Vybrané partie z obrácených úloh
obrácených úloh
(MG452P73)
Obsah přednášky Klasifikace obrácených úloh a základní pojmy Lineární inverzní problém, prostor parametrů a dat Gaussovy transformace, normální rovnice, metoda nejmenších čtverců, zobecněná inverze Lineární inverzní problém a SVD Regularizace lineárních inverzních úloh Linearizace slabě nelineárních úloh Newton-Raphsonova metoda Metoda proměnné metriky Simplexová metoda Inverze versus optimalizace, normy shody Lx, silně nelineární obrácené úlohy Genetický a Evoluční algoritmus, Particle-swarm optimization Statistické aspekty obrácených úloh Deterministické a statistické veličiny, statistická rozdělení Operace s náhodnými veličinami (proměnné, vektory) Zákon přenášení chyb Kovarianční matice, matice rozlišení, projekční matice Frekventistický versus Bayesovský přístup k řešení obrácených úloh Transformace kovariančních matic Praktické aspekty řešení inverzních problémů Chi2 rozdělení, pdf versus likelihood, stupně volnosti Identifikace lineárních systémů Robustní estimátory chyb (Jackknife,bootstrap) AIC-BIC model selection Geofyzikální aplikace: lokalizace hypocentra, seismická tomografie
Vymezení pojmu obrácená úloha m d F G
předmět zájmu dostupná veličina m→d d→m
G(m) = d (i). přímá úloha (forward modelling) F(d) = m, F = G-1 (ii). obrácená úloha (inverse problem) G = d\m (iii).analýza fyziky jevu (system identification)
(i). Newton: f = d(mv)/dt, d ≈ f, m ≈ (mv), G ≈ d/dt (ii). Gauss: predikce planetky Ceres (iii).Galilei: volný pád - s ≈ t2
Přímá úloha (příklad)
Druhý Newtonův zákon - zákon síly, (Isaak Newton, 1642-1727). Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundam lineam rectam qua vis illa imprimitur. Jestliže na těleso působí síla, pak se těleso pohybuje se zrychlením, které je přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa.
d (mv) F= dt
Obrácená úloha (příklad)
t1
t2
t3 tn
ε tx
ε=ε(t ) t x : ε(t x )=ε x
Identifikace systému – formulace fyzikálního zákonu
Galileo Galilei (1564-1642), zákon volného pádu
http://mypages.iit.edu/~smart/martcar/lesson2/lesson2.htm
Identifikace systému – predikce zemětřesení
{x,y,z,T,M} = “f”(f1,f2,f3,...)
Klasifikace inverzních úloh (i). “klasický přístup” (frequentist approach) m = F(d, ∆d) ∆m = dF(d,∆d) přímý výpočet, iterace
pravděpodobnostní přístup (Bayesian approach) L(m|d) = F(d, ∆d) L všude, charakteristiky L
(ii). m, d spojité G = integrální transformace ∫g(s,x)m(x)dx = d(s) ∫f(s,x)d(s)ds = m(x) (iii). G|F nelineární
m, d diskrétní veličiny ... vektory G,F = vektorová funkce vektorové proměnné G(m) = d F(d) = m G|F lineární princip superpozice princip škálování maticová algebra
Jaký je zájem jednotlivých oborů o inverzní problémy? (WOS, říjen 2013)
GEOCHEMISTRY GEOPHYSICS GEOSCIENCES MULTIDISCIPLINARY GEOLOGY
1026 584 59 1669
Jak se vyvíjí zájem geovědních oborů o inverzní problémy v čase?
Statistika publikací v databázi WOS v 5-letých intervalech a) počet titulů dle oborů: “Geochemistry and Geophysics” “Geosciences multidisciplinary” “Astronomy and Astrophysics”
b) počet titulů dle oborů && 'inverse problem': “Geochemistry and Geophysics” “Geosciences multidisciplinary” “Astronomy and Astrophysics” c) = b/a relativní počet publikací && 'inverse problem'
Number of selected publications reported by WOS 80
70
60
50
Joint Inversion Joint Inversion AND Geo* Inversion AND geophysics
40
30
20
10
0 1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
12
13
Specifika geofyzikálních inverzních úloh
●
Nestabilita řešení
●
Nejednoznačnost (multimodalita)
●
Nelinearita přímé úlohy
●
Velká dimenze (dim(d) ≈ 104, dim(m) ≈ 103
●
Náročný výpočet přímé úlohy (přibližný, iterativní)
Pilíře obrácených úloh ●
Lineární algebra (matice, determinant, inverzní matice, vlastní čísla, ...)
●
Statistika (pravděpodobnost, náhodné a deterministické veličiny, interpolace, predikce, ...)
●
Numerická matematika a výpočty velkého rozsahu
●
Přírodní analogie (genetika, evoluce, umělá inteligence, ...)
Galerie Carl Friedrich Gauss Artur Cayley a James Joseph Sylvester Gabriel Cramer Eugenio Beltrami a Camille Jordan Gene Howard Golub a William Kahan Albert Tarantola
Carl Friedrich Gauss 1777 - 1855 Metoda nejmenších čtverců Normální rozdělení
Maticová algebra Arthur Cayley 1821 - 1895
James Joseph Sylvester 1814 - 1897
Gabriel Cramer 1704 - 1752 Determinant
Eugenio Beltrami 1835 - 1899 Camille Jordan 1838 -1922
Faktorizace matic vlastní čísla vlastní vektory
Gene Howard Golub 1932 – 2007 William Kahan 1933
SVD = Singular Value Decomposition A = U*S*VT
Albert Tarantola 1949 – 2009
Bayesovský přístup k řešení obrácených úloh
http://www.ipgp.fr/~tarantola/Files/Professional/Books/
