp voor de uitoefenprijs van een optredende call, resp. put.

55


56

W*

lange call met hoge X

-p~--~~------------

-c

lage X dal verticale combinatie We hebben hier de put met lage Xp en de call met hoge Xe gekocht. We hadden ook de call met lage X en de put met hoge X kunnen kopen, maar dat was iets duurder uitgevallen. Kenmerken van deze combinatie of lange strangle: • zowel geschikt à la hausse als à la baisse (allicht, want bestaande uit spreads die het één zowel als het ander zijn); • beperkt risico (maar over lang traject van koers waarden); • forse, doch begrensde winst bij koersval; • onbeperkte winstmogelijkheden bij koersstijgingen.


Een korte combinatie (of short strangle) heeft schematisch het volgende uiterlijk:

Deze positie bestaat uit twee korte spreidingen, een call spread en een put spread. Details lijken na het voorafgaande nog nauwelijks nodig. Wel zij men bedacht op de zekerheidsstellingen die door de EOE via de POM worden verlangd. Ook kan de strategie voortijdig sneuvelen doordat één der opties uitgeoefend moet worden. Het verschil met de voorafgaande straddle is nu duidelijk: de scherpe uiterste waarde van een straddle (berg of dal) wordt in de strangle uitgerekt tot een plateaux van maxima of minima. Vele van de hierboven opgesomde motieven om een lange, dan wel een korte straddle in te nemen (lang: grote verwachte volatiliteit, kort: kleine volatiliteit) gelden onveranderd voor het kiezen van een combination. Door de grotere vrijheid in de opbouw van zo'n strangle is het meestal mogelijk om met conbinaties een iets betere risico/rendementsverhouding te verkrijgen dan met straddles.

57

3. NIEUWE PRODUCTEN De EOE blijkt zeer inventief in het ontwikkelen, subs. overnemen vanuit AMEX en Londen, van nieuwe producten. Zeer onlangs werden de opties op de edele metalen goud (GD) en zilver (SI) uitgebreid met calls en puts op platinum (PA). In dit hoofdstukje behandelen we beknopt • indexopties • guldenrentecontracten • gasolieopties. INDEXOPTIES Zoals de naam zegt, zijn dit opties die betrekking hebben op een inde x. In het onderhavige geval is dit de E 0 E Aandelenindex. Begonnen moet worden met een toelichting over indexfondsen, waarna de bedoeling en de mogelijkheden van indexopties aan de orde kunnen komen. En wat heeft het EOE Dutch Stock Index Fund er mee te maken? Kortgezegd is een index een indicator van de beurswaarde van een sector (of een groep van sectoren, of zelfs het gehele beursspectrum). Nauwkeuriger: een index is een getalmatige uitdrukking voor de momentane beurswaarde van een portefeuille die zodanig is samengesteld dat zij geacht mag worden de bewuste sector of markt getrouw te werspiegelen. Aanstonds komt een verfijning van deze definitie aan de orde. Een optie op zo'n index is in beginsel op, zeg, een aandeel. Maar terwijl betrekking heeft op een individuele wordt een indexoptie gedragen door onderliggende waarden.

hetzelfde als een optie zo'n klassieke optie onderliggende waarde, een collectivum van

Het nut van een dergelijke optie ligt voor de hand: veel beleggers zijn niet in staat of in de gelegenheid de capriolen van een individueel aandeel op de voet te volgen, maar hebben wel degelijk een visie op het totale marktgebeuren.


Zo weet iedereen dat de Dow Jones in de laatste vijf jaar gestegen is van 900 tot 2800, wat een enorme hausse vertegenwoordigt. Terwijl een enkel AMEX-aandeel kan dalen, zijn lange puts op die AMEX zacht gezegd niet erg voor de hand liggend. Voor iemand die van deze hausseprognose uitgaat zijn calls op de MMI (Major Market Index, een binnenkort op de EOE te verhandelen Amerikaanse index) de juiste belegging. De op 18 mei 1987 gelanceerde indexopties van de EOE zijn de eerste op het Westeuropese continent. Een tweede primeur van hen is dat zij de eerste Europese opties in Europa zijn, d.w.z. dat zij alleen op hun afloopdatum uitgeoefend kunnen worden. (Alle andere opties op de moderne optiebeurzen zijn Amerikaans: zij kunnen op elk gewenst ogenblik tijdens hun bestaan worden uitgeoefend.) Dit Europees type is ingebracht op verzoek van grote beleggers. Deze laatste schrijven veel opties en het is voor een schrijver een erg ongewisse zaak om halverwege de rit op een onverwacht tijdstip te moeten leveren of afnemen. Tenslotte wijken de looptijden van indexopties enigszins af van die van de klassieke opties: 1, 2, 3, 5, 6 en12 maanden. In Amerika behoren indexopties reeds een paar jaar tot de meest succesrijke moderne beleggingsinstrumenten en de meeste waarnemers verwachten dat dit hier na een aanloopperiode niet veel anders zal liggen. Tijdens seminaria ter gelegenheid van de opening van het nieuwe Optiebeursgebouw waren hierover zeer optimistische geluiden te horen. Er zijn in hoofdzaak twee soorten indices in gebruik. Beide zijn gewogen gemiddelden van onderliggende waarden (lees: aandelen). Men bezit echter enige vrijheid in het kiezen van de gewichtjes. Meest gebruikelijk is de weging door kapitalisatie: Bepaal van ieder fonds het aantal uitstaande aandelen, vermenigvuldig dit aantal met de koers en tel dat allemaal op. Deel daarna door een geschikt getal (de "deler"), waardoor er een prettige uitkomst bestaat. Natuurlijk is het zaak die deler in de loop van de tijd zo weinig mogelijk te veranderen.


Daarnaast wordt wel eens een weging volgens prijs gebruikt. Daarbij worden, met voorbijzien van het aantal uitstaande aandelen, eenvoudig alle koersen opgeteld, waarna weer een vaste deler op de som wordt losgelaten. Zo simpel als hier voorgesteld gaat het in beide gevallen echter niet. Een goede index moet aan allerlei eisen voldoen, o.a. een zekere robuustheid bezitten, waardoor hij niet overdreven reageert op schommelingen in de koers van een belangrijk aandeel. De verdiensten van de diverse indices, zoals "waarheidsgetrouwheid", "gevoeligheid" voor de bokkesprongen van bepaalde groepen van aandelen, enz. laten we liever buiten beschouwing. Evenmin gaan we in op de aanpak van kleine complicaties zoals aandeelsplitsing, opnemen van nieuwe aandelen op de Optiebeurs, ... Net als "klassieke" opties worden indexopties gespecificeerd door hun uitoefenprijs en looptijd, terwijl de rol van de aandeelkoers nu wordt gespeeld door de index. We hebben al vermeld dat die looptijden een beetje afwijken van de gebruikelijke. Een wezenlijk verschil met de reeds bekende opties is wel dat bij uitbetaling geen waardepapieren van hand verwisselen. Dat zou ook wel erg onpractisch zijn. De onderliggende waarde is immers een pakket aandelen dat geacht wordt de globale markt te weerspiegelen en zulke portefeuilles zijn fysisch niet of nauwelijks te realiseren. Bij uitoefening wordt aan de houder duizend maal het verschil tussen uitoefenprijs en index uitbetaald. Deze "cash settlements" waren in strijd op de vorige versie van de Wet op de Kansspelen, maar dit probleem van contante afrekening is onlangs uit de weg geruimd. Dit punt van de contante afwikkeling zal aanstonds nog een belangrijke rol spelen. Een eerste verklaring voor bovengenoemd succes fou van indexopties in U .S.A. is wel dat bij een indexoptie de belegger zijn/haar investering baseert op een verwachtingspatroon betreffende de effectenmarkt in zijn geheel en niet, zoals bij een klassieke aandeeloptie, op zijn/haar prognose nopens het toekomstig gedrag van dat bewuste aandeel. Welnu, veel investeerders blijken een beter inzicht te hebben in het toekomstig gedrag van de globale markt, dan in dat van zijn

58


afzonderlijke bestanddelen. Het blijkt vaak rationaler om "de markt te kopen" dan een afzonderlijk aandeel. Men kan dit punt ook omkeren. Voor beleggers die over een grote deskundigheid beschikken betreffende een zeker fonds, maar minder inzicht hebben in het totale marktgebeuren, zijn het juist deze indexopties die gebruikt kunnen worden om bescherming te bieden tegen marktrisico's. Zo zal hij/zij een ondergewaardeerd aandeel in portefeuille graag begeleiden door een korte in-the-money indexoptie ("kort" = gekocht; "in-the-money" = er is nog intrinsieke waarde). Zoals gezegd, is het een belangrijk kenmerk van indexopties dat bij uitoefening een schrijver geen onderliggende waarde hoeft in te leveren. Zowel de schrijver als de koper van een indexoptie moeten een in-the-money optie in geld afwikkelen. Hierdoor wordt zowel de handel als de clearing aanzienlijk vereenvoudigd, wat in een forse daling van de transactiekosten uitmondt. Ook zekerheidsstellingen zijn bij indexopties lager dan bij "gewone". Positielimieten (dat zijn door de EOE vastgestelde maxima voor het aantal opties dat een enkele belegger of groep van beleggers in een bepaald fonds mag hebben; zij zijn bedoeld om beïnvloeding of corner in g van de markt te voorkomen) zijn voor indexopties ten duidelijkste overbodig. Evenmin is het nodig om bij uitoefenen van een indexoptie de schrijvers die moeten leveren of afnemen bij loting aan te wijzen. Alle beleggers die gelijktijdig eendere contracten hebben geschreven worden aangewezen (tenzij zij al eerder afgesloten hebben, natuurlijk). Dit elimineert een element van willekeur, waarover schrijvers van "klassieke" opties geen zeggenschap hebben, maar dat toch de opbrengst van hun portefeuille sterk kan beïnvloeden. Voor een grote belegger die, om nstco te spreiden, zijn portefeuille over vele sectoren gediversificeerd heeft, vormen indexopties een uitstekend wapen tegen globaal koersverlies. Immers, in eerste benadering weerspiegelt zijn portefeuille, net als de index zelf, de markt. Dit doet sterk denken aan een positie bestaande uit een enkel lang aandeel. Diezelfde grote belegger profiteert ook nog van het feit dat een indexoptie vaak een betere bescherming biedt dan een

59


hele verzameling, hoe ingenieus opgesteld ook, van opties op de verschillende bestanddelen van zijn aandelenportefeuille. Tenslotte blijkt het mogelijk om m.b.v. indexopties het verschil tussen debet- en creditrente grotendeels te omzeilen. Na deze practische opmerkingen nog één van meer theoretische aard. Indexopties zijn, zoals reeds gezegd, Europees. Nu is de theorie van europese opties aanzienlijk eenvoudiger dan die van amerikaanse. Als verklaring diene dat men bij de berekening van de prijs van een europese optie slechts op de laatste dag moet onderzoeken of het verstandig is om te gaan uitoefenen, terwijl dat voor een amerikaanse op elk in aanmerking komend tijdstip moet gebeuren. Na veel pionierswerk bestaat er nu eindelijk een puntgave theorie voor amerikaanse puts. Veelal benadert men echter amerikaanse puts met (niet echt bestaande!) europese. Voor indexopties nu levert dit een exacte aanpak. EOE Dutch Stock Index Fund NV In termen van het Burgerlijk Wetboek is deze NV een beleggingsmaatschappij met veranderlijk kapitaal, alias een open end indexfonds. Met een nominaal kapitaal van 25 miljoen gulden, waarvan eind december 1986 vijf miljoen was geplaatst, maakt dit fonds op het eerste gezicht een bescheiden indruk vergeleken met de gigantische bedragen die omgaan op de Optiebeurs. Rekeninghoudend met de huidige koers beloopt dit kapitaal echter al gauw zo'n 175 miljoen gulden! Het open-einde karakter van het fonds verwijst naar de mogelijkheid om de uitgifte van aandelen te variëren (binnen de genoemde omvang) op grond van vraag en aanbod. Verhoging van maatschappelijk kapitaal is slechts mogelijk via de gebruikelijke procedures. Het fonds beoogt een portefeuille samen te stellen die een zo getrouw mogelijk beeld geeft van de EOE Index. We gaan aanstonds wat nader in op de samenstelling van deze Index, maar willen eerst nog wat over het Fund zeggen. In vaktaal heet het EOE Fund een unmanaged fund. I.t.t. een zg. managed fonds moet de beheerder niet proberen om slimmer dan de markt te zijn. Integendeel, als de markt erg

60


dom doet, dan is hij gehouden om even dom te doen! Immers, de hele bedoeling van het fonds is, zoals gezegd, om de EOE Index (die zo'n 80% van de hele Effectenbeurs weerspiegelt) na te bootsen. De paradox van "het beheer van een unmanaged fund" wordt opgelost door te bedenken dat de marktindex niet blindelings, mechanisch en automatisch kan worden gevolgd. Immers, die markt is aan voortdurende schommelingen onderhevig en elke aanpassing van het fonds aan de momentane marktsituatie brengt transactiekosten met zich mee. De fondsmanagers zullen naar eigen inzicht moeten beslissen welke mutaties van de markt zij wèl of niet in hun fonds willen volgen, rekeninghoudend met de reële kosten. Hoewel fundamentele of technische marktanalyse minder zwaar wegen dan bij individuele aandelen, zou een louter passief beheer averechts kunnen werken. Het EOE Dutch Stock Index Fund wordt beheerd door het AMRO fnvestment Management Fund B.V. Geen

diversificatie

nodig

Indexfondsen zijn reeds talrijk en populair in de VS. Veel beleggers verkiezen een globaal "namaakaandeel" boven een enkel loslopend aandeel. Sommigen doen dit omdat zij zich niet in staat achten de hele markt te overtroeven, anderen omdat zij voldoende zelfkennis hebben. Beleggen in een indexfonds maakt het overbodig om door grote investeringen belangen te spreiden en garandeert in een hausseperiode toch een aanzienlijke opbrengst. Ideaal voor grote beleggers en rustige particulieren! Er zijn al heel wat perioden gesignaleerd waarin individuele fondsen wilde schommelingen vertoonden, terwijl de globale beursindices toch vrij stabiel bleven. Samenstelling EOE Index Het al eerder genoemde MMI, waarop binnen afzienbare tijd ook in Amsterdam opties zullen worden verhandeld, is geheel uit Amerikaanse aandelen opgebouwd en heeft dus niets met de EOE index te maken. Immers, deze laatste is opgebouwd uit de twintig aandelen die op,de EOE genoteerd zijn, alphabetisch lopend van ABN tot Unilever. Elk van deze twintig

61


fondsen telt in beginsel voor 5% mee, met dien verstande dat van ieder fonds het aantal aandelen ab ovo zodanig werd gekozen dat de totale waarde telkens zo dicht mogelijk bij duizend gulden lag. Eind 1986 was die waarde door de voortdurende koersstijgingen op de Effectenbeurs van Amsterdam al opgeklommen tot gemiddeld Fl.1300,-- per fonds, waardoor de EOE-Index toen ongeveer 260 (= 20 maal 1300 gedeeld door 100) bedroeg. ABN is in die Index vertegenwoordigd door twee aandelen, ... , Unilever tenslotte door drie. In totaal is er voor de twintig fondsen sprake van 264 aandelen. Dit is een EVI, wat staat voor Evenveel Vermogen Index. Op de voor-en nadelen van deze wijze van weging zullen we niet nader ingaan. In ieder geval is deze index niet slechter dan de oude ANP-CBS beursindex of de minder bekende CBS stemmingsindex. Wèl noemen we een aantal voor de hand liggende desiderata voor indices, waaraan deze EVI blijkt te voldoen: • In het limietgeval dat één of meer der meedoende fondsen een koers nul krijgen (denk aan een faillisement), mag de index niet mee naar nul gaan. • Een index mag niet afhangen van de groote der nominale waarden van de aandelen die een bedrijf heeft uitstaan, alleen van hun totale waarde. • De index moet pad-onafhankelijk zijn, d.w.z. m=niet afhangen van de tussenliggende waarden der koersen in een beschouwde periode. Alleen de huidige koersen mogen een inbreng hebben. • Er moet een lineair verband zijn tussen koersen en index: een stijging van alle koersen met zeker percentage moet in een evengrote evenredige indexstijging weerspiegeld worden. Opties op een index De opties die op de EOE op een index verhandeld worden hebben (voorlopig alleen nog maar) betrekking op de EOEAandelenindex. I.t.t. de situatie bij de gewone opties op aandelen, edele metalen, obligaties, vreemde valuta's, ... is de onderliggende waarde geen fysiek of monetair economisch goed, maar een abstractie. Bij uitoefening wordt dan ook

62


geen pakket aandelen, ... , ter hand gesteld. Men zou een portefeuille kunnen afleveren die de markt vertegenwoordigd, maar het is duidelijk dat hieraan enorme praktische bezwaren vastzitten. Noodgedwongen vindt er bij uitoefening afrekening in contanten (zg. cash settlements) plaats. Voor het schrijven (of verkopen) van indexopties levert dit een dekkingsprobleem. Strikt genomen schrijft men nooit gedekt. Indexopties worden dus altijd naakt geschreven. Maar een indexfonds kan de behoeftigen kleden! Indien een schrijver aandelen of deelbewijzen van zo'n indexfonds in bezit heeft, kan hij/zij deze gebruiken om risico's, ontstaan door schommelingen in de globale marktwaarde op te vangen. Dit leidt tot de reeds geannonceerde verfijning van de definitie:

een indexoptie is te beschouwen als een optie op een ibijbehorend indexfonds, met de handicap dat aandelen op dit fonds bij uitoefening niet in aanmerking komen voor levering of afname.

Monokinischrijven Een positie in EOE-Indexopties kan dus in zekere zin worden afgedekt door aandelen in het EOE Fund. Daardoor hoeft het schrijven van zulke opties niet geheel naakt plaats te vinden, maar hebben we met monokinischrijven te doen. Voor veel beleggers zal dit een geruststellende gedachte zijn. Voeg daarbij het feit dat aanwijzing niet meer door loting plaatsvindt en dat de Europese stijl van indexopties het toevalselement nog verder terugdringt en het aantrekkelijke van dit soort opties wordt steeds duidelijker. Als men monokini zal willen schrijven op de aanstaande MMI-opties in Amsterdam, dan zal het EOE Index Fund niet helpen, maar moet men aandelen of deelbewijzen MMI in portefeuille hebben. Er zal een nauwe samenwerking tussen de EOE en haar Amerikaanse counterparts moeten komen.

63


Er zijn nog vele theoretische problemen i.v.m. indexopties. Zo is er nog veel geharrewar over een werkbare versie van het Black-Scholesmodel. Voor opties met een wat langere looptijd is dit model overigens systematisch onnauwkeurig.

GULDENRENTECONTRACTEN In juni 1987 is onder auspiciën van de Fin a n c i ë 1e Termijnmarkt Amsterdam (FTA) de handel begonnen in Guldenrentecontracten (GRC's), zijnde futures op een obligatie-index. Dit nieuwe instrument, dat grote belofte herbergt, is weliswaar geen optie maar staat daar niet ver af en is ook voor particulieren die zich op de Optiebeurs bewegen zo'n belangrijk alternatief, dat er de nodige aandacht aan dient te worden besteed. We moeten daarom even ingaan op obligaties en futures. OBLIGATIES Zowel ondernemingen als de Staat voorzien in een niet onbelangrijk deel van hun behoefte aan geld door het uitgeven van obligaties: ontleningen onder een certificaat van belofte de nominale geleende som op een contractueel vastgelegde datum terug te betalen, plus (al dan niet tussentijdse) rentevergoedingen in de vorm van couponbetalingen. Bij een nulcouponobligatie treedt alleen een geldstroom op de afloopdatum op. Obligatiehouders zijn schuldeisers van de onderneming en bekleden als zodanig een geheel andere positie dan aandeelhouders (die medeeigenaar zijn). Bij een faillisement van de onderneming krijgen de obligatiehouders zoveel mogelijk hun geld terug en komen de aandeelhouders pas later voor het restant aan bod. De Staat wordt geacht niet failliet te kunnen gaan en de rente op een NLS (= Nederlandse Staatslening) wordt vaak als risico-vrije rente beschouwd. Toch zit ook in de meest "zekere" NLS een toevalselement: hij kan voortijdig uitgeloot worden (d.w.z. op een onverwachte datum [inclusief alle tot die datum verplichte rentevergoedingen] afgelost worden). Staatsobligaties hebben steeds een nominale waarde van Fl.lOOO,--. Hun beurswaarde wordt altijd genoteerd als

64


65

percentage van deze nominale waarde. Een NLS met een koers van 95,00% heeft dus een beurswaarde van Fl.950,--. Effectief rendement

van

obligatie

In de Officiële Prijscourant van de Effectenbeurs van Amsterdam worden naast deze beurswaarde ook andere karakteristieken van obligaties vermeld. Daarvan hebben we er enkele nodig, vooral het zg. effectieve rendement. Dit effectieve rendement (Eng.: yield to maturity) van een NLS is een rentepercentage dat per definitie in z'n ééntje dezelfde huidige waarde van de obligatie oplevert als alle couponbetalingen en aflossingen samen. Daarbij worden alle genoemde geldstromen verdisconteerd naar de dag van vandaag via discrete samengestelde interest (tegen het rentepercentage ... , inderdaad, juist dat effectieve rendement!). Dit ziet er ingewikkelder uit dan het is. We kunnen door wat te goochelen met huidige waarden (present values) onmiddellijk een vergeIijking voor dat onbekende rentepercentage opstellen. Laten er T uitbetalingstijdstippen m aanmerking komen, waarbij op tijdstip t, t = 1, 2, ... , T, een kasstroom Kt gaat lopen. (Zo is bij genoemde nulcouponobligatie Kt= 0 voort= 1, 2, ... , T-1 Kt= aflossing plus couponbetaling voor t = T. Die Kt's zijn toekomstige bedragen die reeds nu precies gedefiniëerd zijn (als we tenminste uitloting buiten beschouwing laten), waarvan de gebruikelijke verdiscontering (in het obligatiejargon: contant maken) de huidige waarde tegen zekere rente y levert: Kt "K t dan" betekent " (1 + y)T nu" · over alle tijdstippen t krijgen we een huidige waarde (die natuurlijk van y afhangt)

HW(y) =

K 1

(1 + y)l


Als we nu bedenken dat deze HW(y) gelijk moet zijn aan de som S van de obligatiekoers (marktprijs obligatie uitgedrukt als percentage van de nominale waarde) plus de lopende couponrente ( = jaarlijkse couponrente omgerekend naar de lopende periode), dan ontstaat klaarblijkelijk een vergelijking voor y, nl. HW(y) = S.

Dit is geen prettige vergelijking en helaas bestaan er geen simpele formules die y op prettige wijze in S en T uitdrukken. In de numerieke wiskunde zijn echter zg. stapsgewijze benaderingsmetboden ontwikkeld, die reeds na enkele herhalingen van het recept (algorithme) de onbekende y met een voldoende mate van nauwkeurigheid als output leveren. Aan de meest gebruikelijke van dit soort oplossingsrecepten ztJn de namen van Newton en Raphson verbonden. Eén van de voordelen van het NewtonRaphsonprocédé is wel dat het eenvoudig op een computer geprogrammeerd kan worden en erg snel en doelmatig werkt. De gesignaleerde beperking dat voortijdige uitlotingen over het hoofd gezien worden heeft ernstige gevolgen! Het betekent nl. dat het berekende effectieve rendement slechts een statistische aanwijzing voor de betrokken obligatie is, d.w.z. slechts geldt voor grote aantallen obligaties. (De uiloting vindt voor iedere categorie obligaties met dezelfde parameters per nummer plaats.) Voor een kleine belegger met een bescheiden aantal obligaties is het gevonden rendement slechts een grove aanwijzing, maar er is geen betere ... Het effectieve rendement is steeds te vinden onder Obligaties in kolom 6 van de Prijscourant. Ontbreekt de zin, moed of mogelijkheid om zelf het effectieve rendement uit te rekenen, dan kan men zich altijd nog behelpen met het zg. benaderende effectieve rendement: men telt daartoe het couponrendement en het aflossingsrendement op. Daarbij is couponrendement

= couponrente (in % 's jaars) beurskoers (in %)

66


terwijl natuurlijk het aflossingsrendement aflossingsrendement =

aflossing (in %) beurskoers

is. Een fundamenteel begrip in de moderne obligatietheorie is de in 1938 door F.Macaulay ingevoerde duur (oftewel d uration). Dit is de gemiddelde tijd dat het in de obligatie geïnvesteerde geld vast zit, waarbij ieder uitbetalingstijdstip t (met nog steeds t = 1, 2, ... , T) wordt gewogen naar de grootte van zijn kasstroom Kt. Daarbij moet worden aangetekent dat elke geldstroom wordt geactualiseerd, d.w.z. verrekend naar zijn contante waarde, op grond van het effectieve rendement y. Om de schrijfwijze wat te vereenvoudigen bekijken we eerst de huidige waarde Ht van de kasstroom K17 zijnde

Delen we dit door de som van al die huidige waarden, dan krijgen we het getal G17 viz. _ Gt -

Ht Ht+H2+ ... +HT'

en we gaan Gt, G2, ... , GT als gewichtsfactoren gebruiken voor de bijbehorende tijdstippen t. De Macaulayaanse duur van de obligatie is nu het gewogen gemiddelde D = Gt.l + G2.2 + ... + Gr.T.

We hebben eigenlijk niets anders gedaan dan

67

68


vormen. Nogmaals het uiterste geval van een nulcouponobligatie: dan is D = T, omdat alle termen vervallen, behalve die voor t = T. Deze duur D geeft informatie over het aflossingsschema, die in de vermelding van de gewone resterende levensduur ontbreekt. Er is maar een kleine aanpassing nodig om dfe uitdruking voor D te vinden op een tijdstip t + a waarop géén couponbetaling plaatsvindt. Naast D vermeldt de Officiële Prijscourant nog de gemiddelde looptijd van elke obligatie. Hoewel er naan verwant, is deze gemiddelde looptijd iets anders dan de Macaulay-duur. Zo speelt in die gemiddelde looptijd geen enkele rente een rol, want er wordt niet verdisconteerd. Voorbeeld 8% lening, groot f 100,-; halfjaarlijkse coupons per 1 jan en 1 jul; aflosbaar in twee gelijke termijnen op 1/1'90; koers 96%; huidige datum 1/10'87.

1/1 '89

Gemiddelde looptijd: 1/10'87 tot 1/l '89: 1,25 Ur) x 50 (aflossing) = 62,5 1/10'87 tot 1/1 '90: 2,25 x 50 = 112,5 100 . gem. IooptlJ.. d = 175.0 = 1,75 Jaar. 1 00 Couponrendement

= 8,00

I 0,96

= 8,33%.

175,0

en

69


Benaderend efectief rendement = 8,33 + Lopende

100-96 1. = 10,6%. 75

couponrente

periode van 1/1 0' 8 7 tot 1/7 '8 8 .l00.0,0 = 2. 8 360 Exact effectief rendement

y voldoet aan

4 4 50+4 2 50+2 ---+ + + + =96+2. (l+y)0.25 (l+y)0.75 (l+y)1.25 (l+y{75 (l+y)2.25

Zij f(y) = linkerlid minus 98. Dan luidt de vergelijking voor y f(y) = 0. Bepaal de eerste afgeleide van f: f(y) =-

1

3

(l+y{25

(l+y{75

-

67.5

3.5 117 ---(l+y)2.25 (l+y)2.75 (l+y)3.25

Benader nu stapsgewijze à la Newton Raphson yo = 0.106 ('t benaderend effectief rendement), f(y) n Yn+l

= Yn- f(y )" n

Er komt Yl = 0.10842, Y2 = 0.10842, ... en y = 10,843%.

** * Toelichting Hier zit de 1ste orde formule van Taylor achter: f(xt) = f(xo) + (x1 - xo)f(Çt).

=


Als Xl een gezocht nulpunt van f is, benader dat dan door xo (en verwaarloos hogere machten van x1 - xo. Los x1 op uit

0 = f(xo) + (x1 - xo)f(xo) (het heeft ons behaagd om Ç1 = xo te nemen). Guldenrentecontract Dit GRC, op 19 juni 1987 gelanceerd door de Financiële Termijnmarkt Amsterdam (FTA), is een futurescontract met contante verrekening betrekkinghebbend op een rentevoet. Hoe fraai ook, zo'n definitie roept toch heel wat vragen op, zoals "welke rentevoet?". Nu is het Guldenrentecontract niet direct geënt op één of andere rentevoet, maar slechts indirect. Als "drager" treedt op een welomschreven gemiddelde van een achttal populaire Nederlandse staatsleningen, de zg. EOE-FT A Obligatieindex. Verklaring: de koers van een staatsobligatie is afhankelijk van de heersende rentestand op de kapitaalmarkt. P.M. Op de kapitaalmarkt heerst de rente op lange termijn, op de geldmarkt de rente op korte termijn. Daalt de rente, dan stijgt de obligatie, terwijl een stijging van de kapitaalmarktinterest een daling van de obligatiekoers teweegbrengt. De koers van een obligatie is dus een (dalende) functie van de marktrente en, omgekeerd, weerspiegelt die rente de obligatiekoers. Ook de resterende levensduur van de obligatie doet mee: hoe jonger, hoe duurder (als de andere parameters gelijkblijven). Dit verklaart de term "rente" in de benaming "Guldenrentecontract" voor een futurescontract op de Obligatie-index. Hierbij hebben we gemakshalve het onderscheid tussen korte-termijn en lange-termijnrenteen achterwege gelaten.

70


Hoe zit die Index nu in elkaar? Er doen acht Nederlandse Staatsleningen mee, uiteenlopend van 12 3/4 NL 1986-92/96 tot 6 1/4 NL 1986-95. Op 30 december 1986 werd de Index op een beginpeil van 100 gesteld. Van elk der acht obligaties werd de slotkoers van die datum op de Amsterdamse Effectenbeurs op 100 gedeeld. Zo ontstaan acht quotienten, die voortaan als gewichtjes zullen dienen. Vanaf 2 januari 1987 wordt iedere tik (minimale geregistreerde koerswijziging van 0,01 punt) van elk der gebruikte obligaties via deze wegingsfactoren opgenomen in de Index. Deze Index wordt doorlopend "on line" gepubliceerd op electronische schermen. Een koper van een Guldenrentecontract schaft zich daarmee in guldens een waarde aan van 1000 maal de Index. Dat betekent een winst van Fl.lOOO,-- als de Index één punt stijgt en een dito verlies als de Index één punt zakt. Voor een verkoper liggen de zaken juist andersom. Het volgende plaatje is onmisbaar voor een goed begrip van de gang van zaken:

weerde futures

koper: 1ndex st 1j gt 1 punt: 1000 gl d w1 nst " ' 1ndex deelt 1punt: 1000 gld verHes

~------~-------------1ndex

conJrec{ pr1js

v~oper}ndex st1jgt

1 punt: 1ooo gld verHes 1ndex deelt 1 punt: 1000 gl d w1 nst

71

72


Dagelijks worden winst en/of verlies door de Clearingorganisatie EFCC gestort op dan wel gevorderd van de rekening van de rechthebbende. Die dagelijkse bijstortingen vormen overigens een wezenlijk verschilpunt met zg. termijncontracten. Er zijn welgeteld vier factoren in het spel: • de Index I (een gemiddelde van obligatiekoersen, die, zoals hierboven geschetst, elk de rente op de kapitaalmarkt vertegenwoordigen), • de gemiddelde couponinterest c (het gewogen gemiddelde van de couponrenten der acht obligaties; dit is een lange-termijnrente), • de kort-lopende deposito- of financieringsrente d (een obligatiekoper had het bedrag I ook op de bank kunnen zetten gedurende de vrij korte termijn van hoogstens één jaar dat de Index loopt; elke obligatierente, dus de Index, behelst rente op lange termijn) en • de resterende looptijd T (in jaren, aangezien de renten ook op jaarbasis bedoeld zijn). Deze factoren beheersen de koers F van het contract. grondformule is van een grote eenvoud: koers Guldenrentecontract = Index + (financieringsrentebedrag couponrente ), T.I.d F =I+ 100 - c.

De

-ontvangen

Verschil futures en opties Deze uitdrukking is wel heel wat simpeler dan de gebruikelijke formules voor de prijs van een optie! In het bijzonder valt het op dat er voor futures niet zoiets als "tijdsverwachting" optreedt. Als verklaring diene dat er bij opties gehandeld wordt in rechten (om te kopen, dan wel te verkopen), waaraan winst- en verliesverwachtingen vastzitten. Die verwachtingen moeten op de één of andere wijze in de optieprijs verwerkt worden. Bij futures daarentegen wordt in wezen direct gehandeld in de onderliggende waarde (de Index; verrekeningen vinden contant plaats) en spelen verwachtingen omtrent het toekomstig rentegedrag geen enkele


rol in de prijs. (Overigens is dit rentegedrag op zichzelf een zeer interessant toevalsproces:termijn structuur van in teresten .) We komen nog even terug op het plaatje. Wie denkt dat de rente gaat stijgen (dus de Index zal dalen) wil Guldenrentecontracten verkopen (zelfs zonder deze obligaties effectief te bezitten: is de prognose juist, dan kunnen deze contracten later tegen lagere prijs ingekocht worden; short gaan). Verwacht men echter dat de rente omlaag gaat (dus de Index omhoog), dan kan men nu beter Guldenrentecontracten kopen (long gaan), teneinde hen later tegen een hogere prijs van de hand te doen. De handel in contracten van de Financiële Termijnmarkt Amsterdam, een volledige dochter van de EOE, vindt geheel,plaats op de vloer van de EOE. Alle transacties lopen langs bemiddelaars en/of Market Makers van de FTA. Institutionele beleggers, banken, bedrijven zowel als particulieren kunnen het Guldenrentecontract hanteren om hun visie op het toekomstig rentegedrag op eenvoudige en goedkopen wijze rendabel te maken. Om zich in te dekken tegen renterisico's kan men zijn toevlucht nemen tot een lange, dan wel een korte hedge. Ook kunnen met Guldenrentecontracten meer speculatieve posities worden ingenomen. Zowel koper als verkoper hoeven bij het afsluiten van een contract slechts een waarborgsom te storten. Daarmee wordt vaak een sterke hefboomwerking (leverage) bereikt. Bij in- of verkoop van een GRC vindt geen begininvestering p[aats, maar wordt slechts een waarborgsom van (minstens) 4% verlangd. (Een GRC heeft een contractwaarde van ongeveer Fl.lOO 000 en een waarborg komt op zo'n F1.4 000.) Reeds kleine veranderingen in het peil van de Index brengen procentueel forse geldelijke wijzigingen voort. Dit GRC effect wordt goed weergegeven door de term "hefboomwerking". We geven hiervan een (denkbeeldig) Voorbeeld GRC).

1. (koerswinst door rentedaling, al dan niet met

73


De rente op de kapitaalmarkt is op zeker ogenblik 7%. Een belegger, die aan het hoofd staat van Fl.100 000, verwacht dat de rente zal gaan dalen. Hij kan dan twee dingen doen: of staatsobligaties kopen, of op de FTA beleggen. Welke methode levert het hoogste rendement als de rente na een half jaar tot 6% blijkt te zijn gezakt? Eerst dan de effectenbeurs. De obligaties doen 95,00, dus de belegger koopt er 100 à Fl.1 000 (nominaal), wat een investering van Fl.95 000 vergt. Als de rente tot 6% is gedaald is de obligatiekoers opgelopen tot 100,00 en kan de belegger de obligaties verkopen voor Fl.1 00 000, hetgeen op een inleg van Fl.95 000,-- een winst van Fl 5 000 (alias 5.3%) betekent . Vervolgens de FTA. De belegger koopt een Guldenrentecontract. De EOE-FTA Obligatie-index staat op 96,30 en de GRC op 96,00. Er wordt nu geen begininvestering gevraagd, maar een waarborgsom van Fl.4 000 (een klein bedrag voor een contract van ongeveer één ton). Ook moeten verliezen dagelijks worden bijgestort, maar laten we hopen dat dit nu niet hoeft. Na de rentedaling tot 6% blijkt de GRCkoers te zijn gestegen tot 98,40, dus met 2,40 punt. Dat betekent een winst (vergelijk plaatje) van Fl.2 400,-- die verdiend is met een waarborg van Fl.4 000,--. Die waarborg komt terug, dus de ontvangsten bedragen F1.6 400,-- wat bijna op 160% van de inleg neerkomt. Het GRC levert derhalve veel grotere mogelijkheden op koerswinst bij rentedaling dan een directe belegging. Was de rente echter gaan stijgen, dan zou het contract bijtijds verkocht moeten worden! Het volgende voorbeeld zal menig huiseigenaar te denken geven. Voorbeeld

2 (Hypotheekrente)

Een huiseigenaar heeft juist de hypotheek van twee ton vernieuwd voor een periode van vijf jaar , als bij hem/haar de stellige mening postvat dat in die tijd de rente op de kapitaalmarkt (lange termijn) wel zal gaan dalen. Bedenkend dat dan de Index moet stijgen, leert een blik op het plaatje dat het kopen van een Guldenrentecontract voordelig zou kunnen zijn.

74


75

Aangezien per GRC één ton gemoeid is, kunnen er het best twee contracten gekocht worden. Hiermee is een waarborgsom van Fl.8 000,-- gemoeid. Als de rente inderdaad daalt, en wel met 1%, dan stijgt de Index zowat vijf punten. De huiseigenaar verdient hierop bruto over vijf jaar Fl. 2 x 5 x 1000 = Fl.10 000,--. (Bijstortingen zijn in dit scenario niet nodig.) Alle andere wegen om te profiteren van een rentedaling leiden tot een aanzienlijk lager rendement.

Voorbeeld 3 Een huiseigenaar die van mening is dat de huidige redelijke lange-termijn-rente binnen afzienbare tijd forse wijzigingen zal ondergaan, maar die niet weet of deze omhoog, dan wel omlaag zullen wijzen, kan van deze rentevolatiliteit profiteren door zowel GRC's te kopen (om van rentedaling te profiteren) als te verkopen (wat tot winst bij rentestijging leidt). Of de lange of de korte kant van deze positie leidt tot verlies, maar dat wordt gecompenseerd door de winst van de rentestand van vandaag andere kant. Op deze manier kan de worden vergrendeld tegen ongewisheden.

Voorbeeld

4 (Korte-termijnrente en GRC straddles)

Een positie bestaande uit een gekocht (lang) en (kort) Guldenrentecontract met verschillende maanden, heet een straddle. (Futures straddles anders uit dan optiestraddles!) De bedoeling van is te profiteren van het koersverschil tussen de korte kant.

een verkocht afrekeningszien er heel zo'n straddle lange en de

Verklaring: uit de al eerder vermelde betrekking GRCkoers = Index + financieringskosten - couponrente zien we dat de koers van het GRC wordt beïnvloed door de korte-termijnrente. Veranderingen op de geldmarkt hebben grotere uitwerking op GRC's met langere, dan met kortere resterende levensduur. (Immers, men zou de begininvestering in obligaties op de bank kunnen uitzetten gedurende de resterende looptijd.) Stel nu dat een belegger een rentestijging op de geldmarkt verwacht. Dan zal een lang-lopend GRC meer stijgen dan een


kort-lopend GRC. Die belegger kan dan winst verwachten door lang te gaan in het lang-lopende contract. Het is verstandig om tegenover deze zg. Langlauf kort te gaan met het kortlopende GRC, teneinde een onverwachte daling van de kortetermijnrente op te kunnen vangen. Is men van mening dat de depositorente gaat dalen, dan kope men juist het kort-lopende en verkope men het lang-lopende

GRC Wat zijn futures? Opties en futures zijn voorbeelden van voorwaardelijke aanspraken (contingent claims) in die zin dat hun opbrengst afhangt van de prijs van een of meer onderliggend economisch goed op een toekomstig tijdstip. Het belangrijkste verschil tussen opties (d.w.z. koop- of verkooprechten) en futures is het volgende: de houder van een optie heeft het recht om uit te oefenen, terwijl de houder van een futures de plicht heeft om te leveren, dan wel af te nemen. Voor een goed begrip van de verschillen en de overeenkomsten tussen opties en futures is het dienstig eerst een tussenvorm ten tonele te voeren, nl. het termijncontract (of forward contract) en de prijsvorming daarvan te bekijken. Een termijncontract dan is een overeenkomst waarbij de verkoper de verplichting op zich neemt om aan de koper een bepaalde hoeveelheid van een goed te leveren op een bepaalde datum tegen een vastgelegde prijs, terwijl de koper van zijn kant de verplichting aangaat om deze levering af te nemen. Met het aangaan van een termijncontract zijn geen investeringen gemoeid: betalingen vinden bij levering plaats. Soms wordt een waarborg gevraagd.

Het feit dat er geen beginbetalingen plaatsvinden brengt mee dat er een precies te bepalen prijs voor de contractuele levering moet bestaan. Immers, was de vastgelegde prijs te laag, dan zou de koper al bij het begin iets moeten betalen en er was wel sprake van een begininvestering. Was zij echter te hoog, dan zou de koper van de verkoper geld toe moeten

76

77


krijgen om te worden overgehaald het contract te aanvaarden en er was wederom een beginbetaling. Conclusie: het is plausibel (maar eigenlijk niet meer dan dat) dat ergens tussen die twee in een prijs zit, waarvoor de begininvestering inderdaad nul is. Dit is de gezochte termijnprijs die we F noemen (afgeleid van forward price). Deze F is dus de leveringsprijs die bij het sluiten van het termijncontract zodanig wordt vastgelegd dat het contract met gesloten beurzen kan worden begonnen (soms op de waarborgsom na). Wat is de waarde van een termijncontract op de leveringsdatum? Zij S* de prijs van het onderliggende goed op die dag (een vandaag nog onbekende toekomstige grootheid!). Dan is klaarblijkelijk S* minus F de gezochte waarde. Deze kan positief, maar ook negatief uitvallen. Dit staat duidelijk in tegenstelling tot de waarde van een (Europese) calloptie op zijn afloopdatum: die is nul als de eindkoers beneden de uitoefeningsprijs is gezakt.

Termijncontract vs optie Ondanks deze grote verschillen in hun voortgebrachte geldstromen bestaat er toch een curieus verband tussen opties en termijncontracten. Vergelijk daartoe twee portefeuilles: een positie met een gekocht termijncontract met termijnprijs F, en een positie bestaande uit een gekochte call en een verkochte put, beide met diezelfde F als uitoefenprijs op het betrokken economisch goed. We vatten de huidige toestand en die op de afleverings-, alias uitoefendatum samen in het volgende tabelletje:

begindatum

einddatum


78

S* < F

S* >

S*- F

S*-

F

koop termijncontract F koop call F verkoop put

0

-c p

0 S*- F

p-c

S*- F

S*0 S*-

F

Nu komt de clou: we zien dat deze posities op de einddatum dezelfde geldstroom voortbrengen. Zouden zij dat op de begindatum niet doen (d.w.z. was p-c niet nul), dan was arbitrage (geld verdienen zonder risico te lopen) mogelijk en dat is in strijd met zowel de theorie en als de practijk (het zg. arbitragebeginsel). We constateren hiermee het volgende verband: een geschreven termijncontract Is gelijkwaardig met een lange call en een korte put en de termijnprijs is juist die uitoefenprijs van de opties waarvoor de call en de put even duur zijn.

Maar nu het eigenlijke onderwerp: opties vs futures. Een fut ure se on tra ct lijkt veel op een termijncontract (alleen verplichtingen, geen begininvesteringen), maar er zijn wat subtiele verschillen. De koper van een future aanvaardt de verplichting om op de eind -datum een bepaalde hoeveelheid van het goed te leveren tegen de vandaag contractueel vastgelegde futuresprijs die geldt op de begindatum. Maar dan moet die futuresprijs samenvallen met de spotprijs die op die einddatum zal gelden (en dus vandaag nog niet bekend is). Als het contract gesloten wordt vinden geen betalingen plaats. Maar nu komt het verschil: zodra tijdens het leven van het futurescontract de spotprijs groter wordt dan de futuresprijs moet de koper deze toename in zijn geheel overmaken aan de verkoper. Daalt daarentegen op zeker moment de spotprijs onder de futuresprijs, dan ontvangt de koper het verschil onmiddellijk van de verkoper.


Het verschil tussen de spotprijs op de einddatum en de futuresprijs (de prijs vermeld in het futurescontract), de zg. basis van het contract, wordt dus gespreid in de tijd vereffend tussen koper en verkoper. Op een moderne beurs vinden deze voortdurende verrekeningen gelukkig plaats via de Clearing als tussenpartij. De Clearing garandeert en stroomlijnt het contract en breekt het op in kleine bestanddelen, terwijl het een persoonlijke relatie tussen koper en verkoper overbodig maakt. Dit laatste maakt dat een future in de practijk van beide partijen nogal wat activiteit vergt. Anderzijds komen de meeste futurescontracten niet tot uitvoering (en wordt er ondanks de folklore niets in de achtertuin gedumpt), doordat ze voortijdig worden afgekocht. Een onverwacht verband tussen termijncontracten en futures werd in 1976 aangetoond door F.Black (bekend van de optieformule van Black en Scholes): de genoemde futuresprijs is gelijk aan de termijnprijs F van een termijncontract met dezelfde gegevens. Dit kan worden bewezen op grond van het zg. arbitragebeginsel, mits voldaan is aan de veronderstelling dat de interest niet door het toeval beheerst wordt (zo hangen constante interesten niet van het toeval af). Daarmee is de hopeloos lijkende vraag hoe de futuresprijs berekend moet worden herleid tot een hanteerbaarder probleem. (Vaak wordt de verwachting van de markt voor de toekomstige spotprijs als huidige futuresprijs genomen, maar reeds Keynes voerde hiertegen steekhoudende kritiek aan.) Termijncontracten en futures leggen beide de verplichting tot afname (of levering) op, d.w.z. dat zij moeten worden uitgeoefend op hun afloopdatum. Bovendien geldt voor beide dat hun uitoefenprijs (of leveringsprijs) op zo'n manier wordt vastgelegd dat er geen begininvestering plaatsvindt (maar in de regel wel; een waarborgsom). Voor deze beginbesparing wordt echter vaak een schepje op de slotprijs gegooid! Terwijl futures en termijncontracten door hun verplichtingsclausules zowel winst- als verliesmogelijkheden kunnen blokkeren, waardoor van twee-zijdige afgrendeling gesproken kan worden, bieden opties dankzij het door hen

79


verstrekte recht meer vrijheid in de vorm van een slechts één-zij di ge afgrendeling.

Hier houdt het verschil echter niet op: er is sprake van geheel afwijkende geldstromen. Een futurescontract vergt voortdurend tussentijdse bijstortingen, terwijl een termijncontract dat alleen op de uitoefendatum doet. Termijncontracten vragen in de regel grotere borgstellingen dan futurescontracten. Die dagelijkse verrekeningen betekenen niet dat een futurescontract eenvoudigweg een termijncontract dat dagelijks herschreven wordt! (Zo'n termijncontract zou overigens zekere voordelen bieden. Het zou een eenvoudig bedginginstrument zijn en toch vrij geringe borgstellingen vragen.) Dit onderscheid maakt dat de uitoefenprijs van een termijncontract, de zg. termijnkoers , in beginsel verschilt van de futuresprijs • In de klassieke academische literatuur en in de opvatting van de handelaren werd dit punt tot voor kort als een administratieve bijkomstigheid beschouwd. (Nog steeds spreekt men bijv. van de Amsterdamse termijnmarkt, terwijl er totnogtoe alleen futures worden verhandeld.) Een goede reden daarvoor zagen we reeds eerder: indien de interest constant is zijn futureprijs en termijnprijs volgens Black aan elkaar gelijk. Algemeen geldt: als die twee prijzen gelijk zijn, dan is arbitrage mogelijk tenzij de interest niet van het toeval afhangt. (Als die interest niet door het toeval beheerst wordt, doen we net alsof die interest optreedt in een wereld zonder onzekerheid.) Het recente inzicht dat een door het toeval beheerste termijnstructuur van de interest een beslissende rol speelt voor het al dan niet samenvallen van termijnen futuresprijs vormt ongetwijfeld een onverwachte en fundamentele verworvenheid van de financiele theorie. (Indien die twee prijzen mochten verschillen, dan is er helaas geen vaste regel bekend om uit te maken welke van de twee nu het grootste zal uitvallen.)

80


Het resultaat van Black heeft ook praktisch belang, bijv. voor futuresopties . Er bestaan nl., naast de bekende opties op staatsobligaties, edele metalen, vreemde valuta's, ... ook opties op futures op deze goederen. Voor een beter begrip van deze materie is het nuttig om de "gewone" opties op goud, .... te beschouwen als opties op de zg. contantprijs (of spotprijs) van het onderliggende goed; opties op een futurescontract zijn dan opties op de fu toresprij s. De genoemde stelling van Black nu levert een middel om een aanvaardbare prijs voor opties op futures te bepalen. Hierbij wordt met "aanvaardbaar" bedoeld dat bij die prijs arbitragemogelijkheden uitgesloten zijn. Het blijkt dan dat de prijs voor een Europese call op een futurescontract berekend kan worden met kleine veranderingen van de klassieke formule van Black en Scholes voor "gewone" opties, tenminste indien de interest niet van het toeval afhangt. (Een optie heet Europees als de uitoefening slechts op de afloopdatum plaats kan vinden; Amerikaanse opties kunnen op elk gewenst tijdstip gedurende hun leven worden uitgeoefend.) Futures kennen geen rentebelasting, wat de toepassing van de Black-Scholesformule nog eenvoudiger maakt. Teneinde een indruk te geven van het belang van Black's resultaat noemen we enkele gevolgtrekkingen, die betrekking hebben op het eenvoudigste geval van constante interest en bij verwaarlozing van transactiekosten en dividenden. ( 1) De futuresprijs ( = de termijnprijs) ontstaat door de con-

tantprijs (of spotprijs) tegen samengestelde interest uit te zetten. (2) Terwijl de put-cal/pariteit geldt voor opties op de contantprijs, geldt deze relatie niet voor Europese opties op de futuresprijs, maar is een kleine wijziging wel geldig.

Die eaU-putrelatie zegt dat voor twee klassieke opties op eenzelfde waarde en met dezelfde uitoefenprijs en afloopdatum het volgende geldt: putprijs

=

eaUprijs minus huidige "intrinsieke waarde" .

81


82

Met "intrinsieke waarde" wordt dan bedoeld: huidige contantprijs minus huidige waarde van de uitoefenprijs. (De aanhalingstekens geven aan dat deze definitie van intrinsieke waarde niet helemaal correct is; valt het bedoelde verschil positief uit, dan is alles in orde.) De berekening van de huidige waarde van een goed of een bedrag vindt hier plaats op grond van de veronderstelling dat dit goed nstcovrij tegen samengestelde interest uitgezet wordt. Dit eenvoudige begrip van huidige waarde (actualisatie, discontering, ... ) speelt een fundamentele rol in de financiele theorie. Voor opties op een futurescontract luidt de gewijzigde callputpariteit:

putprijs = caBprijs rotoresprij s)

huidige

waarde

(uitoefenprijs

Als we hierin de futuresprijs vervangen denken door de contantprijs (van een aandeel), dan gaan de twee formules wel heel sterk op elkaar lijken, met dien verstande dat in de laatste twee keer een "huidige waarde" genomen moet worden. Zoals steeds worden deze nuttige eigenschappen van calls en puts, die overigens nog met vele andere kunnen worden aangevuld, bewezen door het arbitragebeginsel los te laten op handig gekozen portefeuilles. Van meet af aan hebben zowel termijn- als futuresmarkten vooral gediend om reeds vandaag de prijs vast te leggen waarvoor een waarde op een later tijdstip gekocht (of verkocht) kan worden. De eenvoudigste manier om dat te bewerkstelligen is ongetwijfeld het kopen van een enkel termijncontract. Dezelfde strategie, nl. het innemen van een lange positie, lukt echter niet met een futurescontract. Door Black is hiervoor een iets ingewikkeldere strategie in termen van meerdere futurescontracten uitgewerkt. Zoals al eerder gezegd, bieden futures een uitstekend middel bij het "hedgen". In wezen wordt daarbij gebruik gemaakt


van de zeer aannemelijke convergentieveronderstelling dat de contantprijzen in de loop der tijd steeds dichter bij de futuresprijs komen te liggen. Nu is het convergeren van die contantprijzen naar de futuresprijs een ingewikkelde zaak, die door vele factoren (kosten, seizoensinvloeden, wijzigingen in vraag en aanbod, interestschommelingen) wordt beïnvloed. Daarom is het niet altijd even simpel om een bepaald verwacht prijspatroon van de onderliggende waarde op te vangen door futurescontracten.

Redging met futures Futures- en termijncontracten zijn klassieke middelen om een portefeuille te beschermen tegen de boze wereld. Daarom dient zeker enige aandacht te worden besteed aan enkele bedgingmethoden m.b.v. futures. Futures als verzekeringspolis!

Een eerste indeling, die aan duidelijkheid niets te wensen overlaat, is die in totale en in partiele hedgings. Soms is de afweging tussen een gehele, dan wel een gedeeltelijke bescherming verre van eenvoudig, wegens het meespelen van vele factoren. Een volgende classificatie kent het onderscheid tussen lange en korte bedges met futures. Ook deze terminologie spreekt voor zichzelf: in een lange hedge zoekt men bescherming door futures te kopen, terwijl in een korte hedge met dit doel futures juist worden verkocht. We bekijken enkele

Voorbeelden ( 1) Een onderneming denkt over zes maanden een lening te moeten sluiten en vreest dat tegen die tijd het geld duurder zal zijn. Zij kan de huidige lage interest vergrendelen door futures op staatsleningen te verkopen. (Immers, een rentestijging veroorzaakt een prijsdaling van obligaties.) (2) Een beheerder van een beleggingsfonds verwacht over drie maanden belangrijke inkomsten, maar bovendien

83


binnenkort een scherpe daling der rentevoeten. Hij/zij kan een behoorlijk rentepeil vastleggen door een futurescontract op staatsobligaties te kopen. Telkens is er sprake van een tegenzet in futures, waardoor het risico van ongunstige prijsveranderingen wordt verminderd. Het paradoxale standpunt kan worden verdedigd dat, als er geen futuresposities zouden worden ingenomen, er sprake is van speculatie : de prijs gaat niet doen wat de indicatoren voorspellen. Uiteraard hoeft de hedger niet te wachten tot het aflooptijdstip van de transactie waarvoor de futureshedge is opgezet. Zodra de beoogde prijsbescherming overbodig dreigt te worden kan de lange, dan wel korte, futurespositie beter worden opgeheven. In bovenstaande voorbeeldjes had de bedging zeer wel kunnen plaatsvinden in termen van termijncontracten. De bruto opbrengst van termijncontracten ligt meestal zelfs iets boven die van futurescontracten, maar de laatste brengen dankzij hun standaardisaties minder kosten mee en genieten daarom steeds meer de voorkeur. Ook wordt vaak cross bedging ("kruishaag"?) toegepast. Daarbij wordt naast een hedge met een passend termijncontract een tweede haag gezet in termen van een future op een aanverwant product. Hoe valt de vergelijking uit tussen bedgen met opties en bedgen met futures? Beide instrumenten zijn klassieke middelen om risico's te verminderen. Opties leveren een éénzijdige afgrendeling (zij bevatten een voorrecht) en futures een tweezijdige (zij houden een verplichting in). Beide brengen ook transactiekosten mee. Maar bij opties kent men de maximale kosten bij voorbaat (nl. de optieprijs en die blijft constant), terwijl bij futurescontracten de verzekeringskosten grotendeels bepaald worden door de vooralsnog onbekende toekomstige ontwikkeling van de contantprijs. Voor de meeste futures (en vooral voor die welke voor beide partijen bruikbaar zijn bij hedging) liggen deze kosten echter beneden die van corresponderende opties.

Prijsindicatoren Behalve als verzekeringspolis dienen futures ook als prijs. aanduiding. Daarmee wordt bedoeld dat de prij zen die

84


genoemd worden in futurescontracten algemeen bekend zijn en daardoor voor alle betrokkenen (producenten, consumenten en handelaren) dienstig zijn als leidraad voor de bepaling van de prijzen der onderliggende waarden. Dat zoiets mogelijk is volgt uit het feit dat de prijzen van futures de contantprijs verbindt met de kosten van fondsen tussen heden en de afloopdatum. Deze laatste kosten, de zg. carrying costs, omvatten in de eerste en belangrijkste plaats de geldende interesten. De orthodoxe termijncontracten, die tijdens hun hele leven in een financiële winterslaap zijn verzonken, zijn ongeschikt voor elke prijsaanduiding. Een belangrijk gevolg van de standaardisatie van futurescontracten die ter beurze worden aangeboden, is de grote liquiditeit. Door de toenemende belangstelling van bedgers en speculanten maakt die liquiditeit het mogelijk om transacties vlot en snel te doen verlopen. In dit verband is het een zeer interessant probleem waarom het ene futurescontract wèl succes kent en het andere niet. Van twee contracten, die erg veel op elkaar lijken, kan het ene een grote omzet krijgen, terwijl het andere na verloop van tijd bijna niet meer verhandeld wordt. Zo werden in 1982 door de Chicago Board of Trade futures op T-bonds uitgegeven met uitéénlopende levensduur (ongeveer 2, 4, 6 en 10 jaar), waarvan die van 6 jaar een groot succes bleken en de andere een fiasco. Dit voorbeeld is met vele Ondanks veel onderzoek is het nog andere aan te vullen. steeds niet mogelijk om bij voorbaat te zeggen of een nieuw futuresproduct succesvol zal zijn (iets wat beurzen heel graag zouden willen). Veel strategieën met opties hebben een tegenhanger in termen van futures. Zo vormen futuresspreidingen een belangrijk middel voor hedgers, zowel als voor speculanten, in futures. We zullen kort enkele kenmerken van deze spreads de revue laten passeren.

Futuresspreidingen Een spread in futures is het gelijktijdig aangaan van twee futurescontracten: een lange positie een markt en een korte in dezelfde of een aanverwante markt. Daarbij is vooral van

85


belang de spreidingsbasis deze twee futures.

d.w.z.

het verschil in prijs tussen

Enkele voordelen van futuresspreiding boven enkelvoudige futures. • Als een markt grote volatiliteit vertoont (bijv. grote dagelijkse schommelingen in de contantprijs), dan vermindert een geschikte spreiding het risico veel meer dan een enkel futurescontract dat kan, terwijl ook de opbrengst/risicoverhouding veel gunstiger kan liggen. • Zekerheidsstellingen liggen voor spreidingen gewoonlijk lager dan voor enkelvoudige posities. • Ervaring opgedaan met spreidingen is vaak ook nuttig bij het hanteren van enkele futures. Het spreiden van futures geschiedt gewoonlijk • Op dezelfde markt, maar met verschillende tijden, bijv. lang DEC en kort MRT. • Op verschillende markten, dus lang in goed #1 en kort in goed #2. Veel van de bekende filosofie over optiespreidingen laat zich zonder moeilijkheden overbrengen naar de situatie met futures. Het opvallende is dat men in Europa beter met opties vertrouwd is dan met futures, terwijl dat in VS juist andersom ligt. In Amerikaanse literatuur worden dan ook vele kenmerken van opties uitééngezet aan de hand van reeds aanwezig veronderstelde voorkennis over futures. Deze aanpak moet in Europa juist worden omgedraaid.

ROTTERDAMSE OLIEOPTIES Wanneer

opties

mogelijk?

Niet alle economische goederen zijn geschikt om op de Optiebeurs als onderliggende waarde te dienen. Zo zal niemand het in zijn hoofd halen opties op huizen of landerijen te schrijven (hoewel misschien een straddle nog niet zo kwaad Enkele noodzakelijke (maar niet voldoende) zou zijn). geschiktheidsvoorwaarden zijn gauw opgesomd.

86


Zo dient

het economisch goed

hoeveelheden te worden • in voldoend grote verhandeld en wel • tegen een koers die op regelmatige wijze publiekelijk ge noteerd wordt, terwijl • een behoorlijke volatiliteit (of wildheid) van die koers tot aanbeveling strekt. • Ook is een grote publieke belangstelling voor de onderlig gende waarde van doorslaggevend belang. • Wil een Optiebeurs goed functioneren, dan is een behoorlijk volume noodzakelijk, teneinde prijsbeïnvloeding door een kleine groep beleggers (cornering) te voorkomen. Welnu, olie en olieproducten voldoen ruimschoots aan deze voorwaarden en het mag dan ook verwondering wekken dat de Optiebeurs te Amsterdamzulke opties nog niet eerder in haar pakket heeft opgenomen. Die volatiliteit van olieproducten wordt beheerst door talrijke omstandigheden, van aard uitéénlopend van politieke, via geografische tot economische factoren. Uiteraard hoort ook OPEC in dit lijstje thuis, benevens seizoensschommelingen (waaruit arbitragemogelijkheden voortvloeien). EOER Het is daarom begrijpelijk dat de EOE de EOE Rotterdam opgericht heeft, waarbij de eerste letter staat voor Energy (en niet voor Erasmus). Zoals de naam aangeeft, stelt deze Energy Options Exchange Rotterdam N. V. zich tot taak binnen afzienbare tijd opties op olieproducten ter verhandeling aan te bieden. Vrijwel alle EOER-aandelen zijn in handen van de EOE, terwijl een klein percentage ressorteert onder de Rotterdamse Kamer van Koophandel. De keuze van Rotterdam als vestigingsplaats ligt voor de hand: hier bevindt zich immers 's werelds grootste spotmarkt voor olie. Deze keuze is in hoge mate mede heinvloed door verzoeken van de Rotterdamse oliehandel. Verwacht mag worden dat het schrijven van opties van de zijde van grote investeerders zal komen, terwijl olieopties vooral door het beleggende grote publiek gekocht zullen worden.

87


Er zijn echter aanloopproblemen en de directie van EOER staat voor een delicate taak. De practici in de oliehandel hebben beroepshalve nog geen ervaring in opties opgedaan en het nieuwe medium geeft begrijpelijkerwijs aanleiding tot vele vragen en twijfels. De directie van de nieuwe Beurs staat voor de niet geringe opgave deze vraagtekens door een juiste en verhelderende voorlichting om te zetten in een positieve appreciatie. De twee pijlers van de Amsterdamse Optiebeurs, nl. standaardisatie en garantie (door een Clearingorganisatie) zullen ook de Rotterdamse Beurs schragen. De eerste opties, die betrekking zullen hebben op telkens 100 ton gasolie, zullen aangeboden worden met uitoefenprijzen die "mooie" getallen zijn en stappen maken van tien dollar (alles zal in dollars gaan), terwijl de looptijden 1, 2, 3, 6, 9 en 12 maanden zullen bedragen. Begonnen wordt met minstens drie klassen calls en drie puts gasolie, waarvan de premies steeds in dirnes worden afgerond.

Behalve genoemde looptijden, is er nog iets dat doet denken aan de recente Amsterdamse indexopties: gasolieopties zullen Europees zijn (d.w.z. slechts op hun laatste levensdag uitoefenbaar) en verrekeningen vinden contant plaats. Fysieke levering van 100 ton gasolie per optie valt dus niet te vrezen! Daarentegen zijn de contante verrekeningen (cash settlements) eigenlijk slechts mogelijk dankzij een recente wijziging in de Wet op de Kansspelen. Enkele

problemen

De eerlijkheid gebiedt ook enkele te duchten moeilijkheden te vermelden. • Is de oliehandel wel rijp voor opties? Dat is, gezien de al eerder gesignaleerde onbekendheid van de handel met opties, een kwestie van afwachten (niet lijdzaam, maar met actieve voorlichting). Op papier zijn de voordelen van olieopties tastbaar, maar de werkelijkheid kan tegenvallen. • Een technische, maar niet onbelangrijke moeilijkheid is gelegen in het bevreemdende feit dat er in Rotterdam geen

88


contante prijszetting voor olieproducten bestaat. Een gevolg hiervan is dat in dit tijdperk van ruime electronische informatie geen betrouwbare "real time" koersaanwijzingen op de schermen verschijnt. En aan de gang van zaken op de Optiebeurs in Amsterdam is in alle duidelijkheid te zien hoezeer het succes van die beurs afhangt van de ogenblikkelijke beschikbaarheid van koersinformatie. Het feit dat olieopties, zoals gezegd, europees zullen zijn, hangt met deze onvolkomen informatie samen.

Overigens ware het gewenst om, zoals dat bij meer commodity contracten het geval is, de uitoefening te laten afhangen van het gem i d de I de van de beursprijzen over een zekere voorgaande periode en niet uitsluitend van de beursprijs op de laatste dag van het contract. Hiermee wordt een mogelijkheid tot manipulatie van die prijs enigszins verijdeld. Start EOER Op grond van deze en andere redenen heeft de EOER besloten om te beginnen met termijncontracten i.p.v. met opties. (Het verschil tussen deze twee financiele instrumenten is bekend: uitoefening van termijncontracten is verplicht, maar uitoefening van een optie is een recht dat de houder toekomt. Daardoor zijn opties in velerlei opzicht veel soepeler dan termijncontracten.) Deze termijncontracten, alsmede de later voorziene opties, zullen in het begin gebruik maken van Londense specificaties. De International Petroleum Exchange (IPE) maakt op grote schaal de handel mogelijk in gasolie, zware olie en premium leaded gasoline future s in het AR A-gebied (Amsterdam, Rotterdam en Antwerpen) tegen gestandaardiseerde voorwaarden. Hun prijzen worden voortdurend vermeld op Reuters schermen. DIN vs

IPE

De kneep zit er nu hierin dat deze IPE specificaties in sommige opzichten (o.a. van natuurkundige en/of

89


scheikundige aard) afwijken van de DIN (Deutsche Industriele Normen). Als we bedenken dat verreweg het grootste deel van de Rotterdamse oliehandel op Duitsland gericht is, dan wordt het duidelijk dat deze handel zich veel beter thuisvoelt in een DIN- dan in een IPE-milieu. Termijncontracten op DIN -specificaties zouden voor de nieuwe Rotterdamse beurs de voorkeur verdienen. Een optiebeurs staat of valt met haar corps Market Makers. Dit zijn leden van de beurs die, uitsluitend voor eigen rekening (dus bijv. niet in opdracht van het beleggend publiek) bieden laatprijzen aankondigen (luidop, zodat iedereen op de vloer het goed kan horen), waarvoor zij bereid zijn te kopen en te verkopen. Zij moeten daarmee zorgdragen de markt aan te zwengelen.

Dit gaat gepaard met enorme risico's, waartegen de MM's zich dienen in te dekken. Ook hierin zal de Londense Beurs voorzien: de Rotterdamse MM's kunnen zich veiligstellen door middel van de Londense futures. GULDEN/OLIE-OBLIGATIES Heel instructief is de bestudering van zeker mengsel van obligaties en opties. Er bestaan tegenwoordig opties op een onderliggend goed (waarvoor men steeds leze olie , gasolie of een ander geschikt commodity), waarvan op de uitoefeningsdag niet de prijs zelf beslissend is, maar veeleer een bepaalde uitdrukking van de voorafgaande prijzen. Men denke daarbij bijv. aan het volgende (aan de praktijk ontleende) voorbeeld: als afrekeningsprijs van een olie-optie geldt de gemiddelde olieprijs gedurende een zekere tijdsspanne aan het einde van de levensloop van de optie. Voor zo'n oliecall is dan de intrinsieke waarde juist het verschil uitoefenprijs minus dit gemiddelde (indien dit positief uitvalt; anders nemen we nul). Heel wat contracten die samenhangen met zg. commodities bevatten voorwaardelijke aanspraken die geformuleerd zijn in termen van gemiddelde prijzen. (De terminologie "voorwaardelijke aanspraken" is bedoeld als vertaling van

90


91

contingent claims . Zodra er sprake is van een financiele beloning die afhangt van een toevalsproces waarvan de uitkomst nog in de schoot der toekomst is verborgen, is CCanalyse wel een eerste onderzoeksmiddeL Opties zijn bijzondere CC's.) Als voorbeeld nemen we de guldenlolie-obligatie van Oranje- Nassau. Debitrice van deze emissie van 125 mij uit 1985 is de Haagse Oranje-Nassau Groep B.V. Het betreft een 6.5% obligatie aan toonder, met een looptijd van 8 jaar en jaarlijkse aflossingen op 15 juni van 1990 tot 1993. Deze aflossingen vinden teresssante voorwaarden:

plaats

onder de

volgende

in-

• "... iedere obligatie van nominaal duizend gulden zal worden afgelost met de alsdan geldende tegenwaarde in guldens van 10,5 vaten Noordzee-olie, met een minimum van duizend en een maximum van tweeduizend gulden." ... • " De debitrice is gerechtigd tot gehele of gedeeltelijke vervroegde aflossing over te gaan op 15 juni van de jaren 1986 t/m 1992, indien de tegenwaarde van 10,5 vaten Noordzeeolie meer bedraagt dan f.2000,- ... " Tenslotte citeren we de hierboven reeds aangekondigde gemidde /de-clausule. • " De Oliewaarde zal gelijk zijn aan de gemiddelde spotmarktprijs in US$ van een vat olie van de kwaliteit Brent over de periode van 12 kalendermaanden eindigend op 31 maart van de genoemde jaren, vermenigvuldigd met 10,5." (Bedoeld wordt het gemiddelde van de dagelijkse noteringen.) Doel van de emtsste was de financiering door de dochter Oranje-Nassau Energie B.V. van grote investeringen in hoofdzakelijk de olieproductie op de Noordzee. Iedereen weet dat in 1986 de prijs van ruwe olie flink is gedaald, waardoor de exploratieactiviteiten sterk zijn teruggelopen en de productie van reeds gevonden olievelden is uitgesteld. Deze "rust op de Noordzee" zou wel eens kunnen betekenen dat binnen afzienbare tijd OPEC (met Saoedi-Arabie als "swing producer") een groter stuk van de "oliekoek" kan bemachtigen, waardoor een prijsstijging verwacht moet worden.

92


V er band

met opties

Wat heeft dit alles met opties te maken? Het vergt niet eens veel nadenken om in te zien dat dit contract er werkelijk om vraagt via opties gevalueerd te worden. We kunnen het direct uiteenrafelen in drie onderdelen: • een gewone obligatie, • een Europese call op 10.5 vaten en • een Amerikaanse call met Oranje Nassau als houder. Bovendien moeten we bedacht ztJn • de $/DFL koers • de loting.

op

DOLLAR/GULDENKOERS De bedoelde Brent mix wordt door Platt's dagelijks in dollars genoteerd , terwijl het contract in guldens is uitgedrukt (op basis van het gemiddelde van de dagelijks te Amsterdam vastgestelde officiele wisselkoers over de periode van 12 kalendermaanden ... ) waardoor de dollar/guldenkoers ook een "duit" in het zakje doet. LOTING

Maar er is nog een toevalselement aanwezig, nl. het feit dat er, zoals gebruikelijk, geloot wordt bij de aanwijzing van de af te lossen obligaties. Het hangt echter vooral af van de invloed van OPEC en de dollar/guldenkoers of de aflossing boven pari zal zijn. Black-Scholes Als we geen rekening houden met de clausule over het gemiddelde, is elk van deze opties vrij eenvoudig te valueren. Men gebruikt daarvoor bij voorkeur het klassieke model van Black en Scholes, dan wel een verfijning daarvan. Het verrassende is nu dat de Oranje Nassauobligaties aanzienlijk goedkoper bleken dan hun theoretische waarden! Voor out-oft he-money opties (die per definitie geen intrinsieke


waarde meer herbergen) kan dit verschil wel een 15% belopen. Er is wel gesuggereerd dat er ten onrechte gewerkt is met de gewone risico-vrije interest. Aanpassing van deze grootheid leidde weliswaar tot realistische prijzen, maar dit ging gepaard met dermate onwerkelijke interestvoeten dat de oplossing daar niet kan liggen. De enige gevolgtrekking die overeind blijft is wel dat de standaardoptie (met eindwaarde de waarde op de afloopdatum) een slechte benadering is van de gemiddelde-eindprijsoptie. De wiskundige aanpak van het probleem om dergelijke gemiddelden in het spel te betrekken bestaat uit het opstellen van een geschikte vergelijking voor de gezochte prijs. Deze vergelijking is niets anders dan een herformulering van een bekend principe uit de financiele theorie, nl. van het arbitragebeginsel, volgens welke het niet mogelijk is geld te ereeren zonder risico's te lopen. Die bewuste vergelijking heet een partiele differentiaalvergelijking (PDV). Er is een onoverzienbare bibliotheek volgeschreven over PDV's. Er bestaan o.a. numerieke oplossingsmethoden, die benaderingen van de oplossing geven in het (vaak voorkomende!) geval dat er geen exacte oplossing kan worden gevonden. Eén van deze numerieke methoden staat bekend als de Monte Carlomethode, omdat er (ogenschijnlijk) in het wilde weg en herhaaldelijk bij gegokt moet worden. Twee financiele onderzoekers van de Brasmus Universiteit Rotterdam hebben onlangs een aanpak van het "Oranje-Nassauprobleem" onthuld, waarbij de PDV wordt vervangen door een nieuwe PDV die numeriek veel beter hanteerbaar is. Wat zij gedaan hebben komt er op neer dat de "gewone" twaalfmaands-gemiddelden, waarvan hierboven sprake, vervangen worden door het zg. meetkundige gemiddelde over die 12 maanden. (Meetkundige gemiddelden ontstaan door bijv. 360 spotprijzen te vermenigvuldigen en daar dan de 360ste wortel uit te trekken. Meetkundige gemiddelden zijn altijd kleiner dan hun "gewone" collega's.) De nieuwe PDV blijkt

93


zonder veel kunstgrepen exact oplosbaar en zijn oplossing kan als goede benadering voor die van de oude PDV gebruikt worden. Er wordt in kreeftegang gewerkt, d.w.z. teruglopend in de tijd. Eerst wordt het laatste jaar van voor naar achteren afgewerkt. De prijs op 15 juni 1992 wordt dan gebruikt als beginprijs voor de volgende 12 maansperiode naar voren, ...

De resultaten zijn bemoedigend, maar lijken nog niet definitief. Behalve het feit dat er nog geen goede verklaring gevonden is voor het voordeel dat de nieuwe PDV boven de oude biedt, zijn er nog onverklaarde forse afwijkingen tussen marktprijzen en theoretische prijzen. De nieuwe aanpak is echter heel bemoedigend en verdient zeker veel aandacht. Met name wordt gedacht aan toepassing op de olieopties in Rotterdam.

94


4.

BINOMIALE OPTIEVALUATIE EN HET BLACK & SCHOLES MODEL

In de optietheorie staat het model van Black & Scholes centraal. Laten we nu allereerst de discrete versie van de Formule van Black & Scholes afleiden voor de Europese call ("Europees" wil zeggen dat de optie pas op zijn afloopdatum uitgeoefend kan worden; "Amerikaanse" opties kunnen ook voor de afloopdatum worden uitgeoefend.) Deze discretisering van het probleem is afkomstig van Cox en Rubenstein (1979). Het allereerste belang van het binomiale optievaluatiemodel is de pedagogische waarde ervan. Bijna alle belangrijke theoretische aspecten komen reeds aan de orde bij deze aanpak. Bovendien biedt de binomiale optievaluatie een efficiënte numerieke procedure voor het valueren van gecompliceerde optiecontracten. Zo kan bijvoorbeeld de algemene oplossing voor de Amerikaanse call-optie bij een stochastische rentevoet benaderd worden m.b.v. deze techniek.

Het

binomiale

optie-prijs-model

Laten we de looptijd der call-optie van t (heden) tot T (het expiratietijdstip der optie) verdelen in n intervallen met ieder gelijke lengte 't/n := (T-t)/n. De tijdstippen waarop gehandeld kan worden geven we aan met ti = t +i('t/n), i = 0,1 ,... ,n. We zullen deze tijdstippen in opklimmende volgorde nummeren met de getallen T-n,T-n+1, ... ,T en merken op dat we aldus de handelstijdstippen weergeven via de betreffende nummers.

95


96

< tijdas t .

t 1

I

t

t . .. I+

I

n

=T

expiratietijd der optie

We nemen aan dat (1) de markt "frictionless" transactiekosten, belastingen, etc.),

is

(dus

er

zijn

geen

(2) de risicovrije rentevoet r constant is over [t, T], dus over de looptijd der optie, (3) gèèn dividend wordt uitbetaald over [t,T] op de onderliggende waarde, (4) alle investeerders het er over eens zijn dat (onder de gebruikelijke onafhankelijksvoorwaarde) voor i = T-n, ... ,T-1 geldt met kans q met kans 1-q, waarbij u,v,q constanten zijn met V< rt/n < u, 0 < q < 1; Si is de koers op tijdstip met nummer i. (De aandeelprijzen volgen een zogenaamd multiplicatief binomiaal proces.) Zij T-1

J ==

L 1<

si+l

i=T-n

(4.1)

= si eu ),

97


dus J is het aantal keren dat de koers van het onderliggende aandeel Sj springt naar Sieu. Uit onze kennis omtrent de binomiale kansverdeling (zie Appendix) weten we dat J - Bin(n,q). Ook merken we op dat Si+1/Si

(4.2)

=

eu ev

met kans q met kans 1-q

en dus (4.3)

met kans q met kans 1-q,

u

ln(Si+ 1/Si) =

V

zodat E(Si+1/Sj)

(4.4)

= qeU +

Var(Si+ 1/Si)

(1-q)eV,

= q(1-q)(eU-eV)2

en (4.5)

E(ln(Si+1/Si))

= qu

Var(ln(Si+ 1/Sj))

+ (1-q)v,

= u2q

+ v2(1-q) - (qu + (1-q)v)2.

Bovendien, als we Sr -n identificeren met S of St (dus de koers op tijdstip t), dan geldt Sr = S~U+(n-j)v

(4.6)

j=O, 1, ... ,n, zodat (4.7)

Sr

= seJu+(n-J)v;

en dus (4.8)

E(ln(Sr/S))

= (q(u-v)+v)n,

ln(Sr/S) = J(u-v)+nv


98

Var(ln(Sr/S)) = q(1-q)(u-v)2n. We kunnen nu op de diverse tijdstippen een portefeuille construeren van aandelen en obligaties die op tijdstip r met zekerheid 1 gulden opleveren, zodanig dat de cashflow van de call-optie precies gedupliceerd wordt over de looptijd der optie [t,r]. Het idee waarop deze constructie is gebaseerd kunnen we reeds duidelijk maken als we voor het gemak kiezen n=1 (slechts één interval dus). In dat speciale geval hebben we dan de volgende situatie: de huidige aandeelkoers S=St kan op de expiratietijd der optie opgelopen zijn tot Ste u (dit geschiedt met kans q) of gedaald zijn naar Ste v (dit geschiedt met kans 1-q). In formulevorm: met kans q met kans 1-q. Zij K de uitoefenprijs der optie. Nu weten we dat op tijdstip r (de expiratietijd) de call-optie de waarde Cr = max(O,sr-K), heeft, als tenminste gegeven is dat Sr = sr van een zekere getal sr, dus gegeven dat de eindkoers sr is. We construeren nu een portefeuille op tijdstip t (heden), van aandelen en obligaties, zodat de cash-flow van deze portefeuille precies de cash-flow der call-optie dupliceert. Als we dat voor elkaar kunnen krijgen dan zal de waarde der cali-opties gelijk moeten zijn aan de waarde van die portefeuille. Zij n het aantal aandelen en m het aantal obligaties in die te kiezen portefeuille n op tijdstip t. Bovendien, laat V en W de stochastische waarden zijn op tijdstip r van de call-optie resp. de portefeuille n, gezien vanuit tijdstip t. Vanwege aanname (4) geldt V=

W=

max(O,St9U-K)

met kans q

max(O,SteV-K)

met kans 1-q,

n St9U+ m

met kans q

n Stev+ m

met kans 1-q.


We zorgen ervoor dat de portefeuille n en de call-optie precies dezelfde stochastische mogelijkheden hebben als we eisen dat de kansverdelingen van V en W gelijk zijn, dus dat max(O,SteU-K) = nstsu + m max(O,SteV-K) = nStsV + m. Oplossen van de twee onbekenden n en m in deze vergelijkingen levert

We merken op dat n slechts afhangt van St,K,u,v, en n.UU van q (dus niet van de kans dat de koers omhoog springt). We zullen deze rekenpartij nu illustreren aan de hand van een VOORBEELD. We nemen daartoe St= 10 K = 10 eu = 6/5 ev = 9/10, zodat

Sr=

12

9

met kans q met kans 1-q.

De aandeelkoers loopt dus op naar 12 met kans q en zakt naar 9 met kans 1-q. Bovendien, V=

max(O, 12-1 0) = 2 met kans q max(0,9·10) = 0 met kans 1-q

w-

12n + m 9n + m

en met kans q met kans 1-q.

De kansverdelingen van V en W zijn aan elkaar gelijk indien 12n + m = 2, 9n + m = 0

99


100

en dus n = 2/3 en m = -6. De duplicerende portefeuille n op tijdstip t bevat in dit geval dus 2/3 aandelen en -6 obligaties. Deze portefeuille heeft op tijdstip T de waarde met kans q met kans 1-q,

2/3.12 + (-6).1 = 2 2/3. 9 + (-6).1 = 0

hetgeen precies overeenkomt met de stochastische mogelijkheden der call-optie.

We keren nu weer terug naar de theorie. Als er meerdere handelstijdstippen zijn dan werken we terug in de tijd. Zoals beschreven kunnen we uitgaande van het tijdstip T een portefeuille construeren op het tijdstip tn-1, die het gedrag der call-optie dupliceert over het tijdsinterval [tn -1 ,tn ]. Analoog kunnen we uitgaande van tn-1 een duplicerende portefeuille kiezen op tijdstip tn-2 etc. Tenslotte vinden we op deze wijze een portefeuille op tijdstip t, nl. !lt. Daar bovendien aangetoond kan worden dat de op deze wijze geconstrueerde portefeuilles 'self-financing' zijn (uitgaande van !lt budgettair neutraal) wordt het gehele waardeproces der call-optie op deze wijze gedupliceerd en zal dientengevolge de waarde der call-optie op het tijdstip t gelijk dienen te zijn aan de waarde van n t. i.e. de portefeuille op tijdstip t. De waarde van !lt kan echter expliciet worden berekend! Na wat rekenwerk vinden we (uitgaande van n tijdsintervallen) aldus voor de waarde der call-optie op tijdstip t (heden) Cn:

rt

~ ,n

·

n J.

en= e- L \,) cpJ (1-cp) - max(O,se . 0

J=

J'U+(n-J')v

- K),

J

(4.9) waarbij

(4.10) Dat overigens de formule voor Cn correct is kunnen we ook inzien via het zogenaamde "risk-neutrality" argument (JarrowRudd, 1983), waaruit we (zoals we later zullen zien) kunnen concluderen dat


(4.11)

Cn = e-rt E(max(O,Sr-K))

en (4.12)

Daar uit de aannamen in het binomiale optiemodel de kansverdelingen van ST en Si+1 /Si bekend zijn, zijn de verwachtingen van die stochasten in (4.11) en (4.12) direct uit te rekenen. Bijvoorbeeld geldt (zie (4.4)) E(Si+1/Si) = qeu + (1-q)eV, zodat m.b.v. (4.12) volgt dat q =

<1>

(ga na).

Het Black & Scholes prijs-model We zijn nu in staat om een alternatieve afleiding te geven van de beroemde Black & Scholes formule, gebaseerd op het binomiale prijsmodeL We zullen (4.9) gebruiken om de Black & Schol es formule te benaderen (n-->oo) via een zodanige keuze van de parameters u, v en q dat het multiplicatieve binomiale onderliggende proces de lognormale verdeling benadert. Preciezer geformuleerd: we zullen zien dat (bij passende keuze der parameters u,v en q) voor n-->oo de verdeling van Sr (zie (4.6)) gelijk zal zijn aan de lognormale verdeling, waardoor de binomiale optieprijs Cn gelijk zal zijn aan de Black & Scholes prijs (in de limiet). Laten we allereerst even stil staan bij de aannamen die Black & Scholes maakten betreffende het onderliggende aandeelproces, namelijk dat de logarithmische "returns" van het aandeelproces normaal verdeeld zijn. D.w.z.,voor zekere Jl en cr > 0 geldt (met St als aandeelkoers op tijdstip t, etc.) (4.13) waarbij

St+~ t!St

het aandeel "return" is over het tijdsinterval

[t,t+~t],

en Z een standaardnormaal verdeelde stochast. Het riskneutrality argument levert bovendien in geval ~t = t E(Sr/S) = ert.

101


102

Daar m.b.v. (4.13) berekend kan worden dat ook E(Sr/S) = eJlt + a2 t/2, volgt direct de volgende de koppeling rentevoet r:

tussen J.l en a 2 via de

Jl = r - a2/2. Natuurlijk is de Black & Scholes aanname in (4.13) gelijkwaardig aan de bewering dat (4.14) De parameter a2 in deze aanname is de welbekende volatility van het aandeel. In het bijzonder vinden we bij de keuze At = t in de Black & Scholes situatie

zodat E(ln(Sr/S)) = Jlt,

Anderzijds weten we dat in het binomiale geval geldt (4.15)

ln(Sr/S)n = J(u-v) + nv,

met J ... Bin(n,q)

waarbij we de subindex n hebben gebruikt om onderscheid te maken tussen het binomiale model en het model in (4.14). We willen nu de parameters q, u en v in dit binomiale model zodanig kiezen dat de kansverdelingen van ln(Sr/S)n

en

ln(Sr/S),

zoveel mogelijk op elkaar zullen lijken. Daar de binomiale optieprijs toch niet van q bleek af te hangen kiezen we voor het gemak allereerst q = 1/2. In dat geval volgt uit (4.15) direct dat E(ln(Sr/S)n)= n(u-v)/2 + nv,


103

Var(ln(Sr/S)n = n(u-v)2/4 . Vervolgens kiezen we u en v zodanig dat de verwachtingen en varianties van de stochasten ln(Sr/S)n en ln(Sr/S) aan elkaar gelijk zijn. We eisen dus dat J.Lt = n(u-v)/2 + nv, a2t = n(u-v)2/4. Met behulp van de gelijkheid J.L = r - a2t2 volgt dat u = (r- a2/2 )t/n + a"t/n,

Bij deze keuze der parameters u,v en q verkrijgen we direct dat voor n-->oo (4.16) daar uit de Centrale Limiet Stelling (zie Appendix) volgt dat (4.17) P((J(u-v) + nv - J.Lt)/~t)

s: x)

=

P((J(u-v) + nv-nv-(u-v)n/2)/((u-v)"n/2)) P((J-n/2)/"n/2)

s: x) --> N(x)

s: x)

=

voor n-->oo.

De asymptotische kansverdeling van ln(Sr/S)n is dus precies de kansverdeling van ln(Sr/S) uit (4.14) zodat ook (4.18) Samen met toepassing van het "risk-neutrality" argument in het binomiale geval (zie 1.11) levert ons dat Cn = e-tr E(max(O,(Sr)n-K))-->e-tr E(max(O,ST -K)) = C (4.19) als n-->oo '


waarin Cn de binomiale optieprijs voorstelt. Daar de kansverdeling van Sr geheel bekend is kunnen we vervolgens C berekenen. Het blijkt (via de zgn. naïve optievaluatie) dat (4.20)

waarbij (4.21)

d1 = {ln(S/K) + (r + a2/2)t}/cr./t

We zien dus dat we de Slack & Scholes optieprijs C verkrijgen als limiet van de binomiale optieprijzen Cn (n -->oo ).

Commentaar op de Black & Scholes formule We bekijken de Slack & Scholes formule in (4.20) nog wat nader. De SS-formule suggereert dat de juiste verhouding in de equivalente portefeuille tussen aandeel en obligatie de volgende is N(d1) aandelen N(d2)

K-obligaties

(huidige waarde S) (huidige waarde e-trK),

zodat we SN(d1) kunnen zien als de investering in het aandeel en N(d 2 )e-rtK als de geleende som (investering in de obligaties). Het hoofdkenmerk is dat de SS-formule veel lijkt op (4.22) De laatste term e-rtK is het volgens continue interest berekende bedrag dat op dit moment nodig is om na het t-de deel van een jaar een waarde K te leveren ("geactualiseerde uitoefenprijs"; om de gedachten te bepalen: voor K = 100, r = 7.50o/o en t = 9 mnd. is nu 94.53 nodig). Het "SS-geraamte" (4.22) is de intrinsieke waarde van de call indien S > K of anders gezegd indien de call

in-the-money is. De termen S en e-rtK hebben de factoren N(d1) en N(d2), waarin het waarschijnlijkheidstheoretisch gedrag van

104


het aandeel is verstopt via zijn volatiliteit a. We kunnen N(d1) en N(d2) opvatten als probabilistische gewichtjes (gelegen tussen 0 en 1) van S resp. e-rtK. Inderdaad, bekijk eens het extreme geval dat het aandeel geen onbekende koerswijzigingen zal ondergaan. Dan geldt a=O. Plompweg a=O in de SS-formule invullen leidt tot moeilijkheden (delen door 0): we laten daarom langzaam a naar 0 convergeren. Indien S~K, dan zien we direct dat

zodat (denk aan oppervlakte onder de kromme)

en we krijgen (4.22) voor de niet stochastische onderliggende waarde der call. Analoog kan men laten zien dat voor een call die out-of-the-money is, d.w.z. waarvoor

geldt lima-->O C = 0.

Samenvattend hebben we voor de theoretische call-waarde in (4.20) gevonden C = C(S , t, K , r , a)

waarbij S t K r

= huidige aandeelkoers = looptijd der optie in jaren = uitoefenprijs = risicovrije rentevoet a = "volatility" (een maat voor de beweeglijkheid van het aandeel). Als functie van de aandeelkoers ziet de call-waarde er als volgt uit:

105


106

C(S)

Tenslotte merken we nog op dat de jmpljcjete yolatjlity de door de marktprijs M der optie bepaalde volatility is, dus de er zodanig dat als BS-prijs der optie precies M verkregen wordt. We kunnen ook zeggen de impliciete volatility is de oplossing van de vergelijking

M = C(S , t

,

K , r, er)

bij gegeven S, t, K, r en M en onbekende er. De historische yolatility is een statistische schatting der parameter er in de BS-modelaanname betreffende de koersbewegingen (zie (4.14)), op basis van de aandeelkoersen uit het verleden. Op deze statistische schattingsmetbode zullen we hier verder niet ingaan.

Gevoeligheid van de relevante variabelen

BS-prijs

voor

veranderingen

in

Voor de praktijk is het natuurlijk vervolgens zeer van belang hoe de diverse partiële afgeleiden er uit zien. Welnu, het is niet al te lastig om aan te tonen dat (met N'(.) de standaardnormale dichtheidsfunctie) (4.23) call)

s := actas = N(d 1) > o

(d e I t a

(4.24) cal I)

1 := a2ctas2 = N'(d 1)/Ser...Jt > o

(gamma der

der


(4.25) (4.26) der call) (4.27)

actaa = S...Jt N'(d 1) >

o

(4.28) Een andere voor de praktijk relevante grootheid is de elasticiteit van de call; (4.29)

ecall : = ëJC/C I ëJS/S = S N(d 1 )/C.

Als voorbeeld zullen we de formule voor de delta van een call afleiden. Deze delta geeft een indicatie van de waardestijging der call bij een bepaalde waardestijging (kleine) van het aandeel. Uit (4.20) volgt via de bekende kettingregel:

Bovendien ëJN(d 1)/ëJS = N'(d 1) ëJd 1taS, ëJN(d 2)/ëJS = N'(d2 ) ëJd 2taS en

zodat (4.30) Echter de uitdrukking tussen accoladen is gelijk aan 0, zoals we eenvoudig kunnen nagaan, waaruit de bewering voor de delta volgt. De overige afgeleiden volgen op een zelfde wijze. We merken nog op dat we aan het teken der gamma zien dat de callwaarde C een convexe functie is van de aandeelkoers. Aan de tekens der diverse berekende partiële afgeleiden zien we bovendien dat de callprijs een stijgende functie is van S, t, r en a en een dalende functie

107


108

van de uitoefenprijs K. M.a.w. de callprijs stijgt als de koers, de looptijd, de rentevoet of de volatility stijgt, terwijl de callprijs daalt als de uitoefenprijs stijgt. Het is overigens ook nuttig om "gezond verstand" argumenten te geven voor de tekens der diverse afgeleiden. Voor r=0.0625, a=0.3, Kcall=45, Kput=50, t=0.203, zien de delta, de gamma en de theta van een call of put er als functie van de aandeelkoers (S=5, 10, 15, ... ,1 00) als volgt uit:

delta van call als functie der koers 1

~::

I

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

~~~~~~~~~

I

ji

Al.

0 ....-·-·-·-·

1

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

510152025303540455055606570758085909510 0

OI

I I

I I I I I

I I I

1~1;~;

-0.11 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9

f

jdelta van put als functie der • koers

109


0.07 0.06 0.05 0.04

\gamma als functie der koers

::

I \

0.01

\

0 .......... -.~ I I I I I ~=---.-·-·-·-·-·-· 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920

8

7 6

5

4 3

2

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

8 9 1 0111213141516171819 20

9

',

8

7 6

5

\

4 3

koers

'-......-.-.-.-.-.

2

I

0•-·-·-·-·-·~

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0111213141516171819 20

We merken op dat limoo ö(S) = 1.


110

De gevoeligheid van de delta voor veranderingen in de koers S (dus de gamma) is het grootst als de call at-the-money is (d.w.z. als S = K). Het feit dat de theta der call e groter is dan 0 representeert het wegsmelten van de callprijs bij het afnemen van de duur van de looptijd der call.

"Hedging" en het "risk-neutrality" argument In (4.20) hebben we gezien we hoe in het Black & Scholes model de optieprijs afhangt van de aandeelprijs. In dat verband is het zinvol nog enige aandacht te besteden aan typisch economische begrippen zoals "hedging", de "perfect hedge" (soms ook neutrale of risicovrije hedge genoemd) tussen aandeel en optie, en "risk neutrality". Onder hedgjng in het algemeen verstaan we het creëren van een positie van activa waarbij de risico's zich in tegengestelde richting bewegen, zodat het ene risico het andere risico geheel of dus het totale risico der positie gedeeltelijk neutraliseert en kleiner wordt. Laten we als voorbeeld eens de hedge beschouwen van 100 aandelen (long) en een geschreven call op die aandelen, de zogenaamde gedekte call (covered call). We zeggen dat de hedgeratio in dit voorbeeld 1 is omdat tegenover ieder honderdtal aandelen een call staat. Veronderstel dat de openingstransactie plaats vindt op tijd t = 0 en dat op dat tijdstip de aandeel- en callprijzen resp. So en Co zijn. Om de winstmogelijkheden van deze hedge te bestuderen beschouwen we onderstaand optieaandeel diagram (Ct = C(St )). Ö=l

C(S ) verlies raaklijn = 0-lijn bij zekere a in interval (O,oo)

co

A=(SO,C(SO)) winst

so

-->St


Het is duidelijk dat de lijn door A met helling 1 precies de grens aangeeft tussen winst en verlies. We noemen deze lijn de 0-lijn. Duidelijk is ook dat verandering der hedgeratio van 1 in B tot gevolg heeft dat de helling der 0-lijn verandert in B. In de extreme situaties verkrijgen we een horizontale ( B = 0 ) resp. een verticale (B =oo) 0-lijn . Als we nu de hedgeratio variëren van 0 tot oo dan is er één 0-lijn die tevens raaklijn is in A aan de grafiek der prijsfunctie C(St). De bijbehorende hedgeratio noemen we de "perfect hedge" (de delta der optie). We zien dat voor kleine veranderingen in de aandeelprijs de beweging langs de 0-lijn correspondeert met de beweging langs de actuele prijskromme, zodat voor kleine veranderingen in de aandeelprijs de "perfect hedge" risicoloos is (géén winst, géén verlies). Nu kan de perfect hedge steeds weer opnieuw worden berekend (na iedere kleine koerswijziging) en de hedge kan worden aangepast (rebalanced). "In de limiet", dus bij continue aanpassing is de positie risicoloos tot aan expiratietijdstip T, zodat de belgger de risicoloze rente zal verdienen op zijn geïnvesteerde kapitaal (anders zou arbitrage mogelijk zijn). De constructie van de "perfect hedge" is de basis voor het "risk-neutraljty" argument, zoals we dat al diverse keren zijn tegengekomen. We zullen dit laatste begrip hieronder bespreken. In het algemeen wordt geaccepteerd dat beleggers risicoavers zijn: zij dragen niet gaarne risico tenzij zij worden gecompenseerd met een risicopremie. Dit heeft tot gevolg dat in een markt in evenwicht de verwachte opbrengst van risicovolle investeringen groter zal zijn dan de verwachte opbrengst van een ns1covrije investering. Nu is het zo dat in een denkbeeldige economie met risico-neutrale beleggers alle investeringen de risicovrije rente zullen opbrengen, anders zou arbitrage mogelijk zijn. Echter, de "perfect hedge", continu aangepast, is risicoloos, zodat géén additionele risicopremie nodig is voor risico-averse beleggers. De perfecte hedge, gezien als portefeuille, zal hetzelfde waard zijn voor zowel risico-averse als risico-neutrale beleggers. Deze redenering -"het riskneutrality argument"- is afkomstig van Cox & Ross (1976) en komt in het kort hierop neer: Gegeven zijn 2 economieën A en B, identiek in alle opzichten, behalve dat we in A te maken hebben met risico-averse en in B met risico-neutrale beleggers. Veronderstel dat het mogelijk is een perfecte hedge te construeren tussen aandeel en optie. Dan zullen de opties in deze economieën dezelfde waarde hebben. Nu hebben in economie B alle zekerheden als verwachte "return" de risicovrije rente, dus

111


(4.31) en dus (4.32)

Ct= e-rt E(Cr) = e-rt E(max(O,SrK)) ,

waarbij Ct en Cr de call-prijs voorstelt op tijdstip t resp. T. Ook geldt in economie B: (4.33) We merken nog op dat het "risk-neutrality" argument niet vereist dat de aandeelprijzen stijgen met de risicovrije rentevoet snelheid. Het suggereert wel: als een perfecte "hedge" mogelijk is, dan kunnen de opties worden gewaardeerd alsof de aandeelprijzen met die snelheid stijgen. Laten we vervolgens nu eens nagaan wat de delta (of hedge ratio) en het hedgen met de delta voor de praktijk betekent. Zij B de delta van een call op het aandeel XYZ. Uit de definitie van B als afgeleide volgt dat (zeer voorzichtig uitgedrukt):

Een voldoend kleine koersverandering resulteert in een verandering in optiewaarde die ongeveer delta maal zo groot is. Als bijv. B = 0.75, dan geeft een koersdaling van een punt aanleiding tot een waardevermindering van de call met ongeveer 0.75 punt; voor kleine stijgingen van S wordt de call navenant meer waard. Voor een put is delta altijd < 0; als bijv. B = -0.25, dan stijgt (daalt) de put met 0.25 punt als S met een punt daalt (stijgt). We zien dat: call en koers gaan met elkaar mee (delta > 0), put en koers gaan tegen elkaar in (delta < 0). Stel nu dat zekere call XYZ op de EOE-lijst voor f M staat aangeprezen en U vindt dat hij overgewaardeerd is. Dan gaat U hem schrijven, à raison van f 100 M. Even later begint S iets te veranderen (zeg met AS), waardoor ook de optiewaarde wijzigt (zeg met AM) en zijn overwaardering zeer wel kan verdwijnen. Als bijv. AS > 0, dan zal ook AM > 0: er geldt nl. dat ca.

112


(4.34)

113

.1M- 8 .18,

dus in guldens bedraagt de waardeverandering van de optie ca. 100 8 .18. Voor een call (met 8 > 0) betekent dit winst als .18 > 0 en verlies als .18 < 0; voor een put (met 8 < 0) is dit juist andersom: verlies als .18 > 0 en winst als .18 < 0. Als de koers met .18 > 0 stijgt en de call is at-the-money (d.w.z. K - 8), dan zal de houder kunnen uitoefenen en U moet f 1OO(K + .18) uitgeven om voor hem 100 aandelen aan te schaffen, terwijl de houder U hiervoor slechts f 1OOK betaalt. Hierdoor verliest U dus f 100.18 op de reeds geïncasserde callpremie van f 1OOM. De hele onderneming heeft U dus f 100M - 100.18 opgebracht. Voor .18 > M levert dit een verlies. Koop nu eens (gelijktijdig met de verkoop overgewaardeerde optie) 100 181 aandelen XYZ.

van

de

OPMERKINGEN: 1) Voor een call is 8 > 0, dus de absolute-waardestrepen zijn overbodig; we willen het verhaal echter zo opschrijven dat het voor puts analoog gaat. 2) natuurlijk

Gemakshalve hebben we aangenomen dat 100181 een getal is; indien dit niet het geval is, lees dan ROUND(1 00*181)

voor

100181.

3) Voor de hand liggend, maar van belang voor het succes van de hedgingstrategie, is de opmerking dat klaarblijkelijk 100181

s

100,

Hierin geeft het linkerlid het aantal aandelen in de haag aan en het rechterlid het aantal aandelen waarover we zouden moeten beschikken bij het schrijven van een geheel gedekte call. Hoe kleiner 181, hoe zwaarder (en prettiger!) deze Opmerking (3) gaat wegen. We staan nu aan het hoofd van een beginpositie van


1 call XYZ kort en 100 IBI aandelen XYZ lang met een totale waarde W = 100 IBIS -100 M. Laat nu de koers een kleine wijziging, weer AS, ondergaan. Dan verandert de waarde van de positie met, wederom, AW. Er geldt (m.b.v. (4.34)) AW = 100 IBIAS- 100 AM = 1OO(IBI-B)AS. Voor een call is

a > 0, dus

IBI-B = 0 en

AW=O. De positie ondergaat geen waardeverandering bij een kleine koerswijziging, onverschillig of daarbij AS > 0, dan wel AS < 0. En zoals in opmerking (3) bovenstaand aangestipt, hebben we dit bereikt met minder exemplaren XYZ dan nodig voor het schrijven van een gedekte call! Voor een put geldt iets analoogs. Dit voorbeeld demonsteert het defensieve gebruik van de delta bij het schrijven van calls: we trachten zoveel mogelijk neutraal te blijven.

Call-put-pariteit We besluiten onze discussie over call-prijzen voorlopig met een stelling met behulp waarvan we put-prijzen direct kunnen afleiden uit de call-prijzen: STELLING 1.1. (call-put pariteitstelling voor Europese opties (géén dividenden)) (4.35) waarbij Pt de putprijs is op tijdstip t. Interpretatie: de relatie toont aan hoe een call-optie kan worden nagebouwd met behulp van alternatieve zekerheden. De call optie (long) blijkt equivalent aan een put optie (short), een aandeel (short) en een lening van Ke-rt gulden. Een Europese put is eigenlijk een verzekering op het

114


115

aandeel; als de koers beneden K komt dan is het aandeel toch nog K gulden waard. Bewijs Het bewijs der pariteitstelling is gebaseerd op de volgende arbitrage portefeuille, die wordt ingenomen op tijdstip t en geliquideerd op tijdstip T; 1) koop een call 2) verkoop een put 3) verkoop een aandeel 4) koop K obligaties die op tijdstip T ieder met zekerheid één gulden waard zijn.

De "cash-flow" van deze portefeuille geven we aan in de volgende tabel: T

t

positie

S-pK

S,->K

koop call verkoop put verkoop aandeel

-Ct Pt St

0 -(K-Sr) -Sr

koop K 1-obligaties

-Ke-rt

K

K

0

0

totaal

Op tijdstip T is de waarde der portefeuille precies 0. Om arbitrage te vermijden zal de waarde der portefeuille ook op tijdstip t gelijk moeten zijn van 0, waarmee de stelling bewezen is. De formule voor de Europese put volgt uit de call-putpariteit: (4.36)

= -S[1

- N(d1) ] + e·rt K[1 - N(d 2)]


waarbij de laatste gelijkheid direct volgt uit de relatie N(x)=1N(-x),(zie Appendix). We merken tenslotte op dat via de cali-put pariteit uit de diverse partiële afgeleiden voor de call direct de partiële afgeleiden gevonden kunnen worden om de put.

5. VERFIJNINGEN VAN HET BLACK & SCHOLES-MODEL EN TOEPASSINGEN OP ANDERE INSTRUMENTEN DAN AANDELEN

We recapituleren de SS-FORMULES VOOR EUROPESE OPTIES:

P(S , k , t , a, r) = -S N(-d1) - e-tr K N(-d2), waarbij S: K: t: a: r: d1

koers aandeel uitoefenprijs resterende levensduur optie volatiliteit aandeel risico-vrije rentevoet = {ln(S/K) + (r + a2/2)t}/a..Jt

d2 = {ln(S/K) + (r - a2/2)t}/a..Jt = d 1 - a..Jt . We vatten onze bevindingen betreffende de SS-formule nog eens samen. De afleiding van deze formule is onderworpen aan de volgende TIEN GEBODEN: (5.1) Alle opties zijn Europees. (5.2)

De markten werken "zonder wrijving" (d.w.z. er zijn geen transactiekosten en belastingen, de zg."paradijshypothese")

(5.3)

Zekerheidsstellingen (zg. "margin requirements") worden niet verlangd.

116


(5.4)

De aandelen zijn "dividend-beschermd" (d.w.z. betalen tijdens de looptijd van de optie geen dividenden uit).

(5.5)

De handel vindt continu in de tijd plaats (dus dag en nacht zonder onderbreking).

(5.6)

Geld lenen en uitlenen vindt plaats zonder enige restrictie en met constante debetrente = creditrente = risico-vrije rente.

(5.7)

De koers S van het aandeel is logarithmisch-normaal verdeeld met op elk tijdstip t:

(5.8)

De in (5.7) optredende volatiliteit cr is constant gedurende de levensduur van de optie.

(5.9)

De koers van het aandeel verandert continu (d.w.z. maakt geen "sprongen").

(5.1 0)

Aandeelsplitsingen vinden niet plaats.

In wat volgt zullen we allereerst nagaan op welke wijze we de BS-formule op verstandige wijze kunnen aanpassen voor situaties waarbij dividenduitkeringen plaats vinden en/of "early exersize" mogelijk is (dus voor Amerikaanse opties). Vervolgens zullen we bekijken hoe deze aangepaste BS-formule gebruikt kan worden om opties te valueren op allerlei andere instrumenten zoals obligaties, goederen, valuta, futures, beursindices etc.

dividenden en early exersize Merton heeft in 1973 het BS-model verbeterd door bovenstaand gebod (5.4) te laten vallen en dividenden "mee te nemen". Onder "dividends" zullen hier uitsluitend "cash dividends" verstaan worden. Daardoor worden bijv. "stock dividends" (waarbij de onderneming geen geld, maar extra aandelen als dividend uitkeert) geïgnoreerd. De invloed van dividenden op aandelen en opties kunnen we in eerste aanleg als volgt samenvatten: effect van dividenduitkering

117


aandeel cal I put

daalt daalt stijgt

TOELICHTING BIJ AANDELEN: Het effect van dividenden D op de aandeelkoers S van XYZ is in beginsel erg eenvoudig: een dividenduitkering kan beschouwd worden als een gedeeltelijke liquidatie van de onderneming, waardoor de koers van het aandeel zal zakken. De volgende stelling geeft dit effect precies aan: STELLING 2.1. Als vlak vóór de dividenduitkering D de koers gelijk aan S is en vlak daarna S', dan is (onder "normale" omstandigheden, d.w.z. dat arbitragewinsten niet mogelijk zijn) te verwachten dat S' = S- D. BEWIJS. Als we de "paradijs-hypothese" (5.2) aanhouden, dan leidt de negatie van deze bewering tot de volgende arbitragestrategieën: (i) Indien S' > S - D, dan: Koop aandeel XYZ vlak vóór "ex-dividenddatum" en verkoop het direct daarna. Dan betalen we eerst S, strijken D op en verkopen voor S', zodat we S' + D ontvangen en slechts S uitgeven, met S< S'+ D. (ii) Indien S' < S - D, dan: Verkoop XYZ kort direct vóór de ex-dividenddatum en koop het aandeel vlak daarna. Dan ontvangen we eerst S, maar we lopen nu D mis, en geven daarna slechts S' uit, zodat we in totaal S' + D uitgeven maar S > S' + D incasseren. Aangezien arbitragewinsten niet voorkomen zijn beide gevallen onrealistisch en blijft alleen de mogelijkheid dat S' = S - D over, waarmee de stelling bewezen is. TOELICHTING BIJ CALLS: De houder van een aandeel XYZ profiteert uiteraard van D, maar de houder van een ongedekte call doet dat niet. Als het aandeel nog vaak en veel dividend uitkeert voor de afloopmaand van de call, dan zal de callprijs hierdoor fors lager worden. Voor Europese calls hebben we al gezien dat C een stijgende functie

118


van S is; als S daalt, dan doet C dat dus ook! De "snelheid" waarmee dit plaatsvindt is juist de vermaarde delta ö = àC!àS = N(d1) ~ 0.

Voor Amerikaanse calls zijn de "ex-dividend" data van groot belang. Aangetoond kan n.l. worden dat het slechts optimaal kan zijn Amerikaanse calls vlak vóór de ex-dividend data uit te oefenen. Andere tijdstippen komen voor early exersize dus niet in aanmerking. Dit betekent onder meer dat in theorie de Europese en Amerikaanse optie evenveel waard zijn als geen dividenduitkering gedurende de looptijd plaats vindt. TOELICHTING BIJ PUTS: Puts hebben een negatieve delta. Zo was voor een Europese put immers ö

= àP!àS = N(d1) - 1 ~ 0.

Puts zijn derhalve dalende functies van de koers. Als de koers zelf daalt, gaat de putprijs omhoog. De houder van een lange put profiteert uiteraard van de waardevermindering van het aandeel ten gevolge van een dividendbetaling! Voor amerikaanse puts zijn de ex-dividend data veel minder van belang dan voor de amerikaanse calls. Voor deze puts kan het op ieder tijdstip n.l. voorkomen dat uitoefening optimaal is. Dit kan men zeer direct inzien door te bedenken dat theoretisch gesproken op ieder moment de koers van het onderliggende aandeel 0 kan zijn. Op zo'n moment is uitoefening der put uiteraard optimaal. Overigens vormen de tijdstippen vlak na dividenduitkering practisch voor de handliggende tijdstippen om uit te oefenen.

Opmerkingen betreffende ad-hoc aanpassingen van de BSprijs. (A) Uit bovenstaande stelling is duidelijk dat we in de SSformule S dienen te vervangen door S-De-rt', indien het over het aandeel een dividend D wordt uitgekeerd(t' stelt in dit geval natuurlijk de looptijd in jaren tot de eerste dividenduitkereing voor). De huidige waarde van het dividend D wordt dus van de koers afgetrokken.

119


(S) Soms zijn toekomstige ex-dividend dagen niet van te voren bekend en is het nodig zelf de dividendgrootte, alsmede de uitkeringsdata te voorspellen. De meeste ondernemingen hanteren gelukkig dividenden en data die over een periode van negen maanden vanaf heden vrij stabiel zijn en behoorlijk voorspelbaar. (C) Indien helemaal niets bekend is over het toekomstig dividendgedrag van een onderneming, dan is het onmogelijk daartegen een risico-loze hedge te vormen. Daarmee ontvalt de basis van het SS-model. In zo'n geval is geen enkele rationele optie-evaluatie mogelijk! (D) In de weinige resterende gevallen rekene men met de aangepaste SS-formule de callprijs uit voor verschillende keuzen van de dividenden en hun data en neme men van deze resultaten een verstandig gewogen gemiddelde. (E) Als de dividenden D1 ,D2, ... ,Dn "schoksgewijs" worden uitgekeerd, d.w.z. op zekere in de loop der tijd verspreide tijdstippen t1 ,t2, ... ,tn < T, dan kunnen we de gewone SS-formule toepassen op elk der tijdvakjes [0, tj] met aangepaste aandeelkoers S - D'1 - D'2- ... - D'j-1, waarbij D'i de huidige waarde is van het dividend Dj. Als waarde van de Amerikaanse call wordt als benadering vaak het maximum genomen van de aldus uitgerekende callwaarden, terwijl als benadering van de Amerikaanse put vaak wordt genomen het maximum van de analoog berekende putwaarden . (F) Indien géén dividenden worden uitgekeerd dan berekent men voor amerikaanse puts opnieuw het maximum over een aantal SS-waarden, waarbij we de looptijden variëren. (G) Voortijdige uitoefening van een amerikaanse optie kan natuurlijk alleen nuttig zijn als hij in-the-money is; out-of-thamoney hebben prematuur geen enkele waarde. (H) Verfijndere modellen voor het valueren van amerikaanse opties zijn ontwikkeld, maar deze vergen een aanzienlijk grotere rekentechnische inspanning, terwijl in de meeste gevallen de verschillen gering zijn.

120


Formule van

Black-Scholes-Merton

In Merton's model is geen sprake van schoksgewijze dividenduitbetaling, maar van "continue dividenduitkering": op elk tijdstip t tijdens het leven van de optie op XYZ betaalt de firma het bedrag D(t) uit en de afbeelding D: [0, 1] ···> R is een voldoend fatsoenlijke functie. De hoogte van het dividend is veelal afhankelijk van de hoogte van de koers: aandelen met hoge koersen geven vaak hoge dividenden. Hiermee in overeenstemming berust het model van Merton op de veronderstelling dat de continue dividenden voldoen aan D(t)/S(t) = CONSTANT in t. De constante d = 100 D(t)/S(t) verdient de naam van 'procentuele dividendvoet'. PROPORTIONELE DIVIDENDENHYPOTHESE VAN MERTON: Op het aandeel wordt voortdurend dividend uitgekeerd tegen een dividendvoet d die constant blijft gedurende het leven van de optie en dit dividend wordt continu in de tijd berekend. De analogie met continu samengestelde interest ligt voor de hand. Maar terwijl interest toekomstige waarden groter maakt dan huidige, doet dividend de toekomstige aandeelwaarden kleiner dan de huidige maken. In de formule e-rt voor de huidige waarde van 1 gulden na t jaar onder continu interestuitkering, moeten we dus r vervangen door -d, zodat S(t) vandaag onder continue dividendbetalingen e+dtS(t) waard is. De FORMULE VAN MERTON voor de waarde van een Europese call C' bij een dividendvoet d luidt nu C' = e·dt S N([ln(S/K) + (r-d+a2/2)t ]/a~t ) - e·rt K N([ln(S/K) + (r-d-a2/2)t]/a~t) =

C(Se·dt , t , r , a , K)

=

e·dt C(S , t , r-d , a , K).

121


We zien dat de koers S van het aandeel is aangepast i.v.m. de dividendvoet tot se-dt (zoals ook in het discrete geval de koers s was aangepast i.v.m. dividenden.) De benadering van de cali-put pariteit is in deze situatie als volgt P = C - se-dt + Ke-rt . In de praktijk worden dividenden vrijwel nooit continu samengesteld, maar veelal in kwartaalbedragen. De BSM-formule is dan ook slechts een (goede) benadering van de Europese callprijs. In dit verband is het de moeite waard te weten dat De BSM-formule voor een europese call levert een overwaardering vlak voor de ex-dividenddatum onderwaardering vlak na de ex-dividenddatum. Met name obligatie-opties kunnen goed worden gewaardeerd met behulp van het BSM-model. Aanpassingen analoog aan die in het discrete geval zijn ook nu weer mogelijk. We gaan daar echter niet verder op in. Het BSM-model is ook direct toepasbaar op valuta-opties: een call op een valuta kan namelijk worden opgevat als een call op een "aandeel" dat onderworpen is aan de proportionele dividendhypothese waarbij d = r':= de uitheemse risicovrije rentevoet. We verkrijgen aldus voor de waarde van een Europese valuta-cal I C' = C(se-r't , t , r , a, K), waarbij nu S de huidige inheemse contantprijs is van de uitheemse munteenheid. We zien dat we C kunnen berekenen als een functie van de 6 variabelen: S,t,r,r',o ,K. Echter, m.b.v. Fisher's interestpariteitsbeginsel nl.: Fe-rt = se-r't ' waarbij F de huidige (nu te betalen) inheemse termijnkoers op tijdstip t voorstelt, is eenvoudig in te zien dat ook geldt C' = e-rt (FN(m 1) - KN(m 2 )) = C(Fe-rt , t , r , o ,K), waarbij

122

123


m 1 = ln(F/K)/o.Vt + o.Vt/2

zodat we C' ook kunnen berekenen als een functie van de 5 variabelen F,t ,r,o,K. Vervolgens is het BSM-model ook geschikt voor het waarderen van opties op bepaalde "commodities", bijvoorbeeld goud-opties. In die situatie dienen we d = 0 te nemen daar het onderliggend "aandeel" geen uitkering levert. We merken op dat eventuele opslagkosten nog aanleiding kunnen zijn om de waarderingen aan te passen.

Index-producten Er bestaan in principe twee typen indices: a) KAPITAALINDICES. Een kapitaalsindex is de totale kapitalisatie van de onderliggende aandeelfondsen, gedeeld door een deler. De kapitalisatie van een fonds is de float (het aantal uitstaande aandelen) vermenigvuldigd met de aandeelkoers. b) PRIJSINDICES. Een prijsindex is de som onderliggende aandeelkoersen gedeeld door een deler.

van

alle

Afhankelijk van het type index wordt onder bepaalde omstandigheden (zoals aandeelsplitsing) de deler door de indexbeherende instantie aangepast om de continuïteit van de index te verzekeren. Uitgaande van de definitie van de index kan men nagaan wat de invloed is van een koersfluctuatie in één bepaald onderliggend aandeel op de index. We onderscheiden de volgende index-producten: a) INDEX-OPTIES. De onderliggende grootheid is een index en uitoefening der optie geschiedt via een cash-verrekening (verschil tussen index en uitoefenwaarde wordt uitgekeerd). Uitoefening kan soms voordeliger zijn dan het verkopen der optie op de 2e markt (discount!). Een reden om de call-optie uit te oefenen kan natuurlijk ook zijn dat de houder bearish is geworden. b) INDEX-FUTURES. Een goederen future-contract is een gestandaardiseerd contract dat de levering behelst van een


bepaalde hoeveelheid goederen op een bepaalde datum in de toekomst. Index- futures hebben een index als onderliggend goed. Ook hier vindt geen echte levering, maar een cash-verrekening plaats. Future contracten worden vaak verhandeld tegen premies bovenop de onderliggende waarde, vanwege het feit dat de belegger niet de gehele prijs van het onderliggende contract behoeft te betalen bij aankoop van het future-contract Hij spaart dus "carrying" costs of onderhoudskosten uit. Daarom ook zullen contracten met een langere looptijd meer premie vragen. In tegenstelling tot aandelen en opties worden future-contracten verhandeld via "open outcry" op goederenbeurzen. Futurecontracten worden "dagelijks verrekend". OPTIES OP FUTURES. Zoals we al eerder zagen geven futurec) contracten iemand de mogelijkheid in een goed te handelen en daarmee winst- of verliesmogelijkheden te elimineren (tweezijdige afgrendeling). Opties hebben wat meer vrijheid dan de futures (eenzijdige afgrendeling). Opties worden verhandeld op vele typen futura-contracten. De grootheid die ten grondslag ligt aan de optie is het futura-contract, niét het goed zelf. Als men dus de optie uitoefent dan verkrijgt men het future-contract en niet het onderliggende goed. In het geval dat de future-optie als onderliggende waarde een index-future-contract heeft lopen de optie en de future in het algemeen af op dezelfde dag. De meest voorzichtige actie bij een "early assignment" van de indexoptie is het onmiddellijk hadgen der resterende positie. Het eenvoudigste is om futures te kopen of te verkopen, afhankelijk van het feit of de "assignment" een put betrof of een call. Bij een index behoeft men minder bang te zijn voor grote "trading-gaps". Tenslotte merken we nog op dat indexproducten zeer goed kunnen worden gebruikt om een aandelenportefeuille te hadgen (via aankoop of verkoop van futures of opties gebaseerd op die index). THEORETISCHE WAARDE INDEX-FUTURE In geval van continue dividendverrekening geldt TH = IN(1+t(r-d)), terwijl in het geval van discrete dividendverrekening geldt

124


TH = IN(1 +tr) - D, waarbij TH IN

=

't

=

r d

= =

D

=

=

theoretische waarde der future huidige waarde der index looptijd in jaren rentevoet dividendvoet over alle aandelen in index (index-opbrengst) huidige waarde van alle dividenden voorkomend in de looptijd der futura.

Afhankelijk van het indextype zal D o.a. uit de diverse dividend data en bedragen berekend dienen te worden. Overigens is een dergelijke dividend berekening ook noodzakelijk bij het evalueren van opties op indices. We merken voorts nog op dat m.b.v. calls en puts altijd een synthetische indexverhandeling kan worden geconstrueerd.

THEORETISCHE WAARDE INDEX-OPTIE Index-opties hebben een paar unieke eigenschappen die in de beschouwingen betrokken moeten worden als we de theoretische waarden via een model willen trachten te geven. Het BS-model blijkt ook hier zeer goede resultaten te geven (zonder grote complicaties die andere modellen hebben). We hebben al gezien dat de waarde van een future op een kapitalisatie-index de exacte dividend data, de dividendbedragen en de kapitalisatie van ieder aandeel in de index vereist (voor prijsindices is de kapitalisatie niet nodig). Analoge dividendberekeningen dienen te worden gemaakt voordat de SSformule kan worden toegepast voor index-opties. De huidige waarde van het dividend wordt afgetrokken van de indexprijs en het BS-model wordt gebruikt met de aangepaste indexprijs. Bij aandeelopties was er nog een 2de aktie, n.l. het verkorten der looptijd tot de ex-dividend datum, maar dit is uiteraard nu niet van toepassing, daar er zeer veel ex-dividend data zijn. De theoretische waarde van de put wordt vervolgens weer berekend via de cali-put pariteit (het arbitrage-model). Dit voldoet ook voor index-opties daar het mogelijk (hoewel moeilijk) is, deze opties te hadgen via het kopen of verkopen van de hele index. De optie prijzen moeten deze arbitragemogelijkheid weerspiegelen. De putwaarde moet natuurlijk ook de potentiële dividendarbitrage

125


mogelijkheid met de index weergeven, zodat de cali-put pariteit inclusief dividendverrekening van toepassing is.

THEORETISCHE WAARDE INDEX-FUTURE-OPTIE Het BS-model kan ook worden gebruikt om future-optie prijzen te benaderen. De verschillen met de zgn. "exacte" futureoptiemodellen zijn minimaal. Daar er geen rentebelasting is op futures kan men eenvoudig de rentevoet in het BS-model instellen op 0 en dan de theoretische waarde bepalen. Het cali-put arbitragemodel heeft ook een 0-rentevoet en versimpelt aanzienlijk (ook geen dividend en onderhoudskosten bij futures!), dus P = C + K- S,

waarbij P C K S

= putprijs = = =

callprijs uitoefenprijs koers future-contract

In gevallen dat het duidelijk is dat de future zelf misprijsd is kan de theoretische waarde van het future-contract worden gesubstitueerd voor S. We hebben dus gezien dat géén nieuwe modellen nodig zijn om index-opties te waarderen. Men dient louter op passende wijze het dividend, dat in de BS-formule moeten worden gebracht, te bepalen. Een call op een commodity-future kan worden opgevat als een call op een aandeel dat onderworpen is aan de proportionele dividendhypothese waarbij d = r. Het BSM-model is weer van toepassing met d = r. We verkrijgen onder die omstandigheden als waarde voor de Europese commodity-calloptie C: C = C(Fe-rt, t, r, cr ,K),

126


waarbij nu F de huidige (futura) termijnprijs is van het goed voor aflevering op tijd t. We merken op dat Fe-rt := S = de huidige spotprijs van het goed.

6.

DELTA, GAMMA EN THETA VAN POSITIES

We gaan de afgeleiden in de SS-formule toepassen op enkele eenvoudige investeringsproblemen. We beperken ons gemakshalve tot posities bestaande uit calls, puts en aandelen op een en hetzelfde aandeel XYZ, waarvan op een bepaalde datum een zeker aantal verschillende opties op de EOE verhandelbaar is. In onze positie kunnen deze calls, puts en aandelen XYZ lang, dan wel kort zijn. We nemen aan dat onze positie k aandelen (in honderdtallen) bevat; ni calls van het type i (i=1, 1,... ,n) en mj puts van het type j (j=1 ,2, ... ,m). Per type is er dus een verschil in looptijd en/of uitoefenprijs. Uiteraard spreken we af dat deze aantallen positief zijn als we gekocht hebben (long) en negatief als we verkocht hebben (short). De positiewaarde Wpos is nu n

WJXlS = kS

m

+"""' n. C. +"""' m. P1. ~ll~J i=l j=l

waarbij S = aandeelkoers Cj = waarde van de call-optie van het type i, Pj = waarde van de put-optie van het type j.

Delta der positie

Zoals de delta van een optie de (partiële) afgeleide naar S was, is voor de positie op grond van lineariteit Opos = delta der positie = ëJWpos /ëJS

= këJS /ëJS + :E niëJCi/ëJS + :E mj'dPf'dS

127


waarbij Bi = ac jlaS , de delta van de call-optie i, B'j = aP/aS

, de delta van de put-optie j.

Merk op dat voor Europese opties deze delta's bekend zijn, i.e. N(d 1 ) voor de call en N(d1 )-1 voor de put (dit laatste volgt direct uit de cali-put pariteit). Analoog aan de individuele delta's is de positiedelta een maat om de gevoeligheid van de positiewaarde W pos voor kleine veranderingen in de aandeelkoers. De prognose van de strateeg betreffende het koersgedrag van XYZ blijkt uit het volgende: delta negatief

<==> bearish,

delta nul

<==> neutraal,

delta positief

<==> bullish.

Bijvoorbeeld verkrijgen we een delta-neutrale positieverhouding in het geval dat k=O, n = m = 1 indien we kiezen

Wil men algemener in deze situatie een bepaalde STREEFDELTA (target delta) B handhaven, dan kieze men n1 en m1 zodanig dat

Als de neutrale positieverhouding bekend is, dan ontstaat een hausse positie door de positiedelta te vergroten, en een baisse positie door de positiedelta te verkleinen.

Gamma der positie Analoog kunnen we natuurlijk nog een stap verder gaan en eens bekijken hoe gevoelig de positiedelta is voor kleine veranderingen in de koers van het aandeel XYZ (m.a.w. hoe stabiel is onze positiedelta?). Daartoe berekenen we de afgeleide naar de

128


aandeelkoers van de positiedelta en noemen de nieuwe grootheid de positiegamma (:=Ypos). We vinden Ypos = gamma der positie

-I. n·y· + I. m·y'· I I J J

waarbij

taS = de gamma der call-optie i,

Yi =

a~i

y'j =

a~yas

= de gamma der put-optie j.

Voor een Europese call was de gamma ( zie (4.24) y = N'(d1 )/Scr.Jt;

voor puts geldt dan wegens de

put-cali-pariteit in (4.35)

P = C - S + e-rtK

ceteris paribus

precies hetzelfde:

y' = N'(d1 )/Scr.Jt.

Als onze positie op zijn streefdelta zit, dan geeft IYpo sI de "snelheid" aan waarmee de koerswijzigingen de positiedelta van zijn streefwaarde doen afwijken. Voor een delta-neutrale positie beslist het teken van de positiegamma of we met een maximum, minimum of buigpunt van de positiewaarde te doen hebben (1 e afgeleide 0 en 2e afgeleide > 0 levert minimum etc.): gamma negatief <==> topprofiel, gamma nul

<==> gamma-neutraal,

129

130


gamma positief <==> dalprofieL Bijvoorbeeld geldt voor een delta-neutrale positie

(~pos=O)

in het

geval dat k = 0, n= m = 1,

In het geval van een hedge van een geschreven call tegen een honderdtal aandelen (k=1,m=0,n=1, ~pos = 0) geldt voor de gamma van een delta-neutrale positie

Theta der positie

We houden tenslotte, voor alle stukken de in onze portefeuille, de parameters S,K, r en a vast, maar laten de tijd verstrijken. We willen weten wat er dan met de positiewaarde gebeurt. Voor een enkele call signaleerden we al de "wegsmeltingssnelheid" (zie (4.26) e = theta van call = actat = re-rt K N(d 2 ) + SaN'(d1 )/2.Vt. Hieruit volgt m.b.v. de put-cali-pariteit in (4.35) dat e• = theta der put = aP/at = e-re-rt K, eaandeel = -astat = 0. Wegens lineariteit is voor onze positie e = theta der positie =aW poslat =

131


waarbij ei= ëlCjlëlt = de theta der call-optie i, 9'j = aPi/ëlt = de theta der put-optie j. De positietheta is weer een maat voor de gevoeligheid van de positiewaarde van kleine veranderingen in de looptijd: theta negatief theta nul

<==> positieve tijdneiging,

<==> neutrale tijdneiging,

theta positief

<==> negatieve tijdneiging.

Recapitulerend kunnen we nu zeggen dat we drie karakteristieken voor een positie hebben geïntroduceerd, nl. zijn delta, gamma en theta. Voor elk van deze karakteristieken hebben we drie globale mogelijkheden aangegeven. Door combinatie ontstaan hieruit 33 = 27 strategieën. We merken op dat een positie van slechts calls en puts niet zowel delta-neutraal als gamma-neutraal zijn, tenzij toevallig

Bijvoorbeeld geldt voor een tijdneiging:

bullish top positie met negatieve

ofwel

awtas >0,

a2wtas2 < o,

awtat >

o.

Als we de verandering die W ondergaat t.g.v. een kleine verandering S in de koers aangeven met llW , dan levert toepassing van enkele regeltjes uit de differentiaalrekening: ==> Ypos
==>

W stijgt echt als S toeneemt (zodat W > 0 als S > 0 en W < 0 als S < 0), de stijging van W wordt zwakker naarmate S toeneemt (zodat koersdalingen W sneller doen afnemen dan


==>

132

koersstijgingen W doen toenemen), W daalt iedere dag.

~

w

~

s

Bullisch toppositie met positieve tijdsneiging

De volgende Stelling geeft de karakteristieken van ongedekte elementaire posities die slechts bestaan uit aandelen,slechts uit calls of slechts uit puts. STELLING 6.1. Voor ongedekte elementaire posities geldt: lang aandeel: kort aandeel: lange call: korte call: lange put: korte put:

bullish bearish bullish bearish bearish bullish

gamma-neutraal gamma-neutraal dal top dal top

tijd-neutraal tijd-neutraal tijd-negatief tijd-positief tijd-negatief tijd-positief.

BEWIJS Laten we het geval van de lange put verifiëren. Uit P = C - S + e-rt K

blijkt dat voor een put in ons bezit geldt ~· =

aPtas = actas - 1 =

i= y - 0

N(d 1) - 1 <

= N'(d1 )/Scr.Jt > 0,

o,

133


e = ()P/dt = actat = oSN'(d1 )/2-..Jt

- re-rt K

+ e-rt K r (N(d2)-1) ">" 0.

De laatste ongelijkheid verlangt enige toelichting. Het is n.l. niets meer dan een practische ongelijkheid, die slechts voor realistische waarden van de parameters r, t, K, S en a geldt. Voor de korte put moeten we de P vervangen door -P, zodat de tekens omklappen. De andere gevallen worden analoog bewezen.

7. NEUTRALE GEDEKTE VERKOOPSTRATEGIEEN

POSITIES

EN

AAN-

EN

We werken met een enkel aandeel XYZ en verwaarlozen transactiekosten, zekerheidsstellingen, belastingen, commissies en ex-dividenddata. Een optie heet OVERGEWAARDEERD als zijn marktpremie te hoog is (d.w.z. dat hij op de EOE wordt verhandeld voor een prijs die boven zijn theoretische BS-waarde ligt). ONDERGEWAARDEERDE opties gaan te goedkoop van de hand. Dergelijke MISPRIJZINGEN kunnen om allerlei redenen ontstaan. Een veel voorkomende reden is wel dat het aandeel XYZ zelf verkeerd geprijsd is. In zo'n geval is de eerste opwelling om niet de optie, maar XYZ zelf te kopen (als het ondergewaardeerd is) dan wel te verkopen (als we een overgewaardeerd aandeel XYZ in ons bezit hebben). Vaak is het echter rationeler (d.w.z. goedkoper en toch met dezelfde winstverwachting) een positie in opties op XYZ in te nemen, uiteenlopend van een ongedekte tot een neutrale. Daarbij ligt het voor de hand om: ondergewaardeerde opties te verkopen.

opties te kopen en overgewaardeerde

We willen wat materiaal aandragen ter staving van de volgende VUISTREGEL: DELTA-NEUTRALE POSITIES VAN STERK MISPRIJSDE OPTIES ZIJN NUTTIG 1)

BIJ GOEDE PROGNOSE DER AANDEELVOLATILITEIT (zonder dat de verwachte opbrengst van XYZ geschat moet worden; opbrengsten schatten is zeer moeilijk!);


134

2)

LAGE TRANSACTIEKOSTEN (er moeten vele transacties plaatvinden; daardoor komen vooral grote institutionele beleggers en Market Makers in aanmerking);

3)

BEPERKTE COMPUTERCAPACITEIT (voor grotere computercapaciteit zijn betere portefeuille analyses voorhanden).

We houden in dat geval n.l. bij benadering risicovrije verwachten dat op den duur de misprijzingen zullen zodat we winst kunnen maken. Om gebruik te kunnen deze vuistregel dienen we allereerst de volgende beantwoorden: (1) (2) (3)

posities en verdwijnen maken van vragen te

Hoe vinden we die opties welke het sterkst misprijsd zijn? Hoe vinden we temidden van alle delta-neutrale hedges, spreads, ... op XYZ de gunstigste? Hoe vergelijken we het nut van delta-neutrale posities voor verschillende aandelen XYZ, ABC, ....

Om de gestelde vragen te kunnen beantwoorden bekijken we als VOORBEELD onderstaande dagtabel, betreffende een positie in het aandeel PHILIPS op een bepaalde datum. Benodigde begrippen zullen worden ingevoerd aan de hand van dit voorbeeld.

DAGTABEL PHILIPS

Rente: 0.0625

Huidige datum:

3-Aug-87

Volat:

0.3

Huidige koers:

53.70

Type CIP IQ Ph i c Ph i c Ph i c Ph i c Ph i c Ph i c Ph i c Ph i c

Optie

Serie BSprijs(V)

Okt-87 Okt-87 Okt-87 Okt-87 Jan-88 Jan-88 Jan-88 Apr-88

45 50

55 60 50

55 60

55

9.51 5.46 2.61 1.04 7.14 4.42 2.56 5.86

9.00 5.20 2.00 1.00 6.20 3.90 2.20 5.00

Marktpr(M) IMisprijsl 0.51 0.26 0.61 0.04 0.94 0.52 0.36 .86

-5.33 -4.75 -23.51 -3.65 -13.22 -11.82 -13.94 -14.70

%Misprijs 0.93 0.75 0.49 0.25 0.72 0.55 0.38 0.58

Delta 0.55 0.34 1.24 0.15 1.31 0.95 0.94 1.48

135

Opties: theorie en practijk voor beleggers. Ph i Ph i Ph i Ph i Ph i Ph i

p p p p p p

Okt-87 Okt-87 Jan-88 Jan-88 Apr-88 Apr-88

55 55 50

55 50

55

1.13 3.22 2.05 4.19 2.67 4.80

1.00 3.00 2.20 4.30 2.10 4.70

0.13 0.22 0.15 0.11 0.57 0.10

-11.50 -6.89 7.21 2.61 -21.49 -2.15

-0.25 0.53 -0.51 0.44 -0.28 -0.54 -0.45 -0.24 0.28 2.06 -0.42 0.25

TOELICHTING BIJ TABEL: 1) Als deze lijst BIED- en LAATPRIJZEN voor de EOEopties had vermeld, dan zou de misprijzing nog wat geprecizeerd kunnen worden. 2) De procentuele misprijzing is berekend volgens de formule1 OO(M-V)/V ,waarbij V de BS-prijs is en M de marktprijs der optie voorstelt.

De equalizing ratio IQ

Onder de calls toont de Jan/50 de grootste "absolute misprijzing" en de Okt/55 procentueel de grootste onderwaardering. Echter, we geven de voorkeur aan een kenmerk dat posities met gelijke risico's op hun winstmogelijkheden vergelijkt en gaan uit van het verschil tussen de theoretische optieprijs V (V wordt dus berekend via de SS-formule) en de beursprijs M (M is dus de marktwaarde genoteerd op de EOE): V-M. Deze simpele maatstaf is bevooroordeeld tegen sommige opties, die misschien heel interessant zijn, daar V - M geen rekening houdt met de grootte van het risico verbonden aan een bepaalde optie. Daar 1~1 een maat is voor het risico der optie, kunnen we de over- of onderwaardering der optie V-M standaardiseren door te delen door 1~1. We krijgen zo het INDIFFERENTIEQUOTIENT (alias IQ; angels: ECUALlZING RATIO) van de optie: (7 .1)

IQ :=

(V-M)/1~1.

(Voor puts is ~ < 0 en dat zou vervelend voor hun IQ zijn; vandaar ook 1~1 en niet ~. Niet ~. maar 1~1 is een maat voor het risico.) Er geldt IQ> 0 ==>V> M ==>optie is ondergewaardeerd==> kopen, IQ< 0 ==>V< M ==>optie is overgewaardeerd==> verkopen. De conclusie is dat het teken van zijn IQ candidaat om te kopen resp. verkopen:

de optie kenmerkt als


kopen verkopen

<==> positieve IQ, <==> negatieve IQ.

Een klaarblijkelijke verfijning hiervan is: beste koop <==> optie met hoogste IQ (> 0), beste verkoop<==> optie met laagste IQ (< 0). Als we bieden laatprijzen tot onze beschikking hebben, genoteerd als M[b] en M[l] (dus M[l] s M[b]), dan kunnen we de strategie nog verfijnen tot: V < M[l] ==>IQ =(V - M[l])/llil < 0 ==> verkopen tegen laatprijs, M[l] ~V~ M[b]==> IQ = 0 (geen winst mogelijk), V > M[b] ==> IQ = (V - M[b])/llil > 0 ==> kopen tegen biedprijs.

Opsporen neutrale posities (binnen een aandeel) Nu we dankzij IQ in het bezit zijn van een kernmerk om opties met gelijke risico's met elkaar te vergelijken, gaan we neutrale posities opzoeken, eerst in een en hetzelfde aandeel en daarna in verschillende aandelen. We werken daarbij met "tweeslachtige" posities in een aandeel XYZ, bestaande uit calls XYZ, puts XYZ en aandelen XYZ, waarbij dus minstens een der aantallen 0 is; de andere twee aantallen kunnen > 0 (lang) of < 0 (kort) zijn. Gemakshalve duiden we deze laatste twee aantallen aan met nj, dus j = 1,2, en de huidige BS-prijs van het bijbehorende activum door Vj· We hebben dus een positie bestaande uit [calls en aandelen] of [puts en aandelen] of [calls en puts] (op zelfde aandeel). De IQ's behorende bij de waardepapieren in onze tweeslachtige positie nummers j = 1 en j = 2, geven we aan met IQ's IQ1 en IQ2 . Voor de positie stellen we ONAFHANKELIJK VAN DE AANTALLEN nj, als POSITIE-IQ: IQ: = IIQ11 + IIQ21· De totale IQ is alleen toepasselijk voor GEDEKTE NEUTRALE POSITIES! Aandelen XYZ in de positie dragen niets bij tot de totale IQ! De BESTE STRATEGIE, onder de veronderstelling dat de aandelen correct geprijsd zijn en dat er geen transactie- en commissiekosten zijn is nu:

136


NEEM DE POSITIE MET MAXIMALE IQ IN. Voor dit maximum moeten we de twee grootste individuele IlOl's bepalen. In de gegeven Philips dagtabel zijn dat Apr/50 put Apr/55 call

met S = -0.28 met S = 0.58.

Om een neutrale hedge te bereiken moeten hun aantallen zich verhouden als

zodat we naast elke Apr/55 call 2 puts Apr/50 moeten staan. Daar beide opties een positieve IQ hebben kopen we zowel de puts als de calls, zodat n1 =2 en n2=1. De HUIDIGE WAARDE VAN DE VOORZIENE WINST op een tweeslachtige positie (Vj,Mj,nj)j= 1 ,2 is uiteraard het verschil tussen de waarde van de positie en de kosten d.w.z.

Deze winst is zeker, voorzover er enige zekerheid aanwezig is in het Back-ScholesmodeL Voor onze positie bestaande uit 1 lange Phi Apr/55 call & 2 lange Phi Apr/50 puts hebben we dus een "zekere" winst van 2(2.67-2.1 0) + 1(5.86-5.00) = 2.00 oftewel f200. Laten we nu eens trachten de winst der delta-neutrale positie, i.e.

te beschrijven in termen van de positie-la. We gaan m.b.v. (7.3) de aantallen n1 en n2 wegwerken uit de winstformule (7.2). De afzonderlijke termen in de winst zijn positief daar we uiteraard vasthouden aan de stelregel "koop onder gewaardeerde opties en verkoop overgewaardeerde opties" zodat geldt:

137


=ln1a1IIOpos =ln2a2110pos· Zoals al eerder is opgemerkt zal de koers van het ene moment op het andere een stochastische verandering ondergaan, waardoor onze positie zijn delta-neutraliteit dreigt te verliezen en we alert onze positie moeten wijzigen. Waren er geen transactie- en commissiekosten, dan zou dit zeker raadzaam zijn. Maar deze kosten zijn er wel, en van niet onaanzienlijke omvang! Het is derhalve onpractisch voortdurend te trachten de positiedelta op 0 te houden door handig bij te sturen. Beter is het daarom van meet af aan te zoeken naar die delta-neutrale posities, waarvoor delta geen grote wijzigingen ondergaat als de aandeelkoers een kleine verandering vertoont. Deze strategie verlangt het volgende: als we geconfronteerd worden met twee delta-neutrale posities van (zowat dezelfde) hoge IQ, dan geven we de voorkeur aan diegene waarvoor delta het minst gevoelig is voor koersveranderingen. Welnu, deze gevoeligheid hebben we in (4.24) uitgedrukt in termen van de gamma voor Europese opties )0(Z:

r'

=

y = aatas

= N'(d 1)/Scr.Jt.

We streven er daarom naar die delta-neutrale posities op te sporen waarvoor de positiegamma

een kleine absolute waarde heeft. OPMERKINGEN: (1) Het liefste hadden we deze gamma = 0 gemaakt, maar het zou wel erg moeten meezitten als voor een deltaneutrale positie ook nog eens zou gelden dat 11! a1 =12! a2. (2) We hebben opzettelijk niet gezegd dat we Ypos echt willen minimaliseren. We willen liever delta-neutrale posities met gelijke absolute gamma onderling vergelijken; daarbij willen we dat deze absolute gamma liefst "klein" is.

138


Samenvattend leidt dit verhaal tot het volgende ALGORITHME voor het opsporen van de beste tweeslachtige positie inXYZ: 1. Bereken het IQ van alle geregistreerde XYZ opties. 2. Bepaal alle delta-neutrale posities (alle paren vergelijken, waarbij altijd n 1 = 1 te kiezen is). 3. Zoek onder deze laatste alle posities met gelijke gamma op. 4. Spoor tenslotte onder deze laatste collectie de positie met maximale winst op. OPMERKING: Dit algorithme laat zich uitstekend als computerprogramma schrijven.

Opsporen optimale neutrale posities onder verschillende aandelen Er is geen enkele a priori reden om onze aandacht tot een enkel aandeel te beperken. Naast XYZ zijn er misschien wel ABC, OEF, ... die veel betere perspectieven bieden. We willen we ons blijven beperken tot onze "tweeslachtige" posities, opgebouwd rondom een en hetzelfde aandeel. De kunst is nu om uit te zoeken welk aandeel we daarvoor het beste kunnen kiezen. Om opties op XYZ, ABC ,... onderling te kunnen vergelijken moeten we hen a.h.w. op een noemer brengen: zowel hun volatiliteiten CJ als hun koersen S zijn dermate verschillend, dat elke vergelijking zonder voorafgaande standarisatie faalt. Door alle oude IQ's te delen door de bijbehorende CJ 's bereiken we een zekere standarisatie "CJ = 1" en door te delen door de bijbehorende S maken we a.h.w. "S = 1". (Beide gelijkheden staan tussen aanhalingstekens, want strikt genomen zijn zijn onjuist! Wat we eigenlijk aan het doen zijn is het volgende: gewone delta's en gamma's zijn voor verschillende aandelen niet vergelijkbaar; door hen te vervangen door genormaliseerde grootheden wordt vergelijking we mogelijk.) Dit leidt tot het GESTANDAAISEERDE INDIFFERENTIEQUOTIENT IQ' voor een optie: IQ'= IQ/CJS Voor onze tweeslachtige posities is weer (met dezelfde CJ en S): IQ' pos= IQ'1 + IQ'2·

139


De gestandariseerde grootheid A' ontstaat door de oude A ( zie (7 .3) te delen door aS, dus

A' = A/(aS). De winstformule wordt na standarisatie Winst' = IA'I IQ'. Al met al betekent deze normalisatie voor de winst eenvoudigweg Winst' = Winst/(aS)2.

ALGORITHME: Voer het bovenstaand algorithme uit voor iedere individueel aandeel, met IQ en Winst vervangen door IQ' en Winst' en bepaal daardoor die delta-neutrale positie onder alle in aanmerking komende aandelen waarvoor Winst' maximaal is. Ook hiervoor zijn eenvoudige computerprogramma's te schrijven.

140

At

APPENDIX

Inleiding

IA

in

enkele

elementaire

wiskundige

begrippen

Differentiëren van een functie

Een functie f is een voorschrift om aan een reêel getal een ander reêel getal toe te voegen. Via het voorschrift kunnen we f(x) berekenen als we x kennen. We kunnen vervolgens een grafiek tekenen om inzicht te verkrijgen in het gedrag van de functie. De grafiek van de kwadratische functie f(x) = x2 ziet er als volgt uit :

f(x)

0

x

De grafiek van de lineaire functie f(x) = 2 (x+ 1) ziet er uit als

x

We zien dat de kwadratische functie geen konstante helling heeft, terwijl dat wel het geval is voor de lineaire functie. Deze helling wordt beschreven door een andere functie, de zgn. afgeleide van f, die we zullen aangeven met r, ofwel df/dx of dldx f. De afgeleide f' is gedefinieerd als : f'(x)

=

lim h -> 0

(f(X+h)-f(x})/h.

Voorbeelden:

=a

a)

rechte lijn, f(x)

x +b

b)

kwadratische functie f(x)

f(x)

->

=a

=a

x2 + b x + c -> f(x)

=2 a x + b

Uit onderstaand plaatje kunnen we leren dat f' (x) =tg a(x) waarbij a(x} de hoek is tussen de raaklijn aan de functie en de horizontale x-as.

f(x) / / /

}

f(X+h)

- f(x)

/

/

x

X+h

Daaruit volgt meteen dat (zie onderstaand plaatje) f >0

-> f is stijgend

f <0

->

f

=0

->

f is dalend f heeft een horizontale raaklijn

(maximum,minimum,buigpunt)

.A3

f(x)

x Tenslotte merken we op dat voor kleine h geldt : f(x+h)

-

f(x)

+

h . f(x).

Als f(x) groot is, varieert de functie dus sterk als x over een zekere afstand h verschuift. Zoals we later zullen zien is de delta van een optie de afgeleide van de Black & Scholes prijs naar de koers van het onderliggende aandeel. De delta is dus een maat voor de verandering in optieprijs bij kleine koersbewegingen van het aandeel.

~

Stochasten of toevalsvariabelen

In tegenstelling tot de situatie bij een deterministische functie is er nu geen eenduidig voorschrift om de functie te berekenen. Een stochast of stochastische variabele of toevalsvariabele (zeg X) is een variabele die de uitkomst van een toavalsexperiment beschrijft. X neemt waarden aan afhankelijk van het experiment.

Voorbeeld 1 We gooien één keer met een dobbelsteen. Het resultaat van dit experiment geven we aan met X. X kan dus de waarden 1, 2, 3, 4, 5 en 6 aannemen. Als de dobbelsteen zuiver is dan treden de genoemde waarden op met kans 1/6 ieder. We geven de kansverdeling van X weer in de volgende kanstabel: waarde

1

2

3

4

5

6

kans

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Zo'n kansverdeling wordt ook wel weergegeven m.b.v. een staafdiagram:

1 1/61 1/611/6 1 1/61 1/61 1/61 2

1

3

5

4

6

We zien in dit voorbeeld dat alle uitkomsten een gelijke kans hebben om op te treden. Dit zal niet het geval zijn als de dobbelsteen onzuiver is (er is in een hoekpunt een stukje lood verwerkt, bijvoorbeeld). Voorbeeld 2. We gooien één keer met twee dobbelstenen tegelijk. We zijn geïnteresseerd in de som van het aantal ogen dat wordt gegooid en noteren die som weer met X. X kan nu de waarden 2, 3, .... 12 aannemen. Ga na dat X de volgende kansverdeling heeft: waarde

2

kans

1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36

3

4

6

5

7

... 12

8

... 1/36

Staafdiagram:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Voorbeeld 3 We gooien één keer een munt op. We coderen het resultaat van dit experiment "kop" met 1, het resultaat "munt" met 0. In dit geval kan de stochastische variabele X dus slechts de waarden 0 en 1 aannemen. Als de munt zuiver is dan heeft X de kansverdeling: waarde

0

1

kans

1/2

1/2

Bij een onzuivere munt krijgen we voor X de kansverdeling waarde

0

1

kans

1-p

p

voor zekere 0< p <1, p niet gelijk aan 1/2. p noemen we in zo'n situatie wel de succeskans. We hebben in dit voorbeeld een kansmodel dat ook toepasbaar is voor allerlei andere experimenten, waarbij we slechts twee mogelijke uitkomsten hebben (succes of mislukking , ja of nee, voor of tegen, daad or alive etc.).

.As

Voorbeeld 4 We voeren n keer een experiment uit zoals beschreven in Voorbeeld 3 en nemen aan dat die experimenten elkaar niet beïnvloeden (onafhankelijkheid). Laat X het aantal successen zijn dat wordt behaald in die n experimenten. We kunnen laten zien dat P(X=x) = (n x) px (1-p)n-x • waarbij =(n x) = nl I (x! (n-x)l) ,

X=O, 1 , ... ,n. n! = 1.2.3.

.n,

OI =1.

Bijvoorbeeld als n = 4 en p = 112 verkrijgen we voor X de kanstabel waarde

0

kans

1I 1 6 4 I 1 6 6 I 1 6 4 I 1 6

1

2

3

4 1I 1 6

We spreken van een binomiale verdeling met parameters n en p. De notatie is Bin (n,p).

C

Verwachtingswaarde

Huygens begint zijn verhandeling met het volgende voorbeeld : Als ick gelijcke kans hebbe om a of b te hebben, dit is mij so veel weerdt als (a+b)l2. Bij exempel, so yemandt sonder mijn weeten in d'eene handt 3 schellingen verbergt, en in d'ander 7 schellingen, ende mij te kiesen geeft welck van beyde ick begeere te hebben, ick segge dit mij even soo veel weerdt te zijn als of ick 5 schellingen seecker hadde. Een voorbeeld van dezelfde strekking is het volgende : Bij een zeker kansspel wint men fl. 1,- met kans 112, fl. 2,50 met kans 115, fl. 100,- met kans 11100 en niets met kans 291100. Men moet x gulden betalen om mee te mogen doen. Bij welke waarden van x is het voordelig om mee te doen? Bij welke waarden van x wordt er (op den duur althans) winst gemaakt door degene die het spel organiseert? Qefjnjtje. Laat X een diskrete stochast zijn met mogelijke waarden x 1, x2,... , xn. De verwachtingswaarde EX van X definiêren we als:

Aan de definitie zien we dat EX een gewogen som is van de mogelijke uitkomsten, waarbij we de uitkomsten wegen met de kans dat ze optreden. Hoe bepalen we de kansen P(X=x) in de praktijk ? Neem het voorbeeld van een onzuivere dobbelsteen waar de kans P(X = i) om i te gooien (i = 1,2,3,4,5 of 6) niet precies 116 is. Het ligt voor de hand P(X=i) te benaderen door zeer vaak te gooien, zeg N keer, en het aantal keren n(i) dat i boven ligt te tellen. De experimentele Wet van de Grote Aantallen stelt dan dat

n(i) I N

P(X=i) = lim

N ->

oo

Voor de voorbeelden in het vorige hoofdstukje geldt : Voorbeeld 1

EX= 1.1/6 + 2.1/6 +... +6.1/6 = 7/2.

Voorbeeld 2

EX = 2.1/36 + 3.2136 + ... +12.1/36 = 7.

Voorbeeld 3

EX = 0 (1-p) + 1.p = p.

Voorbeeld 4

EX = 0.1116 + 1.4116 +2.6116 + ........ = 2.

In het algemene geval geldt voor de binomiale verdeling Bin(n,p) : EX= n.p Aan voorbeeld 1 zien we dat EX blijkbaar niet tot de waardenverzameling van X hoeft te behoren.

D

Continue

kansverdelingen.

Natuurlijk bestaan er ook stochasten die niet slechts eindig veel waarden kunnen aannemen. Als we bijvoorbeeld een willekeurige Nederlander nemen (we kiezen dus aselect) en zijn gewicht bepalen , dan kan dat ieder getal opleveren tussen zeg 1 en 200 (kilogrammen). We hebben dan te maken met een zogenaamde continue stochast. We tekenen de kansdichtheid die in de praktijk het meest voorkomt, de standaardnormale dichtheid N' :

/:' I

"

I

I

1:=--.

In de theorie wordt de standaardnormale verdeling gebruikt met Jl=O en a=1. In het continue geval heeft het geen zin meer om over de kans te spreken dat de stochast een bepaalde waarde aanneemt. Echter , de kans dat de stochast een waarde aanneemt in een interval wordt weergegeven door het oppervlak onder de grafiek der kansdichtheid. De standaardnormale kansdichtheid N'(x) wordt gebruikt in de Black & Scholes theorie om theoretische optieprijzen te verkrijgen. Als een stochast X de kansdichtheid N' heeft, dan definieren we daarbij de standaardnormale verdelingsfunctie N (x) als

N(x)

= P(X

:5;

x) = oppervlak onder de grafiek van -- tot aan het punt x.

Deze N(x) komt twee keer voor in de Black & Scholes prijs die we later zullen afleiden. We merken nog op dat de discrete binomiale kansverdeling Bin(n,p) overgaat na passende standaardisatie in N(x) als het aantal waarnemingen n erg groot wordt. Dit verschijnsel heet de Centrale Limietstelling.

IE

Spreiding en Variantie

Defjnjtje. Als maat voor de spreiding van een stochast X, met mogelijke waarden x1,x2,... ,xn en EX = Jl., voeren we in de variantie, afgekort Var:

Voor de voorbeelden in hoofdstukje B vinden we :

Voorbeeld 1

Var X

= (1-712)2.116

= 35

Voorbeeld 2

Var X

= (2-7)2.1136

Voorbeeld 3

Var X

= (O-p)2 .(1-p)

Voorbeeld 4

Var X= (0-2)2.1116 +(1-2)2.4116 + .................

+ (2-712)2.116 +

+ (3-7)2.2136 + ..........

+ (1-p)2 .p

I 12

= 35 1 6

= p(1-p). = 1.

In het algemene geval geldt voor de binomiale verdeling Bin(n,p) Var X

Pefjnjtje:

= n.p.(1-p)

de standaardafwijking of standaarddeviatie

a

= ...Jvar

a van een stochast X is

(X).

Zij X een stochast met verwachting EX = J.1. en standaarddeviatie a. Als X standaardnormaal verdeeld is ligt zo'n 95% van de waarnemingen in het interval (Jl.-2a, J.1.+2a) en zo'n 68% in het interval (J.1.-a, Jl.+a). Anders gezegd: afwijkingen van± 2a (of meer) van de verwachtingswaarde J.1. komen weinig voor, afwijkingen van ± 1a daarentegen zijn heel gewoon (vandaar de uitdrukking "standaard"afwijking, a is dus een maat voor de breedte van de kansverdeling).

Alle rechten voorbehouden. Geen enkel deel van dit rapport mag worden gereproduceerd of verspreid, op welke manier dan ook, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de beide schrijvers. Prof.dr. R.A. Hirschfeld Dep. Wiskunde en Informatica Universitaire Instellingen Antwerpen 2610 Wilrijk België

Dr. M.C.A. van Zuijlen Mathematisch Instituut Katholieke Universiteit Toernooiveld 6525 ED Nijmegen

WD prof.dr. R.A. Hirschfeld dr. M.C.A. van Zuijlen. Augustus 1987

Recommend Documents