VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 9

UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY

VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 9 Nestacionární vedení tepla v rovinné stěně

Hana Charvátová, Dagmar Janáčová Zlín 2013

Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/2.2.00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH

MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

2 Nestacionární vedení tepla v rovinné desce

Obsah Nestacionární vedení tepla v rovinné desce ............................................................................... 3 Řešené příklady ...................................................................................................................... 3 Příklady k procvičení ............................................................................................................. 8 Použitá literatura .................................................................................................................. 11 Seznam symbolů .................................................................................................................. 12

MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,


Nestacionární vedení tepla v rovinné desce

STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Výpočet teplotních polí při nestacionárním vedení tepla v rovinné desce.

MOTIVACE: Ohřev a chlazení je součástí mnoha technologických operací zpracování materiálů. Průběh těchto dějů významně ovlivňuje kvalitu výsledného produktu. Úkolem inženýra je umět navrhnout optimální postup těchto operací, což je v mnoha případech obtížné a proto je potřeba provést příslušné výpočty s využitím matematických modelů, popisujících daný děj. V tomto cvičení se zaměříme na popis nestacionárního vedení tepla v materiálech tvaru rovinné desky.

Cíl: Uplatnění teoretických poznatků při řešení vybraných úloh nestacionárního vedení tepla zaměřených na výpočet teplotních polí v rovinné desce.

Řešené příklady Příklad 1 Deska vyrobena z polypropylenu o šířce 20 cm, tloušťce 8 mm a výšce 35 cm a počáteční teplotě 98 °C se ochlazuje v prostředí o teplotě vzduchu 22 °C. Deska je umístěna ve svislé poloze. a) Vypočítejte, jaká bude teplota desky v místě 1,5 mm pod povrchem po 30 minutách chlazení. b) Určete průběhy teplotních polí pro doby chlazení 3 minuty, 10 minut. 30 minut, 50 minut, 3 hodiny. Uvažujte volnou konvekci okolního vzduchu. Řešení: Výpočet teplotních polí provedeme na základě analytického řešení (1)modelu ohřevu (chlazení) rovinné desky : MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD CZ.1.07/2.2.00/15.0463,

4 Nestacionární vedení tepla v rovinné desce  t  to sin qn  cos(qn  X )e qn Fo t ( X , Fo)   2 t p  to qn  sin qn  cos qn n 1 2

*

(1)

kde q jsou kořeny transcendentní rovnice q  cot q Bi

(2)

Ze zadání příkladu a z tabulek určíme potřebné vlastnosti polypropylenu: Hustota  PP  904 ; součinitel tepelné vodivosti  PP  0 , 2 ; měrná tepelná kapacita c p PP  2 ; počáteční teplota t p  98  Určíme potřebné vlastnosti okolního prostředí (vzduchu) při střední teplotě tstr  0,5 (t p  to )

(3)

t str  0 , 5 ( 22  98 )  60 

(4)

Prandtlovo kritérium Pr  0,73 ; součinitel tepelné vodivosti  prost  2 , 8  10 2 kinematická viskozita  prost  1, 96  10

5

; ;

teplota prostředí t o  22  Výpočet součinitele přestupu tepla provedeme pro případ volné konvekce: Charakteristický rozměr pro svislou desku bude její výška d  0 , 35 Teplotní objemová roztažnost: 

1 Tstr

(5)



1  0,00319 K 1 313,15

(6)

Grashofovo kritérium: Gr 

g  d 3  (t p  to )  

2

(7)

prost

Gr 

9,81  0,353  (98  22)  2,497668361.108 (1,96 105 )2 (273,15  60)

(8)



Součin Grashofova a Prandtlova kritéria: Gr  Pr  2,497668361.108  0,73  1,8232979 108

(9)

Nusseltovo kritérium: Nu  C (Gr  Pr )n

(10)

Pro součin 2  10 7  Gr  Pr  1  1013 odečteme konstanty C a n Nusseltova kritéria: C  0,135 , n  1 / 3

Nu  0 ,135  (1, 8232979  10 8 ) 1 / 3  76 , 55

(11)

Součinitel přestupu tepla:    

Nu   prost

(12)

d 76,55  0,028  6,124 W.m2 .K -1 0,35

(13)

Biotovo kritérium: Bi 

 b PP

(14)

Bi 

6,124  0,004  0,122 0, 2

(15)

Teplotní vodivosti polypropylenu: aPP 

PP c p PP   PP

(16)

aPP 

0,2  1,106  107 m2 .s-1 2000  904

(17)


6 Nestacionární vedení tepla v rovinné desce Určení kořenů q transcendentní rovnice (2) lze provést numericky pomocí vhodného matematického softwaru (Matlab, Maple, Mathematica, Microsoft Excel, apod.), případně lze kořeny určit méně přesnější grafickou metodu. Numericky nalezené kořeny:

Obr. 1 Numericky vypočítané kořeny transcendentní rovnice (2)

Vypočet teploty desky v místě 1,5 mm pod povrchem po 30 minutách chlazení

a)

Fourierovo kritérium (bezrozměrný čas) pro dobu 30 minut: Fo 

a  b2

(18)

Fo 

1,106 107 1800  12, 45 0,0042

(19)

Bezrozměrná vzdálenost odpovídající místu 1,5 mm pod povrchem: X

x b

(20)

X

0,0025  0,625 0,004

(21)


7 Nestacionární vedení tepla v rovinné desce Dosazením vypočtených hodnot do rovnice (1) vypočítáme bezrozměrnou teplotu v místě 1,5 mm pod povrchem po 30 minutách chlazení:  0,0025  0,34302 12,45   sin(0,3430)  cos  0,3430  e 0,004   t   2    0,3430  sin(0,3430)  cos(0,3430)    0,0025  3,18012 12,45  sin(3,1801)  cos  3,1801  e   0,004       0,230395  3,1801  sin(3,1801)  cos(3,1801)  

(22)

Převedením vypočtené bezrozměrné teploty na reálnou hodnotu určíme hledanou teplotu v místě 1,5 mm pod povrchem po 30 minutách chlazení: t* 

t  to t p  to

(23)

Pak:

b)

t  t *  t p  to   t o

(24)

t  0,230395  98  22   22  39,5 °C

(25)

Výpočet průběhů teplotních polí pro doby chlazení 3 minuty, 10 minut. 30 minut, 50 minut, 3 hodiny. Pro výpočet teplotních polí využijeme matematický software (Matlab, Mathematica, Maple, Microsoft Excel, apod.). Pro vykreslení grafických závislostí naprogramuje rovnici Chyba! Nenalezen zdroj odkazů. s požadovanými parametry. Při provádění výpočtu v programu Microsoft Excel provedeme výpočet teploty ve zvolených vzdálenostech materiálu a poté sestrojíme závislost teploty na vzdálenosti v materiálu.



Vypočtené grafické průběhy teplotních polí:

Obr. 1 Vypočítané průběhy teplotních polí

Příklady k procvičení Příklad 2 Polotovar z polyamidu 6 o tloušťce 1,5 cm, délce 1,6 m a šířce 0,2 m, o počáteční teplotě 20°C je ohříván v ustalovací komoře o teplotě vzduchu 70°C. Polotovar je v komoře umístěn ve vodorovné poloze. Určete průběhy teplotních polí pro různé doby chladnutí (5 min., 10 min., 30 min., 1 hod., 4 hod.). Pro uvedené doby vypočtěte teplotu uprostřed vzorku.



Řešení úlohy je uvedeno v následujících obr.3 aţ obr.9.

Obr. 3 Výpočet součinitele přestupu tepla a Biotova kritéria

Obr. 4 Kořeny transcendentní rovnice



Obr. 5 Teplotní pole po 5 minutách ohřevu





Obr. 8 Teplotní pole po 1hodině ohřevu

Obr. 9 Teplotní pole po 4hodinách ohřevu

Úlohy se vztahují k této otázce: Způsoby řešení úloh nestacionárního sdílení tepla vedením v tuhých látkách.

Použitá literatura [1] [2] [3]

Kolomazník, K. Modelování zpracovatelských procesů, VUT Brno, FT Zlín, 1990 Kolomazník, K. Analýza dynamických systémů, VUT Brno, FT Zlín, 1988 Janáčová, D. a kol. Procesní inženýrství. Fyzikální, transportní a termodynamická data, UTB AC, Zlín, 2011, ISBN 978-80-7318-997-6



Seznam symbolů a b Bi C cp

d Fo g Gr n Nu Pr t t* to tp

tstr

x X      

- teplotní vodivost, - poloviční tloušťka, - Biotovo kritérium - konstanta Nusseltova kritéria, - měrná tepelná kapacita, - charakteristický rozměr, - Fourierovo kritérium (bezrozměrný čas) - gravitační zrychlení, - Grashofovo kritérium, - konstanta Nusseltova kritéria, - Nusseltovo kritérum, - Prandtlovo kritérium, - teplota, - bezrozměrná teplota, - teplota okolí, -počáteční teplota materiálu,

[m2.s-1]

- střední teplota, - směrová souřadnice, - bezrozměrná směrová souřadnice, - součinitel přestupu tepla, - dynamická viskozita, - součinitel tepelné vodivosti, - hustota, - kinematická viskozita, - čas,

[°C] [m] [1] [W.m-2.K-1] [Pa.s] [W.m-1.K-1] [kg.m-3] [m2.s-1] [s]

[m] [1] [1] [kJ.kg-1.K-1] [m] [1] [m.s-2]

[1] [1] [1] [1] [°C] [1] [°C] [°C]

Seznam indexů: - polypropylen, PP prost. - okolní prostředí.


VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 9

Recommend Documents