VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB – TU Ostrava I. Úpravy algebraických výrazů zlomky, rozklad kvadratického trojčlenu, mocniny se záporným exponentem, mocniny s racionálním exponentem, odmocniny, dělení mnohočlenu mnohočlenem II. Funkce definiční obory, vlastnosti a grafy: funkce lineární, kvadratické, lineární lomené goniometrické, exponenciální a logaritmické III. Rovnice a nerovnice lineární, kvadratické, s absolutní hodnotou, soustavy rovnic a nerovnic IV. Logaritmy, logaritmické a exponenciální rovnice V. Goniometrie základní vzorce, úprava výrazů goniometrické rovnice VI. Posloupnosti rekurentní určení posloupnosti, aritmetická a geometrická posloupnost nekonečná geometrická řada VII. Analytická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině vektory – souřadnice, základní operace, skalární součin přímky – parametrické rovnice, obecná a směrnicová rovnice, odchylka přímek kuželosečky – definice a vlastnosti, rovnice kuželoseček v základní a posunuté poloze Písemný test obsahuje 6 úloh z uvedených okruhů, na jeho vypracování je 90 minut. Další ukázky testů lze nalézt například na www.fast.vsb.cz/oblasti/studium-a-vyuka/..., příklady k procvičení jednotlivých témat (včetně výsledků) jsou k dispozici na www.fs.vsb.cz. Přijímací testy garantuje Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TU, která nabízí rovněž přípravné kurzy z matematiky – informace na http://mdg.vsb.cz/. Doporučená literatura: Učebnice matematiky pro gymnázia Sbírky úloh pro gymnázia J. KUBÁT : Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na VŠ. VP, Praha 1993 P. BURDA, Z: BOHÁČ, J. DOLEŽALOVÁ : Matematika pro přípravný kurz a přijímací zkoušku na VŠB-TU Ostrava. Skriptum, VŠB-TU Ostrava, 2001 (2. vyd.)
Ukázkové příklady s bodovaným řešením (každý příklad je za 10 bodů) 1. Upravte daný výraz a stanovte podmínky, kdy je reálný: e−f e+f + + e f e−f . B= e f + f e (e − f ) 2 + (e + f ) 2 2 2 2 2 (e − f )(e + f ) 2 b ( e − 2 ef + f + e + 2 ef + f ). ef 4 b = = B= e2 + f 2 (e 2 − f 2 )(e 2 + f 2 ) ef 2(e 2 + f 2 )ef 2ef 6b 8b = 2 Podm.: e ≠ 0, f ≠ 0, e ≠ ± f 10b = 2 2 2 2 2 (e − f )(e + f ) e −f
2. Vyřešte rovnici 6.2 y + 3.2 y +1 = 12.3y +1 − 3y + 2 .
6.2 y + 3.2.2 y = 12.3.3y − 32 .3y
2b
2 y (6 + 6) = 3y (36 − 9) 12.2 y = 3y .27 : 3
5b
4.2 y = 3y .9 y y −2 9 7b ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⇒⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 4
9b
⇒ y = −2
10 b
3. Vyřešte rovnici cos x + cos 2 x = 0.
cos x + cos 2x cos x + cos 2 x − sin 2 x cos x + cos 2 x − (1 − cos 2 x ) 2 cos 2 x + cos x − 1
(cos x )1, 2 = I.
cos x = x1 x2
1 2
= = = =
0 0 0 0
1b 3b 5b
−1± 1+ 8 −1± 3 = = 4 4
π + 2kπ 8b 3 π = − + 2kπ 9b , k je celé č. 3
=
1 2 −1
7b
II. cos x = -1 x 3 = π + 2kπ 10b , k je celé č.
4. Obvod pravoúhlého trojúhelníka je 24 cm. Velikosti stran tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Určete je.
o = 24, o = a + b + c, a2 + b2 = c2 a = x - d, b = x, c = x + d 2b o = 24 ⇒ 24 = x − d + x + x + d
x = 8 4b
24 = 3x
(8 − d ) 2 + 8 2 = (8 + d ) 2
5b
64 − 16d + d 2 + 64 = 64 + 16d + d 2 64 = 32d d = 2 8b a = 8 − 2 = 6, b = 8, c = 8 + 2 = 10 10b Velikosti stran trojúhelníka jsou a = 6, b = 8, c = 10.
5. Určete vzájemnou polohu přímky p: x - 3y + 15 = 0 a kružnice k: x2 + y2 = 25. p: x − 3y + 15 = 0
k: x 2 + y 2
= 25 x = 3y − 15
(3y − 15) 2 + y 2 = 25
1b
10y 2 − 90y + 200 = 0
2b
y 2 − 9y + 20 = 0
3b
y 1,2 = y1 = 5 R1 [0; 5]
y2 = 4 7b
x1 = 0
R2 [−3; 4]
5 9 ± 81 − 80 9 ± 1 = =〈 4 2 2
5b
x 2 = 12 − 15 = −3
9b
Přímka protíná kružnici v bodech R1, R2.
10b
6. Najděte definiční obor funkce y = x 2 − 1 + 4 − x 2 . x2 − 1≥ 0
1b
∧
4 − x2 ≥ 0
2b
x2 ≥ 1
3b
∧
x2 ≤ 4
4b
∧
x ≤2
x ≥1
(
x ∈ −∞; −1 ∪ 1; ∞)
-2
6b
-1
∧ x ∈ −2;2
1
8b
2
x ∈< −2; − 1 > ∪ < 1; 2 > 10b
Příklady k procvičení I. Úprava algebraických výrazů 1 x −1+ x . 1. Upravte daný výraz a stanovte podmínky, kde je reálný: V = 4 x+2 x−2 . x 4 x−2 ⎡ ⎤ ⎢V = x + 2 , x ≠ 0, x ≠ ±2⎥ ⎣ ⎦ 1 a
2. Upravte daný výraz a stanovte podmínky, kde je reálný: V = : (1 + a −1 ) − (a −1 − 1) :
1 . a
⎡ ⎤ a2 = , a ≠ 0, a ≠ −1⎥ V ⎢ a +1 ⎣ ⎦
[
]
3. Upravte daný výraz a určete podmínky, kde je reálný: A = (1 + a −1 ) + 2a (1 − a 2 ) −1 : (1 − a −1 ) −1 . 1 ⎡ ⎤ ⎢ A = − a , a ≠ 0, a ≠ ±1⎥ ⎣ ⎦
II. Funkce 1
1. Určete definiční obor funkce y =
2. Určete definiční obor funkce y =
3. Určete definiční obor funkce y =
x−2
+4 4−x + x .
x−2 + sin 5 x . x + 4x 2 3
1− x + ln (3x + 2) + 8 x − 2 . x+2
[ x ∈ (2, 4 > ]
[ x ∈ (−∞, − 4) ∪ (−4, 0) ∪ (0, ∞) ] 2 [ x ∈ (− , 1 > ] 3
III. Rovnice a nerovnice
1. Najděte všechna reálná čísla splňující nerovnici
| 3 − 5x | >5 . x −1
[neexistuje žádné takové x] 2. Určete všechna řešení nerovnice
2x + 3 <1 . x−2
3. Řešte rovnici 4 8 − x − 6 x + 150 = 0 .
[ x ∈ (−5, 2) ]
[ x = -1 ]
IV. Logaritmy, logaritmické a exponenciální rovnice
1. Řešte rovnici log ( x + 13) − log ( x − 3) = 1 − log 2 . 2. Řešte rovnici log
[ x=7 ]
x( x − 1) − log x = 1 . 2
[ x = 21 ]
3. Řešte rovnici 2 x − 3.2 x +1 + 5.2 x + 2 = 240 .
[x=4]
V. Goniometrie
1. Najděte všechna řešení rovnice sin 2 z + 3 cos 2 z − cos z = 1 . π π ⎡ ⎤ ⎢ z1 = 2 + kπ, z1 = ± 3 + 2kπ, k ∈ Z ⎥ ⎣ ⎦
2. Najděte všechna řešení rovnice 3 sin x = 2 cos 2 x . π 5π ⎡ ⎤ ⎢ x1 = 6 + 2kπ, x 2 = 6 + 2kπ, k ∈ Z ⎥ ⎣ ⎦
3. Najděte všechna řešení rovnice sin 2 x = cos x . π π 5π ⎡ ⎤ ⎢ x1 = ( 2k + 1) 2 , x 2 = 6 + 2kπ, x 2 = 6 + 2kπ, k ∈ Z ⎥ ⎣ ⎦
VI. Posloupnosti
1. Mezi čísla 32 a 243 vložte čtyři čísla tak, aby s danými dvěma čísly tvořila geometrickou posloupnost. Zapište vložená čísla. [ 48, 72, 108, 162 ] 2. V geometrické posloupnosti je s 4 = 15, a1 + a 4 = 9 . Určete a1 a q. [dvě řešení: a1 = 1, q = 2, a1 = 8, q =
1 ] 2
3. Mezi čísla 2 a 17 vložte čtyři čísla tak, aby spolu se zadanými čísly tvořila aritmetickou posloupnost. Zapište tato čísla. [ 8, 11, 14 ]
VII. Analytická geometrie
1. Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem A = [5, 3] kolmo na přímku určenou body P = [4, 7] , Q = [−4, − 5] . [ 2 x + 3 y − 19 = 0 ]
2. Napište rovnici přímky, která prochází bodem M = [−4, − 5] a průsečíkem přímek o rovnicích 5 x − 8 y + 34 = 0, 4 x + 9 y − 19 = 0 . [ y = 4 x + 11 ]
3. Určete vzájemnou polohu přímky x + y = 8 a kuželosečky xy = 15. [přímka protíná kuželosečku v bodech P = [3, 5] , Q = [5, 3] ]
