Výjezdní soustředění matematických talentů Karlov pod Pradědem

Projekt OPVK - CZ.1.07/2.3.00/09.0017 „MATES - Podpora systematické práce s žáky SŠ v oblasti rozvoje matematiky“

Výjezdní soustředění matematických talentů Karlov pod Pradědem – 5. – 8. 5. 2012 ŘEŠITELNOST GEOMETRICKÝCH ÚLOH DANÝMI PROSTŘEDKY Josef Molnár Katedra algebry a geometrie, Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého, 17. listopadu 12, Olomouc, Česká republika. E-mail: [email protected] Abstrakt Článek demonstruje závislost řešitelnosti geometrických konstrukčních úloh na volbě konstrukčních prostředků. Kromě tradičních euklidovských konstrukčních prostředků (pravítko a kružítko) se zde objevují konstrukce omezenými, stejně silnými i silnějšími prostředky než jsou pravítko a kružítko. Je zde uvedena zmínka o antických neřešitelných úlohách (trisekce úhlu, rektifikace kružnice aj.), o teoretickém základu důkazů řešitelnosti či neřešitelnosti konstrukčních úloh euklidovsky a o přibližných metodách řešení konstrukčních úloh. ABERO (ábéró) – pozdrav matematiků. Vychází z úlohy “Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dána strana a, strana b a poloměr ρ kružnice trojúhelníku ABC vepsané.“, která je euklidovsky (tj. pravítkem a kružítkem) neřešitelná.

1. Úvod Některé situace nás nutí používat k řešení problémů různé postupy, metody a pomůcky, volit jejich optimální kombinaci. Náročnost postupu řešení mnohdy odpovídá zvoleným

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

prostředkům použitým k jejich řešení. Nejinak je tomu i v případě řešení planimetrických konstrukčních úloh (PKÚ). Známá je například zahradnická konstrukce elipsy či sestrojování pravých úhlů ve Starém Egyptě tzv. „napínači provazů“. V dnešní době řešíme konstrukční úlohy obvykle euklidovsky, v antice se však používaly i jiné postupy a pomůcky. Obr. 1 Napínači provazů.

2. Euklidovské konstrukce Co vlastně pomocí pravítka a kružítka můžeme sestrojit? Jsou to tzv. elementární konstrukce: a) narýsovat přímku (spojnice dvou bodů), b) sestrojit kružnici, je-li dán její střed a jeden její bod, c) nalézt průsečíky přímek a kružnic. Můžeme při řešení PKÚ sestrojovat např. rovnoběžky pomocí dvou trojúhelníkových pravítek a kolmice pomocí „rysky“? Odpovězte si sami vyřešením následující úlohy. Ú 1. Pomocí pravítka a kružítka sestrojte k dané přímce daným bodem a) rovnoběžku, b) kolmici. 3. Konstrukce omezenými prostředky a) Lineární konstrukce (LK) se provádějí pouze pomocí pravítka s jednou přímou hranou („euklidovské“). Obr. 2 Euklidovské pravítko.

Ú 2. Pomocí LK sestrojte rovnoběžku daným bodem C s danou přímkou AB s vyznačeným středem S úsečky AB. Řešení: Pokud by na obrázku byl trojúhelník ABD rovnoramenný, plyne důkaz konstrukce přímo z jeho osové souměrnosti. Zobrazíme-li jej však v osové afinitě s osou AB, zobrazí se přímka CE na přímku s ní rovnoběžnou, a tedy rovnoběžnou s přímkou AB. Postup


konstrukce bude tedy následující: sestrojíme přímky AC a BC, dále přímku procházející bodem S tak, aby protínala obě doposud sestrojené přímky, čímž v průsečíku s přímkou AC dostáváme vrchol D trojúhelníku ABD, a úlohu můžeme snadno dokončit. Obr. 3 Rovnoběžka.

b) Konstrukce pravítkem a odpichovátkem. Odpichovátko je nástroj, s jehož pomocí můžeme nanášet na danou polopřímku úsečku dané délky d, přičemž tuto délku d nelze změnit. Ú 3. Pomocí pravítka a odpichovátka sestrojte kolmici k dané přímce. Řešení. K řešení této úlohy jsou potřebné znalosti učiva matematiky základní školy, konkrétně vlastnosti výšek trojúhelníku a Thaletova věta (viz obr. 4). Obr. 4 Kolmice.


4. Konstrukce stejně silné jako euklidovské Všechny PKÚ, které lze řešit euklidovsky, lze řešit též těmito konstrukčními prostředky: -

pravítkem se dvěma rovnoběžnými hranami, úhlovým pravítkem, pravítkem a skleničkou (mincí), kružítkem, Steinerovými konstrukcemi (LK + jedna narýsovaná kružnice s vyznačeným středem).

Je zřejmé, že např. pomocí pravítka se dvěma rovnoběžnými hranami nelze rýsovat kružnice a naopak pomocí kružítka nesestrojíme přímku. Zavádíme proto úmluvy o sestrojenosti útvarů: 1. Přímka je sestrojená, známe-li dva její různé body. 2. Kružnice je sestrojená, známe-li její střed a jeden její bod. 3. Bod je sestrojen, a) je-li dán, b) je-li libovolným bodem daného útvaru, c) je-li průsečíkem dvou přímek, přímky a kružnice nebo dvou kružnic. Ú 4. (Steinerovy konstrukce) Je dána kružnice k0(S0, r0). Sestrojte průsečíky dané (narýsované) přímky s danou (nenarýsovanou) kružnicí, smíte-li použít jen pravítko. (Předpokládá se, že umíme sestrojit rovnoběžku s danou přímkou daným bodem.) Řešení. Úloha je pěkným cvičením na užití stejnolehlosti určené dvěma kružnicemi (viz obr. 5). Obr.5 Steinerovy konstrukce.


5. Úlohy euklidovsky neřešitelné Již ve starém Římě matematici předpokládali, že některé úlohy nejsou euklidovsky řešitelné. Jejich domněnky se potvrdily až o dva tisíce let později převedením problému řešitelnosti PKÚ do algebry. Podrobně je problematika rozvedena v publikacích uvedených v seznamu literatury. Mezi slavné euklidovsky neřešitelné úlohy patří zejména - trisekce úhlu, - duplikace krychle, - rektifikace kružnice, - kvadratura kruhu.

6. Prostředky silnější než euklidovské K řešení euklidovsky neřešitelných PKÚ se obvykle používají prostředky silnější než euklidovské. Následující konstrukce nese (aspoň podle názvu) jméno svého objevitele: Archimédova konstrukce trisekce úhlu. Obr. 6. Trisekce úhlu.

Ú 5 Pomocí vlastností vnějšího úhlu rovnoramenného trojúhelníku dokažte, že β = α/3 (viz obr. 6). (Čím je Archimédova konstrukce trisekce úhlu silnější než euklidovská?) Ú 6 (DÚ) Proveďte trisekci úhlu pomocí konstrukce grafu funkce sin x. 7. Přibližné konstrukce Další možností řešení pravítkem a kružítkem neřešitelných PKÚ jsou přibližné konstrukce. Jak již jejich název napovídá, s jejich pomocí nalezneme řešení, které není teoreticky přesné, nicméně pro praktické potřeby zcela dostačující. Teoretická chyba je mnohdy


zanedbatelná proti obvyklým nepřesnostem rýsování. Známým příkladem přibližné konstrukce je Kochaňského konstrukce rektifikace kružnice (viz obr. 7). Obr. 7 Rektifikace kružnice.

8. Literatura KOŘÍNEK, V.: Základy algebry. Praha: ČSAV, 1953. MOLNÁR, J. a kol.: Matematika 8. Olomouc: Prodos, 2000. ODVÁRKO, O. a kol.: Metody řešení matematických úloh. Praha: UK, 1977. ŠVRČEK, J., VANČURA, J.: Geometrie trojúhelníka. Praha: SNTL, 1988.


Výjezdní soustředění matematických talentů Karlov pod Pradědem

Recommend Documents