Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia
Výpočet vnitřních sil přímého nosníku •Vnitřní síly přímého vodorovného nosníku • prostý nosník • konzola • nosník s převislým koncem Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Prut - geometrický popis prutu, idealizace Základní pojmy: F1=2F
h, d ≅ 0,1 l
F
F
Rovina souměrnosti prutu
F2
Řídící čára, osa prutu (přímý prut), střednice a
1
2
h
b
Průřez prutu
+y +z
(přímý i zakřivený prut)
+x
Těžiště průřezu
d
l
P1
Prut rovinně nebo prostorově lomený.
P2
a Statické schéma – statický model nosné konstrukce
b 1
Rax Raz
2
l
Rbz 2
Příklady jednoduchých vazeb tuhého prutu v rovině Vnější vazby odebírají objektu stupně volnosti. n–násobná vazba ruší objektu n stupňů volnosti. Název vazby Kyvný prut
Násobnost vazby Označení vazby a reakce 1
Posuvná kloubová podpora
1
Pevný kloubová podpora
2
Posuvné vetknutí
Raz nebo Raz
Raz
2
nebo
Rax Raz
Rax
Raz
Ma Raz
Dokonalé vetknutí
3
Ma Rax
Raz 3
Stupeň statické neurčitosti nosníku v rovině
nv = 3
v = a1 + 2.a2 + 3.a3 v = ve ... počet vnějších vazeb nosníku a1 ... počet jednonásobných vazeb
nv ... počet stupňů volnosti nosníku v rovině
a2 ... počet dvojnásobných vazeb a3 ... počet trojnásobných vazeb nv = v
staticky i kinematicky určitá soustava
nv < v
staticky neurčitá, kinematicky přeurčitá soustava
nv > v
staticky přeurčitá, kinematicky neurčitá soustava
Stupeň statické neurčitosti
s = v - nv 4
Podmínky rovnováhy obecné rovinné soustavy sil Soustava je v rovnováze tehdy, pokud součet všech sil v ose x a z a součet všech momentů k libovolnému momentovému středu s je roven 0. 3 podmínky rovnováhy 1) 2 silové, 1 momentová:
n
1.∑ Pi , x = 0 i =1
n
m
i =1
i =1
2.∑ Pi , z = 0 3.∑ M i , s = 0
2) V praktických aplikacích je často výhodnější sestavit 2 momentové podmínky k momentovým středům a, b: 1.∑ M i ,a = 0 2.∑ M i ,b = 0 Tyto podmínky se doplní třetí podmínkou - silovou: n pokud je v ose x pouze 3 .∑ Pi , x = 0 i =1 jedna neznámá složka reakce n
pokud je v ose z pouze jedna neznámá složka reakce i =1 3) Užívané jsou také 3 momentové podmínky ke třem libovolným momentovým středům, které nesmí ležet v jedné přímce 1.∑ M i , a = 0 2.∑ M i ,b = 0 3.∑ M i ,c = 0 3 .∑ Pi , z = 0
5
Vnitřní síly •
Prut v rovině – 3°volnosti
•
Podepření - 3 vazby, odebrány 3°volnosti, staticky ur čitá úloha
•
Vnější zatížení a reakce – musí být v rovnováze, 3 podmínky rovnováhy, z nich 3 neznámé reakce
•
Vnější zatížení a reakce se nazývají vnější síly
•
Uvnitř nosníku působením vnějších sil vznikají vnitřní síly
•
Obecnou výslednici vnitřních sil rozkládáme na tři složky – • v ose x - normálová síla • v ose z - posouvající síla • ohybový moment
6
Výpočet nosníku v osové úloze Působí-li zatížení pouze v ose nosníku. Jedna vnější vazba v ose x z podmínky rovnováhy:
∑F
i,x
= 0:
− Rax + R = 0 ⇒ Rax − R = 0 ⇒ Rax = R Složka vnitřních sil v ose nosníku – normálová síla N.
(a)
(c)
(b)
(d)
Výpočet reakce a normálové síly v osové úloze Obr. 7.1. / str. 90 7
Normálová síla N Normálová síla N v libovolném průřezu x nosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil působících v ose nosníku zleva nebo zprava od x. Kladná normálová síla vyvozuje v průřezu x tah a působí z průřezu. V opačném případě je normálová síla záporná a vyvozuje tlak.
+
Vnější síly
N
N
N
N
a
b
Rax
F
+ tah N
N
a
Rax
osa nosníku
b
- tlak
F 8
Příklad – N síly Rax=18kN
F1 =12
a
F2 =16
F3 =10 b
F2 =12
F1 =18 a
Zadání: sestrojit průběh normálových sil N
F3 =16 b
Rbx=10kN
Průběh normálových sil po celé délce se znázorňuje graficky formou diagramu (grafu). kladné normálové síly N se vynášejí nahoru, záporné dolů Řešení příkladu 4.2 Obr. 7.3. / str. 91 9
Výpočet nosníku v příčné úloze Zatížení – síly v ose z a momentové zatížení. V příčné úloze dva druhy vnitřních sil: posouvající síla a ohybový moment. M a
Raz
P l/2
Rbx=0 l/2
b
Rbz
10
Posouvající síla V Posouvající síla V v libovolném průřezu x nosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil působících kolmo k ose nosníku zleva nebo zprava od x.
Vnější síly
+
osa nosníku
V
Kladná posouvající síla počítána zleva směřuje nahoru. V opačném případě je záporná. Kladná posouvající síla počítána zprava směřuje dolů. V opačném případě je záporná.
V
F
+ V a
Ra
V
V
V b
Rb 11
Příklad – V síly F1=10kN
F2=40kN
a c
F3=2kN
b
…… s podporami
d 2
e
2
2
2
4
Raz=34
Rbz=18
F1=10kN
F2=40kN b
a c 2
F3=2kN
2
e
d
2 4
Raz=34
…… bez podpor, jen síly
2 Rbz=18
Doplňte hodnoty V sil a znaménka:
24
V
24
+
+
-10
2
2
kladné posouvající síly V se vynášejí nahoru, záporné dolů
-16
-16
12
Ohybový moment M Ohybový moment M v libovolném průřezu x nosníku je roven algebraickému součtu všech statických momentů od všech vnějších sil zleva nebo zprava od x.
+
Kladný ohybový moment počítaný zleva otáčí po směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný. Kladný ohybový moment počítaný zprava otáčí proti směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný. Kladným ohybovým momentem jsou dolní vlákna tažena a horní tlačena (nosník je prohýbán směrem dolů). U záporného ohybového momentu je to naopak.
M
M
osa nosníku
M tlak
a
Ra
M
F
b
+
tah Rb tah b
a
-
tlak Ra M
F
M
Rb 13
Příklad – ohybové momenty M F1=10kN
F2=40kN
a c
F3=2kN
b
…… s podporami
d 2
e
2
2
2
4
Raz=34
Rbz=18
F1=10kN
F2=40kN b
a c 2
F3=2kN
2
e
d
2
2
4
Raz=34
Rbz=18
Doplňte hodnoty M a znaménka:
-20
M 0
1°
-4
+ 28
…… bez podpor, jen síly
-
ohybové momenty M se vynášejí na stranu tažených vláken, u nosníku nahoru 0 záporné, dolů kladné hodnoty 14
Směr působení vnitřních sil V
+
M
Kladné směry vnitřních sil:
M
N
N V
V
-
M
Záporné směry vnitřních sil:
M
N
N V 15
Schwedlerovy vztahy Diferenciální podmínka rovnováhy elementu v osové úloze
n
x2
x1
N
x N+dN
z x
dx
Výslednice všech sil působících na element musí být nulová:
Rx = 0:
→
-N + (N+dN) + n.dx = 0
dN = −n dx 16
Schwedlerovy vztahy – Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v příčné úloze Výslednice všech sil působících na element musí být nulové:
+ dQ = q.dx
Rz = 0:
q
V
-V + (V+dV) + q.dx = 0 →
M
M+dM x2
dV = −q dx
x
x1 m z x
Σ Mi,x2 = 0: V+dV
dx
-M + (M+dM) – V.dx + q.dx.dx/2 + m.dx = 0
→
dM =V −m dx
dM =V pro m=0: dx 17
Závěry ze Schwedlerových vztahů – extrémní hodnoty vnitřních sil
Extrém funkce f(x):
dV = −q dx
Extrém posouvajících sil V je v průřezu, kde q=0
dM =V dx
dV = −q dx
3.
dM =V dx
df ( x ) =0 dx
Závěry:
pro m=0:
2.
→ dV dx
= −q = 0
Extrém ohybových momentů → dM =V = 0 M je v průřezu, kde V=0 dx nebo mění znaménko
Derivačně – integrační schéma
-q V M
derivace
Johann Wilhelm Schwedler (1823-1894) významný německý inženýr
dN 1. = −n dx
integrace
Schwedlerovy vztahy
pro m=0:
18
Shrnutí - určení extrémních hodnot vnitřních sil dM =V = 0 dx
Extrém M může vzniknout: a) v podporových bodech b) v působištích osamělých sil (znaménko V se mění skokem) c) pod spojitým zatížením v místě, kde je V=0
→
Extrém M v průřezu, kde V=0 nebo mění znaménko
n = nebezpečný (kritický) průřez 1º
+ 0º
n
-
V
+
n
+
+
M
1º
2º
Mmax
Mmax 19
dV = −q dx dM =V dx
1. řád funkce V(x) a M(x) → typ čáry v diagramech 2. místa extrému u V(x) a M(x)
-q V M
derivace
Závěry:
integrace
Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil
Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil Obr. 7.23. / str. 103 20
příklad 1 – normálové síly P = 70 kN
Pz = 35 kN
+
+
+ hodnoty kreslit nad osu
60°
Rax= 60,62kN a
b c
Px = 60,62 kN
6
Raz= 23,33kN
Rax
a
Ncb = 0
- 60,62
Rbz = 11,67kN
b
c Px
N
+
Nac = - Rax Ncb = - Rax + Px
4
2
zleva:
zprava:
+
Nbc = 0 Nca = - Px
- 60,62 = Nca 22
příklad 1 – posouvající síly P = 70 kN
Pz = 35 kN
+
+ + hodnoty kreslit nad osu
60°
Rax= 60,62kN a
b c 2
Raz= 23,33kN
Px = 60,62 kN 4
Rbz = 11,67kN
6
zleva:
Vac = Raz Vcb = Raz - Pz
Pz = 35 kN a
c
b
Raz
Rbz
23,33 V
+
23,33 = Vca
- 11,67 = Vcb
+
zprava:
+
Vbc = - Rbz Vca = - Rbz + Pz - 11,67 23
příklad 1 – ohybové momenty Pz = 35 kN
Rax
P = 70 kN 60°
a
b
c
lac = 2
Px = 60,62 kN
lbc = 4
6
Raz
a
- 11,67
c
M
Rbz
23,33
+
V
Raz
oh.momenty vynášet na stranu tažených vláken (dole + znaménko)
b Pz = 35 kN
+
46,67 ( Raz . lac = Rbz . lbc )
Rbz
zleva: + Ma = 0 Mx = Raz . x Mc = Raz . lac Mx = Raz . x - Pz . (x - lac) Mb = Raz . l - Pz . lcb = 0 zprava: Mb = 0 Mx = Rbz . x Mc = Rbz . lbc Mx = Rbz . x - Pz . (x - lbc) Ma = Rbz . l - Pz . lac= 0 24
příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě d Pz = 35 kN
Rax
P = 70 kN
a
b c
d
Px = 60,6 kN
1
5 6
Raz
Md Rax
Pz
Rbz
N dL = − Rax = −60,6kN (→ )
+
VdL = Raz = 23,33kN (↑)
Nd Px
Raz
Pz
Md Rax
Rbz
Vd
Raz
Vd
)
N dP = − Px = −60,6kN (→)
Nd Px
M dL = Raz ⋅1 = 23,33kNm(
Rbz
VdP = − Rbz + Pz = 23,33kN (↓)
M dL = Rbz ⋅ 5 − Pz ⋅1 = 23,33kNm25(
)
příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vlevo od síly – výpočet zleva Pz = 35 kN
Rax
P = 70 kN
a
+
b c
lac = 2
Px = 60,6 kN
lbc = 4
6
Raz
Rbz
23,33 = Vca
V
N caL = − Rax = −60,6kN (→ )
+ Vcb - 11,67
Mc Rax
Pz
Nca Px
Raz
Vca
VcaL = Raz = 23,33kN (↑ )
M cL = Raz ⋅ 2 = 46,67 kNm( Rbz
V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M), proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy. 26
)
příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vlevo od síly – výpočet zprava Pz = 35 kN
Rax
P = 70 kN
a
b c
lac = 2
Px = 60,6 kN
lbc = 4
6
Raz
Rbz
23,33 = Vca
V
+
N caP = − Px = −60,6kN (← )
Vcb - 11,67
Rax
Mc
Pz
M cL = Rbz ⋅ 4 = 46,67 kNm(
Nca Px
Raz
Vca
VcaP = − Rbz + Pz = 23,33kN (↓ )
Rbz
V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M), proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy. 27
)
příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vpravo od síly – výpočet zleva Pz = 35 kN
Rax
P = 70 kN
a
b c
lac = 2
Px = 60,6 kN
V
N cbL = − Rax + Px = 0
+
- 11,67
Pz
Ncb
Mc
Px
Raz
Rbz
Vca
Vcb=-11,67
Rax
lbc = 4
6
Raz
+
Vcb
VcbL = Raz − Pz = −11,67 kN (↓ ) M cL = Raz ⋅ 2 = 46,67 kNm(
)
Rbz
V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M), proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy. 28
příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vpravo od síly – výpočet zprava Pz = 35 kN
Rax
P = 70 kN
a
b c
lac = 2
Px = 60,6 kN
lbc = 4
6
Raz
Rbz
N cbP = 0
Vca
V
+
VcbP = − Rbz = −11,67 kN (↑ )
Vcb=-11,67 Pz
Rax
- 11,67
Mc Ncb
M cP = Rbz ⋅ 4 = 46,67 kNm(
Px
Raz
Vcb
Rbz
V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M), proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy. 29
)
příklad 2 xL
zadání Ma = 31,82kNm
x Ma=31,82kNm
Rax= 6,36kN
45°
45°
a
Px=6,36
5
5
Raz=6,36kN
b
Raz = 6,36kN
b
P = 9kN
Pz=6,36
Rax = 6,36kN
P = 9kN a
řešení
xP
N -6,36 6,36 V
M(x)P = - Pz . xL M(x)L = Raz . xP - Ma
-31,82 M 30
příklad 3 zleva: - úsek ac Ma = 0 Mx = - Raz . x Mca = - Raz . 6 Mcb = - Raz . 6 + M - úsek cb Mx = - Raz . x + M Mb = - Raz . l + M = 0 zprava: - úsek cb Mb = 0 Mx = Rbz . x Mcb = Rbz . 3 Mca = Rbz . 3 – M - úsek ca Mx = Rbz . x - M Mb = Rbz . l - M = 0
xL (zleva)
M = 3kNm
a
Raz = 0,333kN
6
xP (zprava) c
b
3
Rbz=0,333kN
9
=0
N
V
-0,333 Mca =-2
M
(- Raz . x)
Mcb =1 v bodě c počítat hodnotu momentu 2krát!!! – momentový skok31
příklad 3 – schéma vnitřních sil v bodě c – výpočet zleva M = 3kNm a
Raz
6
c
1°
b
3
Rbz
Mca =-2
M 1°
Mcb =1
Mca
M
N cL = 0
Nc=0
+
Vc
Raz M Nc=0
+ Raz
Rbz
M caL = − Raz ⋅ 6 = −2kNm(
)
N cL = 0
Mcb
Vc
VcL = − Raz = −3,33kN (↓)
Rbz
VcL = − Raz = −3,33kN (↓)
M cbL = − Raz ⋅ 6 + M = 1kNm(
)
V bodě c není osamělé silové zatížení (není zde skoková změna v průběhu V ani N), proto vnitřní síly Vc i Nc v bodě c nemusí mít značeni dvěma indexy. U momentu nutno počítat 2 hodnoty. 32
příklad 3 – schéma vnitřních sil v bodě c – výpočet zprava M = 3kNm a
Raz
6
c
3
Rbz
Mca =-2
1°
b
M Mcb =1
Mca
M
N cP = 0
Nc=0
Raz
VcP = − Rbz = −3,33kN (↑ )
Rbz
Vc Mcb M
Nc=0
Vc
M caP = Rbz ⋅ 3 − M = −2kNm(
)
N cP = 0
VcP = − Rbz = −3,33kN (↑ )
Rbz Raz
1°
M cbP = Rbz ⋅ 3 = 1kNm(
)
V bodě c není osamělé silové zatížení (není zde skoková změna v průběhu V ani N), proto vnitřní síly Vc i Nc v bodě c nemusí mít značeni dvěma indexy. U momentu nutno počítat 2 hodnoty. 33
Příklad 4 – odhadněte reakce a vykreslete průběh N,V,M Pz = 9 kN Px = 10 kN
a
+
b
c 4
2 6
V
+
M
M
N
N V
34
Příklad 4 – řešení Pz = 9 kN Px = 10 kN
a
b
+
Rbx
c Raz
4
2
Rbz
6
V
N
+
M V
M
N
N V
M 35
Příklad 5 – vypočtěte reakce a vykreslete průběh N,V,M P = 10 kN 30° a
+
b c 4
2 6
V
+
M
M
N
N V
36
Příklad 5 – řešení P = 10 kN 30° a
+
b c Raz=4,33
Rbz=12,99 2
4 6
-5,00
V
N
+
M
8,66
M
N
V
N
4,33 -17,32
V
M 37
Okruhy problémů k ústní části zkoušky •
Výpočet vnitřních sil přímého vodorovného nosníku
•
Diferenciální podmínky rovnováhy elementu přímého nosníku, Schwedlerovy vztahy, využití
•
Určení extrémních hodnot vnitřních sil
41
