Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava
TEORIE OBVODŮ II učební text
Petr Orság a kolektiv
Ostrava 2012
Recenze: Prof. Ing, Josef Paleček, CSc. Mgr. Tomáš Fismol
Název: Autor: Vydání: Počet stran: Náklad:
Teorie obvodů II Petr Orság a kolektiv první, 2012 162 20
Studijní materiály pro studijní obory Měřicí a řídicí technika, Aplikovaná a komerční elektronika, Biomedicínský technik, Elektroenergetika fakulty Elektrotechniky a informatiky Jazyková korektura: nebyla provedena. Určeno pro projekt: Operační program Vzděláváním pro konkurenceschopnost Název: Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu
Číslo: CZ.1.07/2.2.00/07.0339 Realizace: VŠB – Technická univerzita Ostrava Projekt je spolufinancován z prostředků ESF a státního rozpočtu ČR © Petr Orság © VŠB – Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-248-2598-4
OBSAH
Pokyny ke studiu 4 Trojfázové obvody 6 Prvky trojfázového obvodu 6 Zapojení zdrojů 9 Zapojení zátěže 13 Analýza trojfázových obvodů 16 Přechodné jevy 23 Analýza přechodných dějů 23 Řešení obvodů 1. řádu 25 Řešení obvodů 2. řádu 34 Dvojbrany 43 Popis a rozdělení dvojbranů 43 Matematické a obvodové modely dvojbranů 46 Vzájemné vztahy mezi charakteristikami dvojbranů 54 Řazení dvojbranů 57 Vybrané dvojbrany 63 Přenosy, obrazové parametry dvojbranů, zpětná vazba, OZ 71 Přenosy dvojbranů 71 Obrazové parametry souměrného dvojbranu 77 Operační zesilovač 83 Obvody s proměnnými parametry. Fázorové čáry, amplitudové a fázové charakteristiky, Bodeho metoda 93 5.1. Hodografy jednoduchých obvodů s proměnným parametrem 94 5.2. Kmitočtové charakteristiky 100 5.3. Bodeho charakteristiky 102 113 6. Zesílení, činitelé zesílení 6.1. Charakteristiky bipolárního tranzistoru 113 6.2. Nastavení pracovního bodu bipolárního tranzistoru 119 7. Obvody s rozprostřenými parametry, homogenní vedení při harmonickém napájení 130 7.1. Definice obvodu s rozprostřenými parametry 130 7.2. Homogenního vedení při harmonickém napájení 133 Laboratorní úlohy 143
1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 4. 4.1. 4.2. 4.3. 5.
POKYNY KE STUDIU Teorie obvodů II Pro předmět Teorie obvodů II 2. semestru oborů Elektrotechnika a Projektování elektrických zařízení jste obdrželi studijní balík obsahující • • • • •
integrované skriptum pro distanční studium obsahující i pokyny ke studiu CD-ROM s doplňkovými animacemi vybraných částí kapitol harmonogram průběhu semestru a rozvrh prezenční části rozdělení studentů do skupin k jednotlivým tutorům a kontakty na tutory kontakt na studijní oddělení
Prerekvizity Pro studium tohoto předmětu se předpokládá absolvování předmětu Teorie obvodů I. Cílem předmětu je naučit studenty tvůrčím způsobem aplikovat fyzikální zákony a principy při analýze elementárních jevů ve trojfázových obvodech, přechodných jevech, dvojbranech lineárních i nelineárních a vedeních s rozloženými parametry. Poznatky z teorie obvodů patří mezi základní znalosti, které student uplatní v celém průběhu studia. Po absolvování výuky předmětu Teorie obvodů II by měl student být schopen vypočítat napětí a proudy kdekoliv v obvodu a na jejich základě posuzovat vlastnosti elektrických zařízení. Pro koho je předmět určen Modul je zařazen do letního semestru bakalářského studia oborů Měřicí a řídicí technika, Aplikovaná a komerční elektronika, Biomedicínský technik, Elektroenergetika studijního programu Elektrotechnika, Projektování elektrických zařízení a Mechatronika. V prezenční formě studia je výuka zajištěna dvěma hodinami přednášek, dvěma hodinami výpočetních cvičení a dvěma hodinami laboratorních cvičení týdně ve 14-ti týdenním semestru, tedy celkem 84 hodinami. Laboratorní cvičení vedou dva pedagogové. Prezenční forma studia se liší od kombinované počtem měřených laboratorních úloh. Kombinovaná forma studia je tvořen sedmi tutoriály, z nichž dva zahrnují laboratorní cvičení a je určena studentům, kteří jsou schopni samostatně studovat a mají dostatečnou motivaci a odpovědnost za svůj vzdělávací postup. Skriptum se dělí na části, kapitoly, které odpovídají logickému dělení studované látky, ale nejsou stejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke studiu kapitoly se může výrazně lišit, proto jsou velké kapitoly děleny dále na číslované podkapitoly a těm odpovídá níže popsaná struktura. Při studiu každé kapitoly doporučujeme následující postup:
Čas ke studiu: xx hodin Na úvod kapitoly je uveden čas potřebný k prostudování látky. Čas je orientační a může vám sloužit jako hrubé vodítko pro rozvržení studia celého předmětu či kapitoly. Někomu se čas 4
může zdát příliš dlouhý, někomu naopak. Jsou studenti, kteří se s touto problematikou ještě nikdy nesetkali a naopak takoví, kteří již v tomto oboru mají bohaté zkušenosti.
Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět • • •
popsat ... definovat ... vyřešit ...
Ihned potom jsou uvedeny cíle, kterých máte dosáhnout po prostudování této kapitoly – konkrétní dovednosti, znalosti.
VÝKLAD Následuje vlastní výklad studované látky, zavedení nových pojmů, jejich vysvětlení, vše doprovázeno obrázky, tabulkami, řešenými příklady, odkazy na animace.
Shrnutí pojmů 3.1. Na závěr kapitoly jsou zopakovány hlavní pojmy, které si v ní máte osvojit. Pokud některému z nich ještě nerozumíte, vraťte se k nim ještě jednou.
Otázky 2.1. Pro ověření, že jste dobře a úplně látku kapitoly zvládli, máte k dispozici několik teoretických otázek.
Úlohy k řešení 2.1. Protože většina teoretických pojmů tohoto předmětu má bezprostřední význam a využití v databázové praxi, jsou Vám nakonec předkládány i praktické úlohy k řešení. V nich je hlavní význam předmětu a schopnost aplikovat čerstvě nabyté znalosti při řešení reálných situací hlavním cílem předmětu.
KLÍČ K ŘEŠENÍ Výsledky zadaných příkladů i teoretických otázek výše jsou uvedeny v závěru učebnice v Klíči k řešení. Používejte je až po vlastním vyřešení úloh, jen tak si samokontrolou ověříte, že jste obsah kapitoly skutečně úplně zvládli. Úspěšné a příjemné studium s touto učebnicí Vám přeje autor výukového materiálu Petr Orság 5
1. TROJFÁZOVÉ OBVODY Čas ke studiu: 2 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět • • • • •
modelovat trojfázový zdroj a trojfázovou zátěž vymezit souměrný zdroj a symetrickou zátěž vytvořit trojfázovou soustavu napětí a rozlišovat sled jejich fází definovat vyváženou soustavu napětí vymezit podmínku optimálního provozu trojfázového zdroje
Výklad Trojfázový obvod vznikne spojením trojfázového zdroje a trojfázové zátěže vedením.
1.1. Prvky trojfázového obvodu Trojfázový zdroj
Trojfázový zdroj vznikne spojením tří samostatných jednofázových zdrojů stejného úhlového kmitočtu ω o okamžitých hodnotách uA A'
u A = U mA sin (ω t + ψ A ) ,
A
uB
u B = U mB sin (ω t + ψ B )
B
B'
u C = U mC sin (ω t + ψ C )
uC C'
C
u
Jsou-li amplitudy napětí ve všech fázích stejné a jsou-li shodné i fázové posuny mezi dvěma po sobě následujícími fázemi nazýváme zdroj souměrným. Pro takový zdroj platí A
0
B
T/3
T
2T/3
U m = U mA = U mB = U mC
a
ψ A −ψ A = k
Podle pořadí fází zdroje může získat sled fází A, B, C nebo A, C, B. 6
A
C
t
u
A
0
C
T/3
A
B
T
2T/3
t
Je-li součet okamžitých hodnot fázových napětí v každém časovém okamžiku nulový, platí u A + u B + uC = 0
a mluvíme o vyvážené soustavě napětí zdroje. Příklad 1.1. Trojfázová
soustava
napětí
je
popsána
průběhy
napětí
u A = 2 ⋅ 230 sin (2 π⋅ 50 t ) ,
u B = 2 ⋅ 230 sin (2π⋅ 50 t ) a u C = 2 ⋅ 230 sin (2π⋅ 50 t ) . Je tato soustava souměrná?
♦Řešení: Efektivní hodnoty fázových napětí mají hodnotu 230 V a jsou stejné. Kmitočty napětí mají hodnotu 50 Hz a jsou stejné. Fázové posuny dvou po sobě jsoucích fází nemají žádny posun a jsou tudíž stejné. Tato soustava tedy splňuje podmínky souměrnosti a je souměrná.
Trojfázová zátěž
Trojfázovou zátěž vznikne spojením tří imitancí. Mají-li imitance stejné komplexní hodnoty mluvíme o symetrické zátěži. Připojíme-li ji k souměrnému zdroji, je zatěžován symetricky, jeho celkový okamžitý výkon p je konstantní a roven hodnotě p = u A i A + u B i B + u C i C = p A + p B + p C = PA + PB + PC = 3PA = konst. ,
u
kde PA, PB, PC jsou fázové činné výkony zdroje. Za těchto podmínek je trojfázový zdroj optimálně provozován.
A
B
0
C
T
7
t
i
A
B
C
T
t
T
t
p
0
A
B
C
0 Příklad 1.2.
Trojfázová zátěž má ve svých fázích zapojený každý jeden ze základních pasivních obvodových prvků o hodnotě impedance 1 Ω. Jedná se o souměrnou zátěž?
♦Řešení: Zátěž není souměrná, jelikož imitance mají různý charakter a tudíž jejich komplexní hodnota je různá. Je-li např. v 1. fázi rezistor, 2. fázi induktor a 3. fázi kapacitor jsou jejich hodnoty imitancí následující: impedance Zˆ 1 = 1 = 1 e j0° Ω resp. admitance Yˆ1 = 1 = 1 e j0° S , Zˆ 2 = −1j = 1 e -j90° Ω resp. Yˆ2 = 1 j = 1 e j90° S a Zˆ 3 = 1j = 1 e j90° Ω resp. Yˆ3 = −1j = 1 e -j90° S .
1‘
1
Zˆ 1, Yˆ 1
R 2‘
2
3
C
1‘
1
2‘
2
Zˆ 2, Yˆ 2 3‘
3‘
3
L
Zˆ 3, Yˆ 3
Shrnutí pojmů 1.1. Trojfázový obvod vznikne spojením trojfázového zdroje a trojfázové zátěže. Trojfázová soustava napětí se používá pro své výhodné vlastnosti k výrobě, rozvodu a spotřebě elektrické energie. 8
Souměrný trojfázový zdroj, souměrná trojfázová soustava napětí, fáze, sled fází, symetrická trojfázová zátěž, vyvážená soustava napětí, podmínka optimálního provozu trojfázového zdroje.
Otázky 1.1. 1. Jak modelujeme trojfázový zdroj napětí? 2. Co musí být splněno, aby trojfázový zdroj byl souměrný? 3. Vyložte významy pojmu fáze. 4. Čím je dán sled fázových napětí zdroje? 5. Co musí být splněno, aby trojfázová zátěž byla symetrická?. 6. Napište podmínku vyváženosti trojfázové soustavy napětí. 7. Napište podmínku optimálního provozu trojfázového zdroje. 8. Jakou velikost mají fázové proudy a napětí trojfázového zdroje, je-li optimálně
provozován?
Úlohy k řešení 1.1. 1. Určete hodnoty impedance fází pasivní zátěže a rozhodněte, je-li zátěž symetrická či ne, znáte-li hodnoty fázových veličin trojfázové zátěže s harmonickými průběhy napětí a proudů U 1 = 400 V , S1 = 10 kVA , sin ϕ1 = 0,5 , U 2 = 400 V , P2 = 8,66 kW , Q 2 = 5 kvar , U 3 = 400 V , I 3 = 20 A , Q3 = 5 kvar .
1.2. Zapojení zdrojů Trojfázový zdroj vytvoříme zapojením jednofázových zdrojů do hvězdy (Y) nebo do trojúhelníku (D). Souměrný trojfázový zdroj vytváří soustavu napětí s okamžitými hodnotami u A = U m sin (ω t ) = 2 U sin (ω t ) , u B = U m sin (ω t − 120°) = 2 U sin (ω t − 120°) ,
u C = U m sin (ω t + 120°) = 2 U sin (ω t + 120°) ,
které reprezentují v komplexní rovině fázory napětí Uˆ A = Uˆ A (0) = U e j0° ,
Uˆ B = Uˆ B (0) = U e − j120° , Uˆ C = Uˆ C (0) = U e j120°
a jejich grafické uspořádání nazýváme fázorový diagram napětí zdroje.
9
u
+1
A
B
ÛA
C
t
T
0
+j
ÛC
ÛB
Poznamenejme jen, že souřadný systém os komplexní roviny je z historických důvodů v trojfázových obvodech natočen oproti zvyklostem o 90°.
Zapojení zdrojů do hvězdy
Zapojení do hvězdy vznikne spojením začátků A, B, C resp. konců A‘, B‘, C‘ svorek tří samostatných jednofázových zdrojů do společného uzlu N, který je vyveden tak zvaným nulovým vodičem. Pro fázory napětí tohoto zdroje platí Uˆ AN = Uˆ A = U e j0° ,
Uˆ BN = Uˆ B = U e − j120° , Uˆ CN = Uˆ C = U e j120° .
ÛA A
A‘
ÛB
+1
B‘
B
ÛAN=ÛA ÛBN
ÛC C
A‘
ÛAN
ÛCN=ÛC N
C‘ ÛCN
C C‘
A
ÛAN=ÛA
ÛBN=ÛB +j
B B‘
ÛCN=ÛC ÛBN=ÛB
N
Kromě fázových napětí proti společnému uzlu N v zapojení do hvězdy definujeme i sdružená napětí mezi nepropojenými konci svorek zdroje u AB = u A − u B = 2 U sin (ω t ) − 2 U sin (ω t − 120°) = 6 U sin (ω t + 30°) , u BC = u B − u C = 2 U sin (ω t − 120°) − 2 U sin (ω t + 120°) = 6 U sin (ω t − 90°) , 10
u
u CA = u C − u A = 2 U sin (ω t + 120°) − 2 U sin (ω t ) = 6 U sin (ω t + 150°)
AB
BC
CA
0
T
t
nebo v komplexní rovině Uˆ AB = Uˆ A − Uˆ B = U e j0° − U e − j120° = 3 U e j30° , Uˆ BC = Uˆ B − Uˆ C = U e − j120° − U e j120° = 3 U e − j90° ,
Uˆ CA = Uˆ C − Uˆ A = U e j120° − U e j0° = 3 U e j150° .
ÛA A
A‘
A‘
ÛAB ÛB
+1
ÛA
ÛC
ÛBC ÛCA uCA C‘ C‘
A
ÛC C
ÛAB ÛA
B‘
B
C
-ÛB ÛAB
ÛB
+j ÛCA
B
B‘ ÛBC
ÛC
ÛB
-ÛC
ÛBC
-ÛA
Fázová napětí jsou definována v čtyřvodičové napájecí soustavě a sdružená napětí v třívodičové napájecí soustavě.
Zapojení zdrojů do trojúhelníka
Zapojení do trojúhelníka vznikne spojením začátků jedněch a konců jiných, odlišně označených svorek tří samostatných jednofázových zdrojů do série. Existují dvě možnosti zapojení trojfázového zdroje, z nichž uvažujme variantu propojení svorek A‘B, B‘C, C‘A. Souměrná soustava napětí je definována rovnicemi u AB = u A = 2 U sin (ω t ) , 11
u BC = u B = 2 U sin (ω t − 120°) .
u
u CA = u C = 2 U sin (ω t + 120°)
AB
BC
CA
0
T
t
a v komplexní rovině Uˆ AB = Uˆ A = U e j0° ,
Uˆ BC = Uˆ B = U e − j120° , Uˆ CA = Uˆ C = U e j120° .
ÛA A
A‘ ÛAB
C
+1
A‘
ÛAB=ÛA
ÛCA=ÛC
ÛAB=ÛA
ÛB B
B‘ ÛBC ÛC
C
A
C‘ B ÛCA
B‘
+j
ÛCA=ÛC
ÛBC=ÛB
ÛBC=ÛB
C‘
V zapojení do trojúhelníku jsou fázová napětí zdroje rovna sdruženým napětím trojvodičové napájecí soustavy.
VIRTUÁLNÍ LABORATOŘ Možné varianty způsobů propojení svorek trojfázového zdroje si můžete vyzkoušet ve virtuální laboratoři, aplikace 1_3_Vytvor3fzdroj.xls, 1_4_VytvorLomenouHvezdu.xls.
12
Shrnutí pojmů 1.2. Zapojením trojfázových zdrojů do hvězdy nebo trojúhelníku můžeme vytvořit různé napájecí soustavy. Napětí obou zapojení trojfázových zdrojů mohou být vyvedeny trojvodičově a zdroje zapojeného do hvězdy i čtyřvodičově. Napětí trojvodičové soustavy nazýváme sdružená. V čtyřvodičové soustavě kromě sdružených napětí existují i napětí fázová, která jsou definována vůči nulovému vodiči soustavy. Zapojení trojfázového zdroje do hvězdy, zapojení trojfázového zdroje do trojúhelníku, fázové napětí, sdružené napětí, trojvodičová napájecí soustava, čtyřvodičová napájecí soustava, nulový vodič.
Otázky 1.2. 1. Kolika způsoby lze zapojit trojfázový zdroj do hvězdy a trojúhelníka? Nakreslete všechny varianty zapojení. 2. Mění se fázový posun mezi po sobě následujícími časovými průběhy napětí napájecích soustav vytvářených trojfázovými zdroji zapojenými do hvězdy? 3. Jak se mění počáteční fáze časových průběhů napětí resp. natočení fázorů napětí napájecích soustav vytvářených trojfázovými zdroji zapojených do hvězdy a trojúhelníku? 4. Jak poznáme z fázorového diagramu, že zdroj je vyvážený? 5. Která napětí rozlišujeme v čtyřvodičové napájecí soustavě? 6. Co je to nulový vodič?
Úlohy k řešení 1.2. 1. Odvoďte z fázorového diagramu vztah mezi fázovým a sdruženým napětím na základě podobnosti trojúhelníků.
1.3. Zapojení zátěže Trojfázovou zátěž s impedancemi Zˆ 1 , Zˆ 2 , Zˆ 3 nebo admitancemi Yˆ1 , Yˆ2 , Yˆ3 můžeme zapojit do hvězdy nebo trojúhelníku.
Zapojení zátěže do hvězdy
Zapojení zátěže do hvězdy vznikne spojením začátků 1, 2, 3 resp. konců svorek 1‘, 2‘, 3‘ tří samostatných imitancí do společného uzlu, který označme 0. Tuto zátěž můžeme ke zdroji připojit troj nebo čtyřvodičově.
13
1‘
1
1
Zˆ 1, Yˆ 1 2‘
2
Zˆ 2, Yˆ 2 3‘
3 0
Zˆ 3, Yˆ 3
Zˆ 1, Yˆ 1 0
Zˆ 3, Yˆ 3
Zˆ 2, Yˆ 2
3
2
Zapojení zátěže do trojúhelníku
Zapojení zátěže do trojúhelníku vznikne spojením začátků jedněch a konců jiných, odlišně označených svorek tří samostatných imitancí. Tuto zátěž můžeme ke zdroji připojit pouze trojvodičově.
1
1‘ Zˆ 1, Yˆ 1
3‘ 2‘
2 Zˆ 2, Yˆ 2 3
1
Zˆ 1, Yˆ 1
Zˆ 3, Yˆ 3
1‘
3 2‘
3‘
Zˆ 2, Yˆ 2
2
Zˆ 3, Yˆ 3
Trojfázové vedení
Vedení z pohledu svorek trojfázového zdroje představuje další zátěž, která je kaskádně včleněna mezi zdroj a trojfázovou zátěž. Symetrické vedení charakterizujeme imitancemi fází vedení Zˆ v , Yˆv případně nulového vodiče Zˆ 0 , Yˆ0 . Mají-li imitance nulovou hodnotu, mluvíme o vedení ideálním. Napětí a proudy vedení nazýváme síťové.
14
A‘
A‘
1
1 Zˆ v1, Yˆ v1
B‘
B‘
2
2 Zˆ v 2, Yˆ v 2
C‘
C‘
3
3 Zˆ v 3, Yˆ v 3
N
N
0
0 Zˆ 0, Yˆ 0
Pro další výklad uvažujme idealizované vedení doplněné o imitanci nulového vodiče.
Shrnutí pojmů 1.3. Trojfázovou zátěž zapojujeme do hvězdy a trojúhelníku. Zátěž do hvězdy lze ke zdroji připojit troj nebo čtyřvodičovým vedením, zátěž do trojúhelníku jen trojvodičovým vedením. Veličiny vedení nazýváme síťové. Zapojení trojfázové zátěže do hvězdy, zapojení trojfázové zátěže do trojúhelníku, trojfázové vedení, síťové napětí, síťový proud.
Otázky 1.3. 1. Čím modelujeme trojfázové spotřebiče v harmonicky ustáleném stavu? 2. Kolika způsoby lze zapojit trojfázovou zátěž do hvězdy a trojúhelníka? Nakreslete všechny varianty zapojení. 3. Kolik vodičů může mít trojfázové vedení? 4. Jak nazýváme napětí a proudy vedení?
Úlohy k řešení 1.3. 1. Je dána souměrná ohmická zátěž zapojená do trojúhelníka, nahraďte tuto zátěž
ekvivalentním zapojením zátěže do hvězdy a stanovte hodnoty náhradních odporů zátěže.
15
1.4. Analýza trojfázových obvodů Analýzu a řešení trojfázových obvodů v harmonicky ustáleném stavu provádíme v komplexní rovině obecnými metodami řešení elektrických obvodů nebo přímou aplikaci Kirchhoffových zákonů a Ohmova zákona v symbolickém tvaru. Prvním krokem řešení je zakreslení počítacích šipek opatřených symboly hledaných komplexních hodnot napětí a proudů do schématu zapojení trojfázového obvodu.
Zdroj a zátěž zapojené do hvězdy
Řešení tohoto obvodu proveďme užitím Milmanovy věty, pomocí které nejprve určíme hodnotu napětí Uˆ Yˆ + Uˆ BYˆ2 + Uˆ CYˆ3 Uˆ 0 = A 1 . Yˆ1 + Yˆ2 + Yˆ3 + Yˆ0
Fázová napětí zátěže určíme ze známých parametrů zdroje a napětí Û0 užitím 2. Kirchhoffova zákona Uˆ 1 = Uˆ A − Uˆ 0 , Uˆ 2 = Uˆ B − Uˆ 0 ,
Uˆ 3 = Uˆ C − Uˆ 0 .
Fázové proudy obvodu stanovíme pomocí Ohmova zákona v symbolickém tvaru Iˆ1 = Uˆ 1Yˆ1 , Iˆ2 = Uˆ 2 Yˆ2 ,
Iˆ3 = Uˆ 3Yˆ3
a proud nulového vodiče Iˆ0 = Uˆ 0 Yˆ0 .
ÛA
Û1 A‘
A
Zˆ 1, Yˆ 1 Û2
ÛB
Zˆ 2, Yˆ 2 ÛC C
Î1 2‘
2
B‘
B
1‘
1
Î2
Û3 C‘
3
3‘
Zˆ 3, Yˆ 3 Û0 N
Zˆ 0, Yˆ 0 16
Î0
0
Î3
Kontrolu správnosti řešení provedeme dosazením vypočtených proudů obvodu do 1. Kirchhoffova zákona Iˆ1 + Iˆ1 + Iˆ1 = Iˆ0 .
Zdroj zapojený do hvězdy a zátěž zapojená do trojúhelníku
Tento obvod řešme přímou aplikací 1. a 2. Kirchhoffova zákona. Fázová napětí zátěže určíme užitím 2. Kirchhoffova zákona Uˆ 1 = Uˆ A − Uˆ B , Uˆ 2 = Uˆ B − Uˆ C ,
Uˆ 3 = Uˆ C − Uˆ A .
Fázové proudy zátěže stanovíme z Ohmova zákona v symbolickém tvaru Iˆ1 = Uˆ 1Yˆ1 , Iˆ2 = Uˆ 2 Yˆ2 ,
Iˆ3 = Uˆ 3Yˆ3 .
Síťové proudy určíme užitím 1. Kirchhoffova zákona pro uzly zátěže IˆA = Iˆ1 − Iˆ3 , IˆB = Iˆ2 − Iˆ1 ,
IˆC = Iˆ3 − Iˆ2 .
Kontrolu správnosti řešení provedeme dosazením vypočtených síťových proudů do 1. Kirchhoffova zákona IˆA + IˆB + IˆC = 0 .
Fázové výkony zdroje a zátěže i výkon nulového vodiče počítáme stejným způsobem jako v jednofázových střídavých obvodech v harmonicky ustáleném stavu. Výkon zdroje a příkon zátěže získáme sečtením fázových výkonů. ÛA A
ÎA 1
A‘
Zˆ 1, Yˆ 1
ÛB
C
ÎB 2
B‘
B
Û1
Û2
Zˆ 2, Yˆ 2
ÛC ÎC 3
C‘
Û3
Zˆ 3, Yˆ 3
17
1‘ Î1 2‘ Î2 3‘
Î3
Příklad 1.3. Je dán trojfázový obvod složený ze souměrného zdroje napětí o efektivní hodnotě napětí 1 V a zátěže nakreslené na obrázku. Pro velikost impedancí fází zátěže platí Zˆ 1 = Zˆ 2 = Zˆ 3 = 1 Ω . Stanovte fázové výkony zátěže. Uvažujte počítací šipky veličin obvodu zavedené na obrázku.
ÛA
Û1 A‘
A
Zˆ 1 Û2
ÛB
Zˆ 2
ÛC C
Î1 2‘
2
B‘
B
1‘
1
Î2
Û3 C‘
3
3‘
Zˆ 3 N
0
Û0
♦Řešení: Impedance fází zátěže jsou Zˆ 1 = 1 Ω , Zˆ 2 = − j Ω , Zˆ 3 = j Ω ,
takže pro jejich admitance platí 1 1 Yˆ1 = = =1 S, Zˆ 1 1 1 1 Yˆ2 = = = jS, Zˆ 2 − j
1 1 Yˆ3 = = = −jS. ˆ Z1 j
Uvažujme následující hodnoty fázových napětí zdroje Uˆ A = 1 V ,
1 3 Uˆ B = 1 e - j120° = − − j V, 2 2 1 3 Uˆ C = 1 e j120° − + j V. 2 2 18
Î3
Zátěž není symetrická, takže musíme nejprve vypočítat hodnotu nulového napětí ⎛ 1 ⎛ 1 3 ⎞ 3 ⎞ 1 ⋅ 1 + ⎜⎜ − − j ⎟⎟ ⋅ j + ⎜⎜ − + j ⎟ ⋅ (- j) 2 2 ⎠ 2 2 ⎟⎠ Uˆ A Yˆ1 + Uˆ B Yˆ2 + Uˆ C Yˆ3 1+ 3 ⎝ ⎝ Uˆ 0 = = = = 1+ 3 V , ˆ ˆ ˆ ˆ Y1 + Y2 + Y3 + Y0 1 + j + (− j) 1
pomocí kterého vypočteme fázová napětí zátěže
(
)
Uˆ 1 = Uˆ A − Uˆ 0 = 1 − 1 + 3 = − 3 =& −1,732V ,
(
)
(
)
1 3 3 3 Uˆ 2 = Uˆ B − Uˆ 0 = − − j − 1+ 3 = − − 3 − j =& −3,232 − 0,866 j V , 2 2 2 2 Uˆ 3 = Uˆ C − Uˆ 0 = −
1 3 3 3 j − 1+ 3 = − − 3 + + j =& −3,232 + 0,866 j V . 2 2 2 2
Fázové proudy vypočítáme pomocí Ohmova zákona v symbolickém tvaru
(
)
Iˆ1 = Yˆ 1Uˆ 1 = 1 ⋅ − 3 = − 3 =& −1,732A ,
⎛ 3 3 ⎞ 3 ⎛3 ⎞ Iˆ2 = Yˆ 2Uˆ 2 = j ⋅ ⎜⎜ − − 3 − j ⎟⎟ = − ⎜ + 3 ⎟ j =& 0,866 − 3,232 j A , 2 ⎠ 2 ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎛ 3 3 ⎞ 3 ⎛3 ⎞ j ⎟⎟ = Iˆ3 = Yˆ 3Uˆ 3 = − j ⋅ ⎜⎜ − − 3 + + ⎜ + 3 ⎟ j =& 0,866 + 3,232 j A . 2 2 2 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
Kontrola správnosti řešení 3 ⎛3 3 ⎛3 ⎞ ⎞ Iˆ1 + Iˆ1 + Iˆ1 = − 3 + −⎜ + 3⎟j+ + ⎜ + 3⎟j = 0 A . 2 ⎝2 2 ⎝2 ⎠ ⎠
Fázové výkony zátěže jsou složkami zdánlivého fázového výkonu zátěže
(
)
Sˆ1 = Uˆ 1 Iˆ1* = − 3 ⋅ − 3 =& −3 VA , *
Sˆ 2 = Uˆ 2 Iˆ2*
⎛ 3 ⎛ 3 3 ⎞ ⎡ 3 ⎛3 3 ⎞ ⎡ 3 ⎛3 ⎞⎤ ⎞⎤ = ⎜⎜ − − 3 − − ⎜ + 3 ⎟ j⎥ = ⎜⎜ − − 3 − + ⎜ + 3 ⎟ j⎥ =& j⎟⎟ ⋅ ⎢ j ⎟⎟ ⋅ ⎢ 2 ⎠ ⎣ 2 ⎝2 2 ⎠ ⎣ 2 ⎝2 ⎠⎦ ⎠⎦ ⎝ 2 ⎝ 2
=& −11,196 j VA, *
Sˆ 3 = Uˆ 3 Iˆ3*
⎛ 3 ⎛ 3 3 ⎞ ⎡ 3 ⎛3 3 ⎞ ⎡ 3 ⎛3 ⎞⎤ ⎞⎤ + ⎜ + 3 ⎟ j⎥ = ⎜⎜ − − 3 − − ⎜ + 3 ⎟ j⎥ =& = ⎜⎜ − − 3 + j⎟⎟ ⋅ ⎢ j ⎟⎟ ⋅ ⎢ 2 ⎠ ⎣ 2 ⎝2 2 ⎠ ⎣ 2 ⎝2 ⎠⎦ ⎠⎦ ⎝ 2 ⎝ 2
=& 11,196 j VA,
takže fázový výkon 1. fáze zátěže je činný a má hodnotu P1 = 3 W , fázové výkony zbývajících fází jsou jalové a mají hodnoty Q2 = −11,196 var a Q3 = 11,196 var . Výkon 2. fáze je kapacitní a výkon 3. fáze je induktivní.
19
VIRTUÁLNÍ LABORATOŘ K procvičení analýzy trojfázových obvodů v různých provozních stavech a ke kontrole ručních výpočtů řešení trojfázového obvodu dle vámi zvolených parametrů můžete použít aplikace 1_1_Hvezda.xls, 1_2_Trojuhelnik.xls, 1_5_LomenaHvezda.xls.
Shrnutí pojmů 1.4. Analýzu trojfázových obvodů v harmonicky ustáleném stavu provádíme v komplexní rovině. Řešení obvodu se zdrojem i zátěží zapojenou do hvězdy, kde fázový proud zdroje je roven fázovému proudu zátěže vychází z hodnoty napětí nulového vodiče, stanoveného pomocí Milmanovy věty. Řešení obvodu se zdrojem zapojeným do hvězdy a zátěží do trojúhelníka vychází ze sdružených napětí zdroje, která jsou rovny fázovým napětím zátěže. Analýza trojfázového obvodu, nulové napětí.
Otázky 1.4. 1. Co je jádrem řešení trojfázového obvodu se zdrojem a zátěží zapojenými do hvězdy? 2. Kdy jsou fázová napětí zátěže a zdroje zapojených do hvězdy stejná? 3. Jak se projeví přerušení nulového vodiče u symetrické a nesymetrické zátěže zapojené do hvězdy? 4. Jaký následek má zkrat v jedné fázi zátěže zapojené do hvězdy a trojúhelníka?
Úlohy k řešení 1.4. 1. Určete hodnotu příkonu trojfázové zátěže z obrázku platí-li pro velikost fázových impedancí Zˆ 1 = Zˆ 2 = Zˆ 3 = 10 Ω , má-li souměrný trojfázový zdroj efektivní hodnotu napětí 10 V. ÛA A‘
A
1‘
1
R ÛB
C
2‘
2
B‘
B
C
ÛC C‘
3
3‘ L
20
Klíč k řešení 1. Zˆ 1 = 8( 3 + j)Ω , Zˆ 2 = 8( 3 + j)Ω , Zˆ 3 =& 16,013 + 11,983 j Ω . Zátěž není symetrická. 2. ÛA ÛAB +1
Uˆ AB
ÛAB
cos 30° =
30°
ÛA
Uˆ AB = 3 ⋅ Uˆ A
60° +j
3 = 2 2 Uˆ A
ÛB
ÛC ÛCA
ÛBC
ÛB
3. 1
1
R1 RC
RA R3 2
3
3
R2 2
RB R1 =
R A RC , R A + RB + RC
R2 =
RA RB , RA + RB + RC
R3 =
RB R C , R A + RB + R C
R = R A = R B = RC , R1 = R 2 = R3 =
1 R. 3
U2 4. P = 1 + 0 + 0 = R
(
3 ⋅10 10
)
2
= 30 W .
Zadání samostatné práce č. 1: Na straně souměrné zátěže zapojené do hvězdy nebo trojúhelníka připojené k souměrnému trojfázovému zdroji třemi vodiči vytvořte jednoduchý poruchový stav 21
přerušením a zkratem jedné její fáze. Nakreslete obvodová schémata respektující oba poruchové stavy, zakreslete do nich počítací šipky obvodových veličin a vytvořte obecný matematický model těchto obvodů. Zvolte hodnoty parametrů zdroje a zátěže, obvody vyřešte ve virtuální laboratoři (aplikace 1_1_Hvezda.xls, 1_2_Trojuhelnik.xls), zobrazte fázorové diagramy obvodů, do tabulek uveďte vypočtené efektivní hodnoty obvodových veličin a hodnoty výkonů na straně zdroje a zátěže. Posuďte fázorové diagramy a vypočtené hodnoty v tabulkách, jak na straně zdroje a zátěže, tak i navzájem.
Další zdroje [1] Mikulec, M.; Havlíček, V.: Základy teorie elektrických obvodů. Skriptum ČVUT Praha1999; článek 7.11 [2] Mayer, D.: Úvod do teorie elektrických obvodů. SNTL/ALFA, Praha 1981, kapitola 11
22
2. PŘECHODNÉ DĚJE Čas ke studiu: 4 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět • • • • •
definovat příčiny vzniku přechodného děje a stanovit počáteční podmínky určit řád obvodu ( z hlediska přechodného děje) sestavit obvodové rovnice v časové oblasti řešit přechodné děje v obvodech 1. a 2. řádu posoudit význam časové konstanty obvodu ( z hlediska ustálení stavu obvodu)
Výklad Přechodný děje popisuje chování obvodu mezi jeho dvěma ustálenými stavy. Je vyvolám změnou topologické struktury obvodu a modelujeme ho spínačem, odpínačem nebo přepínačem. Energie akumulovaná v pasivních prvcích definuje počáteční podmínky stavových veličin obvodu.
2.1.
Analýza přechodných dějů
Počáteční podmínky
Počáteční podmínky dělíme na fyzikální a matematické. Matematické jsou počáteční podmínky řešení rovnic popisujících chování obvodu v přechodném ději. Určujeme je z fyzikálních počátečních podmínek. Fyzikální souvisí s elektrickou energií akumulovanou v kapacitorech a induktorech obvodu, která se vždy mění spojitě stejně jako stavové veličiny akumulačních prvků obvodu. Stavovou veličinou kapacitoru je napětí. Stavovou veličinou induktoru je proud. Počáteční podmínku napětí zapisujeme u(0+) = u(0-) a proudu i(0+)= i(0-), kde časový okamžik 0- označuje hodnotu veličiny před počátkem přechodného děje a časový okamžik 0+ těsně po zahájení přechodného děje. Příklad 2.1. Stanovte počáteční podmínky stavových veličin obvodu na obrázku. Předpokládejte, že kapacitor není nabitý.
R
S
t=0 s
L
RL
Uo C
♦Řešení: 23
Počáteční podmínky určujeme pro obvod z obrázku. uR
i
R RL uRL
S Uo uC
iC
iL
C
L
uL
Větev s kapacitorem je rozpojená, neprochází ní proud a nemusíme ji uvažovat pro stanovení ustálené hodnoty proudu, platí tedy iL(0-) = i(0-). Protože kapacitor je vybitý, je jeho ustálená hodnota napětí nulová, tedy uC(0-) = 0 V a pro počáteční podmínku napětí kapacitoru platí uC(0+) = uC(0-) = 0 V. Ustálenou hodnotu proudu určíme pomocí 2. Kirchhoffova zákona z rovnice uR (0− ) + uR L (0− ) + uL (0− ) = R iL (0− ) + RL iL (0− ) + L
diL (0− ) = Uo . dt
V ustáleném stavu stejnosměrného obvodu je napětí uL(0-) = 0 V, takže platí pro ustálený proud obvodu a tím i pro počáteční podmínku proudu induktoru i L (0 + ) = i L (0 − ) =
Uo . R + RL
Shrnutí pojmů 2.1. Stavové veličiny obvodu jsou napětí kapacitorů a proudy induktorů. Mění se spojitě, stejně jako se mění spojitě energie pasivních akumulačních prvků, se kterými úzce souvisí. Definují fyzikální i matematické počáteční podmínky obvodu na počátku přechodného děje. Přechodný děj, stavová veličina, počáteční podmínka, odezva obvodu, přechodová charakteristika.
Otázky 2.1. 1. Proč dochází k přechodnému ději obvodu? 2. Co charakterizuje změnu stavu obvodu? 3. Proč se stavové veličiny mění spojitě? 4. Co jsou to matematické počáteční podmínky obvodu?
24
Úlohy k řešení 2.1. 1. Určete počáteční hodnotu stavové veličiny obvodu na obrázku. Parametry obvodu jsou Uo = 10 V, R1 = 80 kΩ, R2 = 20 kΩ, C = 1 μF. R1 S
t=0 s C
Uo R2
2.2.
Řešení obvodů 1. řádu
Obvod 1. řádu obsahuje rezistory a jeden akumulační prvek kapacitor nebo induktor.
RC obvod
Řešme přechodný děj v RC obvodu na obrázku vlevo. Rovnici popisující přechodný děj sestavíme podle 2. Kirchhoffova pro náhradní schéma vpravo na stejném obrázku. i
Uo
S
R
uS
uR
S
R
Uo
C
C
uC
Po sepnutí spínače S platí uR + uC = U o
a po dosazení R i + uC = R C
du C + uC = U o . dt
Obecná homogenní rovnice obvodu je dána rovnicí s nulovou pravou stranou RC
du C + uC = 0 , dt
Její obecné řešení až na integrační konstantu určíme pomocí kořene charakteristické rovnice R C λ1 + λ0 = R C λ + 1 = 0
λ=−
1 1 =− τ RC 25
ve tvaru u Ch = C1 e λ t = C1 e
−
t
τ
,
kde τ = RC je časová konstanta obvodu. Partikulární řešení nehomogenní rovnice, popisující chování obvodu v ustáleném stavu je u Cp = U o .
Úplné řešení má tvar u C = u Ch + u Cp = C1 e λ t + U o .
Konstantu C1 určíme pomocí známé počáteční podmínky uC(0) u C (0) = C1 e λ ⋅0 + U = C1 + U o C 1 = u C ( 0) − U o ,
takže úplné řešení má konečný tvar po normování u C = (u C (0) − U o ) e
λt
+ U o = U o (1 − e
−
t
τ
) + u C ( 0) e
−
t
τ
a není-li kapacitor nabit u C = U o (1 − e λ t ) = U o (1 − e
−
t
τ
).
uC
Průběh nabíjení nenabitého kapacitoru je na obrázku. Z grafu je zřejmé, že přechodný děj končí prakticky za dobu několika časových konstant. V čase t = τ napětí kapacitoru dosáhne asi 63,2 % (přesně (1-e-1) tiny) ustálené hodnoty napětí U, v časech t = 3τ se přiblíží na 5%, t = 5τ na 1%, t = 7τ na 0,1% k ustálené hodnotě napětí. Časové konstanta je to doba, za kterou dosáhne napětí vybitého kapacitoru (1-e-1) tinu své ustálené hodnoty.
(1-e-1) U
Uo
0
uR uC uo
τ
2τ
4τ
3τ
5τ
6τ
Okamžitou hodnotu proudu obvodu i získáme derivací průběhu napětí kapacitoru t ⎛ − d⎜U o (1 − e τ ⎜ du ⎝ i=C C =C dt dt
⎞ )⎟ ⎟ ⎠
=C
26
Uo
τ
e
−
t
τ
t
=
t
− U o −τ e = IR e τ . R
t
i e-1 IR
IR
0
τ
2τ
4τ
3τ
5τ
6τ
t
Napětí rezistoru určíme z Ohmova zákona uR = R i = U o e
−
t
τ
.
Průběh tohoto napětí je až na měřítko dané hodnotou odporu rezistoru R stejný jako proudu. Podle toho, který z úbytků napětí RC obvodu zvolíme za výstupní, má přechodová charakteristika derivační nebo integrační charakter. RC obvod nazýváme derivačním článkem, je-li výstupem napětí rezistoru a integračním článkem, je-li výstupem napětí kapacitoru. Okamžité výkony obvodu v přechodném ději určíme součinem příslušného napětí obvodového prvku a společného proudu obvodu pR = uR i = U o e
−
t
τ
pC = u C i = U o (1 − e
IR e −
−
t
τ
t
=
t
τ
) IR e
−
t ⎛ −t −2 = PR ⎜ e τ − e τ ⎜ ⎝
t
τ
−
t
τ
= PR e
−
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
t
τ
p
po = U o i = U o I R e
t
−2 U o2 − 2 τ e = PR e τ R
PR
e-1 PR
pR pC po
0
τ
2τ
4τ
3τ
a z nich integrací okamžité hodnoty energií 27
5τ
6τ
t
t
wR =
t
∫
∫
p R dξ = PR e
0
t
wC =
∫ 0
−2
ξ τ
0
t
t ⎡ τ −2 ξ ⎤ ⎞ W −2 τ ⎛ dξ = PR ⎢− e τ ⎥ = PR ⎜1 − e τ 1⎟ = R ⎟ 2 ⎥⎦ 0 2 ⎜⎝ ⎣⎢ 2 ⎠
t ⎛ −t −2 pC dξ = PR ⎜ e τ − e τ ⎜ 0 ⎝ t
∫
t ⎛ − = PR ⎜1 − e τ 2 ⎜⎝
τ
2
t ⎞ ⎛ − ⎟ = W R ⎜1 − e τ ⎟ 2 ⎜⎝ ⎠
t
wo =
∫
ξ ξ ⎞ ⎡ − −2 ⎟ dξ = P ⎢ − τ e τ + τ e τ R ⎟ 2 ⎢⎣ ⎠
t
∫
p o dξ = PR e 0
ξ τ
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
t
t t ⎤ ⎞ − −2 τ ⎛ ⎥ = PR ⎜ − 2 e τ + e τ + 1⎟ = ⎟ ⎥⎦ 0 2 ⎜⎝ ⎠
2
t
t ξ ⎡ ⎛ − ⎤ − dξ = PR ⎢− τ e τ ⎥ = τ PR ⎜1 − e τ ⎜ ⎥⎦ 0 ⎣⎢ ⎝
t ⎞ ⎛ − ⎟ = W ⎜1 − e τ R ⎟ ⎜ ⎠ ⎝
⎞ ⎟. ⎟ ⎠
w
0
−
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
t ⎛ −2 ⎜1 − e τ ⎜ ⎝
(1-e-1)WR/2 (1-e-1)WR
WR
wR wC wo
0
τ
2τ
4τ
3τ
5τ
6τ
t
LR obvod
Řešení tohoto obvodu je analogické. uR
Uo
S
S
R
Uo
L
i
R L
uL
Po sepnutí spínače S platí podle 2. Kirchhoffova zákona uR + uL = U o
a po dosazení získáme obecnou homogenní rovnici Ri+ L
di =Uo . dt
Její obecné řešení až na integrační konstantu určíme pomocí kořene charakteristické homogenní rovnice R i + L
di =0 dt
28
L λ + R = 0,
λ=−
1 R =− L τ
ve tvaru i h = C1 e
λt
= C1 e
−
t
τ
,
kde τ = L/R je časová konstanta obvodu. Partikulární řešení nehomogenní rovnice, popisující chování obvodu v ustáleném stavu je ip =
Uo . R
Úplné řešení má tvar i = i h + i p = C1 e λ t +
Uo . R
Konstantu C1 určíme pomocí známé počáteční podmínky i(0) i (0) = C1 e λ ⋅0 +
Uo U = C1 + o R R
C1 = i ( 0 ) −
Uo , R
takže úplné řešení má konečný tvar po normování U ⎛ i = ⎜⎜ i (0) − o R ⎝
t
t
− − ⎞ λt Uo U = (1 − e τ ) + i (0) e τ ⎟⎟ e + R R ⎠
a byl-li induktor bez proudu t
i=
− Uo (1 − e λ t ) = I R (1 − e τ ) . R
i
Průběh proudu induktoru s nulovým počátečním proudem je na následujícím obrázku.
(1-e-1) IR
IR
0
4τ 5τ 3τ Okamžitou hodnotu napětí rezistoru stanovíme užitím Ohmova zákona
τ
2τ
29
6τ
t
u R = R i = R I R (1 − e
−
t
) = U o (1 − e
τ
−
t
τ
),
která je až na měřítko dané hodnotou odporu rezistoru R stejná jako proud obvodu a napětí induktoru pomocí Faradayova zákona ⎞ )⎟ ⎟ ⎠
=L
IR
τ
e
−
t
τ
t
t
− U L − = o e τ =Uo e τ . R τ
i
t ⎛ − τ ⎜ d I R (1 − e ⎜ di ⎝ uL = L = L dt dt
Uo
e-1 U
uR uL uo
0
τ
2τ
4τ
3τ
5τ
6τ
t
Podle toho, který z úbytků napětí RL obvodu zvolíme za výstupní, má přechodová charakteristika derivační nebo integrační charakter. RL obvod nazýváme derivačním článkem, je-li výstupem napětí induktoru a integračním článkem, je-li výstupem napětí rezistoru. Okamžité výkony obvodu v přechodném ději určíme součinem příslušného napětí obvodového prvku a společného proudu obvodu p R = u R i = U o (1 − e
−
t
τ
) I R (1 − e
pL = u L i = U o e
−
−
t
τ
t t t ⎛ − − −2 U o2 2 τ τ τ ⎜ )= (1 − e ) = PR 1 − 2 e + e ⎜ R ⎝
t
τ
I R (1 − e
po = u o i = U o I R (1 − e
30
−
−
t
τ
t ⎛ −t −2 ) = PR ⎜ e τ − e τ ⎜ ⎝
t
τ
) = PR (1 − e
−
t
τ
)
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
p PR
e-1 PR
pR pL po
0
τ
2τ
4τ
3τ
5τ
6τ
t
a z nich integrací okamžité hodnoty energií t
∫
wR =
0
= t
wL =
∫ 0
ξ ξ ⎛ − −2 p R dξ = PR ⎜1 − 2 e τ + e τ ⎜ 0 ⎝ t
∫
t
ξ ξ ⎞ ⎡ − −2 ⎤ ⎟ dξ = P ⎢ξ + 2 τ e τ − τ e τ ⎥ = R ⎟ 2 ⎢⎣ ⎠ ⎦⎥ 0
t ξ ⎛ t ⎞ − −2 PR ⎜ 2 + 4 e τ − e τ − 3 ⎟ ⎟ 2 ⎜⎝ τ ⎠
τ
t ⎛ −t −2 pL dξ = PR ⎜ e τ − e τ ⎜ 0 ⎝ t
∫
t
wo =
∫p
o
∫
dξ = PR (1 − e 0
−
t
τ
ξ ξ ⎡ − τ −2 ⎢− τ e τ + e τ 2 ⎢⎣
ξ ⎡ − ) dξ = PR ⎢ξ − τ e τ ⎢⎣
t
t ⎤ ⎛ − τ ⎥ = PR ⎜1 − e τ ⎥⎦ 0 2 ⎜⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
t
t ⎤ ⎛t ⎞ − τ − 1⎟ . ⎜ = + P e τ ⎥ R ⎜τ ⎟ ⎥⎦ 0 ⎝ ⎠
w
0
t
⎞ ⎟ dξ = P R ⎟ ⎠
τ ⋅PR
wR wL wo
0
τ
2τ
4τ
3τ
5τ
6τ
Příklad 2.2. Navrhněte řešení, jak omezit velikost napětí spínače S při rozpojení LR obvodu.
♦Řešení: 31
t
Příčinou vzniku vysokého napětí je přerušení proudu induktoru. Aby k němu nedošlo, musíme k induktoru nebo spínači zařadit paralelně větev obvodu, která právě zajistí, že proud induktoru nebude okamžitě přerušen. Zaměřme se podrobněji na druhou variantu řešení, kdy ke spínači paralelně připojíme rezistor RS. uS
t → 0-
iRs
uS
t → 0+
uS
uS uR
RS iS
RS iS
iL
RL
S
U
iRs
S
uL U
L
uR
iL
RL L
Před rozepnutím spínače je ustálená hodnota proudu obvodu iS (0 − ) = i L (0 − ) =
uL
U , která je RL
současně počáteční podmínkou obvodu. Rezistor RS je vyzkratován, takže tato větev má nulový proud. Po rozepnutí spínače je chování obvodu popsáno řešením rovnice odvozeným postupem při připojení LR obvodu k stejnosměrnému zdroji, kde dosadíme za R = RS+RL, τ = počáteční podmínku i (0) = i L (0 + ) = i L (0 − ) = t
i R S = iS =
− U U −τ U (1 − e τ ) + e = RS + R L RL RS + R L
RS U u S = RS i S = RS + R L uRL
t
U , takže získáme RL
t ⎛ − ⎜ 1 + RS e τ ⎜ RL ⎝
RL U = RL i L = RS + R L
⎛ RS − t ⎜1 + e τ ⎜ RL ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
t ⎛ − ⎜1 + RS e τ ⎜ RL ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
t
R − u L = U − uS − u L = U S e τ RL
Po rozepnutí spínače bude na jeho svorkách konečná hodnota napětí u S = lim
t →0 +
RS U RS + R L
⎛ RS − t ⎜1 + e τ ⎜ RL ⎝
⎞ RS ⎟= U. ⎟ RL ⎠
32
L a RS + R L
Shrnutí pojmů 2.2. Změnu stavu obvodu v důsledku změny topologické struktury obvodu modelujeme spínačem, který má dva provozní stavy. V rozepnutém stavu má nekonečně velký odpor a v sepnutém stavu nemá žádný odpor. Chování LC a LR obvodů je popsáno diferenciální rovnicí 1. řádu. Okamžité hodnoty obvodových veličin v přechodném ději, dané homogenním řešením diferenciální rovnice, jsou monotónní, exponenciální funkce, ustálené okamžité hodnoty odpovídají partikulárnímu řešením diferenciální rovnice. Důležitým parametrem přechodných složek průběhů obvodových veličin je časová konstanta obvodu, která udává dobu nárůstu na (1-e-1)- tinu své ustálené hodnoty nebo dobu poklesu na e-1-tinu své ustálené hodnoty. Přechodný děj sice teoreticky tvá nekonečně dlouho, ale prakticky končí po uplynutí několika časových konstant. V okamžiku změny stavu obvodu se kapacitor chová jako ekvivalentní zdroj napětí a induktor jako ekvivalentní zdroj proudu. Rozpojení větve s induktorem má za následek naindukování nekonečně velkého napětí na jeho svorkách. Chceme-li tomu zabránit, musíme do obvodu vhodně zařadit paralelní větev, která vytvoří smyčku s proudem induktoru. Ekvivalentní náhradní zapojení kapacitoru, ekvivalentní náhradní zapojení induktoru, přechodná složka, výkon a energie RC a LR obvodu.
Otázky 2.2. 1. Jakou diferenciální rovnicí popisujeme chování RC a LR obvodu? 2. Jak je definována časová konstanta RC a LR obvodu a jak ji interpretujeme? 3. Po uplynutí kolika časových konstant můžeme považovat přechodný děj za ukončený 4. Jak se chová kapacitor a induktor v okamžiku změny topologické struktury obvodu? 5. Proč ve stejnosměrném RC obvodu dochází po odeznění přechodného jevu k zániku proudu obvodu? 6. Proč se při rozpojení větvě s induktorem objeví na jejich svorkách limitně neomezená hodnota napětí. Dá se tomu zabránit? 7. Jakým způsobem můžeme modelovat derivační a integrační článek?
Úlohy k řešení 2.2. 1. Určete průběh proudu obvodu na obrázku a nakreslete jeho průběh, je-li spínač obvodu střídavě spínán a rozpínán, tak aby nepřesáhla jeho maximální hodnota úrověň I2 a minimální hodnota úroveň I1 proudu, které leží mezi oběma ustálenými hodnotami proudu obvodu.
33
S uS R2
R1
Uo
L
2.3.
Řešení obvodů 2. řádu
Obvod 2.řádu obecně obsahuje rezistory a po jednom z akumulačních prvků, tj. kapacitor a induktor.
RLC obvod
Řešme přechodný děj v RCL obvodu na obrázku nahoře. Rovnici popisující přechodný děj sestavíme podle 2. Kirchhoffova zákona pro náhradní schéma dole na stejném obrázku. Předpokládejme, že kapacitor je obecně nabit na napětí uC(0) a proud induktoru má hodnotu i(0). i
uS
uR
uC
S
R
C
Uo
L
uL
Po sepnutí spínače S uR + uC + uL = U o
a po dosazení Ohmova zákona, rovnice kontinuity a Faradayova zákona získáme integrodiferenciální rovnici Ri+
1 di i dt + L = U o , C dt
∫
po jejímž derivování dostaneme nehomogenní diferenciální rovnici 2. řádu L
d 2i dt
2
+R
di i du o + = dt C dt
Obecná homogenní rovnice, která popisuje přechodný děj proudu obvodu, má nulovou pravou stranu L
d 2i dt
2
+R
di i + =0. dt C
Její obecné řešení až na integrační konstanty určíme pomocí kořenů charakteristické rovnice 34
1 0 1 λ = L λ2 + R λ + = 0 . C C
L λ 2 + R λ1 +
Kořeny kvadratické rovnice jsou − R ± R2 − 4
λ1, 2 =
L C
2
=−
2L
R 1 ⎛ R ⎞ ± ⎜ ⎟ − = −α ± α 2 − ω o2 , L LC 2L 2 ⎝ ⎠
kde α je konstanta útlumu a ωo rezonanční úhlový kmitočet, vedený cizím zdrojem. Podle hodnot obvodových parametrů mohou nastat tyto případy kořenů: 1) reálné λ1, 2 = −α ± α 2 − ω o2 pro α > ω o , 2) dvojnásobný reálný kořen λ1, 2 = −α pro α = ω o , 3) komplexně sdružené kořeny
(
)
(
)
λ1, 2 = −α ± − ω o2 − α 2 = −α ± − 1 ω o2 − α 2 = −α ± j ω o2 − α 2 = −α ± jω d
pro α < ω o . Člen ω d = ω o2 − α 2 nazýváme vlastním úhlovým kmitočtem obvodu, který je při nenulovém tlumení vždy menší než rezonanční úhlový kmitočet obvodu. Úhlové kmitočty vlastních a rezonančních kmitů jsou totožné jen při nulovém tlumení obvodu. Obecné řešení homogenní rovnice pro kořeny 1) a 3) má tvar i h = C1 e λ1 t + C 2 e λ2 t
a pro dvojnásobný kořen i h = (C1 + C 2 t ) e
λ1, 2 t
.
Hodnoty integračních konstant určíme z matematických počátečních podmínek i(0) ,
di ( 0) a dt
úplného řešení nehomogenní rovnice RLC obvodu. První podmínka je i podmínkou fyzikální, druhou určíme z obou fyzikálních počátečních podmínek dosazených do výchozí rovnice obvodu. Analýzou řešení s dvojnásobným kořenem se nebudeme zabývat, protože ho v praxi nelze realizovat. Pro integrační konstanty C1 a C2 platí následující soustava rovnic i (0) = C1 e λ1 ⋅0 + C 2 e λ2 ⋅0 = C1 + C 2 i ′(0) =
di ( 0) = C1 λ1 e λ1 ⋅0 + C 2 λ 2 e λ2 ⋅0 = C1 λ1 + C 2 λ 2 , dt
jejímž řešením jsou konstanty C1 =
i (0) λ 2 − i ′(0) , λ 2 − λ1
C2 =
i ′(0) − λ1 i (0) λ i (0) − i ′(0) =− 1 , λ 2 − λ1 λ 2 − λ1
kde pro hodnotu i ′(0) platí i ′(0) =
U − R i ( 0) − u C ( 0) . L 35
Řešení diferenciální rovnice pro dva reálné kořeny má tvar t t ⎡⎛ 1 U − u C ( 0) ⎞ − τ 2 U − u C ( 0) ⎞ − τ 1 ⎛ 1 ⎢⎜ i (0) − ⎟⎟ e − ⎜⎜ i (0) − ⎟⎟ e i=− ⎜ L L ⎠ ⎝τ 2 ⎠ 2 α 2 − ω o2 ⎢⎣⎝ τ 1 t t U − u C (0) ⎞ −τ 2 ⎤ U − u C (0) ⎞ −τ 1 ⎛ 1 τ 1 τ 2 ⎡⎛ 1 ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =− i (0) − ⎟ e − ⎜ τ i (0) − ⎟e ⎥ τ 1 − τ 2 ⎢⎜⎝ τ 1 L L 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣
1
⎤ ⎥= ⎥ ⎦
a pro komplexně sdružené kořeny i=−
(
)
(
)
⎡⎛ U − u C (0) ⎞ −α t jωd t ⎛ U − u C (0) ⎞ −α t − jωd t ⎤ − ⎜⎜ α + jω d i (0) − ⎟⎟ e e ⎟⎟ e e ⎢⎜⎜ α − jω d i (0) − ⎥, L L 2 ω d j ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ 1
když pro zjednodušení zápisu bylo použito následujících vztahů λ 2 − λ1 = −α − α 2 − ω o2 − ⎛⎜ − α + α 2 − ω o2 ⎞⎟ = −2 α 2 − ω o2 ⎝
⎠
λ 2 λ1 = ⎛⎜ − α − α 2 − ω o2 ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ − α + α 2 − ω o2 ⎞⎟ = ω o2 , ⎝
τ1 = − 1 2 α −ω 2
2 o
=
1
λ1
=
⎠ ⎝
1
α − α −ω 2
2 o
⎠
τ2 = −
,
τ1 τ 2 , τ 1 −τ 2
τ1 τ 2 =
1
ω
2 o
= LC
1
λ2
=
1
α + α 2 − ω o2 ω o2
resp.
2 α −ω 2
2 o
,
=
1 . τ 1 −τ 2
Jsou-li počáteční podmínky stavových veličin nulové, tj. i(0) = 0 A a u C (0) = 0 V , zjednoduší se obě řešení t t − U τ 1 τ 2 ⎡ −τ1 ⎢e − e τ 2 L τ 1 −τ 2 ⎢ ⎣
t ⎡ −t ⎤ − ⎥ = I m1 ⎢e τ 1 − e τ 2 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
i
i=
Im1
0
τ1
2τ1
4τ1
3τ1
5τ1
6τ1
t
-Im1
a i=
U 2 L ωd j
e
−α t
[e
jω d t
−
− jω d t
]= LUω
e d
−α t
e
jω d t
− jω d t
− 2j
36
=
U L ωd
( )
( )
e −α t sin ω d t = I m 3 e −α t sin ω d t .
i
Im3
0 2 Td
Td
4 Td
3 Td
5 Td
t
6 Td
Okamžité hodnoty napětí RCL obvodu získáme dosazením řešení proudové odezvy do Ohmova zákona, rovnice kontinuity a Faradayova zákona. Definiční vztahy a jejich grafy pro reálné kořeny charakteristické rovnice jsou následující t t − U τ 1 τ 2 ⎡ −τ1 τ2 ⎢e − e uR = R i = R L τ 1 −τ 2 ⎢ ⎣
t t ⎤ ⎡ τ τ − τ 1 τ 2 −τ 2 1 2 τ 1 ⎥ = 2U α ⎢ e − e τ 1 −τ 2 τ 1 −τ 2 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣
ξ ξ t t − 1 1 U τ 1 τ 2 ⎡ −τ1 τ2 ⎢e − e uC = i dξ = C0 C 0 L τ 1 −τ 2 ⎢ ⎣
∫
⎛ ⎜ U τ1 τ 2 d⎜ ⎜ L τ 1 −τ 2 ⎝
t ⎡ −t − ⎢e τ 1 − e τ 2 ⎢ ⎣ dt
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠
t t ⎡ − − ⎤ τ2 τ1 τ2 τ1 ⎢1 + e e ⎥ − τ 1 −τ 2 ⎢ τ 1 −τ 2 ⎥ ⎣ ⎦
t t ⎡ τ − − ⎤ τ2 τ2 τ1 1 =U ⎢ − e e ⎥ τ 1 −τ 2 ⎢τ 1 − τ 2 ⎥ ⎣ ⎦
u
di uL = L = L dt
∫
⎤ ⎥ dξ = U ⎥ ⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
U
uR uC uL uo 0
τ1
2τ1
4τ1
3τ1 37
5τ1
6τ1
t
a pro komplexně sdružené kořeny
( )
u R = R i = R I m 3 e −α t sin ω d t = R
( )
( )
α −α t 2 −α t e sin ω d t = 2U e sin ω d t ωd L 2 ωd U
U
(
(
)
(
))
t
ω L ⎡ e −α ξ α sin ω d ξ + ω d cos ω d ξ ⎤ 1 1 U e −α ξ sin ω d ξ dξ = d ⎢− uC = i dξ = ⎥ = C0 C 0 ωd L C ⎣⎢ α 2 + ω d2 ⎥⎦ 0 t
t
∫
U
(
∫
ω o2 α 2 + ω d2
)
⎡ ⎛ α ⎞⎤ sin ω d t + cos ω d t ⎟⎥ ⎢1 − e −α t ⎜ ⎜ω ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ d ⎠⎦
( )
( )
⎛ U ⎞ d⎜ e −α t sin ω d t ⎟ ⎜ω L ⎟ ⎡ α di ⎝ d ⎠ uL = L = L sin ω d t + cos ω d = U e −α t ⎢− dt dt ⎢⎣ ω d
( )
( t )⎤⎥ ⎥⎦
u
( )
U uR uC uL uo
0
Td
2Td
4 Td
3 Td
5 Td
6 Td
t
Grafy obvodových veličin pro dva různé reálné kořeny jsou aperiodické a pro kořeny komplexně sdružené kvaziperiodické. Hodnota parametrů RCL obvodu rozhoduje o charakteru přechodného děje. Z meze stability obvodu můžeme po dosazení do rovnosti ωo = α
odvodit hodnotu tzv. kritického odporu obvodu R k = 2
L , který je roven C
dvojnásobku charakteristického odporu RCL obvodu. Je-li hodnota kritického odporu větší než hodnota odporu obvodu tj. R k > R , je přechodný děj tlumený a kmitavý (kvaziperiodický), je-li menší, tj. R k < R , je nekmitavý (aperiodický). Míru tlumení kvaziperiodického případu RLC obvodu můžeme stanovit z poměru dvou po sobě následujících amplitud stejné polarity obvodové veličiny, vztažených vůči její ustálené hodnotě. Poměr nazýváme dekrement úhlu
38
⎛ 2π ⎞ e −α t sin ⎜ t ⎟ ⎜T m ⎟ V m e −α t sin ω d t m V m (t m ) ⎝ d ⎠ = = = e α Td , Δ= V m (t m + Td ) V m e −α (t m +Td ) sin ω d (t m + Td ) ⎛ ⎞ 2π e −α t m e −α Td sin ⎜ (t m + Td ) ⎟ ⎜T ⎟ ⎝ d ⎠
( (
)
)
který po logaritmování označujeme jako logaritmický dekrement úhlu δ = ln Δ = ln(e α Td ) = α Td ,
pomocí kterého při známé periodě vlastních kmitů Td určíme činitel tlumení α=
δ Td
.
Příklad 2.3. Určete hodnotu činitele tlumení obvodu naměřeného průběhu proudu RLC obvodu.
i (mA)
♦Řešení:
Im (0,05) 10 Im (0,25) Td
0,1
0
0,2
0,4
0,3
0,5
0,6
t (s)
Z digitalizovaného průběhu proudu v časech 0,05 s a 0,25 s, jejichž rozdíl definuje periodu vlastních kmitů obvodu Td = 0,2 s , odečteme hodnoty 1. a 2. amplitudy kvaziperiodického průběhu proudu. Dekrement úhlu určíme dosazením odečtených hodnot Δ=
I m (0,05) 9,69 = =& 2,82 I m (0,25) 3.44
a činitel útlumu α=
ln Δ ln 2,82 = =& 5,17 s -1 . Td 0,2
39
VIRTÁLNÍ LABORATOŘ K analýze RC, RL a RLC obvodů pro vámi zvolené parametry obvodu, dané počáteční podmínky stavových veličin obvodu a různé průběhy napájecího zdroje obvodu můžete použít aplikace 2_1_PrechodnyDejRD.xls, 2_2_PrechodnyDejRL.xls, 2_3_PrechodnyDejRLD.xls, 2_4_PrechodnyDejRD_AC.xls, 2_5_PrechodnyDejRL_AC.xls, 2_6_PrechodnyDejRLD_AC.xls, 2_7_PrechodnyDejRLD_exp.xls, 2_8_VlastniKmity_gen1.xls, 2_9_VlastniKmity_gen2.xls, 2_10_DerivacniIntegracni_odezva_gen1.xls, 2_11_DerivacniIntegracni_odezva_gen2.xls.
Shrnutí pojmů 2.3. Chování RLC obvodu je popsáno diferenciální rovnicí 2. řádu. Charakter odezvy přechodného děje závisí na hodnotách parametrů RLC obvodu resp. na hodnotách činitele útlumu α a rezonančního úhlového kmitočtu obvodu ωo. Platí-li pro parametry rovnost R = Rk = 2
L resp. ω o = α , řešení charakteristické rovnice má dvojnásobný reálný kořen, C
kterému odpovídá řešení homogenní diferenciální rovnice s nejkratší dobou trvání přechodného jevu, a které je mezním případem mezi aperiodickým ( Rk < R , ω o < α ) a kvaziperiodickým ( R k > R , ω o > α ) řešením rovnice obvodu. V případě kvaziperiodické odezvy RLC obvodu dochází ke vzniku vlastních kmitů obvodu, nezávisle na kmitočtu zdroje. Zajímavá situace nastává při malých hodnotách činitele útlumu, kdy vlastní kmitočet je blízký rezonančnímu a obvod se nachází blízko stavu rezonance, kdy amplitudy napětí kapacitoru resp. induktoru jsou prakticky stejně velké a dosahují násobku amplitudy napětí zdroje, jenž závisí na činiteli jakosti obvodu. Činitel útlumu, rezonanční kmitočet, vlastní kmitočet, kritický odpor, aperiodická odezva, kvaziperiodická odezva, dekrement úhlu.
Otázky 2.3. 1. Diskutujte možné případy řešení má charakteristická rovnice RLC obvodu. 2. Kolik a jaké matematické počáteční podmínky musíme znát, abychom stanovili integrační konstanty obecného řešení diferenciální rovnice RLC obvodu. 3. Jaký je vztah mezi fyzikálními a matematickými počátečními podmínkami RLC obvodu? 4. Co je to kritický odpor obvodu? 5. Můžeme nějakým způsobem zabránit vzniku vlastních kmitů obvodu? 6. Závisí kmitočet vlastních kmitů obvodu na kmitočtu zdroje obvodu? 7. Na kterém obvodovém prvku se nejvíce projeví přechodná složka řešení RLC obvodu? 40
8. Jak určíme činitel útlumu z kvaziperiodické odezvy RLC obvodu?
Úlohy k řešení 2.3. 1. Lze určit hodnoty obvodových parametrů RLC obvodu, znáte-li hodnotu činitele útlumu α a úhlový kmitočet vlastních kmitů ωd. Proveďte diskuzi řešení.
Klíč k řešení 1. u C (0 + ) = u C (0 − ) = u R2 (0 − ) = U ⎛ i = ⎜⎜ i (0) − o R ⎝
R2 20000 Uo = 10 = 2 V . R1 + R 2 80000 + 20000 t
t
− − ⎞ λt Uo U = (1 − e τ ) + i (0) e τ ⎟⎟ e + R R ⎠
a byl-li induktor bez proudu t
− U i = o (1 − e λ t ) = I R (1 − e τ ) . R
Uo Uo , a při rozepnutém spínači I 2 u = R2 R1 + R 2 < I 2 s předpokladem I 1 > I 2 . Při sepnutém spínači je
2. Při sepnutém spínači by ustálená hodnota byla I 1u = takže v souladu se zadáním platí I 1u > I 1 , I 2 u
t
t
− − L časová konstanta τ 1 = pro proud platí rovnice i = I 1u (1 − e τ 1 ) + I 2 e τ 1 a při rozepnutém spínači R2 t
t
i
− − L je časová konstanta τ 2 = pro proud platí rovnice i = I 2 u (1 − e τ 2 ) + I 1 e τ 2 . R1 + R 2
I1u I1
I2 I2u 0
τ
2τ
4τ
3τ
5τ
6τ
t
3. Hodnoty parametrů RCL obvodu nelze obecně určit pouze ze známých hodnot činitele útlumu R a vlastního úhlového kmitočtu obvodu ω d = ω o2 − α 2 = 2L k dispozici pouze dvě rovnice pro tři neznámé parametry.
α=
41
2
1 ⎛ R ⎞ −⎜ ⎟ , protože máme LC ⎝ 2 L ⎠
Zadání samostatné práce č. 2: Nakreslete jednoduchý smíšený obvod s jedním typem pasivního akumulačního prvku a dvěma rezistory, který je napájen ze skutečného zdroje stejnosměrného napětí, ke kterému bude tento obvod připojen nebo odpojen spínačem a zakreslete do něj počítací šipky obvodových veličin. Aplikujte Theveninovu větu na větev s akumulačním prvkem, nakreslete ekvivalentní sériový model obvodu, sestavte matematický model obvodu v přechodném ději a uveďte rovnici odezvy stavové veličiny. Zvolte hodnoty parametrů obvodu a na základě simulace obvodu ve virtuální laboratoři určete časovou konstantu obvodu, počáteční podmínku stavové veličiny a zobrazte její odezvu. Proveďte shrnutí zjištěných skutečností. K simulaci použijte aplikace 2_1_PrechodnyDejRD.xls, 2_2_PrechodnyDejRL.xls.
Další zdroje [1] Mikulec, M.; Havlíček, V.: Základy teorie elektrických obvodů 1. Skriptum ČVUT Praha 1999; kapitola 6 [2] Mayer, D.: Úvod do teorie elektrických obvodů. SNTL/ALFA, Praha 1981, kapitola 10
42
3. DVOJBRANY Čas ke studiu: 6 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět • • • • • •
používat šipkovou konvenci dvojbranů a umět je klasifikovat určit parametry lineárních dvojbranů ze stavů naprázdno a nakrátko přiřadit ekvivalentní obvodové modely k rovnicím dvojbranu určit parametry regulárního řazení dvojbranů určit vztah mezi jednotlivými typy parametrů dvojbranu definovat ideální transformátor a gyrátor a transformaci zatěžovací impedance na vstupní bránu definovat základní aktivní dvojbrany, energetickou bilanci vstupní brány
•
Výklad Obvodový prvek se 4 póly, se dvěma dvojicemi pólů nazývaných brány se společným napětím a proudem nazýváme dvojbranem. Svorky 1, 1‘ nazýváme vstupní a svorky 2, 2‘ výstupní viz obrázek. K analýze chování dvojbranu používáme pouze vztahy mezi branovými napětími a proudy, vnitřní zapojení a veličiny nás nezajímají. Při výkladu se omezme jen na popis dvojbranů pomocí fázorů napětí a proudu vstupní brány Û1, Î1 a výstupní brány Û2, Î2, kdy je obvod harmonicky ustáleném stavu.
3.1.
Popis a rozdělení dvojbranů
K popisu dvojbranu máme k dispozici čtyři veličiny, dvě branová napětí Û1, Û2 a dva branové proudy Î1, Î2. Ze čtyř veličin můžeme ke zvoleným dvěma nezávislým veličinám přiřadit dvě závislé veličiny celkem 6 způsoby. Existuje tedy 6 modelů dvojbranu. Je-li dvoubran lineární je obecně definován čtyřmi parametry, přičemž parametry různých modelů dvojbranu lze navzájem přepočítat. 1
Î2
Î1
Pasivní dvojbran
Û1 1‘
2
1 Û2
Aktivní dvojbran
Û1 1‘
2‘
Î2
Î1
2 Û2
2‘
Podle energetické bilance rozlišujeme dvojbrany pasivní a aktivní. Pasivní dvojbran má počítací šipky proudu obou bran orientované dovnitř dvojbranu a počítací šipky napětí od horní svorky ke svorce dolní. Jelikož je tvořen jen pasivními obvodovými prvky, předpokládáme, že obě jeho brány odebírají energii z vnějšího obvodu, čemuž odpovídá i spotřebičová orientace počítacích šipek obou bran dvojpólu. Aktivní dvojbran má počítací 43
šipky proudu obou bran orientované ven z dvojbranu a počítací šipky napětí od horní svorky ke svorce dolní. Jelikož je tvořen i nezávislými zdroji, předpokládáme, že obě jeho brány trvale dodávají energii do vnějšího obvodu, čemuž odpovídá i zdrojová orientace počítacích šipek obou bran dvojpólu. Podle typu charakteristik dělíme dvojbrany na lineární a nelineární. U lineárního dvojbranu platí princip superpozice, žádný parametr dvojbranu není funkcí branových veličin, a proto lze pro určení jeho parametrů použít stavy naprázdno a nakrátko. Nelineární dvojbran má parametry závislé na branových veličinách, proto se snažíme podmínku lineárnosti splnit alespoň v jistém okolí tzv. pracovního bodu dvojbranu. Obsahuje-li dvojbran nezávislý zdroj energie, může dodávat trvale energii do obvodu, nazývá se autonomní. Neautonomní dvojbran potom obsahuje pasivní prvky a řízené zdroje, ne však nezávislé zdroje energie. Příkladem jsou např. tranzistory, operační zesilovače a jiné zesilující struktury. Podle topologické struktury dělíme dvojbrany na příčně a podélně souměrné. Na rozdíl od podélné souměrnosti nemá příčná souvislost vliv na parametry dvojbranu, takže obě brány příčně souměrného dvojbranu jsou zaměnitelné. Příklad 3.1. Rozhodněte, který z odporových dvojbranů na obrázku je podélně a příčně souměrný.
1
2 R
1
2 R
R 2R
1‘
2R 1‘
2‘
3R
2‘
♦Řešení: Dvojbran vlevo na obrázku je podélně souměrný, protože má v podélné větvi stejné hodnoty odporů. Tento dvojbran je ale i krajně příčně nesouměrný, protože je vlastně trojpólem modelovaným dvojbranem, protože má propojené svorky 1‘ a 2‘. Dvojbran vpravo je příčně souměrný a nezáleží u něj na hodnotách, protože příčná souměrnost nemá vliv na parametry dvojbranu. Je-li dvojbran složen pouze z pasivních prvků, platí pro něj princip reciprocity, což sníží počet nezávislých parametrů dvojbranu na tři. Pouze dvěma parametry je určen podélně souměrný dvojbran. Typické dvojbrany jsou děliče napětí a proudu, zesilovače, zpožďovací články, filtry, derivační a integrační obvody, aj.
44
VIRTUÁLNÍ LABORATOŘ A VIDEO Výklad základních pojmů dvojbranů ilustrují videa 3_1_Dvojbrany.wmv. 3_2_Dvojbrany.wmv.
Shrnutí pojmů 3.1. Dvojbran je čtyřpólový prvek, se dvěma branami, vymezenými dvojicemi svorek. Bez ohledu na jeho vnitřní strukturu můžeme jeho vlastnosti vyjádřit vztahy mezi proudy a napětími jeho bran. Vlastnosti dvojbranu jsou obecně určeny čtyřmi parametry. Parametry lineárního dvojbranu určujeme ze stavů naprázdno a nakrátko. Dvojbrany dělíme podle různých hledisek na aktivní a pasivní, lineární a nelineární, autonomní a neautonomní a příčně a podélně souměrné. Čtyřpóĺ, brána, aktivní dvojbran, pasivní dvojbran, lineární dvojbran, nelineární dvojbran, autonomní dvojbran, neautonomní dvojbran, parametry dvojbran, aktivní prvek, řízený zdroj, příčně souměrný dvojbran, podélně souměrný dvojbran.
Otázky 3.1. 1. Definujte dvojbran. 2. Co je to brána dvojbranu? 3. Kolik veličin potřebujeme k popisu dvojbranu? 4. Kolika parametry je charakterizován dvojbran? 5. Jakým způsobem určíme parametry dvojbranu? 6. Na čem závisí volba počítacích šipek dvojbranu? 7. Jak dělíme z energetického hlediska dvojbrany? 8. Charakterizujte nelineární dvojbran? 9. Vyložte pojmy autonomní a neautonomní dvojbran? 10. Má záměna bran příčně souměrného dvojbranu vliv na parametry dvojbranu?
Úlohy k řešení 3.1. 1. Při spotřebičové šipkové konvenci byly zjištěny ve stejnosměrném obvodu veličiny vstupní brány U1 = 5 V, I1 = 0,1 A a výstupní brány dvojbranu a) U2 = 2 V, I2 = 0,2 A b) U2 = 2 V, I2 = -0,25 A; c) U2 = -2 V, I2 = -0,3 A. Posuďte situace z hlediska pasivity a aktivity dvojbranu.
45
3.2.
Matematické a obvodové modely dvojbranů
V dalším výkladu se omezme jen modely neautonomních lineárních dvojbranů v harmonicky ustáleném stavu.
Admitanční modely (charakteristiky)
Za nezávisle veličiny volíme branová napětí Û1, Û2 , závisle veličiny jsou branové proudy Î1, Î2 a konstantami úměrnosti jsou admitanční parametry Yˆ . Matematický model dvojbranu je Iˆ1 = Yˆ11Uˆ 1 + Yˆ12Uˆ 2 Iˆ2 = Yˆ21Uˆ 1 + Yˆ22Uˆ 2 .
Maticovém tvar je ⎡ Iˆ1 ⎤ ⎡Yˆ11 Yˆ12 ⎤ ⎡Uˆ 1 ⎤ ⎢ˆ ⎥ = ⎢ ˆ ⎥⋅⎢ ⎥ , ⎢⎣ I 2 ⎥⎦ ⎢⎣Y21 Yˆ22 ⎥⎦ ⎢⎣Uˆ 2 ⎥⎦
kde parametry dvojbranu jsou dány admitanční maticí
[Yˆ ] = ⎡⎢YYˆˆ
Yˆ12 ⎤ ⎥, Yˆ22 ⎥⎦
11
⎣⎢
21
která je současně charakteristikou dvojbranu. Každy prvek admitanční matice má rozměr S. Parametry admitanční matice jsou nazvány a definovány následovně : vstupní admitance (nakrátko)
přenosovou admitanci (nakrátko)
Iˆ Yˆ11 = 1 Uˆ 1
Iˆ Yˆ12 = 1 Uˆ 2
U 2 =0
U1 = 0
přenosovou admitanci (nakrátko)
výstupní admitanci (nakrátko)
Iˆ Yˆ21 = 2 Uˆ
Iˆ Yˆ22 = 2 Uˆ
1 U 2 =0
2 U1 = 0
Obvodový model sestavíme podle 1. Kirchhoffova zákona, kterému odpovídá paralelní řazení obvodových prvků, odtud plyne název admitančního modelu paralelně paralelní. Î1
Û1
Î2
Yˆ11
Yˆ12Uˆ 2 Yˆ21Uˆ 1
46
Yˆ22
Û2
Impedanční modely (charakteristiky)
Za nezávisle veličiny volíme branové proudy Î1, Î2, závisle veličiny jsou branová napětí Û1, Û2 a konstantami úměrnosti jsou impedanční parametry Zˆ . Matematický model dvojbranu je Uˆ 1 = Zˆ 11 Iˆ1 + Zˆ 12 Iˆ2 Uˆ 2 = Zˆ 21 Iˆ1 + Zˆ 22 Iˆ2 .
Maticovém tvar je ⎡Uˆ 1 ⎤ ⎡ Zˆ 11 ⎢ˆ ⎥=⎢ˆ ⎣⎢U 2 ⎦⎥ ⎣⎢ Z 21
Zˆ 12 ⎤ ⎡ Iˆ1 ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥ , Zˆ 22 ⎥⎦ ⎣⎢ Iˆ2 ⎦⎥
kde parametry dvojbranu jsou definovány impedanční maticí
[Zˆ ] = ⎡⎢ZZˆˆ ⎣⎢
Zˆ 12 ⎤ ⎥, Zˆ 22 ⎥⎦
11 21
která je současně charakteristikou dvojbranu. Každy prvek impedanční matice má rozměr Ω. Parametry impedanční matice jsou nazvány a definovány následovně: vstupní impedanci (naprázdno)
přenosovou impedanci (naprázdno)
Uˆ Zˆ 11 = 1 Iˆ1
Uˆ Zˆ 12 = 1 Iˆ2
I 2 =0
I1 = 0
přenosovou impedanci (naprázdno)
výstupní impedanci (naprázdno)
Uˆ Zˆ 21 = 2 Iˆ1
Uˆ Zˆ 22 = 2 Iˆ2
I 2 =0
. I1 = 0
Obvodový model sestavíme podle 2. Kirchhoffova zákon, kterému odpovídá sériové řazení obvodových prvků, odtud plyne název impedančního modelu sériově sériový.
Î1
Û1
Î2 Zˆ11
Zˆ12 Iˆ2 Zˆ 21 Iˆ1
47
Zˆ 22
Û2
Příklad 3.2. Určete impedanční parametry dvojbranu T článku z obrázku.
Î1
Î2
1
2 R1
R2
Û1
R3
1‘
Û2 2‘
♦Řešení: Parametry určíme přímou aplikací Kirchhoffových zákonů a Ohmova zákona z definičních vztahů pro ˆ vstupní impedanci naprázdno, kdy bránu 1 budíme proudem I1
Uˆ Zˆ 11 = 1 Iˆ1
=
(Zˆ
)
+ Zˆ 3 Iˆ1 = Zˆ 1 + Zˆ 3 = R1 + R3 Iˆ
1
1
I 2 =0
ˆ přenosovou impedanci naprázdno, kdy bránu 2 budíme proudem I 2
Uˆ Zˆ 12 = 1 Iˆ2
=
Zˆ 3 Iˆ2 = Zˆ 3 = R3 Iˆ 2
I1 = 0
ˆ přenosovou impedanci naprázdno, kdy bránu 1 budíme proudem I1
Uˆ Zˆ 21 = 2 Iˆ1
=
Zˆ 3 Iˆ1 = Zˆ 3 = R3 ˆI 1
I 2 =0
ˆ výstupní impedanci naprázdno, kdy bránu 2 budíme proudem I 2
Uˆ Zˆ 22 = 2 Iˆ 2
= I1 = 0
(Zˆ
2
)
+ Zˆ 3 Iˆ2 = Zˆ 2 + Zˆ 3 = R 2 + R3 . Iˆ 2
Impedanční matice má parametry
[Zˆ ] = ⎡⎢R R+ R 1
⎣
3
3
R3 ⎤ R 2 + R3 ⎥⎦
a odpovídá matici obvodu sestavené metodou smyčkových proudů.
48
Smíšený model paralelně sériový
Za nezávisle veličiny volíme branové napětí Û1 a proud Î2, závisle veličiny jsou branový proud Î1 a Û2 konstantami úměrnosti jsou parametry Kˆ . Matematický model dvojbranu je Iˆ1 = Kˆ 11Uˆ 1 + Kˆ 12 Iˆ2 Uˆ 2 = Kˆ 21Uˆ 1 + Kˆ 22 Iˆ2 .
Maticovém tvar je ⎡ Iˆ1 ⎤ ⎡ Kˆ 11 ⎢ˆ ⎥=⎢ˆ ⎣⎢U 2 ⎦⎥ ⎣⎢ K 21
Kˆ 12 ⎤ ⎡Uˆ 1 ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥, Kˆ 22 ⎥⎦ ⎣⎢ Iˆ2 ⎦⎥
kde parametry dvojbranu jsou definovány smíšenou maticí
[Kˆ ] = ⎡⎢KKˆˆ ⎢⎣
11 21
Kˆ 12 ⎤ ⎥ Kˆ 22 ⎥⎦
,
která je současně charakteristikou dvojbranu. Každý prvek smíšené matice má jiný rozměr, Kˆ 12 a Kˆ 21 jsou bezrozměrné, Kˆ 11 má jednotku S a Kˆ 22 jednotku Ω. Parametry smíšené matice jsou nazvány a definovány následovně: vstupní admitanci (naprázdno)
proudový přenos (nakrátko)
Iˆ Kˆ 11 = 1 Uˆ 1
Iˆ Kˆ 12 = 1 Iˆ2
I 2 =0
U1 = 0
napěťový přenos (naprázdno)
výstupní admitanci (nakrátko)
Uˆ Kˆ 21 = 2 Uˆ 1
Uˆ Kˆ 22 = 2 Iˆ2
I 2 =0
. U1 = 0
Obvodový model sestavíme podle 1. a 2. Kirchhoffova zákona, kterému odpovídá paralelně sériové řazení obvodových prvků, odkud pochází i název modelu. Î1
Û1
Kˆ 11
Î2
Kˆ 12 Iˆ2 Kˆ 21Uˆ 1
Kˆ 22 Û2
Smíšený model sériově paralelní
Za nezávisle veličiny volíme branový proud Î1 a napětí Û2, závisle veličiny jsou branové napětí Û1 a proud Î2 a konstantami úměrnosti jsou parametry Hˆ . Matematický model dvojbranu je 49
Uˆ 1 = Hˆ 11 Iˆ1 + Hˆ 12Uˆ 2 Iˆ2 = Hˆ 21 Iˆ1 + Hˆ 22Uˆ 2 .
Maticovém tvar je ⎡Uˆ 1 ⎤ ⎡ Hˆ 11 ⎢ˆ ⎥=⎢ ˆ ⎣⎢ I 2 ⎦⎥ ⎣⎢ H 21
Hˆ 12 ⎤ ⎡ Iˆ1 ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥ , Hˆ 22 ⎦⎥ ⎣⎢Uˆ 2 ⎦⎥
kde parametry dvojbranu jsou definovány smíšenou maticí
[Hˆ ] = ⎡⎢HHˆˆ ⎢⎣
11 21
Hˆ 12 ⎤ ⎥, Hˆ 22 ⎥⎦
která je současně charakteristikou dvojbranu. Každý prvek smíšené matice má jiný rozměr, Hˆ 12 a Hˆ 21 jsou bezrozměrné, Hˆ 11 má jednotku Ω a Hˆ 22 jednotku S. Parametry smíšené matice jsou nazvány a definovány následovně: vstupní impedanci (nakrátko)
napěťový přenos (naprázdno)
Uˆ Hˆ 11 = 1 Iˆ1
Uˆ Hˆ 12 = 1 Uˆ 2
U 2 =0
I1 = 0
proudový přenos (nakrátko)
výstupní admitanci (naprázdno)
Iˆ Hˆ 21 = 2 Iˆ1
Iˆ Hˆ 22 = 2 Uˆ 2
U 2 =0
I1 = 0
Obvodový model sestavíme podle 2. a 1. Kirchhoffova zákona, kterému odpovídá sériově paralelní řazení obvodových prvků, odkud pochází i název modelu. Î1
Î2 Hˆ 11
Û1
Hˆ 12Uˆ 2 Hˆ 21 Iˆ1
Hˆ 22
Û2
Kaskádní model
Kaskádní parametry dvojbranu používáme k modelování kaskádního řazení dvojbranů, u kterých zpravidla předpokládáme přenos energie ze vstupní brány na výstupní bránu, takže volíme opačný směr proudu výstupní brány, tj. Iˆ2′ = − Iˆ2. . Za nezávisle veličiny volíme branové napětí Û2 a proud -Î2, tj. proud Iˆ2′ , závislé veličiny jsou branové napětí Û 1 a proud Î1 a konstantami úměrnosti jsou parametry Aˆ . Matematický model dvojbranu je
( )
Uˆ 1 = Aˆ 11Uˆ 2 + Aˆ12 − Iˆ2 50
( )
Iˆ1 = Aˆ 21Uˆ 2 + Aˆ 22 − Iˆ2 .
Maticovém tvar je ⎡Uˆ 1 ⎤ ⎡ Aˆ11 ⎢ˆ ⎥=⎢ˆ ⎣⎢ I 1 ⎦⎥ ⎣⎢ A21
Aˆ12 ⎤ ⎡ Uˆ 2 ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥, Aˆ 22 ⎦⎥ ⎣⎢− Iˆ2 ⎦⎥
kde parametry dvojbranu jsou definovány kaskádní maticí
[Aˆ ] = ⎡⎢ AAˆˆ
Aˆ 12 ⎤ ⎥, Aˆ 22 ⎥⎦
11
⎢⎣
21
která je současně charakteristikou dvojbranu. Každý prvek kaskádní matice má jiný rozměr, Aˆ 11 a Aˆ 22 jsou bezrozměrné, A12 má jednotku Ω a Aˆ 21 jednotku S. Parametry kaskádní matice jsou nazvány a definovány následovně: napěťový přenos (naprázdno)
přenosová impedance (nakrátko)
Uˆ Aˆ 11 = 1 Uˆ
Uˆ Aˆ 12 = 1 − Iˆ
přenosová admitance (naprázdno)
proudový přenos (nakrátko)
Iˆ Aˆ 21 = 1 Uˆ 2
Iˆ Aˆ 22 = 1 − Iˆ2
2 I 2 =0
2 U 2 =0
I 2 =0
. U 2 =0
Obvodový model kaskádního dvojbranu neexistuje. Příklad 3.3. Určete kaskádní modely jednoduchých dvojbranů na obrázku.
1
2
1
2
1
2
R R 1‘
2‘
1‘
2‘
1‘
2‘
♦Řešení: Parametry kaskádních matic všech dvojbranů určíme z poměrů branových veličin určených ze stavu naprázdno a nakrátko realizovaných na výstupní bráně dvojbranu.
51
Pro první dvojbran platí ve stavu naprázdno Iˆ2′ = 0 A , takže i Iˆ1. = 0 A , na rezistoru nevznikne úbytek, a proto Uˆ 2 = Uˆ 1 a parametry mají hodnoty Uˆ Aˆ 11 = 1 Uˆ
=
2 Iˆ2′ = 0
Uˆ 1 Iˆ = 1 Aˆ 21 = 1 Uˆ 1 Uˆ 2
= Iˆ2′ = 0
0 = 0. Uˆ 1
Ve stavu nakrátko platí Uˆ 2. = 0 V , takže Iˆ1 = Iˆ2′ = Uˆ 1 R a pro parametry platí Uˆ Aˆ12 = 1 Iˆ2′
=
Uˆ 1 =R Uˆ / R 1
U 2 =0
Iˆ Aˆ 22 = 1 Iˆ2′
= U 2 =0
Iˆ1 =1. Iˆ 1
[]
⎡1 R ⎤ Kaskádní matice dvojbranu je Aˆ = ⎢ ⎥. ⎣0 1 ⎦
Pro prostřední dvojbran platí pro Iˆ2′ = 0 A , že Iˆ1. = 0 A a Uˆ 2 = Uˆ 1 a parametry mají hodnoty Uˆ Aˆ 11 = 1 Uˆ 2
= Iˆ2′ = 0
Uˆ 1 Iˆ = 1 Aˆ 21 = 1 Uˆ 1 Uˆ 2
= Iˆ2′ = 0
0 = 0. ˆ U1
Ve stavu nakrátko platí Uˆ 2. = 0 V , takže Iˆ1 = Iˆ2′ → ∞ a pro parametry platí Uˆ Aˆ 12 = lim 1 Iˆ2′ → ∞ Iˆ ′ 2
U 2 =0
Iˆ = 0 Aˆ 22 = lim 1 Iˆ2′ →∞ Iˆ ′ 2
= 1. U 2 =0
[]
⎡1 1⎤ Kaskádní matice dvojbranu je Aˆ = ⎢ ⎥. ⎣0 1⎦
Pro poslední dvojbran platí pro Iˆ2′ = 0 A , že Iˆ1. = Uˆ Aˆ 11 = 1 Uˆ 2
= Iˆ2′ = 0
Uˆ 1 Iˆ = 1 Aˆ 21 = 1 Uˆ 2 Uˆ 1
Iˆ2′ = 0
Uˆ 1 a Uˆ 2 = Uˆ 1 a parametry mají hodnoty R
Uˆ 1 1 = R = . ˆ R U1
Ve stavu nakrátko platí Uˆ 2. = 0 V , takže Iˆ1 = Iˆ2′ → ∞ a pro parametry platí Uˆ Aˆ 12 = lim 1 Iˆ2′ → ∞ Iˆ ′ 2
U 2 =0
Iˆ = 0 Aˆ 22 = lim 1 Iˆ2′ →∞ Iˆ ′ 2
[]
= 1. U 2 =0
⎡1
Kaskádní matice dvojbranu je Aˆ = ⎢ 1
⎢⎣ R
0⎤ ⎥. 1⎥ ⎦
Zpětně kaskádní model
Zpětně kaskádní parametry dvojbranu používáme k modelování kaskádního řazení dvojbranů, u kterých zpravidla předpokládáme přenos energie z výstupní brány na vstupní bránu, takže volíme opačný směr proudu výstupní brány, tj. Iˆ1′ = − Iˆ1. . Za nezávisle veličiny volíme branové 52
napětí Û2 a proud –Î1, tj. proud Iˆ1′ , závisle veličiny jsou branové napětí Û1 a proud Î1 a konstantami úměrnosti jsou parametry Bˆ . Matematický model dvojbranu je
( ) (− Iˆ ).
Uˆ 2 = Bˆ11Uˆ 1 + Bˆ12 − Iˆ1 Iˆ2 = Bˆ 21Uˆ 1 + Bˆ 22
1
Maticovém tvar je ⎡Uˆ 2 ⎤ ⎡ Bˆ 11 ⎢ˆ ⎥=⎢ˆ ⎢⎣ I 2 ⎥⎦ ⎢⎣ B 21
Bˆ 12 ⎤ ⎡ Uˆ 1 ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥, Bˆ 22 ⎥⎦ ⎢⎣− Iˆ1 ⎥⎦
kde parametry dvojbranu jsou definovány zpětně kaskádní maticí
[Bˆ ] = ⎡⎢BBˆˆ
Bˆ 12 ⎤ ⎥, Bˆ 22 ⎥⎦
11
⎢⎣
21
která je současně charakteristikou dvojbranu. Každý prvek kaskádní matice má jiný rozměr, Bˆ 11 a Bˆ 22 jsou bezrozměrné, Bˆ12 má jednotku Ω a Bˆ 21 jednotku S. Parametry zpětně kaskádní matice jsou nazvány a definovány následovně: napěťový přenos (naprázdno)
přenosová impedance (nakrátko)
Uˆ Bˆ11 = 2 Uˆ
Uˆ Bˆ12 = 2 − Iˆ
přenosová admitance (naprázdno)
proudový přenos (nakrátko)
Iˆ Bˆ 21 = 2 Uˆ 1
Iˆ Bˆ 22 = 2 − Iˆ1
1 I1 = 0
1 U1 = 0
I1 = 0
. U1 = 0
Obvodový model zpětně kaskádního dvojbranu neexistuje. Poznamenejme, že pro reciprocitní dvojbrany platí Zˆ 12 = Zˆ 21 , Yˆ12 = Yˆ21 , Kˆ 12 = − Kˆ 21 , Hˆ 12 = − Hˆ 21 , Aˆ 11 Aˆ 22 − Aˆ 12 Aˆ 21 = 1 a Bˆ 11 Bˆ 22 − Bˆ 12 Bˆ 21 = 1 a pro podélně souměrné dvojbrany Zˆ 11 = Zˆ 22 , Yˆ11 = Yˆ22 , Kˆ 11 Kˆ 22 − Kˆ 12 Kˆ 21 = −1 , Hˆ 11 Hˆ 22 − Hˆ 12 Hˆ 21 = 1 , Aˆ 11 = Aˆ 22 a Bˆ 11 = Bˆ 22 .
Shrnutí pojmů 3.2. Ze čtyř branových veličin lze pro dvě závislé proměnné vytvořit, šest matematických modelů dvojbranů, a to admitančni paralelně-paralelní, impedanční sériově-sériově, smíšený paralelně-sérový, smíšený sériově-paralelní, kaskádní a zpětně kaskádní a pro první čtyři z nich i obvodové modely. Parametry dvojbranu nejsnáze určíme z jeho stavů naprádno a nakrátko. Reciprocitní dvojbrany jsou určeny třemi parametry a podélně souměrné dvěma parametry. Podmínky reciprocity a souměrnosti jsou různé pro jednotlivé modely. Pro reciprocitní dvojbrany platí Zˆ 12 = Zˆ 21 , Yˆ12 = Yˆ21 , Kˆ 12 = − Kˆ 21 , Hˆ 12 = − Hˆ 21 , Aˆ11 Aˆ 22 − Aˆ12 Aˆ 21 = 1 53
Bˆ 11 Bˆ 22 − Bˆ12 Bˆ 21 = 1 . Pro podélně souměrné dvojbrany platí Kˆ 11 Kˆ 22 − Kˆ 12 Kˆ 21 = −1 , Hˆ 11 Hˆ 22 − Hˆ 12 Hˆ 21 = 1 , Aˆ 11 = Aˆ 22 a Bˆ 11 = Bˆ 22 .
a
Zˆ 11 = Zˆ 22 ,
Yˆ11 = Yˆ22 ,
Admitančni paralelně-paralelní model dvojbranu, impedanční sériově-sériově model dvojbranu, smíšený paralelně-sérový model dvojbranu, smíšený sériově-paralelní model dvojbranu, kaskádní model dvojbranu, zpětně kaskádní model dvojbranu, reciprocitní dvojbran, podélně souměrný dvojbran.
Otázky 3.2. 1. Je počet matematických a obvodových modelů dvojbranů shodný? 2. Z jakých stavů určujeme parametry dvojbranu? 3. Je možné nakreslit obvodové schéma kaskádního a zpětně kaskádního modelu dvojbranu? 4. Jak byste prakticky ověřili princip reciprocity dvojbranu? 5. Kolika parametry je charakterizován reciprocitní dvojbran? 6. Co musí splňovat dvojbran, aby byl jednoznačně určený dvěma parametry a jak ho nazýváme? 7. Jaká je podmínka podélné souměrnosti kaskádního dvojbranu? 8. Který matematický model dvojbranu je charakterizován Hˆ -parametry?
Úlohy k řešení 3.2. 1. Určete kaskádní parametry dvojbranu z obrázku.
1
2 R1 R2
1‘
3.3.
2‘
Vzájemné vztahy mezi charakteristikami dvojbranů
Každý z modelů dvojbranu je výhodný pro řešení jiné obvodové situace, proto je výhodné znát vzájemné vztahy mezi jednotlivými modely.
Vztahy mezi imitančními modely
Maticový tvar admitančního modelu zapišme zjednodušeným zápisem
[Yˆ ]⋅ [Uˆ ] = [Iˆ] . []
Po vynásobení jeho pravé i levé strany inverzní maticí Yˆ 54
−1
zleva dostaneme
[Yˆ ] ⋅ [Yˆ ]⋅ [Uˆ ] = [Yˆ ] ⋅ [Iˆ]. −1
−1
Jelikož součin inverzní admitanční matice a admitanční matice se rovná jednotkové matici, a protože platí
[Zˆ ] = [Yˆ ]
−1
,
získáme impedanční model
[Uˆ ] = [Zˆ ]⋅ [Iˆ] . Ze známých parametrů admitanční matice získáme vztahy pro výpočet parametrů impedanční matice srovnáním prvků matic levé a pravé strany
[Zˆ ] = [Yˆ ]
−1
Zˆ 12 ⎤ 1 ⎡ Yˆ22 ⎥= ⎢ Zˆ 22 ⎥⎦ Yˆ ⎢⎣− Yˆ21
⎡ Zˆ 11 ⎢ˆ ⎢⎣ Z 21
− Yˆ12 ⎤ ⎥. Yˆ11 ⎥⎦
Prvky admitanční matice ze znamých prvků impedanční matice získáme formální záměnou duálních prvků, protože oba tyto modely jsou navzájem inverzní, následovně
[Yˆ ] = [Zˆ ]
−1
Yˆ12 ⎤ 1 ⎡ Zˆ 22 ⎢ ⎥= Yˆ22 ⎥⎦ Zˆ ⎢⎣− Zˆ 21
⎡Yˆ11 ⎢ˆ ⎢⎣Y21
− Zˆ 12 ⎤ ⎥. Zˆ 11 ⎥⎦
Vztahy mezi smíšenými modely
Analogický postup můžeme aplikovat i u smíšených modelů, protože i tyto modely jsou navzájem inverzní, takže pro vzájemné přepočty platí ⎡ Hˆ 11 ⎢ˆ ⎢⎣ H 21
Hˆ 12 ⎤ ⎡ Kˆ 11 ⎥=⎢ Hˆ 22 ⎥⎦ ⎢⎣ Kˆ 21 ⎡ Kˆ 11 ⎢ˆ ⎣⎢ K 21
Kˆ 12 ⎤ ⎥ Kˆ 22 ⎥⎦
−1
=
1 Kˆ
Kˆ 12 ⎤ 1 ⎡ Hˆ 22 ⎥= ⎢ Kˆ 22 ⎥⎦ Hˆ ⎣⎢− Hˆ 21
⎡ Kˆ 22 ⎢ ˆ ⎢⎣− K 21
− Kˆ 12 ⎤ ⎥, Kˆ 11 ⎥⎦
− Hˆ 12 ⎤ ⎥. Hˆ 11 ⎥⎦
Vztahy mezi kaskádními modely
Vzájemné vztahy mezi oběma kaskádními modely nejsou navzájem inverzní, takže postup jejich odvození je poněkud zdlouhavý. Vychází z algebraických úprav rovnic dvojbranů. Tyto vztahy lze nalézt v literatuře, stejně jako vzájemné vztahy mezi různými modely. Transformační matice jsou následující ⎡ Bˆ 11 ⎢ˆ ⎣⎢ B 21
Bˆ 12 ⎤ 1 ⎡ Aˆ 22 ⎢ ⎥= Bˆ 22 ⎦⎥ Aˆ ⎣⎢ Aˆ 21
Aˆ 12 ⎤ ⎥, Aˆ 11 ⎦⎥
⎡ Aˆ 22 ⎢ˆ ⎣⎢ A21
Aˆ 12 ⎤ 1 ⎡ Bˆ 11 ⎥= ⎢ Aˆ 11 ⎥⎦ Bˆ ⎣⎢ Bˆ 21
Bˆ 12 ⎤ ⎥. Bˆ 22 ⎥⎦
55
Příklad 3.4. Z impedančních parametrů dvojbranu T článku z příkladu 3.2 určete transformací parametrů impedanční matice parametry matice kaskádní. Přepočet ověřte stanovením kaskádních parametrů ze stavů naprázdno a nakrátko.
Î1
Î2
1
2 R1
R2
Û1
R3
1‘
Û2 2‘
♦Řešení: Impedanční matice má parametry
[Zˆ ] = ⎡⎢R R+ R 1
⎣
R3 ⎤ , R 2 + R3 ⎥⎦
3
3
čímž po dosažení odpovídajících parametrů do transformační matice získáme 1 ⎡ Zˆ 11 Aˆ = ⎢ Zˆ 21 ⎢⎣ 1
Zˆ ⎤ 1 ⎡ R1 + R3 ⎥= ⎢ Zˆ 22 ⎥⎦ R3 ⎣ 1
[]
⎡ R1 ⎢1 + R 3 = ⎥ ⎢ 1 ⎦ ⎢ ⎢ R ⎣ 3
(R1 + R3 )(R2 + R3 ) − R32 ⎤ R 2 + R3
R1 R 2 ⎤ R3 ⎥⎥ . R2 ⎥ 1+ ⎥ R3 ⎦
R1 + R 2 +
Ověření provedeme dosazením do následujících definičních vztahů Uˆ Aˆ 11 = 1 Uˆ 2
Iˆ Aˆ 21 = 1 Uˆ 2
= I 2 =0
I 2 =0
Uˆ 1 R Uˆ 3
= 1+ 1
R1 , R3
Uˆ Aˆ 12 = 1 − Iˆ2
R1 + R3 Uˆ 1 R + R3 1 = 1 = , ˆ R3 R3 U 1 R1 + R3
Iˆ Aˆ 22 = 1 − Iˆ2
U 2 =0
⎛ R R ⎞ ⎜ R1 + 2 3 ⎟ Iˆ1 ⎜ R 2 + R3 ⎟⎠ R R ⎝ = = R1 + R 2 + 1 2 , R3 ⎛ R Iˆ ⎞ −⎜− 3 1 ⎟ ⎜ R 2 + R3 ⎟ ⎝ ⎠
= U 2 =0
Iˆ1 ⎛ R Iˆ −⎜− 3 1 ⎜ R 2 + R3 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
= 1+
R2 . R3
Ze srovnání obou způsobů určení parametrů vidíme, že dávají stejné výsledky.
56
VIRTUÁLNÍ LABORATOŘ K ověření přepočtů číselně daných hodnot parametrů mezi jednotlivými modely dvojbranů můžete použít virtuální laboratoř, aplikaci 3_1_DvojbranyPrevody.xls.
Shrnutí pojmů 3.3. Každý ze šesti uvedených modelů jednoznačně charakterizuje dvojbran, ale je výhodný pro řešení jiné obvodové situace. Za tímto účelem provádíme přepočty charakteristik dvojbranů. Jelikož imitanční modely dvojbranu jsou navzájem inverzní a podobně i oba smíšené modely, můžeme pouze pro ně použít k vzájemnému přepočtu inverzní matici. Zcela obecně lze nalézt vztahy pro přepočet mezi dvojicemi charakteristik dvojbranů algebraickými úpravami rovnic transformovaného modelu dvojbranu a jeho následným srovnáním s modelem, jehož parametry hledáme. Transformace, přepočet charakteristik dvojbranu.
Otázky 3.3. 1. Který ze zápisů modelů dvojbranů – algebraický nebo maticový je univerzálnější pro odvození transformačních vztahů mezi modely dvojbranů? 2. Pro které modely dvojbranů nemůžeme použít k vzájemnému přepočtu jejich charakteristik vlastnosti inverzní matice? 3. U některých transformačních vztahů v tabulce nejsou uvedeny všechny prvky transformované matice modelu, znamená to, že po transformaci se snížil počet parametrů definujících dvojbran?
Úlohy k řešení 3.3. 1. Odvoďte z rovnic dvojbranů vztah pro vyjádření impedančních parametrů dvojbranu ze známých kaskádních parametrů dvojbranu.
3.4.
Řazení dvojbranů
Dva dvojbrany můžeme zapojit celkem 5-ti způsoby – oba vstupy a výstupy paralelně nebo sériově, vstup paralelně a výstup sériově, vstup sériově a výstup paralelně a kaskádně, za sebou. Při zapojování dvojbranů, ale musíme dbát na to, aby výsledné zapojení dvojbranů bylo regulární, což znamená, že se jejich spojením nesmí změnit vlastnosti dílčích dvojbranů. Zapojení příčně souměrných dvojbranů je vždy regulární. U dvojbranů s krajní příčnou nesouměrností se musíme o regularitě zapojení nejdříve přesvědčit. Paralelní řazení dvojbranů (paralelně paralelní)
57
Iˆ1
Iˆ1′
Iˆ2
Iˆ2′
[Yˆ ′]
Uˆ1′
Uˆ 2′
Uˆ 1
Uˆ 2 Iˆ1′′
Iˆ2′′
[Yˆ ′′]
Uˆ 1′′
Uˆ 2′′
Pro zapojení platí Uˆ 1 = Uˆ 1′ = Uˆ 1′′ a
Uˆ 2 = Uˆ 2′ = Uˆ 2′′
a podle 1. Kirchhoffova zákona Iˆ1 = Iˆ1′ + Iˆ1′′
Iˆ2 = Iˆ2′ + Iˆ2′′ .
a
Zapíšeme-li poslední dvě rovnice maticovým zápisem, dostaneme ⎡ Iˆ1 ⎤ ⎡ Iˆ1′ ⎤ ⎡ Iˆ1′′ ⎤ ⎢ˆ ⎥ = ⎢ˆ ⎥+⎢ˆ ⎥, ⎣⎢ I 2 ⎦⎥ ⎣⎢ I 2′ ⎦⎥ ⎣⎢ I 2′′ ⎦⎥ kam dosadíme admitanční modely dvojbranu
[ ]
[ ]
⎡ Iˆ1′ ⎤ ⎡Uˆ 1′ ⎤ ⎢ ˆ ⎥ = Yˆ ′ ⋅ ⎢ ˆ ⎥ , ⎢⎣ I 2′ ⎥⎦ ⎢⎣U 2′ ⎥⎦
⎡ Iˆ1′′ ⎤ ⎡Uˆ 1′′ ⎤ ⎢ ˆ ⎥ = Yˆ ′′ ⋅ ⎢ ˆ ⎥ , ⎢⎣ I 2′′ ⎥⎦ ⎢⎣U 2′′ ⎥⎦
čímž dostaneme
[ ]
[ ]
[]
⎡ Iˆ1 ⎤ ⎡Uˆ 1 ⎤ ⎡Uˆ 1 ⎤ ⎡Uˆ 1 ⎤ ⎢ ˆ ⎥ = Yˆ ′ ⋅ ⎢ ˆ ⎥ + Yˆ ′′ ⋅ ⎢ ˆ ⎥ = Yˆ ⋅ ⎢ ˆ ⎥ , ⎣⎢ I 2 ⎦⎥ ⎣⎢U 2 ⎥⎦ ⎣⎢U 2 ⎥⎦ ⎣⎢U 2 ⎥⎦ tedy
[Yˆ ] = [Yˆ ′]+ [Yˆ ′′] .
58
Sériové řazení dvojbranů (sériově sériové) Iˆ1
Iˆ1′
Iˆ2
Iˆ2′
[Zˆ ′]
Uˆ1′
Uˆ 2′
Uˆ 1
Uˆ 2 Iˆ1′′
Iˆ2′′
[Zˆ ′′]
Uˆ 1′′
Uˆ 2′′
Toto zapojení je duální k admitančnímu, takže pro tento model analogicky platí Iˆ1 = Iˆ1′ = Iˆ1′′
Iˆ2 = Iˆ2′ = Iˆ2′′
a
a podle 2. Kirchhoffova zákona Uˆ 1 = Uˆ 1′ + Uˆ 1′′ a
Uˆ 2 = Uˆ 2′ + Uˆ 2′′ ,
takže pro výslednou impedanční matici platí
[Zˆ ] = [Zˆ ′]+ [Zˆ ′′] .
Paralelně sériové řazení dvojbranů Iˆ1
Iˆ1′
[Kˆ ′]
Uˆ1′
Iˆ2
Iˆ2′
Uˆ 2′
Uˆ 1
Uˆ 2 Iˆ1′′
Uˆ 1′′
Iˆ2′′
[Kˆ ′′]
Uˆ 2′′
Pro zapojení platí Uˆ 1 = Uˆ 1′ = Uˆ 2′′ a
Iˆ2 = Iˆ2′ = Iˆ2′′ 59
a podle 1. a 2. Kirchhoffova zákona Iˆ1 = Iˆ1′ + Iˆ1′′
Uˆ 2 = Uˆ 2′ + Uˆ 2′′ .
a
Zapíšeme-li poslední dvě rovnice maticovým zápisem, dostaneme ⎡ Iˆ1 ⎤ ⎡ Iˆ1′ ⎤ ⎡ Iˆ1′′ ⎤ ⎢ ˆ ⎥ = ⎢ ˆ ⎥+⎢ ˆ ⎥, ⎣⎢U 2 ⎦⎥ ⎣⎢U 2′ ⎦⎥ ⎣⎢U 2′′ ⎦⎥ kam dosadíme smíšené modely dvojbranu
[ ]
⎡Uˆ 1′ ⎤ ⎡ Iˆ1′ ⎤ ⎢ ˆ ⎥ = Kˆ ′ ⋅ ⎢ ˆ ⎥ , ⎢⎣ I 2′ ⎥⎦ ⎢⎣U 2′ ⎥⎦
⎡ Iˆ1′′ ⎤ ⎡Uˆ 1′′⎤ ⎢ ˆ ⎥ = K&& ′′ ⋅ ⎢ ˆ ⎥ , ⎢⎣U 2′′ ⎥⎦ ⎢⎣ I 2′′ ⎥⎦
[ ]
čímž dostaneme
[ ]
[ ]
[]
⎡Uˆ 1 ⎤ ⎡Uˆ 1 ⎤ ⎡Uˆ 1 ⎤ ⎡ Iˆ1 ⎤ ⎢ ˆ ⎥ = Kˆ ′ ⋅ ⎢ ˆ ⎥ + Kˆ ′′ ⋅ ⎢ ˆ ⎥ = Kˆ ⋅ ⎢ ˆ ⎥ , ⎢⎣ I 2 ⎥⎦ ⎣⎢ I 2 ⎥⎦ ⎣⎢ I 2 ⎥⎦ ⎣⎢U 2 ⎦⎥ tedy
[Kˆ ] = [Kˆ ′]+ [Kˆ ′′] .
Sériové paralelní řazení dvojbranů Iˆ1
Iˆ1′
Iˆ2
Iˆ2′
[Hˆ ′]
Uˆ1′
Uˆ 2′
Uˆ 1
Uˆ 2 Iˆ1′′
Iˆ2′′
[Hˆ ′′]
Uˆ 1′′
Uˆ 2′′
Toto zapojení je duální k paralelně sériovému, takže pro tento model analogicky platí Iˆ1 = Iˆ1′ = Iˆ1′′
Uˆ 2 = Uˆ 2′ = Uˆ 2′′
a
a podle 2. Kirchhoffova zákona Uˆ 1 = Uˆ 1′ + Uˆ 1′′ a
Iˆ2 = Iˆ2′ + Iˆ2′′ ,
takže pro výslednou smíšenou matici platí
[Hˆ ] = [Hˆ ′]+ [Hˆ ′′] . 60
Kaskádní řazení dvojbranů Iˆ1
Uˆ 1
Iˆ1′
Iˆ2′
[Aˆ ′]
Uˆ1′
Iˆ1′′
[Aˆ ′′]
Uˆ 1′′
Uˆ 2′
Iˆ2
Iˆ2′′
Uˆ 2′′
Uˆ 2
Pro zapojení platí Uˆ 1 = Uˆ 1′ ,
Uˆ 1′′ = Uˆ 2′ ,
Uˆ 2 = Uˆ 2′′
Iˆ1 = Iˆ1′ ,
Iˆ1′′ = − Iˆ2′ ,
a Iˆ2 = Iˆ2′′
což můžeme zapsat pomocí maticového zápisu ⎡Uˆ 1 ⎤ ⎡Uˆ 1′ ⎤ ⎢ˆ ⎥=⎢ˆ ⎥, ⎢⎣ I 1 ⎥⎦ ⎢⎣ I 1′ ⎥⎦
⎡Uˆ 1′′⎤ ⎡ Uˆ 2′ ⎤ ⎢ ˆ ⎥ = ⎢ ˆ ⎥, ⎢⎣ I 1′′ ⎥⎦ ⎢⎣− I 2′ ⎥⎦
⎡ Uˆ 2 ⎤ ⎡ Uˆ 2′′ ⎤ ⎢ ˆ ⎥ = ⎢ ˆ ⎥. ⎢⎣− I 2 ⎥⎦ ⎢⎣− I 2′′ ⎥⎦
Užitím kaskádního modelu dvojbranu a dosazením do rovností získáme
[ ]
⎡ Uˆ 2′ ⎤ ⎡Uˆ 1 ⎤ ⎢ ˆ ⎥ = Aˆ ′ ⋅ ⎢ ˆ ⎥ , ⎢⎣− I 2′ ⎦⎥ ⎣⎢ I 1 ⎦⎥
[ ]
⎡ Uˆ 2 ⎤ ⎡Uˆ 1′′⎤ ⎢ ˆ ⎥ = Aˆ ′′ ⋅ ⎢ ˆ ⎥ ⎢⎣− I 2 ⎦⎥ ⎣⎢ I 1′′ ⎦⎥
[ ]
⎡ Uˆ 2 ⎤ ⎡ Uˆ 2′ ⎤ ⎢ ˆ ⎥ = Aˆ ′′ ⋅ ⎢ ˆ ⎥ ⎢⎣− I 2 ⎦⎥ ⎣⎢− I 2′ ⎦⎥
resp.
a jejich zřetězením díky rovnosti
[ ] [ ]⋅ ⎡⎢−UˆIˆ ⎤⎥ = [Aˆ ]⋅ ⎡⎢−UˆIˆ ⎤⎥ ,
⎡Uˆ 1 ⎤ ⎢ ˆ ⎥ = Aˆ ′ ⋅ Aˆ ′′ ⎢⎣ I 1 ⎥⎦
2
⎢⎣
2
⎢⎣
2⎥ ⎦
2⎥ ⎦
tedy
[Aˆ ] = [Aˆ ′]⋅ [Aˆ ′′] . Příklad 3.5. Určete výslednou matici kaskádně řazených dvojbranů na obrázku a posuďte jeho vlastnosti.
1
2 R R
1‘
[Aˆ ′]
[Aˆ ′′]
[Aˆ ′′′]
♦Řešení: 61
2‘
K řešení využijme výsledky příkladu 3.3, kde pro jednotlivé dvojbrany byly určeny následující kaskádní matice:
[Aˆ ′] = ⎡⎢10 ⎣
[ ]
R⎤ ⎡1 1⎤ , Aˆ ′′ = ⎢ ⎥ ⎥, 1⎦ ⎣0 1⎦
⎡1
[Aˆ ′′′] = ⎢⎢ 1
⎣R
0⎤ ⎥. 1⎥ ⎦
Výslednou matici zapojení dostaneme násobením dílčích matic
[Aˆ ] = [Aˆ ′]⋅ [Aˆ ′′]⋅ [Aˆ ′′′] = ⋅⎡⎢10 ⎣
R ⎤ ⎡1 1⎤ ⎡ 1 ⋅⎢1 ⋅ 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎢ ⎣R
0⎤ ⎡ 2 ⎥ = ⎢1 1⎥ ⎢ ⎦ ⎣R
R⎤ ⎥. 1⎥ ⎦
Dvoubran je reciproký protože determinat výsledné matice
1 Aˆ = 2 ⋅1 − R = 1 a nesouměrný, R
jelikož Aˆ 11 ≠ Aˆ 22 , protože 2 ≠ 1 .
Virtuální laboratoř K ověření správnosti stanovených hodnot kaskádních parametrů T-článku a π-článku pro vámi zvolené hodnoty obvodových parametrů těchto článků a dále i k ověření jejich reciprocity a podélné symetrie můžete použít virtuální laboratoř, aplikace
3_2_Tclanek.xls, 3_3_PIclanek.xls. K analýze kaskádního řazení dvojbranů využijte aplikace 3_4_KaskadniRazeni2Dvojbranu.xls, 3_5_RetezovyClanek.xls.
Shrnutí pojmů 3.4. Řazením dvojbranů vznikne nový dvojbran, jehož vlastnosti jsou definovány parametry dílčích dvojbranů. Celkem existuje pět možností zapojení dvojbranů. Výsledné matice získáme součtem dílčích matic dvojbranů s výjimkou modelu kaskádního, který je dán součinem dílčích matic dvojbranů. Zapojení dvojbranů musí být regulární, což je splněno vždy u příčně souměrných dvojbranů. U dvojbranů s krajní příčnou nesouměrností se musíme o regularitě zapojení nejprve přesvědčit. Paralelně-paralelní řazení dvojbranů, sériově-sériové řazení dvojbranů, paralelně-sérové řazení dvojbranů, sériově-paralelní řazení dvojbranů, kaskádní řazení dvojbranů, regularita zapojení.
Otázky 3.4. 1. Co rozumíme regulárním zapojením dvojbranů? 2. Jakým způsobem můžeme zapojit dva nebo více dvojbranů? 3. Proč musíme u zapojení dvojbranů, z nichž je alespoň jeden krajně příčně nesouměrný, zkoumat regularitu zapojení? 4. U kterého řazení nemusíme zkoumat regularitu zapojení dvojbranů? 5. Které modely dvojbranů jsou definovány součtem matic dílčích dvojbranů? 62
6. Jak určíme výslednou matici kaskádně řazených dvojbranů?
Úlohy k řešení 3.4. 1. Nakreslete případ neregulárního spojení dvou odporových T-článků.
3.5.
Vybrané dvojbrany
Některé jednoduché dvojbrany nazýváme degenerované, protože pro ně není možné sestavit všechny maticové modely. Příklad takového dvojbranu je uveden na následujícím obrázku. 1
2
Yˆ 1‘
2‘
Pokud bychom chtěli určit prvky jeho admitanční matice z definičních vztahů, zjistíme, že vlivem zkratování jedněch bran a při napájení druhých bran dvojbranu ze zdroje napětí porostou jeho proudy nade všechny meze, a tím i hodnoty prvků admitanční matice Iˆ Yˆ11 = lim 1 ˆ Iˆ1 → ∞ U 1
U 2 =0
Iˆ Yˆ21 = lim 2 ˆ Iˆ2 → ∞ U
1 U 2 =0
Iˆ → ∞ , Yˆ12 = lim 1 ˆ Iˆ1 → ∞ U 2
→∞, U1 =0
Iˆ → ∞ , Yˆ22 = lim 2 ˆ Iˆ2 → ∞ U
→∞.
2 U1 = 0
Admitanční matice tohoto dvojbranu není definována, ale ostatní matice dvojbranů tohoto obvodu existují a jsou ⎡1 ⎢ˆ Zˆ = ⎢ Y ⎢1 ⎢⎣ Yˆ
[]
1⎤ ˆ ⎥ Yˆ ⎥ , Kˆ = ⎡Y ⎢ 1⎥ ⎣1 ˆ ⎥ Y⎦
[]
[ ]
[]
[]
− 1⎤ ˆ ⎡ 0 1 ⎤ ˆ ⎡ 1 0⎤ ˆ ⎡ 1 0⎤ ⎥, H = ⎢ ˆ ⎥ , A = ⎢Yˆ 1⎥ , B = ⎢Yˆ 1⎥ , 0⎦ ⎣− 1 Y ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
avšak impedanční matice je singulární.
Ideální transformátor
Ideální transformátor má nulové odpory vinutí, dokonalou vazbu mezi primárním a sekundárním vinutím (nemá žádný rozptyl), nekonečně velké hodnoty primární indukčnosti L1 a sekundární indukčnosti L2 a tím i vzájemné indukčnosti ( M = L1 L 2 ). Ideální transformátor má napětí připadající na jeden závit Uˆ 1Z stejné pro obě vinutí. Napětí primárního vinutí tak můžeme vyjádřit 63
Uˆ 1 = N 1 ⋅ Uˆ 1Z
a napětí sekundárního vinutí Uˆ 2 = N 2 ⋅ Uˆ 1Z .
1 Uˆ 1
M
Iˆ1
Iˆ2
N2
N1
1‘
2 Uˆ 2
Zˆ 2
2‘
Jeho jediným parametrem převodní poměr n = Uˆ 1 / Uˆ 2 = − Iˆ2 / Iˆ1 = N 1 / N 2 .
Úpravou tohoto vztahu získáme kaskádní rovnice ideálního transformátoru Uˆ 1 = nUˆ 2 = nUˆ 2 + 0 ⋅ (− Iˆ2 ) , − Iˆ2 1 Iˆ1 = = 0 ⋅ Uˆ 2 + (− Iˆ2 ) , n n
a tedy i kaskádní matici ⎡n
[Aˆ ] = ⎢⎢0 ⎣
0⎤ 1⎥ . n ⎥⎦
Tento dvojbran je degenerovaný, neboť pro něj není definována admitanční a impedanční matice. Zbývající matice modelu ideálního transformátoru existují a jsou ⎡ ⎢0 ˆ K =⎢ 1 ⎢ ⎣n
[]
1⎤ − ⎥ ⎡1 n , Hˆ = ⎡ 0 n ⎤ , Bˆ = ⎢ ⎥ n ⎢− n 0 ⎥ ⎢0 ⎣ ⎦ 0 ⎥ ⎣ ⎦
[ ]
[]
⎤ 0⎥ . n⎥⎦
Ideální transformátor je bezeztrátový, pro zdánlivý výkon platí * * ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎟ − 1⎟ = Uˆ 2 Iˆ2* ⎜ n ⎛⎜ 1 ⎞⎟ − 1⎟ = Uˆ 2 Iˆ2* ⎛⎜ n ⎛⎜ 1 ⎞⎟ − 1⎞⎟ = 0 ⎜ n ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎝n⎠ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ Vstupní impedance ideálního transformátoru zatíženého impedancí Zˆ 2 je
( )
Sˆ = Uˆ 1 Iˆ1* + Uˆ 2 − Iˆ2
*
⎛ Uˆ ⎛ Uˆ Iˆ * ⎞ ⎜ = Uˆ 2 Iˆ2* ⎜ 1 1* − 1⎟ = Uˆ 2 Iˆ2* ⎜ 1 ⎜ Uˆ Iˆ ⎟ ⎜ Uˆ 2 ⎝ 2 2 ⎠ ⎝
⎛ Iˆ1 ⎜ ⎜ Iˆ ⎝ 2
Uˆ nUˆ 2 Uˆ − Zˆ 2 Iˆ2 Zˆ 1 = 1 = = n2 2 = n2 = n 2 Zˆ 2 . Iˆ1 Iˆ2 − Iˆ2 − Iˆ2 − n
Má tedy stejný charakter jako zatěžovací impedance Zˆ 2 , mění se pouze velikost jejího modulu se čtvercem převodu. Této vlastnosti se využívá u přizpůsobovacího transformátoru, kterým se provádí impedanční přizpůsobení zátěže. 64
Gyrátor
Gyrátor je bezeztrátový dvojbran, který realizuje inverzi zatěžovací impedance Zˆ 2 . Je popsán rovnicemi Iˆ1 = g Uˆ 2 = 0 ⋅ Uˆ 1 + g Uˆ 2 , Iˆ2 = − g Uˆ 1 = − g Uˆ 1 + 0 ⋅ Uˆ 2
a tedy i admitanční matici
[Yˆ ] = ⎡⎢− 0g
g ⎤ , 0 ⎥⎦
⎣
kde g je gyrační vodivost. Jeho schematická značka je nakreslena na následujícím obrázku. Iˆ1
1
Iˆ2
2 Uˆ 2
Uˆ 1
1‘
Zˆ 2
2‘
Užitím transformačních vztahů z převodní tabulky vidíme, že obě smíšené matice nejsou definovány vlivem nulových hodnot prvků Yˆ11 , Yˆ22 admitanční matice. Gyrátor je degenerovaný dvojbran, neboť pro něj nejsou definovány smíšené matice, ostatní matice gyrátoru existující a jsou ⎡ ⎢ 0 ˆ Z =⎢ ⎢ 1 ⎢g ⎣
−
[]
1 ⎤ ⎡ g ⎥ ˆ ⎢0 ⎥, A = ⎢ 0 ⎥⎥ ⎣⎢ g ⎦
1 g 0
[]
⎡ ⎤ ⎥ , Bˆ = ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣− g ⎦⎥
[]
−
1 g 0
⎤ ⎥. ⎥ ⎦⎥
Ideální transformátor je bezeztrátový, neboť pro zdánlivý výkon platí ⎛ − Iˆ Sˆ = Uˆ 1 Iˆ1* + Uˆ 2 Iˆ2* = ⎜ 2 ⎜ g ⎝
[
=U2I2 − e
(
jψ I 2
e
− jψ U 2
+e
⎞ ⎟ gUˆ 2 ⎟ ⎠
(
jψ U 2
e
)
*
(
jψ jψ + Uˆ 2 Iˆ2* = − Iˆ2Uˆ 2* + Uˆ 2 Iˆ2* = − I 2 e I 2 U 2 e U 2
− jψ I 2
]= S [e ( 2
j ψ U 2 −ψ I 2
)
−e
(
− j ψ U 2 −ψ I 2
)
]= 2 j S
2
)
= 2 j S 2 sin ψ U 2 − ψ I 2 .
Vstupní impedance gyrátoru zatíženého impedancí Zˆ 2 je − Iˆ2 ˆ U g 1 − Iˆ2 1 1 1 Zˆ 1 = 1 = = 2 = 2 = r2 Iˆ1 gUˆ 2 g − Zˆ 2 Iˆ2 g Zˆ 2 Zˆ 2 65
) +U *
2
e
jψ U 2
(I
2
e
)=
jψ I 2 *
⎡ e j (ψ U 2 −ψ I 2 ) − e − j (ψ U 2 −ψ I 2 ) ⎤ ⎢ ⎥= 2j ⎣⎢ ⎦⎥
a jak vidíme, realizuje inverzi zatěžovací impedance, jejíž velikost se mění se čtvercem gyrační konstanty g nebo s její převrácenou hodnotou gyračním odporem r. Významným případem je zapojení kapacitoru na výstup gyrátoru, potom bude jeho vstupní impedance 1 Zˆ 1 = r 2 = r2 ˆ Z2
1 = jr 2 ωC = jωLe , 1 jωC
kde Le je ekvivalentní hodnota tzv. syntetické indukčnosti. Této vlastnosti se využívá při konstrukci aktivních filtrů, které obsahují pouze rezistory, kapacitory a zesilovací prvky - tzv. ARC filtry.
Aktivní dvojbrany
Aktivní dvojbrany jsou zvláštní případy imitančních a smíšených modelů dvojbranů, u kterých neuvažujeme v jejich modelech pasivní obvodové prvky a přenos energie z výstupní brány směrem k bráně vstupní. Jde o tzv. unilaterární dvojbrany, které přenášejí energii jedním směrem. Tyto dvojbrany jsou charakterizovány pouze jediným parametrem a definují je následující matice
[Yˆ ] = ⎡⎢Yˆ0 ⎣
21
[]
0⎤ ˆ ⎡ 0 , Z =⎢ˆ 0⎥⎦ ⎣ Z 21
[]
0⎤ ˆ ⎡ 0 , K =⎢ˆ 0⎥⎦ ⎣ K 21
[ ]
0⎤ ⎡ 0 , Hˆ = ⎢ ˆ ⎥ 0⎦ ⎣ H 21
0⎤ . 0⎥⎦
[]
Admitanční matici Yˆ odpovídá rovnice Iˆ2 = Yˆ21Uˆ 1 , která platí i pro obecné časové průběhy napětí ve tvaru i2 = y21 u1. V případě tohoto dvojbranu mluvíme o modelu zdroje proudu řízeného napětím, který je modelem převodníku napětí na proud nebo transadmitančního zesilovače. Konstanta y21 se nazývá přenosová admitance nebo strmost a má rozměr S. i1 = 0 A
u1
i2 u 2
[]
Impedanční matici Zˆ odpovídá rovnice Uˆ 2 = Zˆ 21 Iˆ1 , která platí i pro obecné časové průběhy napětí ve tvaru u2 = z21 i1. V případě tohoto dvojbranu mluvíme o modelu zdroje napětí řízeného proudem, který je modelem převodníku proudu na napětí nebo transimpedančního zesilovače. Konstanta z21 se nazývá přenosová impedance nebo transimpedance a má rozměr Ω.
66
u1 = 0 V
i2
i1
u2
[]
Smíšené matici Kˆ odpovídá rovnice Uˆ 2 = Kˆ 21 Uˆ 1 , která platí i pro obecné časové průběhy napětí ve tvaru u2 = k21 u1. V případě tohoto dvojbranu mluvíme o modelu zdroje napětí řízeného napětím, který je modelem ideálního zesilovače napětí. Bezrozměrná konstanta k21 se nazývá napěťové zesílení. i1 = 0 A
i2
u1
u2
[ ]
Smíšené matici Hˆ odpovídá rovnice Iˆ2 = Hˆ 21 Iˆ1 , která platí i pro obecné časové průběhy napětí ve tvaru i2 = h21 i1. V případě tohoto dvojbranu mluvíme o modelu zdroje proudu řízeného proudem, který je modelem ideálního zesilovače proudu. Bezrozměrná konstanta h21 se nazývá proudové zesílení nebo proudový zesilovací činitel. u1 = 0 V
i1
i2 u 2
Řízené zdroje jsou závislé tzn. že nejsou schopny trvale dodávat energii do obvodu, zajišťují pouze distribuci energie z vnějšího nezávislého zdroje do obvodu. Řídící výkon všech řízených zdrojů p1 = u1 i1 je nulový.
Shrnutí pojmů 3.5. Dvojbrany u nichž nelze vytvořit všechny maticové modely nazýváme degenerované. Patří sem všechny dvojbrany definované jediným parametrem. K základním degenerovaným dvojbranům patří ideální transformátor, gyrátor a řízené zdroje. Důležitou vlastností těchto dvojbranů je, že jsou bezeztrátové. Ideální transformátor je obvodový prvek, který v závislosti na převodním poměru mění velikost impedance k němu připojené. Gyrátor je obvodový prvek, který modeluje inverzi impedance, připojené k jeho výstupní bráně. Velikost impedance závisí na gyrační vodivosti nebo gyračním odporu. Řízené zdroje slouží 67
k modelování zesilovačů nebo převodníků elektrických veličin. Zesilovače charakterizované převodní konstantou – zesílením, převodníky – transimitancí.
jsou
Degenerovaný dvojbran, ideální transformátor, gyrátor, unilaterální dvojbran, zdroj proudu řízený napětím, zdroj napětí řízený proudem, zdroj napětí řízený napětím, zdroj proudu řízený proudem.
Otázky 3.5. 1. Kolika parametry je definován ideální transformátor? 2. K čemu slouží ideální transformátor? 3. Které degenerované dvojbrany jsou bezeztrátové? 4. Je ideální transformátor kmitočtově závislý? 5. Jak se chová kapacitor připojený k výstupním svorkám gyrátoru? 6. Co je to gyrační odpor? 7. Kolika parametry je definován model řízeného zdroje? 8. Jak nazýváme bezrozměrné konstanty řízených zdrojů? 9. Které řízené zdroje jsou spojeny s transimitancemi? 10. Jaký je řídící výkon řízených zdrojů?
Úlohy k řešení 3.5. 1. Určete velikost a fázi vstupní impedance ideálního transformátoru s převodem n = 0,1 má-li zatěžovací impedance hodnotu 8+j6 Ω.
Klíč k řešení 1. Při spotřebičové orientaci je výkon dodávaný do stejnosměrného obvodu definován vztahem P = P1 + P2 = U 1 I 1 + U 2 I 2 . Pro P > 0 se jedná o obvod pasivní, pro P = 0 bezeztrátový a pro P < 0 o obvod aktivní. Pro vstupní bránu platí P1 = U 1 I 1 = 5 ⋅ 0,1 = 0,5 W . Pro výstupní bránu a celý dvojbran platí pro jednotlivé body zadání:
a) P = P1 + U 1 I 1 = 0,5 + 2 ⋅ 0,2 = 0,9 W , pasivní dvojbran b) P = P1 + U 1 I 1 = 0,5 + 2 ⋅ (− 0,25) = 0 W , bezeztrátový dvojbran c) P = P1 + U 1 I 1 = 0,5 + 2 ⋅ (− 0,3) = −0,1 W , aktivní dvojbran. 2. Ve stavu naprázdno platí pro Iˆ2′ = 0 A , že Iˆ1. =
mají hodnoty
68
R2 Uˆ 1 a Uˆ 2 = Uˆ 1 , takže parametry R1 + R2 R1 + R 2
Uˆ Aˆ11 = 1 Uˆ 2
= Iˆ2′ = 0
Uˆ 1 R Iˆ = 1 + 1 , Aˆ 21 = 1 R2 R2 Uˆ 2 Uˆ 1 R1 + R 2
Iˆ2′ = 0
Uˆ 1 R1 + R 2 1 = = . R2 R2 ˆ U1 R1 + R 2 ˆ
U Ve stavu nakrátko platí Uˆ 2. = 0 V , takže Iˆ1 = Iˆ2′ = 1 a pro parametry platí R1
Uˆ Aˆ12 = 1 Iˆ2′
= U 2 =0
Iˆ Aˆ 22 = 1 Iˆ2′
Uˆ 1 = R1 , Uˆ 1
R1
=1. U 2 =0
3. Rovnice kaskádního modelu
( ) (− Iˆ ) ,
Uˆ 1 = Aˆ 11Uˆ 2 + Aˆ12 − Iˆ2 Iˆ1 = Aˆ 21Uˆ 2 + Aˆ 22
2
upravíme do tvaru impedančního modelu Uˆ 1 = Zˆ 11 Iˆ1 + Zˆ 12 Iˆ2 Uˆ 2 = Zˆ 21 Iˆ1 + Zˆ 22 Iˆ2 ,
tak, že z druhé rovnice kaskádního modelu si vyjádříme napětí Iˆ + Aˆ 22 Iˆ2 1 ˆ Aˆ 22 ˆ I2 I1 + Uˆ 2 = 1 = Aˆ 21 Aˆ 21 Aˆ 21
a dosadíme ho do rovnice první Aˆ Aˆ 11 ˆ Aˆ 11 Aˆ 22 ˆ Aˆ 11 ˆ Aˆ 11 Aˆ 22 − Aˆ 21 Aˆ 12 ˆ Aˆ 11 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Iˆ2 U 1 = A11U 2 + A12 − I 2 = I1 + I 2 − A12 I 2 = I1 + I2 = I1 + Aˆ 21 Aˆ 21 Aˆ 21 Aˆ 21 Aˆ 21 Aˆ 21
( )
Z následného srovnání odpovídajících prvků plyne
(
)
Aˆ Aˆ 11 Aˆ 22 − Aˆ 12 Aˆ 21 ˆ ˆ ˆ ˆ = Z 11 = A11 / A21 , Z 12 = Aˆ 21 Aˆ 21 Zˆ 21 = 1 / Aˆ 21 ,
Zˆ 22 = Aˆ 22 / Aˆ 21 .
Impedanční matice je tak definována pomocí matice kaskádní takto ⎡ Zˆ 11 ⎢ˆ ⎣⎢ Z 21
1 ⎡ Aˆ 11 Zˆ 12 ⎤ ⎢ = ⎥ Zˆ 22 ⎥⎦ Aˆ 21 ⎢⎣ 1
Aˆ ⎤ ⎥. Aˆ 22 ⎥⎦
69
4. 1
2 R1
R2 R3
1‘ 1
2‘ 2 R4
R5 R6
1‘
2‘
Zapojením horního dvojbranu s krajní příčnou nesouměrností mění vlastnosti dolního dvojbranu, protože jeho rezistory R4 , R5 jsou zkratovány, takže výsledný dvojbran je neregulární. 5. Zˆ 1 = n 2 Zˆ 2 = 0,12 ⋅ (8 + j6 ) = 0,08 + j0,06 Ω ,
⎛ 0,06 ⎞ Zˆ 1 = 0,08 2 + 0,06 2 = 0,1 Ω , ϕ Z1 = arctan⎜⎜ ⎟⎟ = 36,87 ° . ⎝ 0,08 ⎠
Zadání samostatné práce č. 3: Pro zvolené parametry T-článku a π-článku stanovte hodnoty jejich kaskádních parametrů. Na jejich základě ověřte jejich reciprocitu a posuďte podélnou souměrnost těchto dvojbranů. Ke kontrole správnosti řešení použijte virtuální laboratoř, aplikace 3_2_Tclanek.xls, 3_3_PIclanek.xls, 3_4_KaskadniRazeni2Dvojbranu.xls.
Další zdroje [1] Mikulec, M.; Havlíček, V.: Základy teorie elektrických obvodů. Skriptum ČVUT Praha1998; podkapitola 4.1 a 4.3. [2] Mayer, D.: Úvod do teorie elektrických obvodů. SNTL/ALFA, Praha 1981, kapitola 8.
70
4. PŘENOSY, OBRAZOVÉ PARAMETRY DVOJBRANŮ, ZPĚTNÁ VAZBA, OZ Čas ke studiu: 6 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět • • • • • • • •
definovat přenosy souměrného dvojbranu a pochopit jejich význam definovat obrazové parametry souměrného dvojbranu a pochopit jejich význam definovat přenosy nesouměrného dvojbranu a pochopit jejich význam definovat obrazové parametry nesouměrného dvojbranu definovat základní zapojení obvodů se zpětnou vazbou modelovat ideální operační zesilovač a definovat jeho vlastnosti realizovat a popsat základní zapojení s operačním zesilovačem definovat vliv zpětné vazby na vlastnosti obvodu
Výklad
4.1.
Přenosy dvojbranů
Míru vlivu dvojbranu na přenášenou energii mezi zdrojem a spotřebičem posuzujeme přenosy. Přenosy dvojbranů jsou dány přenosovými funkcemi., definovanými obvykle v harmonicky ustáleném stavu poměry komplexních efektivních hodnot napětí a proudů vstupních a výstupních bran dvojbranů stejného typu veličin nebo poměry smíšenými. Získáme je analýzou modelu přenosové cesty nebo měřením v požadovaném kmitočtovém pásmu. Kmitočtové přenosy jsou definovány Xˆ Pˆ = 2 Xˆ 1
a inverzní kmitočtové přenosy Xˆ Gˆ = 1 , Xˆ 2
kde Xˆ 1 , Xˆ 2 jsou příslušné komplexní efektivní hodnoty veličin. Dosazením branových veličin do definičního vztahu získáme následující bezrozměrné přenosy ˆ
Iˆ proudový přenos PˆI = 2 ,
U napěťový přenos PˆU = 2 , Uˆ 1
Iˆ1
a smíšené přenosy přenosovou impedanci PˆUI =
Uˆ 2 Iˆ
přenosovou admitanci PˆIU =
(Ω) ,
1
− Iˆ2 Uˆ 1
71
(S) .
Příklad 4.1.
Určete napěťový přenos naprázdno a proudový přenos nakrátko Π článku z obrázku, je-li k vstupní bráně připojen harmonický zdroj napětí o úhlovém kmitočtu ω.
1
2 C
R
R
1‘
2‘
♦Řešení:
Napěťový přenos naprázdno Π článku je dán přenosem RC článku, protože kapacitor C a rezistor R (připojený mezi výstupní svorky) nevzniká úbytek napětí. Z děliče napětí proto snadno určíme Uˆ jωRC R PˆU = 2 o = = ˆ 1 1 + jωRC U1 R+ j ωC
1
Î1o
2 C R
Û1
2 C
R
1‘
1
Û2o ≡
Û1
2‘
1‘
R
Û2o
2‘
a pro proudový přenos nakrátko z děliče proudu − Iˆ2 jωRC j ωC PˆI = = = . 1 1 + jωRC Iˆ1 + jωC R
-Î2k
Î1k 1
2 C R
Û1
1‘
R
-Î2k
Î1k 1
≡
2‘
R
Û1 1‘
72
2 C
2‘
Oba přenosy vyšly stejné, protože Π článek je souměrný. Pro určení impedancí dvojbranu uvažujme přenosovou cestu modelovanou kaskádními parametry dvojbranu se zdrojem napětí Uˆ i a vnitřní impedancí Zˆ i na vstupní straně dvojbranu a zátěží Zˆ s připojenou k jeho výstupu. 1
-Î2
Î1
Zˆ i
[Aˆ ]
Û1
Ûi
1‘
2
Û2
Zˆ s
2‘
Vstupní impedanci dvojbranu určíme dosazením kaskádních rovnic do Ohmova zákona v symbolickém tvaru Uˆ Aˆ Uˆ + Aˆ12 (− Iˆ2 ) Aˆ11 Zˆ s + Aˆ 12 . = Zˆ 1 = 1 = 11 2 Iˆ1 Aˆ 21Uˆ 2 + Aˆ 22 (− Iˆ2 ) Aˆ 21 Zˆ s + Aˆ 22
Pomocí vstupní impedance kaskádního dvojbranu určíme napětí vstupní brány Uˆ 1 =
Zˆ 1 Zˆ i + Zˆ 1
Uˆ i
a externí napěťový přenos Uˆ Uˆ Uˆ Zˆ 1 . PˆUe = 2 = 2 1 = PˆU Uˆ i Uˆ 1 Uˆ i Zˆ i + Zˆ 1
Výstupní impedanci dvojbranu určíme aplikací Theveninova teorému na výstupní bránu. Výstupní napětí naprázdno je dáno vztahem Zˆ 1o 1 ˆ 1 1 Uˆ 2 o = U 1o = Uˆ i = Uˆ i , Aˆ11 Aˆ11 Zˆ i + Zˆ 1o Aˆ 21 Zˆ i + Aˆ11
do kterého jsme dosadili z 1. kaskádní rovnice ve stavu naprázdno za napětí Uˆ 1o = Aˆ11Uˆ 2 o ,
za napětí vstupní brány naprázdno Uˆ 1o =
Zˆ 1o ˆ Ui . Zˆ + Zˆ i
1o
a za hodnotu vstupní impedance naprázdno Aˆ Zˆ 1o = 11 . Aˆ 21
Výstupní proud nakrátko je dán vztahem 73
Iˆ2 k =
Zˆ 1k 1 ˆ 1 1 U 1k = − Uˆ i = − Uˆ i , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ − A12 A12 Z i + Z 1k A22 Z i + A12
do kterého jsme dosadili z 1. kaskádní rovnice ve stavu nakrátko za napětí Uˆ 1k = − Aˆ12 Iˆ2 k ,
za napětí vstupní brány nakrátko Uˆ 1k =
Zˆ 1k Uˆ i Zˆ + Zˆ i
1k
a za hodnotu vstupní impedance nakrátko Aˆ Zˆ 1k = 12 . Aˆ 22
Impedanci výstupní brány pak určíme pomocí Ohmova zákona Uˆ Zˆ 2 = 2 o = − Iˆ 2k
1 Uˆ i ˆA Zˆ + Aˆ 21 i 11 ⎛ ⎞ 1 −⎜− Uˆ i ⎟ ⎜ Aˆ Zˆ + Aˆ ⎟ 22 i 12 ⎝ ⎠
=
Aˆ 22 Zˆ i + Aˆ 12 . Aˆ 21 Zˆ i + Aˆ 11
Známe-li vstupní impedanci dvojbranu a parametry náhradního napěťového zdroje jeho výstupní brány, můžeme nakreslit i impedanční náhradní obvodové schéma přenosové cesty 1 Zˆ i
Ûi
Î1 Zˆ 2 Û2o
Zˆ1
Û1
-Î2
2
1‘
Û2
Zˆ s
2‘
Příklad 4.2. Určete vstupní impedanci naprázdno a výstupní impedanci dvojbranu z příkladu 1.1. Uvažujte, že ze vstupní strany je dvojbran buzen zdrojem napětí Uˆ 1 , který nemá žádnou vnitřní impedanci.
♦Řešení:
Vstupní impedance dvojbranu naprázdno je dána Aˆ Zˆ 1o = 11 Aˆ 21
a výstupní impedance dvojbranu (vnitřní impedance zdroje Zˆ i je nulová) Aˆ Zˆ 2 = 12 . Aˆ11 74
Pro stanovení obou impedancí musíme určit konstanty Aˆ11 , Aˆ12 , Aˆ 21 . Konstanta Aˆ11 byla již určena a je dána inverzním napěťovým přenosem naprázdno v příkladu 1.1, platí tedy Uˆ 1 1 + jωRC . = Aˆ 11 = 1 = Gˆ U = ˆ ˆ jωRC U2 PU ˆ Konstantu A12 určíme ze stavu nakrátko dvojbranu
Uˆ 1 Uˆ 1 1 Aˆ 12 = = = . ˆ ˆ − I 2 k jω C U 1 j ω C ˆ Konstantu A21 určíme ze stavu naprázdno dvojbranu
2 jω C ˆ U1 ˆI 2 ˆA = 1o = 1 + jωRC = . 21 jωRC ˆ R Uˆ 2o U1 1 + jωRC
Dosazením konstant do definičních vztahů určíme vstupní impedanci naprázdno Zˆ 1o
Aˆ = 11 = Aˆ 21
1 + jωRC jωRC 1 + jωRC = 2 2 jω C R
a výstupní impedanci pro vnitřní impedance zdroje Zˆ i = 0 Ω 1 ˆ A j ωC R . = Zˆ 2 = 12 = ˆA ω 1 + j RC 1 + j ω RC 11 jωRC
Zpětná vazba
Blokové schéma zpětnovazební struktury je na obrázku, kde blok S definuje způsob slučování Xˆ zpětnovazebního Xˆ z a vstupního Xˆ i signálu. Přenos přímé větve je Pˆa = 2 Xˆ 1
a zpětné větve
Xˆ Pˆz = z . Pro vstupní signál platí Xˆ i = Xˆ 1 + Xˆ z , tedy i Xˆ 1 = Xˆ i − Xˆ z , takže zpětná vazba je Xˆ 2
záporná. Pro přenos zpětnovazební struktury platí Pˆ =
Pˆa , 1 + Pˆ Pˆ a
dosazením a úpravou přenosu
(
z
)
(
)
Xˆ 2 = Pˆa Xˆ 1 = Pˆa Xˆ i − Xˆ Z = Pˆa Xˆ i − PˆZ Xˆ 2 .
75
Xˆ i
S
Xˆ 1
Xˆ Pˆa = 2 Xˆ
Xˆ 2
1
Xˆ z
Xˆ Pˆz = z Xˆ 2
Typ zpětné vazby posuzujeme podle relace mezi absolutní hodnotou přenosu zpětnovazební struktury a absolutní hodnotou přenosu přímé cesty, pro který platí Pˆ =
Pˆa Pˆa = ≥ Pˆa . 1 + Pˆa Pˆz 1 + Pˆa Pˆz
Pro absolutní hodnotu jmenovatele přenosu 1 + Pˆa Pˆz > 1 , je zpětná vazba záporná a pro 1 + Pˆa Pˆz ≤ 1 , kladná.
Zvláštním případem kladné zpětné vazby, je případ kdy hodnota jmenovatele přenosu Pˆ je 1 nulová, což nastane, platí-li Pˆz = − . Struktura se dostává na mez stability a produkuje Pˆa
výstupní signál i tehdy, je-li vstupní signál nulový. Stává se zdrojem oscilací, které mohou být žádoucí, ale i nežádoucí. Jde-li o oscilace žádoucí, mluvíme o oscilátorech nebo klopných obvodech, u kterých je podmínka oscilací splněna v širokém pásmu kmitočtů. Roste-li hodnota přenosu přímé cesty nade všechny meze Pˆa → ∞ , jsou vlastnosti zpětnovazební struktury (obvodu) určeny výhradně přenosem zpětnovazební cesty Pˆz , takže 1 platí Pˆ = . Pˆz
Shrnutí pojmů 4.1. Míru přenesené energie z jedné brány dvojbranu k druhé posuzujeme pomocí přenosů. Přenosy jsou definovány v harmonicky ustáleném stavu v kmitočtové oblasti poměry branových veličin. Nejsou-li veličiny stejného typu mluvíme o přenosech smíšených. Externí napěťový přenos užíváme, je-li dvojbran napájen ze zdroje s nenulovou vnitřní impedancí. Vstupní a výstupní impedanci přenosové cesty a její náhradní obvodový model určíme aplikací Ohmova zákona v symbolickém tvaru, kaskádních rovnic a užitím věty o náhradním napěťovém zdroji případně věty o náhradním proudovém zdroji. Zpětná vazba může být záporná nebo kladná a definujeme ji podle absolutní hodnoty jmenovatele přenosu zpětnovazební struktury 1 + Pˆa Pˆz . Je-li 1 + Pˆa Pˆz > 1 jde o zápornou zpětnou vazbu, jinak jde o vazbu kladnou. Zvláštním případem kladné zpětné vazby je nulová hodnota jmenovatele 76
přenosu Pˆ , kdy velikosti přenosu přímé a zpětnovazební cesty jsou stejné a fáze se liší o 180 °. Zpětnovazební struktura tak produkuje výstupní signál i bez přítomnosti vstupního signálu a chová se jako oscilátor. Je-li podmínka oscilací splněna v širokém pásmu kmitočtů, mluvíme o klopném obvodu. Napěťový přenos, proudový přenos, smíšený přenos, přenosová impedance, přenosová admitance, externí napěťový přenos, vstupní impedance dvojbranu, výstupní impedance dvojbranu, impedanční náhradní schéma přenosové cesty.
Otázky 4.1. 1. K čemu slouží přenosy a jak jsou definovány? 2. Existuje vztah mezi inverzními přenosy a kaskádními parametry dvojbranu? 3. Vyložte pojem obrazové přizpůsobení. 4. Který model dvojbranu je výhodný pro určení vstupní impedance přenosové cesty? 5. Jakým způsobem určíme výstupní impedanci přenosové cesty? 6. Nakreslete impedanční model přenosové cesty. 7. Podle čeho posuzujeme vlastnosti struktury se zpětnou vazbou? 8. Jak byste obecně definovali zápornou a kladnou zpětnou vazbu? 9. Jaký typ zpětné vazby využívá oscilátor? 10. Definujte klopný obvod?
Úlohy k řešení 4.1. 1. Určete přenosovou admitanci nakrátko dvojbranu z příkladu 1.1, je-li napájen ze zdroje s vnitřní impedancí Zˆ i = 0 Ω .
4.2.
Obrazové parametry souměrného dvojbranu
Obrazová impedance Zˆ o je taková impedance dvojbranu, kdy vstupní impedance dvojbranu Zˆ1 je rovna výstupní impedanci Zˆ 2 , takže platí Aˆ Zˆ + Aˆ12 Zˆ 1 = Zˆ o = 11 o , Aˆ 21 Zˆ o + Aˆ 22 Aˆ Zˆ + Aˆ12 Zˆ 2 = Zˆ o = 22 o . Aˆ 21 Zˆ o + Aˆ11 ˆ ˆ Je-li dvojbran souměrný, platí A22 = A11 a pro obrazovou impedanci platí
Aˆ Zˆ + Aˆ 12 Zˆ o = 11 o Aˆ 21 Zˆ o + Aˆ 11 77
a po úpravě a rozšíření pravé strany rovnice členem
Aˆ11 dostaneme Aˆ 11
Aˆ Zˆ o2 = 11 Aˆ 21
Aˆ12 , Aˆ 11
kde první člen představuje vstupní impedanci naprázdno a druhý vstupní impedanci nakrátko, tedy Zˆ o =
Aˆ12 = Zˆ 1o Zˆ 1k . Aˆ 21
Obrazová impedance je rovna geometrickému průměru impedancí vstupní brány při nezatížené a zkratované bráně výstupní, čehož využíváme v praxi k jejímu určení. Definujme dále inverzní přenosy při obrazovém přizpůsobení zátěže tj. při. Zˆ s = Zˆ o . Pro inverzní napěťový přenos platí Uˆ Gˆ oU = 1 Uˆ 2
Zˆ s = Zˆ o
a inverzní proudový přenos Iˆ Gˆ oI = 1 − Iˆ2
. Zˆ s = Zˆ o
Tyto přenosy jsou při obrazovém přizpůsobení zátěže stejné, neboť platí
Gˆ oI =
Uˆ 1 Zˆ o
⎛ Uˆ −⎜− 2 ⎜ Zˆ o ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
=
Uˆ 1 Uˆ
= Gˆ oU .
2 Zˆ s = Zˆ o
Zˆ s = Zˆ o
Inverzní obrazový přenos je definován Uˆ Gˆ o = Gˆ oU = Gˆ oI = 1 Uˆ 2
. Zˆ s = Zˆ o
Dosadíme-li do něj kaskádní napěťovou rovnici, dostaneme Uˆ Aˆ Uˆ + Aˆ12 (− Iˆ2 ) ˆ Aˆ 1 Gˆ o = 1 = 11 2 = A11 + Aˆ 12 = Aˆ 11 + 12 Uˆ 2 Uˆ 2 Uˆ 2 Zˆ o − Iˆ 2
a po dosazení za Zˆ o =
Aˆ12 a Aˆ
Aˆ12 Aˆ 21 = Aˆ 2 11 − 1
21
78
Gˆ o = Aˆ 11 + Aˆ 12
Aˆ 21 = Aˆ11 + Aˆ 12 Aˆ 21 = Aˆ11 + Aˆ 112 − 1 (odvozeno z ˆ A 12
Aˆ = Aˆ11 Aˆ 22 − Aˆ12 Aˆ 21 = Aˆ 2 11 − Aˆ12 Aˆ 21 = 1 ).
K obrazovému přenosu Gˆ o definujme obrazovou míru přenosu gˆ o vztahem ˆ ˆ Gˆ o = Gˆ o ⋅ e j arg(Go ) = e g o = e ao + jbo = e ao e jbo .
Po logaritmování obdržíme obrazovou míru přenosu
(
)
ˆ gˆ o = a o + jbo = ln Gˆ o = ln Gˆ o ⋅ e j arg(Go ) = ln Gˆ o + j arg(Gˆ o ) ,
kde jeho reálná složka Uˆ Iˆ a o = ln Gˆ o = ln 1 = ln 1 Uˆ 2 Iˆ2
je obrazový útlum, který udává míru tlumení přenosové cesty a imaginární složka
( )
⎛ Uˆ bo = arg Gˆ o = arg⎜ 1 ⎜ Uˆ ⎝ 2
⎛ ˆ ⎞ ⎟ = arg⎜ I 1 ⎜ Iˆ ⎟ ⎝ 2 ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
je obrazový úhel přenosu, který udává fázový posun mezi vstupním a výstupním napětím nebo proudem. Hledejme nyní vztah mezi kaskádními parametry a obrazovými parametry dvojbranu. Vyjděme z následujících rovnic ˆ Gˆ o = e g o = Aˆ 11 + Aˆ 12 Aˆ 21 ,
Aˆ 112 − Aˆ12 Aˆ 21 = ⎛⎜ Aˆ 11 − Aˆ 12 Aˆ 21 ⎞⎟ ⎛⎜ Aˆ 11 + Aˆ12 Aˆ 21 ⎞⎟ = 1 . ⎠ ⎠⎝ ⎝
Upravme druhou rovnici s využitím první rovnice do tvaru 1 1 1 ˆ ⎛⎜ Aˆ − Aˆ Aˆ ⎞⎟ = = = gˆ = e − g o . 11 12 21 o ˆ ⎝ ⎠ ⎛ˆ ⎜ A11 + Aˆ 12 Aˆ 21 ⎞⎟ G o e ⎝ ⎠
Součtem a rozdílem rovnic získáme 1 ˆ ˆ Gˆ o + = 2 Aˆ 11 = e g o + e − g o , ˆ Go 1 ˆ ˆ Gˆ o − = 2 Aˆ 12 Aˆ 21 = e g o − e − g o . ˆ Go
Užitím hyperbolických funkcí dostaneme rovnice pro káskádní parametry e gˆ o + e − gˆ o Aˆ 22 = Aˆ 11 = = cosh( gˆ o ) , 2 e gˆ o − e − gˆ o Aˆ 12 Aˆ 21 = = sinh( gˆ o ) . 2 79
Dosadíme-li druhou rovnici do vztahů pro obrazovou impedanci Zˆ o =
Aˆ 12 Aˆ
21
Aˆ 21 Aˆ 21
=
Aˆ 12 Aˆ 21 Aˆ 21 Aˆ 21
=
Aˆ 12 Aˆ 21 nebo Zˆ o = Aˆ 21
Aˆ 12 Aˆ
21
Aˆ 12 Aˆ 12
=
Aˆ 12
Aˆ 12
Aˆ12 Aˆ 21
=
Aˆ12 Aˆ 12 Aˆ 21
získáme sinh( gˆ o ) Aˆ 21 = , Zˆ o Aˆ 12 = Zˆ o sinh( gˆ o ) .
Kaskádní matice reciprokého, podélně souměrného dvojbranu vyjádřená pomocí obrazových parametrů má tvar ⎡ cosh( gˆ o ) Zˆ o sinh( gˆ o )⎤ ⎥. ⎢ Aˆ = ⎢ 1 sinh( gˆ o ) cosh( gˆ o ) ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ Zˆ o
[]
Vstupní impedance naprázdno a nakrátko dvojbranu vyjádřená pomocí obrazových parametrů jsou cosh( gˆ o ) ˆ Aˆ Zˆ 1o = 11 = = Z o coth( gˆ o ) , Aˆ 21 sinh( gˆ o ) Zˆ o Zˆ sinh( gˆ o ) ˆ Aˆ Zˆ 1k = 12 = o = Z o tanh( gˆ o ) . cosh( gˆ o ) Aˆ 22
Jejich poměřem získáme Zˆ 1k Zˆ o tanh( gˆ o ) tanh( gˆ o ) = = = tanh 2 ( gˆ o ) ˆ ˆ 1 ˆ Z 1o Z o coth( g o ) tanh( gˆ o )
a po úpravě tanh( gˆ o ) =
Zˆ 1k . Zˆ 1o
Změříme-li na vstupní straně přenosové cesty impedanci naprázdno a nakrátko, můžeme pomocí těchto hodnot určit obrazové parametry pasivního, souměrného dvojbranu. Obrazovou impedanci již z dříve odvozeného vztahu Zˆ o = Zˆ 1o Zˆ 1k
a obrazový přenos
80
⎛ ⎜1+ ⎜ 1 ˆg o = ln⎜ 2 ⎜ ⎜ 1− ⎜ ⎝
Zˆ 1k ⎞⎟ Zˆ 1o ⎟ ⎟, ˆ Z 1k ⎟ ⎟ Zˆ 1o ⎟⎠
odvozený z relací mezi hyperbolickými funkcemi tanh(gˆ o ) = e 2 gˆ o =
1 − e −2 gˆ o 1 + e − 2 gˆ o
,
1 + tanh(gˆ o ) . 1 − tanh(gˆ o )
Příklad 4.3.
Určete obrazové parametry dvojbranu z příkladu 4.1.
♦Řešení:
1
Iˆ1
Uˆ C
IˆC IˆR
Uˆ1
1
C
J − Iˆ2 2
IˆR
R
2
R Uˆ 2
1‘
2‘
Odvození kaskádních parametrů proveďme přímou aplikací Kirchhoffových zákonů a užitím Ohmova zákona v symbolickém tvaru. 1. kaskádní rovnici určíme pomocí 2. Kirchhoffova zákona 1 ˆ 1 1 Uˆ 2 1 ˆ Uˆ 1 = Uˆ C + Uˆ 2 = I C + Uˆ 2 = IˆR 2 − − Iˆ2 + Uˆ 2 = + I 2 + Uˆ 2 j ωC j ωC j ωC R j ωC
(
( ))
⎛ 1 ⎞ ˆ 1 ˆ ⎟⎟ U 2 + = ⎜⎜1 + I2. jωRC ⎠ jω C ⎝
Druhou kaskádní rovnici určíme pomocí 1. Kirchhoffova zákona aplikovaného na řez J a rovnice předchozí ⎛ 1 ⎞ ˆ 1 ˆ ⎜⎜1 + ⎟⎟ U 2 + I2 ˆ ˆ jωC Uˆ 2 ˆ ˆI = Iˆ + Iˆ − − Iˆ = U 1 + U 2 + Iˆ = ⎝ jωRC ⎠ + + I2 = 1 R1 R2 2 2 R R R R 1⎛ 1 ⎞ ˆ ⎛ 1 ⎞ˆ ⎟ I2. ⎟⎟ U 2 + ⎜⎜1 + = ⎜⎜ 2 + R⎝ jωRC ⎠ jωRC ⎟⎠ ⎝
( )
Parametry kaskádní matice dvojbranu tedy jsou 81
Aˆ 11 = 1 +
1 jωRC
1 Aˆ 12 = j ωC
1⎛ 1 ⎞ ⎟ Aˆ 21 = ⎜⎜ 2 + R⎝ jωRC ⎟⎠
Aˆ 22 = 1 +
1 . jωRC
Dvojbran je souměrný, protože platí platí Aˆ11 = Aˆ 22 , takže lze určit jeho obrazové parametry. Po dosazení příslušných parametrů získáme vztah pro obrazovou impedanci Zˆ o =
Aˆ12 = Aˆ 21
1 j ωC 1⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ 2 + ⎟ R⎝ jωRC ⎟⎠
=
R2 , 1 + 2 jωRC
obrazový přenos 2
Gˆ o = Aˆ 11 + Aˆ 112 − 1 = 1 +
(
)
⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎟⎟ − 1 = 1 + + ⎜⎜1 + 1 − 1 + 2 jωRC . jωRC jωRC ⎠ jωRC ⎝
Virtuální laboratoř Praktické výpočty obrazových parametrů dvojbranu umožňuje provádět aplikace 3_6_ObrazovéParametryDvojbranu.xls.
Shrnutí pojmů 4.2. K posouzení vlivu přenosové cesty na přenos energie nebo signálu slouží především napěťový a proudový přenos. Oba tyto přenosy jsou u obrazově přizpůsobeného dvojbranu stejné a definujeme pro ně obrazovou míru přenosu, která má dvě složky obrazový útlum a obrazový úhel přenosu. Obrazově přizpůsobený dvojbran má stejnou hodnotu vstupní i výstupní impedance, která je rovna hodnotě obrazové impedance. Hodnotu obrazové impedance můžeme experimentálně určit výpočtem z naměřených hodnot vstupní impedance naprázdno a nakrátko. Obrazové parametry dvojbranů, obrazová impedance, obrazová míra přenosu, obrazový útlum, obrazový úhel přenosu.
Otázky 4.2. 1. Co jsou to obrazové parametry a k čemu slouží? 2. Proč máme jen dva obrazové parametry dvojbranu? 3. Jaký je vztah mezi napěťovým a proudovým přenosem pasivního, souměrného dvojbranu? 82
4. Pro jaký dvojbran jsou obrazové parametry definovány? 5. Jak můžeme stanovit hodnotu obrazové impedance? 6. Jak je definována obrazová míru přenosu? 7. Co udává obrazový útlum a úhel přenosu? 8. Pomocí kterých funkcí můžeme zapsat obrazové parametry dvojbranu?
Úlohy k řešení 4.2. 1. Určete obrazovou impedanci odporového dvojbranu z obrázku. 1
2 R
R R
1‘
4.3.
2‘
Operační zesilovač
Operační zesilovač je dnes v analogové elektronice nejrozšířenějším funkčním blokem. Jeho diferenční uspořádání je nakresleno na obrázku. Z dvojbranového pohledu je to zdroj napětí řízený napětím. Je-li ideální, jsou proudy do řídících vstupů nulové, což znamená, že diferenční odpor mezi neinvertujícím vstupem (+) a invertujícím vstupem (-) je nekonečně velký, naproti tomu, jak plyne z náhradního schématu, jeho výstupní odpor je nulový. Další vlastností ideálního operačního zesilovače je, že má nekonečně velkou hodnotu napěťové zesílení Kˆ 21 . (+)
Uˆ +
Uˆ r
Uˆ d = Uˆ 1
Uˆ −
Uˆ 2
(–)
Výstupní napětí je nejčastěji vztaženo vůči referenčnímu uzlu. Je-li výstupní i vstupní napětí vztaženo vůči zemi, jedná se o trojpól a tedy dvojbran s krajní příčnou nesouměrností. V případě obecných časových průběhů vstupních napětí a kmitočtově závislé operační sítě níže odvozené přenosy zachovávají platnost, musíme však provést transformaci komplexních přenosů do roviny časové. Pro napětí mezi vstupy ideálního operačního zesilovače Uˆ 1 , které také nazýváme diferenční (rozdílové) napětí Uˆ d , platí z přenosu řízeného zdroje napětí 83
Uˆ 2 Uˆ d = Uˆ 1 = lim = 0V, ˆ Kˆ 21 → ∞ K 21
což znamená, že pro rozdíl napětí neinvertujícího a invertujícího vstupu zesilovače platí podle 2. Kirchhoffova zákona Uˆ d = Uˆ 1 = Uˆ + − Uˆ − = 0
a tedy i Uˆ + = Uˆ − .
Napětí na invertujícím vstupu a neinvertujícím vstupu ideálního operačního zesilovače jsou stále stejná, a proto hovoříme o tzv. virtuálním zkratu (propojení) - virtuální proto, že diferenční napětí je sice nulové, ale nevtéká žádný proud do vstupů zesilovače, což s výhodou využíváme při analýze obvodů s operačními zesilovači v lineárním režimu, kdy existuje úměra mezi vstupním a výstupním napětím zesilovače.
Invertující zesilovač s ideálním operačním zesilovačem
Invertující zesilovač získáme doplněním ideálního operačního zesilovače o paralelní napěťovou zpětnou vazbu zařazením impedance Zˆ 2 mezi výstup a invertující vstup zesilovače a zapojením impedance Zˆ1 do uzlu s invertujícím vstupem zesilovače podle obrázku. Uˆ Z Iˆ1
Uˆ Z
1
Iˆ−
2
Iˆ2
Zˆ 2 –
Zˆ1
Uˆ d Iˆ+
Uˆ i
+
Uˆ 2
Pro ideální operační zesilovač platí Iˆ1 = − Iˆ2 , Uˆ Z1 − Uˆ d − Uˆ i = 0 , Uˆ 2 + Uˆ d − Uˆ Z 2 = 0 .
Ideální operační zesilovač má diferenční napětí Uˆ d nulové (virtuální zkrat), takže pro obě smyčky platí po aplikaci Ohmova zákona v symbolickém tvaru Uˆ i = Uˆ Z1 = Zˆ 1 Iˆ1 , Uˆ 2 = Uˆ Z 2 = Zˆ 2 Iˆ2 .
Po vyjádření proudů z napěťových rovnic a jejich dosazení za proudy dostaneme 84
Uˆ i Uˆ =− 2 Zˆ Zˆ 1
2
a pro napěťový přenos Uˆ Zˆ PˆU = 2 = − 2 . Uˆ i Zˆ 1
Z definice napěťového přenosu plyne, že invertující zapojení zesilovače, pokud je zpětná vazba kmitočtově nezávislá, obrací fázi budícího napětí Uˆ i . Zpětná vazba je záporná, protože výstupní napětí je přivedeno na invertující vstup operačního zesilovače. Vstupní impedanci invertujícího zapojení určíme z Ohmova zákona v symbolickém tvaru Uˆ Z Uˆ Zˆ Iˆ Zˆ vst = i = 1 = 1 1 = Zˆ 1 Iˆ1 Iˆ1 Iˆ1
a není již neomezeně velká jako diferenční (vstupní) odpor ideálního zesilovače. Výstupní impedance však zůstává nulová. Příklad 4.4. Určete přenos a vstupní impedanci invertujícího ideálního operačního zesilovače pro Zˆ 1 = R a 1 Zˆ 2 = . Nakreslete schéma zapojení obvodu. jω C
♦Řešení:
Napěťový přenos a vstupní impedanci získáme dosazením za impedance do odvozených vztahů 1 ˆ ˆ U Z jω C 1 =− . PˆU = 2 = − 2 = − ˆ ˆ R jωRC Ui Z1 Zˆ vst = Zˆ 1 = R .
C –
R
Uˆ i
+
Uˆ 2
85
Neinvertující zesilovač s ideálním operačním zesilovačem
Neinvertující zesilovač získáme doplněním ideálního operačního zesilovače o sériovou napěťovou zpětnou vazbu zařazením impedance Zˆ 2 mezi výstup a neinvertující vstup zesilovače, která s impedancí Zˆ1 tvoří dělič napětí proti zemi. Uˆ Z Iˆ1
Iˆ−
Uˆ Z
1
2
Iˆ2
Zˆ 2 –
Zˆ1
Uˆ d Iˆ+ +
Uˆ 2
Uˆ i
Pro ideální operační zesilovač platí Iˆ1 = − Iˆ2 . Uˆ Z1 − Uˆ d + Uˆ i = 0 Uˆ 2 + Uˆ Z1 − Uˆ Z 2 = 0 .
Ideální operační zesilovač má diferenční napětí Uˆ d nulové (virtuální zkrat), takže pro obě smyčky platí po aplikaci Ohmova zákona v symbolickém tvaru a dosazení za proud Iˆ1 Uˆ i = −Uˆ Z1 = − Zˆ 1 Iˆ1 = Zˆ 1 Iˆ2 ,
(
)
Uˆ 2 = −Uˆ Z1 + Uˆ Z 2 = − Zˆ 1 Iˆ1 + Zˆ 2 Iˆ2 = Zˆ 1 Iˆ2 + Zˆ 2 Iˆ2 = Zˆ 1 + Zˆ 2 Iˆ2
a pro napěťový přenos
(
)
Uˆ Zˆ + Zˆ 2 Iˆ2 Zˆ 1 + Zˆ 2 Zˆ PˆU = 2 = 1 = = 1+ 2 . Uˆ i Zˆ 1 Iˆ2 Zˆ 1 Zˆ 1
Z definice napěťového přenosu plyne, že neinvertující zapojení zesilovače, pokud je zpětná vazba kmitočtově nezávislá, zachovává fázi budícího napětí Uˆ i . Zpětná vazba je záporná, protože výstupní napětí je přivedeno na neinvertující vstup operačního zesilovače. Vstupní impedance neinvertujícího zapojení je stejná jako diferenční (vstupní) odpor ideálního zesilovače, čili nekonečně velká a výstupní impedance je nulová. Ideální operační zesilovač je elektronický prvek modelovaný zdrojem napětí řízeným napětím, tedy aktivním dvojbranem se závislým zdrojem. Jeho technická realizace, reálný operační zesilovač je neautonomní dvojbran, který vyžaduje ke své činnosti externí napájení ze souměrného stejnosměrného zdroje napětí o velikosti napětí ± U N . Z tohoto důvodu je v dalším textu u schematické značky operačního zesilovače kresleno i napájecí napětí, které se objeví na jeho výstupu, jestliže absolutní hodnota součinu Kˆ 21 Uˆ 1 > U N , pokud zanedbáme 86
úbytky napětí. Zesilovač je potom v saturaci a přestává pracovat jako lineární prvek. Kladné saturaci odpovídá u 2 = +U 2sat = +U N a záporné u 2 = −U 2sat = −U N .
Astabilní klopný obvod
Astabilní klopný obvod, využívá ke své funkci kladnou i zápornou zpětnou vazbu ke generování výstupního pravoúhlého průběhu napětí klopného obvodu, jehož kmitočet závisí na hodnotách parametrů zpětnovazební sítě. Jde o spojení komparátoru a invertujícího zapojení operačního zesilovače.
uR i1
u − = uC
i−
i2
R +UN
–
C u R1
i+ +
Ui
R1
u R –UN 2
u+
u2 R2
Úrovně, při kterých dochází k změně výstupního napětí komparátoru u 2 cyklicky ze saturační úrovně + U 2sat = +U N na − U 2sat = −U N a z úrovně − U 2sat = −U N na + U 2sat = +U N jsou dány rovnicí u+ =
R2 R1 U i , kam dosadíme za u 2 = +U 2sat a u 2 = −U 2sat . u2 + R1 + R 2 R1 + R 2
Tato hodnota napětí slouží jako počáteční podmínka napětí kapacitoru u C (0) . Zápornou zpětnou vazbu operačního zesilovače tvoří RC obvod, jehož odezva je daná skokovou změnou výstupního napětí komparátoru. Uvažujme nejprve chování RC obvodu v přechodném ději při změně výstupního napětí ze záporné saturační hodnoty − U 2sat na kladnou + U 2sat , který je popsán rovnicí uR + uC = u2 ,
do které dosadíme za napětí uR z Ohmova zákona, za proud rovnici kontinuity i = i1 = i 2 =
du dq = C C a výstupní napětí u 2 = +U 2sat , čímž získáme lineární diferenciální dt dt
rovnici 1. řádu Ri + u C = R
du dq + u C = RC C + u C = U 2sat , dt dt 87
jejímž řešením je rovnice u C = U 2sat (1 − e
−
t
τ
) + u C ( 0) e
−
t
= U 2sat + (u C (0) − U 2sat )e
τ
−
t
τ
,
kde časová konstanta τ = RC . Počáteční napětí kapacitoru u C (0) má v našem případě hodnotu první komparační úrovně U k1 . Je to minimálně možná hodnota napětí, na kterou se nabije kapacitor C, což zapíšeme u C ( 0) = U k 1 = −
R1 R2 U 2sat + Ui . R1 + R 2 R1 + R 2
Výsledný tvar řešení rovnice je tedy u C = U 2sat (1 − e
−
t
τ
) + u C ( 0) e
−
t
τ
(
)
= U 2sat + U k − U 2sat e 1
−
t
τ
.
Dobu trvání kladného obdélníkového pulsu na výstupu klopného obvodu T1 zakončenou přechodem výstupního napětí do záporné polarity, určíme tak, že za hodnotu napětí kapacitoru u C dosadíme hodnotu druhé komparační úrovně U k2 =
R1 R2 U 2sat + Ui , R1 + R 2 R1 + R 2
která je maximálně možnou kladnou hodnotou, na kterou se může nabít kapacitor C. Napětí kapacitoru dosáhne této úrovně právě v čase t = T1 , což zapíšeme
(
)
u C (T1 ) = U k 2 = U 2sat + U k1 − U 2sat e
−
T1
τ
a po přeskupení členů dostaneme U k 2 − U 2sat U k1 − U 2sat
=e
−
T1
τ
a úpravách ⎛ U k − U 2sat T1 = τ ln⎜ 1 ⎜ U k − U 2sat ⎝ 2
R2 ⎛ 2 R1 + R 2 U 2sat + Ui ⎜− ⎞ R1 + R 2 ⎟ = τ ln⎜ R1 + R 2 ⎜ ⎟ R2 R2 ⎠ U 2sat + Ui ⎜⎜ − R1 + R 2 ⎝ R1 + R 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟⎟ ⎠
Dobu trvání záporného obdélníkového pulsu na výstupu klopného obvodu T2 zakončenou přechodem výstupního napětí do kladné polarity, určíme analogickým postupem, když v příslušných rovnicích si vymění pozice komparační úrovně a otočí se znaménka výstupního saturačního napětí, takže pro dobu trvání T2 platí ⎛ U k + U 2sat T2 = τ ln⎜ 2 ⎜ U k + U 2sat ⎝ 1
R2 ⎛ 2 R1 + R 2 U 2sat + Ui ⎜ ⎞ R R R R + + ⎜ 1 2 1 2 ⎟ = τ ln ⎜ ⎟ R2 R2 ⎠ U 2sat + Ui ⎜⎜ R1 + R 2 ⎝ R1 + R 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟⎟ ⎠
Součtem dob T1 a T2 dostaneme periodu výstupního napětí astabilního klopného obvodu 88
⎛ U k − U 2 sat U k 2 + U 2 sat T = T1 + T2 = τ ln ⎜ 1 ⋅ ⎜ U k − U 2 sat U k + U 2 sat 1 ⎝ 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
nebo 2 2 ⎛ ⎛ 2R + R ⎞ ⎛ R2 ⎞ ⎞⎟ 2 ⎜−⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ U U + 2 sat ⎟ i ⎟ ⎟ ⎜R +R ⎜ ⎜⎝ R1 + R 2 1 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎟. T = τ ln ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎛ R2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − U 22sat + U i2 ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ R1 + R 2 ⎠ ⎠ ⎝
(
)
Bude-li napětí U i = 0 V , potom se vztah pro periodu T zjednoduší na tvar 2 ⎛ ⎛ 2R + R ⎞ 2 ⎜−⎜ 1 U 2 sat ⎟⎟ ⎜ ⎜⎝ R1 + R 2 ⎠ T = τ ln ⎜ 2 ⎜ ⎛ R2 ⎞ U 2 sat ⎟⎟ ⎜⎜ − ⎜⎜ ⎠ ⎝ ⎝ R1 + R 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎛ 2 R + R2 ⎞ ⎟⎟ ⎟ = 2τ ln ⎜⎜ 1 R2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎟⎟ ⎠
a pro R1 = R2 je T1 = T2 , perioda má hodnotu T = 2τ ln (3)
u+
a astabilní klopný obvod generuje pravoúhlé napětí se střídou 1:1.
T/2
T
t
u-
0
U2sat Uk2 0 Uk1
T/2
T
t
u2
-U2sat
0
T/2
89
T
t
Virtuální laboratoř K analýze a studiu chování obvodů s operačním zesilovačem použijte aplikace 4_1_InvertujiciOZ.xls, 4_2_InvertujiciOZ_derivacni.xls, 4_3_InvertujiciOZ_integracni.xls, 4_4_AstabilniKlopnyObvod.xls, 4_5_NeinvertujiciOZ.xls, 4_6_Komparator.xls, 4_7_KmitoctovePrenosy_OZ.xls.
Shrnutí pojmů 4.3. Zápornou zpětnou vazbu využíváme u operačního zesilovače k realizaci jeho invertujícího a neinvertujícího zapojení. Pokud není výstup zesilovače v saturaci vstupní napětí je úměrné výstupnímu napětí. Zesílení obvodu s ideálního operačním zesilovačem je dáno vlastnostmi zpětnovazební sítě, protože má nekonečně velké zesílení. Neomezené zesílení má za následek i nulové diferenční (rozdílové) napětí mezi jeho neinvertujícím a invertujícím vstupem. Kromě nulového diferenčního napětí, nazývaného také virtuálním zkratem, má ideální operační zesilovač nulové proudy do vstupů a tím i nekonečně velký vstupní odpor. Jeho výstupní odpor je nulový, protože obvodovým modelem je zdroj napětí řízený napětím. Operační zesilovač bez zpětné vazby nazýváme komparátorem. Je-li diferenční napětí kladné, je i výstup zesilovače v kladné saturaci. Při záporném diferenčním napětí je výstup zesilovače v záporné saturaci. Zavedením kladné zpětné vazby komparátoru se zavede hystereze do překlápění výstupního napětí. Současné zavedení kladné i zpětné vazby využíváme při realizaci astabilního klopného obvodu, u něhož kmitočet výstupního pravoúhlého napětí závisí na parametrech kladné i záporné zpětné vazby. Pokud je zapojen zdroj napětí s nenulovou hodnotou v obvodu kladné zpětné vazby je střída, čili poměr kladné a záporné části periody výstupního pravoúhlého napětí astabilního klopného obvodu různý od 1:1. Výstup operačního zesilovače je v saturaci, překročí-li vlivem velkého zesílení diferenční napětí reálného zesilovače hodnotu jeho souměrného napájecího napětí. Ideální operační zesilovač, zdroj napětí řízený napětím, diferenční napětí, virtuální zkrat, neinvertující vstup, invertující vstup, neinvertující zapojení operačního zesilovače, invertující zapojení operačního zesilovače, komparátor, komparátor s hysterezí, astabilní klopný obvod, střída, saturace operačního zesilovače.
Otázky 4.3. 1. Jaké jsou vlastnosti ideálního operačního zesilovače? 2. Co je to virtuální zkrat? 3. Čím jsou určeny přenosové vlastnosti obvodu s ideálním operačním zesilovačem? 4. Kterou zpětnou vazbu vyžíváme u invertujícího a neinvertujícího zapojení operačního zesilovače? 5. Jak se liší zesílení invertujícího a neinvertujícího operačního zesilovače? 6. Jak nazýváme komparátor s operačním zesilovačem? 7. Jaký vliv má kladná zpětná vazba na funkci komparátoru? 90
8. Kterou zpětnou vazbu vyžíváme u astabilního klopného obvodu? 9. Na čem závisí kmitočet výstupního napětí astabilního klopného obvodu?
Úlohy k řešení 4.3. 1. Určete velikost výstupního napětí obvodu s reálným operačním zesilovačem zapojeném v neinvertujícím zapojení, který je napájený ze symetrického zdroje napětí o velikosti ± 15 V pro hodnotu odporu rezistoru R 1 = 10 kΩ a hodnoty odporů rezistoru a) R 2 = 100 kΩ a R 2 = 150 kΩ b) při hodnotě vstupního stejnosměrného napětí 1 V. Předpokládejte, že pro diferenční odpor zesilovače Rd platí, že Rd >> R1 , R2 a pro zesílení Ad >> 1 +
R1 . R2
Klíč k řešení 1. Proud nakrátko je obecně definován − Iˆ2 k =
1
1 ˆ Uˆ i , takže pro Zˆ i = 0 Ω platí − Iˆ2 k = U i , ale Uˆ 1 = Uˆ i . Aˆ12 Aˆ 22 Zˆ i + Aˆ 12
− Iˆ Přenosová admitance nakrátko je PˆIU = 2 k Uˆ 1
1 ˆ Ui ˆA 1 12 = = = Uˆ i Aˆ 12
1 = jω C . 1 jω C
2. Dvoubran má hodnoty kaskádních parametrů Uˆ Aˆ11 = 1 = Uˆ 2o
Iˆ Aˆ 21 = 1o Uˆ 2 o
Uˆ 1 Uˆ = 1 = 2, ˆ R ˆ U1 U1 R+R 2
Uˆ 1 Uˆ 1 2R 1 = R+R = = , ˆ U1 Uˆ 1 R 2 2
Uˆ 1 Aˆ 12 = = − Iˆ 2k
Iˆ Aˆ 22 = 1k − Iˆ2 k
Je souměrný Aˆ 11 = Aˆ 22 a obrazoví impedance je Zˆ o =
Aˆ 12 3R = = 3R . 1 Aˆ 21 R
91
Uˆ 1 R R+R
Uˆ 1 RR R+ R+R
=
Uˆ 1 1 Uˆ
= 3R , 1
2 3 R 2
Uˆ 1 1 RR 3 R+ R R + R 2 = = =2. 1 1 Uˆ 1 R 2 3 RR R+R R R+ 2 R+R
3. Jelikož Rd >> R1 , R2 a Ad >> 1 +
R1 můžeme zesilovač považovat za ideální. Zesilovač je R2
buzen stejnosměrně, takže ho můžeme popsat stejnosměrnými veličinami a nemusíme používat k popisu fázory, takže pro přenos zesilovače platí PU =
R2 –
R1
U2 R =1+ 2 . Ui R1
+UN
Ud +
Ui
U2
–UN
⎛ R ⎞ ⎛ 100000 ⎞ a) U 2 = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟U i = ⎜1 + ⎟ ⋅1 = 11 V , U d = 0 V , R1 ⎠ 10000 ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ R ⎞ ⎛ 150000 ⎞ b) U 2 = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟U i = ⎜1 + ⎟ ⋅1 = 16 V , ale U 2 > U N , takže U 2 = 15 V a U d ≠ 0 V . R1 ⎠ 10000 ⎠ ⎝ ⎝
Zadání samostatné práce č. 4: Nakreslete obvodový model dvojbranu ve tvaru T nebo Π článku. Zvolte komplexní hodnoty imitancí větví zvoleného článku, tak aby byl podélně nesouměrný, nakreslete jeho blokové schéma, do kterého zakreslete počítací šipky branových veličin, uveďte symbol kaskádního modelu dvojbranu, pomocí virtuální laboratoře určete hodnoty komplexní kaskádní matice dvojbranu, sekundární parametry dvojbranu a popište dvojbran kaskádními rovnicemi ve vlnovém tvaru. Dále pomocí virtuální laboratoře určete komplexní vstupní a výstupní obrazové impedance dvojbranu. Poté uvažujte, že tyto obrazové impedance jsou připojeny k výstupním svorkám dvojbranu a určete komplexní hodnoty vstupní impedance dvojbranu. Vypočtené hodnoty uveďte přehledně do tabulek a posuďte. Použijte aplikace virtuální laboratoře 3_2_Tclanek.xls, 3_3_PIclanek.xls, 3_4_KaskadniRazeni2Dvojbranu.xls, 3_6_ObrazovéParametryDvojbranu.xls.
Další zdroje [1] Mikulec, M.; Havlíček, V.:Základy teorie elektrických obvodů 2. Skriptum ČVUT Praha1998; podkapitola 4.2, 4.4 a 4.5 [2] Punčochář, J.: Operační zesilovače - historie a současnost. BEN - technická literatura, Praha 2002, kapitola 3 [3] Punčochář, J.: Operační zesilovače v elektronice. BEN - technická literatura, Praha 1996 až 2002 (1. až 5. vydání), čl. 21 92
5. OBVODY S PROMĚNNÝMI PARAMETRY. FÁZOROVÉ ČÁRY, AMPLITUDOVÉ A FÁZOVÉ CHARAKTERISTIKY, BODEHO METODA Čas ke studiu: 6 hodin Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět • • • •
vhodným způsobem modelovat změny parametrů obvodových prvků a zdrojů a nakreslit přímkové hodografy impedancí a admitancí (fázorové čáry) sestrojit hodograf (fázorovou čáru) admitance (impedance), známe-li přímkový hodograf impedance (admitance) aplikovat nově získané poznatky a i na změny frekvence - kmitočtové charakteristiky sestrojit kmitočtové asymptotické charakteristiky (Bodeho)
Výklad Změny velikosti obvodových parametrů v harmonicky ustáleném stavu reprezentujeme v komplexní rovině souborem fázorů, jejichž koncové body se pohybují po křivkách, jež nazýváme fázorovými čarami nebo hodografy. Označíme-li změnu parametru reálným číslem p, můžeme popsat změnu odporu R = p R0, kapacity C = p C0, indukčnosti vlastní L = p L0, případně změnu parametru nezávislého nebo řízeného zdroje např. kmitočtu ω = pω0. Indexem 0 je označena vztažná hodnota parametru, což může být např. jmenovitá hodnota, rezonanční úhlový kmitočet nebo jiná hodnota parametru. Funkční závislosti parametru p zkoumáme pomocí komplexní funkce reálné proměnné Fˆ ( p ) , kterou můžeme zapsat ve složkovém tvaru Fˆ ( p ) = Re {Fˆ ( p)} + j Im{Fˆ ( p)} ,
a zobrazit hodografem nebo zapsat ve tvaru exponenciálním ˆ Fˆ ( p ) = Fˆ ( p ) e j arg (F ( p ) ) a
zobrazit
amplitudovou (modulovou)
(
)
charakteristikou
F ( p) = Fˆ ( p)
a
fázovou
⎛ Im{Fˆ ( p ) ⎞ ⎟. ˆ ( p) ⎟ Re{ F ⎝ ⎠
charakteristikou ϕ P = arg Fˆ ( p) = arctan⎜⎜
Fázorové čáry jsou orientované, takže jim přiřazujeme orientaci pomocí šipky. Kladná orientace odpovídá nárůstu hodnot parametru p. Opatřujeme je kvůli odečtu hodnot parametru p parametrickou stupnicí, která je v některých případech nelineární. Grafickou podobu funkce můžeme získat stanovením funkčních hodnot pro dostatečný počet hodnot parametru p z požadovaného intervalu, ať už zobrazujeme hodograf či amplitudovou a fázovou charakteristiku. Tento postup je v době masového využití výpočetní techniky snadno realizovatelný a jediný možný u složitějších obvodů. V jednodušších případech obvodů 93
můžeme využít i geometrické konstrukce, neboť hodografy jsou většinou přímky nebo kružnice, pro které lze jednoduše konstruovat i parametrické stupnice. Základními hodografy či přesněji fázorovými čárami jsou impedanční charakteristiky Zˆ ( p) a admitanční charakteristiky Yˆ ( p) , ze kterých užitím zobecněného Ohmova zákona můžeme snadno odvodit hodografy napětí a proudu ze vztahů Uˆ ( p) = Zˆ ( p) Iˆ( p) a Iˆ( p) = Yˆ ( p) Uˆ ( p )
a z jejich součinů i hodografy výkonů Sˆ ( p ) = Uˆ ( p ) Iˆ * ( p ) = Uˆ * ( p) Iˆ( p) .
5.1.
Hodograf jednoduchého obvodu s proměnným parametrem
Příklad obvodu s proměnným parametrem si ukažme na obvodu s proměnným induktorem a sériově zařazeným rezistorem R s nenulovou hodnotou odporu.
Rezistor a proměnný induktor v sérii
Impedanční charakteristika tohoto obvodu je Zˆ ( p ) = R + jω p L0 = R + p j X L 0 ,
Û(p) ÛL(p)
ÛR(p)
Î(p)
R
pL0
kde L0 a X L 0 je vztažná hodnota indukčnosti a její reaktance. Je to polopřímka, které můžeme využít k stanovení měřítka parametrické stupnice, která je lineární. Měřítko parametrické stupnice je dané hodnotami impedanční charakteristiky Zˆ (0) a Zˆ (1) viz obrázek. Admitanční charakteristika je inverzní k charakteristice impedanční Yˆ ( p) =
1 Zˆ ( p)
=
1 R + jω p L 0
=
1 R = 2 R + p j X L0 R + p X L 0
(
)
2
−j
p X L0
(
R 2 + p X L0
)
2
.
Je to rovnice kružnice, jejíž poloha v komplexní rovnice je určena třemi body, které nejsnáze získáme pro tzv. hlavní hodnoty parametru p = 0, p = 1 a p → ∞ 1 Yˆ (0) = , R
Yˆ (1) =
R 2
R +
X L20
−j
94
X L0 2
R + X L20
,
Yˆ (∞) = 0 .
k1
R1 Yˆ (∞)
Yˆ (0)
S
+1
+j
Zˆ ( p)
4
3
Yˆ (1)
Yˆ ( p)
1
2
3 2 Zˆ (1)
R2
1
1 R
k2
-j
Zˆ (0)
2 1
+1
Parametrická stupnice umístěná po obvodu půlkruhu je nerovnoměrná. Linearizujeme ji tak, že ji promítneme na polopřímku s rovnoměrným dělením stupnice užitím geometrické inverze vůči středu inverze, který leží v bodě s hodnotou Yˆ (∞) . Půlkružnice a jí odpovídající inverzní polopřímka jsou inverzní vůči řídicí kružnici k1 se středem v bodě Yˆ (∞) a libovolným poloměrem R1, přičemž polopřímku získáme spuštěním kolmice z průsečíku řídící kružnice a půlkružnice hodografu Yˆ ( p) na spojnici středu inverze Yˆ (∞) a středu kružnice S. Tím, že poloměr řídící kružnice je libovolný, může být kolmice vztyčena v libovolném místě z průsečíku řídicí kružnice a půlkružnice. Neexistuje-li tento průsečík, konstrukci provedeme pomocí řídicí kružnici k2 postupem naznačeným na obrázku. V bodě Yˆ (0) vztyčíme kolmici a v místě jejího průsečíku s kružnicí k2 sestrojíme tečnu ke kružnici. V místě, kde tato tečna protne polopřímku určenou bodem s hodnotou Yˆ (∞) a středem kružnice S leží parametrická přímka, která je na ni kolmá. Střed půlkružnice S stanovíme geometrickou konstrukcí obecně z průsečíku os tětiv daných dvojicemi bodů určených hodnotami Yˆ (0) , Yˆ (1) a Yˆ (1) , Yˆ (∞) . Měřítko parametrické stupnice určíme promítnutím hodnot Yˆ (0) , Yˆ (1) do inverzní přímky ze středu inverze Yˆ (∞) . Nula parametrické stupnice přímky tedy leží na polopřímce začínající bodem Yˆ (∞) a procházející středem kružnice S. Při napájení tohoto obvodu ze zdroje s konstantními parametry získáme připojením proudového zdroje Iˆ( p ) = Iˆo hodograf napětí Uˆ ( p ) = Zˆ ( p ) Iˆo = (R + jω p L0 ) Iˆo = R Iˆ + jω p X L 0 Iˆo = Uˆ R + Uˆ L ( p ) ,
který bude po podělení velikostí proudu I o = Iˆo
totožný s hodografem impedanční
charakteristiky Zˆ ( p) . Pokud zavedeme měřítko impedance mZ dané velikostí impedance Zˆ připadající na jednotku délky parametrické stupnice, bude hodograf Uˆ ( p ) totožný s hodografem Zˆ ( p) , jak plyne z Ohmova zákona, při měřítku napětí mU = mZ Io. 95
Podobně při napájení tohoto obvodu z napěťového zdroje Uˆ ( p ) = Uˆ o bude hodograf proudu daný Iˆ( p ) = Yˆ ( p ) Uˆ o =
Zˆ ( p)
+j
⎛ Uˆ o R ⎜ =⎜ 2 R + jω p L 0 ⎜ R + p X L 0 ⎝
(
)
2
−j
p X L0
(
R 2 + p X L0
)
2
⎞ ⎟ ˆ ⎟U o ⎟ ⎠
) U ( p)
+1
3 Yˆ ( p )
1 4
2 2
3 2
Iˆ( p )
1
1 3
1 -j
R
) U R ( p)
+1
2
a po podělení velikostí napětí U o = Uˆ o
bude totožný s hodografem admitanční
charakteristiky Yˆ ( p) . Zavedeme-li měřítko admitance mY dané velikostí admitance Yˆ připadající na jednotku délky parametrické stupnice, bude hodograf Iˆ( p ) totožný s hodografem Yˆ ( p) , jak plyne z Ohmova zákona, při měřítku proudu mI = mY Uo. Podobně hodograf napětí rezistoru Uˆ R ( p ) po podělení velikostí součinu R Uˆ resp. při měřítku napětí mU = R mI = mY R Uo splyne s hodografem Yˆ ( p) Uˆ R ( p) = R Iˆ( p) = R Yˆ ( p ) Uˆ o = Yˆ ( p) R Uˆ o =
1 R Uˆ o . R + j p X L0
Stejné měřítko napětí má i hodograf napětí induktoru, protože z 2. Kirchhoffova zákona platí
(
)
⎛ R Uˆ L ( p) = Uˆ o − Uˆ R ( p) = Uˆ o − Yˆ ( p) R Uˆ = 1 − Yˆ ( p) R Uˆ o = ⎜⎜1 − R + jp X 0 ⎝ = j pX Iˆ( p)
jp X L 0 ⎞ ˆ ⎟⎟ U o = Uˆ o = j R + p X L0 ⎠
L0
a po rozšíření posledního členu rovnice podílem
R , získáme rovnici R
R Uˆ L ( p) = jp X L 0 Iˆ( p ) = j R
96
p X L0 R
Uˆ R ( p) ,
ze které vidíme, že napětí Uˆ L ( p) je natočeno o 90° vůči napětí Uˆ R ( p ) a že jeho velikost je p X L0 R
násobkem velikosti Uˆ R ( p) . Protože podíl
p X L0 R
je bezrozměrný, mají obě napětí
stejné měřítko. Uˆ L ( p )
+j
Uˆ R ( p)
Uˆ o Uˆ L ( p )
Uˆ o
+1
+1
Uˆ R ( p) -j
Hodograf zdánlivého výkonu tohoto obvodu při napájení z proudového zdroje je dán rovnicí Sˆ ( p ) = Uˆ ( p) Iˆo* = Zˆ ( p ) Iˆo Iˆo* = Zˆ ( p ) Iˆo
2
(
)
= R + jp X L 0 I o2 ,
ze které vidíme, že po podělení kvadrátem efektivní hodnoty proudu I o2 nebo po zavedení měřítka výkonu mS = mZ I o2 je totožný s hodografem Zˆ ( p) . Podobně hodograf zdánlivého výkonu tohoto obvodu při napájení z napěťového zdroje je dán rovnicí
(
Sˆ ( p) = Uˆ o Iˆ * ( p) = Uˆ o Iˆ * ( p ) = Uˆ o Yˆ ( p) Uˆ o
)
*
= Yˆ * ( p ) Uˆ o Uˆ o* = Yˆ * Uˆ o
2
⎛ 1 =⎜ ⎜ R + j pX L 0 ⎝
*
⎞ ⎟ U o2 . ⎟ ⎠
K jeho konstrukci musíme sestrojit komplexně sdružený hodograf k Yˆ ( p) , což je v našem případě půlkružnice zrcadlově překlopená kolem reálné osy nebo můžeme použít hodograf Yˆ ( p) , s tím, že fázový posun mezi napětím a proudem budeme orientovat opačným směrem tj. ve směru hodinových ručiček, tedy od napětí zdroje Uˆ o k proudu obvodu Iˆ( p ) . Potom i v tomto případě po podělení kvadrátem efektivní hodnoty napětí U o2 nebo po zavedení měřítka výkonu mS = mZ U o2 bude hodograf Sˆ ( p ) totožný s hodografem Yˆ ( p) resp. Yˆ * ( p ) Příklad 5.1. Určete a nakreslete hodograf proudu a obou napětí sériového zapojení rezistoru R a proměnného kapacitoru se vztažnou hodnotou C0..
♦Řešení: 97
Náhradní schéma obvodu s počítacími šipkami je nakresleno na obrázku. Û(p) ÛC(p)
ÛR(p)
Î(p)
R
pC0
Admitanční charakteristika je dána rovnicí 1
Yˆ ( p) =
Zˆ ( p)
1
= R+
1 jω p C 0
p X C0 pR + j X C0 p2R p 1 j , = + = 2 2 2 1 pR − j X C0 pR + j X C0 ( p R ) + X C2 ( ) p R X + C R − j X C0 0 0 p
=
pro p ∈ (0, ∞) . Hlavní hodnoty charakteristiky jsou pro hodnoty parametru p = 0, p = 1 a p→∞
Yˆ (0) = lim Yˆ ( p) = lim p →0
p →0
Yˆ (1) = lim Yˆ ( p) = lim p →1
p →1
p2R
( p R )2 + X C2 p2R
( p R)
Yˆ (∞) = lim Yˆ ( p) = lim p →∞
p →∞
2
+ X C2 0
+j 0
+j
p2R
( p R)
2
+
X C2 0
p X C0
( p R )2 + X C2 p X C0
( p R)
+j
=0, 0
2
+ X C2 0
=
p X C0
( p R)
2
+
X C2 0
R 2
R + =
X C2 0
+j
X C0 2
R + X C2 0
,
1 . R
Hodograf proudu při napájení obvodu ze zdroje napětí Uˆ ( p ) = Uˆ o je Iˆ( p ) = Yˆ ( p ) Uˆ o a
pro hodograf napětí rezistoru Uˆ R ( p) = R Iˆ( p ) = R Yˆ ( p) Uˆ o . +j
+j
2
2
1
1 Iˆ( p)
Yˆ ( p)
Yˆ (1)
Yˆ (0)
Iˆ(1) Yˆ (∞) +1
Iˆ(0)
98
Iˆ(∞) +1
Hodograf proudu při měřítku mI = mY Uo a hodograf napětí při měřítku mU = R mI = mY R Uo splynou s hodografem Yˆ ( p) . Pro hodograf napětí kapacitoru platí 1 XC p 0 ˆ 1 U o = − j X C 0 Yˆ ( p) Uˆ o , ˆ p Z ( p)
−j Uˆ C ( p) =
ze kterého vidíme, že fázor Uˆ C ( p ) je natočený o -90° stupňů vůči fázoru Uˆ R ( p ) . +j
Uˆ R ( p )
Uˆ C ( p ) Uˆ o
Uˆ o Uˆ R ( p )
+1
+1
Uˆ C ( p) -j
Duální obvod k zadanému obvodu je nakreslen na obrázku. Provedeme-li duální záměnu veličin a charakteristik budou rovnice a hodografy duálního obvodu napájeného ze zdroje proudu Iˆ( p ) = Iˆo stejné jako zadaného obvodu tedy
Shrnutí pojmů 5.1. Fázorová čára je spojitá křivka zobrazená v komplexní rovině, na které leží geometrická místa bodů vymezená definičním intervalem reálné proměnné p komplexní obvodové funkce Fˆ ( p ) . Fázorovou čarou či hodografem modelujeme vliv změny obvodového parametru na chování elektrického obvodu. Základními hodografy jsou impedanční a admitanční charakteristiky, ze kterých lze odvodit hodografy napětí a proudu užitím Ohmova zákona v symbolickém tvaru. Hodografy obvodů s proměnnými parametry konstruujeme pomocí imitančních charakteristik, kterými jsou komplexní funkce impedance a admitance obvodu s reálným parametrem p. Proměnný parametr se používá k modelování změny hodnoty obvodového parametru – odporu, indukčnosti a kapacity. Inverzní imitanční charakteristiky jednoduchých obvodů konstruujeme užitím geometrické inverze vůči řídicí kružnici a pomocí středu inverze. Geometrickou inverzi používáme i k linearizaci parametrické stupnice půlkruhového nebo kruhového diagramu. Lineární parametrická stupnice je kolmice vztyčená na spojnici středu inverze a středu kružnice.
99
Fázorová čára, hodograf, amplitudová charakteristika, fázová charakteristika, impedanční charakteristika, admitanční charakteristika, Proměnný induktor, proměnný kapacitor, inverze, střed inverze, řídící kružnice, parametrická stupnice, hlavní hodnota proměnného parametru.
Otázky 5.1. 1. Jakým způsobem modelujeme vliv změn obvodových parametrů? 2. Co je to fázorová čára? 3. Je rozdíl mezi hodografem a fázorovou čarou? 4. Co udává amplitudová a fázová charakteristika? 5. Jak konstruujeme hodograf nebo amplitudovou a fázovou charakteristiku obvodu s proměnným parametrem? 6. Které charakteristiky definují fázové a amplitudové poměry v elektrickém obvodu ? 7. Jak nazýváme inverzní charakteristiku k charakteristice impedanční? 8. Kterou charakteristiku použijeme pro konstrukci hodografů obvodových veličin sériového řazení základních obvodových prvků s jedním proměnným parametrem při jeho napájení ze zdroje proudu? 9. Je-li impedanční charakteristikou polopřímka, jak jakou podobu bude mít charakteristika admitanční? Kde leží střed její inverze? 10. Které hlavní hodnoty parametru používáme ke konstrukci půlkruhového hodografu? 11. K čemu slouží parametrická stupnice a jak určíme její měřítko? 12. Jak linearizujeme nelineární parametricku stupnici?
Úlohy k řešení 5.1. 1. Nakreslete impedanční a admitanční hodografy základních jednoprvkových obvodů s proměnným parametrem.
5.2.
Kmitočtové charakteristiky
V praxi často vyšetřujeme změnu charakteristik obvodu na kmitočtu f = p f0 resp. úhlovém kmitočtu ω = pω0, kdy vztažným kmitočtem je charakteristický kmitočet obvodu, kterým může být lomový kmitočet, rezonanční kmitočet aj. Amplitudové a fázové kmitočtové charakteristiky RC a RL obvodů uvedené v kapitole 1.1, můžeme popsat následujícími prototypy komplexních funkcí Fˆ ( p ) reálného parametru p: Fˆ ( p, ω ) = K 0 + jω K 1 = K 0 + j pω 0 K 1 = K 0 (1 + j pω 0 τ 1 )
nebo Fˆ ( p, ω ) =
1 1 1 = = . K 0 + jω K 1 K 0 + j pω 0 K 1 K 0 (1 + j pω 0 τ 1 )
Pro jejich amplitudové charakteristiky platí 100
⎛ K ⎞ 2 F ( p ) = Fˆ ( p) = K 0 ⎜⎜1 + j pω 0 1 ⎟⎟ = K 0 1 + ( pω 0 τ 1 ) , K 0 ⎠ ⎝
F ( p ) = Fˆ ( p) =
1 ⎛ K ⎞ K 0 ⎜⎜1 + j pω 0 1 ⎟⎟ K0 ⎠ ⎝
=
a zvolíme-li vztažnou hodnotu úhlového kmitočtu ω 0 =
1 K 0 1 + ( pω 0 τ 1 )
2
K0 1 = , kde τ je časová konstanta je K1 τ 1
L/R nebo RC, bude normovaná amplitudová charakteristika nezávislá na hodnotách parametru K0 a K1, tedy F ( p ) = K 0 1 + p 2 a F ( p ) =
1 K0 1+ p 2
.
Jejich fázové charakteristiky jsou kmitočtově závislé funkce
(
)
ϕ P ( p ) = arg Fˆ ( p) = arg(K 0 (1 + j p )) = arctan( p ) ,
(
)
⎛
⎞ 1 ⎟⎟ = arctan(− p ) . ⎝ K 0 (1 + j p ) ⎠
F(p) (-)
ϕ P ( p ) = arg Fˆ ( p ) = arg⎜⎜
F ( p) = 1 + p 2
F ( p) =
K0 = 1
1 1+ p2
0 1
2
3
4
1
2
3
4
ϕ (°)
90
0
-90 p (-)
101
Shrnutí pojmů 5.2. Normováním komplexní funkce Fˆ ( p ) reálného parametru p získáme univerzální amplitudovou a fázovou kmitočtovou charakteristiku daného obvodu, nezávislou na hodnotách vztažného úhlového kmitočtu. Vztažný úhlový kmitočet je dán převrácenou (inverzní) hodnotou časové konstanty obvodu. Prototyp komplexní funkce charakteristika.
Fˆ ( p ) ,
normovaná amplitudová a fázová kmitočtová
Otázky 5.2. 1. Jaký je vztah mezi vztažným úhlovým kmitočtem a časovou konstantou obvodu? 2. Jakou výhodu má normovaný tvar amplitudové a fázové kmitočtové charakteristiky? 3. Který prototyp komplexní funkce Fˆ ( p) reálného parametru p má amplitudovou kmitočtovou charakteristiku přímku? Jakou má fázovou charakteristiku? 4. Jakou hodnotu amplitudy a fáze mají prototypy komplexních funkcí Fˆ ( p) LR a RC
obvodu pro hodnotu parametru p = 1 ?
Úlohy k řešení 5.2. 1. Nakreslete obvodové schéma tvořené dvěma různými základními obvodovými prvky,
které má normovanou amplitudovou charakteristiku napěťového přenosu danou rovnicí PU = F ( p) =
5.3.
1 1+ p 2
.
Bodeho charakteristiky
Bodeho charakteristiky jsou asymptotické amplitudové i fázové kmitočtové charakteristiky, jejichž kmitočtová osa je zobrazena v logaritmickém měřítku. Logaritmické měřítko má i osa amplitudová a tím pádem je vynášena v decibelech. Výhodou zavedení logaritmického měřítka amplitudové charakteristiky jsou nejen vlastnosti funkce logaritmus, ale i možnost zobrazení velkého rozsahu amplitud. Normované amplitudové Bodeho charakteristiky RL a RC obvodu jsou dány FdB ( p) = 20 log F ( p) = 20 log 1 + p 2
nebo FdB ( p ) = 20 log F ( p) = 20 log
1 1+ p
2
= 20 log 1 − 20 log 1 + p 2 = −20 log 1 + p 2 .
Asymptoty logaritmických amplitudových charakteristik získáme diskuzí rovnic charakteristik pro hodnoty parametru p. Pro p << 1 pod odmocninou můžeme zanedbat 102
čtverec parametru p 2 , takže pro oba případy charakteristik platí, že první část asymptotické charakteristiky má rovnici FdB ( p) = 20 log 1 = 0 dB , což odpovídá charakteristice jednotkového zesílení. Pro p >> 1 pod odmocninou můžeme zanedbat jedničku vůči členu p 2 , takže druhá část asymptotické charakteristiky je dána rovnicí FdB ( p ) = 20 log p 2 = 20 log p , což je charakteristika ryze derivačního obvodu a pro inverzní případ charakteristiky rovnicí FdB ( p) = −20 log p , což je charakteristika ryze integračního obvodu. Obě části asymptotické charakteristiky jsou přímky, které se protínají v bodě definovaném normovaným kmitočtem p = 1 a hodnotou amplitudy 0 dB. První asymptota má v obou případech charakteristik hodnotu amplitudy 0 dB a druhá má směrnici +20 dB/dekádu resp. v inverzním případě 20 dB/dekádu. Výsledná asymptotická logaritmická amplitudová charakteristika je popsána funkcí F1dB ( p) = 0 dB pro p ∈< 0,1) , F1dB ( p) = 20 log p 2 = 20 log p pro p ∈< 1, ∞)
a její inverzní případ F2dB ( p ) = 0 dB pro p ∈< 0,1) , F2dB ( p) = −20 log p 2 = −20 log p pro p ∈< 1, ∞) .
Skutečné charakteristiky se od asymptotických charakteristik však odchylují. Největší hodnota odchylky amplitudy asymptotické charakteristiky je v bodě p = 1 , ve kterém má hodnotu ΔF1dB (1) = 20 log 2 − 0 =& 3 dB a v inverzním případě charakteristiky -3 dB. Skutečné fázové charakteristiky dané funkcemi ϕ P ( p) = arctan( p )
nebo ϕ P ( p) = arctan(− p )
aproximujeme asymptotickými průběhy tak, že je složíme ze tří asymptot vymezených dvěma kmitočty, a to kmitočtem o dekádu nižším a o dekádu vyšším než je normovaný kmitočet, což odpovídá hodnotám parametrů p = 0,1 a p = 10 . Výsledná asymptotická fázová charakteristika je v semilogaritmických souřadnicích popsána funkcí ϕ1P ( p ) = 0 ° pro p ∈< 0, 0,1) , ϕ1P ( p) = 45 log( p ) + 45 pro p ∈< 0,1 ,10 > , ϕ1P ( p) = 90 ° pro p ∈ (10, ∞)
nebo v případě inverzní fázové charakteristiky funkcí ϕ 2P ( p) = 0 ° pro p ∈< 0, 0,1) , ϕ 2P ( p) = −45 log( p) − 45 pro p ∈< 0,1 ,10 > , ϕ 2P ( p) = −90 ° pro p ∈ (10, ∞) .
Asymptoty se zobrazují v semilogaritmických souřadnicích jako přímky. První asymptota má konstantní hodnotu fáze 0 ° stupňů pro oba případy charakteristik, druhá má směrnici 45 ° a 103
FdB (dB)
pro inverzní případ -45 ° a třetí má konstantní hodnotu fáze 90 ° a pro inverzní případ -90 °. První a druhá asymptota má společný bod definovaný hodnotou parametru p = 0,1 a nulovou hodnotou fáze, přičemž odchylka asymptotické fázové charakteristiky v tomto bodě od skutečné činí Δϕ1P (0,1) = 0 ° − arctan(0,1) =& −5,7 ° a pro inverzní případ 5,7 ° . Druhá a třetí asymptota má společný bod definovaný hodnotou parametru p = 10 a hodnotou fáze 90 ° resp. pro inverzní případ hodnotou fáze -90 °, přičemž odchylka asymptotické fázové charakteristiky v tomto bodě od skutečné činí Δϕ 2P (10) = 90 ° − arctan(10) =& 5,7 ° a pro inverzní případ − 5,7 ° . 40 20
F1dB ( p )
0
F2dB ( p )
-20 -40
ϕ (°)
90
ϕ1P ( p )
45 0 -45 -90 0,01
ϕ 2P ( p ) 0,1
1
100 p (-)
10
Skládání Bodeho charakteristik
Složitější tvary přenosů mají tvar komplexní racionální lomené funkce, které můžeme po normování upravit do tvaru ω ω K ω am Fˆ ( jω ) = k ω a1 a 2 ω b1ω b 2 K ω bn
⎛ ω ⎞⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞ ⎜j ⎟⎜ j ⎟K ⎜ j ⎟ + + + 1 1 1 ⎜ ω ⎟⎜ ⎟ ⎜ ω ⎟ ⎝ a1 ⎠⎝ ω a 2 ⎠ ⎝ am ⎠ = kω ⎛ ω ⎞⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞ ⎜j ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ω + 1⎟⎜ j ω + 1⎟ K ⎜ j ω + 1⎟ ⎝ b1 ⎠⎝ b 2 ⎠ ⎝ bn ⎠
104
k =m
∏ ω (1 + jp )(1 + jp )K (1 + jp ) = ak
k =1 l =n
∏ω l =1
bl
a1
a2
am
b1
b2
bn
(1 + jp )(1 + jp )K (1 + jp )
k =m
∏ (1 + jp ) ak
k =1 l =n
= kP
∏ (1 + jp )
,
bl
l =1
ω ω jsou po normované kořenové činitele čitatele, p bl = jmenovatele jsou po ω ak ω bl normované kořenové činitele, ω ak a ω bl jsou normovací úhlové kmitočty a k ω , k P jsou kde p ak =
zesílení. Pro amplitudu této funkce v logaritmickém platí ⎛ ⎜ ⎜ FdB (ω ) = 20 log⎜ k ω ⎜ ⎜ ⎝
k =m
⎞
∏
ω 2 + ω a2k ⎟
∏
ω 2 + ω b2l
k =1 l =n l =1
⎛ k =m ⎟ ω 2 + ω a2k ⎟ = 20 log(k ω ) + 20 log⎜⎜ ⎝ k =1 ⎟ ⎟ ⎠
∑
⎛ l =n ⎞ ⎟ − 20 log⎜ ω 2 + ω b2l ⎜ ⎟ ⎝ l =1 ⎠
∑
⎞ ⎟, ⎟ ⎠
takže dílčí logaritmické charakteristiky můžeme sečítat. Pro fázovou charakteristiku platí ⎛ ⎜ ⎜a ϕP (ω ) = arg Fˆ ( jω ) = arg⎜ ⎜b ⎜ ⎝
(
=
)
⎞ ∏(jω + ω ) ⎟⎟ k =m
ak
k =1 l =n
∏(jω + ω ) bl
l =1
⎛ k =m ⎛a⎞ ⎜ = + arg arg jω + ωak ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ b ⎝ ⎠ 1 k = ⎝ ⎟ ⎟ ⎠
∏(
)⎞⎟⎟ − arg⎛⎜⎜ ∏ (jω + ω )⎞⎟⎟ = l =n
⎠
⎝
bl
l =1
⎠
.
⎛ ω ⎞ l =n ⎛ ω ⎞ ⎟ − arctan⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ω ⎟, ak ⎠ b l l =1 ⎝ ⎠
k =m
∑ arctan⎜⎜⎝ ω k =1
∑
kterou dostaneme součtem dílčích fázových charakteristik. Reálné konstanty a, b, což jsou zesílení čitatele a jmenovatele přenosu, mají fázovou charakteristiku nulovou a tím pádem nemají vliv na výslednou fázovou charakteristiku. Příklad 5.2. Nakreslete asymptotickou modulovou a fázovou charakteristiku napěťového přenosu obvodu z obrázku pro parametry R1 = 25 kΩ, R2 = 2 kΩ, C1 = 200 nF.
R1 Û1 C1
R2
Û2
♦Řešení: 105
Napěťový přenos určíme z impedančního děliče Uˆ Zˆ 2 PˆU ( jω ) = Fˆ ( jω ) = 2 = = Uˆ 1 Zˆ 1 + Zˆ 2
R2 R1 + R2 1 + jω R1C1
=
R2 R 2 (1 + jω R1C1 ) = , R1 + R 2 (1 + jω R1C1 ) R1 + R 2 + jω R1 R 2 C1 1 + jω R1C1
kde jsme dosadili za impedance R1 1 1 Zˆ 1 = = = a Zˆ 2 = R2 , ˆ 1 1 + j ω R C Y1 1 1 + j ωC 1 R1
a který upravíme buď do tvaru PˆU ( jω ) =
(1 + jω R1C1 ) 1 + jp a1 R 2 (1 + jω R1C1 ) R2 = = kP R1 + R 2 + jω R1 R 2 C1 R1 + R 2 ⎛ 1 + jp b1 ω R1 R2 C1 ⎞ ⎜⎜1 + j ⎟⎟ R1 + R 2 ⎠ ⎝
nebo ⎞ ⎛ 1 1 R1 R2 C1 ⎜⎜ + jω ⎟⎟ + jω R C ( ) ω + jω ω 1 j R R C + R C 1 1 ⎠ ⎝ 2 1 1 1 1 , = = a1 PˆU ( jω ) = = ω b1 + jω R1 + R 2 + jω R1 R 2 C1 ⎞ R1 + R 2 ⎛ R1 + R 2 + jω + jω ⎟⎟ R1 R2 C1 ⎜⎜ ⎠ R1 R 2 C1 ⎝ R1 R 2 C1
kde kP =
R2 2 10 3 2 = = 3 3 27 R1 + R 2 25 10 + 2 10
ω a1 =
ω b1 =
1 1 = = 200 = 0,2 k rad ⋅ s −1 3 R1C1 25 10 ⋅ 200 10 −9
R1 + R2 R1 + R2 1 1 = ω a1 = ω a1 = 200 = 2700 = 2,7 k rad ⋅ s −1 2 R2 R1C1 R2 kP 27
p a1 = ω R1C1 = p b1 =
ω ω = ω a1 200
ω R1 R2 C1 R1 + R 2
=
ω ω ω ω ω 2 ω = nebo p b1 = = = kP = . 1 ω b1 2700 ω b1 ω a1 27 200 ω a1 kP
Po zavedení substituce Fˆ ( jω ) = PˆU ( jω ) kvůli konstrukci asymptotických charakteristik označme nově jednotlivé členy racionální lomené funkce Fˆ ( jω ) 1 + jp a1 = Fˆkp ( jω ) a1 , Fˆ ( jω ) = PˆU ( jω ) = k P 1 + jp b1 Fˆb1 ( jω )
takže pro logaritmickou amplitudovou charakteristiku platí 106
Fˆ ( jω ) FdB (ω ) = 20 log Fˆ ( jω ) = 20 log Fˆkp ( jω ) a1 = 20 log Fˆkp ( jω ) + 20 log Fˆa1 ( jω ) − 20 log Fˆb1 ( jω ) = ˆ Fb1 ( jω ) = Fkp dB (ω ) + Fa1dB (ω ) − Fb1dB (ω ),
kde ⎛ 2 ⎞ Fkp dB (ω ) = 20 log Fˆkp (ω ) = 20 log(k P ) = 20 log⎜ ⎟ =& 22,6 dB , ⎝ 27 ⎠ 2 ⎞ ⎛ ⎛ ω ⎞ ⎟ ⎜ 2 ⎞ ⎛ ˆ ⎟⎟ ⎟ = Fa1dB (ω ) = 20 log Fa1 (ω ) = 20 log 1 + jp a1 = 20 log⎜ 1 + p a1 ⎟ = 20 log⎜ 1 + ⎜⎜ ⎠ ⎝ ⎜ ⎝ ω a1 ⎠ ⎟ ⎠ , ⎝ 2 ⎞ ⎛ ⎛ ω ⎞ ⎟ ⎜ = 20 log⎜ 1 + ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 200 ⎠ ⎟⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛ ⎛ ω ⎞ ⎜ 2 ⎞ ⎛ ˆ ⎜ ⎟ Fb1dB (ω ) = 20 log Fb1 (ω ) = 20 log 1 + jp b1 = 20 log⎜ 1 + p b1 ⎟ = 20 log⎜ 1 + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ω b1 ⎠ ⎝ 2 ⎞ ⎛ ⎛ ω ⎞ ⎟ = 20 log⎜⎜ 1 + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2700 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠
⎞ ⎟ ⎟= ⎟ ⎠ ,
a fázovou charakteristiku
(
⎛ ⎜ ⎝
)
ϕ P (ω ) = arg Fˆ ( jω ) = arg⎜ Fˆkp ( jω )
Fˆa1 ( jω ) ⎞⎟ = arg Fˆkp ( jω ) + arg Fˆa1 ( jω ) − arg Fˆb1 ( jω ) = Fˆb1 ( jω ) ⎟⎠
(
)
(
)
(
)
= ϕ kp P (ω ) + ϕ a1P (ω ) − ϕ b1P (ω ),
kde ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 0 ⎟ = 0° , = arctan⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 27 ⎠
(
)
(
)
⎛ ω ⎞ ⎟, ⎝ 200 ⎠
(
)
⎛ ω ⎞ ⎟. ⎝ 2700 ⎠
ϕ kp P (ω ) = arg Fˆkp ( jω ) = arg(k p )
ϕ a1P (ω ) = arg Fˆa1 ( jω ) = arg(1 + jp a1 ) = arctan( p a1 ) = arctan⎜
ϕ b1P (ω ) = arg Fˆb1 ( jω ) = arg(1 + jp b1 ) = arctan ( p b1 ) = arctan⎜
Asymptoty amplitudových charakteristik konstruujeme tak, že dílčí funkce vyneseme do grafu. Amplituda funkce Fkp dB (ω ) nezávisí na kmitočtu, je to konstantní funkce s hodnotou 22,6 dB. Asymptoty funkce Fa1dB (ω ) jsou tvořeny dvěma přímkami, které se protínají v bodě daném kmitočtem ω a1 a amplitudou 0 dB. První část asymptoty je tedy konstantní funkce s amplitudou 0 dB, která aproximuje funkci Fa1dB (ω ) pro úhlové kmitočty ω << ω a1 , kdy platí Fa1dB (ω ) = 20 log(1) = 0 dB . Druhá část asymptoty je přímka, která aproximuje funkci 107
Fa1dB (ω ) pro úhlové kmitočty ω >> ω a1 , kdy platí
⎛ ω ⎞ ω ⎞ ⎟⎟ = 20 log⎛⎜ Fa1dB (ω ) = 20 log⎜⎜ ⎟. ⎝ 200 ⎠ ⎝ ω a1 ⎠
Přímka má počátek v bodě daném kmitočtem ω a1 a amplitudou 0 dB a má sklon +20 dB/dek. Podobně asymptoty funkce Fb1dB (ω ) jsou tvořeny dvěma přímkami, které se protínají v bodě daném kmitočtem ω b1 a amplitudou 0 dB. První část asymptoty je tedy konstantní funkce s amplitudou 0 dB, která aproximuje funkci Fb1dB (ω ) pro úhlové kmitočty ω << ω b1 , kdy platí Fb1dB (ω ) = 20 log(1) = 0 dB . Druhá část asymptoty je přímka, která aproximuje funkci Fb1dB (ω ) pro úhlové kmitočty ω >> ω b1 , kdy platí
⎛ ω ⎞ ω ⎞ ⎟⎟ = 20 log⎛⎜ Fb1dB (ω ) = 20 log⎜⎜ ⎟. ⎝ 200 ⎠ ⎝ ω b1 ⎠
Přímka má počátek v bodě daném kmitočtem ω b1 a amplitudou 0 dB a má sklon -20 dB/dek. Asymptoty fázových charakteristik konstruujeme tak, že dílčí funkce opět vyneseme do grafu. Fáze funkce ϕ kp P (ω ) nezávisí na kmitočtu, je to konstantní funkce s hodnotou 0 °. Asymptoty funkce ϕ a1P (ω ) jsou tvořeny třemi přímkami. První část asymptoty je konstantní funkce s fází 0 °, která aproximuje funkci ϕ a1P (ω ) pro úhlové kmitočty ω << 0,1ω a1 , kdy platí
ϕ a1P (ω ) = 0 ° . Druhá část asymptoty je přímka, která aproximuje funkci ϕ a1P (ω ) pro úhlové ⎛ ω ⎞ ω ⎞ ⎟⎟ + 90 ° = 90 log⎛⎜ ⎟ + 90 ° , ⎝ 200 ⎠ ⎝ ω a1 ⎠ která má semilogaritmických souřadnicích sklon 45 °/dek. Třetí část asymptoty je konstantní funkce s fází 90 °, která aproximuje funkci ϕ a1P (ω ) pro úhlové kmitočty ω >> 10ω a1 , kdy platí
kmitočty ω ∈ (0,1ω a1 ,10ω a1 ) , kdy platí
ϕ a1P (ω ) = 90 log⎜⎜
ϕ a1P (ω ) = 90 ° . Podobně asymptoty funkce ϕ b1P (ω ) jsou tvořeny třemi přímkami. První část asymptoty je konstantní funkce s fází 0 °, která aproximuje funkci ϕ b1P (ω ) pro úhlové kmitočty ω << 0,1ω b1 , kdy platí ϕ b1P (ω ) = 0 ° . Druhá část asymptoty je přímka, která aproximuje
funkci
ϕ a1P (ω )
pro
úhlové
kmitočty
ω ∈ (0,1ω b1 , 10ω b1 ) ,
kdy
platí
⎛ ω ⎞ ω ⎞ ⎟⎟ − 90 ° = −90 log⎛⎜ která má semilogaritmických ⎟ − 90 ° , ⎝ 2700 ⎠ ⎝ ω b1 ⎠ souřadnicích sklon -45 °/dek. Třetí část asymptoty je konstantní funkce s fází -90 °, která aproximuje funkci ϕ b1P (ω ) pro úhlové kmitočty ω >> 10ω b1 , kdy platí ϕ b1P (ω ) = 90 ° .
ϕ b1P (ω ) = −90 log⎜⎜
Výslednou asymptotickou logaritmickou amplitudovou a fázovou charakteristiku získáme superpozicí příslušných tří diskutovaných funkcí.
108
FdB (dB)
40
Fa1dB (ω )
20
FdB (ω )
0
Fb1dB (ω )
-20
Fkp dB (ω )
-40
ϕ (°)
ωb1
ωa1
90
ϕ a1P (ω )
ϕ P (ω )
45 0
ϕ kp P (ω )
-45 -90 0,01 0,1ωa1
ϕ b1P (ω ) 0,1
0,1ωb1
1
10ωa1
10
10ωb1
100 kω (rad⋅s-1)
Virtuální laboratoř Hodografy, amplitudové a fázové kmitočtové charakteristiky vybraných obvodů realizují aplikace 5_1_HorníPropust_RCclanek.xls, 5_2_DolniPropust_RCclanek.xls, 5_3_Hodograf_RLC_zadrze.xls, 5_4_KmitoctoveCharakteristiky_RLC_zadrze.xls, 5_5_Hodograf_RLC_propusti.xls, 5_6_KmitoctoveCharakteristiky_RLC_propusti.xls.
Shrnutí pojmů 5.3. Bodeho logaritmické amplitudové a fázové charakteristiky jsou asymptotické charakteristiky aproximující skutečné funkce, které zobrazujeme v semilogaritmických souřadnicích, kdy kmitočtová osa má logaritmické měřítko. Asymptoty jsou přímky, které u jednoduchých tvarů racionálních lomených funkcí jdou snadno a rychle konstruovat a poskytují orientační představu o chování kmitočtově závislých obvodů. Amplitudová osa je logaritmická, jednotka osy již není bezrozměrná, ale je cejchovaná v decibelech a má lineární měřítko, které umožňuje zobrazit velký rozsah amplitud funkcí. Bodeho charakteristiky, asymptota, racionální lomená funkce, logaritmická amplituda, logaritmické měřítko.
109
Otázky 5.3. 1. Co jsou to Bodeho charakteristiky? 2. Jakou jednotku a měřítko má Bodeho amplitudová charakteristika? 3. Jakou jednotku a měřítko má Bodeho fázová charakteristika? 4. Proč vynášíme kmitočtovou osu Bodeho charakteristik v logaritmickém měřítku? 5. Proč je výhodné zobrazovat grafy Bodeho charakteristik v semilogaritmickém měřítku? 6. Jaká je výhoda zobrazení amplitudové osy v logaritmickém měřítku? 7. Jaký je obecný postup konstrukce asymptot Bodeho charakteristik?
Úlohy k řešení 5.3. 1. Nakreslete asymptotické Bodeho charakteristiky obvodu z obrázku pro hodnoty parametrů R1 = 9 kΩ , R2 = 1 kΩ , C = 500 nF . 1
2 R1
C R2
1‘
2‘
Klíč k řešení 1. +j
+j
Zˆ ( p ) = p R0
Î(p)
1
2
1 1 = G0 p R0 p
Û(p)
pR0 0
Yˆ ( p ) =
3
Yˆ ( p )
Zˆ ( p )
4
→∞
+1
∞
4
2
110
1,33
1
→0
+1
∞ +1
+j
∞ Yˆ ( p )
4
↑
Zˆ ( p ) = jω p L0 = p j X L 0
2
Yˆ ( p ) =
4
1,33
Û(p)
Î(p)
1
1 1 1 = = − j BL 0 jω p L 0 p jX L 0 p
3 2
↓
pC0
0
1
Zˆ ( p )
-j
+1
0
∞ +j
∞
+1
Zˆ ( p )
↑
4 Zˆ ( p ) =
4 Î(p)
3
1 1 = − j X C0 jω p C 0 p
Yˆ ( p ) =
2 1,33
Û(p)
1 = p jω C 0 = p jBC 0 1 jω p C 0
1
2
↓ 0
pL0 1
-j
Yˆ ( p )
+1
0
2. 1
2
1
R
2 L
C
R
1‘
PˆU =
2‘
1 1 1 = = 1 + jωRC 1 + j ω 1 + jp
1‘
PˆU =
ωRC
3. ω a1 =
ωb1 =
2‘
1 1 + jω
L R
=
1 1 = = 2000 rad s −1 3 R2 C 1 ⋅ 10 ⋅ 500 ⋅ 10 −9 1 1 = = 200 rad s −1 −9 3 (R1 + R2 )C (1 + 9) ⋅ 10 ⋅ 500 ⋅ 10
111
1 1+ j
ω ωLR
=
1 1 + jp
j ωR 2 C Fˆ ( jω ) = = 1 + jω (R1 + R2 )C
Fˆa1 ( jω )
FdB (ω ) = Fˆ ( jω ) = 20 log
(
)
ω ω j ω a1 Fˆa1 ( jω ) = = 2000 ˆ ω Fb1 ( jω ) 1 + j ω 1+ j ω b1 200 j
Fˆb1 ( jω )
(
= 20 log Fˆa1 ( jω ) − 20 log Fˆb1 ( jω ) = Fa1dB (ω ) − Fb1dB (ω )
)
(
)
FdB (dB)
ϕ P (ω ) = arg Fˆ ( jω ) = arg Fˆa1 ( jω ) − arg Fˆb1 ( jω ) = ϕ a1P (ω ) − ϕ b1P (ω ) 40
Fa1dB (ω )
20 0
Fb1dB (ω )
FdB (ω )
-20 -40
ϕ (°)
90
ωb1
ωa1
ϕ a1P (ω )
ϕ P (ω )
45 0 -45 -90 0,01 0,1ωa1
ϕ b1P (ω ) 0,1 0,1ωb1
1
10ωa1
10
10ωb1
100 kω (rad⋅s-1)
Zadání samostatné práce č. 5: Nakreslete schéma obvodu realizujícího pásmovou propust, zvolte parametry obvodu, určete napěťový přenos naprázdno a nakreslete asymptotickou modulovou a fázovou kmitočtovou charakteristiku obvodu.
Další zdroje [1] Mikulec, M.; Havlíček, V.:Základy teorie elektrických obvodů 1. Skriptum ČVUT Praha1999; podkapitola 7.8 [2] Mayer, D.: Úvod do teorie elektrických obvodů. SNTL/ALFA, Praha 1981, podkapitola 5.3
112
6. ZESÍLENÍ, ČINITELÉ ZESÍLENÍ Čas ke studiu: 2 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět • • • • •
popsat princip zesílení signálu stanovit činitel zesílení proudu, napětí a výkonu určit vstupní a výstupní imitace zesilovače modelovat vstupní a výstupní imitace zesilovače vymezit šířku pásma a posoudit účinnost zesilovače
Výklad
6.1.
Charakteristiky bipolárního tranzistoru
Zesilování signálů je jeden z nejčastějších a nejdůležitějších úkolů kladených na elektronické obvody. Zařízení zesilující signály nazýváme zesilovač, může být tvořen tranzistory, elektronkami a integrovanými strukturami. K modelování tranzistoru do oblasti středních kmitočtů (jednotky MHz) používáme model dvojbranu s h parametry. Dvojbran je to degenerovaný, neboť tranzistor je trioda s třemi elektrodami - bází B, kolektorem C, emitorem E, takže jedna elektroda je vždy společná pro vstupní a výstupní obvod. S ohledem na linearizaci charakteristik tranzistoru rozložme vstupní napětí u1 a proud i1 a výstupní napětí u 2 a proud i2 na složku stejnosměrnou rozlišenou indexem DC a složku střídavou s indexem AC u1 = U 1DC + u1AC , i1 = I 1DC + i1AC , u 2 = U 2 DC + u 2 AC , i 2 = I 2 DC + i 2 AC ,
když stejnosměrné složky odpovídají souřadnicím pracovního bodu P.
Stejnosměrné charakteristiky
Stejnosměrné čili statické vlastnosti bipolárního tranzistoru nejčastěji popisujeme čtyřmi nelineárními statickými charakteristikami, a to vstupní charakteristikou U 1 = f ( I 1 ) při U 2 = konst. , výstupní charakteristiou I 2 = f (U 2 ) při I 1 = konst. , převodní proudovou charakteristikou I 2 = f ( I 1 ) při U 2 = konst. , převodní napěťovou charakteristikou U 1 = f (U 2 ) při I 1 = konst. , které jsou zobrazeny na obrázku.
113
I 2 = f (I1 )
I 2 = f (U 2 )
I2 (A)
U 2 = konst.
I2DC
P
I1DC
U2DC
I1 (A)
U 2 = konst.
U 1 = f (I1 )
I 1 = konst.
U2 (V)
I B = konst.
U1DC U1 (V)
U 1 = f (U 2 )
Statický model bipolárního tranzistoru je popsán stejnosměrnými rovnicemi s H parametry v pracovním bodě P U 1 = H 11 I 1 + H 12 U 2 , I 2 = H 21 I 1 + H 22 U 2 .
Statické H parametry můžeme určit ze souřadnic pracovního bodu a pojmenovat následovně H 11 =
U 1DC vstupní stejnosměrný odpor nakrátko, I 1DC
H 12 =
U 1DC zpětný stejnosměrný napěťový přenos naprázdno, U 2 DC
H 21 =
I 2 DC zpětný stejnosměrný proudový přenos nakrátko, I 1DC
H 22 =
I 2 DC výstupní stejnosměrná vodivost naprázdno. U 2 DC
Poznamenejme, že v odborné literatuře se stejnosměrné parametry většinou označují malým písmenem h, když se k jejich indexu přidávají kvůli rozlišení podle zapojení tranzistoru velká písmena E, C, B. Příkladem je značení stejnosměrného proudového zesilovacího činitele v zapojení SE h21E = H 21E .
114
Střídavé parametry tranzistoru
Střídavé či diferenciální parametry tranzistoru jsou definovány pro malé změny signálu v okolí pracovního bodu, které působí jeho pohyb v síti parametrických statických charakteristik. Tranzistor modelujeme soustavou nelineárních rovnic či charakteristik u1 = h1 (i1 , u 2 ) , i 2 = h2 (i1 , u 2 ) .
1
i2
i1
2
h1 (i1 , u2 )
u1
u2
h2 (i1 , u 2 )
1‘
2‘
Linearizaci parametrů provedeme diferenciací nelineárních rovnic tranzistoru v okolí pracovního bodu P, po které obdržíme du1 = di 2 =
∂u1 ∂i1 ∂i 2 ∂i1
di1 + P
di1 + P
∂u1 ∂u 2 ∂i 2 ∂u 2
du 2 , P
du 2 , P
které pro zavedení diferenciálních h parametrů můžeme zapsat du1 = h11 di1 + h12 du 2 ,
di 2 = h21 di1 + h22 du 2 ,
kde h11 =
∂u1 ∂i1
je vstupní diferenciální (střídavý) odpor nakrátko při
du 2 = 0 V tj.
při
P
u 2 = U 2 = konst. , h12 =
∂u1 ∂u 2
je zpětný diferenciální (střídavý) napěťový přenos naprázdno při di1 = 0 A tj. při P
i1 = I 1 = konst. , h21 =
∂i 2 ∂i1
je zpětný diferenciální (střídavý) proudový přenos nakrátko při du 2 = 0 V tj. při P
u 2 = U 2 = konst. , h22 =
∂i 2 ∂u 2
je výstupní (střídavý) diferenciální vodivost naprázdno při di1 = 0 A tj. při P
i1 = I 1 = konst. 115
Chápeme-li změny polohy pracovního bodu P jako projev střídavých složek obvodových veličin, můžeme diferenciály nahradit těmito složkami a linearizované rovnice zapsat u1AC = h11 i1AC + h12 u 2 AC ,
i 2 AC = h21 i1AC + h22 u 2 AC .
Tento obvodový model je platný pro všechna zapojení tranzistoru (SE, SC, SB), která se však liší hodnotou diferenciálních (střídavých) parametrů h, z tohoto důvodu se h parametrům přidávají kvůli rozlišení k indexu podle způsobu zapojení malá písmena e, c, b. Jsou-li tato písmena velká, jedná se o parametry stejnosměrné. Příklad 6.1. Nakreslete náhradní obvodové schéma linearizovaného modelu bipolárního tranzistoru.
♦Řešení:
Postup sestavení obvodového modelu je stejný jako u modelu dvojbranu se smíšenými parametry. 1. rovnici linearizovaného modelu tranzistoru u1 = h11 i1 + h12 u 2 modelujeme v duchu 2. Kirchhoffova zákona sériovým řazením rezistoru o hodnotě h11 a řízeného zdroje napětí h12 u 2 . 2. rovnici linearizovaného modelu tranzistoru i 2 = h21 i1 + h22 u 2 modelujeme v duchu 1. Kirchhoffova zákona vodivosti o hodnotě h22 a řízeného zdroje proudu h21 i1 . i1AC
i2AC
h11
h12u 2 AC h21i1AC
u1AC
h22
u2AC
Přenosy a impedance tranzistoru
Budeme se zabývat pouze odporovým modelem bipolárního tranzistoru, k jehož popisu používáme okamžité hodnoty střídavých složek vstupních a výstupních veličin tranzistoru a reálné hodnoty h parametrů. Definice jeho přenosů i vstupní a výstupní impedance by tak mohly být reálné, pokud v náhradním modelu na obrázku budou reálné i vnitřní impedance Zˆ i zdroje napětí Uˆ i a zatěžovací impedance tranzistoru Zˆ s , což je častý případ využití tranzistorového zesilovače v praxi. Přesto dále uvažujme zcela obecně komplexní popis obvodu s tranzistorem, kde střídavé složky veličin tranzistoru nahradíme komplexními efektivními hodnotami, čímž automaticky předpokládáme, že průběhy těchto veličin jsou harmonické a nemá tedy smysl v jejich označení ponechávat na pozici indexu symbol AC. h parametry budeme zapisovat také jako komplexní čísla, i když mají jen reálnou část. Platí tedy následující korespondence u1AC → Uˆ 1 ,
i1AC → Iˆ1 ,
u 2 AC → Uˆ 2 , 116
i 2 AC → Iˆ2
a rovnosti hˆ11 = h11 ,
hˆ12 = h12 ,
1
hˆ21 = h21 ,
Î2
Î1
Zˆ i
[hˆ]
Û1
Ûi
hˆ22 = h22 .
2 Zˆ s
Û2
1‘
2‘ ˆ
U (Střídavý) napěťový přenos tranzistoru je definován PˆU = 2 , ale v literatuře zabývající se Uˆ 1
problematikou zesilovačů je obvykle označován Aˆ U a nazýván činitelem zesílení napětí, takže platí Uˆ Aˆ U = PˆU = 2 , Uˆ 1
pro který můžeme úpravou linearizovaných rovnic tranzistoru odvodit vztah Aˆ U =
hˆ21
=
1 hˆ21 hˆ12 − hˆ11 hˆ22 − hˆ11 Zˆ s
hˆ21 Zˆ s − hˆ21 Zˆ s . = hˆ12 hˆ21 Zˆ s − hˆ11 hˆ22 Zˆ s − hˆ11 hˆ11 + hˆ11 hˆ22 − hˆ12 hˆ21 Zˆ s
(
)
ˆ což je obecný vztah pro napěťový přenos AU .
(Střídavý) proudový přenos tranzistoru resp. činitelem zesílení proudu je definován Iˆ Aˆ I = PˆI = 2 Iˆ1
a odvodíme ho úpravou proudové rovnice modelu bipolárního tranzistoru, kam za výstupní napětí dosadíme Uˆ 2 = − Zˆ s Iˆ2 , čímž získáme vztah Aˆ I =
hˆ21 . 1 + hˆ Zˆ 22
s
Komplexní výkonový přenos resp. činitelem zesílení výkonu je potom definován součinem napěťového a komplexně sdruženého proudového přenosu -jϕ jϕ u 2 j(ϕ −ϕ ) ˆ ˆ* I 2 e i2 U 2 I 2 e u2 i2 Sˆ 2 ˆA = Aˆ Aˆ * = U 2 I 2 = U 2 e . = = P U I j(ϕ u1 −ϕ i1 ) - jϕ i1 U I Uˆ Iˆ * U e jϕ u1 Sˆ 1
1
1
I1 e
1 1
e
1
Úpravou rovnic modelu tranzistoru rovněž odvodíme vztahy pro jeho vstupní a výstupní impedanci
(
)
hˆ hˆ − hˆ hˆ Zˆ + hˆ11 Uˆ Zˆ 1 = 1 = 11 22 12 21 s Iˆ1 hˆ22 Zˆ s + 1
a 117
Zˆ 2 =
Zˆ i + hˆ11 . hˆ22 Zˆ i + hˆ11 hˆ22 − hˆ12 hˆ21
(
)
Shrnutí pojmů 6.1. Bipolární tranzistor je nelineární polovodičový prvek. S ohledem na linearizaci veličin tranzistoru je výhodné rozložit vstupní a výstupní veličiny na stejnosměrnou a střídavou složku. Stejnosměrná složka veličin tranzistoru definuje jeho pracovní bod a střídavá složka charakterizuje změnu jeho parametrů. Linearizace jeho charakteristik v okolí pracovního bodu nám umožňuje modelovat bipolární tranzistor pro malé změny jeho obvodových veličin charakteristickými rovnicemi dvojbranu s diferenciálními (střídavými) h parametry. V oblasti středních kmitočtů jsou tyto parametry reálné a tranzistor modelujeme degenerováným odporovým dvojbranem, tedy trojpólem. Přenosy napětí, proudu a výkonu tranzistoru nazýváme také činiteli zesílení a stejně jako jeho vstupní a výstupní impedance jsou obecně dány komplexními hodnotami Hˆ parametrů, jejichž hodnoty závisí na zapojení tranzistoru, ale také hodnotami zatěžovací impedance Zˆ s a vnitřní impedance budícího zdroje Zˆ i . Bipolární tranzistor, stejnosměrná složka, střídavá složka, linearizace, pracovní bod, charakteristiky tranzistoru, dvojbran, Hˆ parametry dvojbranu, náhradní schéma tranzistoru, činitel zesílení napětí, činitel zesílení proudu, činitel zesílení výkon, vstupní impedance tranzistoru, výstupní impedance tranzistoru, vnitřní impedance zdroje, zatěžovací impedance.
Otázky 6.1. 1. Proč rozkládáme vstupní a výstupní veličiny tranzistoru na stejnosměrnou a střídavou složku? 2. Která ze složek veličin definuje pracovní bod tranzistoru? 3. Která ze složek veličin je odpovědná za pohyb pracovního bodu tranzistoru? 4. Pro jaké kmitočty jsou hodnoty h parametrů tranzistoru reálné? 5. Co rozumíme malosignálovým modelem tranzistoru? 6. Které definice činitelů zesílení znáte a jak jsou definovány? 7. Na čem závisí činitelé zesílení tranzistoru a jeho impedance?
Úlohy k řešení 6.1. 1. Stanovte hodnotu stejnosměrného parametru h21E a zakreslete do charakteristiky odhad polohy tečny v pracovním bodě převodní charakteristiky z obrázku.
118
IC (mA) 40
P
80 IB (μA)
6.2.
Nastavení pracovního bodu bipolárního tranzistoru
Abychom tranzistor využili k zesilování signálů, musíme ho nastavit do stejnosměrného pracovního, který umístíme do sítě jeho výstupních charakteristik tak aby se co nejméně projevilo zkreslení zesilovaného signálu nelinearitou jeho charakteristik. V okolí pracovního bodu provedeme linearizaci jeho parametrů a modelujeme ho střídavými Hˆ parametry. Pracovní bod nastavujeme rezistorem R, kterým omezujeme velikost proudu ze stejnosměrného zdroje. io = IoDC + ioAC
R 1
2
1‘
2‘
Uo
ui = UiDC + uiAC
Odpovídající hodnoty souřadnic pracovního bodu v síti vstupních charakteristik, které musíme nastavit rezistory připojenými k stejnosměrnému zdroji, získáme průmětem pracovního bodu P v síti výstupních charakteristik přes charakteristiku převodní. Postup si ilustrujme na zapojení NPN tranzistoru se společným emitorem.
119
Io ID UD
I2 = IC UC
RD IB
RC
1
2
Uo
IF UF
RF
U2 = UCE
U1 = UBE IE 1‘
I C = f (I B )
2‘
I C = f (U CE )
IC (A)
I B = konst.
I2k U CE = konst.
P
ICP
IBP
UCEP
IB (A)
U CE = konst.
U BE = f ( I B )
UCE (V)
I B = konst.
UBEP UBE (V)
U2o
U BE = f (U CE )
Pracovní bod tranzistoru P daný souřadnicemi UCEP , ICP ve výstupní charakteristice I C = f (U CE ) nastavíme do požadované polohy volbou hodnoty rezistoru RC =
U o − U CEP . I CP
Hodnotu rezistoru RD pro proudové buzení, kdy platí R F → ∞ , určíme RD =
U D U o − U BEP = . ID I BP 120
Hodnoty rezistorů RD, RF pro napěťové buzení určíme s podmínkou I F = k I BP , kdy platí I D = (k + 1)I BP ze vztahů RD = RF =
U o − U BEP , (k + 1)I BP
U F U BEP = . IF k I BP
S ohledem na napěťové přizpůsobení děliče volíme hodnotu konstanty k 5-10. Pracovní bod zesilovače P je definován průsečíkem výstupní charakteristiky tranzistoru (nelineárního rezistoru) I C = f (U CE ) a zatěžovací charakteristiky zdroje U 2 = U o − RC I 2 , která je vymezena napětím naprázdno U 2o = U o a proudem nakrátko I 2k =
Uo . RC
Ze stejnosměrných charakteristik v okolí pracovního bodu, získaných měřením, můžeme určit diferenční parametry tranzistoru, tak že v definičních vztazích střídavých parametrů tranzistoru nahradíme diferenciály veličiny jejich diferencemi v okolí pracovního bodu. I C = f (I B )
I C = f (U CE )
IC (A)
I B = konst.
I2k U CE = konst.
IC2 IC1
IB2
IB1
UCE2
UCE1
IB (A)
U BE = f ( I B )
UBE2 UBE (V)
UCE (V)
I B = konst.
UBE1 U CE = konst.
U2o
U BE = f (U CE )
Diferenční parametry jsou tak dány h11e =
ΔU BE U BE2 − U BE1 = , I B2 − I B1 ΔI B
h12e =
ΔU BE U BE2 − U BE1 = , ΔU CE U CE2 − U CE1
h21e =
ΔI C I C2 − I C1 , = ΔI B I B2 − I B1
h22e =
ΔI C I − I C1 . = C2 ΔU CE U CE2 − U CE1
121
Zesilovač s bipolárním tranzistorem v zapojení v SE
K zesilování malých střídavých signálů používáme tranzistor nastavený do pracovního bodu. Polohu pracovního bodu volíme tak, aby nedocházelo k nežádoucímu zkreslení výstupního napětí tranzistoru. Z tohoto důvodu volíme pracovní bod uprostřed zatěžovací přímky zdroje napájejícího tranzistor. Pro souřadnice pracovního bodu tedy platí U CEP =U 2o =
Uo 1 1Uo a I CP = I 2k = . 2 2 RC 2
Tranzistor připojujeme ke střídavému zdroji napětí a k zátěži přes vazební kapacitory Cv1 a Cv2, abychom zamezili nežádoucímu ovlivňování stejnosměrného pracovního bodu tranzistoru. io iD
iC
R D uC
RC
iB
1 Cv1 u1
2
iF
Uo
Cv2 u2
RF iE 1‘
2‘
Kapacitor, jak víme, se chová v pásmu středních kmitočtů při dostatečně velké hodnotě kapacity jako zkrat (má téměř nulovou reaktanci). Po vyřazení kapacitorů a stejnosměrného zdroje, který se chová pro střídavý signál rovněž jako zkrat, můžeme obvod překreslit a střídavý obvod jednoduše řešit jako čistě odporový. Náhradní schéma střídavého obvodu je na obrázku a jeho dvoubranový model na obrázku dole.
iCAC RD uCAC 1 u1AC
i1AC
RC
iBAC
2 u2AC
RF iE 1‘
2‘
122
1
u1AC
i1AC
RD
iBAC
B
C h11 e
RF
uBEAC
h21 e i1AC
h12 e u 2 AC
h22 e
iCAC
uCEAC
i2AC
RC
2
u2AC
2‘ E E 1‘ Jelikož obvod je odporový, můžeme vztah pro napěťové zesílení zesilovače zapsat místo komplexních hodnot parametrů a veličin reálnými hodnotami parametrů a střídavými okamžitými hodnotami veličin AU =
u 2 AC u CEAC − h21e Rs . = = u1AC u BEAC h11e + (h11e h22e − h12e h21e )Rs
Podobně vstupní odpor zesilovače je dán paralelním řazením rezistorů RD , RF , RBE R1 =
RD RF + RD RBE + RF RBE , RD RF RBE
kde RBE je vstupní odpor tranzistoru definovaný R BE =
u BEAC h11e + (h11e h22 e − h12 e h21e )Rs . = i BAC 1 + h22 e Rs
Výstupní odpor tranzistoru je
R2 =
u2 AC uCEAC Ri + h11e = = . iCAC iCAC h22 e Ri + (h11e h22 e − h12 e h21e )
Ve všech vztazích uvažujeme Rs = RC (nezatížený výstup tranzistoru), buzení ideálním zdrojem napětí, takže platí Ri = 0 Ω nebo buzení reálným zdrojem napětí s vnitřním odporem Rg R D + Rg R F + R F R D Rg a hodnotu Ri = . Rg R D RF V praxi většinou můžeme zanedbat parametry h12e , h22e , takže se výše uvedené vztahy můžeme zapsat AU = −
h21e RC , h11e
R BE = h11e ,
123
R2 → ∞ .
Příklad 6.2. Určete hodnotu vstupního odporu tranzistorového zesilovače z obrázku a nakreslete jeho malosignálový model. V náhradním modelu tranzistoru zanedbejte parametry h12e , h22e .
RD
RC
1
2 Cv1
Uo
Cv2
RF
1‘
Rz
2‘
♦Řešení: 1
i1AC
iB AC
RD
u1AC
1‘
iCAC
B
RF
h11 e
C
h21 e i1AC
i2AC
RC
E
E
2
u2AC
Rz
2‘
Vstupní odpor R1 určíme ze zjednodušeného náhradního modelu tranzistoru, ze kterého je zřejmé, že po zanedbání parametru h12e ztrácí výstupní obvod vliv na vstupní obvod, takže pro vstupní odpor samotného tranzistoru platí RBE = h11e a vstupní odpor zesilovače je dán R1 =
RD RF + RD h11e + RF h11e RD RF h11e .
Šířka pásma zesilovače s bipolárním tranzistorem v zapojení SE
Šířka pásma je definována na kmitočtové modulové charakteristice rozdílem kmitočtů ω H − ω D , které 1 1 jeho vymezují pokles výkonu signálu na jeho maximální hodnoty, tj. pokles napětí signálu na 2 2 největší hodnoty, což je v jednotkách dB pokles o − 3 dB, viz obrázek.
124
AUdB (dB)
20 10 0 ωD
ω' H
ωH
ω (rad⋅s-1)
Dolní kmitočet zesilovače ωD je určen děličem napětí, tvořeným kapacitorem Cv1 a vstupním odporem tranzistoru R1, který je daný ωD =
1 , R1 C v1
kam dosadíme za vstupní odpor tranzistoru R1 =
R D R F + R D R BE + R F R BE R D R F R BE
a za vstupní odpor tranzistoru R BE =
h11e + (h11e h22e − h12e h21e )Rs , 1 + h22 e Rs
do kterého dosadíme v případě zesilovače zatíženého rezistorem Rz hodnotu odporu Rs =
RC R z . RC + R z
Horní kmitočet zesilovače ωH pokud není omezen na hodnotu ωH′ integračním článkem je dán parazitní kapacitou tranzistoru (Millerova kapacita, což je kapacita CBC transformovaná na vstup zesilovače, která je mnohem větší než kapacita CBE).
Účinnost zesilovačů
Podle nastavení pracovního bodu na řídící charakteristice i 2 = f (u1 ) na obrázku rozeznáváme tři základní třídy zesilovačů: třída A - (nejrozšířenější), pracovní bod nastavujeme na polovinu hodnoty proudu nakrátko, zesiluje po celou dobu periody - nezkresluje, účinnost přeměny energie napájecího stejnosměrného zdroje na energii zesilovaného signálu až 25 %, zbytek energie dodané stejnosměrným zdrojem se přemění na teplo, které zvyšuje provozní teplotu zesilovače. Patří sem i zesilovače s bipolárním tranzistorem v zapojení v SE. třída B – pracovní bod nastavujeme do stavu naprázdno ( do nulové hodnoty proudu ) zesiluje po dobu poloviny periody - zkresluje, účinnost až 78 %, třída C – pracovní bod nastavujeme na zápornou hodnotu vstupního napětí, zesiluje po dobu kratší polovině periody - zkresluje, účinnost až 100 % a jednu speciální: -
třída D – pracuje ve spínacím režimu, účinnost 100 %.
Třídám A, B, C odpovídá řídící charakteristika na obrázku vlevo, třídě D vpravo. 125
i2 (A)
i2 (A) I2k
I2k/2
I2k A u1 (V)
C
B U1max u1 (V)
-I2k
Shrnutí pojmů 6.2. Nastavení stejnosměrného pracovního bodu na výstupu tranzistoru provádíme pomocí zatěžovací přímky zdroje zakreslené v síti výstupních charakteristik tranzistoru, která je geometrickým místem možných poloh pracovních bodů tranzistoru. Přímka je určena parametry stejnosměrného napájecího zdroje a kolektorového odporu tranzistoru. Aby byl zaručen požadovaný rozkmit střídavého nezkresleného výstupního napětí volíme polohu pracovního bodu uprostřed zatěžovací přímky. Nastavení odpovídajícího stejnosměrného pracovního bodu na vstupu tranzistoru provádíme při proudovém buzení jediným rezistorem a při napěťovém buzení děličem napětí. Z naměřených charakteristik tranzistoru v praxi graficky určujeme místo diferenciálních parametrů diferenční parametry tranzistoru. Ty potom definují střídavé parametry tranzistoru. Vlivem nasuperponovaného střídavého signálu na stejnosměrné složky veličin tranzistoru dochází ke změně polohy pracovního bodu tranzistoru. Naopak kvůli zamezení nežádoucího posunu nastaveného stejnosměrného pracovního bodu tranzistorového zesilovače malého signálu připojujeme vstup a výstup zesilovače vazební kapacitory. Zjednodušený náhradní obvodový model zesilovače malého střídavého signálu v pásmu středních kmitočtů získáme zakreslením zkratů na místa, kde se nacházejí kapacitory a stejnosměrný zdroje napětí v schéma zapojení střídavého zesilovače. Náhradní obvodový model je již jen odporový, a tak snadno analýzou náhradního obvodu určíme střídavé přenosy zesilovače a jeho vstupní a výstupní odpory. Šířku pásma definují tranzistorového zesilovače definují vazební kapacity tranzistoru. Podle polohy pracovního bodu na řídící charakteristice rozeznáváme třídy zesilovačů A, B, C a D. Jednotlivé třídy se liší účinností zesilovače. Nastavení pracovního bodu, zapojení tranzistoru se společnou bází, proudové buzení, napěťové buzení, diferenční parametry tranzistoru, zatěžovací přímka, tranzistorový zesilovač, šířka pásma tranzistorového zesilovače, řídící charakteristika, třída zesilovače, účinnost zesilovače.
126
Otázky 6.2. 1. Kde se nachází v síti výstupních charakteristik tranzistoru pracovní bod? 2. Na čem závisí poloha zatěžovací přímky zdroje napájejícího tranzistor? 3. Jak volíme polohu pracovního bodu tranzistoru, aby zesílený signál nebyl zkreslený? 4. Jak určujeme diferenční parametry dvojbranu? 5. Jak nastavíme pracovní bod tranzistoru na jeho vstupu? 6. Co je to proudové a napěťové buzení tranzistoru? 7. Uveďte případ nežádoucí změny pracovního bodu tranzistoru? 8. K čemu slouží vazební kapacitory? 9. Jak zjednodušujeme náhradní obvodové schéma zesilovače malého střídavého signálu? 10. Na čem závisí šířka pásma tranzistorového zesilovače? 11. Jakou účinnost mají jednotlivé třídy zesilovačů?
Úlohy k řešení 6.2. 1. Sestrojte zatěžovací charakteristiku zdroje pro pracovní bod definovaný souřadnicemi výstupní charakteristiky U CEP = 4,5 V, I CP = 3 mA pro zesilovač třídy A, určete hodnoty napětí stejnosměrného zdroje a zatěžovacího odporu.
Klíč k řešení 1. Dosazením souřadnic hodnot pracovního bodu v převodní charakteristice tranzistoru
dostaneme hodnotu stejnosměrného proudového zesilovacího činitele H 21E = h21E =
0,04 80 ⋅10 − 6
= 500 .
Ze sklonu tečny v pracovním bodě a sklonu statické převodní charakteristiky, která je v počátku prakticky lineární vidíme, že hodnota stejnosměrného činitele H 21E a diferenciálního (střídavého) činitele h21e definovaného směrnicí tečny jsou v okolí pracovního bodu blízké, takže přibližně platí h21e ~ = H 21E .
127
IC (mA) P
40
80 IB (μA) 2. Zatěžovací charakteristika zdroje je dána napětím naprázdno a proudem nakrátko. Pro zesilovač třídy A nastavujeme pracovní bod uprostřed zatěžovací charakteristiky, což znamená, že napětí naprázdno U 2 o je dvojnásobkem napětí pracovního bodu, tj. U 2 o = 9 V , rovněž proud nakrátko je dvojnásobkem proudu pracovního bodu, tj. I 2k = 6 mA . Z těchto hodnot sestrojíme zatěžovací charakteristiku zdroje a vypočteme hodnotu rezistoru RC =
U0 9 = = 1,5 kΩ . I K 6 ⋅10 −3
IC (A) I2k
ICP
P
UCEP
U2o
UCE (V)
Zadání samostatné práce č. 6: Proveďte návrh nastavení pracovního bodu zesilovače třídy A s absolutní hodnotou střídavého zesílení 5 a dolním mezním kmitočtem 50 Hz pro napěťové a proudové nastavení pracovního bodu. Zesílení nastavte poměrem kolektorového a emitorového rezistoru. Nakreslete schémata zapojení obou způsobů nastavení pracovního bodu a proveďte návrh vazebních kapacitorů. Uvažujte, že zátěží střídavého zesilovače je zvukový měnič o odporu 2,5 kΩ a příkonu 100 mW. Jako zesilovač použijte tranzistor BC 546. 128
Další zdroje [1] Mikulec, M.; Havlíček, V.: Základy teorie elektrických obvodů 2. Skriptum ČVUT Praha 2004. Kapitola 4. [2] Mayer, D.: Úvod do teorie elektrických obvodů. SNTL/ALFA, Praha 1998. Kapitola 5.4.
129
7. OBVODY S ROZPROSTŘENÝMI PARAMETRY, HOMOGENNÍ VEDENÍ PŘI HARMONICKÉM NAPÁJENÍ Čas ke studiu: 4 hodiny Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět • • • • •
vymezit pojem obvod s rozprostřenými parametry odvodit obecné rovnice homogenního vedení odvodit obecné rovnice homogenního vedení pro harmonický ustálený stav definovat primární a sekundární parametry vedení definovat činitel odrazu
Výklad
7.1.
Definice obvodu s rozprostřenými parametry
U obvodů, jimiž jsme se zatím zabývali jsme předpokládali, že se elektrické veličiny (především proud a napětí) mohou měnit v závislosti na čase, ale nikoliv, nebo jen zanedbatelně málo, v závislosti na prostorových souřadnicích. Takové obvody nazvěme obvody se soustředěnými (koncentrovanými) parametry. V nich mají elektrické veličiny ve všech bodech daného obvodu stejné hodnoty. Závislost změny obvodových veličin na prostorových souřadnicích však nemůžeme zanedbat ve všech případech. Obvody, kde toto nelze provést nazvěme obvody s rozprostřenými parametry. Měřítkem, podle něhož uvedenou klasifikaci provádíme je poměr délky vedení a délky elektromagnetické vlny, šířící se v obvodu, kterou vypočteme ze známého vztahu: λ =v f
U elektrických zařízení jejichž rozměry jsou větší, stejné nebo porovnatelné s délkou elektromagnetic-ké vlny bychom v obecném případě nemohli využít vztahy využívané v teorii obvodů a museli by-chom provádět analýzu elektrických poměrů v takovém zařízení postupy, používanými více v oblasti elektrotechniky, nazývané teorie elektromagnetického pole (základem jsou Maxwellovy rovnice). Situace je ale jednodužší v případech, kdy u zmíněného zařízení převládá jeden rozměr – např. u dvojvodičového vedení, ať již dvojlinky nebo koaxiálního kabelu. V těchto případech je příčný rozměr, tj. vzdálenost vodičů od sebe zanedbatelný vůči délce vedení. Takováto vedení nazýváme elektricky dlouhými nebo stručně dlouhými vedeními. Takovéto vedení pak můžeme analyzovat jako obvod, sestaven z parametrů R, L, G, a C, které jsou spojitě rozloženy po vedení Odtud vedení také nazýváme jako vedení s rozprostřenými parametry. Respektujeme tím jednak rovnoměrné ztráty podél vedení a také rovnoměrné rozložení elektrické energie akumulované v kapacitách a magnetické energie akumu-lované v indukčnostech. Vedení s rozprostřenými parametry je jednoznačně charakterizováno čtyřmi parametry, které nazýváme jako primární – měrný odpor, měrný svod, měrná indukčnost a měrná kapacita. Měrný od-por R0 (Ω/m) je činný odpor obou vodičů vedení o jednotkové délce, měrný svod 130
G0 (S/m) je reciproká hodnoty odporu dielektrika mezi oběma vodiči v příčném směru vedení jednotkové délky a měrná kapacita C0 (F/m) je kapacita mezi oběmi vodiči tvořícími dlouhé vedení a měrná indukčnost L0 (H/m) je vlastní indukčnost dvojvodičového vedení jednotkové délky. Zde jsou uvedeny jednotky na 1m, častěji se vztahují na 1km. Vymezení těchto pojmů přibližuje následující obrázek, s jednotkovým úsekem vedení (např. 1m nebo 1 km). R0/2
L0 G0
C0
1 m (km)
R0/2
Uvedené primární parametry se mohou podél vedení měnit spojitě nebo nespojitě. V případě nespojité změny se popisuje vedení rovnicemi jako vedení po částech spojité (homogenní). V této kapitole nás ale budou zajímat vedení homogenní, které mají podél celého vedení primární parametry konstantní. Navíc se budeme zajímat o vedení s rozloženými parametry lineární, tj. takové, u něhož nezávisí velikost primárních parametrů na proudu, resp. napětí. Pro odvození rovnic uvažujme homogenní dvojvodičové vedení, jehož krátký úsek délky dx je na obrázku. J i(x)
R0 dx, L0 dx
u(x)
G0 dx, C0 dx
x
i(x+dx)
u(x+dx)
dx x + dx
Parametry elementárního úseku jsou úměrné délce elementu dx a měrným parametrům tedy: R0.dx, L0.dx, G0.dx, C0.dx. Předpokládejme, že na začátku proudového elementu, tedy na souřadnici x je velikost proudu i(x) a napětí u(x). Přírůstky takovýchto funkcí proudů a napětí na velmi malých úsecích dx lze nahradit totálními diferenciály du =
∂u dx ∂x
di =
∂i dx ∂x
Na konci elementu. tj. na souřadnici (x+dx) získáme hodnoty proudu a napětí pomocí Taylorova polynomu tak, že derivace vyššího než prvního řádu s vědomím přijatelné nepřesnosti zanedbáme u (t , x + dx) = u ( x, t ) + du = u ( x, t ) +
∂u ( x, t ) ∂i ( x, t ) dx , i (t , x + dx) = i ( x, t ) + di = i ( x, t ) + dx ∂x ∂x
Užitím Kirchhoffových zákonů na element vedení získáme pro smyčku (kladný referenční oběh je ve směru hodinových ručiček) 131
− u ( x, t ) + R0 dx i (t , x) + L0 dx +
∂i (t , x) ∂i (t , x) + u (t , x + dx) = −u ( x, t ) + R0 dx i (t , x) + L0 dx + u ( x, t ) + ∂t ∂t
∂u ( x, t ) dx = 0 ∂x
a pro řez J (kladný referenční směr proudu je orientován ven z řezu) − i ( x, t ) + G 0 dx u (t , x) + C 0 dx +
∂u (t , x) ∂u (t , x) + i (t , x + dx) = −i ( x, t ) + R0 dx u (t , x) + C 0 dx + i ( x, t ) + ∂t ∂t
∂i ( x, t ) dx = 0 ∂x
získáme rovnice, z nichž každá zahrnuje obě proměnné – proud i napětí jako funkce času t a souřadnice x, které upravíme je do tvaru −
∂i ( x, t ) ∂u ( x, t ) = R 0 i ( x, t ) + L0 ∂t ∂x
a −
∂u ( x, t ) ∂i ( x, t ) = G 0 u ( x, t ) + C 0 . ∂x ∂t
Jedná se o soustavu dvou diferenciálních rovnic 1.řádu, z nichž odvodíme parciální diferenciální rovnice 2. řádu, z nichž jedna bude zahrnovat jako proměnnou jen napětí, druhá jen proud. Provedeme to tak, že derivací druhé rovnice podle x a dosazením do první dostáváme diferenciální rovnici pro proud, zatímco derivací první rovnice a dosazením do druhé dostáváme diferenciální rovnice pro napětí. Matematický zápis tohoto postupu je −
∂ 2 i ( x, t ) ∂i ( x, t ) ∂ 2 u ( x, t ) , R L = + 0 0 ∂x ∂t ∂x ∂x 2
−
∂ 2 i ( x, t ) ∂u ( x, t ) ∂ 2 u ( x, t ) , = G + C 0 0 ∂x ∂t ∂x ∂x 2
−
∂ 2 u ( x, t ) ∂i ( x, t ) ∂ 2 i ( x, t ) , = R0 + L0 ∂x ∂t ∂t ∂t 2
−
∂ 2 i ( x, t ) ∂u ( x, t ) ∂ 2 u ( x, t ) = G0 + C0 ∂x ∂t ∂t ∂t 2
a dále ∂ 2 u ( x, t ) ∂x 2
∂ 2 i ( x, t ) ∂x 2
= R 0 G 0 u ( x , t ) + (R 0 C 0 + L 0 G 0 )
∂u ( x, t ) ∂ 2 u ( x, t ) , + L0 C 0 ∂t ∂t 2
= G 0 R0 i ( x, t ) + (G 0 L0 + C 0 R0 )
∂i ( x, t ) ∂ 2 i ( x, t ) + C 0 L0 . ∂t ∂t 2
Tyto rovnice nazýváme vlnové nebo telegrafní rovnice, protože byly odvozeny pro matematický popis šíření telegrafních signálů. Jejich řešením zjistíme velikost napětí a proudů v kterémkoliv místě x a čase t, a to pro libovolný průběh napájecího napětí.
Shrnutí pojmů 7.1. U obvodů s prostorově rozloženými parametry zohledňujeme jak časovou, tak i prostorovou závislost obvodových veličin, neboť se u těchto obvodů projevuje konečná rychlost šíření elektromagnetického vlnění. Typickým představitelem obvodu s rozprostřenými parametry je 132
dlouhé, homogenní vedení charakterizované primárními parametry R0, L0, G0, C0, což jsou měrné hodnoty parametrů vedení udávané na jednotku délky. Jevy na vedení popisujeme vlnovými rovnicemi, jejichž řešením získáme proudové a napěťové vlny na vedení pro dané počáteční a okrajové podmínky. Soustředěné parametry, prostorově rozložené parametry, element vedení, primární parametry vedení, homogenní vlnová rovnice.
Otázky 7.1. 1. Které elektrické soustavy nelze modelovat obvody se soustředěnými parametry? 2. Za jakých podmínek lze i na tyto soustavy uplatnit principy používané více v teorii obvodů než v teorii elektromagnetického pole? 3. Uveďte primární parametry dlouhého vedení. 4. Napište telegrafní rovnice a výchozí rovnice pro jejich odvození.
Úlohy k řešení 7.1. 1. Které další jevy a přeměny energií vznikají na elementu skutečného vedení?
7.2.
Homogenního vedení při harmonickém napájení
Vedení s rozprostřenými parametry napájené z harmonického zdroje napětí či proudu provádíme v komplexní rovině. Parciální diferenciální rovnice z předcházejícího odstavce v harmonicky ustáleném stavu lze eliminaci časové závislosti v komplexní rovině popsat obyčejnými diferenciálními rovnicemi s fázory napětí a proudu, které popisují jejich rozložení podél vedení. Prakticky to znamená nahradit u parciálních diferenciálních rovnic časovou derivaci násobením konstantou jω, čímž získáme rovnice −
dUˆ ( x) = (R0 + jωL0 ) Iˆ( x) , dx
−
dIˆ( x) = (G0 + jωC 0 )Uˆ ( x) dx
kde Û(x)a Î(x) jsou komplexní efektivní hodnoty, které jsou již jen funkcí souřadnice x, a v čase jsou konstantní. Element dlouhého vedení můžeme modelovat dvojbranem, a to T, L Π nebo Г článkem, případně zjednodušeně kaskádním řazením těchto dvojbranů, které nahrazují elementy vedení délky dx. Použijeme-li k jeho modelování Γ článek z následujícího obrázku, můžeme definovat měrnou podélnou impedanci Zˆ l = R0 + jωL0
a měrnou příčnou admitanci Yˆq = G 0 + jωC 0 .
Obě veličiny jsou pochopitelně vztaženy na jednotku délky, např. Ω/m, Ω/km, S/m, S/km. Dosazením vztahů do výše uvedených rovnic dostaneme 133
−
dUˆ ( x) ˆ ˆ = Z l I ( x) , dx
−
dIˆ( x) ˆ ˆ = Yq U ( x) dx
a po derivování a úpravách vlnou rovnici napětí a proudu d 2Uˆ ( x) ˆ ˆ ˆ d 2 Iˆ( x) ˆ ˆ ˆ = = Yq Z l I ( x) , Z Y U ( x ) , l q dx 2 dx 2
což jsou homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty s charakteristickou rovnicí λˆ2 − γˆ 2 = 0 .
i(x,t)
i(x+dx,t) R0 dx
u(x,t) G0 dx
C0 dx
L0 dx
u(x+dx,t)
dx
Ta má dva komplexní kořeny λˆ1, 2 = mγˆ = m Zˆ l Yˆq = m
(R0 + jωL0 )(G0 + jωC 0 ) ,
čímž jsme zavedli sekundární parametr vedení - činitel šíření γˆ , který má jednotku m-1. Obecné řešení vlnové rovnice napětí je ˆ ˆ Uˆ ( x) = Aˆ p e − λ1 x + Aˆ z e λ2 x = Aˆ p e −γˆ x + Aˆ z e γˆ x ,
kde Aˆ p a Aˆ z jsou integrační konstanty, které odvodíme z okrajových podmínek později. Pro průběh proudu lze psát
(
)
ˆ d Aˆ p e −γˆ x + Aˆ z e γˆ x 1 1 ˆ −γˆ x ˆ γˆ x ˆI ( x) = − 1 dU ( x) = − 1 , Ap e =− − γˆ Aˆ p e −γˆ x + γˆ Aˆ z e γˆ x = − Az e ˆ ˆ ˆ ˆ dx Z l dx Zl Zl Zv
(
)
(
)
kde jsme zavedli další sekundární parametr vedení -vlnovou impedanci dlouhého vedení Zˆ v =
R 0 + j ωL 0 Zˆ l . = ˆ G 0 + jω C 0 Yq
Integrační konstanty určíme z počátečních podmínek v místě x = 0 m 134
Uˆ 1 = Uˆ (0) = Aˆ p e −γˆ 0 + Aˆ z e γˆ 0 = Aˆ p + Aˆ z ,
(
)
(
)
1 ˆ −γˆ 0 ˆ γˆ 0 1 ˆ Iˆ1 = Iˆ(0) = Ap e − Az e = Ap − Aˆ z , ˆ ˆ Zv Zv
které jsou
(
1 Aˆ p = Uˆ 1 + Zˆ v Iˆ1 2
)
(
)
1 Aˆ z = Uˆ 1 − Zˆ v Iˆ1 ., 2
a
Po jejich dosazení do výchozích rovnic získáme rovnice popisující rozložení napětí a proudu podél vedení
(
)
(
)
1 1 Uˆ ( x ) = Uˆ 1 + Zˆ v Iˆ1 e −γˆ x + Uˆ 1 − Zˆ v Iˆ1 e γˆ x , 2 2
Iˆ( x) =
⎞ ⎞ Uˆ p ( x) Uˆ z ( x) 1 ⎛ Uˆ 1 1 ⎛ Uˆ − = ⎜ + Iˆ1 ⎟ e −γˆ x − ⎜ 1 − Iˆ1 ⎟ e γˆ x , ⎟ ⎟ 2 ⎜⎝ Zˆ v 2 ⎜⎝ Zˆ v Zˆ v Zˆ v ⎠ ⎠
kde index p představuje vlnu, která postupuje od počátku vedení směrem k jeho konci a index z vlnu zpětnou, která postupuje od konce vedení směrem k jeho počátku. Tyto rovnice lze přeskupením členů a užitím hyperbolických funkcí zapsat e γˆ x + e −γˆ x e γˆ x − e −γˆ x Uˆ ( x) = Uˆ 1 − Zˆ v Iˆ1 = Uˆ 1 cosh(γˆ x) − Zˆ v Iˆ1 sinh(γˆ x) , 2 2 Uˆ e γˆ x − e −γˆ x ˆ e γˆ x + e −γˆ x Uˆ e γˆ x + e −γˆ x Uˆ 1 e γˆ x − e −γˆ x Iˆ( x) = Iˆ1 − =− 1 + I1 = − 1 sinh(γˆ x) + Iˆ1 cosh(γˆ x) 2 2 2 2 Zˆ v Zˆ v Zˆ v
. Tyto rovnice umožňují zjistit komplexní efektivní hodnoty napětí a proudů ve kterémkoliv místě x vedení, tedy i na jeho konci, v místě x = l. Uˆ 2 = Uˆ (l ) = Uˆ 1 cosh(γˆ l ) − Zˆ v Iˆ1 sinh(γˆ l ) , Uˆ Iˆ2′ = Iˆ(l ) = − 1 sinh(γˆ l ) + Iˆ1 cosh(γˆ l ) . Zˆ v
Záměnou závislých proměnných tyto rovnice můžeme upravit do tvaru Uˆ 1 = Uˆ 2 cosh(γˆ l ) + Zˆ v Iˆ2′ sinh(γˆ l ) , Uˆ Iˆ1 = 2 sinh(γˆ l ) + Iˆ2′ cosh(γˆ l ) , Zˆ v
což jsou kaskádní rovnice obrazového dvojbranu, protože platí Zˆ o = Zˆ v
a
gˆ o = γˆ l .
Vedení se z pohledu jeho okrajů chová jako dvojbran, což lze využít ke stanovení sekundárních parametrů vedení ze stavu naprázdno a nakrátko. Zavedeme-li nový souřadný systém s, který bude mít počátek v místě x = l, rovnice vedení lze přepsat na základě substituce s = l − x 135
Uˆ ( s ) = Uˆ 2 cosh(γˆ s ) + Zˆ v Iˆ2′ sinh(γˆ s ) , Uˆ Iˆ( s ) = 2 sinh(γˆ s ) + Iˆ2′ cosh(γˆ s ) , Zˆ v
ze kterých snáze určíme sekundární parametry vedení, tak jako u dvojbranů nebo získat rozložení vln napětí a proudu podél vedení v novém souřadném systému
(
)
(
)
1 1 Uˆ ( s ) = Uˆ p ( s ) + Uˆ z ( s ) = Uˆ 2 + Zˆ v Iˆ2′ e γˆ s + Uˆ 2 − Zˆ v Iˆ2′ e −γˆ s , 2 2 ⎞ ⎞ 1 ⎛ Uˆ 1 ⎛ Uˆ Iˆ( s ) = Iˆp ( s ) + Iˆz ( s ) = ⎜ 2 + Iˆ2′ ⎟ e γˆ s − ⎜ 2 − Iˆ2′ ⎟ e −γˆ s . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ Zˆ v 2 ⎝ Zˆ v ⎠ ⎠
Z rovnic vidíme, že zpětné vlny nebudou existovat na vedení, bude-li platit Uˆ Zˆ s = 2 = Zˆ v . Iˆ2′
Takovéto vedení nazýváme přizpůsobené, což je případ, kdy je na konci zatíženo impedancí Zˆ s , která je rovna vlnové impedanci vedení. 1 ∧
∧
∧
I 1 = I (l )
∧
∧
I (s ), I p (s )
∧
∧
U 1 = U (l )
∧
U z (s )
∧
∧
∧
U 2 = U ( 0)
U (s ), U p (s)
∧
I1
s
∧
0 l
I ′2
l
x s=l-x
0
Î'2
2
∧
I ′ 2 = I ( 0)
∧
∧
- I z (s )
Î1
[Aˆ ]
Û1 1‘
Û2
Zˆ s
2‘
s
s=l
0
Není-li vedení přizpůsobené, dochází na konci vedení k odrazu, což postihuje činitel odrazu napětí a proudu ρˆ U =
Zˆ s − Zˆ v Zˆ s + Zˆ v
a
ρˆ I = −
Zˆ s − Zˆ v , Zˆ s + Zˆ v
které jsou až na znaménko shodné. Poznamenejme, že není-li odražená (zpětná) vlna utlumena vedením, dochází k odrazu vln i na počátku vedení, kde roli zatěžovací impedance Zˆ s zastupuje v činitelích odrazu vnitřní impedance zdroje vlnění umístěného na počátku vedení, o kterém předpokládáme, že má harmonický průběh. Jak víme, vedení (také nazýváno linka) je pasivní prvek, který zajišťuje přenos energie. Elektromagnetická energie přenášená dvěma paralelními vodiči se šíří v prostoru mezi těmito vodiči, přičemž vlastní vodiče určují směr přenosu této energie. Prostor kolem vodičů může být tvořen vzduchem nebo jiným dielektrikem. Každá nehomogenita prostředí kolem vedení, a to včetně zakončení vodičů vedení vede k odrazům vln postupujícím po vedení a ke změnám amplitudy a fáze prostupující vlny. Pomineme-li idealizovaný případ nekonečně dlouhého vedení, na jehož konci nikdy nedochází k odrazu, mohou tedy nastat tyto typické případy: vedení je přizpůsobeno ( ρˆ U = 0 a ρˆ I = 0 ), vedení je zakončeno nějakou obecnou 136
impedancí (nejčastější případ, ρˆ U < 1 a ρˆ I < 1 ), zkratem ( ρˆ U = −1 a ρˆ I = 1 ) nebo může být na konci otevřené ( ρˆ U = 1 a ρˆ I = −1 ). Záporné znaménko znamená odraz vlny s opačnou fází. Poznamenejme, že zkratovaný a otevřený konec vedení působí vznik stojatého vlnění, které nepřenáší žádnou energii podél vedení. Na tomto vedení totiž dochází jen k přelévání energie mezi jeho λ/4 vlnnými úseky.
Fyzikální význam sekundárních parametrů vedení
Činitel šíření γˆ = α + jβ =
(R0 + jωL0 )(G0 + jωC 0 ) ,
má dvě složky, reálnou, kterou nazýváme činitel fáze složky mají jednotku m-1, pro které platí
a imaginární, činitel útlumu
α = Re{γˆ} =
1⎡ 2 2 2 2 ( R0 G0 − ω 2 L0 C 0 ) + ( R0 + ω 2 L0 )(G0 + ω 2 C 0 ) ⎤ , ⎥⎦ 2 ⎢⎣
β = Im{γˆ} =
1⎡ 2 2 2 2 − ( R0 G 0 − ω 2 L0 C 0 ) + ( R0 + ω 2 L0 )(G 0 + ω 2 C 0 ) ⎤ . ⎢ ⎥⎦ 2⎣
. Obě
činitel fáze udává, o kolik stupňů je na jednotku délky vedení pootočen fázor napětí nebo proudu vůči počátku vedení. Určuje také délku vlny na vedení λ=
2π
β
,
neboť fázor napětí či proudu se natočí o 2π nebo 360° na vzdálenosti délky vlny λ. Vydělíme-li délku vlny dobou kmitu, tedy periodou zdroje vlnění T, dostaneme fázovou rychlost šíření vlny podél vedení vf =
λ T
=λ⋅ f ,
kde f je kmitočet vlnění. Vliv prostředí obklopující vodiče vedení zahrnuje vlnová impedance vedení, pro jejíž modul a fázi platí 2
Zv = 4
R 0 + ω 2 L0 2
G0 + ω C 0 2
2 2
,
ϕv =
⎛ ωL0 1⎡ ⎢arctan⎜⎜ 2 ⎢⎣ ⎝ R0
137
⎞ ⎛ ω C0 ⎟⎟ − arctan⎜⎜ ⎠ ⎝ G0
⎞⎤ ⎟⎟⎥ . ⎠⎥⎦
Im{Û(x) ejωt} Im{Û(s) ejωt}
U 1 e −α x nebo U 1 eα (s −l ) = U 1 eα l eα s
arg(Û(x) ejωt) arg(Û(s) ejωt)
= U 2 eα s
t = konst.
λ
180°
-180° 0 l
s
λ
2λ
l-λ
l-2 λ
x
Příklad 1.1. Určete sekundární parametry vedení, jsou-li známy primární parametry vedení R0 = 3,16 Ω/km, L0 = 1,85 mH/km, G0 = 0,5 μS/km, C0 = 6,4 nF/km. Kmitočet vedení je 800 Hz a jeho délka je 100 km.
♦Řešení: Podélná impedance a příčná admitance vedení jsou Zˆ l = R0 + j2πf L0 = 3,16 + j2π ⋅ 800 ⋅ 1,85 ⋅ 10 −3 = 3,16 + j9,3 = 9,82e j71,23° Ω km -1 , Yˆq = G0 + j2πf C 0 = 0,5 ⋅ 10 −6 + j2π ⋅ 800 ⋅ 1,85 ⋅ 10 −3 = 5 ⋅ 10 −7 + j3,217 ⋅ 10 −5 = 3,22 ⋅ 10 −5 e j89,11° S km -1 .
Hodnotu činitele šíření vypočteme z definice γˆ = Zˆ l Yˆq = 9,82e j71,23° ⋅ 3,22 ⋅ 10 −5 e j89,11° = 3,16 ⋅ 10 −4 e j160,34° = 1,78 ⋅ 10 −2 e j80,17° = = 3,03 ⋅ 10 −3 + j1,75 ⋅ 10 − 2 km -1
a vlnové impedance z definice Zˆ v =
Zˆ l 9,82e j71,23° = = 305284,8e - j17,88° = 545,82 − j85,85 = 552,53e - j8,94° Ω . −5 j89,11° ˆ 3,22 ⋅ 10 e Yq
Reálnou složku činitele šíření - činitel útlumu α určíme ze vztahu 138
{
}
α = Re{γˆ} = Re 3,03 ⋅ 10 −3 + j1,75 ⋅ 10 −2 = 3,03 ⋅ 10 −3 km -1
a jeho imaginární složku - činitel fáze
{
}
β = Re{γˆ} = Im 3,03 ⋅ 10 −3 + j1,75 ⋅ 10 −2 = 1,75 ⋅ 10 −2 km -1 .
Bezeztrátové vedení
Bezeztrátové vedení je idealizací skutečného vedení nebo modelem vedení vysokofrekvenčního, u kterého lze u měrných imitancí Zˆ l a Yˆq zanedbat jejich reálnou složku ( R0 << ωL0 , G0 << ωC 0 ), platí pro něj α = 0 m −1 , Zv =
γˆ = jβ = jω L0 C 0 = j L0 C0
,
2π
λ
,
ϕ v = 0 rad .
Nedochází u něj k útlumu amplitudy vln podél vedení, takže vlnové rovnice se zjednoduší a mají tvar ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ Uˆ ( s ) = Uˆ 2 cos⎜ s ⎟ + jZˆ v Iˆ2′ sin ⎜ s⎟ , λ ⎝ ⎠ ⎝ λ ⎠
Uˆ ⎛ 2π ⎞ ˆ ⎛ 2π ⎞ s ⎟ + I 2′ cos⎜ s⎟ . Iˆ( s ) = j 2 sin ⎜ ˆ λ Zv ⎝ ⎠ ⎝ λ ⎠
Ty jsme získali dosazením parametrů bezeztrátového vedení do rovnic vedení v souřadnici s ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ Uˆ ( s ) = Uˆ 2 cosh ⎜ j s ⎟ + Zˆ v Iˆ2′ sinh ⎜ j s ⎟ , ⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠ Uˆ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ Iˆ( s ) = 2 sinh ⎜ j s ⎟ + Iˆ2′ cosh⎜ j s ⎟ Zˆ v ⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠
užitím vztahů ⎛ 2π ⎞ cosh ( jβ s ) = cos(β s ) = cos⎜ s⎟ , ⎝ λ ⎠
⎛ 2π ⎞ sinh ( jβ s ) = jsin (β s ) = jsin ⎜ s⎟ . ⎝ λ ⎠
V libovolném místě bezeztrátového vedení tak platí ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ Uˆ 2 cos⎜ s ⎟ + jZˆ v Iˆ2′ sin ⎜ s⎟ ˆ ( ) U s λ λ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. Zˆ ( s ) = = ˆI ( s ) ˆ U ⎛ 2π ⎞ ˆ ⎛ 2π ⎞ j 2 sin ⎜ s ⎟ + I 2′ cos⎜ s⎟ ˆ Zv ⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠
Pro vedení nakrátko, kdy Uˆ 2 = 0 V , platí pro vstupní impedanci vedení, tj. pro místo s = l,
139
Zˆ (l )
Uˆ 2 = 0
Uˆ (l ) = Iˆ(l )
Uˆ 2 = 0
⎛ 2π ⎞ jZˆ v Iˆ2′ sin ⎜ l ⎟ ⎝ λ ⎠ = jZˆ tan ⎛ 2π l ⎞ = jX = ⎜ ⎟ v nak 2 ⎝ λ ⎠ ˆI ′ cos⎛⎜ π l ⎞⎟ 2 ⎝ λ ⎠
a pro vedení naprázdno, kdy Iˆ2 = 0 A , platí pro vstupní impedanci vedení, tj. pro místo s = l, Zˆ (l )
Iˆ2 = 0
Uˆ (l ) = Iˆ(l )
Iˆ2 = 0
⎛ 2π ⎞ Uˆ 2 cos⎜ l ⎟ ⎝ λ ⎠ = − jZˆ cotan⎛ 2π l ⎞ = − jX = ⎜ ⎟ v nap . ˆ U2 ⎝ λ ⎠ ⎛ 2π ⎞ j sin ⎜ l ⎟ Zˆ v ⎝ λ ⎠
Podle relace mezi fyzickou délkou vedení a délkou vlny na vedení, z rovnic vidíme, že se zkratované a otevřené vedení chová podle následující tabulky. XL
XC
XL
XC
XL
XC
λ/4
λ/4
l=λ/4
l<λ/4
l=λ/2
l=λ/4
Příklad 1.2. Určete, jaký charakter má vedení na konci zkratované, kratší než λ/4.
♦Řešení: Z výše uvedené tabulky vidíme, že vedení této délky má indukční charakter.
VIRTUÁLNÍ LABORATOŘ Kmitočtovou závislost vstupní impedance různých modelů vedení realizují aplikace 7_1_Z1_VedeniGAMAclanek.xls, 7_2_Z1_VedeniLclanek.xls, 7_3_Z1_VedeniPIclanek.xls.
Shrnutí pojmů 7.2. Analýzu dlouhého vedení v harmonicky ustáleném stavu provádíme v oboru komplexních hodnot zavedením sekundárních parametrů vedení, kterými jsou činitel šíření γˆ a vlnová 140
impedance dlouhého vedení Zˆ v . Reálnou složku činitele šíření nazýváme činitel útlumu α, který je mírou exponenciálního tlumení velikosti vlnění podél vedení a jeho imaginární složku činitel fáze β, který je mírou natočení fáze vlnění na jednotkovém úseku vedení. Činitel fáze definuje délku vlny λ na vedení, na jejíž relaci vůči délce vedení můžeme rozhodnout, budeme-li muset modelovat vedení jako obvod s prostorově rozloženými parametry. Zvláštním případem vedení je impedančně přizpůsobené vedení, které je na začátku i konci zatížené právě vlnovou impedancí. Takovéto vedení jako celek můžeme modelovat obrazovými parametry dvojbranu. Míru odrazu vln vedení na jeho okrajích definují činitele odrazu napětí ρˆ U a proudu ρˆ I . Oba tyto činitele mají co do hodnoty stejné velikosti, avšak se liší znaménkem. K odrazům nedochází na přizpůsobeném vedení, kdy na vedení existuje pouze přímá vlna napětí a proudu. Bezeztrátové vedení je vhodnou aproximací vysokofrekvenčního vedení. Na vedení zakončeném nakrátko a naprázdno vzniká stojaté vlnění, které nepřenáší energii. Primární parametry vedení, sekundární parametry vedení, vlnové rovnice vedení v harmonicky ustáleném stavu, činitel odrazu, přizpůsobené vedení, přímá vlna, zpětná vlna, fázová rychlost šíření vlnění, stojaté vlnění, bezeztrátové vedení.
Otázky 7.2. 1. Jaký je rozdíl mezi primárními a sekundárními parametry vedení?
2. Co slouží k posouzení ztrát vedení? 3. Jak je definována vlnová impedance vedení a co udává? 4. Jak je definován činitel útlumu a činitel fáze a co oba dva udávají 5. Jaký je vztah mezi sekundárními obrazovými parametry dvojbranu a dlouhého vedení? 6. Co je to přizpůsobené vedení? 7. Jakou hodnotu mají činitele odrazu napětí a proudu, je-li konec dlouhého vedení nakrátko? 8. Jaký typ vedení vzniká na dlouhém vedení, jehož konec je otevřený? 9. Jakou hodnotu má vstupní impedance vedení, které je zakončené nakrátko, má-li délku rovnou čtvrtině délky vlny?
Úlohy k řešení 7.2. 1. Určete dobu, za kterou dorazí rozruch vyvolaný zdrojem na počátku přizpůsobeného vysokofrekvenčního vedení o délce 400 m po odrazu od konce vedení do místa x = 100 m vzdáleného konce vedení, znáte-li R0 = 5 mΩ/m, G0 = 0,1 nS/m, L0 = 36 μH/m, C0 = 1 pF/m, f = 1 GHz.
Klíč k řešení
141
1. Z nevratných změn jsou to ztráty v dielektriku vyvolané jeho polarizací a magnetizací. První jsou úměrné časové změně intenzity elektrického pole (napětí mezi vodiči), a lze je zahrnout do příčné vodivosti, druhé (např. ve feritu dielektrika) jsou úměrné časové změně intenzity magnetického pole, tj. proudu a zahrnují se do podélného odporu R. V rámci indukčnosti L není rovněž zahrnuto pole uvnitř vodičů, které lze respektovat zvětšením L o tzv. vnitřní indukčnost. Vůbec se neuvažuje magnetické pole příčných posuvných proudů (příčná indukčnost) a elektrické pole ve směru osy vodičů (podélná kapacita). Tato pole jsou obvykle zanedbatelná, neboť změna u(x), i(x) podél vedení probíhá velmi pozvolna ve srovnání s příčnou vzdáleností vodičů. 2. Fázová rychlost vlnění je vf =
1 L0 C 0
=
1 36 ⋅ 10
−6
⋅ 1 ⋅ 10
−12
=
1 ms -1 . −9 6 ⋅ 10
Potřebnou dráhu s = 500 m vlna urazí za čas t=
s = vf
500 = 3 μs . 1 6 ⋅ 10 −9
Zadání samostatné práce č. 7: Nakreslete možné varianty ekvivalentního náhradního zapojení zátěže vedení a určete hodnoty jejich parametrů, tak aby zátěž byla vedení impedančně přizpůsobena. Primární parametry vedení jsou: R0 = 3,16 Ω/km, L0 = 1,85 mH/km, G0 = 0,5 μS/km, C0 = 6,4 nF/km, kmitočet vedení je 800 Hz a jeho délka 200 km.
Další zdroje [1] Székely, J.: Teoretická elektrotechnika I, druhý diel. Alfa, Bratislava 1979, s.45 – 80 [2] Szekély, J., Perény, M.: Príklady z teoretickém elektrotechniky - Riešenie obvodov, skripta VŠD v Žilině, s.265 – 277 [3] Mikulec, M.; Havlíček,V.:Základy teorie elektrických obvodů II. Skriptum ČVUT Praha 1999, kapitola 5 [4] Mayer, D.: Úvod do teorie elektrických obvodů. SNTL/ALFA, Praha 1981 [5] Černohorský, D., Svačina, J., Raida, Z.: Elektromagnetické vlny a vedení, PC-DIR spol. s r.o. – Nakladatelství Brno, 1995 s. 38-50
142
LABORATORNÍ ÚLOHY VIDEO A ANIMACE S měřicími přístroji používanými v laboratorních úlohách se můžete předem seznámit ve videích 0_1_Generator_DC.wmv, 0_2_Generator_AC.wmv, 0_3_Generator.wmv, 0_4_OsciloskopDigitalni.wmv, 0_5_OsciloskopAnalogovy.wmv. Postup, jak vytvořit a upravit graf v programu MS Excel je animován v souborech 0_1_VytvoreniGrafuExcel97_2003.ppt, 0_2_UpravaGrafuRegreseExcel97_2003.ppt, 0_3_UpravaGrafuVedlejsiOsaExcel97_2003.ppt, 0_4_VytvoreniGrafuExce2010.ppsx, 0_5_UpravaGrafuRegreseExcel2010.ppsx, 0_6_UpravaGrafuVedlejsiOsaExcel2010.ppsx, 0_7_ZapisRovnicExce2010.ppsx.
Laboratorní úloha č. 1 - Trojfázové obvody Zadání:
1. Zapojte do hvězdy (Y) jednotlivá vinutí transformátorů přípravku tak, aby vznikl souměrný trojfázový zdroj a změřte fázová a sdružená napětí ve stavu naprázdno. 2. Změřte obvodové veličiny pro případy tří (zapojení Y, D zátěže) a čtyřvodičové napájecí soustavy (zapojení Y zátěže) v uspořádáních: a) souměrný zdroj symetrický spotřebič zapojený do Y, b) souměrný zdroj nesymetrický spotřebič zapojený do Y, c) nesouměrný zdroj symetrický spotřebič zapojený do Y, d) souměrný zdroj symetrický spotřebič zapojený do trojúhelníku (D), 3. Nakreslete fázorové diagramy napětí a proudu. 4. Určete činné výkony všech zapojení, výsledky zpracujte do tabulky a posuďte je spolu s obvodovými veličinami. 5. Vyslovte se ke vztahu mezi fázovým a síťovým proudem při zapojení souměrné zátěže do trojúhelníku a dokažte jeho platnost. 6. Jako součást domácí přípravy navrhněte tabulky pro zápis měřených hodnot obvodových veličin dílčích zapojení.
143
Uˆ A Uˆ B
ˆ A IA
U sY
ˆ B IB
Uˆ C Uf Y
C
IˆC
N
Iˆ0
U sY = 3 U f Y
Uˆ A Uˆ B
ˆ A IA ˆ B IB
Uˆ C C
IˆC
Iˆs
1
A
Us A
A/V
Uf
Iˆs
A
Uˆ 12 A
2 3
A
Ûo
Uˆ 31 Uˆ 23
A
Iˆ1 If
Iˆ2
Iˆ3
Uˆ 1 Uˆ 2 Uˆ 3
0
1 Iˆ1
Iˆ31
2 Iˆ2
Iˆ12
ˆ 3 I3
Iˆ23
U f D = U sD
A
Obr. 8. 1.1 Měřicí schéma zapojení trojfázových obvodů: zapojení zátěže do hvězdy (3 nebo 4-vodičová soustava napájení), zapojení zátěže do trojúhelníku (3-vodičová soustava napájení) Upozornění:
Fázory v trojfázových obvodech obvykle zobrazujeme jako fázorové diagramy 2. druhu. Liší se od fázorových diagramů 1. druhu (používaných v jednofázových obvodech) tím, že rovina komplexních čísel je pootočena o 90° a opačnou orientací fázorů. Důvodem je lepší názornost. Pracovní postup:
ad 1. Doporučujeme, nejprve si vyzkoušet, jak správně zapojit konec vinutí jednotlivých transformátorů, aby vznikl souměrný trojfázový zdroj zapojený do hvězdy. K měření obvodových veličin použijeme 4 nebo 5 měřicích přístrojů. Třemi měříme síťové proudy, jeden používáme jako voltmetr k měření U 0 , respektive po přepnutí na proudové rozsahy jako ampérmetr k měření I 0 , jeden můžeme použít k měření fázových napětí, resp. měření veličin k verifikaci podle bodu 5. V případě použití 5 multimetrů dbáme toho, aby při zapojení zátěže do Y nebyl mezi uzel zdroje a zátěže zapojen ampérmetr trvale, ale jen v případě čtyřvodičové soustavy napájení, kdy máme za úkol měřit proud nulovým vodičem I 0 . Napětí U 0 nemá v tomto případě smysl měřit, neboť je dáno pouhým úbytkem bočníku amérmetru. Zátěž realizujeme pomocí tří modulů odporové dekády s rozsahem hodnot 20 – 1119 Ω. Hodnoty odporů odporníků zátěže volíme z intervalu hodnot 170 – 300 Ω. Nesouměrný zdroj nejsnáze získáme záměnou konců jednoho vinutí transformátoru a nesouměrný spotřebič nastavením hodnoty odporu jedné fáze zátěže na maximální hodnotu odporové dekády. ad 2.
a) Pozor neexistuje ideální souměrnost, možno naměřit I 0 ≠ 0 , U 0 ≠ 0 . 144
1119 Ω.
b) Nesymetrii v jedné fázi vytvoříme nastavením odporu dekády na hodnotu
c) Buď přehodíme začátek a konec jedné fáze zdroje nebo jednu fázi zdroje spojíme se svorkou 0 spotřebiče a svorku N zdroje s příslušnou svorkou spotřebiče (záměna nulového a síťového vodiče). d) Zdroj je zapojen do hvězdy. ad 3. Fázorové diagramy zátěže zapojené do Y kreslíme pro oba případy napájecích soustav. Nezapomeňme ve fázorovém diagramu třívodičové soustavy zakreslit fázor Uˆ 0 (předpoklad Iˆ = 0 A tj. Zˆ → ∞ ) a ve fázorovém diagramu čtyřvodičové soustavy zakreslit 0
0
fázor Iˆ0 (předpoklad Uˆ 0 = 0 V tj. Zˆ 0 = 0 Ω ). Při konstrukci fázorových diagramů předpokládáme, že se odporník při daném kmitočtu chová jako rezistor. ad 4. Srovnejte výkony, ale i napětí a proudy při zapojení zátéže do Y a D a posuďte výkony v nesouměrných stavech zátěže zapojené do Y. ad 5. Vztah nejsnáze dokážete na základě fázorového diagramu proudů obvodu.
VIRTUÁLNÍ LABORATOŘ A VIDEO Naměřené hodnoty ověřte aplikacemi virtuální laboratoře 1_1_Hvezda.xls, 1_2_Trojuhelnik.xls. Praktickou realizaci trojfázového zdroje a zátěže v laboratoři ilustrují videa 1_1_Zapojeni3fzdroje.wmv, 1_2_Pripojeni3fzateze.wmv.
Laboratorní úloha č. 2 – Určování parametrů odporových dvojbranů a kmitočtové charakteristiky RC členů Zadání: 1) Z měření naprázdno a nakrátko dle obr. 8.2.2 určete kaskádní parametry zapojení na obr. 8.2.1a, 1b a 1c. 2) Kaskádní parametry dvojbranů v zapojení na obr. 8.2.1a ověřte výpočtem pomocí kaskádních parametrů dvojbranů v zapojení podle obr. 8.2.1b a 1c. 3) Výpočtem určete vstupní a výstupní odpor zapojení na obr. 8.2.1a ve stavu naprázdno, nakrátko a pro obecnou zatěžovací impedanci a vstupní a výstupní obrazový odpor. 4 ) Změřte celkové napětí U a dílčí napětí UR, UC na nezatíženém RC členu v závislosti na kmitočtu podle obr. 8.2.3. 5) Experimentálně ověřte charakteristický kmitočet RC členu. Uˆ Uˆ 6) Odvoďte komplexní přenosy FˆUR = R , FˆUC = C z kmitočťově závislého děliče Uˆ Uˆ napětí, pojmenujte je podle jejich chování v kmitočtové oblasti, nakreslete pro každý přenos obvodové schéma typu L článku a pojmenujte toto schéma z hlediska jeho chování v časové oblasti. V semilogaritmických souřadnicích vyneste modulové a fázové kmitočtové charakteristiky těchto přenosů. Moduly přenosů UR/U, UC/U stanovte v decibelech. Graficky z kmitočtových charakteristik určete charakteristický kmitočet obvodu. 145
7) V komplexní rovině zobrazte fázorové čáry obou přenosových funkcí FˆUR , FˆUC pro parametr f nebo ω. U obou fázorových čar zvýrazněte bod odpovídající charakteristickému kmitočtu. 8) Posuďte a srovnejte dosažené výsledky v kontextu úkolů zádání. 9) Jako součást domácí přípravy navrhněte tabulky měřených hodnot, do kterých uveďte i vypočtené hodnoty kaskádních parametrů dvojbranu (případ měření na stejnosměrném dvojbranu) a vypočtené moduly a fáze přenosů FˆUR , FˆUC (případ měření RC článku). V návrhu tabulek stejnosměrného dvojbranu zohledněte fakt, že ve stavu naprázdno a nakrátko má jedna z měřených veličin nulovou hodnotu. a)
R1
1‘
b)
3
1
2
c)
1
3
R3
R2
R1
2‘
3‘
1‘
3
2
R3
R2 3‘
3‘
2‘
Obr. 8. 2.1 Schéma zapojení stejnosměrných dvojbranů: T-článek, L-článek, degenerovaný dvojbran I 10 A
~
═
U
V
V
U 10
U 20
I 1k
I' 2k
V
A
A
~
═
U
U 1k Obr. 8. 2.2 Měřicí schéma parametrů dvojbranu: stav naprázdno, stav nakrátko
146
Nf. generátor
I V
R
~ ~
UR
V
U V
C UC Obr. 8. 2.3 Měřicí schéma RC článku Upozornění:
V žádném z provozních stavů stejnosměrného dvojbranu nesmí zapůsobit proudové omezení zdroje!
Pracovní postup:
ad 1. Hodnoty odporníků R1 < R2 < R3 volíme z intervalu 150 – 450 Ω a napětí stejnosměrného zdroje do 10 V.
[ ] [ ][ ]
ad 2. Pro matice kaskádně řazených dvojbranů platí Aˆ a) = Aˆ b) Aˆ c) . ad 3. Vstupní odpor dvojbranu je dán obecně R1 = R1 = R2 =
A11 A21 A22 A21
, nakrátko R1 = I 2 =0
, nakrátko
A12 A22
R2 =
I 2 =0
obrazový odpor R2o =
), výstupní odpor R 2 = U 2 =0
A12 A11
A11 Rz + A12 (ve stavu naprázdno A21 Rz + A22 A22 Rz + A12 ( ve stavu naprázdno A21 Rz + A11
), vstupní obrazový odpor U 2 =0
R1o =
A11 A12 , výstupní A21 A22
A22 A12 . A21 A11
ad 4. Měření napětí provádíme na kmitočtech 0,05fo; 0,1fo; 0,3fo; 0,5fo; 0,8fo; fo; 1,1 fo; 3fo; 5fo; 8fo ; 10fo a 15fo kHz, kde fo je charakteristický kmitočet obvodu definovaný fo =
1 , který volíme tak aby ležel v intervalu 150 – 200 Hz. Hodnoty odporu odporníku 2πRC
R volíme z intervalu 800 – 1119 Ω a kapacity kondenzátoru C z intervalu 800 – 999 nF.
ad 5. Hodnotu charakteristického kmitočtu experimentálně určíme z rovnosti efektivních hodnot napětí UR, UC, kdy platí UR = UC = U / 2 . ad 6. Moduly napěťových přenosů v decibelech určíme ze vztahu FU ( dB) = 20 log
U2 , U
kde U2 je UR nebo UC. Charakteristický kmitočet určíme graficky na základě 3 dB odchylky
skutečné modulové charakteristiky od asymptotické Bodeho modulové charakteristiky na 147
kmitočtu fo nebo z fázové charakteristiky, ke kmitočtu fo odpovídájí fáze přenosů ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛U ⎞ ⎛U ⎞ ϕ R = arccos⎜ R ⎟ = arccos⎜ ϕ C = − arccos⎜ C ⎟ = − arccos⎜ ⎟ = 45 ° , ⎟ = −45 ° . ⎝U ⎠ ⎝U ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ Kmitočtovou osu modulové i fázové charakteristiky zobrazíme v logaritmickém měřítku. ad 7. Fázorové čáry obou přenosů jsou půlkružnice, orientované ve směru nárůstu kmitočtu. Orientaci názorové čáry provádíme šipkou. Fázorová čára přenosu FˆUR leží v 1. kvadrantu komplexní roviny a FˆUC v jejím 4. kvadrantu. Souřadnice bodů fázorové čáry prakticky zobrazíme v kartézském souřadném systému. Na daném kmitočtu platí pro bod U2 U cos(ϕ 2 ) , y = 2 sin(ϕ 2 ) , kde U2 je UR nebo UC a ϕ2 je ϕ R nebo ϕ C. U U ˆ ˆ Reálná část přenosů FUR , FUC odpovídá souřadnici x, jejich imaginární část souřadnici y.
fázorové čáry x =
Laboratorní úloha č. 3 - Měření přenosu zpětnovazební struktury s operačním zesilovačem Zadání:
1. Zapojte operační zesilovač jako invertující zesilovač, neinvertující zesilovač, sledovač signálu, integrační a derivační obvod podle obr. 8.3.1 – 8.3.6. 2. Změřte hodnoty napětí zapojení podle obr. 8.3.6, ze kterých určete napěťové přenosy v závislosti na kmitočtu. 3. Zobrazte moduly jednotlivých napěťových přenosů v decibelech v závislosti na kmitočtu v semilogaritmických souřadnicích. 4. Ze zvolených parametrů obvodu určete časové konstanty obvodů na obr. 8.3.4 a 8.3.5, z jejichž převrácených hodnot určíme charakteristické úhlové kmitočty ωoa, ωob, ze kterých stanovíme charakteristické kmitočty těchto obvodů foa, fob. Hodnotu příslušného charakteristickýho kmitočtu určete i graficky z kmitočtové charakteristiky obvodů na obr. 8.3.4 a 8.3.5. 5. Zobrazte v grafech pro zvolené hodnoty parametrů obvodů i napěťové přenosy plynoucí z matematických modelů jednotlivých zapojení v daném kmitočtovém pásmu, které odvoďte. 6) Posuďte a srovnejte dosažené výsledky v kontextu úkolů zádání. 7. Jako součást domácí přípravy navrhněte tabulky měřených hodnot, do kterých uveďte vypočtené přenosy z hodnot napětí měřených i vypočtených z matematických modelů obvodů, navrhněte hodnoty parametrů zpětnovazební sítě a vypočtěte charakteristické lomové kmitočty obou propustí.
148
Rb
Rb +15 V
Ra
Ra
–
– +
Û1
+15 V
+
Û2
Û1
–15 V
Obr. 8.3.1 Invertující zesilovač
Û2
–15 V
Obr. 8.3.2 Neinvertující zesilovač Cb
Rb
Rb
+15 V
Ra
–
–
+ Û1
+15 V
Ra Û2
+
Û1
–15 V
Û2
–15 V
Obr. 8.3.3 Sledovač signálu
Obr. 8.3.4 Integrační obvod Rb
Cb Ra Rb
Ra
Ca
Û1
≈
+15 V
Û1
+15 V – +
Û2
–15 V
– +
~
Û2
–15 V
Obr. 8.3.5 Derivační obvod
Obr. 8.3.6 Příklad zapojení měřeného obvodu
Upozornění:
K napájení přípravku s operačním zesilovačem použijte výhradně stejnosměrný zdroj RC Didactic s pevnou hodnotou napětí ±15 V. Toto napětí snížené o úbytek napětí, vzniklý v obvodu ochrany napájení přípravku se zesilovačem proti jeho přepólování a ve vnitřní struktuře zesilovače se objeví při saturaci zesilovače na jeho výstupu. Neopomeňte nejprve 149
připojit k přípravku zem zdroje! Jelikož osciloskop a nízkofrekvenční generátor mají nesymetrické vstupy/výstup jsou spojeny přes zem napájecí síť, je tedy možné měřit vstupní a výstupní napětí zesilovače jedním, a to živým hrotem sondy. Dbejte tedy, ať neprovedete u jednoho z těchto přístrojů záměnu svorek, která vede k vzájemnému vyzkratování přístrojů! V případě neočekávaného chování obvodu ověřte rovněž vodivost vodičů a propojovacích bodů. S ohledem na korespondenci mezi schématem zapojení a realizovaným obvodem propojujte pokud možno přímo svorky odporových či kapacitních dekád krátkými vodiči s dvojicemi za tímto účelem vytvořených svorek v operační síti přípravku. Všechna osciloskopická měření provádíme s nastavenou DC vazbou! Pracovní postup:
ad 1. Zapojte postupně operační zesilovač podle obr. 8.3.1 – 8.3 5. Zvolte jednu hodnotu každého z parametrů operační sítě z intervalu hodnot: Ra 10 – 20 kΩ, Rb 20 – 30 kΩ, s podmínkou Ra < Rb, Ca 30 – 50 nF, Cb 7 – 14 nF. Doporučujeme začít měření zapojením neinvertujícího zesilovače na obr. 8.3.2, ze kterého je snadné pouhým odpojením větve s odporníkem Ra realizovat sledovač na obr. 8.3.3. Poté realizujete zapojení invertujícího zesilovače, když v napěťové zpětné vazbě ponecháme odporník Rb a uzemníme neinvertující vstup zesilovače a dopojíme požadované prvky zpětnovazební sítě dle obr. 8.3.1, 8.3.4, 8.3.5 . ad 2. Na nízkofrekvenčním generátoru MTX 3240 zvolte harmonický průběh výstupního napětí a nastavte úroveň signálu, tak aby na jeho svorkách byla hodnota napětí špička - špička Up-p z intervalu hodnot 280 – 1120 mV nebo efektivní hodnota napětí 100 – 400 mV. Pro zapojení na obr. 8.3.1 – 8.3.3 dporučujeme volit kmitočty 0,2; 0,5; 1; 2; 5; 10 a 20 kHz Pro zapojení na obr. 8.3.4 a 8.3.5 doporučujeme volit kmitočty 0,05fo; 0,1fo; 0,3fo; 0,5fo; 0,8fo; fo; 1,1 fo; 3fo; 5fo; 8fo ; 10fo a 15fo kHz, kde fo je foa nebo fob. Hodnoty vstupního a výstupního napětí operačního zesilovače potřebné ke stanovení jeho přenosu nejsnáze odečteme u analogového osciloskopu z napětí špička – špička Up-p, u digitálního osciloskopu lze využít i funkce automatického měření, tedy kromě napětí Up-p i jeho amplitudy či efektivnní hodnoty. ad 3. Moduly napěťových přenosů v decibelech určíme ze vztahu FU ( dB) = 20 log
U2 . U1
Kmitočtovou osu modulové charakteristiky zobrazíme v logaritmickém měřítku. ad 4. Charakteristický kmitočet určíme na základě 3 dB odchylky skutečné charakteristiky od asymptotické Bodeho charakteristiky na tomto kmitočtu. ad 5. Přenosy matematických modelů odvodíme dosazením hodnot impedancí zpětnovazební sítě do vztahů pro zesílení invertujícího a neinvertujícho zesilovače.
VIRTUÁLNÍ LABORATOŘ Matematické modely přenosů si můžete vygenerovat pomocí aplikace 4_7_KmitoctovePrenosy_OZ.xls.
150
Laboratorní úloha č. 4 - Charakteristiky nelineárního dvojbranu Zadání:
1. Změřte veličiny vstupní a výstupní brány nelineárního dvojbranu, reprezentovaného bipolárním tranzistorem BC 546A podle obr. 8.4.1 potřebné ke konstrukci hlavních charakteristik tranzistoru. 2. Nakreslete síť výstupních charakteristik tranzistoru I C = f (U CE ) při IB = konst., převodních charakteristik I C = f ( I B ) při UCE = konst., vstupních charakteristik U BE = f ( I B ) při UCE = konst. a zpětně převodních charakteristik U BE = f (U CE ) při IB = konst. viz obr. 8.4.2. 3. Sestrojte zatěžovací přímku zdroje v síti výstupních charakteristik a zvolte pracovní bod tranzistoru, ve kterém stanovte statické parametry smíšeného H modelu tranzistoru. 4. V okolí pracovního bodu určete diferenční střídavé h parametry tranzistoru a nakreslete pro tyto číselné hodnoty náhradní linearizovaný model tranzistoru pro střídavý signál. 5. Na následující laboratorní cvičení proveďte návrh odporové sítě k nastavení pracovního bodu tranzistoru. Na vstupní straně tranzistoru realizujte nastavení pracovního bodu děličem napětí RF, RD (napěťové buzení) i odporníkem RD o velké hodnotě odporu (proudové buzení) viz obr. 8.4.3. Vypočtené hodnoty uveďte do tabulky této laboratorní úlohy. 6. Jako součást domácí přípravy navrhněte tabulku k zápisu měřených veličin tranzistoru.
RC A IC RB
~
═
+ –
IB A V V U BE
Obr. 8.4.1 Měřicí schéma nelineárního dvojbranu
151
U CE
+ –
═
~
IC (mA) UCE > 5 V
ICk ΔIB IB
P IB (μA)
ΔIC UCE (V)
IDk
ΔUCE
Uo IB ΔUBE
UCE > 5 V
UBE (V)
Obr. 8.4.2 Statické charakteristiky nelineárního dvojbranu - bipolárního tranzistoru Upozornění:
Z důvodu přehlednosti dbáme, aby svorky odporníků dekád a ampérmetrů byly propojeny přímo vodiči se dvojicemi svorek vytvořenými za tímto účelem v zapojovací síti přípravku! Pracovní postup: ad 1. Zapojte stejnosměrný obvod podle obr. 8.4.1. Dbejte na správnou polaritu zdrojů! Hodnotu odporníku RC volte z intervalu 20 – 100 Ω a RB z intervalu 50 – 150 kΩ. Požadované hodnoty veličin nastavte změnou napětí zdrojů. Dostavení požadované hodnoty veličin můžeme v případě potřeby dosáhnout i změnou odporu dekády. Hlavní charakteristiky tranzistoru se vynášejí při konstantních hodnotách parametrů UCE a IB. Hodnoty IB nastavujeme pro zvolený krok v rámci intervalu 1 – 200 μA, hodnoty UCE nastavujeme pro zvolený krok v rámci intervalu 0 – 15 V, přičemž s ohledem na tvar výstupních charakteritik mezi nulou a krokem napětí vložíme alespoň další dvě hodnoty napětí UCE. Doporučujeme volit hodnoty IB = 20 μA, 40 μA, 60 μA, 80 μA, 100 μA, 120 μA, 140 μA a UCE = 0 V, 0,5 V, 1 V, 2,5 V, 5 V, 7,5 V, 10 V, 12,5 V, 15 V. ad 2. Síť výstupních charakteristik sestrojíme pro hodnoty bázového proudu IB = 20 μA, 40 μA, 60 μA, 80 μA, 100 μA, 120 μA, 140 μA, převodních charakteristik pro UCE = 1 V, UCE = 5 V, UCE = 7,5 V, vstupních charakteristik pro UCE = 1 V, UCE = 5 V, UCE = 7,5 V a zpětně převodních charakteristik při IB = 20 μA, 60 μA, 100 μA. ad 3. Pracovní bod daný napětím UCE a proudem IC volíme v síti výstupních charakteristik podle požadovaného rozkmitu výstupního střídavého napětí tranzistorového zesilovače. Aby limitace byla pokud možno souměrná, požadujeme splnění rovnosti UC = UCE. Pracovní bod má souřadnice (UCE; IC) a leží na zatěžovací přímce zdroje. Zatěžovací 152
přímku konstruujeme vynesením dvou bodů do sítě výstupních charakteristik, které mají ⎞ Uo ⎟ a I Ck = . ⎟ RC + R E ⎠ ⎝ s ohledem na návrh tranzistorového zesilovače pro ⎛
souřadnice (Uo; 0 mA) a (0 V; ICk) a pro které platí U o = U CE ⎜⎜ 2 + Absolutní hodnotu napěťového zesílení AU
1 AU
laboratorní úlohu č. 5 volíme 2 – 5 a součet hodnot kolektorového a emitorového odporníku RC + RE z intervalu hodnot 200 – 1000 Ω. V místě zvolené hodnoty napětí UCE vztyčíme kolmici, jejíž
průsečík se zatěžovací přímkou zdroje nám definuje pracovní bod, pro který odečteme hodnotu kolektorového proudu IC, ze kterého určíme hodnotu kolektorového odporníku U R RC = CE a následně i hodnotu emitorového odporníku RE = C . Hodnoty veličin pracovního AU IC bodu na vstupní straně tranzistoru, zíkáme ze sítě hlavních charakteristik tranzistoru průmětem pracovního bodu výstupní charakteristiky do charakteristiky vstupní, kde odečteme hodnoty pracovního bodu (IB; UBE) viz obr. 8.4.2. Pro statické H parametry nelineárního dvojbranu v pracovním bodu platí I I U U H 11 = BE , H 12 = BE , H 21 = C , H 22 = C . IB U CE IB U CE ad 4. Střídavé parametry určíme z diferencí veličin v okolí pracovního bodu zobrazených na obr. 8.4.2 a stanovených ze souřadnic dvou bodů podle definic U − U BE1 Δ U BE U − U BE1 Δ U BE = h 11 = BE1 , = , h12 = BE1 U CE1 − U CE1 Δ IB Δ IB I B1 − I B2 I C1 − I C2
I C1 − I C2 Δ IC Δ IC , . h 22 = = U CE1 − U CE1 Δ U CE I B1 − I B2 Δ I B Linearizovaný model bipolárního tranzistoru pro střídavý signál popište odpovídajícími symboly veličin s vypočtenými hodnotami parametrů. Pozor, hodnoty parametrů h12, h22 jsou vlivem hodnoty Δ U CE záporné.
h 21 =
=
ad 5. Návrh pracovního bodu na vstupní straně tranzistoru pro případ napěťového buzení nakresleného na obr. 8.4.3 provedeme dosazením znamých hodnot do definičních vztahů U − U F U o − U BE − U E U U +UE RF = F = BE = a RD = o , kde k je činitel napěťového přizpůsobení, (k + 1)I B (k + 1)I B IF kIB který volíme 10. Proudové buzení je limitním případem napěťového buzení pro k = 0, takže RF → ∞ U − U BE − U E a RD = o . IB ad 6. Tabulku navrhneme tak, aby bylo možné efektivně zapisovat hodnoty měřených veličin pro zvolené konstantní hodnoty UCE, IB potřebné k vynesení hlavních charakteristik tranzistoru na obr. 8.4.2.
153
Io ID = (k +1) IB UD
IC UC
RD IB
1
2 UCE
UBE
IF = k IB UF
RF
RC
1‘
IE UE
Uo
2‘
RE
Obr. 8.4.3 Můstkové zapojení pro nastavení pracovního bodu bipolárního tranzistoru
VIRTUÁLNÍ LABORATOŘ K ověření vypočtených hodnot pracovního bodu tranzistoru použijte aplikaci 6_1_PracovniBodTranzistoru.xls.
Laboratorní úloha č. 5 - Nastavení pracovního bodu nelineárního dvojbranu a realizace střídavého zesilovače Zadání:
1. Zapojte obvod podle obr. 8.5.1, kde odporovými dekádami nastavte tranzistor do pracovního bodu podle návrhu provedeného v rámci laboratorní úlohy č. 4 a ověřte měřením jeho nastavení pro napěťové a proudové buzení tranzistoru. Hodnoty zapište do tabulky, ve které uveďte i vypočtené hodnoty veličin a srovnejte je. Navržené hodnoty odporníků uveďte do samostatné tabulky. 2. V rámci přípravy na laboratorní cvičení navrhněte hodnoty vazebních kondenzátorů střídavého zesilovače ve třídě A, nakreslete malosignálový model zesilovače pro napěťové a proudové buzení tranzistoru, určete vstupní střídavý odpor tranzistoru pro oba způsoby buzení tranzistoru. Vypočtené hodnoty C1, C2 a R1 uveďte do tabulky pro oba způsoby buzení. 3. Realizujte střídavý zesilovač zapojením vazebních kondenzátorů a připojením generátoru podle obr. 8.5.2 pro oba způsoby buzení. 4. Nízkofrekvenčním generátorem MTX 3240 postupně nastavte pro oba způsoby buzení efektivní hodnoty napětí U1 0,1 V; 0,2 V; 0,5 V; 1 V; 2 V harmonického průběhu napětí o kmitočtu 2 kHz. Tyto hodnoty spolu s naměřenými efektivními hodnotami napětí U2 a vypočtenými hodnotami přenosů napětí bezrozměrných i v decibelech uveďte do tabulky a 154
srovnejte s hodnotou navrženého napěťového zesílení AU tranzistoru. Do grafu zobrazte závislosti U2 = f(U1) a psuďte je. 5. Ověřte nastavený dolní mezní kmitočet horní propusti měřením na výstupu zesilovače. 6. Jako součást domácí přípravy navrhněte tabulky měřených a vypočtených hodnot.
RD
RC
IC mA
C V2
B V1
E
U CE
+ = -
Uo
RE
RF UF
Obr. 8.5.1 Měřicí schéma k ověření nastavení pracovního bodu tranzistoru RC
RD
C2 1
C1
+ = -
C B
~
2
E V2
V1
Uo
RE
RF
U2
U1 1´ Obr. 8.5.2 Měřicí schéma střídavého zesilovače
2´
Pracovní postup: ad 1. Při proudovém buzení nezapomeňte odpojit odporník RF a nastavit odpovídající hodnotu odporníku RD. U napěťového buzení v případě potřeby zapojte do série s kilohmovou dekádou i dekádu ohmovou. Svorky odporníků dekád a voltmetrů a ampérmetru propojte 155
přímo s dvojicemi za tímto účelem vytvořených svorek v zapojovací síti přípravku v souladu s dispozicí prvků ve schématu zapojení. ad 2. Vazební kondenzátory C1, C2 slouží k oddělení stejnosměrné a střídavé složky 1 vstupních a výstupních veličin tranzistoru. Hodnotu kapacity kondenzátoru C1 = 2πf o1 R1 vypočteme z hodnoty zvoleného charakteristického kmitočtu fo1 horní propusti, kterou tvoří tento kondenzátor a vstupní odpor tranzistoru R1. Kmitočet fo1 volte z intervalu hodnot 20 – 100 Hz. Pro vstupní odpor tranzistoru R1 platí pro napěťové buzení (h11 + RE (1 + h21 ) ) RD RF (h + RE (1 + h21 ) ) RD RD + RF vztah R1 = a pro proudové buzení R1 = 11 . RD RF h11 + RE (1 + h21 ) + RD h11 + RE (1 + h21 ) + RD + RF Jelikož tranzistorový zesilovač není zatížený, volte hodnotu C2 = C1. ad 3. Svorky odporových dekád, vazebních kondenzátorů a voltmetrů opět propojte přívodními vodiči s dvojicemi za tímto účelem vytvořených svorek v zapojovací síti přípravku. ad 4. Blíží-li se součin 2U 1 AU hodnotě napětí UCE nebo přesáhne-li ji, dochází k limitaci (zkreslení) výstupního napětí, a tudíž k poklesu efektivní hodnoty výstupního napětí. ad. 5. Hodnotu charakteristického kmitočtu fo1 ověřte na základě poklesu amplitudy výstupního napětí o 29,3 % (na hodnotu 1/ 2 násobku) na tomto kmitočtu a útlumem zesílení pod tímto kmitočtem.
Laboratorní úloha č. 6 - Využití zpětných vazeb a přechodných jevů v obvodu s operačním zesilovačem ke generování obdélníkových impulzů Zadání:
1. Zapojte astabilní multivibrátor se střídou výstupního napětí S = 1 podle obr. 8.6.1 a osciloskopem změřte periodu T a stanovte kmitočet f výstupního obdélníkového napětí obvodu. Nastavte odporovými dekádami, zapojenými v obvodu kladné zpětné vazby operační sítě hodnotu odporníku R2 = 100 kΩ a jednu vybranou hodnotu z množiny hodnot odporníku R1 = 50 kΩ, 100 kΩ, 150 kΩ. V obvodu záporné zpětné vazby nastavte hodnotu odporníku Rb = 50 kΩ a postupně v pořadí prováděných měření nastavujte hodnoty kapacit kondenzátoru Ca z množiny hodnot 1, 3, 5, 10, 20 nF. Do tabulek zapište měřené i odpovídající vypočtené hodnoty. Ze stanovených hodnot vyneste grafy závislostí T = f(τ) a f = f(τ) a posuďte je. Pro jednu zvolenou hodnotu časové konstanty záporné zpětné vazby dále změřte osciloskopem a zapište do tabulky dobu trvání kladného impulsu t1, dobu trvání záporného impulsu t2, obě úrovně výstupního napětí u2, obě úrovně komparačního napětí uR1 spolu s jejich odpovídajícími vypočtenými hodnotami a porovnejte je. 2. Ponechejte obvod zapojený podle obr. 8.6.1 a pro následující měření vyberte z množiny hodnot kapacit 1, 3, 5, 10, 20 nF její jednu hodnotu, kterou nastavte v obvodu záporné zpětné vazby současně s hodnotou odporníku Rb = 50 kΩ. V obvodu kladné zpětné vazby nastavte hodnotu odporníku R2 = 100 kΩ a postupně v pořadí prováděných měření nastavujte hodnoty odporníku R1 = 10 kΩ, 20 kΩ, 50 kΩ, 100 kΩ, 150 kΩ, 200 kΩ. Osciloskopem změřte periodu výstupního napětí, stanovte jeho kmitočet a změřte obě úrovně komparačního napětí uR1, které uveďte do tabulky spolu s odpovídajícimi vypočtenými hodnotami. Ze stanovených hodnot vyneste grafy závislostí T = f(R1) a T = f(uR1) a posuďte je. 156
3. Zapojte astabilní multivibrátor podle obr. 8.6.2, kde je střída S výstupního napětí řízena napětím stejnosměrného zdroje Ui a osciloskopem změřte periodu, stanovte kmitočet a střídu výstupního obdélníkového napětí obvodu. Nastavte odporovými dekádami, zapojenými v obvodu kladné zpětné vazby operační sítě hodnotu odporníku R2 = 100 kΩ a jednu vybranou hodnotu z množiny hodnot odporníku R1 = 50 kΩ, 100 kΩ, 150 kΩ. V obvodu záporné zpětné vazby nastavte hodnotu odporníku Rb = 50 kΩ a jednu vybranou hodnotu z množiny hodnot kapacit kondenzátoru Ca = 1, 3, 5 nF. Hodnoty stejnosměrného napětí Ui nastavte postupně na hodnoty -9 V, -6 V, -3 V, 0 V, 3 V, 6 V, 9 V a do tabulek zapište měřené i odpovídající vypočtené hodnoty. Ze stanovených hodnot vyneste grafy závislostí T = f(Ui) a S = f(Ui) a posuďte je. 4. Posuďte a srovnejte dosažené výsledky v kontextu úkolů zádání. 5. Jako součást domácí přípravy navrhněte tabulky měřených a vypočtených hodnot. Rb +15 V – + –15 V Ca
u2
uCa
R2 R1
uR1
~
Obr. 8.6.1 Měřicí schéma astabilního klopného obvodu se střídou výstupního napětí S = 1
157
Rb +15 V – + –15 V Ca uCa
u2 R2
R1
═
Ui
~
~
Obr. 8.6.2 Měřicí schéma astabilního klopného obvodu s proměnnou střídou výstupního napětí S ≠ 1 Upozornění:
Před započetím měření si nejprve znovu přečtěte Upozornění, uvedené k laboratorní úloze č. 3. Příznakem správné funkce obvodu jsou žluté LED, indikující saturaci výstupu operačního zesilovače, které se pro zvolené parametry prvků zpětnovazbní sítě jeví lidskému oku, jako současně svítící. Pracovní postup:
ad 1. Změnu výstupního kmitočtu f u tohoto měření provádíme změnou časové konstanty v obvodu záporné zpětné vazby při konstantních parametrech prvků kladné zpětné vazby a při Ui = 0 V. Kmitočet f určíme jako převrácenou hodnotu periody T výstupního napětí. Do tabulek grafů ⎛ 2 R + R2 ⎞ ⎟⎟ , T = t1 + t 2 . Komparační uveďte měřené i vypočtené hodnoty, pro které platí t 2 = t1 = τ ln⎜⎜ 1 R 2 ⎝ ⎠ napětí (kladná vstupní svorka operačního zesilovače) je na obr. 8.6.1 totožné s napětím uR1
odporníku R1. Špičkové hodnoty napětí kondenzátoru Ca odpovídají dosažené úrovni komparačního napětí tj. počáteční hodnotě napětí kondenzátoru, ze které dochází opakovaně k jeho přebíjení po překlopení výstupu astabilního klopného obvodu z jedné hodnoty
158
saturačního napětí na druhou. Střídu ověříme z naměřených dob trvání kladné t1 a záporné t2 šířky pulsu výstupního napětí podle vztahu S =
t1 . t2
ad 2. Změnu výstupního kmitočtu f u tohoto měření provádíme změnou úrovně komparačního napětí v obvodu kladné zpětné vazby při konstantních parametrech prvků záporné zpětné vazby tj. při konstantní časové konstantě τ a při Ui = 0 V. Do tabulek a grafů uveďte měřené i vypočtené hodnoty, ⎛ U k − U 2sat ⎞ ⎛ U + U 2sat ⎞ 1 ⎟ , t 2 = τ ln⎜ k 2 ⎟, f = , kde t1 = τ ln⎜ 1 pro které platí T = t1 + t 2 , ⎜ U k − U 2sat ⎟ ⎜ U k + U 2sat ⎟ T ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ R1 R1 U k1 = − U 2sat je dolní a U k 2 = U 2sat je horní komparační úroveň napětí a U2sat je R1 + R2 R1 + R2 absolutní hodnota saturačního napětí astabilního klopného obvodu. Jelikož je střída výstupního
napětí S =1, osciloskopem neměřte doby t1 a t2, ale jen periodu a obě úrovně komparačního napětí. ad. 3 Změnu kmitočtu a střídy výstupního napětí u tohoto měření provádíme změnou stejnosměrného napětí Ui při konstantních parametrech obvodu kladné i záporné zpětné vazby. Do t 1 tabulek grafů uveďte měřené i vypočtené hodnoty, pro které platí T = t1 + t 2 , f = , S = 1 , kde T t2 R2 ⎛ 2 R1 + R2 U 2sat + Ui ⎜− R1 + R2 R1 + R2 ⎜ t1 = τ ln⎜ R2 R2 ⎜⎜ − R + R U 2sat + R + R U i 1 2 1 2 ⎝
R2 ⎞ ⎛ 2 R1 + R2 U 2sat + Ui ⎟ ⎜ R1 + R2 ⎟ , t = τ ln⎜ R1 + R2 ⎟ 2 ⎜ R2 R2 ⎟⎟ ⎜⎜ R + R U 2sat + R + R U i 2 1 2 ⎠ ⎝ 1
⎞ ⎟ ⎟ . ⎟ ⎟⎟ ⎠
VIRTUÁLNÍ LABORATOŘ K ověření vypočtených hodnot astabilního klopného obvodu použijte aplikaci virtuální laboratoře 4_4_AstabilniKlopnyObvod.xls.
Laboratorní úloha č. 7 - Rezonanční, vedený a vlastní kmitočet RLC obvodu Zadání:
1. Zapojte obvod podle obr. 8.7.1 a pomocí osciloskopu nalezněte jeho rezonanční kmitočet, stanovte hodnotu indukčnosti L a ekvivalentní hodnotu odporníku RL technické cívky. Stanovené hodnoty uvěďte do tabulky. 2. Zapojte obvod podle obr. 8.7.2 a pro kvaziperiodickou odezvu obvodu pomocí osciloskopu změřte periodu valstních kmitů Td, a amplitudy dvou po sobě následujících exponenciálně tlumených sinusoid, ze kterých stanovte vlastní kmitočet obvodu fd, logaritmický dekrement útlumu δ, činitel útlumu α a ekvivalentní odpor obvodu Re. Ze známých parametrů obvodu určete hodnoty vlastního kmitočtu fd a ekvivalentního odporu obvodu Re a srovnejte je s hodnotami stanovenými z naměřených hodnot. Oběma způsoby stanovené hodnoty
uvěďte do tabulky. 3. Zapojte do obvodu na obr. 8.7.2 odporník R, tak jako na obr. 8.7.1, jehož hodnotu nastavte na hodnotu kritického odporu obvodu Rkrit a osciloskopem změřte dobu ustálení 159
aperiodické odezvy a srovnejte ji s dobou ustálení kvaziperiodické odezvy napětí kondenzátoru uD . Oba případy nasimulujte pomocí aplikace 2_3_Prechodny_dej_RLD.xls a zobrazte do jednoho grafu a posuďte. 4. Jako součást domácí přípravy navrhněte tabulky měřených a vypočtených hodnot. 5. Na následující laboratorní cvičení vypracujte prezentaci náplně a výsledků této laboratorní úlohy.
i
uR
Rg
≈
CD = D -1
L
RL
R
uD
uLr
ur =Ur m sin(ωt)
~ u=Um sin(ωt)
Obr. 8.7.1 Měřicí schéma pro nalezení rezonančního kmitočtu obvodu RL
i
CD = D -1
L uLr
Rg
uD
~ u
Obr. 8.7.2 Měřicí schéma pro nalezení vlastního kmitočtu a útlumu obvodu Upozornění:
Osciloskopická měření provádíme s nastavenou DC vazbou! Pracovní postup:
ad 1. Nízkofrekvenční generátor MTX 3240 s vnitřním odporem Rg = 50 Ω nastavte do režimu harmonického napájení obvodu, hodnotu odporu odporníku R zvolte z intervalu hodnot 50 – 100 Ω a hodnotu kapacity kondenzátoru CD volte z intervalu hodnot 300 – 500 nF. Rezonanční kmitočet fo nalezneme tak, že generátorem naladíme takový kmitočet, aby amplituda napětí ur na sériové kombinaci technické cívky a kondenzátoru měřená podle obr. 8.7.1 osciloskopem byla minimální. Napětí ur je při rezonanci rovno úbytku napětí na rezistoru RL, protože při harmonickém napájení je součet napětí na induktoru L a kapacitoru C 160
obvodu v každém časovém okmažiku roven nule. Hledanou indukčnost cívky stanovíme ze U rm 1 vztahu L = a ekvivalentní hodnotu odporu cívky ze vztahu , který R = R L U m − U rm (2π f o )2 C D vznikl ůpravou vztahu pro dělič napětí.
ad 2. Nízkofrekvenční generátor MTX 3240 s vnitřním odporem Rg = 50 Ω nastavte do režimu střídavého obdélníkového napájení obvodu se střídou 1:1, jehož kmitočet nastavte přibližně na hodnotu desetiny rezonančního kmitočtu fo. Na hranách obdélníkových impulsů viz obr. 8.7.3 pozorujeme exponenciálně tlumené vlastní kmity, jejichž periodu Td změřte osciloskopem spolu s amplitudami UDm1(t1) , UDm1(t1+Td). Vlastní kmitočet obvodu je fd =
α=
U D m (t1 ) 1 , pro logaritmický dekrement útlumu platí δ = ln = α Td , činitel útlumu U D m (t1 + Td ) Td
δ
a ekvivalentní odpor obvodu Re = 2 Lα . Hodnoty vlastního kmitočtu fd a ekvivalentního
Td odporu
fd =
obvodu
1 2π
Re
⎛ Rg + RL 1 − ⎜⎜ LC D ⎝ 2 L
ze
známých parametrů
obvodu
stanovíme
ze
vztahů
2
⎞ ⎟ a Re = R g + R L . ⎟ ⎠
L . Za ustálenou hodnotu CD považujte 1 % odchylku ustáleného průběhu odezvy uD od amplitudy obdélníkového impulsu.
ad 3. Kritický odpor obvodu vypočítáme ze vztahu Rkrit = 2
uC (V)
ad 5. Prezentace obsahuje titulní list s názvem laboratorní úlohy a jménem autora, následuje představení autora, třetí snímek zahrnuje osnovu vystoupení, pak následuje 5 – 7 snímků jádra prezentované úlohy (vzorce, schémata, tabulky, grafy a dosažené výstupy), předposlední snímek obsahuje závěrečné shrnutí a poslední snímek poděkování za pozornost.
UDm(t1) UDm(t1+Td)
Td
t (s)
0
Obr. 8.7.3 Stanovení periody vlastního kmitočtu a logaritmického dekrementu útlumu RLC obvodu
161
VIRTUÁLNÍ LABORATOŘ A VIDEO Praktickou realizaci měření vlastních kmitů obvodu ilustruje video 2_1_PrechodneJevy.wmv. K ověření chování obvodu použijte aplikaci virtuální laboratoře 2_3_Prechodny_dej_RLD.xls a 2_8_VlastniKmity_gen1.xls. K přípravě prezentace laboratorní úlohy vám jako inspirace poslouží videa 4_1_PrezentaceMachova.wmv a 4_2_PrezentaceMiculka.wmv
162
