w

SECUNDAIR ONDERWIJS

Graad:

eerste graad A-stroom

Jaar:

eerste en tweede leerjaar BASISVORMING

Vak(ken):

AV wiskunde

Leerplannummer:

2006/005 (vervangt 97169)

Nummer inspectie:

2006 / 5 // 1 / G / BV / 1 / I / / D/

5/4 lt/w

Eerste graad A-stroom – Basisvorming AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week)

1

INHOUD Beginsituatie ..................................................................................................................................................2 Visie ...............................................................................................................................................................3 Algemene doelstellingen ...............................................................................................................................4 Leerplandoelstellingen/Leerinhouden/Specifieke pedagogisch-didactische wenken ...................................5 Eerste leerjaar A..................................................................................................................................6 Getallenleer...............................................................................................................................6 Meetkunde ..............................................................................................................................15 Tweede leerjaar A .............................................................................................................................28 Getallenleer.............................................................................................................................28 Meetkunde ..............................................................................................................................35 Pedagogisch-didactische wenken ...............................................................................................................41 Vakoverschrijdende eindtermen........................................................................................................42 ICT.....................................................................................................................................................47 Begeleid zelfgestuurd leren...............................................................................................................48 Verdeling van de beschikbare lestijden ............................................................................................50 Minimale materiële vereisten.......................................................................................................................52 Evaluatie ......................................................................................................................................................53 Bibliografie ...................................................................................................................................................57


2

BEGINSITUATIE Leerlingen moeten worden toegelaten tot het eerste leerjaar A van het secundair onderwijs als zij het getuigschrift van basisonderwijs behaald hebben. Onder bepaalde voorwaarden kunnen zij echter ook toegelaten worden zonder dit getuigschrift. Dit betekent dat niet alle leerlingen die het eerste leerjaar A aanvatten over hetzelfde volume en dezelfde intensiteit voorkennis (beginsituatie) beschikken. Deze leerlingen: • • • • • • • • • • • • • • • •

kennen en begrijpen het bestaan van natuurlijke getallen, breuken en decimale getallen; kennen de hoofdbewerkingen met natuurlijke getallen en kunnen de eigenschappen van deze bewerkingen toepassen; kunnen delers en veelvouden van natuurlijke getallen vinden; kunnen gelijkwaardigheid tussen kommagetallen, breuken en procenten vaststellen en verduidelijken door omzettingen; kunnen procentberekeningen maken; kunnen de vier hoofdbewerkingen toepassen met decimale getallen en kunnen breuken optellen, aftrekken en vermenigvuldigen; zijn op de hoogte van schatprocedures die in veel omstandigheden toepasbaar zijn; moeten het resultaat van hun bewerkingen doelmatig kunnen controleren via gebruik van een rekentoestel; moeten beschikken over de nodige kennis inzake maateenheden en kunnen de meest functionele meetinstrumenten zelf hanteren; kennen punten, rechten, hoeken, vlakke figuren en ruimtelichamen en hun belangrijkste eigenschappen; onderscheiden soorten hoeken en veelhoeken; weten hoe de omtrek en de oppervlakte kan bepaald worden; kunnen de inhoud van een balk berekenen; hebben enige notie van temperatuurmeting, kunnen rekenen met geld en kunnen kloklezen; hebben leren tekenen met passer en liniaal; kunnen begrippen als symmetrie, gelijkvormigheid en gelijkheid ontdekken.

Van deze leerlingen wordt verwacht: • • •

dat zij beschikken over een probleemoplossende reflex waardoor zij inzicht hebben in probleemstellingen; dat zij een probleem kunnen schematiseren en oplossingshypothesen kunnen voorstellen; dat zij over hun oplossingsproces kunnen reflecteren.

Als gevolg van de eindtermen zijn in dit leerplan de verzamelingen, de bewerkingen met verzamelingen en de relaties niet meer zijn opgenomen. In dit leerplan wordt het accent gelegd op schatprocedures, op het gebruik van het rekentoestel, op het ontwikkelen van probleemoplossende vaardigheden, op het ruimtelijke inzicht en op het ontwikkelen van een kritische houding t.o.v. gegevens en resultaten. Voor deze vaardigheden wordt in het basisonderwijs een aanzet tot ontwikkeling gegeven. Het is dus meer dan wenselijk dat de leerkracht wiskunde van het eerste leerjaar A van het secundair onderwijs enerzijds kennis neemt van de leerplannen van het basisonderwijs en anderzijds de concrete beginsituatie van de leerlingen vaststelt.


3

VISIE Wiskundeonderwijs gaat uit van waarnemingen, ervaringen, problemen en hypothesen, maar besteedt ook aandacht aan abstrahering en structurering. Het wiskundeonderwijs is een proces van geleidelijke, systematisch voortschrijdende en steeds herhalende opbouw, ook wel eens spiraalopbouw genoemd. Dit betekent dat niet elk aangevat onderdeel van de wiskunde meteen wordt afgewerkt. De overstap naar abstrahering moet steeds steunen op concrete voorbeelden. De leerlingen zullen hierin telkens een steunpunt vinden t.o.v. het abstracte (de theorie). Een communicatieve interactie tussen leraar en leerlingen en tussen leerlingen onderling bevordert inzicht, expliciteert en verfijnt de denkprocessen en noopt de leerling tot reflectie over zijn denkproces. Daardoor leert de leerling zijn handelen kritisch analyseren, wordt hij minder afhankelijk van anderen en wordt zijn denken planmatiger en flexibeler. De leerlingen moeten zinvol en functioneel gebruik maken van het rekentoestel, meer algemeen van ICT. Wat het algemeen gebruik van ICT betreft, zal de leraar steeds onderzoeken welke de didactische meerwaarde t.o.v. andere middelen is. Het feit dat de maatschappij ons overstelpt met informatie dwingt de leraar ertoe om, enerzijds de leerling kritisch te leren omgaan met dit aanbod, anderzijds de leerling daarvan functioneel te leren gebruik. Wat het gebruik van het rekentoestel betreft, zullen de leerlingen -telkens de gelegenheid zich voordoet- de vier hoofdbewerkingen, bewerkingen met haken, het gebruik van de geheugentoetsen en breukentoets inoefenen met het rekentoestel. Uiteraard speelt de controle op de betrouwbaarheid van het afgelezen resultaat een belangrijke rol. Daarom zal een grondig inzicht in de basistechnieken noodzakelijk blijven wil men op een nuttige en efficiënte manier gebruik maken van het rekentoestel. Bij de leerlingen zal de motivatie tot oplossen verhogen door de bruikbaarheid en de toepassingsgerichtheid van de aangeboden problemen, de aanpassing aan hun bevattingsvermogen en het inspelen op hun belevingswereld. Zelfvertrouwen kweekt bij de leerlingen vorsingsdrang naar oplossing van nieuwe en meer complexe opgaven. Enige aandacht voor het wiskundeverleden, zoals dit vak zich ontwikkeld heeft doorheen de verschillende culturen, laat de leerling eveneens wiskunde ervaren als een dynamisch vak. Bovendien zal elke gelegenheid aangegrepen worden om aan te tonen dat basiskennis wiskunde noodzakelijk is in onze maatschappij. Onze snel evoluerende samenleving noopt bovendien tot soepelheid om snel en efficiënt problemen op te lossen. In de verdere opleiding en de beroepsloopbaan zijn daarom vakoverschrijdende vaardigheden vereist. In het bijzonder blijft probleemoplossend denken dan ook een noodzaak. Op deze vaardigheden wordt in de beschrijving van de algemene doelstellingen verder concreet ingegaan.


4

ALGEMENE DOELSTELLINGEN Elk leerplan wiskunde in het secundair onderwijs moet zich inschrijven in de algemene en in feite funderende doelstellingen van dit leervak. Vanuit deze algemene doelstellingen vinden de leerplandoelstellingen hun concretisering per graad. Dit betekent voor de eerste graad secundair onderwijs dat de algemene doelstellingen moeten worden bereikt binnen het kader van de vooropgestelde eindtermen wiskunde. Deze algemene doelstellingen zijn te verwoorden als volgt: • • • • • • • • • •

een wiskundig basisinstrumentarium verwerven: leren omgaan met symbolen, formules, begrippen en verbanden waarmee men getallenleer, algebra, meetkunde, analyse en combinoratiek, kansrekening en statistiek kan ontwikkelen; een aantal wiskundige denkmethoden verwerven: mogelijkheden verwerven om te ordenen en te structureren; cijfer- en beeldinformatie op een betekenisvolle manier hanteren; omgaan met de wiskunde als taal; vaardigheden ontwikkelen in het oplossen van problemen; verbanden leggen tussen wiskundige leerinhouden en andere vakdisciplines; technische hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken, om berekeningen uit te voeren of om wiskundige problemen te onderzoeken; ervaren dat wiskunde een dynamische wetenschap is; zelfvertrouwen en kritische zin ontwikkelen; inzien dat wiskunde een belangrijke cultuurcomponent is.


5

LEERPLANDOELSTELLINGEN/LEERINHOUDEN/SPECIFIEKE PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN Eindterm

Vooraf Bij de leerplandoelstellingen wordt telkens verwezen naar de eindtermen die hierop van toepassing zijn. Bij leerplandoelstellingen die niet expliciet maar eerder impliciet zijn af te leiden uit de eindtermen, werden de betreffende eindtermen niet vermeld. De volgorde in opsomming van de leerplandoelstellingen is niet bindend voor de volgorde van de behandeling ervan. Leerkrachten zullen erover waken dat bij elke gelegenheid in de les en bij de pedagogisch-didactische verwerking van de leerinhouden, de vakoverschrijdende eindtermen maximaal worden nagestreefd.

*AW44

Om de leerlingen te motiveren tot probleemoplossend denken, wordt hen het besef bijgebracht dat de redenering ten minste even belangrijk is als het resultaat zelf. Zij worden ook aangezet tot zelfstandig denken en zelfstandig werken.

*AW45 *AW46 *AW47

Bij het oplossen van oefeningen en vraagstukken wordt bij de leerlingen doorzettingsvermogen ontwikkeld en aangemoedigd. Teneinde het vertrouwen en het inzicht in de wiskunde te bevorderen, worden de leerlingen aangezet tot een zo groot mogelijke zelfregulatie waarin planning, zelftoetsing en reflectie sterk aan bod komen. De leerlingen ontwikkelen ook een en kritische houding tegen over het gebruik allerlei wiskundig materiaal.

De volgende begrippen uit de verzamelingenleer en de logica worden als instrument gebruikt indien ze verhelderend werken: 1

de begrippen verzameling en deelverzameling;

2

de symbolen = , F , ∈,∉ , ⊂ , ⊄ zinvol gebruiken;

3

de doorsnede (symbool =) en de vereniging (symbool >) van twee verzamelingen;

4

het zinvol hanteren van “en”, “of” en “niet” in uitdrukkingen;

5

verbanden tussen verzamelingen voorstellen met behulp van venndiagrammen;

6

de logische symbolen ∀ (voor alle) ∃ (er bestaat) en ⇔ (als ... dan ... en omgekeerd) zinvol gebruiken;

7

in concrete gevallen kunnen werken met koppels, relaties, voorstellingen van relaties en soorten relaties.

Een systematische studie is hier niet op zijn plaats!


6

Eerste leerjaar A Getallenleer Eindterm

Vooraf

W9

De leerlingen moeten een rekentoestel zinvol en functioneel leren gebruiken.

•

ET

Telkens de gelegenheid zich voordoet, oefenen zij het uitvoeren van de vier hoofdbewerkingen, alsook van machtsverheffingen en worteltrekkingen, inclusief bewerkingen met haken.

Inhoudelijke leerplandoelstellingen

1

De natuurlijke en de gehele getallen

1.1

Basisbegrippen

Pedagogisch-didactische wenken Het samen behandelen van de natuurlijke en de gehele getallen heeft vooral tot doel een tijdwinst te realiseren. Tevens worden de leerlingen veel vroeger geconfronteerd met de bewerkingen met gehele getallen, zodat deze gedurende een langere periode van het schooljaar kunnen ingeoefend worden.

De leerlingen W1 W5 W18

1.1.1 kennen de symbolische voorstelling van de verzamelingen !, ' , $, *, (,), +, , en kunnen deze verzamelingen lezen en opschrijven; kunnen werken met lettervoorstellingen van getallen, met absolute waarde en tegengestelde getallen

Voortbouwend op de kennis van de natuurlijke getallen die de leerlingen in de basisschool hebben verworven, moeten hier zeker aan bod komen: ◊ de notatie in ons tientallig positiestelsel;

W14

1.1.2 kunnen de verzamelingen ! en ' voorstellen op een getallenas

W10

1.1.3 kunnen onderling vergelijken: werken met de relaties =, F,<, >, D en C

W38

1.1.4 kunnen ! x ! en ' x ' afbeelden in het geijkte vlak en kennen

◊ de voorstelling van de gehele getallen op een geijkte rechte; abscis van een punt.(het is wenselijk de coördinatenmeetkunde niet uit te stellen tot het einde van het schooljaar, doch dit deel over het gehele schooljaar te spreiden); ◊ de orde van de gehele getallen: we zullen zeker aandacht schenken aan een goed begrip van de symbolen < en >, daar deze symbolen niet voorkomen in de eindtermen van het basisonderwijs; ◊ de voorstelling van koppels gehele getallen in een geijkt vlak: het

Eerste graad A-stroom – Basisvorming AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) ET

Inhoudelijke leerplandoelstellingen het begrip coördinaat

7 Pedagogisch-didactische wenken koppel wordt de coördinaat van het corresponderend punt genoemd, het eerste getal is de abscis en het tweede getal is de ordinaat; abscis en ordinaat zijn de coördinaatgetallen van een punt. In het licht van de vergelijkingen die later aan bod komen en van een doelstelling op langere termijn, het rekenen met lettervormen, is het belangrijk de leerlingen eveneens vanaf het begin gaandeweg vertrouwd te maken met het voorstellen van getallen door letters. Het is uiteraard aangewezen daarbij niet uitsluitend gebruik te maken van de letter x: later te hanteren formules bevatten immers ook andere letters! We zullen er ons voor hoeden een systematische behandeling te geven van de verzamelingenleer! De taal van de verzamelingen blijft echter als symbolentaal een essentieel hulpmiddel.

1.2 W7 W5

De vier hoofdbewerkingen

1.2.1 kennen de terminologie: optelling, som, termen van een som, aftrekking, verschil, vermenigvuldiging, product, factoren van een product, deling, quotiënt, deeltal, deler, rest

De leerlingen moeten voor een opgaande en een niet–opgaande deling in ! de betrekkingen kunnen opstellen tussen deeltal a, deler b, quotiënt q en rest r: a = b . q + r en r < b

W8 W2

1.2.2 kennen en gebruiken rekenregels en tekenregels

De frequent voorkomende uitspraak “min en min is plus” moet in de klas bestreden worden. Leerlingen moeten een duidelijk onderscheid maken tussen de tekenregels voor optellen en aftrekken enerzijds en vermenigvuldigen en delen anderzijds.

W3

1.2.3 kunnen een onderzoek instellen naar:

Bij het onderzoek naar eigenschappen bij de vier hoofdbewerkingen is het belangrijk dat de leerlingen inzien dat één tegenvoorbeeld voldoende is om te concluderen dat de eigenschap niet geldt, doch dat het geven van voorbeelden geen bewijs levert voor de algemene geldigheid.

• • • • •

het commutatief-zijn; het “overal gedefinieerd-zijn” in ! en in ''; het associatief-zijn; de rol van 0 en 1; eventueel het begrip neutraal element; de som van een getal en zijn tegengestelde; eventueel het begrip symmetrisch element.

Bij een bewerking in ! of in ' stellen we ons eerst de vraag: “Kunnen we die bewerking voor elk koppel elementen van de gegeven verzameling uitvoeren?” Het voorstellen met letters van het commutatief-zijn en het associatiefzijn van de bewerkingen is eveneens een stap in het vertrouwd worden met lettervormen. Facultatief kan de leerkracht deze eigenschappen in het eerste leerjaar


8

ET


Pedagogisch-didactische wenken al noteren met gebruik van de kwantor. De leerlingen moeten echter wel al attent gemaakt worden op de inhoud van de termen “voor alle” en “er bestaat”.

AW41 AW42

1.2.4 kunnen de eigenschappen van bewerkingen verwoorden

De leerkracht kan zich eventueel beperken tot het laten verwoorden van de rol van 0 en 1, alsook van de som van een geheel getal en zijn tegengestelde, dit dus zonder gebruik te maken van de termen “neutraal element” en “symmetrisch element”. Het accent moet in het eerste leerjaar gelegd worden op het correct kunnen verwoorden en op het kunnen toepassen van deze eigenschappen. We moeten er hier immers op letten dat geen schijnkennis wordt verworven, doch een inzicht gestoeld op een voldoend aantal voorbeelden.

W15

1.2.5 kunnen de uitbreiding van ! naar ' verklaren 1.2.6 kennen het verband tussen optellen en aftrekken

W3

1.2.7 kennen het distributief-zijn en kunnen dit toepassen voor de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking

Bij het toepassen van het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking dient ook het “andersomaspect” de nodige aandacht te krijgen. Voorbeeld: 2.a + 2.b = 2.(a + b) Na het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking kan facultatief ook het rechts-distributief-zijn van de deling t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking worden behandeld. Door het tweemaal na elkaar toepassen van het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling komen we tot de regel voor het vermenigvuldigen van een som met een som. Het kan verhelderend werken als de eigenschappen voor bewerkingen met getallen in verband worden gebracht met een visuele ondersteuning uit de meetkunde. Voorbeeld: (a + b) . c = a.c + b.c De oppervlakte van een rechthoek met afmetingen (a + b) en c zien als de som van de oppervlakten van twee rechthoeken met afmetingen a en c en met afmetingen b en c.

Eerste graad A-stroom – Basisvorming AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) ET W8

Inhoudelijke leerplandoelstellingen 1.2.8 kunnen de stappen in het rekenwerk verantwoorden door de gebruikte eigenschappen te vermelden

W8

1.2.9 kunnen deze eigenschappen handig toepassen bij hoofdrekenen

W12

1.2.10 kunnen technieken van schatten toepassen 1.3

1.3.1 kennen de schrijfwijze, leeswijze, terminologie: machtsverheffing, macht, grondtal, exponent, kwadraat

W11

1.3.2 kunnen machten berekenen met gehele grondtallen en natuurlijke exponenten 1.3.3 kennen het verband tussen het kwadrateren en het berekenen van de vierkantswortel

W6 W9

Pedagogisch-didactische wenken

Machten

W5

1.4

9

Trek zeker de aandacht op het onderscheid tussen de opdrachten: ″ bepaal de gehele getallen x die voldoen aan “x2 = 36″ en ”bereken 36 ”.

Volgorde van de bewerkingen

1.4.1 kunnen de regels in verband met de volgorde van de bewerkingen en het gebruik van de haakjes toepassen

De afspraken in verband met de volgorde van de bewerkingen worden progressief ingevoerd: we wachten dus niet tot alle bewerkingen behandeld zijn. Bij deze afspraken worden de vermenigvuldigingen en de delingen uitgevoerd van links naar rechts. Voorbeeld: 18 : 2 . 9 = 9 . 9 = 81 De leerkracht moet er over waken dat de leerlingen het rekentoestel verantwoord en efficiënt gebruiken, met bijzondere aandacht voor het gebruik van haakjes.

W23 W18 1.4.2 kunnen de regelmaat ontdekken in eenvoudige patronen en schema’s en ze beschrijven met formules

Aansluitend bij de “spiraal-opbouw” van het werken met letters, dienen er tevens problemen aan bod te komen die te maken hebben met het ontdekken van een regelmaat in getallenrijen (patronen) en waarbij gezocht wordt naar een algemene formule voor het n-de getal in de rij. Wees in elk geval steeds indachtig dat praktische vraagstukken en toe-



W23

1.4.3 kunnen de getalwaarde van een lettervorm berekenen

2

De rationale getallen

2.1

Basisbegrippen

10 Pedagogisch-didactische wenken passingen, alsook concrete voorbeelden die aansluiten bij de belevingswereld van de leerlingen de motivatie slechts kunnen verhogen.

De leerlingen: W4 W18

2.1.1 kennen de symbolische voorstelling van de verzamelingen -, 0, ., /, 1, 2 en kunnen deze verzamelingen lezen en opschrijven; kunnen een getal schrijven in breukvorm, in decimale vorm; kunnen de decimale benadering van een breuk bepalen; kunnen werken met lettervoorstellingen van getallen, met absolute waarde, tegengestelde getallen en het omgekeerde van een getal

Breuken ontstonden in de geschiedenis naar aanleiding van verdeling van oogst, visvangst, stoffen, percelen. Diverse modellen (lijnstuk, strook, oppervlakte, inhoud, tabellen) bieden een houvast als denkmiddel. Vanuit het basisonderwijs is elke leerling al vertrouwd met decimale getallen. Deze decimale getallen kunnen gemakkelijk in breukvorm worden genoteerd.

W14

2.1.2 kunnen de verzameling - voorstellen op een getallenas en kunnen - x - afbeelden op het geijkte vlak

De plaats van een rationaal getal (zowel in decimale vorm als in breukvorm) op een getallenas moet slechts bij benadering worden bepaald. Een nauwkeurige constructie is hier niet noodzakelijk.

W10

2.1.3 kunnen onderling vergelijken: werken met de relaties =, F ,<, >, D, C

De leerlingen moeten de gelijkwaardigheid zien tussen de breuk, de decimale waarde, de verhouding (het verband tussen twee grootheden uitgedrukt in breukvorm) en het procent (gestandaardiseerde verhouding met noemer 100). Dit leidt tot een geschikte keuze bij berekeningen in functie van gegevens: ◊ 21 % BTW op een bedrag van 80 000 EUR is vlug gevonden met: 2 1 .80 000 EUR + .80 000 EUR = 16 800 EUR 10 100 ◊ voor het berekenen van de jaarlijkse intrest van een kapitaal van 3 500 000 EUR aan 5,375 % zal men eerder grijpen naar het rekentoestel via de bewerking: 3 500 000 EUR . 0,05375 = 188 125 EUR


11

ET



W4 W13

2.1.4 kunnen met verhouding, schaal, procent en kans werken

Eveneens zal de onderlinge samenhang worden belicht tussen de begrippen: ◊ verhouding; ◊ procent; ◊ schaal (verhouding tussen de maatgetallen van de lengte van gelijkstandige lijnstukken van gelijkvormige figuren); ◊ kans (getal van ten minste 0 en ten hoogste 1 dat de waarschijnlijkheid van het optreden van een gebeurtenis aangeeft). Merk op dat verhoudingen soms verscholen zijn in uitdrukkingen zoals: ◊ een prijs van 500 EUR/m² i.p.v. 500 EUR/1 m²; ◊ een benzineverbruik van 8,5 liter waarmee bedoeld wordt 8,5 liter/100 km; ◊ een neerslag van 25 l = 25 l/1 m².

W17

2.1.5 kunnen vanuit tabellen met cijfergegevens het rekenkundig gemiddelde berekenen en hieruit relevante informatie afleiden

Het spreekt vanzelf dat de cijfergegevens uit een reële context (zo mogelijk uit de interessesfeer van de leerlingen) gehaald worden. Internet is een rijke bron aan cijfermateriaal.

2.2

De vier hoofdbewerkingen

W7 W2 W8

2.2.1 kennen en gebruiken de rekenregels en de tekenregels voor getallen in breukvorm en in decimale vorm

Zie ook 1.2.2. Om een breuk te vereenvoudigen kan men teller en noemer schrijven als een product en gemeenschappelijke factoren opsporen. 26 2.13 2 Voorbeeld: 39 = 3.13 = 3 Vermenigvuldigen van een breuk met een breuk en delen van een breuk door een breuk zijn niet aangegeven in de eindtermen van het basisonderwijs. Deze bewerkingen en in het bijzonder de rekenregels zijn dus voor veel leerlingen nieuwe leerstof.

W3

2.2.2 kunnen een onderzoek instellen naar:

Het onderzoek van de eigenschappen van de bewerkingen in - is een van de mooie voorbeelden van de spiraalmethode, die in het wiskundeonderwijs gehanteerd wordt.

• •

het “overal gedefinieerd zijn“ in -; het commutatief-zijn;


Inhoudelijke leerplandoelstellingen • • •

AW41 AW42

het associatief-zijn; de rol van 0 en 1 (eventueel het begrip neutraal element); de som van een getal en zijn tegengestelde, het product van een getal en zijn omgekeerde (eventueel het begrip symmetrisch element). 2.2.3 kunnen de eigenschappen van bewerkingen verwoorden

12 Pedagogisch-didactische wenken De symbolische voorstelling van de eigenschappen van de hoofdbewerkingen kan op analoge manier als in ! en in ' worden behandeld.

2.2.4 kunnen de uitbreiding van ' naar - verklaren W15

2.2.5 kennen het verband tussen optellen en aftrekken en tussen vermenigvuldigen en delen

W3

2.2.6 kennen het distributief-zijn en kunnen dit toepassen voor de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking

W8

2.2.7 kunnen de stappen in het rekenwerk verantwoorden door de te gebruiken eigenschappen te vermelden

W8

2.2.8 kunnen deze eigenschappen handig toepassen bij hoofdrekenen

W12

2.2.9 kunnen de uitkomst van een bewerking schatten; een resultaat oordeelkundig afronden; een afgerond resultaat evalueren en interpreteren in functie van het gestelde probleem 2.3

W5

Machten

2.3.1 kunnen machten berekenen met rationale grondtallen en natuurlijke exponenten

De begrippen werden reeds gesticht in 1.3. Hier primeert inzicht op rekenwerk! Wellicht vragen sommige leerlingen zich af of de exponent ook uit een andere verzameling kan komen.

W5

2.3.2 kennen de vierkantswortel van een rationaal getal en kunnen hem berekenen

Zie eveneens punt 1.3.3


Inhoudelijke leerplandoelstellingen 2.4

W6 W18

13 Pedagogisch-didactische wenken

Volgorde van bewerkingen

2.4.1 kunnen de regels in verband met de volgorde van de bewerkingen en het gebruik van de haakjes toepassen

De afspraken in verband met de volgorde van de bewerkingen in ! en

' worden overgenomen in -.

2.4.2 kunnen de getalwaarde van een lettervorm berekenen

3

Vergelijkingen

De leerlingen: 3.1

W21

3.2

kennen de verenigbaarheid van de gelijkheden met de hoofdbewerkingen

kunnen eenvoudige vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen

Gelijkheden zijn als een balans in evenwicht. We voeren op beide leden een zelfde bewerking uit. (balansmethode). De leerkracht zal waakzaam toezien op het correct gebruik van gelijktekens. Vergelijkingen ontstaan uit concrete situaties en vertalen een gelijkheid die voortkomt uit verbanden tussen wat we moeten zoeken (de onbekende) en wat we weten (het gegeven). Op dit niveau beschouwen we een vergelijking als een gelijkheid waarin een letter voorkomt. Deze letter noemen we de onbekende. Om vergelijkingen op te lossen steunen we dus op de eigenschappen van gelijkheden. Deze eigenschappen verantwoorden de oplossingstechniek. Het gebruik van het gelijkwaardigheidsteken (⇔) wordt stellig afgeraden. Als oplossingsmethode verdient in het eerste leerjaar de balansmethode onze voorkeur. In het tweede leerjaar kan een verkorte schrijfwijze gebruikt worden, maar het verband met de balansmethode moet duidelijk blijven. In het eerste leerjaar beperken we ons tot het oplossen van vergelijkingen van de eerste graad zonder breuken in de vergelijking. De oplossing van de vergelijking kan een rationaal getal zijn.

AW45

Geregeld de proef maken is aanbevolen.

Eerste graad A-stroom – Basisvorming AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) ET W22 AW43

Inhoudelijke leerplandoelstellingen 3.3 kunnen eenvoudige vraagstukken die leiden tot vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen

14 Pedagogisch-didactische wenken Bij het oplossen van vraagstukken kunnen we vijf stappen onderscheiden: 1 het vertalen van de opgave in wiskundetaal en het zoeken naar een gelijkheid en het kiezen van een onbekende; 2 het opstellen van een vergelijking die het vraagstuk weergeeft; 3 het oplossen van de vergelijking en de proef op de vergelijking; 4 het formuleren van een antwoord met aandacht voor de eenheden; 5 de proef op het vraagstuk. Bij het oplossen van vraagstukken ondervinden leerlingen vaak moeilijkheden bij het opsporen van een gelijkheid en ze missen dikwijls de handigheid in het vertalen naar wiskundetaal. Dit vertalen in wiskundetaal dient dus heel het schooljaar door ingeoefend te worden


15

Meetkunde Eindterm

Vooraf De leerstof meetkunde zal niet door middel van een axiomatische opbouw aangeboden worden. Een aantal begrippen zoals ruimte, vlak en rechte kunnen leerlingen intuïtief begrijpen omdat zij zich daarvan een voorstelling kunnen maken. Via een intuïtieve instap, vaak te vinden in een ludieke toepassing, zal het intuïtief aanvoelen, ook bij begrippen die nadien correct gedefinieerd worden, een ondersteunende rol spelen. Vanaf het eerste jaar zal zoveel mogelijk aandacht besteed worden aan “zien in de ruimte”. Het is de bedoeling om het ruimtelijk zien, waarvan de aanzet reeds gegeven werd in de basisschool, verder te ontwikkelen. Door middel van concrete voorwerpen en ruimtelichamen, die in de klas aanwezig zijn of die er door de leerkracht als model geplaatst zijn, kunnen leerlingen tot begripsvorming komen van o.a. veelvlak, veelhoek, vlak, rechte, evenwijdige rechten, kruisende rechten ...

W32

Meetkunde biedt bij uitstek de mogelijkheid tot ontwikkelen van tekenvaardigheid, zin voor precisie en correct gebruik van tekeninstrumenten (motoriek). Eigenschappen van vlakke figuren worden geformuleerd na gericht waarnemen. Bij voorkeur laat de leerkracht in de praktijk alle leerlingen een gepaste (grote) figuur tekenen waarop lijnstukken met dezelfde lengte en hoeken met dezelfde grootte aangeduid worden, zonder er bijzondere gegevens bij te veronderstellen: ◊ niet elke rechte loopt evenwijdig met een rand van het blad; ◊ niet elke veelhoek (driehoek, vierhoek) heeft een zijde evenwijdig met de rand van het blad; ◊ niet elke vierhoek is een vierkant of een rechthoek; ◊ niet alle snijdende rechten staan loodrecht op elkaar. Het veralgemenen van eigenschappen van vlakke figuren mag in geen geval gebeuren op basis van een beperkt aantal voorbeelden. Enkel onderzoek op heel veel voorbeelden laat toe vaststellingen te veralgemenen en een hypothese te formuleren; hierbij kan het gebruik van ICT een grote rol spelen. De vastgestelde eigenschappen worden eventueel met symbolen genoteerd. Bij deze notatie zijn nauwkeurigheid en volledigheid noodzakelijk.

W40

Oefeningen en eigenschappen zullen opgesplitst worden in: gegeven, gevraagd, tekening en eventueel een verklaring/bewijs. Leerlingen zullen een uitspraak zoveel mogelijk door middel van tekeningen toetsen op het “waar” of “niet waar” zijn. De leerkracht zal telkens de aandacht vestigen op het feit dat dit toetsen geen bewijskracht heeft bij het “waar” zijn, maar wel een bewijs is bij het “niet waar” zijn (bewijskracht van een tegenvoorbeeld). Bij het noteren wordt een onderscheid gemaakt tussen een vaststelling en een verklaring / bewijs.


ET


1

16


De ruimte – een vlak

De leerlingen: 1.1

begrijpen het begrip ruimte

De begrippen ruimte en vlak zijn grondbegrippen die leerlingen intuïtief begrijpen.

1.2

begrijpen de begrippen vlak en vlakke figuur

Een vlakke figuur wordt aan de hand van voorwerpen in de ruimte gesitueerd en omschreven als deel van een vlak. Dit kan een gelegenheid zijn om het begrip deelverzameling aan te brengen.

1.3

begrijpen de begrippen rechte, halfrechte en drager van een halfrechte

De begrippen rechte, halfrechte en drager van een halfrechte zijn begrippen die in de ruimte gesitueerd worden. Leerlingen begrijpen deze begrippen intuïtief. Opmerking: met halfrechte wordt hier de gesloten halfrechte bedoeld. Het begrip “collineaire punten” kan hier eventueel besproken worden.

1.4

begrijpen de begrippen lijnstuk en drager van een lijnstuk

De begrippen lijnstuk en drager van een lijnstuk zijn begrippen die in de ruimte gesitueerd worden. Leerlingen begrijpen deze begrippen intuïtief. Leerlingen weten intuïtief wat de lengte van een lijnstuk is.

1.5

begrijpen het begrip lengte van een lijnstuk en kunnen de afstand tussen twee punten bepalen

Het is belangrijk een duidelijk onderscheid te maken tussen: ◊ de figuur: voorbeeld: het lijnstuk [ AB ]; ◊ de lengte van het lijnstuk met de nodige aandacht voor de gepaste eenheid: voorbeeld: ⏐AB ⏐ = 10 cm. In deze context wordt ook aandacht besteed aan het onderscheid tussen even lange lijnstukken en gelijke lijnstukken. Lijnstukken zijn verzamelingen van punten en zijn slechts gelijk indien ze dezelfde elementen bevatten. Lijnstukken zijn dus slechts gelijk als ze samenvallen. Met lijnstuk wordt hier het gesloten lijnstuk bedoeld. De afstand tussen twee punten wordt gedefinieerd als de lengte van het


W26

17


Pedagogisch-didactische wenken lijnstuk dat door die twee punten begrensd wordt.

1.6

kennen de definitie van het midden van een lijnstuk

Leerlingen moeten de definitie van het midden van een lijnstuk kunnen verwoorden en eventueel noteren met symbolen

1.7

kennen de definitie van een cirkel kunnen met de begrippen middellijn, middelpunt, diameter, de straal, boog, middelpuntshoek en koorde werken

Naast de cirkel kan ook de schijf worden gedefinieerd Aan de hand van een tekening kunnen, via zinvol gebruik van kleuren, de volgende benamingen duidelijk gemaakt worden: middellijn, middelpunt, middelpuntshoek, boog, koorde. Deze begrippen worden in de volgende lessen gebruikt bij de verklaring van constructies. Opmerkingen: ◊ de straal van een cirkel is de lengte van elk lijnstuk begrensd door het middelpunt van de cirkel en een punt dat op de cirkel ligt; ◊ de diameter van een cirkel is de lengte van elke koorde die door het middelpunt gaat.

2

Lichamen in de ruimte – vlakke figuren

De leerlingen: 2.1

begrijpen de begrippen veelvlak en veelhoek

Het begrip veelvlak kan intuïtief begrepen worden als een lichaam dat geen gebogen grensvlakken heeft. Leerlingen zien dat een veelvlak begrensd wordt door vlakke figuren die uitsluitend door lijnstukken begrensd worden. Bij de omschrijving van een veelhoek, wordt de nodige aandacht besteed aan het feit dat er slechts een veelhoek ontstaat op voorwaarde dat een vlakke figuur door tenminste drie verschillende lijnstukken ingesloten wordt. De begrippen veelhoek en regelmatige veelhoek worden zo correct mogelijk omschreven.

W27

2.2

kennen de onderlinge ligging van twee rechten: • • •

snijdende rechten; strikt evenwijdige en kruisende rechten; evenwijdige rechten.

De onderlinge ligging van twee rechten wordt in de ruimte gesitueerd. Boetseerklei, een blok piepschuim, een kartonnen doos en enkele breinaalden, houten stokjes, gespannen touwen of ICT kunnen gebruikt worden om de situaties aanschouwelijk te maken.



18 Pedagogisch-didactische wenken De begrippen snijdende rechten, strikt evenwijdige rechten, kruisende rechten en evenwijdige rechten worden zo correct mogelijk omschreven. ◊ Strikt evenwijdige rechten zijn rechten die in een vlak liggen en geen enkel gemeenschappelijk punt hebben. ◊ Evenwijdige rechten zijn rechten die ofwel strikt evenwijdig zijn ofwel samenvallen. ◊ Kruisende rechten zijn rechten die niet in een zelfde vlak liggen en geen enkel gemeenschappelijk punt hebben. ◊ Snijdende rechten zijn rechten die precies één gemeenschappelijk punt hebben. Leerlingen tekenen in dit stadium evenwijdige rechten met behulp van een geodriehoek.

2.3

kennen een hoek en een rechte hoek

Het begrip hoek wordt gedefinieerd als een deel van een vlak begrensd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk grenspunt. Door middel van plooien kan men viermaal een rechte hoek tonen. Leerlingen begrijpen intuïtief de betekenis van het begrip rechte hoek.

W27

2.4

kunnen rechten die loodrecht op elkaar staan tekenen en de loodrechte stand controleren

Leerlingen gebruiken de geodriehoek als instrument om loodlijnen te tekenen of om de loodrechte stand te controleren.

2.5

kunnen de afstand bepalen:

Leerlingen aanvaarden intuïtief dat de afstand van een punt tot een rechte moet gemeten worden op de loodlijn die vanuit dat punt op die rechte neergelaten is.

• •

van een punt tot een rechte; tussen twee strikt evenwijdige rechten.

Leerlingen aanvaarden intuïtief dat de afstand tussen twee strikt evenwijdige rechten moet gemeten worden op een rechte die loodrecht staat op de evenwijdige rechten. Als toepassing kunnen in een vlak eigenschappen i.v.m. evenwijdigheid en loodrechte stand ontdekt worden zoals: als a ⊥ b en b ⊥c dan a // c; als a // b en b ⊥ c dan a ⊥ c. 2.6

kennen de indeling van hoeken en kunnen ze gebruiken

De begrippen scherpe hoek, stompe hoek, gestrekte hoek, nulhoek, volle hoek en inspringende hoek kunnen door middel van tekeningen



19 Pedagogisch-didactische wenken uitgelegd worden. Het begrip hoekgrootte wordt niet gedefinieerd.

W32

2.7

kunnen hoeken meten

Net als bij lijnstukken is het ook bij hoeken belangrijk een onderscheid te maken tussen: ◊ de figuur: voorbeeld: de hoek Â of BÂC; ◊ de grootte van de hoek: voorbeeld: ⏐Â⏐= 30° of ⏐BÂC⏐=30°. Leerlingen gebruiken de geodriehoek of graadboog als instrument om hoeken te meten of om hoeken met gegeven grootte te tekenen

W32

2.8

kunnen een hoek tekenen die even groot is als een gegeven hoek (zonder meten)

De leerkracht moet de aandacht van de leerlingen trekken op het feit dat de constructie met passer en liniaal omwille van de nauwkeurigheid soms te verkiezen is boven het gebruik van de geodriehoek.

W26

2.9

kunnen overstaande hoeken, aanliggende hoeken, nevenhoeken herkennen en tekenen

Als toepassing op 2.8 kunnen opdrachten gegeven worden waaruit aanliggende hoeken of nevenhoeken of overstaande hoeken ontstaan.

W32 W26 2.10 kunnen de vlakke voorstelling van een lichaam maken

Na de observatie van lichamen in de ruimte ervaren leerlingen de noodzaak van vlakke voorstellingen van die lichamen. De vlakke voorstelling van ruimtelijke lichamen kan fungeren als een concrete wiskundige situatie voor het inoefenen van technieken zoals: ◊ de passer gebruiken als hulpmiddel om lijnstukken met dezelfde lengte te tekenen; ◊ tekenen van loodlijnen en evenwijdigen; en voor het herkennen en toepassen van eigenschappen i.v.m. ◊ evenwijdigheid; ◊ loodrechte stand. In het eerste leerjaar zal men zich beperken tot vlakke voorstellingen van lichamen die opgebouwd zijn met kubussen en balken. Kubus en balk zijn lichamen die reeds gekend zijn vanuit de basisschool. De perspectieftekening van een lichaam wordt eerst op ware grootte op papier afgebeeld. Hierbij worden de principes van kavalierperspectief aangetoond, eerst met een kubus, dan met een balk en daarna met een lichaam gebouwd uit kubussen en balken.


W36

Inhoudelijke leerplandoelstellingen 2.11 kunnen een perspectieftekening herkennen en kunnen deze van eenvoudige lichamen maken

2.12 kunnen de uitslag van lichamen herkennen en tekenen

20 Pedagogisch-didactische wenken Bij kavalierperspectief gelden de volgende afspraken: 1

houd één vlak van het lichaam evenwijdig met het vlak van de tekening; 2 evenwijdige rechten in de ruimte worden voorgesteld door evenwijdige rechten in het vlak van de tekening; 3 lijnstukken evenwijdig aan het vlak van de tekening worden op ware grootte getekend; 4 lijnstukken die loodrecht staan op het vlak van de tekening worden getekend op halve grootte; 5 rechten die loodrecht op het vlak van de tekening staan, bepalen een hoek van 45° ten opzichte van rechten die evenwijdig met het vlak van de tekening lopen. Nadat de principes van kavalierperspectief werden toegepast bij het afbeelden van lichamen op ware grootte, kunnen eenvoudige voorbeelden van een tekening op schaal worden gemaakt. Voor het tekenen van de uitslag van een lichaam zal men zich in het eerste jaar beperken tot lichamen opgebouwd met kubussen en balken. Facultatief kan een technische tekening worden gemaakt. Ook voor de technische tekening zal men zich in het eerste jaar beperken tot kubus, balk en eenvoudige lichamen opgebouwd met kubussen en balken. Zoals voor de perspectieftekening zal eerst gewerkt worden met lichamen die op ware grootte in het schrift worden getekend; daarna met grotere lichamen getekend op schaal.

2.13 kunnen afstanden bepalen uitgaande van een vlakke voorstel- Nadat de leerlingen vlakke voorstellingen getekend hebben van lichaling van een ruimtelijke figuur men, zal men ook andersom te werk gaan. Uitgaande van de vlakke voorstelling herkennen de leerlingen een lichaam in de ruimte en bepalen zij afstanden op het lichaam in de ruimte, eventueel door gebruik te maken van het begrip schaal.


3

21

Symmetrie

De leerlingen: 3.1

kunnen een punt spiegelen t.o.v. een rechte in een vlak

Vermits leerlingen gewoon zijn om te zien en te denken in de ruimte, moet hier enige aandacht besteed worden aan correcte verwoording. Het is niet de bedoeling om leerlingen te laten spiegelen in de ruimte. Via een intuïtieve instap kunnen de nodige vaststellingen gedaan worden die de correcte constructie van het beeld van een punt door spiegeling t.o.v. een rechte toelaten.

W35

3.2

kunnen een figuur spiegelen t.o.v. een rechte in een vlak

Voorbeelden: ◊ teken een figuur op een blad papier. Plooi het papier en prik met een speld gaatjes op de punten van de figuur. Als we daarna het blad openvouwen dan zien we de gegeven figuur en haar spiegelbeeld t.o.v. de “vouwlijn”; ◊ plaats een doorschijnende plaat (in glas of plastiek) loodrecht op het vlak van de tekening. Kijk door de doorschijnende plaat en bepaal de plaats van het beeld van een gegeven punt. Nadat de leerlingen enkele figuren, begrensd door lijnstukken, gespiegeld hebben t.o.v. een rechte in een vlak, kunnen ze vaststellen dat de gelijkstandige zijden even lang en de gelijkstandige hoeken even groot zijn. Ze kunnen eveneens vaststellen dat de gegeven figuur en het beeld congruente figuren zijn en dus dezelfde oppervlakte hebben. Het begrip “congruente figuren” is gekend uit de basisschool en kan in het eerste jaar omschreven worden als figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken.

W26 W35 3.3

kennen de definitie van de middelloodlijn van een lijnstuk in een vlak en kunnen deze tekenen

Zonder de leerlingen overdreven te belasten, moet hier de nodige aandacht besteed worden aan de verwoording. Na de definitie van de middelloodlijn van een lijnstuk, ontdekken de leerlingen de kenmerkende eigenschap van punten die op de middelloodlijn van een lijnstuk liggen. Dit kenmerk zal gebruikt worden bij de verklaring van de constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk met passer en liniaal. De leerkracht zal de noodzaak van een dergelijke


22 constructie aantonen. De middelloodlijn van een lijnstuk is een symmetrieas van dit lijnstuk.

W35

3.4

kennen de definitie van symmetrieas van een vlakke figuur en kunnen deze tekenen

Het begrip symmetrieas van een figuur kan intuïtief begrepen worden als vouwlijn die de figuur in twee delen verdeelt die elkaar volkomen bedekken. De leerlingen definiëren daarna het begrip symmetrieas van een vlakke figuur.

W26

3.5

kennen de definitie van een bissectrice van een hoek en kunnen deze tekenen

De leerlingen definiëren het begrip bissectrice van een hoek als de rechte die de hoek verdeelt in twee hoeken met dezelfde grootte. Daarna ontdekken ze de eigenschappen: ◊ als een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan ligt dat punt even ver van de dragers van de benen van de hoek (geen kenmerkende eigenschap); ◊ de bissectrice van een hoek is een symmetrieas van die hoek. De bissectrice van een hoek wordt geconstrueerd met passer en liniaal. Ook hier wordt de noodzaak van de constructie aangetoond. De constructie van de bissectrice van een hoek kan verklaard worden met behulp van de symmetrieassen van een ruit.

W35

3.6

W35

3.7

W35

3.8

kunnen spiegelen in een geijkt vlak t.o.v. de assen van een orthonormaal assenstelsel

Nadat in vorige lessen, in de getallenleer bijvoorbeeld, enige aandacht werd besteed aan het feit dat de assen van het assenstelsel niet noodzakelijk loodrecht op elkaar moeten staan, kan hier gewerkt worden in een loodrecht assenstelsel en kan gebruik gemaakt worden van de vierkantjes in het schrift van de leerlingen.

De bedoeling is een verband aan te tonen tussen meetkunde en getallenleer en concreet het verband te ontdekken tussen: ◊ spiegelen t.o.v. de x-as en het tegengestelde nemen van elke ordinaat; ◊ spiegelen t.o.v. de y-as en het tegengestelde nemen van elke abscis. kunnen spiegelen in een geijkt vlak t.o.v. het snijpunt van de Door het tegengestelde te nemen van elke abscis en van elke ordinaat assen van een orthonormaal assenstelsel kunnen leerlingen spiegelen t.o.v. het snijpunt van de assen x en y en de nodige vaststellingen doen om te kunnen spiegelen t.o.v. een punt in een vlak. kunnen een punt spiegelen t.o.v. een punt in een vlak

Eerste graad A-stroom – Basisvorming AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) W35

3.9

kunnen een figuur spiegelen t.o.v. een punt in een vlak

23 Zoals bij de loodrechte spiegeling wordt het beeld bepaald van figuren door lijnstukken begrensd. Zo kunnen leerlingen vaststellen dat gelijkstandige zijden even lang en gelijkstandige hoeken even groot zijn. Ze kunnen eveneens vaststellen dat de gegeven figuur en haar beeld congruent zijn en dus dezelfde oppervlakte hebben.

3.10 kunnen het symmetriemiddelpunt van een vlakke figuur bepalen

De leerlingen definiëren het begrip symmetriemiddelpunt van een vlakke figuur. In volgende lessen zal bij elke figuur gezocht worden naar symmetrieassen en symmetriemiddelpunten, zodat het leren herkennen van symmetrieassen en symmetriemiddelpunten geen eenmalige gebeurtenis is. Het is niet de bedoeling om in het eerste jaar de loodrechte spiegeling, noch de puntspiegeling als transformatie te behandelen.

4

Eigenschappen van driehoeken

De leerlingen: W37

4.1

kunnen driehoeken indelen volgens grootte van de hoeken

Er wordt gestart met het construeren van een aantal driehoeken, wat de tekenvaardigheid van de leerlingen ten goede komt. De verschillende gevallen van lengten van zijden en grootten van hoeken moeten voorhanden zijn. De leerkracht voorziet een uitgebreide verzameling van duidelijke en nauwkeurig uitgevoerde tekeningen van driehoeken. Door de hoeken van elke driehoek te vergelijken met een rechte hoek wordt de rubricering in scherphoekige, stomphoekige en rechthoekige driehoeken opgefrist.

W31

4.2

kunnen de som van de (grootten van de) hoeken van een driehoek bepalen

De correcte verwoording en notatie van deze eigenschap kan visueel ondersteund worden door de som van de (grootten van de) hoeken van een driehoek voor te stellen als (de grootte van) een gestrekte hoek. Het gebruik van ICT kan veel verduidelijken.

W31

4.3

kennen de eigenschappen m.b.t. zijden en hoeken in een driehoek

Met behulp van een verzameling driehoeken wordt door vergelijken (afpassen of meten) afgeleid dat tegenover de grootste hoek de grootste zijde ligt, dat tegenover de kleinste hoek de kleinste zijde ligt, en tegenover even grote hoeken even grote zijden liggen.


W31

24

4.4

kennen de driehoeksongelijkheid

Het gebruik van ICT om de driehoeksongelijkheid visueel voor te stellen wordt hier sterk aanbevolen.

4.5

kennen de definitie van ongelijkbenige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek

Met behulp van een verzameling tekeningen van driehoeken wordt de rubricering in ongelijkbenige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken opgefrist. Een ongelijkbenige driehoek wordt gedefinieerd als een driehoek waarvan de drie zijden een verschillende lengte hebben. Een gelijkbenige driehoek wordt gedefinieerd als een driehoek met ten minste twee even lange zijden en een gelijkzijdige driehoek als een driehoek waarvan alle zijden even lang zijn. Aan de hand van tekeningen worden, via zinvol gebruik van kleuren, de benamingen duidelijk gemaakt: tophoek, basis, basishoeken, opstaande zijden. Als een eigenschap en haar omgekeerde geldt, dan noemt men dit een kenmerkende eigenschap of kenmerk. Door constructies worden de eigenschappen afgeleid: ◊ als een driehoek gelijkzijdig is, dan zijn alle hoeken even groot; ◊ als van een driehoek de drie hoeken even groot zijn, dan is die driehoek gelijkzijdig.

W34

4.6

kunnen de omtrek van een driehoek berekenen

Van een aantal goed gekozen congruente en niet-congruente driehoeken met dezelfde en met verschillende omtrek, kan door afpassen op een rechte de omtrek als de som van de lengten van de zijden visueel worden voorgesteld. Met ICT kan men visueel aantonen dat driehoeken met gelijke omtrek niet noodzakelijk congruent zijn.

5

Merkwaardige lijnen in een driehoek

De leerlingen: W26

5.1

kennen en gebruiken de begrippen hoogtelijn, hoogtelijnstuk, hoogte in een driehoek; kunnen hoogtelijnen en hoogtelijnstukken construeren

Hoogtelijnen zijn rechten. Dit moet duidelijk te zien zijn bij constructies: de hoogtelijnen worden doorgetrokken buiten de zijden van de driehoek.


25 Het onderscheid tussen de hoogtelijn en het hoogtelijnstuk wordt voor de leerlingen verduidelijkt. Onder hoogte verstaan we de lengte van het hoogtelijnstuk.

W26 W35 5.2

kennen en gebruiken het begrip middelloodlijn in een driehoek; kunnen de middelloodlijnen in een driehoek construeren

Middelloodlijnen zijn rechten. Dit moet duidelijk te zien zijn bij constructies: de middelloodlijnen worden doorgetrokken buiten de zijden van de driehoek. Hier kan het begrip omcirkel ingevoerd worden.

W26 W35 5.3

kennen en gebruiken het begrip bissectrice in een driehoek; kunnen de bissectrices in een driehoek construeren

Bissectrices zijn rechten. Dit moet duidelijk te zien zijn bij constructies: de bissectrices worden doorgetrokken buiten de zijden van de driehoek. Hier kan het begrip incirkel ingevoerd worden.

facultatief

5.4

kennen en gebruiken het begrip zwaartelijn in een driehoek; kunnen de zwaartelijnen in een driehoek construeren

Zwaartelijnen zijn rechten. Dit moet duidelijk te zien zijn bij constructies: de zwaartelijnen worden doorgetrokken buiten de zijden van de driehoek.

W35

5.5

kunnen symmetrieassen en het symmetriemiddelpunt in een driehoek bepalen

Symmetrieassen zijn rechten. Dit moet duidelijk te zien zijn bij constructies: de symmetrieassen worden doorgetrokken buiten de zijden van de driehoek. De mogelijke symmetrieassen in ongelijkbenige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken kunnen met behulp van ICT geïllustreerd worden. Op dezelfde wijze kan men aantonen dat een driehoek geen symmetriemiddelpunt heeft.

6

Eigenschappen i.v.m. zijden en hoeken van een vierhoek

De leerlingen: W31

6.1

kunnen de som van de (grootten van de) hoeken in vierhoeken bepalen

Dat de som van de grootten van de hoeken van een vierhoek een volle hoek is kan aangetoond door een vierhoek te verdelen in twee driehoeken of door gebruik te maken van ICT.

W31 W37 6.2

kennen de definities en eigenschappen van bijzondere vierhoeken zoals:

Laat de leerlingen zelf de kenmerken van bijzondere vierhoeken ontdekken. Aandacht gaat naar: ◊ lengten van zijden; ◊ grootten van hoeken; ◊ onderlinge stand van zijden.

Eerste graad A-stroom – Basisvorming AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) •

Trapezium

26 De leerlingen herkennen en definiëren een trapezium als een vierhoek met ten minste één paar evenwijdige zijden. Via zinvol gebruik van kleuren worden basissen en opstaande zijden verduidelijkt. Het rechthoekig en gelijkbenig trapezium worden gedefinieerd. Eigenschappen i. v. m. de hoeken van een trapezium worden onderzocht.

•

Parallellogram

De leerlingen herkennen en definiëren een parallellogram als een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden. De eigenschappen i.v.m. lengte van zijden en grootte van hoeken worden onderzocht. Als toepassing volgt: ◊ de constructie van een parallellogram als twee opeenvolgende zijden reeds getekend zijn; ◊ de constructie van een rechte evenwijdig met een gegeven rechte.

•

Ruit

De leerlingen herkennen en definiëren een ruit als een vierhoek met vier even lange zijden.

•

Rechthoek

De leerlingen herkennen en definiëren rechthoek als een vierhoek met vier even grote hoeken.

•

Vierkant

De leerlingen herkennen en definiëren een vierkant als een vierhoek met vier even lange zijden en vier even grote hoeken. Het onderlinge verband tussen de vierhoeken kan het best geïllustreerd worden aan de hand van een classificatie.

7

Merkwaardige lijnen in een vierhoek

De leerlingen: W26

7.1

kennen de definitie en de eigenschappen van diagonalen in een vierhoek

Met behulp van ICT kunnen de eigenschappen van de diagonalen opgespoord en op hun omkeerbaarheid getoetst worden.

W35

7.2

kunnen de symmetrieassen en het symmetriemiddelpunt in vierhoeken bepalen

Met behulp van ICT wordt binnen de vierhoeken gezocht naar mogelijke symmetrieassen en symmetriemiddelpunten.


8

27

Omtrek en oppervlakte van driehoek, vierhoek en cirkel

De leerlingen:

Alle behandelde formules kunnen worden genoteerd op een speciaal daartoe bestemde fiche, die eventueel kan dienen als geheugensteun bij de berekeningen.

W32

8.1

kunnen de gepaste eenheden gebruiken bij het berekenen van omtrek en oppervlakte

Al van in de basisschool zijn de leerlingen vertrouwd met het gepaste gebruik van eenheden bij het berekenen van omtrek en oppervlakte. We blijven de nodige aandacht besteden aan het kiezen van geschikte eenheden.

W34

8.2

kunnen de omtrek van een driehoek en een vierhoek berekenen

De leerlingen berekenen de omtrek van driehoeken en vierhoeken als de som van de lengten van de zijden. De vastgestelde regelmaat bij de bijzondere vierhoeken kan leiden tot formules.

W34

8.3

kunnen de oppervlakte van een driehoek en een vierhoek berekenen

De formules voor het berekenen van de oppervlakte kunnen met behulp van ICT worden gevisualiseerd. De leerlingen moeten tevens inzicht verwerven in het verband tussen de gangbare oppervlakteformules en de basisformule b(asis) maal h(oogte). De leerlingen moeten inzien dat meerdere zijden als basis kunnen beschouwd worden zijn. Zij gebruiken de gepaste formule voor de berekening van de oppervlakte van een vierkant, een rechthoek, een parallellogram, een ruit, een trapezium en een driehoek.

W34

8.4

kunnen de omtrek en oppervlakte van een cirkel berekenen

Het getal π kan in een historische context worden geplaatst. Met behulp van ICT kan aangetoond worden dat voor elke cirkel de verhouding van de omtrek tot de diameter een constant getal is, namelijk π.


28

Tweede leerjaar A Getallenleer Eindterm

Vooraf De begrippen en technieken aangeleerd in het eerste leerjaar, worden opgefrist, uitgediept en aangevuld. Dit gebeurt bij voorkeur aan de hand van concrete voorbeelden.

W9

Telkens de gelegenheid zich voordoet, leren de leerlingen een rekentoestel zinvol en functioneel gebruiken. Zij leren eveneens de geheugentoetsen gebruiken.

W12

De gewoonte om het resultaat vooraf te schatten en terug te blikken op de gevonden oplossing wordt volgehouden.

ET


1


Verhoudingen en evenredigheden

De leerlingen: 1.1

kennen het begrip evenredigheid en de hoofdeigenschap ervan

a In het eerste leerjaar hebben wij b , met a ∈ ' en b ∈ *, niet alleen geïnterpreteerd als een breuk of een quotiënt, maar ook als een verhouding. Wij kunnen hierbij verwijzen naar de betekenis van de stam “ratio” in rationale getallen. In het tweede jaar gebruiken wij ook eenvoudige (niet-gehele), decimale getallen. a Hierbij moeten leerlingen inzien dat b = a : b = a . b-1 (b ≠ 0) Een evenredigheid wordt gedefinieerd als de gelijkheid van twee verhoudingen. Aan de hand van voorbeelden wordt de hoofdeigenschap geïllustreerd. a c b = d ⇔ a.d = b.c

(b ≠ 0 , d ≠ 0)

De hoofdeigenschap kan vrij eenvoudig worden aangetoond door gebruik te maken van de eigenschappen van gelijkheden en van de ver-


29

ET


Pedagogisch-didactische wenken menigvuldiging.

W33

1.2

kunnen evenredigheden toepassen op het gebruik van schalen

Leerlingen zien in dat werken met schalen eigenlijk neerkomt op rekenen met evenredigheden.

kunnen recht evenredige en omgekeerd evenredige grootheden herkennen

De leerlingen herkennen het recht evenredig-zijn en het omgekeerd evenredig-zijn van twee grootheden in tabellen en in het dagelijkse leven. Zij kunnen vanuit tabellen recht evenredige verbanden uitdrukken met formules. Zij stellen recht evenredige verbanden tussen grootheden grafisch voor.

W16 W24 1.3 W39

De toepassingen sluiten aan ◊ bij het dagelijkse leven (illustraties in dag-, week- en vakbladen ...); ◊ bij andere vakken: biologie, aardrijkskunde, technologische opvoeding ... Besteed de nodige aandacht aan de realiteit: twee grootheden zijn niet steeds recht of omgekeerd evenredig. In het dagelijkse leven wordt de evenredigheid dikwijls verbroken: % korting bij grote hoeveelheden, 3 kopen en 1 gratis, posttarieven ... 1.4

kunnen eenvoudige vraagstukken i.v.m. evenredigheden oplossen

2

Initiatie in beschrijvende statistiek

Vraagstukken oplossen met de "regel van drieën" betekent het zoeken van één term van een evenredigheid als de drie andere gekend zijn.

De leerlingen:

De nadruk ligt hier niet op het rekenwerk maar op het interpreteren van gegevens. Het gebruik van ICT is hier evident.

W17

2.1

kunnen vanuit tabellen met cijfergegevens het rekenkundig gemiddelde en de mediaan (voor niet-gegroepeerde gegevens) berekenen en hieruit relevante informatie afleiden

Het begrip rekenkundig gemiddelde kennen de leerlingen uit het eerste jaar (cf. 1e leerjaar 2.1.5.) en ook uit het dagelijkse leven (gemiddelde temperatuur, klassengemiddelde ...). Met goedgekozen voorbeelden wordt aangetoond dat het gemiddelde sterk beïnvloed wordt door de uitersten, zodat een ander vergelijkingspunt zich opdringt: de mediaan.

W25 AW46

2.2

kunnen functioneel gebruik maken van eenvoudige schema’s, figuren, tabellen en diagrammen

Leerlingen moeten informatie kunnen terugvinden. Hier is de coördinatie met andere vakken van groot belang. De leerlingen maken in andere vakken (aardrijkskunde, fysica, biologie, weten-



30 Pedagogisch-didactische wenken schappelijk werk, handel, voeding ...) al gebruik van ◊ schema’s, ◊ figuren, ◊ grafieken, ◊ diagrammen. Bij de leerlingen wordt een kritische houding ontwikkeld tegenover het gebruik van allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen en grafische voorstellingen. De leerkrachten laten niet na aan te tonen dat bepaalde gegevens misleidend kunnen worden voorgesteld bijv. door het wijzigen van de ijk op één van de assen van een grafiek. Het gebruik van ICT zal hier enorm verhelderd werken.

3

Machtsverheffingen - vierkantswortels

De leerlingen: W5 W8

3.1

kunnen machten met rationale grondtallen en gehele exponenten berekenen en kunnen de rekenregels toepassen

Er dient ondermeer aandacht besteed te worden aan de rekenregels voor: ◊ het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal; ◊ het verheffen van een macht tot een macht; ◊ het delen van machten met hetzelfde grondtal; ◊ het verheffen van een product tot een macht; (denk ook aan het omgekeerde: bijv. 23. 53 = 103); ◊ het verheffen van een quotiënt tot een macht (denk ook aan het omgekeerde: bijv. 1253 : 253 = 53). Om de leerlingen toe te laten op een rekentoestel getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze af te lezen of in te voeren, dient deze schrijfwijze hier aan bod te komen. Onder wetenschappelijke schrijfwijze van een getal wordt verstaan: ◊ het product van een decimaal getal en een macht van 10; ◊ het geheel gedeelte van het decimaal getal is verschillend van nul en bevat slechts één cijfer.


Inhoudelijke leerplandoelstellingen 3.2 kunnen vierkantswortels bepalen

31 Pedagogisch-didactische wenken Trek zeker de aandacht op het onderscheid tussen de opdrachten: “bepaal de rationale getallen x die voldoen aan x² = 0,49” en “bereken

49 ”. Eventueel is hier een uitbreiding mogelijk naar de derdemachtswortels of in het algemeen naar de ndemachtswortels. Hier kan tevens het bestaan van irrationale getallen ingeleid worden. Maak oordeelkundig gebruik van een rekentoestel. 4

Onderzoek naar eigenschappen van bewerkingen (+ , - , x , :) in !, ', -

De leerlingen W3 AW41 4.1 AW42

kunnen een onderzoek instellen naar volgende eigenschappen van bewerkingen: • • • • • • •

5

het "overal gedefinieerd"-zijn; het commutatief-zijn; het associatief-zijn; het bestaan van een neutraal element; het bestaan van symmetrische elementen; het bestaan van een opslorpend element; het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en de aftrekking.

Zie ook de methodologische wenken voor het eerste leerjaar (cf. 1e leerjaar Getallenleer 1.2.3). Voor zover dit nog niet gebeurd is in het eerste jaar, kunnen de eigenschappen genoteerd worden met gebruik van de kwantoren en correct verwoord Enige aandacht dient besteed aan het onderlinge verband tussen een element, zijn symmetrisch element en het neutraal element bij een bewerking in een verzameling. Wij schenken ook aandacht aan het onderscheid tussen het tegengestelde en het omgekeerde van een element. De afspraken i.v.m. de volgorde van de bewerkingen en gebruik van de haakjes worden herhaald. Bij het behandelen van het distributief-zijn moet ook het “andersom aspect” benadrukt worden: dit zal zijn nut bewijzen bij het ontbinden in factoren. Facultatief kunnen we hier onderzoeken of de deling distributief is t.o.v. de optelling en de aftrekking. Maak een onderscheid tussen linksdistributief en rechtsdistributief.

Vergelijkingen

De leerlingen: W21

5.1

kunnen vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende

Zie ook 1e leerjaar Getallenleer 3.2. In het tweede leerjaar lossen we vergelijkingen op in -, met breuken in


Inhoudelijke leerplandoelstellingen oplossen

32 Pedagogisch-didactische wenken de vergelijking. Ook hier behouden wij onze voorkeur voor de “balansmethode“. Bij een eventuele verkorte schrijfwijze hiervan moet het verband met de balansmethode duidelijk blijven. Het gebruik van het gelijkwaardigheidsteken (⇔) wordt ook hier stellig afgeraden. Om de noemers te verdrijven, vermenigvuldigen we beide leden met een zelfde geschikt getal. De methode van het gelijknamig maken van de breuken is vaak de oorzaak van fouten in de hogere jaren: leerlingen interpreteren deze methode nogal eens als “gelijke noemers mogen we weglaten”. Bij vergelijkingen met een tweeterm in de teller (lange breukstreep) vestigen we de aandacht op de “niet-geschreven haakjes” en de rol van het teken voor de breukstreep. Het geregeld maken van de proef op de vergelijking mag niet uit het oog verloren worden. Het is een gelegenheid om de rekentechnieken nog eens te oefenen. Het rekentoestel kan hier een welgekomen hulp bieden.

W22 AW43 AW47

5.2

kunnen eenvoudige vraagstukken die leiden tot vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen

Zie ook 1e leerjaar Getallenleer 3.3. De letters in een basisformule worden best vervangen door de gegevens van het vraagstuk. Dit levert een zeer eenvoudige vergelijking met één onbekende op. Leerlingen ondervinden moeilijkheden bij vraagstukken omdat ze de gelijkheid niet ontdekken en/of omdat ze een gebrek aan vaardigheid hebben in het vertalen naar wiskundetaal. Een goede analyse, met symbolische voorstelling van de gegevens, is een handig hulpmiddel om een vergelijking te vinden. Soms kan een vergelijking bekomen worden door het op twee verschillende manieren uitdrukken van een zelfde grootheid. Dit is een geschikt moment om probleemoplossende vaardigheden te ontwikkelen zoals: ◊ het herformuleren van de opgave; ◊ het maken van een goede schets of een aangepast schema; ◊ het invoeren van geschikte notaties; ◊ het kiezen van de onbekende (de leerkracht vestigt de aandacht van de leerlingen op de reductie van de mogelijke onbekenden tot de



6

33 Pedagogisch-didactische wenken gekozen onbekende); ◊ het analyseren van eenvoudige voorbeelden. Door het maken van de proef op het vraagstuk ontwikkelen zij de gewoonte om terug te blikken op hun redenering en resultaat.

Veeltermen in één onbepaalde met numerieke coëfficiënten

De leerlingen: W18

6.1

kunnen een veelterm herkennen kunnen volgende benamingen gebruiken: • eenterm, tweeterm, drieterm ...; • coëfficiënt; • lettergedeelte; • onbepaalde (in een veelterm heeft de onbepaalde enkel natuurlijke exponenten); • graad.

Instappen kan o.m. via de formules ontstaan uit getalpatronen (cf. eerste jaar Getallenleer 1.4.2.) en via de omtreks-, oppervlakte- en inhoudsformules. De lettervormen die zo ontstaan zijn voorbeelden van veeltermen.

6.2

kunnen de getalwaarde van een veelterm berekenen

6.3

kunnen veeltermen herleiden

De coëfficiënten van de veeltermen behoren tot ! of ' en eventueel tot -, maar worden zo gekozen dat de leerlingen niet verdrinken in het rekenwerk! Leerlingen herleiden veeltermen: de eentermen met hetzelfde lettergedeelte worden opgeteld. Zij rangschikken een veelterm en bepalen de graad ervan. De nulveelterm heeft geen graad. Het begrip hoogstegraadsterm kan hier worden gehanteerd.

W19

6.4

kunnen eenvoudige veeltermen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen, machten van eentermen met natuurlijke exponenten berekenen

De technieken om te rekenen met veeltermen moeten steeds primeren op cijferwerk. Een proef op de bewerkingen met veeltermen kan gebeuren door over te stappen op de getalwaarde. Let wel: zoals de negenproef voor een bewerking geeft ook deze techniek geen absolute garantie.

W20

6.5

kunnen de merkwaardige producten (A + B)² en (A + B)(A - B) formuleren, verantwoorden en toepassen

A en B stellen eentermen voor. Het kan verhelderend werken als de merkwaardige producten visueel ondersteund worden.


Inhoudelijke leerplandoelstellingen 6.6 kunnen eenvoudige veeltermen ontbinden in factoren

34 Pedagogisch-didactische wenken Het ontbinden gebeurt door het toepassen van: ◊ het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling; ◊ merkwaardige producten.


35

Meetkunde Eindterm

Vooraf

W32

De in het eerste leerjaar aangeleerde begrippen en technieken worden opgefrist en soms aangevuld. De leerstof meetkunde zal niet door middel van een axiomatische opbouw aangeboden worden. De begrippen worden via een intuïtieve benadering omschreven. Meetkunde biedt hier nog meer mogelijkheden tot ontwikkelen van tekenvaardigheid, zin voor precisie en correct gebruik van tekeninstrumenten (motoriek). Eigenschappen worden geformuleerd na gericht waarnemen. Bij het verwoorden van eigenschappen zal de voorkeur uitgaan naar de “als ... dan ...” vorm. Lijnstukken met dezelfde lengte en hoeken met dezelfde grootte worden aangeduid. De vastgestelde eigenschappen worden eventueel met symbolen genoteerd. Oefeningen en eigenschappen zullen opgesplitst worden in: gegeven, gevraagd, tekening en eventueel een verklaring / bewijs. Leerlingen zullen een uitspraak zoveel mogelijk door middel van tekeningen toetsen op het “waar” of “niet waar” zijn. De leerkracht zal telkens de aandacht vestigen op het feit dat dit toetsen geen bewijskracht heeft bij het “waar” zijn, maar wel een bewijs is bij het “niet waar” zijn (bewijskracht van een tegenvoorbeeld). Bij het noteren wordt een onderscheid gemaakt tussen een vaststelling en een verklaring (bewijs).

W40

ET


1


Lichamen in de ruimte

De leerlingen: W29 W30 1.1 W36

kunnen volgende lichamen herkennen: • • • • •

recht prisma, piramide, cilinder, kegel, bol.

Aan kubus en balk werd in het eerste jaar de nodige aandacht besteed. Aan de hand van voorwerpen, van verpakkingen van allerlei producten, van gebouwen, eventueel foto’s hiervan, kan een tabel worden opgesteld. De nodige aandacht wordt besteed aan het opsporen van gemeenschappelijke herkenningselementen. De leerlingen komen zo tot het herkennen (zonder een strikte definitie te geven), tot indelen en tot gebruiken van de juiste benamingen van ruimtelichamen. Leerlingen leren zich oriënteren in de ruimte door het interpreteren van driedimensionale situaties aan de hand van tweedimensionale afbeeldingen. Zij weten ook dat in deze voorstelling informatie is verloren gegaan. Voor het oefenen van deze vaardigheid kan via ICT zinvol gebruik gemaakt worden van bestaande computerprogramma’s. Coördineren met vakken als plastische opvoeding en technologische



W32 W39 1.2

kunnen de oppervlakte en het volume berekenen van: • • • •

kubus, balk, recht prisma, cilinder.

36 Pedagogisch-didactische wenken opvoeding is hier aangewezen. Bij het opstellen van de oppervlakteformule kan zinvol gebruik worden gemaakt van de uitslag van een ruimtelichaam. De leerlingen kunnen de gepaste formules gebruiken voor het berekenen van de oppervlakte en het volume van ruimtelichamen. Deze formules kunnen worden genoteerd op een speciaal daartoe bestemde fiche, samen met formules van omtrek en oppervlakte van vlakke figuren (cf. eerste jaar). Ook hier besteden wij de nodige aandacht aan het kiezen van geschikte eenheden. Het komt het inzicht zeker ten goede als bij vraagstukken i.v.m. omtrek en oppervlakte een realistische (ruimtelijke) situatie aanschouwelijk wordt voorgesteld. Een vraagstuk, aangeboden met een ludieke tekening, wekt vaak de interesse op en motiveert om de oplossing te vinden. Hier doet zich de gelegenheid voor om leerstof uit de getallenleer praktisch te gebruiken. Enkele voorbeelden: ◊ Vergelijkingen oplossen: als het volume en twee afmetingen van een balk gekend zijn, dan de derde afmeting berekenen. V=l.b.h ◊ Vierkantswortels berekenen: als de oppervlakte van een kubus gegeven is, dan de ribbe berekenen. S = 6.z2 als het volume van een cilinder en de hoogte gekend zijn, dan de straal van het grondvlak berekenen. V = π . r2. h ◊ Derdemachtswortel berekenen (facultatief): als het volume van een kubus gekend is, dan de ribbe berekenen. V = z3 ◊ Zinvol gebruik van het rekentoestel. ◊ Technieken van schatten en afronden (π) krijgen hier een concrete invulling. Vakoverschrijdend kan worden gecoördineerd met fysica o.m. voor het



2

37 Pedagogisch-didactische wenken berekenen van het volume van een onregelmatig voorwerp. Bij het berekenen van oppervlakte en inhoud moet aandacht besteed worden aan het uitdrukken van de grootheden in corresponderende eenheden.

Transformaties van een vlak: - herkennen van het beeld - constructie van het beeld

De leerlingen: W28 W35 2.1

kunnen een spiegeling en puntspiegeling zien als transformatie

In het eerste jaar hebben de leerlingen, via manipuleren en construeren, kennis gemaakt met spiegelen en puntspiegelen. Leerlingen herkennen dus figuren die bekomen zijn door spiegelen of puntspiegelen van een gegeven figuur en kunnen het beeld bepalen van een eenvoudige meetkundige figuur door spiegelen en puntspiegelen. De spiegeling en puntspiegeling zijn echter nog niet behandeld als transformatie van een vlak. Herhaling van kennis en vaardigheden uit het eerste jaar laten toe om uit concrete voorbeelden het begrip “transformatie van een vlak” te beschrijven. Dit kan als volgt: ◊ de leerlingen ontdekken op concrete voorbeelden dat een spiegeling (puntspiegeling) volledig bepaald is door een koppel waarvan beginen eindpunt niet samenvallen; ◊ de leerlingen ontdekken op concrete voorbeelden dat elk punt van het vlak precies één beeld heeft door spiegelen (puntspiegelen); ◊ de leerlingen onthouden dat bij een transformatie van een vlak elk punt precies één beeldpunt heeft. De spiegeling en de puntspiegeling zijn voorbeelden van transformaties van een vlak.

W28 W35 2.2

kunnen een verschuiving zien als transformatie

Op een fries of op behangpapier zijn vaak verschuivingen te herkennen. De verschuiving kan ook benaderd worden vanuit coördinatenmeetkunde. De verschuiving bepaald door het punt T in een geijkt vlak kan gevonden worden door bij de coördinaat van elk punt van dat geijkte vlak, de coördinaat van T op te tellen. Na het trekken van de pijlen tussen corresponderende punten kunnen de leerlingen zien dat:



38 Pedagogisch-didactische wenken ◊ de dragers van de pijlen evenwijdig zijn; ◊ de pijlen dezelfde zin hebben; ◊ alle lijnstukken bepaald door de grenspunten van de pijlen even lang zijn. Deze vaststellingen laten de leerlingen toe om: ◊ te ontdekken dat een verschuiving in een vlak volledig bepaald is als één koppel van de verschuiving gekend is; ◊ het beeld te bepalen van een punt door een verschuiving in een vlak dat niet geijkt is. De leerlingen moeten een verschuiving in een vlak kunnen herkennen en hun werkwijze bij de constructie kunnen toelichten. Via het construeren van het beeld van eenvoudige vlakke figuren en/of via concrete voorbeelden onderzoeken en ontdekken de leerlingen dat elke verschuiving de lengte van lijnstukken, de grootte van hoeken en de evenwijdigheid van rechten behoudt. Zij kunnen vaststellen dat: ◊ het beeld van een rechte een rechte is die evenwijdig is met de gegeven rechte; ◊ de gegeven figuur en het beeld congruente figuren zijn en dus dezelfde oppervlakte hebben. De verschuiving is een voorbeeld van een transformatie van een vlak.

W28 W35 2.3

kunnen een draaiing zien als transformatie

Via een kermismolen of de wijzers van een uurwerk kunnen de leerlingen intuïtief begrijpen wat een georiënteerde hoek is (+ of tegenwijzerzin, - of wijzerzin). Uit deze concrete voorbeelden kunnen de leerlingen begrijpen hoe het beeld van een punt in een vlak door een draaiing bepaald wordt. De leerlingen ontdekken op concrete voorbeelden dat een draaiing niet volledig bepaald is als één koppel van de draaiing gekend is. De leerlingen moeten een draaiing kunnen herkennen. De leerlingen moeten op voorbeelden uit hun leefwereld het centrum en de draaiingshoek (grootte en zin) van een draaiing kunnen bepalen. De leerlingen kunnen op concrete voorbeelden ontdekken dat een puntspiegeling ook een draaiing is. Via het construeren van het beeld van eenvoudige vlakke figuren door een draaiing en op concrete voorbeelden onderzoeken en ontdekken de leerlingen dat elke draaiing de lengte van lijnstukken, de grootte van



3

39 Pedagogisch-didactische wenken hoeken en de evenwijdigheid van rechten behoudt. Ze kunnen eveneens vaststellen dat de gegeven figuur en het beeld congruente figuren zijn en dus dezelfde oppervlakte hebben. De draaiing is een voorbeeld van een transformatie van een vlak.

Congruentie

De leerlingen: W27

3.1

kunnen nagaan of figuren congruent zijn

In het eerste jaar hebben de leerlingen congruente figuren beschreven als figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken. Via construeren en manipuleren van vlakke figuren kunnen de leerlingen ontdekken dat, door het na elkaar uitvoeren van transformaties die de lengte van lijnstukken behouden, figuren ontstaan die congruent zijn met de gegeven figuur. Om te onderzoeken of twee figuren congruent zijn, kan één van de figuren worden overgetekend en uitgeknipt. Manipuleren (verschuiven, draaien, spiegelen) helpt de leerlingen een gepaste (samenstelling van) transformatie(s) te vinden die de ene figuur op de andere afbeeldt. Wij noteren “is congruent met” als “H“.

W27

3.2

kennen de congruentiegevallen bij driehoeken

“Hoe kunnen we met een minimum aantal gegevens toch besluiten dat twee driehoeken congruent zijn?” De leerkracht kan als opdracht verschillende paren driehoeken laten tekenen en uitknippen om de drie congruentiekenmerken van driehoeken te laten ontdekken. De leerlingen onthouden dat: ◊ om te kunnen besluiten dat twee driehoeken congruent zijn, het voldoende is dat drie goed gekozen elementen van de ene driehoek even groot zijn als de gelijkstandige elementen van de andere driehoek; ◊ het opsporen van congruente driehoeken een middel is om aan te tonen dat lijnstukken even lang en hoeken even groot zijn



4

40 Pedagogisch-didactische wenken

Gelijkvormige figuren

De leerlingen: W27

4.1

kunnen nagaan of figuren gelijkvormige zijn

Mogelijke uitgangspunten zijn: retroprojector, diaprojector, camera obscura, tekening op schaal, vergroting, een landkaart ... De leerlingen stellen aan de hand van concrete voorbeelden vast dat: ◊ evenwijdige stand van rechten behouden blijft; ◊ grootte van de hoeken behouden blijft; ◊ de lengten van de gelijkstandige lijnstukken een vaste verhouding hebben: de gelijkvormigheidsfactor. ◊ er een verband bestaat tussen de gelijkvormigheidsfactor en de verhouding van de oppervlakte van de gelijkvormige figuren. Wij noteren “is gelijkvormig met” als “I“. Gelijkvormige figuren kunnen ook benaderd worden vanuit de coördinatenmeetkunde (facultatief). In een geijkt vlak met oorsprong O kan het beeld van een punt gevonden worden door de coördinaat van elk punt P van dat geijkte vlak met r (r ∈ -) te vermenigvuldigen. De leerlingen kunnen op deze voorbeelden vaststellen oorsprong, punt en beeld op één rechte liggen (collineair). Door een gepaste keuze van de ijk op de rechte OP wordt het verband ontdekt tussen de abscis van P’ en de gelijkvormigheidsfactor.

W33

4.2

kunnen het begrip schaal gebruiken om afstanden in meetkundige figuren te berekenen

In de lessen biologie, fysica en aardrijkskunde kunnen we talrijke voorbeelden vinden om: ◊ uit een vergroting of een verkleining de werkelijke grootte te bepalen als de schaal gegeven is; ◊ uit een vergroting of een verkleining en de werkelijke grootte, de schaal van de tekening te bepalen. Bij een vergroting is het voor de leerlingen verrassend dat bij de notatie van de schaal de teller groter is dan de noemer!


41

PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN Rekening houdend met de spiraalopbouw steunt het wiskundeonderwijs, meer nog in het eerste dan in het tweede leerjaar van het secundair onderwijs, op de aangeleerde kennis uit het basisonderwijs. In belangrijke mate is het ook een verlengstuk ervan. Wat in het basisonderwijs is verworven, wordt verder uitgediept en aangevuld met nieuwe inhouden. Hoewel wiskunde voor de eerste graad van het secundair onderwijs kan onderverdeeld worden in getallenleer, algebra en meetkunde bevat dit leervak inhoudelijk toch drie grote componenten: het numeriek en algebraïsch karakter van de getallenleer, het meetkundig inzicht en tenslotte de onderlinge samenhang tussen de getallenverzamelingen en tussen getallenleer en meetkunde. Nochtans zal elk onderdeel aandacht schenken aan het verwerven van feitenkennis en begripsvorming, aan de procedures die op feiten en begrippen worden toegepast en aan de samenhang tussen de begrippen. Zo is het, bijvoorbeeld bij het kennen van de tekenregel, noodzakelijk dat men hoofdbewerkingen kan uitvoeren, anders heeft deze feitenkennis geen doel. Maar even noodzakelijk is het te weten welk verband er bestaat tussen bewerkingen als optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Dit weten kweekt inzicht bij het uitvoeren van deze hoofdbewerkingen. Zoals bij de leerinhouden uitdrukkelijk wordt herhaald, zullen een aantal begrippen uit de verzamelingenleer en de logica als instrument gebruikt worden ten behoeve van het verhelderend effect. Een systematische studie van de verzamelingenleer en de logica is verboden: deze begrippen zijn slechts een middel, geen doel. In het eerste leerjaar worden binnen de getallenleer de uit het basisonderwijs gekende natuurlijke getallen en breuken ook voorzien van een minteken, waardoor men tot de verzamelingen van de gehele en rationale getallen komt. In elk van deze getallenverzamelingen worden, naast aandacht voor enkele basisbegrippen, de vier hoofdbewerkingen en de machten bestudeerd. Hierbij wordt telkens aandacht besteed aan de volgorde van bewerkingen. Het is wel de bedoeling dat natuurlijke en gehele getallen samen worden behandeld. De overstap op letters laat toe enerzijds bewerkingen en eigenschappen meer algemeen te schrijven en anderzijds te komen tot algebraïsch rekenen en oplossen van vergelijkingen. Teneinde de leerlingen te leren omgaan met cijfermateriaal wordt in het tweede leerjaar ook bijzondere aandacht besteed aan initiatie in beschrijvende statistiek. In het tweede leerjaar komen ook verhoudingen en evenredigheden sterk aan bod naast aandacht voor machten en vierkantswortels met rationale grondtallen. In de verzamelingen natuurlijke, gehele en rationale getallen worden de eigenschappen van de hoofdbewerkingen meer algemeen benaderd. Uiteraard wordt de aandacht voor vergelijkingen gaande gehouden en wordt de confrontatie van de leerlingen met lettervormen nu uitgebreid tot veeltermen. Ook nemen de merkwaardige producten hier een bijzondere plaats in. Meetkundige begrippen worden zo veel mogelijk benaderd vanuit concrete situaties. De overstap van de ruimte naar het vlak maakt ook de band duidelijk tussen lichamen in de ruimte en vlakke figuren. Via de studie van symmetrie worden in het eerste leerjaar begrippen gesticht, die een verder onderzoek van eigenschappen van merkwaardige lijnen in driehoeken en vierhoeken vergemakkelijken. In het basisonderwijs werd een aanzet gegeven tot het berekenen van omtrek en oppervlakte. Het berekenen wordt nu uitgebreid tot driehoeken, vierhoeken en schijven. In het tweede leerjaar wordt meer expliciet aandacht besteed aan de lichamen in de ruimte, aan de transformaties van een vlak, aan congruentie en gelijkvormigheid.


42

Vakoverschrijdende eindtermen Wat? Vakoverschrijdende eindtermen (VOET) zijn minimumdoelstellingen, die - in tegenstelling tot de vakgebonden eindtermen - niet gekoppeld zijn aan een specifiek vak, maar door meer vakken of onderwijsprojecten worden nagestreefd. De VOET worden volgens een aantal vakoverschrijdende thema's geordend: leren leren, sociale vaardigheden, opvoeden tot burgerzin, gezondheidseducatie, milieueducatie. De school heeft de maatschappelijke opdracht om de VOET volgens een eigen visie en stappenplan bij de leerlingen na te streven (inspanningsverplichting). Waarom? Het nastreven van VOET vertrekt vanuit een bredere opvatting van leren op school en beoogt een accentverschuiving van een eerder vakgerichte ordening naar meer totaliteitsonderwijs. Door het aanbieden van realistische, levensnabije en concreet toepasbare aanknopingspunten, worden leerlingen sterker gemotiveerd en wordt een betere basis voor permanent leren gelegd. VOET vervullen een belangrijke rol bij het bereiken van een voldoende brede en harmonische vorming en behandelen waardevolle leerinhouden, die niet of onvoldoende in de vakken aan bod komen. Een belangrijk aspect is het realiseren van meer samenhang en evenwicht in het onderwijsaanbod. In dit opzicht stimuleren VOET scholen om als een organisatie samen te werken. De VOET verstevigen de band tussen onderwijs en samenleving, omdat ze tegemoetkomen aan belangrijk geachte maatschappelijke verwachtingen en een antwoord proberen te formuleren op actuele maatschappelijke vragen. Hoe te realiseren? Het nastreven van VOET is een opdracht voor de hele school, maar individuele leraren kunnen op verschillende wijzen een bijdrage leveren om de VOET te realiseren. Enerzijds door binnen hun eigen vakken verbanden te leggen tussen de vakgebonden doelstellingen en de VOET, anderzijds door thematisch onderwijs (teamgericht benaderen van vakoverschrijdende thema's), door projectmatig werken (klas- of schoolprojecten, intra en extra muros), door bijdragen van externen (voordrachten, uitstappen). Het is een opdracht van de school om via een planmatige en gediversifieerde aanpak de VOET na te streven. Ondersteuning kan gevonden worden in pedagogische studiedagen en nascholingsinititiatieven, in de vakgroepwerking, via voorbeelden van goede school- en klaspraktijk en binnen het aanbod van organisaties en educatieve instellingen

Vakoverschrijdende eindtermen in het wiskundeonderwijs Voorbeschouwingen Het is al te simplistisch een of andere vakoverschrijdende eindterm te willen vastpinnen op een of meerdere vakinhoudelijke doelstellingen. Het is de totaliteit van de vakinhoudelijke doelstellingen die tot een bepaalde vakoverschrijdende eindterm bijdraagt. Het is eveneens al te simplistisch een bepaalde vakoverschrijdende eindterm kost wat kost via één of meerdere vakinhoudelijke doelstellingen gestalte te willen geven. Het zou niet enkel volslagen kunstmatig overkomen, maar tevens een nulrendement opleveren. Vanuit dit standpunt benaderd zijn de vakoverschrijdende eindtermen geen doelstellingen van neven- of ondergeschikt belang, maar zijn ze veeleer "lichtbakens" die de vakinhoudelijke doelstellingen helpen oriënteren. In het verlengde daarvan is het dan wel zo dat iedere afzonderlijke vakinhoudelijke doelstelling een dubbele functie heeft. Enerzijds een bijdrage leveren (hoe miniem soms ook) in de uitbouw van de wiskunde, anderzijds een bijdrage leveren (hoe miniem soms ook) in de uitbouw van de betrokken vakoverschrijdende eindterm.


43

Dergelijke tweesporige benadering, “wiskunde om de wiskunde” langs de ene kant, “wiskunde als vakoverschrijdende hefboom” langs de andere kant, verleent hoe dan ook een meerwaarde aan de interpretatie, aan de draagwijdte, kortom aan de verwerking van het leerplan. Bij de aanvang van het schooljaar maakt de leraar een oordeelkundige keuze van de leerinhouden waarmee hij de vakgebonden en vakoverschrijdende doelstellingen wil realiseren (bij voorkeur na overleg met de vakgroep) en stelt een jaar(vorderings)plan op waarin hij de leerstof op een evenwichtige wijze verdeelt over het beschikbare aantal lestijden.

A

LEREN LEREN

1

Opvattingen over leren

Elk leerplan hoort, al was het maar vanuit het oogpunt van zijn coherentie, de aaneenschakeling te zijn van het stockeren, het ordenen, het (her)structureren en het extrapoleren van een, voor een goed vervolg, onontbeerlijke parate kennis. De diverse leerplannen wiskunde spelen hier stellig op in, niet enkel extern bekeken over de leerjaren heen (verticale dimensie), maar ook intern gefocust op één leerjaar (horizontale dimensie). Die evolutie, niet enkel in aanpak maar ook in moeilijkheidsgraad, die achtereenvolgens geheugen, inzicht, abstractievermogen en oplossingsvaardigheid stimuleert, gaat uiteraard gepaard met een parallelle evolutie in leeropvattingen en leermotieven, kortom in leerstijl, bij de leerlingen. 2

Informatie verwerven en verwerken

Informatie op een efficiënte manier verwerven impliceert vooreerst een inzichtelijke kennis van alle beschikbare informatiebronnen, niet te vergeten, en allicht in eerste instantie van het eigen geheugen. Informatiebronnen op een kritische manier kiezen heeft veeleer uitstaans met het positioneren van het betrokken probleem binnen de juiste context van de leerstof. Informatie op een efficiënte manier verwerken stoelt in hoofdzaak op de vaardigheid om vlot, en dit naargelang van het betrokken probleem, van formele naar informele taal of andersom te kunnen overstappen. Het steunt kortom op de taal-, respectievelijk mathematiseringvaardigheid van de leerling. Informatie kritisch verwerken doet dan meer beroep op het analytisch, respectievelijk het synthetisch vermogen. Hoe dan ook is het efficiënt en kritisch verwerven en verwerken van informatie geslaagd in de mate dat ze bijdragen tot het probleemoplossend denken bij de leerling en tot een verantwoorde evaluatie van de gevonden oplossingen. Van alle hoger geciteerde aspecten rond verwerken en verwerven van informatie zijn de leerplannen wiskunde doordrongen. 3

Regulering van het leerproces

(Zelf)regulering is een groeiproces dat, zoals elke attitude, vele watertjes moet doorzwemmen alvorens bereikt te worden. Een realistische werken tijdsplanning vergt, naast grondig inzicht in de taak waarvoor men geplaatst staat, vooral een wikken en wegen van eigen sterkte- en zwaktepunten. Het leerproces beoordelen op doelgerichtheid vergt een open oog voor het onderscheid tussen essentie en details, het weten van het bestaan van diverse oplossingsmethodes en het maken van de meest efficiënte keuze hieruit. Het trekken van toekomstgerichte constructieve conclusies uit leerervaringen is uiteraard pas mogelijk en zinvol na het lukken, maar eerder nog na het mislukken van vergelijkbare opdrachten.


44

Tenslotte is het indijken van het gevoel, dat mislukken veelal aan subjectieve oorzaken is toe te schrijven, enkel te bereiken via een in toenemende moeilijkheidsgraad goed gedoseerde oefeningencyclus die de leerling herhaaldelijk succeservaringen heeft opgeleverd. Uit al wat voorafgaat moet blijken dat de rode draad op de weg naar (zelf)regulering in eerste instantie neerkomt op het aanbod van uitvoerig oefenmateriaal, bij voorkeur homogeen gespreid zowel in tijd als in moeilijkheidsgraad. Het ligt in de aard van het vak zelf dat wiskundeleerplannen daar alle ruimte en gelegenheid toe bieden. 4

Keuzebekwaamheid

De wiskunde in het leerplan van de tweede graad wordt opgedeeld in ondermeer: getallenleer, algebra, meetkunde en goniometrie. Dwars door die tussenschotten heen worden accenten afwisselend gelegd op: • de rekenen tekenvaardigheid, • het inzicht- en abstraheringvermogen, • de taal- en de mathematiseringvaardigheid, • het analytische en het synthetische vermogen, • de theoretische en de praktische aspecten. Dit alles laat de leerling op ieder moment toe zich t.o.v. elk van die fragmentaire deelaspecten te positioneren, eigen interesses en capaciteiten te taxeren, kortom een zelfbeeld te vormen op basis van betrouwbare gegevens. Levert bovenstaande een antwoord op de vraag naar zelfconceptverheldering, dan dient diezelfde opsomming van fragmentaire deelaspecten als leidraad voor horizonverruiming, in die zin dat een al dan niet positieve invulling ervan de leerling het besef bijbrengt van zijn studie- en beroepsmogelijkheden. Uiteindelijk brengt die onbevooroordeelde houding ten aanzien van studieloopbanen en beroepen de leerling bij dat een keuzestrategie neerkomt op het opmaken van een balans waarbij diverse deelaspecten tegen elkaar worden afgewogen.

B

SOCIALE VAARDIGHEDEN

1

Interactief competenter worden

Wiskunde is één van die vakken die het op elk moment mogelijk maakt om de leerling interactief bij het leerproces te betrekken. Dit gebeurt dan via opdrachten die, qua moeilijkheidsgraad, variëren van "routinevragen" die omzeggens louter het geheugen aftasten, over "verstandsvragen" die naar inzicht en abstraheringvermogen peilen, tot "uitdagingen" die het analytisch en synthetisch vermogen op de proef stellen. Die evolutie in de opdrachten, niet enkel bekeken per les (microniveau), maar ook per leerjaar (mesoniveau) en per graad tot zelfs de volledige secundaire cyclus toe (macroniveau), leidt tot een interactiviteit die meteen het ideale forum is dat de leerling moet toelaten, naargelang van succeservaringen of mislukkingen: • waardering uit te drukken voor anderen, • zich dienstvaardig op te stellen, • verantwoordelijkheid te nemen, • kritiek te uiten, • discreet en terughoudend te zijn, • zijn ongelijk toe te geven. Het biedt de leerling ook de kans om te taxeren in welke van hoger vermelde en aanverwante relatievormen hij meer of minder sterk scoort. Dit is meteen ook een aanzet tot zelfwaardegevoel en bewustwording van de gewenste, eventueel ongewenste effecten in een interactie.

Eerste graad A-stroom – Basisvorming AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) 2

45

Communicatieve vlotheid verwerven

Enkel datgene wat men degelijk beheerst, laat zich klaar en duidelijk uitleggen. Dit is alleszins een motto waartoe de wiskunde meer dan haar steentje bijdraagt. Wordt tijdens de fase van het stockeren van parate kennis nog vrede genomen met een tekstueel nazeggen van definities en eigenschappen, dan wordt tijdens de opeenvolgende fasen van het ordenen en het (her)structureren van diezelfde parate kennis van de leerling verwacht dat hij zich met eigen woorden en even correct van alle verworven terminologie kan bedienen, om uiteindelijk, tijdens de fase van het extrapoleren, de gekozen oplossingsmethodes en de daaraan voorafgaande redeneringen voldoende vlot te kunnen verwoorden. Succes bij dit cascadesysteem wordt in de hand gewerkt door een actief luisteren bij de start, het beslissen over mogelijke eigen inbreng bij het vervolg en het zich helder kunnen uitdrukken naar het einde toe. Aan de basis ligt echter het erkennen van het belang van een goede communicatie, niet in het minst de bereidheid om de inbreng van de gesprekspartner (niet enkel die van de leerkracht) ernstig te nemen. 3

Zorg dragen voor relaties

Naarmate de wiskunde voortschrijdt, wordt het voor de leerling meer en meer duidelijk dat wiskunde zich sterker en sterker manifesteert als een hecht en coherent geheel dat o.m. gestoeld is op: • • • •

afspraken (bijv. axioma's, definities); regels (bijv. eigenschappen, stellingen); machtsverhoudingen (bijv. volgorde der bewerkingen); gelijkwaardigheid (bijv. bij vergelijkingen).

Mutatis mutandis kan de leerling worden duidelijk gemaakt dat diezelfde aspecten stuk voor stuk in overweging dienen genomen bij het afwegen van een menselijke relatie. We denken hierbij meer in het bijzonder aan samenlevingspatronen zoals de school (macroniveau) en de klas (mesoniveau). Het leren accepteren van verschillen binnen die relatie, het zich leren weerbaar opstellen tegenover mogelijke conflicten, het bewaken van een persoonlijke autonomie en het hechten van belang aan wederzijds respect zijn dan enkele van de vele persoonlijkheidskenmerken die binnen dergelijke levenswereld volop kunnen openbloeien. 4

In groep probleemoplossend samenwerken

In het verlengde van het “zorg dragen voor relaties” kunnen, ditmaal op microniveau, groepsopdrachten, gecentreerd rond ietwat complexere wiskundeopgaven, die "link" met bovenvermelde relatieaspecten nog verder verstevigen. Alvast in overleg gemaakte afspraken en gelijkwaardige taakverdelingen zijn hier volop aan de orde. De bereidheid om samen te argumenteren, het voortbouwen op andermans inbreng, het gezamenlijk zoeken naar een oplossing, het meewerken aan het proces van besluitvorming, het evalueren van niet enkel de bekomen oplossing maar ook van de samenwerking zelf, zijn evenveel attitudes inherent aan dergelijke opdrachten verbonden.

C

OVERIGE VAKOVERSCHRIJDENDE RUBRIEKEN

Het uitgebreid focussen op de vakoverschrijdende eindtermen rond LEREN LEREN enerzijds, SOCIALE VAARDIGHEDEN anderzijds, wil geenszins zeggen dat wiskunde zich van de overige vakoverschrijdende rubrieken compleet distantieert. Het betekent wel dat haar aanpak op die andere terreinen eerder onrechtstreeks gebeurt en alleszins veeleer op occasionele leest is geschoeid. Zo kan niet worden ontkend dat de zorg besteed aan het in groep probleemoplossend samenwerken nauwelijks anders kan dan positief inwerken op het inoefenen van inspraak en participatie, het onderscheiden van meerderheids- en minderheidsstandpunten, het erkennen van rechten en plichten, het


46

respecteren van de argumenten van anderen, kortom het opwaarderen van een serie aspecten uit OPVOEDEN TOT BURGERZIN. Het gewicht van wiskunde binnen het curriculum - niet enkel het aantal wekelijkse lesuren, maar vooral het decisieve karakter bij de keuze van verdere studierichtingen spelen hier een hoofdrol - brengt met zich mee dat de leerkracht wiskunde, zij het dan wel latent en ten dele onbewust, voortdurend de leerling leert omgaan met taakbelasting en examenstress, alleszins één van de belangrijkste aspecten uit het uitgebreide gamma van de GEZONDHEIDSEDUCATIE.


47

ICT 1

Wat?

Onder ICT verstaan we het geheel van computers, netwerken, internetverbindingen, software, simulatoren, etc. Telefoon, video, televisie en overhead worden in deze context niet expliciet meegenomen. 2

Waarom?

De recente toevloed van informatie maakt levenslang leren een noodzaak voor iedereen die bij wil blijven. Maatschappelijke en onderwijskundige ontwikkelingen wijzen op het belang van het verwerven van ICT. Enerzijds speelt het in op de vertrouwdheid met de beeldcultuur en de leefwereld van jongeren. Anderzijds moeten jongeren niet alleen in staat zijn om nieuwe media efficiënt te gebruiken, maar is ICT ook een hulpmiddel bij uitstek om de nieuwe onderwijsdoelen te realiseren. Het nastreven van die competentie veronderstelt onderwijsvernieuwing en aangepaste onderwijsleersituaties. Er wordt immers meer en meer belang gehecht aan probleemoplossend denken, het zelfstandig of in groep leren werken, het kunnen omgaan met enorme hoeveelheden aan informatie ... In bepaalde gevallen maakt ICT deel uit van de vakinhoud en is ze gericht op actieve beheersing van bijvoorbeeld een softwarepakket binnen de lessen informatica. In de meeste andere vakken of bij het nastreven van vakoverschrijdende eindtermen vervult ICT een ondersteunende rol. Door de integratie van ICT kunnen leerlingen immers: − − −

3

het leerproces zelf in eigen handen nemen; zelfstandig en actief leren omgaan met les- en informatiemateriaal; op eigen tempo werken en een eigen parcours kiezen (differentiatie en individualisatie). Hoe te realiseren?

In de eerste graad van het SO kunnen leerlingen adequaat of onder begeleiding elektronische informatiebronnen raadplegen. In de tweede en nog meer in de derde graad kunnen de leerlingen “spontaan” gegevens opzoeken, ordenen, selecteren en raadplegen uit diverse informatiebronnen en – kanalen met het oog op de te bereiken doelen. Er bestaan verschillende mogelijkheden om ICT te integreren in het leerproces. Bepaalde programma’s kunnen het inzicht verhogen d.m.v. visualisatie, grafische voorstellingen, simulatie, het opbouwen van schema’s, stilstaande en bewegende beelden, demo ... Sommige cd-roms bieden allerlei informatie interactief aan, echter niet op een lineaire manier. De leerling komt via bepaalde zoekopdrachten en verwerkingstaken zo tot zijn eigen “gestructureerde leerstof”. Databanken en het internet kunnen gebruikt worden om informatie op te zoeken. Wegens het grote aanbod aan informatie is het belangrijk dat de leerlingen op een efficiënte en een kritische wijze leren omgaan met deze informatie. Extra begeleiding in de vorm van studiewijzers of instructiekaarten is een must. Om tot een kwaliteitsvol eindresultaat te komen, kunnen leerlingen de auteur (persoon, organisatie ...), de context, andere bronnen die de inhoud bevestigen en de onderzoeksmethode toevoegen. Dit zal het voor de leraar gemakkelijker maken om het resultaat en het leerproces te beoordelen. De resultaten van individuele of groepsopdrachten kunnen gekoppeld worden aan een mondelinge presentatie. Een presentatieprogramma kan hier ondersteunend werken. Men kan resultaten en/of informatie uitwisselen via e-mail, e-forum, chatten, nieuwsgroepen, discussiefora ... ICT maakt immers allerlei nieuwe vormen van directe en indirecte communicatie mogelijk. Dit is zeker een meerwaarde omdat ICT zo de mogelijkheid biedt om niet alleen interscolaire projecten op te zetten, maar ook om de communicatie tussen leraar en leerling (uitwisselen van cursusmateriaal, planningsdocumenten, toetsen examenvragen ...) en leraren onderling (uitwisseling lesmateriaal) te bevorderen. Sommige programma’s laten toe op graduele niveaus te werken. Ze geven de leerling de nodige feedback en remediëring gedurende het leerproces (= zelfreflectie en -evaluatie).


48

Begeleid zelfgestuurd leren 1

Wat?

Met begeleid zelfgestuurd leren bedoelen we het geleidelijk opbouwen van een competentie naar het einde van het secundair onderwijs, waarbij leerlingen meer en meer het leerproces zelf in handen gaan nemen. Zij zullen meer en meer zelfstandig beslissingen leren nemen in verband met leerdoelen, leeractiviteiten en zelfbeoordeling. Dit houdt onder meer in dat: −

de opdrachten meer open worden;

−

er meerdere antwoorden of oplossingen mogelijk zijn;

−

de leerlingen zelf keuzes leren maken en die verantwoorden;

−

de leerlingen zelf leren plannen;

−

er feedback is op proces en product;

−

er gereflecteerd wordt op leerproces en leerproduct.

De leraar is ook coach, begeleider. De impact van de leerlingen op de inhoud, de volgorde, de tijd en de aanpak wordt groter. 2

Waarom?

Begeleid zelfgestuurd leren sluit aan bij enkele pijlers van ons PPGO, o.m. −

leerlingen zelfstandig leren denken over hun handelen en hierbij verantwoorde keuzes leren maken;

−

leerlingen voorbereiden op levenslang leren;

−

het aanleren van onderzoeksmethodes en van technieken om de verworven kennis adequaat te kunnen toepassen.

Vanaf het kleuteronderwijs worden werkvormen gebruikt die de zelfstandigheid van kinderen stimuleren, zoals het gedifferentieerd werken in groepen en het contractwerk. Ook in het voortgezet onderwijs wordt meer en meer de nadruk gelegd op de zelfsturing van het leerproces in welke vorm dan ook. Binnen de vakoverschrijdende eindtermen, meer bepaald “Leren leren”, vinden we aanknopingspunten als: − − −

keuzebekwaamheid; regulering van het leerproces; attitudes, leerhoudingen, opvattingen over leren.

In onze (informatie)maatschappij wint het opzoeken en beheren van kennis voortdurend aan belang. 3

Hoe te realiseren?

Het is belangrijk dat bij het werken aan de competentie de verschillende actoren hun rol opnemen: − − −

de leraar als coach, begeleider; de leerling gemotiveerd en aangesproken op zijn “leer”kracht; de school als stimulator van uitdagende en creatieve onderwijsleersituaties.

De eerste stappen in begeleid zelfgestuurd leren zullen afhangen van de doelgroep en van het moment in de leerlijn “Leren leren”, maar eerder dan begeleid zelfgestuurd leren op schoolniveau op te starten is “klein beginnen” aan te raden. Vanaf het ogenblik dat de leraar zijn leerlingen op min of meer zelfstandige manier laat − − −

doelen voorop stellen; strategieën kiezen en ontwikkelen; oplossingen voorstellen en uitwerken;

Eerste graad A-stroom – Basisvorming AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) − − − − −

stappenplannen of tijdsplannen uitzetten; resultaten bespreken en beoordelen; reflecteren over contexten, over proces en product, over houdingen en handelingen; verantwoorde conclusies trekken; keuzes maken en die verantwoorden

is hij al met een of ander aspect van zelfgestuurd leren bezig.

49


50

Verdeling van de beschikbare lestijden Eerste leerjaar In het eerste leerjaar A wordt wiskunde onderwezen à rato van 5 lestijden per week. Het is aangewezen deze 5 wekelijkse lestijden op te splitsen in 3 lestijden voor getallenleer en 2 lestijden voor meetkunde. De voorgestelde timing voor behandeling van de leerstof is enkel indicatief en houdt zeker geen verplichting in.

Getallen

Meetkunde

richtlijn voor het aantal lestijden

1

De natuurlijke getallen


1

De ruimte - een vlak

6

2

Lichamen in de ruimte -vlakke figuren

24

3

Symmetrie

6

1.3 Machten

4

4

Eigenschappen van driehoeken

5

1.4 Volgorde van de bewerkingen

3

5

Merkwaardige lijnen in een driehoek

4

6

Eigenschappen i.v.m. zijden en hoeken van een vierhoek

7

7

Merkwaardige lijnen in een vierhoek

4

8

Omtrek en oppervlakte van een driehoek en een vierhoek Lengte en oppervlakte van een cirkel

6

1.1 Basisbegrippen 1.2 De vier hoofdbewerkingen

2

De rationale getallen

2.1 Basisbegrippen

2.2 De vier hoofdbewerkingen

9

2

2.4 Volgorde van de bewerkingen

2

3

9

Totaal

13

15

2.3 Machten

Vergelijkingen

5

75

Totaal

Bij deze planning is uitgegaan van 25 lesweken. De vrije tijdruimte wordt door de leerkracht zelf ingevuld. De leerkracht gebruikt deze tijdruimte nuttig om aandacht te besteden aan eigen accenten.

50


51

Tweede leerjaar In het tweede leerjaar van de eerste graad is, zoals in het eerste leerjaar A, de aanbevolen timing enkel indicatief en houdt geen verplichting in. In het tweede leerjaar van de eerste graad beschikt de leerkracht wiskunde over 4 lestijden per week. Het is aan te bevelen deze 4 wekelijkse lestijden te verdelen over 2 lestijden getallenleer en 2 lestijden meetkunde. De leerstof als volgt worden gespreid:

Getallen

Meetkunde



1

Verhoudingen en evenredigheden

8

1

Lichamen in de ruimte

10

2

Initiatie in de beschrijvende statistiek

8

2

Transformaties van het vlak

20

3

Machtsverheffingen kantswortels

vier-

7

3

Congruentie

10

4

Onderzoek naar de eigenschappen van de bewerkingen

6

4

Gelijkvormigheid

10

5

Vergelijkingen

9

6

Veeltermen in één onbekende met numerieke coëfficiënten

Totaal

en

12

50

Totaal

Zoals in het eerste leerjaar A worden in de planning niet alle lestijden gebruikt. De vrije tijdruimte wordt ook hier door de leerkracht zelf ingevuld. De leerkracht gebruikt deze tijdruimte nuttig om aandacht te besteden aan eigen accenten.

50


52

MINIMALE MATERIËLE VEREISTEN Het is aangewezen dat de leerkracht en de leerlingen kunnen beschikken over een minimaal instrumentarium om de opdrachten van dit leerplan te realiseren. Liniaal, geodriehoek, passer (of een vervanghulpmiddel) en rekentoestel behoren tot de minimale materiële vereisten om het bereiken van de leerplandoelstellingen te ondersteunen. Bij voorkeur beschikken ze over hetzelfde rekentoestel.

Integratie van ICT Het is wenselijk dat het vakgebied wiskunde over minstens één lokaal (eventueel in samenspraak met andere vakgebieden) kan beschikken dat voor ICT is uitgerust en dat door de leerkrachten en de leerlingen voor de lessen wiskunde kan worden gebruikt. De school zorgt er alleszins voor dat elke wiskundeleraar gebruik kan maken van minstens één computer met degelijk projectiesysteem of van een rekentoestel dat op een didactische manier kan worden ingeschakeld in de les. Aangezien dit leerplan voorziet dat de leerkracht op een didactische manier ICT integreert in de les moet de aanwezige apparatuur van die aard zijn dat dit op een flexibele manier kan gebeuren.

Selectie van materiële uitrusting De vakgroep wiskunde zal zich onder andere regelmatig beraden over: • de keuze en het gebruik van handboeken; • het type rekentoestel waarover de leerlingen moeten beschikken; • de keuze voor de software; • de invoering van ICT in de wiskundeles; • de abonnementen op vaktijdschriften wiskunde; • de eenvormigheid in informatie.

Veiligheidsvoorschriften Inzake veiligheid is de volgende wetgeving van toepassing: • Codex ; • ARAB ; • AREI ; • Vlarem. Deze wetgeving bevat de technische voorschriften die in acht moeten genomen worden m.b.t.: • de uitrusting en inrichting van de lokalen; • de aankoop en het gebruik van toestellen, materiaal en materieel. Zij schrijven voor dat: • duidelijke Nederlandstalige handleidingen en een technisch dossier aanwezig moeten zijn; • alle gebruikers de werkinstructies en onderhoudsvoorschriften dienen te kennen en correct kunnen toepassen; • de collectieve veiligheidsvoorschriften nooit mogen worden gemanipuleerd; • de persoonlijke beschermingsmiddelen aanwezig moeten zijn en gedragen worden, daar waar de wetgeving het vereist.


53

EVALUATIE 1

Doelstelling

Evaluatie wordt beschouwd als de waardering van het werk waarmee leraar en leerlingen samen bezig zijn. Het is de bedoeling dat niet alleen de leerling er wat uit leert (bereik ik de vooropgestelde doelstellingen?), maar ook de leraar (is mijn didactisch handelen efficiënt?). Daarenboven is het een uiting van wederzijdse betrokkenheid waarbij kwaliteitszorg wordt nagestreefd. Bij elke evaluatie wil men dan ook informatie verzamelen waarop men kan steunen om besluiten te trekken. Deze kunnen tot doel hebben de efficiëntie van het leerproces te vergroten, de doelmatigheid van de studiemethode te verhogen of tot sanctionering te komen. De leraar leidt eruit af in welke mate hij met de gevolgde methode de vooropgezette doelstellingen heeft bereikt. De ontleding van de behaalde resultaten geeft de nodige aanwijzingen voor eventuele bijsturing van de didactische aanpak. De leerling en zijn ouders vinden in de evaluatie (score, commentaar, remediëring) bruikbare informatie over de doelmatigheid van de gevolgde studiemethode. Omdat evaluatie naar de leerlingen toe enige eenvormigheid moet vertonen over de vakken en de leerjaren heen, is het logisch dat de school via de vakgroepwerking hierover haar visie ontwikkelt. De betrokken leerkrachten concretiseren deze visie voor hun vak.

2

Evalueren

Behalve kennis (definities, eigenschappen …) en vaardigheden (rekenvaardigheid, wiskundige taalvaardigheid, tekenvaardigheid, redeneervaardigheid, abstraheervermogen ...) moeten ook attitudes (kritische geest, doorzettingsvermogen ...) geëvalueerd worden. De te bereiken doelstellingen i.v.m. kennis en vaardigheden vinden we in dit leerplan. De na te streven attitudinale doelstellingen, specifiek voor wiskunde, vinden we ook in dit leerplan. Naast de vakspecifieke doelstellingen vinden we ook na te streven vaardigheden en attitudes in de vakoverschrijdende eindtermen. Ook de school kan bijkomende doelen vastleggen. Het is af te raden om de vakevaluatie te vermengen met de evaluatie van de door de school bepaalde doelstellingen. 2.1

Evaluatievormen

De leerkracht beschikt voor het evalueren van kennis over de volgende middelen: • • • • •

mondelinge overhoringen; korte beurten, schriftelijke lesoverhoring; herhalingsbeurten (deeltoetsen); (huis)taken; examens.

Vaardigheden kunnen geëvalueerd worden aan de hand van observatie. Attitudes worden geobserveerd aan de hand van gedragingen. Het is noodzakelijk dat de vakgroep zich uitspreekt over de vorm en de regelmaat van de evaluatievormen, conform het evaluatiebeleid van de school. Het is wenselijk dat het evaluatiebeleid aandacht heeft voor leerstoornissen (dyslexie, dyscalculie ...).

Examens beogen de evaluatie van de nagestreefde leerstofdoelstellingen tijdens een trimester/semester. Uiteraard zullen de examenvragen een verantwoord evenwicht vertonen tussen reproduceervragen (theorie en herkenbare oefeningen) en differentieervragen (redeneer- en inzichtvragen). Bij het vastleggen van dit evenwicht is men zeker de slaagkansen van de middelmatig begaafde, hard


54

werkende leerling indachtig. Men kan eventueel aanvaarden dat voor het examen die leerstofonderdelen worden weggelaten die voor het volgend leerjaar niet rechtstreeks nodig zijn of die in het volgend leerjaar grondiger behandeld worden, maar dan dienen deze onderdelen expliciet aan bod te komen in een herhalingsbeurt. De ervaring leert dat het zinvol is - om latere discussies en betwistingen te vermijden - ervoor te zorgen dat de leerlingen kunnen beschikken over: • een schriftelijk overzicht van de te kennen leerstof; • een geschreven mededeling waarin staat over welk materieel de leerling mag beschikken op het examen (passer, tekendriehoek, rekentoestel ...).

2.2

Rapporteren

De geregelde rapportering heeft tot doel de leerling en zijn ouders tussentijds in te lichten over het bereiken van de doelstellingen. De school bepaalt de vorm van rapporteren. Alleszins moet het rapport duidelijke informatie verschaffen aan leerling en ouders i.v.m. het bereiken van de verscheidene doelstellingen (kennis, vaardigheden, attitudes). De rapportering moet ook aandacht schenken aan concrete en het functioneel remediëren.

3

Bewaren van documenten

De kopijen van de herhalingsbeurten en van de examens worden overeenkomstig de wettelijke voorschriften bewaard. Vermits de korte schriftelijke beurten ook invloed hebben op de algemene beoordeling van de leerling, worden deze eveneens bewaard tot minstens na de definitieve eindbeslissing. Hierbij wordt rekening gehouden met de termijnen van mogelijke beroepsprocedures. Bewaar bij de kopijen (van de examens en de herhalingsbeurten): • een overzicht van de gestelde vragen met puntenverdeling; • een correctiemodel.

4

ICT-hulpmiddelen

De leerstofitems, waarbij tijdens de instructie voor ontwikkeling of voor verwerking gebruik werd gemaakt van deze technologische instrumenten (ICT), zullen met de ondersteuning van dezelfde hulpmiddelen moeten worden geëvalueerd. Hierbij dient wel te worden opgemerkt dat ICT een middel is om aan wiskundeonderwijs te doen en geen doel op zich. Ook dit is een belangrijk aandachtspunt bij de evaluatie. Dit vergt aandacht en aanpassing van de leerkracht bij het opstellen van de vragen, de tijdinvestering en de evaluatie. De werkwijze met het toestel kan een te meten doel zijn. De school zal ook een inspanning moeten leveren om de leerlingen, die thuis niet over de vereiste hulpmiddelen beschikken, ook op school de mogelijkheid te bieden om zich te bekwamen in het gebruik van ICT-middelen. Hoe dan ook moet de leerling duidelijk weten wat er van hem verwacht wordt en welke invloed het gebruik van ICT heeft op zijn evaluatie. Uiteraard is de vakgroep het meest aangewezen orgaan om over deze geëvolueerde evaluatiesituatie te overleggen.

5

Jaarplan

Een jaarplan geeft aan welke leerinhouden voor de vakonderdelen per aangeduide periode (maximaal per maand) beoogd worden. Het jaarplan:

Eerste graad A-stroom – Basisvorming AV Wiskunde (1e leerjaar: 5 lestijden/week, 2e leerjaar: 4 lestijden/week) • • •

55

helpt de leerkracht gedurende het hele schooljaar een verantwoorde tijdsindeling te respecteren; heeft een richtinggevende en ondersteunende functie bij vervanging van de titularis; laat de niet-wiskundig gevormde directeur toe om de betrokken leerkracht te verwijzen naar deze planning.

Een jaarplan dat ook gebruikt wordt voor de aanduiding van de behandelde leerstof veroorzaakt geen supplementair werk. Door in het jaarplan periodiek te onderstrepen tot waar men in deze periode is geraakt en dit te bevestigen met vermelding van datum en een paraaf wordt het jaarplan een jaarvorderingsplan en voldoet men aan de verplichting om de behandelde leerstof regelmatig te noteren. Een jaarplan mag gedurende het jaar bijgestuurd worden en het wordt elk jaar op zijn haalbaarheid getoetst en zo nodig aangepast. Het is niet de bedoeling een bepaald model van jaarplan op te leggen. Behalve de identificatiegegevens (zie model) geeft het jaarplan aan volgens welke timing de leerstof wordt behandeld. Liefst wordt er per leerstofitem aangeduid hoeveel lestijden hieraan zullen worden besteed. Het is aangewezen ruimte te voorzien om gegevens te noteren die de reële tijdbesteding hebben beïnvloed (ziekte, uitstap, studiedag ...). Deze notities laten toe om de betrouwbaarheid van de timing te evalueren en zo nodig deze timing aan te passen. Hierna volgt een voorbeeld van een mogelijke schikking.

SCHOOL:

..............................................................................

SCHOOLJAAR:

.......................................

LEERKRACHT: ....................................................................... GRAAD: ……

..............................................

LEERPLANNUMMER: … ................................

LEERJAAR: ….. UREN/WEEK:

......................................

STUDIERICHTING:

.................................. VAK: WISKUNDE

.........................................

Gerealiseerde leerstof

Voorziene leerstof 1 lestijd

1 lestijd

1 lestijd

SEPTEMBER

GETALLENLEER

MEETKUNDE

Noteer hier welke onderwerpen van getallenleer u in deze Noteer hier welke onderwerpen van meetkunde u in deze maand denkt te behandelen. maand denkt te behandelen. Noteer hier o.m. hoeveel lessen er verloren gingen met vermelding van de reden (ziek, uitstap, studiedag ...) Noteer het vervolg van de leerstof getallenleer Noteer het vervolg van de leerstof meetkunde

OKTOBER

Opmerking

1 lestijd

Opmerking

15 oktober Noteer hier o.m. hoeveel lessen er verloren gingen met vermelding van de reden (ziek, uitstap, studiedag ...) ... Noteer hier welke onderwerpen van meetkunde u in deze maand denkt te behandelen.

XXXX

Noteer het vervolg van de leerstof getallenleer

Opmerking

Noteer hier o.m. hoeveel lessen er verloren gingen met vermelding van de reden (ziek, uitstap, studiedag ...)

15 XXX


57

BIBLIOGRAFIE Onderstaande lijst kan bij het opstellen van lessen een welgekomen hulp zijn. De lijst is niet limitatief.

Leerboeken Argument Daems F.P. en Jennekens E., De Boeck nv, Antwerpen. Integraal Apers G en Platteaux P., Novum, Deurne. Pienter Foets K., Gijbels G., Loones P., Maes W., Matthijs P. en Michiels F.,Van In, Wommelgem. Van basis tot limiet De Feyter M., Geeurickx F., Thoelen J. en Van Nieuwenhuyze R., Die Keure, Brugge

Naslagwerken AARSSEN, C. en anderen, Netwerk (reeks), Wolters-Noordhoff, Groningen ANTON, H., Calcules (A new Horizon), Drexel university, ISBN 0-471-15307-9 ATKINSON, K. E., An introduction to numerical analysis, ISBN 0-471-02985-8 BERS, L., Calculus, Holt-Rinehart and Winston Inc., ISBN 03-065240-5 BERWAERTS, V. J. en STANDAERD, K., Welkom bij SI-VEC - SI-eenhedenstelsel, Standaard Educatieve Uitgeverij, Antwerpen BERRESFORD, G. C., Calculus, with applications to the management, social, behavorial, and biomedical sciences, Prentice-Hall Inc, ISBN 0-13-110628-7 BONNEFROID, G. en DAVIAUD, D. en REVRANCHE, B., Mathématiques Pythagore (reeks), Didier Hatier, Paris BRUALDI, R.A., Introductory combinatorics, ISBN 0-7204-8610-6 BRUM, J. V., Experiencing geometry, Wadworth Publishing Company, Belmont (California), ISBN 0-534-00422-9 BURTON, D. M., The history of mathematics, London, Allyn and Bacon, ISBN 0205080952 CANGELOSI, J. S., Teaching Mathematics in Secondary and Middle School: An Interactive Approach, Prentice Hall, ISBN 0134392337 CLARKE, G. M. en COOKE, D., A basic course in statistics, London, Arnold, ISBN 0-7131-2672-8 DEMANA, F., WAITS, B.K., CLEMENS, S.R. en GREENE, M., Intermediate algebra: a graphing approach, Addison-Wesley Publicing Company, ISBN 0-201-65001-0 DOXIADIS, A., Oom Petros en het vermoeden van Goldbach, De Bezige Bij DUREN, W. L., Jr, Calculus and analytic geometry, Xerox College Publishing, Toronto, ISBN 0-536-00869-8 ENZENSBERGER, H.M., De telduivel, De Bezige Bij, ISBN 90-234-8149-6 FINNEY, R.L., THOMAS, G.B., DEMANA, F. en WAITS, B.K., Calculus: grafical, numerical, algebraic, Addison-Wesley Publicing Company,ISBN 0-201-56901-9 FREUDENTHAL, H., Mathematics as an educational task, Reidel Publishing Company, Dordrecht, ISBN 90-277-0322-1 GARDNER, M., Het mathematische carnaval, uitgeverij Contact, ISBN 90-254-6695-8


58

GARNIER, R. en TAYLOR, J., 100 % Mathematical proof, ISBN 0-471-96198-1 GONICK, L. en SMITH, W., Het stripverhaal van de statistiek, Epsilon-uitgaven, ISBN 90-504-1037-5 GRIMALDI, R. P., Discrete and combinatorial mathematics (fourth edition), uitg. ADDISON-WESLEY A'dam, ISBN 0-201-19912-2 GROSJEAN, C. C., VANHELLEPUTTE, C. V. en VANMASSENHOVE, F. R., Reinaert Systematische Encyclopedie, Wiskunde (deel 14 (wiskunde 1A), deel 15 (wiskunde 1B), deel 20 (wiskunde 2)), Reinaert uitgaven, Brussel GUEDJ, D., De stelling van de papegaai, Ambo, ISBN 90-263-1604-6 HERWEYERS, G. en STULENS, K., Statistiek met een grafisch rekentoestel, ACCO, Leuven, ISBN 90-334-4597-2 HEUGL, H. en KUTZLER, B. en anderen, DERIVE in education, opportunities and strategies (Proceedings of the 2nd Krems Conference on Mathematics Education), Chartwell-Bratt Ltd, ISBN 086238-351-X HOFSTADTER, D. R., Gödel, Escher, Bach: een eeuwige gouden band, Contact HUFF, D., How to lie with statistics, Penguin Books, ISBN 0-14-021300-7 JACOBS, R. J., Geometry, W. H. Freeman, San Francisco, ISBN 0-7167-0456-0 JACOBS, H. R., Mathematics a human endeavor: a book for those who think they don’t like the subject, San Francisco, Freeman, ISBN 0-7167-0439-0 JORGENSEN, D., De rekenmeester, Bzztôh, ‘s Gravenhage, ISBN 90-5501-722-1 KAMMINGA-VAN HULSEN, M. en GONDRIE, P. en VAN ALST, G., Toegepaste wiskunde met computeralgebra, Academic Service, Schoonhoven, ISBN 90 6233 956 5 MANKIEWICZ, R., Het verhaal van de wiskunde, Uniepers, ISBN 90-682-5259-3 MASON, J., Thinking mathematically, Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-10238-2 MOORE, D., McCABE, G., Statistiek in de praktijk, Theorieboek, Academic Service, Den Haag, ISBN 90 395 1420 8 MOORE, D., McCABE, G., Statistiek in de praktijk, Opgavenboek, Academic Service, Den Haag, ISBN 90 395 1421 6 PAULOS, J.A., Er was eens een getal, Bert Bakker, ISBN 90-351-2059-0 PAULOS, J.A., Ongecijferdheid, Bert Bakker, ISBN 90-351-0789-6 PAULOS, J.A., De gecijferde mens, Bert Bakker, ISBN 90-351-1119-2 PETSINIS, T., De Franse wiskundige, Cargo, ISBN 90-234-5374-3 POLYA, G., How to solve it, Penguin Books, ISBN 0-14-012499-3 POSAMENTIER, A.S. en SALKIND, C.T., Challenging problems in geometry, Dale Seymour Publications, ISBN 0-86651-428-7 PROTTER, H. P. en MORREY Ch. B., Jr, Calculus with analytic geometry; a first course, AddisonWesley, London. RADE, L. en WESTERGEN, B., BETA / Mathematics Handbook, ISBN 0-86238-140-1 SCHUH, F., The master book of mathematical recreations, Dover Books, ISBN 0-486-22134-2 SINGH, S., Het laatste raadsel van Fermat, De Arbeiderspers, ISBN 90-295-3728-0 SPIEGEL, M. R., College algebra, Schaum’s outline series, ISBN 07-060226-3 STEEN, L. A., Mathematics tomorrow, Springer Verlag, Berlin, ISBN 0-387-90564-2 STEWART, I., Flatterland. Like Flatland, only more so, McMillan, Londen, ISBN 0-333-78312-3 STEWART,I., Magisch labyrint, NIEUWEZIJDS, ISBN 90-571-2036-4 STEWART,I., Over sneeuwkristallen en zebrastrepen, Davidsfonds, Leuven, ISBN 90-5826-159-X


59

STEWART, I., Waar zijn de getallen?, Contact, ISBN 90-254-1021-9 STICHTING CENTRUM VOOR WISKUNDE EN INFORMATICA , Vakantiecursus 2001 - Experimentele wiskunde, Amsterdam, ISBN 90-6196-505-5 STRUIK, D. J. , Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, ISBN 90-274-2210-9 SWANN, H. en JOHNSON, J., Prof. E. Mc Squared’s Calculus Primer, ISBN 0-939765-12-8 TELLER, O., Vademecum van de wiskunde, Prisma, ISBN 90-274-4119-7 THAELS, K., EGGERMONT, H. en JANSSENS D., Van ruimtelijk inzicht naar ruimtemeetkunde, Cahiers voor didactiek, Wolters Plantyn, ISBN 90-301-7185-5 THOMAS, G.B. jr en FINNEY R. L., Calculus and analytic geometry, ISBN 0-201-53174-7 VAN DORMOLEN, J., Didactiek van de wiskunde, Utrecht, Bohn-Scheltema-Holkema, ISBN 9031300675 WELLS, D., Merkwaardige en interessante wiskundige kwesties, Bert Bakker, ISBN 90-351-2154-6 WELLS, D., Merkwaardige en interessante wiskundige puzzels, Bert Bakker, ISBN 90-351-1403-5 WELLS, D., Woordenboek ISBN 90-351-0527-3

van

eigenaardige

en

merkwaardige

getallen,

Bert

Bakker,

WERKGROEP WISKUNDE, Vademecum wiskunde, Plantijn, ISBN 90-301-5867-0 WOOTON, W., BECKENBACH, E. F. en FLEMING F. J., Modern analytic geometry, Houghton Mifflin Company, Boston, ISBN 0-295-03743-3 ZEBRA-reeks, Epsilon Uitgaven, Utrecht

Internet Verwijzingen naar URL’s op het gebied van wiskunde zijn te vinden op

http://wiskunde.gemeenschapsonderwijs.net Software Zie o.a. de uitgeverijen van bovenvermelde leerboeken en bovenvermelde URL.

Tijdschriften Euclides, p.a. Nederlandse vereniging van Wiskundeleraars, De Schalm 19, NL8251 LB Dronten Mathématique et pedagogie, Société belge des Professeurs de mathématique, p.a. SBPM, reu de Trazegnies 87, 6320 Pont-à-Celles Uitwiskeling, p.a. Celestijnenlaan 220B, 3001 Heverlee Pythagoras, p.a. Drukkerij Giethoorn Ten Brink, Postbus 41 NL-7490 AA Meppel,www.science.uva.nl/misc/pythagoras Wiskunde en onderwijs, p.a. Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars, C. Huysmanslaan 60 bus 4, 2020 Antwerpen 2

w

Recommend Documents