VZOROVÉ PŘÍKLADY Z FYZIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB – TU Ostrava Doporučená literatura z fyziky: Prakticky jakákoliv celostátní učebnice určená pro Bc studium vysoké školy technického nebo přírodovědného zaměření, popř. i skriptum základní kurzu fyziky takové školy. Např.: Halliday D., Resnick R., Walker J.: Fyzika,VUTIUM a PROMETHEUS, Praha 2000 V. Hajko: Fyzika v príkladoch, ALFA Bratislava, od roku 1960- nejméně 4 vydání Fojtek, A., Foukal, J., Mádr, V., Wyslych, P.: Základy fyziky pro bakalářské studium na VŠB-TU Ostrava. Skriptum, 1. vyd., Ostrava, VŠB-TU, 2000 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES Na koncích tyče délky 80 cm působí kolmo k tyči dvě rovnoběžné síly o velikostech 50 N a 30 N, viz. obr.1. Ve kterém místě musíte tyč podepřít, aby se neotáčela? Jak velkou tlakovou silou působí tyč na podpěru? Hmotnost tyče neuvažujte.
obr. 1 Řešení: Označíme si veličiny symboly: F1 = 50 N, F2 = 30 N, d = 0,8 m, F = ?, d2 = ? Velikost tlakové síly působící na podpěru tyče je rovna výslednici daných rovnoběžných sil: F = F1 + F2 = 50 + 30 = 80 N. Aby se tyč neotáčela, musí být výsledný moment obou sil nulový: F1 d1 = F2 d2. Ale my známe délku tyč, bude výhodnější dosadit za d2 = d - d1, tedy: F1 d1 = F2 (d - d1), a odtud hledaná vzdálenost: F2 d 30.0,8 = = 0,3 m. d1 = F1 + F2 80 Tyč musíme podepřít ve vzdálenosti 30 cm od působiště větší síly. Tyč působí na podpěru tlakovou silou 80 N.
Po nakloněné rovině o délce 5 m se začne valit bez prokluzování válec tak, že jeho těžiště sníží svoji polohu o 1 m. Určete velikost rychlosti, s níž se těleso pohybuje na konci daného úseku, viz. obr. 2. Řešení:
obr. 2 Označíme si veličiny: l = 5 m, h = 1 m, JT = mr2/2, g = 9,8 m.s-2, v = ? Využijeme zákona zachování mechanické energie. Válec v horní poloze má potenciální energii Ep1 = m g h, v dolní poloze Ep2 = 0. Kinetická energie v horní poloze je nulová, Ek1 = 0 a v dolní poloze je dána kinetickou energií posuvného pohybu a kinetickou energií rotačního pohybu 2 1 1 1 1⎛1 ⎞⎛ v ⎞ E k 2 = m v 2 + J T ω 2 = m v 2 + ⎜ m r 2 ⎟⎜⎜ 2 ⎟⎟ 2 2 2 2⎝2 ⎠⎝ r ⎠ Vyjádříme-li si ze zákona zachování energie Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2 velikost rychlosti, dostáváme ⎛4 ⎞ ⎛4 ⎞ v = ⎜ g h ⎟ = ⎜ 9,8.1⎟ = 3,6 m/s ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ Velikost rychlosti válce ve spodní poloze je 3,6 m/s.
Příklady na procvičení: Do jaké výšky se vychýlí z rovnovážné polohy balistické kyvadlo hmotnosti 10 kg, uvízne-li v něm střela hmotnosti 100 g letící rychlostí 200 m.s-1 ? [0,2 m] Určete souřadnice hmotného středu čtyř kuliček o hmotnostech 1 g, 2 g, 3 g, 4 g, které leží a) v přímce b) ve vrcholech čtverce c) na souřadných osách a v počátku kartézské soustavy souřadnic. Vzdálenost sousedních kuliček je vždy 10 cm. Na trámu hmotnosti 40 kg a délky 3 m se houpají dvě děti, jedno hmotnosti 30 kg, druhé hmotnosti 50 kg. Ve kterém místě je nejvýhodnější trám podepřít ? [1,75 m od dítěte o hmotnosti 30 kg] Určete moment setrvačnosti homogenní tenké tyče hmotnosti m a délky l, rotující kolem osy jdoucí koncem tyče kolmo na tyč [1/3 m l2] Tyč délky l je zavěšena v bodě O a může se otáčet kolem vodorovné osy kolmé na tyč. Jakou rychlost musíme udělit dolnímu konci tyče, aby se tyč pootočila do vodorovné polohy [ 3 gl ]
Při poklesu otáček z f1= 20 s-1 na f2 = 12 s-1 dodal setrvačník energii 360 000 J. Určete jeho moment setrvačnosti. [71,2 kg.m2] IDEÁLNÍ KAPALINY V nádobě s vodou plove kus ledu. Jaká část jeho objemu vyčnívá nad hladinu? Jak se změní výška hladiny vody v nádobě poté, co led roztaje? Hustota ledu je ρ L = 900 kg m −3 , hustota vody ρ = 1000 kg m −3 . Řešení: Na led působí směrem dolů tíhová síla FG , směrem vzhůru vztlaková síla Fvz . Protože je led v klidu, musí být výsledná síla, která na něj působí, nulová a tedy FG = Fvz . Označme objem ponořené části ledu V, objem celého ledu VL . Pak platí FG = ρ L VL g , Fvz = ρ V g . Tedy
ρ L VL g = ρ V g ⇒ V =
ρL ρ
VL=
900 1000
VL =
9 10
VL .
Nad hladinu vyčnívá objem ∆V = VL − V = V L −
9 10
VL =
1 10
VL .
1
objemu ledové kostky. Na druhou část otázky lze odpovědět i bez výpo10 čtu. Podle Archimedova zákona byla vztlaková síla a tedy i tíha ledu rovna tíze vody stejného objemu, jako je objem ponořené části ledu V. Tíha vody, která původně tvořila ledovou kostku, se roztáním nezmění. Roztáním ledu tedy vznikne voda objemu V a výška hladiny vody v nádobě zůstane stejná. Nad hladinu vyčnívá
Ideální kapalina proudí vodorovným potrubím, jehož tvar je zakreslen na obrázku. Pro porovnání tlaků je potrubí opatřeno manometrickými trubicemi. O kolik výše vystoupí hladina ve druhé manometrické trubici než v první? Rychlost kapaliny v 1 = 1,5 m.s −1 , pro průřezy potrubí platí S 2 = 3 S1 . Řešení:
obr. 3 Rozdílná úroveň hladin v manometrických trubicích ukazuje rozdíl tlaků v daných místech potrubí, který lze vypočítat podle vztahu pro hydrostatický tlak ∆ p = ∆ h ρ g , odtud
∆p . ρg Rozdíl tlaků lze určit z Bernoulliovy rovnice 1 1 1 p1 + ρ v12 = p 2 + ρ v 22 ⇒ ∆ p = p 2 − p1 = ρ v12 − v 22 . 2 2 2 Potřebujeme ještě určit rychlost v 2 , k tomu využijeme rovnici kontinuity, odkud plyne, že ∆h=
(
)
S1 . v1 S1 . v1 v1 = = . 3 . S1 3 S2 Po dosazení dostaneme v12 ⎛ 1 ⎞ 1,5 2 8 ∆h = . m = 0,1 m . ⎜1 − ⎟ = 2 g ⎝ 32 ⎠ 2.10 9 v2 =
Příklady na procvičení:
Kolik m3 vody za minutu musíme dodávat do nádrže s výškou hladiny 3 m a s otvorem o průměru 2 cm ve dně, aby hladina zůstávala v konstantní výšce ? Zúžení proudu v otvoru zanedbáváme. [0,145 m3 min-1] Jakou rychlostí se pohybuje hladina ve válcové nádobě o průměru 1 m, v jejíž podstavě je otvor o průměru 2 cm v okamžiku, kdy výška hladiny je 0.5 m ? Zúžení proudu v otvoru zanedbáváme. [1,25.10-3 m.s-1] Jak velkým přetlakem musíme působit na píst stříkačky průměru d1 = 5.10-2 m, aby z ní voda vytékala tryskou průměru d2 = 5.10-3 m rychlostí v2 = 30 m.s-1. [4,5.105 Pa] Balón o poloměru r = 4m, který je naplněn heliem, se vznáší ve stálé výši ve vzduchu. Jakou silou je nadlehčován balón, je-li hustota hélia za daných podmínek 0,098 kg.m-3 a hustota vzduchu je 0,707 kg.m-3? [1600 N] Nákladní člun o celkové hmotnosti 4 500 t připlul z řeky do moře. Vypočtěte, o kolik tun je možno zvětšit hmotnost nákladu na člunu na moři, aby ponor zůstal stejný jako v řece. Hustota říční vody je 998 kg.m-3 . Hustota mořské vody je 1031 kg.m-3 . [O 135 tun] IDEÁLNÍ PLYNY
Jak se změní objem ideálního plynu uzavřeného v nádobě s pohyblivým pístem, jestliže jeho teplota vzroste izobaricky z t1 = 27 o C na t 2 =127 o C ? Řešení: Izobarický děj je děj, při kterém je tlak plynu konstantní. Ze stavové rovnice pak plyne, že V1 V2 = , T1 T2 kde T1 a T2 jsou počáteční a koncová termodynamická teplota plynu. Platí T = ({t}+ 273,15) K , odtud plyne, že T1 = 300 K , T2 = 400 K . Pak V2 T2 400 4 = = = . V1 T1 300 3
Objem plynu vzroste o třetinu. Kolik tepla projde za den zdí tloušťky 0,4 m a plochy 20 m2, jsou-li součinitel tepelné vodivosti λ = 0,7 W.m-1.K-1 a součinitele přestupu tepla pro exteriér αe = 23 W.m-2.K-1, pro interiér αi = 8 W.m2 -1 .K ? Jaká bude teplota venkovní a vnitřní stěny? Teplota vzduchu v místnosti je ti = 20°C, venkovní teplota te = –20°C. Řešení: Předpokládejme, že jde o ustálený stav, takže rozložení teplot ve zdi je neměnné. Označme t´i teplotu vnitřní stěny, t´e teplotu vnější stěny. Protože vnitřní energie zdi se v ustáleném stavu nemění, musí být teplo prošlé za dané období zdí a oběma jejími povrchy (stěnami) shodné. S Musí tedy platit: Q = α i ⋅ τ ⋅ S ⋅ (t i − t i′ ) , Q = α e ⋅ τ ⋅ S ⋅ (t e′ − t e ) a Q = λ ⋅ τ ⋅ (t i′ − t e′ ) ⋅ . d Vyřešením soustavy těchto tří rovnic o třech neznámých dostaneme výsledek: (t − t ) ⋅ τ ⋅ S (20 − (−20) ) ⋅ 24 ⋅ 3600 ⋅ 20 = J = 93,4 MJ , Q= i e 1 1 d 1 1 0,4 + + + + αi αe λ 8 23 0,7 ⎞ ⎛ 93,4 ⋅ 10 6 Q ⎟ °C = 13,2 °C , = ⎜⎜ 20 − 8 ⋅ 24 ⋅ 3600 ⋅ 20 ⎟⎠ α i ⋅τ ⋅ S ⎝ ⎞ ⎛ 93,4 ⋅ 10 6 Q ⎟ °C = - 17,7 °C . t e′ = t e + = ⎜⎜ − 20 + 23 ⋅ 24 ⋅ 3600 ⋅ 20 ⎟⎠ α e ⋅τ ⋅ S ⎝ Teplo prošlé zdí z místnosti ven za jeden den Q = 93,4 MJ, teplota stěny v místnosti t´i = 13,2 °C, vnější teplota zdi t´e = -17,7 °C. t i′ = t i −
Příklady na procvičení:
Láhev obsahuje 4 kg kyslíku O2. Jaké je to látkové množství v kilomolech ? Kolik molekul kyslíku je v láhvi ? [0,125 kmol, 0,753.1026 ] Vypočtěte jakou hmotnost má kyslík v nádrži o objemu 60 l při tlaku 11 MPa a teplotě 25 0C. [8,52 kg] 1 m3 vzduchu počátečního tlaku 2.105 Pa izotermicky expanduje na dvojnásobný objem. Vypočtěte výsledný tlak, práci, kterou plyn vykoná a množství přivedeného tepla. [105 Pa, A = Q = 139.103 Pa] Vzduchu obsaženému v nádrži objemu 0.15 m3 počáteční teploty 30 0C a počátečního tlaku 107 Pa se odvede 6.104 J tepla při stálém objemu. Vypočítejte výslednou teplotu vzduchu (vzduch předp. jako dvouatomový plyn) ! [25,2 oC] V nádobě se nachází 1 kg vzduchu. Při stálém objemu klesne tlak plynu z hodnoty 3.105 Pa na hodnotu 105 Pa. Je-li počáteční teplota plynu 25 0C, určete výslednou teplotu a teplo, které bylo nutno odebrat. [-174 oC, -1,43.105 J] Vzduch tlaku 12.105 Pa a objemu 0,08 m3 expanduje při stálém tlaku na dvojnásobný objem. Vypočítejte vykonanou práci, změnu vnitřní energie a přijaté teplo.
[96.103 J, 240.103 J, 336.103 J] Dva kilomoly dvouatomového plynu se ohřejí při stálém tlaku o 50 0C. Určete změnu vnitřní energie, práci, kterou plyn při změně objemu vykoná a množství dodaného tepla. [2,08.106 J, 8,31.105 J, 2,91.106 J] 2 kg vzduchu teploty 300 0C a tlaku 106 Pa adiabaticky expandují na pětinásobný objem. Určete výsledný objem, výslednou teplotu, vykonanou práci a změnu vnitřní energie. [1,65 m3, 28 oC, 3,91.105 J, -3,91.105 J]
GRAVITAČNÍ POLE
Stanovte vztahy pro dobu výstupu, výšku výstupu a délku vrhu vrhu šikmého vzhůru pod úhlem α s počáteční rychlostí v0. Řešení:
y y
vo
A
α
x
x
Zrychlení vrženého objektu a = g má nenulovou pouze svislou složku. dv Tedy ve směru vodorovném ax= 0 = x . Jestliže je časová derivace rychlosti ve směru x rovna dt nule, pak tato rychlost musí být konstantní po celé dráze šikmého vrhu a rovna x-ové složce počádx teční rychlosti vx = vox. Vyjádříme si nyní tuto rychlost pomocí dráhy vox = , napíšeme rovnici dt pro dx a integrujeme: ∫ dx = ∫ vox dt + C . Po integraci dostáváme rovnici x = vox.t + C. Pro stanovení integrační konstanty C vyjdeme z „počátečních podmínek“. V našem případě máme popsánu situaci na počátku vrhu, tedy v čase t = 0, kdy těleso je v počátku a tedy také x = 0. Integrační konstanta je tedy také nulová, jak zjistíme po dosazení do rovnici pro dráhu x. Dosadíme-li nyní za vox = vo cos α dostaneme konečně rovnici pro složku dráhy ve směru x: x = vo t cos α. dv y Teď se podívejme na směr y. Zrychlení je orientováno proti směru osy y, bude tedy a y = − g = . dt Opět můžeme provést separaci proměnných (umístiti každou na jinou stranu rovnice) a integrovat:
∫v
y
= ∫ − g dt + C1 , neboli po integraci
vy = - gt + C1. Z počátečních podmínek opět zjistí-
me, že konstanta je rovna y-ové složce počáteční rychlosti voy = vo sin α . Rychlost ve směru y se tedy s časem bude měnit podle rovnice: vy = - gt + vo sin α. dy Zase již naučeným postupem si vyjádříme v y = , z tohoto vztahu osamostatníme dy, dosadíme dt za vy, integrujeme pomocí neurčitého integrálu, určíme integrační konstantu (bude nulová) a dostaneme pro y-ovou složku dráhy: y = - 1/2 g t2 + vo t sin α . A konečně se můžeme dostat k odpovědi na zadání. Nejdříve doba výstupu. Když se podíváte na vržený objekt ve směru osy x, pak objekt nejdříve stoupá rychlost vy, zastaví se v nejvyšším bodě a začne klesat. Tedy platí, že v nejvyšším bodě je yová složka rychlosti nulová: vy = - gt + vo cos α = 0. Z této podmínky stanovíme příslušný čas jako v sin α t= o . g v 2 sin 2 α . Jestliže tento čas dosadíme do rovnice pro y, dostaneme nejvyšší výšku dráhy y max = o 2g A konečně délku vrhu dostaneme z rovnice pro x, když za čas dosadíme takový čas, který odpovídá nulové výšce (y = 0). Tedy nejdříve řešíme rovnici 0 = - 1/2 g t2 + vo t sin α pro čas, kdy nám vyjdou dvě řešení (je to kvadratická rovnice). Prvé řešení odpovídá počátku hodu t = 0, druhé je pak v o2 sin 2α náš hledaný čas, který dosadíme do rovnice x = vo t cos α a vyjde nám y max = . g Jakou rychlostí musíme vrhnout těleso z povrchu Země, aby se již nevrátilo zpět? Řešení: Protože působnost gravitačního pole není prostorově nijak omezena, požadujeme vlastně, aby těleso mělo dostatečnou energii k tomu, aby se mohlo od Země vzdálit do nekonečna (nepřihlížíme ovšem k vlivu ostatních vesmírných těles). Přesouváme-li těleso z povrchu Země do nekonečna, působíme G proti gravitační síle F , jíž je těleso přitahováno k Zemi, a vykonáme tedy práci rovnou přírůstku potenciální energie tělesa
W =κ
MZ m rz
.
Má-li se těleso přesunout po dané trajektorii bez našeho dalšího působení, musíme mu na počátku udělit kinetickou energii o alespoň stejné velikosti E k = W , přičemž pro kinetickou energii platí 1 vztah E k = mv 2 . 2 Odtud tedy v =
2Ek m
=
2A m
=
2κm Z rz
=
2⋅6 ,67 ⋅10 −11 ⋅5,98⋅10 24 6 ,38⋅10
6
ms −1 =11,2⋅10 3 ms −1 .
Umělá družice rotuje kolem Země ve vzdálenosti 6.6 x 106 m od jejího středu. Zemi považujte za homogenní kouli o hmotnosti 5.98 ·1024 kg. S jakou obvodovou rychlostí v se musí družice pohybovat kolem Země, nemá-li žádný pohon?
Řešení: Řešme úlohu z hlediska neinerciální vztažné soustavy spojené s družicí. Vzhledem k této soustavě je družice v klidu, výsledná síla, která na ni působí, je tedy nulová. Na družici působí gravitační síla Země F daná Newtonovým gravitačním zákonem, proti ní působí odstředivá síla Fo. Jejich velikosti se musí rovnat. Tedy mZ m mv 2 , = Fo = F = κ (rZ + h )2 rZ + h odtud po úpravě dostaneme v=
2κm Z rz + h
=
6 ,67 ⋅10 −11 ⋅5,98⋅10 24 6 ,38⋅10 + 6 ,6⋅10 6
6
ms −1 = 5,54⋅10 3 ms −1 .
Příklady na procvičení:
O kolik % se zmenší tíha tělesa ve výšce 300 km nad povrchem Země ? V jaké výšce nad povrchem Země klesne tíha tělesa na polovinu? [9,4%, 2640 km] Pohyb dělostřeleckého granátu je popsán rovnicemi x = 250 t y = 430 t - 4,9 t2 Určete rovnici trajektorie, dobu letu T, délku vrhu L. [21,95 km, 87,8 s] [Pod jakým elevačním úhlem se musí vrhnout těleso šikmo vzhůru, aby se výška jeho výstupu rovnala délce doletu ? [76o] Stacionární družice je umístěna v rovině rovníku. Určete její vzdálenost od povrchu Země a její oběžnou rychlost. [35 700 km, 3,07 km.s-1] ELEKTRICKÉ A MAGNETICKÉ POLE
Na obrázku 5. vidíme dva body A,B v homogenním elektrickém poli. Pole je vytvořeno kladně nabitou rovinou. Oba body leží na jedné siločáře, jejich vzájemná vzdálenost je d. 1. Určete práci, kterou vykonají síly pole při přemístění kladného testovacího náboje Q0 z bodu A do místa nulového potenciálu. WA = ? 2. Určete potenciál v bodě A. φA = ? 3. Určete práci, kterou vykonají síly pole při přemístění kladného testovacího náboje Q0 z bodu B do místa nulového potenciálu. WB = ?
Obr. 5.
Řešení: 1) Kladně nabitá deska vytváří homogenní pole. Intenzita E má konstantní velikost a směr (od desky). Ve vzdálenosti d1 od bodu A umístíme uzemněnou desku. Potenciál uzemněné desky je nulový. Vzdálenost bodu B od uzemněné desky označíme d2. Z mechaniky víme, že práce vykonaná konstantní silou F, působící na částici a vyvolávající posunutí d1 částice, je rovna WA = F.d1 cos α pokud sílu F vyjádříme z rovnice V 3.1.4.-1, potom WA = E.Qo.d1 cos α kde α je úhel mezi směry vektorů E a d1. V našem případě je α = 0o, cos 0o = 1 a proto WA = E.Qo.d1 2) Z definice potenciálu V 3.1.5.-1 plyne, že φA = E.d1 3) V případě bodu B postupujeme stejně, tedy WA = E.Qo.d2 Určete pokles napětí na hliníkové dvojlince dlouhé 500 m, jestliže dvojlinkou prochází proud 15 A. Každý z vodičů má obsah příčného řezu 10 mm2. Měrný elektrický odpor hliníku je 2,7.10-8 Ω.m. Řešení: L = 500 m, I = 15 A, S = 10 mm2 = 10-5 m2, ρ = 2,7.10-8 Ωm. odpor dvojlinky je R = 2.L. ρ / S napětí vypočítáme z Ohmova zákona U = I.R dosadíme-li za R dostaneme U = 2.L.I. ρ / S Dosadíme: U = 2.500.15. 2,7.10-8 /10-5 V = 4,05 V Pokles napětí na dvojlince je 4,05 V. Na obrázku 6-a je obvod, jehož prvky mají hodnoty: Ue1 = 3,0 V, Ue2 = 6,0 V, Ue3 = 6,0 V, R1 = 2 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 4 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 2 Ω. Určete velikost a směr proudu v každé ze tří větví. Řešení:
Obr. 6-a • Nejprve označíme směry proudů uvnitř zdrojů (Obr. 6-b).
Obr. 6-b • Uzly označíme A,B. Dále zvolíme označení a směry proudů v jednotlivých větvích bez ohledu na to, že skutečné směry zatím neznáme. Situaci vidíte na obr.6-c: proud I1 prochází větví A, R1, zdroj Ue1, R2, B proud I2 prochází větví A, R3, zdroj Ue2, B proud I3 prochází větví A, R4, zdroj Ue3, R5, B
Obr.6-c
Obr.6-d
• Máme tři proudy a tedy tři neznámé. Musíme sestavit tři rovnice. První rovnici získáme použitím I.Kirchhoffova zákona pro uzel A. Do uzlu A vstupuje proud I3, z uzlu vystupují proudy I1 a I2 . I1 + I2 = I3 ( a) Stejnou rovnici bychom dostali pro uzel B. • Sledujte O 3.2.6.-15d. Při sestavování rovnic na základě II.Kirchhoffova zákona vybereme uzavřenou smyčku a zvolíme směr postupu. Tento směr volíme libovolně. Nesmíme ale zapomenout, že elektromotorická napětí orientovaná souhlasně se zvoleným směrem postupu a napětí na rezistorech, kde zvolený směr proudu souhlasí se zvoleným směrem postupu, píšeme s kladným zna-
ménkem, v opačném případě se znaménkem záporným. Vybrali jsme si smyčku v levé části obvodu ( je označena zeleně), zvolili jsme si směr postupu ( zelená šipka) a podle II. Kirchhoffova zákona platí -I1.R1 + I2.R3 – I1.R2 = Ue1 – Ue2 Do rovnice dosadíme numericky a po úpravě můžeme psát -4I1 + 4I2 = -3 ( b) • Nyní si zvolíme sousední smyčku ( je označena oranžově) v pravé části obr. 3.2.6.-15d a opět si zvolíme směr postupu (oranžová šipka) a podle II. Kirchhoffova zákona platí
• -I3.R4 – I3.R5 – I2.R3 = Ue2 – Ue3 Do rovnice dosadíme numericky a po úpravě můžeme psát -I 2 – I 3 = 0 ( c) Máme tedy tři rovnice o třech neznámých I1 + I2 = I3 ( a) -4I1 + 4I2 = -3 ( b) -I2 – I3 = 0 ( c) _____________________________ ( c) I3 = -I2 ( a) I1 + 2I2 = 0 ⇒ 4I1 + 8I2 = 0 ( b) -4I1 +4I2 = -3 sečteme upravenou rovnici ( a) s rovnicí ( b) a dostaneme I2 = - 0,25 A z rovnice ( c) čteme I3 = 0,25 A z rovnice ( a) čteme I1 = 0,5 A Z výsledku je patrno, že směry proudů I1 a I3 jsme volili správně, směr proudu I2 bude opačný. Jaký poloměr R musí mít válcová cívka vinutá drátem o poloměru r = 0,6 mm závit vedle závitu, aby při proudu 2 A byl magnetický tok cívkou 3.10-6 Wb? Řešení: poloměr drátu r = 0,6 mm = 6.10-4 m, I = 2 A, Φ= 3.10-6 Wb Indukční tok je definován podle V 3.3.2.-1 takto: Φ = B.S cos α V našem případě je • B velikost indukce v dutině cívky. Podle V 3.4.1.-4 je B = µo .N.I /l Počet závitů N a délku cívky l neznáme, ale víme, že cívka je vinuta závit vedle závitu vodičem o průměru d = 2.r Na délku l tedy můžeme navinout l / 2.r závitů a po dosazení dostaneme l .I I 2 . r = µo B = µo l 2.r • S velikost plochy závitů, tj. S = π.R2 • α úhel, který svírá normála plochy závitů s vektorem indukce, tj. α = 0o Pro velikost indukčního toku můžeme psát
Φ = µo
I π .R 2 ⇒ R = 2.r
2.r.Φ µ o .I .π
Dosadíme: R=
2.0,6.10 −3.3.10 −6 ⇒ R = 2,13.10 − 2 m −7 4.π .10 .2.π
Poloměr závitů je 2,13 cm. Dlouhým solenoidem, který má navinuto 80 závitů na centimetr prochází proud 70 mA. Vypočítejte velikost magnetické indukce v dutině cívky a) se vzduchovým jádrem b) s feromagnetickým jádrem, jehož µr = 650. Řešení: n = 80 cm-1 = 8000 m-1, I = 70 mA = 7.10-2 A Podle V 3.4.2.-1 je velikost indukce solenoidu s vakuovým jádrem Bo = µo.I.n a pro solenoid s jádrem, jehož permeabilita je µr platí V 3.4.2.-2 B = µr.Bo = µo. µr .I.n a) Pro vzduch je přibližně µr = 1 a tedy po dosazení Bo = 4π.10-7.8.103.7.10-2 = 7,04.10-4 T b) Pro dané feromagnetické jádro je µr = 650 a tedy velikost indukce je B = 650. 7,04.10-4 = 4,6 10-1 T Velikost indukce solenoidu s feromagnetickým jádrem bude při magnetizujícím proudu 70 mA 650krát větší než s vakuovým jádrem. V této souvislosti je třeba zmínit velmi důležitou věc. Relativní permeabilita µr feromagnetických látek není pro danou látku konstantní, nýbrž závisí na magnetizujícím proudu I (při konstantní hustotě závitů n =N/l ). Příklady na procvičení:
Dva stejné bodové náboje umístěné ve vzdálenosti 20 cm působí na sebe ve vzduchu silou F. V jaké vzdálenosti by musely být umístěny v oleji o relativní permitivitě εr = 5, aby se velikost síly nezměnila ? [8,9 cm] Kde na spojnici nábojů Q a 4Q vzdálených l je třeba umístit třetí náboj Q′ tak, aby na něj nepůsobila žádná síla ? ⎡l ⎤ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ Desky kondenzátoru o ploše 2 m2jsou ve vakuu ve vzdálenosti 5 mm. Na kondenzátoru je napětí 104 V. Stanovte kapacitu kondenzátoru, náboj každé desky, plošnou hustotu náboje a intenzitu pole mezi deskami. [3,54 nF, 3,54.10-5 C, 1,77.10-5 C.m-2, 2.106 V.m-1] Vypočtěte výslednou kapacitu, kterou dostaneme, připojíme-li paralelně ke kondenzátoru o kapacitě 1 pF dva kondenzátory o kapacitách 3 pF a 7 pF v sérii. [3,1 pF]
Na bodový náboj Q = 5.10-9 C umístěný v elektrickém poli působí ve vakuu síla 10-5 N. Určete intenzitu elektrického pole v místě náboje Q a velikost náboje tvořícího pole, jsou-li oba náboje vzdáleny 0.5 m. [2.103 v.m-1, 5,6.10-8 C] Na elektron v homogenním elektrickém poli působí síla 5.10-18 N. Vypočtěte intenzitu elektrického pole a složku rychlosti elektronu ve směru intenzity pole, které dosáhne na dráze 9 cm, považujeme-li pohyb elektronu ve vakuu za rovnoměrně zrychlený. Složka rychlosti elektronu ve směru intenzity pole se na počátku dráhy rovnala nule. [31,2 V.m-1, 106 m.s-1] Dva kondenzátory se stejnou kapacitou zapojíme seriově a pak paralelně. Rozdíl v kapacitách obou kombinací je 3 µF. Určete kapacitu těchto kondenzátorů. [2 µF] Vodičem délky 500 m a průřezu 6 mm2 prochází proud 6 A. Jak velký je měrný odpor vodiče, je-li napětí na jeho koncích 14 V ? [2,8.10-8 Ω.m] Dává-li baterie proud 3 A, je její svorkové napětí 24 V. Při proudu 4 A klesne svorkové napětí na 20 V. Určete a) vnější odpor v obou případech, b) vnitřní odpor baterie, c) elektromotorické napětí baterie. [8 Ω, 5 Ω, 4 Ω, 36 V] Miliampérmetru, který má rozsah 100 mA a vnitřní odpor 2.9 Ω, máme použít k měření proudů do 3 A. Stanovte odpor potřebného bočníku. [0,1 Ω] Jak se změní odpor drátu, který při nazměněné hmotnosti 5krát prodloužíme? [Zvětší se 25 krát] Tři vodiče o odporech 7 Ω, 21 Ω a 42 Ω jsou zapojeny za sebou na napětí 28 V. Vypočtěte proud, který protéká obvodem, a úbytek napětí na každém odporu. Vnitřní odpor zdroje napětí zanedbáváme. [0,4 A, 2,8 V, 8,4 V, 16,8 V] Dva vodiče mají při sériovém spojení celkový odpor 60 Ω a při paralelním spojení odpor 15 Ω. Jak velké jsou odpory jednotlivých vodičů? [30 Ω] Určete magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve středu kruhového vodiče s poloměrem 5 cm protékaného proudem 5 A. [628 T, 50 A.m-1] Jaký poloměr musí mít dlouhá cívka vinutá drátem o průměru 1.2 mm závit vedle závitu v jedné vrstvě, aby při průtoku proudu 2 A byl magnetický indukční tok touto cívkou 3.10-6 Wb ? Pole uvnitř cívky pokládejte za homogenní. [2,13 cm]
Cívka se zanedbatelně malým ohmickým odporem při zapojení na střidavé napětí 220 V a frekvence 50 s-1 propouští proud 10 A. Stanovte indukčnost cívky. [70 mH] Kondenzátor o kapacitě 8.10-6 F v sérii se solenoidem o indukčnosti 2 H a odporu vinutí 30 ohmů je připojen na zdroj střídavého napětí 110 V frekvence 50 s-1. Stanovte proud v obvodu, napětí na kapacitě a napětí na indukčnosti. [0,474 A, 189 V, 298 V] KMITÁNÍ A VLNĚNÍ
Těleso hmotnosti 4 kg koná netlumený harmonický pohyb podle rovnice: y = 0.2 sin(0.5 π t) (m,s) Určete rychlost tělesa v čase t = T/4. Dále určete velikost síly, která působí na toto těleso při výchylce 0.1 m. Řešení: Rovnice kmitů je obecně y = A sin(ωt + φ). Vztah mezi kruhovou frekvencí a periodou je ω=2π/T, v našem případě ω = 0.5 π, takže T = 4 s. Rovnici pro rychlost dostaneme derivací rovnice pro výchylku: v = dy/dt = 0.1 π cos (0.5 π t) (ms-1,s). Dosazením za čas t = T/4 = 1s máme v = 0.1 π cos (0.5 π ) ms-1= 0 ms-1. K tomuto výsledku jsme mohli dospět i pouhým uvážením toho, že počáteční fáze zadaných kmitů je nulová a ve čtvrtině periody bude tak těleso v bodě obratu (vratu). Hledanou sílu určíme pomocí druhého Newtonova zákona jeko součin hmotnosti a zrychlení, které získáme derivací rychlosti podle času a = dv/dt = -0.05 π2 sin(0.5 π t) = -0.25 π2 y (ms-2,s). Máme tedy F = m a = 4·(-0.25) π2 0,1 N = - 0,1 π2 N. Velikost síly je |F| = 0,1 π2 N. Těleso koná netlumený harmonický pohyb s rychlostí, která je dána rovnicí: v = 6 cos(3t) (m/s,s) Určete amplitudu výchylky. Řešení: Výchylku nalezneme integrací rychlosti: y = ∫v dt = ∫6 cos(3t)dt = 2sin (3t). Ze srovnání s obecnou rovnicí harmonických kmitů y = A sin(ωt + φ) plyne A = 2m. Příklady na procvičení:
Vypočtěte celkovou energii harmonického pohybu malé kuličky o hmotnosti m = 200 g, je-li amplituda výchylky A = 2 cm a frekvence f = 5 Hz. [0,039 J] Určete amplitudu, fázový posuv a maximální velikost zrychlení harmonického pohybu hmotného bodu o frekvenci 1.5 Hz, jestliže v okamžiku t = 0 je výchylka bodu 5 cm a rychlost 0.2 ms-1. [5,43 cm, 67o, 4,8 m.s-2] Částice koná harmonický pohyb. Jaké části celkové energie je rovna kinetická energie částice v okamžiku, kdy výchylka částice je rovna polovině amplitudy ? [3/4 W]
Hmotný bod kmitá harmonicky s amplitudou A. Při jaké výchylce je jeho kinetická energie rovna energii potenciální ? [±A/2. 2 ] Výchylka bodu, který je ve vzdálenosti 40 mm od zdroje vlnění je v okamžiku t = 1/6 T rovna polovině amplitudy. Určete vlnovou délku vlnění. [0,48 m] Vlna s periodou 0,01 s se šíří rychlostí 340 m s-1 v lineární bodové řadě. Určete vlnovou délku vlnění a rozdíl fází výchylky ve dvou bodech řady, které jsou od sebe vzdáleny 1,7 m. [3,4 m, π] GEOMETRICKÁ A FYZIKÁLNÍ OPTIKA
V jaké vzdálenosti od tváře je třeba držet duté zrcadlo s ohniskovou vzdáleností 50 cm, aby obraz tváře byl pětinásobně zvětšený? Řešení: Označíme si ohniskovou vzdálenost f = 0,5 m, zvětšení Z = 5 a hledaná vzdálenost je a. Vyjdeme ze vztahu pro příčné zvětšení a ze zobrazovací rovnice zrcadla. Vyloučíme polohu obrazu a´ tak, že ji vyjádříme ze zobrazovací rovnice zrcadla: fa 1 1 1 1 a− f = − ⇒ = ⇒ a´= a´ f a a´ fa a− f a dosadíme do rovnice pro zvětšení: f Z =− , a− f Z této rovnice vyjádříme hledanou vzdálenost a, pak dosadíme konkrétní hodnoty: f ( Z − 1) 0,5 (5 − 1) = 0,4 m. = Z 5 Duté kulové zrcadlo je třeba umístit 0,4 m od tváře. a=
Tenká čočka zobrazí předmět vzdálený 0,75 m od čočky do vzdálenosti 0,35 za ní. Vypočtěte ohniskovou vzdálenost čočky. Řešení: 1 1 1 Jedná se o klasický případ použití čočkové rovnice – zobrazovací rovnice tenké čočky + = . a a´ f V souladu se znaménkovou konvencí jsou vzdálenosti předmětu a a vzdálenost obrazu a´ kladné. Z textu vyplývá, že se jedná o spojnou čočku. Dosadíme tedy do zobrazovací rovnice: 1 1 1 + = a z ní vypočítáme ohniskovou vzdálenost. f = 0,24m 0,75 0,35 f Příklady na procvičení:
Do jaké vzdálenosti před konkávní zrcadlo o ohniskové vzdálenosti f je třeba postavit předmět, aby vznikl obraz a) čtyřikrát větší, převrácený b) čtyřikrát větší, přímý
c) čtyřikrát menší, převrácený ? [1,25 f, 0,75 f, 5 f] Na vrstvu oleje o tlouštce 2.10-7 m, která je na vodě o indexu lomu 1,33 dopadá kolmo bílé světlo. Která barva v odraženém světle vyhasne a která bude nejsilněji odražena, je-li rychlost světla v oleji 2.108 m.s-1 ? [400 nm, 600 nm] Dva koherentní červené paprsky o vlnové délce 0.7 µm se setkají v jednom bodě. Jejich dráhový rozdíl je 0.35 mm. Nastane maximum nebo minimum? [maximum] Předmět vysoký 1 cm je umístěný 30 cm před spojkou, jejíž ohnisková vzdálenost je 20 cm. Určete vzdálenost obrazu od spojky a jeho zvětšení. [60 cm, -2] Před tenkou spojku s ohniskovou vzdáleností 0,20 m umístíme předmět ve vzdálenosti 0,25 m. Určete, v jaké vzdálenosti se vytvoří obraz. [100 cm]
