Watak Dinamis Sensor. Laila Katriani

Watak Dinamis Sensor Laila Katriani [email protected]

Definisi Fungsi Transfer suatu sistem linear didefinisikan sebagai perbandingan transformasi Laplace sinyal output terhadap sinyal input dengan asumsi semua kondisi awal sama dengan nol. Output

Y (s) Ly(t ) kondisi_ awalnol G( s)   U (s) Lu(t ) kondisi_ awalnol Input

2

Sifat-sifat Fungsi Transfer • Fungsi transfer suatu sistem merupakan model matematik yang mengekpresikan persamaan diferensial yang menghubungkan variabel output terhadap variabel input. • Fungsi transfer adalah properti dari sistem itu sendiri, tidak bergantung pada input atau fungsi penggerak. • Fungsi transfer memiliki besaran yang diperlukan untuk menghubungkan input dan output. Tetapi tidak memberikan informasi tentang struktur fisik dari suatu sistem. Fungsi transfer dapat sama (identik) dari bentuk fisik yang berbeda. • Jika fungsi transfer sistem diketahui, output atau response dapat dipelajari dari berbagai input yang diberikan. Fungsi transfer memberikan deskripsi menyeluruh mengenai karakteristik dinamik suatu sistem.

3

Fungsi Transfer •

Persamaan diferensial suatu sistem yang menghubungkan output dengan input

an y n  an1 y n1  ...  a1 y1  a0 y  bmu m  bm1u m1  ...  b1u1  b0u   input,u ( t )

•

output, y (t )

Transformasi Laplace terhadap output dan input persamaan diatas (Lihat Transformasi Laplace) dengan kondisi awal sama dengan nol

G( s)  Fungsi Transfer

Ly(t ) kondisi_ awalnol Lu(t ) kondisi_ awalnol

Y (s) bm s m  bm1s m1  ...  b1s  b0 G( s)   n U (s) an s  an1s n1  ...  a1s  a0 4

Persamaan Karakteristik • Persamaan karakteristik suatu sistem (linier) didefinisikan sebagai denumerator polinomial fungsi transfer sama dengan nol. Fungsi Transfer

N ( s) G( s)  D( s ) g (s)  D(s)  0

Persamaan Karakteristik

Note: Stabilitas suatu sistem linier SISO (single-input singleoutput) ditentukan dengan akar persamaan karakteristik 5

Zero dan Pole Suatu Fungsi Transfer • Fungsi transfer biasanya direpresentasikan dalam bentuk polinomial pecahan sebagai berikut :

G( s) 

N (s) (s  z1 )(s  z2 )...(s  zm )  D(s) (s  p1 )(s  p2 )...(s  pn ) Solusi N(s)=0 disebut zeros (z), karena membuat G(s) bernilai nol. Solusi D(s)=0 disebut poles (p), karena membuat G(s) bernilai tak berhingga

• Perhatikan contoh fungsi transfer berikut:

N (s) s 2  4s  3 (s  1)(s  3) G( s)   2  D(s) s(s  3s  2) s(s  1)(s  2) Memiliki zero pada s=1, s=3 dan pole pada s=0, s= -1, s= 2 6

Zero dan Pole dengan MatLab •

MatLab memiliki fungsi built-in “roots” yang dapat digunakan untuk mencari zero dan pole suatu fungsi transfer :

c adalah vektor koefisien numerator  poles  roots(d ) fungsi transfer dan d vektor koefisien Perhatikan fungsi transfer denumerator fungsi berikut:N (s) s 2  4s  3 s 2  4s  3 transfer G( s)    zeros = D(s) s(s 2  3s  2) s 3  3s 2  2s 3 Perintah berikut: 1 >>num=[1 -4 3]; poles = >>den=[1 3 2 0]; 0 >>zeros=roots(num) -2 >>poles=roots(den) -1

 zeros  roots(c)

•

•

7

Overview • Persamaan Differensial yang diperoleh dari pemodelan matematik suatu sistem mewakili proses dinamik dari sistem tersebut dimana responsenya akan bergantung pada masukannya. • Solusi dari persamaan differensial terdiri dari solusi steady state (didapat jika semua kondisi awal nol) dan solusi transien (mewakili pengaruh dari kondisi awal). • Transformasi Laplace merupakan salah satu tools yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial.

8

• Transformasi Laplace mengkonversikan persamaan differensial (dalam domain t) kedalam persamaan aljabar dalam domain s. • Memungkinkan memanipulasi persamaan aljabar dengan aturan sederhana untuk menghasilkan solusi dalam domain s. • Solusi dalam domain t dapat diperoleh dengan melakukan operasi inverse transformasi Laplace

9

Definisi 

F s   L f t    f t est dt 0

f t   L1F s 

Transformasi Laplace F(s) dari fungsi f(t)

Inverse Transformasi Laplace

Fungsi f(t) haruslah real dan kontinu sepanjang interval waktu yang akan dievaluasi, jika tidak transformasi Laplace tidak dapat digunakan. 10

Teorema Transformasi Laplace • Linieritas

Laf t   aF s  L f1 t   f 2 t   F1 s   F2 s 

• Integrasi

F s   f 0 L  f t dt   dt s s





• Nilai awal • Differensiasi

 df t  L   sF s   f 0  dt   d 2 f t  2 df 0 L 2   s F s   f 0  dt  dt 

lim f t   lim sF s  t 0

s 

• Nilai akhir

lim f t   lim sF s  t 

s 0

• Pergeseran waktu

L f t    e s F s  11

Contoh: Solusi Persamaan Differensial Diberikan persamaan differensial sbb: d 2 yt  dyt  3  2 yt   5 f t  dt 2 dt

Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y´(0)=2. Transformasi Laplace 1 menghasilkan: Fungsi unit s 2Y s   sy0  y´(0)  3sY s   3 y(0)  2Y (s)  5 s step dari tabel transformasi 5 2 s Y s   s  2  3sY s   3  2Y ( s)  Laplace s s(s 2  3s  2)Y (s)   s 2  s  5 Solusi dalam 2  s  s  5 Menggunakan domain t Y (s)  2 s(s  3s  2) teorema diperoleh differensiasi dengan invers transformasi transformasi Laplace Laplace

12

Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator) dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:  s2  s  5  s2  s  5 Y ( s)  2  s(s  3s  2) s(s  1)(s  2) Ekpansi dalam pecahan parsial, A B

C  s2  s  5 Y ( s)     s (s  1) (s  2) s(s  1)(s  2)

Dimana A, B dan C adalah koefisien

 s2  s  5 5 A  [ sY ( s)]s 0   ( s  1)(s  2) 2

 s2  s  5 B  [(s  1)Y ( s)]s 1   5 s( s  2)  s2  s  5 3 C  [(s  2)Y (s)]s 2   s(s  1) 2 13

Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi

5 5 3 Y ( s)    2s (s  1) 2(s  2) Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi

5 t 3  2 t y(t )   5e  e 2 2 Dengan t ≥ 0

14

Prosedur Solusi persamaan Diferensial dengan Transformasi Laplace 1. Transformasi persamaan differensial ke dalam domain s dengan transformasi Laplace menggunakan tabel transformasi Laplace.

2. Manipulasi persamaan aljabar yang telah ditransformasikan untuk mendapatkan variabel outputnya. 3. Lakukan ekspansi pecahan parsial terhadap persamaan aljabar pada langkah 2. 4. Lakukan invers transformasi Laplace dengan tabel transformasi Laplace untuk mendapatkan solusi dalam domain t. 15

Ekspansi Pecahan Parsial: Review • Transformasi Laplace dari suatu persamaan differensial f(t) lazimnya diberikan dalam bentuk:

N ( s) F ( s)  D( s )

N(s) adalah numerator (pembilang) dalam s, D(s) denumerator (penyebut) dalam s

• Bentuk ekspansi pecahan parsial dari F(s) bergantung pada akar-akar persamaan karakteristiknya (denumerator). – Kasus 1: Persamaan karakteristik hanya memiliki N ( s) (s) tidak sama akar real Fdan

(s  s1 )(s  s2 )...(s  sN )

Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk: K K K Ki (i=1,…,N) adalah F (s)  1  2  ...  N (s  s1 ) (s  s2 ) (s  sN ) konstanta yang harus dicari 16

Ekspansi Pecahan Parsial: Review Konstanta K dicari dengan persamaan berikut:

Ki  [(s  si ) F (s)]s  si

N (si )  (si  s1 )(si  s2 )...(si  si 1 )(si  si 1 )...(si  sN )

• Kasus 2: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar kompleks Jika persamaan karakteristik hanya memiliki M pasangan complex-conjugate, F(s) dapat dituliskan sbb:

F ( s) 

N ( s) (s 2  2 n s  n2 )1 (s 2  2 n s  n2 ) 2 ...(s 2  2 n s  n2 ) M

Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:

F ( s) 

A1s  B1 A2 s  B2 AM s  BM   ...  (s 2  2 n s  n2 )1 (s 2  2 n s  n2 ) 2 (s 2  2 n s  n2 ) M

Dimana Ai dan Bi konstanta yang dicari dengan menyamakan pangkat dalam s 17

Ekspansi Pecahan Parsial: Review • Kasus 3: Persamaan karakteristik memiliki akar real, tidak sama dan kompleks F ( s) 

N ( s) (s  s1 )(s  s2 )...(s  sN )(s 2  2 n s  n2 )1 (s 2  2 n s  n2 )2 ...(s 2  2 n s  n2 ) M

Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:

F ( s) 

K K1 K  2  ...  N  (s  s1 ) (s  s2 ) (s  sN )

A1s  B1 A2 s  B2 AM s  BM   ...  (s 2  2 n s  n2 )1 (s 2  2 n s  n2 ) 2 (s 2  2 n s  n2 ) M

18

Ekspansi Pecahan Parsial: dengan software MatLab •

Fungsi transfer, F(s)=N(s)/D(s): N (s) num bm s m  bm1s m1  ...  b1s  b0   n D(s) den an s  an1s n1  ...  a1s  a0 an , bm  0

•

Dalam MatLab numerator (pembilang), num dan denumerator (penyebut), den dituliskan dalam bentuk vektor baris yang dinyatakan dengan koefisiennya

num  [bm bm1 ... b0 ]

• •

Perintah ini akan den  [an an1 ... a0 ] mencari residu, poles dan direct term dari Perintah ekspansi pecahan >>[r,p,k]=residue(num parsial N(s)/D(s) ,den) Ekspansi pecahan parsialnya adalah k(s) adalah N (s) r (1) r (2) r ( n) direct term    ...   k ( s) D(s) s  p(1) s  p(2)

s  p ( n)

19

Contoh •

Dengan menggunakan MatLab, tentukan ekspansi pecahan parsial dari fungsi transfer berikut:

N ( s) s 2  2s  3  3 2 D(s) s  3s  3s  1 Solusi dengan MatLab: >>num=[1 2 3];

>>den=[1 3 3 1]; >>[r,p,k]=residue(num,den) Ekspansi pecahan parsialnya: N ( s) 1 0 2    2 D(s) (s  1) (s  1) (s  1)3

r= 1.0000 0.0000 2.0000 p= -1.0000 -1.0000 -1.0000 k= []

20

Tabel: Transformasi Laplace

Kesalaha an Dinamis dalam Sistem Pengukur an

Contoh kesalahan dinamis Sistem Pengukuran Suhu secara dinamis. 𝑡𝑟𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒 ∆𝑇𝑇 𝑠

∆𝑉 𝑡 ∆𝐸 𝑡 −6 4 𝑥 10 103 1 + 10𝑠 1 + 10𝑒.−4 𝑚.𝑠𝑓

𝑇ℎ𝑒𝑟𝑚𝑜𝑐𝑜𝑢𝑝𝑙𝑒

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟

measure 𝑣𝑜𝑙𝑡

∆𝑇𝑀25𝑇

2,5𝑥10−5 𝑠 2 10−2 𝑠 + 1

𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟

Gambar diatas menunjukkan pengukuran lengkap suatu sistem yang terdiri dari n elemen. Tiap elemen i mempunyai steady-state ideal dan karakteristik dinamis linear dan dapat ditunjukkan oleh sensitivitas steady-state Ki dan fungsi transfer Gi(s).

Dari Fungsi Transfer untuk Pengukuran Sistem ∆𝑂 𝑠 ∆𝐼 𝑠

= 𝐺 𝑠 = 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 . . . 𝐺𝑖 𝑠 . . . 𝐺𝑛 𝑠

[4.41] Pertamakitacarifungsitransformasi Laplace ∆𝐼 ∆𝐼 𝑡 kemudianmenggunakanTransformasi Lap ∆𝑂 𝑡 = ℒ −1 𝐺 𝑠 ∆𝐼 𝑠 Output ∆𝑂 𝑠 = 𝐺 𝑠 ∆𝐼 𝑠 Sehingga [4.42]

Dimana : ℒ −1 = invers transformasi Laplace

Rumus kesalahandinamis : 𝐸 𝑡 = ∆𝑂 𝑡 − ∆𝐼 𝑡 𝐸 𝑡 = ℒ −1 𝐺 𝑠 ∆𝐼 𝑠

[4.43]

− ∆𝐼 𝑡 [4.44

MisalnyaPada input 20 ℃ . Maka∆𝑇𝑇 𝑡 = 20 𝑡 dan ∆𝑇 𝑇 𝑠 = 20

1

𝑠

Denganmenggunakantabel 4.1 danpersamaan [4.30] diperoleh :

Dimanatandanegatifmenunjukkanpembacaan yang sangatrendah.

• Kesalahan dinamis dari sistem fungsi transfer subyek ke input sinusoidal

• Dari gambar [4.9] diperoleh:

[4.47]

• Deret Fourier Untuk Sinyal Periodik :

• Dengan input sinyal sistem diberikan oleh persamaan :

Dimana In=bn adalah amplitudo nth frekuensi harmonik nω1.

• Dari gambar 4.9 diatas diperoleh sinyal output :

• Kita dapat menggunakan prinsip Superposisi, dimana properti dasar sistem linear (misal sistem digambarkan oleh persamaan diferensial linear). Hal ini dapat dituliskan :

• Artinya,jika input total sinyal adalah jumlah dari banyaknya gelombang sinus maka output total sinyal adalah jumlah dari respon tiap gelombang sinus.

Bentuk gelombang input dan Komponen Fourier

Perhitungan Kesalahan Dinamis Input Sinyal Periodik

Teknik Kompens asi Dinamis

Dari persamaan [4.55] diperoleh E(t) = 0 untuk sinyal periodik yaitu : |G( jω1) | = |G( j2ω1) | = . . . = |G( jnω1) | = . . . = |G( jmω1) | = 1 arg G( jω1) = arg G( j2ω1) = . . . = arg G( jnω1) = . . . = arg G( jmω1) = 0 Ket : G( jω) = frequency response function arg G( jω1) = ϕ (beda fase)

[4.59]

• Dimana m merupakan tingkat tertinggi harmonik signifikan. Untuk sinyal acak dengan frekuensi spektrum kontinu berada antara 0 dan ωMAX , kita memerlukan : |G(jω)| = 1 dan arg G(jω) = 0 untuk 0 < ω ≤ ω MAX

[4.60]

• Kondisi diatas menunjukkan teori ideal yang akan sulit direalisasikan dalam praktek. Selain itu, kriteria dalam praktek adalah limit variasi dalam|G( jω)| untuk frekuensi yang diberikan sinyal. • Untuk contoh kondisi 0.98 <|G( jω)| < 1.02 untuk 0 < ω ≤ ωMAX

[4.61]

Memastikan kesalahan dinamis dibatasi ≈ ±2 persen untuk sinyal yang berisi frekuensi diatas ωMAX/2π Hz (Gambar 4.15)

• Kriterialain yang digunakanadalahluasbidang. Luasbidangdarisebuahelemenata frekuensidimana|G( jω)|> 1/ 2. Jadiluasbidangsistem, denganresponfrekuens ditunjukkanpadagambar4.15 adalah0 sampaiωBrad/s.

• SinyalfrekuensitertinggiωMAX haruskurangdaribesarnyaωB. Karena, bagaimanapu jω)|dalamωB.Kriterialuasbidanginitidakterlaluberpengaruhdalampengukuranlen

• Luasbidangbiasadigunakandalampenetapanresponamplifier; reduksipada|G( jω 1/ 2adalahsamadenganperubahandesibelN = 20 log(1/ 2) = −3.0 dB. Tingkat p bidang berada diantara 0 dan 1/τ rad/s.

• Jikasistemgagaluntukbertemudengan limit spesifikasipadakesalahandinamis, m G(s) tidakmemenuhikondisi [4.61], makalangkahpertamanyaadalahmengidentifikasielemendalamsistemyang didominasiolehlingkungandinamis.

• Setelahmengidentifikasipengaruhelemensistem, ternyatametode yang palin meningkatkanrespondinamisadalahmodel/pola/bentuk yang melekat. Dalamhalinitingkatpertama sensor suhudenganτ = MC/UA, τ dapatdiperkecildenganmemperkecilmassa/rasiodaerah M/A.

• Untukcontoh, digunakantermistordalambentukkepingan tipis. Dalamhaliniti sensor gayadenganωn = k/m , ωndapatdiperbesardenganmemperbesark/m.Contohnyadigunakankekakuan tinggidanmassam yang rendah. Kenaikank,bagaimanapunmenurunkansensi K = 1/k.

• Dari langkah kedua dan grafik respon frekuensi kita lihat bahwa nilai perbandingan optimal teredam ξ berkisar 0,7. Nilai ini menjamin ketetapan waktu minimum untuk tingkat respon dan |G( jω)| terdekat dari kesatuan respon frekuensi. • Metode lain adalah kompensasi dinamis loop-terbuka (gambar 4.16). Diberikan sebuah ketidakseimbangan elemen atau sistem Gu(s), elemen kompensasi Gc(s) memperkenalkan ke dalam sistem, seperti keseluruhan transfer fungsi G(s) = GU(s)GC(s) memenuhi kondisi yang diperlukan (untuk contoh persamaan [4.61]). • Jadi, jika rangkaian mendahului/tertinggal digunakan termokopel (gambar 4.16), keseluruhan waktu konstan mereduksi τ2 menjadi |G( jω)| adalah kesatuan akhir terdekat dengan range frekuensi yang lebih luas. Masalah utama dengan metode ini adalah τ dapat berubah dengan koefisien transfer panas U, sehingga mengurangi keefektifan teknik kompensasi.

• Metode lain adalah menggabungkan atau mengganti elemen ke dalam sistem loop-tertutup dengan high-gain negative feedback. Contohnya adalah suhu konstan anemometer untuk mengukur kecepatan fluktuasi fluida. Contoh lain adalah loop-tertutup akselerometer ditunjukkan dalam bagan dari diagram blok pada gambar 4.17.

• Pemakaian percepatan a dihasilkan dalam gaya inersia ma pada massa seismik. Keseimbangan ini diperoleh dari gaya magnet yang tetap pada arus kumparan yang membawa pengaruh arus balik. • Ketidakseimbangan lain dari gaya dideteksi oleh gaya elastik elemen yang dihasilkan dari sensor posisi menggunakan potensiometer . Output dari tegangan potensiometer adalah amplify, memberikan output arus yang memberi pengaruh arus balik pada kumparan melewati resistor untuk memberikan output tegangan. • Analisis keseluruhan transfer fungsi diagram blok ditunjukkan oleh :

• Jika KA mencapai besarnya maka KA KD KF/k >>1 , sehingga fungsi transfer sistem dapat dituliskan dalam bentuk :

• Kita lihat bahwa frekuensi natural sistem ωns lebih besar dari gaya elastik elemen itu sendiri. Perbandingan teredam sistem ξs kurang dari ξ, tapi pembuatan nilai ξs ≈ 0.7 dapat diperoleh. Selanjutnya sensitivitas steadystate sistem hanya bergantung pada m, KF, dan R, yang dapat dibuat konstan untuk derajat yang tinggi.