Vtéto stati se nijak nesnažím

DISKUSE O KONSTRUKTIVISMU VE VYUČOVÁNÍ MATEMATIKY Miroslav Rendl Anotace: Práce autorů hlásících se ke konstruktivismu často vyostřují kritiku dosavadní výuky a hlásají nutnost její reformy v konstruktivistickém duchu. Článek prozkoumává způsoby argumentace, o něž se tvrzení didaktického konstruktivismu opírají. Referuje o kritice na adresu konstruktivismu ze strany některých kognitivních psychologů, která dokazuje, že konstruktivismus nezachází se zjištěními kognitivní psychologie korektně. Vlastní analýza autora vede také ke zpochybnění toho, jak autoři jedné ze zakladatelských prací amerického didaktického konstruktivismu zacházejí s empirickými údaji a s jejich interpretací. Klíčová slova: didaktický konstruktivismus, vyučování matematiky, kognitivní psychologie, postupy dětí při řešení úloh, interpretace dat.

V

této stati se nijak nesnažím podat přehled konstruktivistických názorů a koncepcí. K tomu odkazuji na stať Kaščáka (2002). Kromě ní jsem pro získání širšího pohledu na fenomén konstruktivismu vycházel zejména ze stati Pupaly a Osuské (2000). Z ní také přebírám členění konstruktivismu na personální a sociální a dále von Glasersfeldovo shrnutí dvou základních principů konstruktivismu: „Prvním principem je, že poznání není získáváno pasivně, ale je vytvářeno poznávajícím subjektem (subjekt elaboruje významy zkušenosti, slov). Druhý princip mluví o tom, že funkce kognice je adaptivní, umožňuje vytvářet životaschopná vysvětlení na základě zkušenosti, praxe a cílů subjektu. Zatímco první princip je dnes obecně akceptován pedagogickou komunitou, druhý princip je kontroverznější (kritika se týká problému nemožnosti poznávat samu ontologickou realitu), avšak právě druhý princip charakterizuje důslednou konstruktivistickou pozici.“ (Pupala; Osuská 2000, s. 110) Podle Pupaly a Osuské se někdy bere jako konstruktivistická i pozice, která akceptuje jen první z uvedených principů, a označuje se jako naivní či triviální konstruktivismus. PEDAGOGIKA roč. LVIII, 2008

Konstruktivismus stavící na obou principech je pak označován jako radikální (viz tamtéž). Epistemologické principy konstruktivismu jsou pro mě v této stati důležité jen ve vztahu k tomu, jaká didaktická opatření, jaké změny oproti klasické podobě výuky jsou z nich vyvozovány. Jaké didaktické nároky by mohl konstruktivismus na základě svých principů klást? Pokud jde o radikální varianty konstruktivismu, stojí personální konstruktivismus – chce-li doporučovat nějaká didaktická opatření – před neřešitelným problémem: dospívá-li každý jedinec ke svým vlastním konstrukcím způsobem pro druhé nezbadatelným a nesdělitelným, jak je vůbec možno vyvozovat nějaké závěry pro školu a vyučování? Jak to, že personální konstruktivismus neprohlásí existenci školy za nesmyslnou? Dodržíme-li jeho principy, pak přinejmenším nelze empiricky dokázat, že chození do školy má vůbec nějaký efekt. Možné to je pouze za podmínky jakési „konstruktivní schizofrenie“: důsledky konstruktivistických předpokladů se nevztahují na konstruktivistického teoretika a už vůbec

167

ne na konstruktivistického reformátora školy. Sociální konstruktivismus se do takového rozporu nedostává. Školní předměty jsou pro něj různé oblasti diskursu, ve kterých se děti učí pohybovat. Mají se naučit různé způsoby, jak o věcech mluvit. Je to na první pohled jen reinterpretace toho, co se ve škole děje, snad filozofická, snad rétorická, z pragmatického hlediska málo významná. Jenže nasnadě jsou dva důsledky: a) Co je v učivu podstatné, co jsou podstatné souvislosti, které má žák pochopit, by bylo poměřováno jen adaptací na diskurs, na sdílené představy, nikoli tím, jak se věci skutečně mají. Budou-li učitelé tvrdit, že podstatné je právě to, co se děti u nich naučí, a reprezentanti přírodních věd budou tvrdit opak, jde pak přece pouze o dva rozdílné diskursy. Proč by měl být diskurs vědců lepší? Protože žák, jsa na vědecký diskurs neadaptován, později neuspěje v diskursu vědecké komunity? Většině žáků je to úplně jedno – najdou si jiné oblasti profesních diskursů. b) Druhý problém s prvním souvisí. Pokud bychom rezignovali na vztah poznání k objektivní realitě, pak jakýkoli diskurs je dobrý (adaptivní), najde-li se dostatečné množství lidí, kteří ho budou sdílet. Žádný diskurs nemůže nárokovat správnost a závaznost – ledaže by byl prosazen mocensky. Odmítají-li žáci při vyučování sdílet diskurs s učitelem, protože jim postačuje jejich vlastní, každá argumentace, že je to nesprávné, se jeví z teoretických pozic konstruktivismu jako neoprávněná. Není však závaznost některých diskursů prostředkem proti rozpadu společnosti do skupinových diskursů, z nichž každý sám

1

Viz např. Málková 2007.

168

si postačuje k sebeafirmaci, sebereprodukci a v tomto smyslu je dostatečně adaptivní? Pokud ano a pokud by tuto závaznost nebylo možno stanovit jinak než mocensky, stála by celá struktura společnosti a její kultura na struktuře moci. Přitom tato moc nevyplývá z poznání, ze shody s objektivní realitou, nýbrž ze síly a možností kontrolovat a utvářet virtuální realitu (tedy z možností manipulace „sdílené reality“). Má snad i tento závěr být poselstvím konstruktivismu o kultuře, kterou máme sdílet a explicitně či implicitně předávat dětem ve škole spolu se závěry o arbitrárnosti reality a pravdy? Didaktický konstruktivismus (či konstruktivismus v didaktice) ovšem epistemologii radikálního konstruktivismu nesdílí, přinejmenším nikoli explicitně. Radikalizuje se především prostřednictvím zdůrazňování principu aktivity. Samotný důraz didaktického konstruktivismu na aktivitu a různé její formy je přínosný. Zachází-li však do extrémních podob, mohou být škodlivé dva momenty: a) absolutizace vnějších projevů aktivity – jen ten, kdo se projevuje viditelně pro pozorovatele-konstruktivistu, je aktivní; b) absolutizace učitelem nezprostředkované, neřízené aktivity (Feuersteinova „modalita přímého vystavení“ dítěte problémové situaci, učivu bez mediace dospělým1) jako jediného možného pozitivního, produktivního momentu učení: cokoli řekne učitel, je zbytečné (protože neúčinné) nebo dokonce škodlivé, protože to ve svých důsledcích vede ke zhoubné nemoci formalismu. Radikalismus se tu projevuje v absolutním zpochybnění účinnosti výkladu na jedné

straně a v adoraci vlastního individuálního objevování (konstruování) žákem na straně druhé. Obraty jako „konstrukce na základě výkladu“, „konstrukce řízená učitelem či pod vedením učitele“ znějí pak v diskursu radikálního didaktického konstruktivismu jako něco nesmyslného. Domnívám se, že v tomto radikálním odmítnutí výkladu (a v absolutizaci individuální konstrukce) přece jen probleskuje epistemologie a ontologie radikálního konstruktivismu, jakkoli nepřiznaná nebo dokonce nechtěná. Didaktický konstruktivismus se ovšem nevymezuje v opozici vůči něčemu tak dalekosáhlému, jako je existence či neexistence, poznatelnost či nepoznatelnost objektivní reality. Vymezuje se vůči běžné realitě školní výuky a ve svých radikálních polohách tvrdí na jedné straně absolutní neúčinnost dosavadních postupů (označovaných za transmisivní) a na druhé straně absolutní účinnost postupů konstruktivistických. Český didaktický konstruktivismus má řadu poloh a s většinou z nich je možná zbytečné pouštět se do polemiky. Někteří autoři chápou konstruktivistické a transmisivní vyučování jako vzájemně se doplňující didaktické postupy. Stehlíková (2004) referuje např. také o tzv. realistickém konstruktivismu a cituje v té souvislosti Kuřinu: „Při řešení… problému můžeme přirozeně sdělovat žáku všechny potřebné informace, vysvětlovat pojmy, odkazovat na poznatky v příručkách a encyklopediích, ale vše ve službách rodící se matematiky v duševním světě žáka. Konstruktivní vyučování tedy může obsahovat transmisi celých partií, může obsahovat i instrukce k řešení typických úloh.“ (Kuřina 2002, podle Stehlíková 2004, s. 14) Tady není proti čemu namítat. Je logické, že stejně tak lze říci, že transPEDAGOGIKA roč. LVIII, 2008

misivní výuka může obsahovat (zejména) netypické, komplexní úlohy vyžadující vlastní konstrukci souvislostí a případně i konstrukci obecnějších souvislostí v té či oné partii učiva. Jiní autoři připouštějí transmisi alespoň jako nutnost, protože „ne vše se dá vymyslet“. Stehlíková končí svou kapitolu závěrem, v němž označuje oba přístupy jako póly, přičemž „realita vyučování je zpravidla někde mezi nimi a je úkolem učitele, aby odhadl, jaká míra ‚konstruktivnosti‘ či ‚transmisivnosti‘ je pro daný okamžik vhodná“. (Stehlíková 2004, s. 21) Následuje však tabulka, srovnávající oba přístupy v 9 aspektech (charakteristika před lomítkem platí pro konstruktivistické vyučování, druhá pak pro transmisivní): 1. hodnota poznání: kvalita / kvantita 2. motivace: vnitřní /vnější 3. trvanlivost poznání: dlouhodobá / krátkodobá 4. vztah učitel – žák: partnerský / submisivní 5. klima: důvěry / strachu 6. nositel aktivity: žák / učitel 7. činnost žáka: tvořivá / imitativní 8. poznatek žáka: produktivní / reproduktivní 9. nosná otázka: co a proč? / jak? (Stehlíková 2004, s. 21)

Při pohledu na tabulku si kladu otázku: opravdu dává učiteli na výběr? Není tu snad jasné, který přístup je lepší, pro který se učitel má rozhodnout, aby byl považován za učitele dobrého? Výše citovaná Stehlíkové formulace o manévrování učitele mezi póly transmise a konstrukce také příliš neladí s tím, co uvádí jen o stránku dříve: „Představíme-li si konstruktivistické vyučování jako jeden pól spektra, na opačné straně budeme mluvit o transmisivním vyučování. Ve stručnosti jde o vyučování zaměřené na výkon žáka spíše než na rozvoj jeho osobnosti. Učitel se v transmisivně vedené výuce snaží předat žákům a studentům již hotové znalosti v dobré víře, že toto je nejlehčí a nejrychlejší cesta k poznání. Žák je viděn v roli pasivního příjemce a ukladatele vědomostí do paměti, aniž by se kladl důraz na

169

jejich vzájemné propojení. Z. Kalhous aj. (2002, s. 49) zmiňují metaforu skladu: ‚V transmisivním pojetí jako by vyučování bylo podobné přidávání zboží (znalostí) do skladu (žákovy mysli), kde příliš nezáleží, či už je v sousedních odděleních skladiště.‘ Transmisivní způsob výkladu, který má charakter instrukce, nazýváme instruktivní.“ (Stehlíková 2004, s. 19-20)

K tomu jen poznámku: Je tu vidět, co všechno se také dá vykonstruovat z nejednoznačnosti pojmů. Samozřejmě, že škola předává především hotové poznatky – tj. poznatky, ke kterým lidstvo dosud dospělo a jsou uznávány jako platné. Snad nikdo se ale nedomnívá, že tím jsou tyto „hotové“ poznatky hotové i pro žáka a že je může pasivně přijmout. Každý ví, že je nutné záměrné učení jako aktivní proces. Mj. i pouhá snaha o záměrné zapamatování vykazuje vždy známky aktivity procesů myšlení. Některé formulace Hejného pak už nás nenechávají na pochybách, že nejde o žádnou komplementaritu transmise a konstrukce, nýbrž že žádoucí je nahrazení transmisivních postupů konstruktivistickými.

„Bohužel většinou bývá proces přijímání nové informace méně kvalitní (než v případě, který Hejný uvedl předtím – M. R.). Žák nejde náročnou cestou řešení mnoha úloh, ale snaží se novou informaci (např. 1 % z celku je‚ když celek vydělím stem) uchovat jako paměťový záznam. Příslušné úlohy pak neřeší promýšlením, ale imitací učitelova postupu. Tak vzniká formální poznání. Popsaná situace vede ke zpochybnění transmisivního způsobu vyučování matematice vysvětlováním a ke zdůraznění konstruktivistického přístupu. Ovšem vize jeho frontálního zavedení do škol je utopická. Edukační styl, stejně jako styl interakční nelze měnit jako pračku. Tkví hluboce ve vědomí, ve zvyklostech a zejména v hodnotovém systému každého z nás. Měnit edukační styl znamená měnit všechny tyto složky osobnostní podstaty člověka. A jestliže chceme takovou věc

170

uskutečnit nikoli u jedince, ale u celé komunity učitelů, pak to není úkol na desetiletí, ale pro celé generace. Musíme totiž měnit mem edukačního stylu.“ (Hejný 2004b, s. 53-54)

S poněkud vágní argumentací, ale přece jen jednoznačně spojuje Hejný polaritu transmisivní vs. konstruktivistický styl také s postojovou či dialogickou strategií interakce. První se vyznačuje ve vztahu k žákovu chování předpojatostí, povrchovým zkoumáním příčin, tezovitým hodnocením, definitivní a mocenskou reakcí. (Srv. c.d., s. 54 a 46) Absolutního odsudku se instruktivnímu způsobu vyučování dostává v dalším spojení:

„Je pochopitelné, že totalitní režim otupování kritického myšlení nastupující generace vítá, protože kritické myšlení je mu životně nebezpečné. K prosazení instruktivního způsobu vyučování výrazně přispívá starozákonní vnímání chyby jako hříchu, jako věci nepřípustné. Bez možnosti dělat chyby se žádná nová myšlenka nemůže obejít. Bez možnosti dělat chyby se žádná nová myšlenka nemůže rozvinout. Bezchybné mohou být pouze reprodukce. Žák, který si chce uchovat naději na vlastní rozvoj, se musí takovému tlaku vzepřít. Nemusí to dělat vyzývavě, ale i tak ponese následky. Učitel, který je v matematice slabý, ale nechává žákům volnost svobodně o problematice diskutovat, může vychovat velice kvalitní žáky s vysokou úrovní tvořivého myšlení.“ (Hejný 2004c, s. 77)

Je třeba říci, že v těchto citacích Hejného dosahuje pojmové kutilství, významové skluzy a krátká spojení na jedné straně a prezentování konstruktivismu jako ideologie reformátorského hnutí na straně druhé takové míry, která nejspíš není pro český didaktický konstruktivismus – a zřejmě ani pro Hejného dílo jako celek − typická. Nicméně je i tato militantní podoba konstruktivismu akceptována a zvyšuje naléhavost otázky, o jakou argumentaci se vlastně konstruktivismus opírá.

1. Argumentace konstruktivismu I: dezinterpretace anekdotických historek

Mým záměrem bylo prozkoumat podrobně, jak autoři, kteří se hlásí ke konstruktivismu, pracují s empirickými daty, jak s nimi zacházejí, jak je interpretují, jak je používají k argumentaci apod. Využil jsem k tomu stati ze sborníku, který v USA ohlásil nástup konstruktivismu v didaktice matematiky.2 Je tedy patrné, že se zaměřuji na americké zdroje didaktického konstruktivismu v matematice a že v tomto smyslu mají má zjištění omezenou platnost. Na druhé straně je na uvedený sborník opakovaně odkazováno v českých pracích hlásících se ke konstruktivismu. Zaměřil jsem se především na tři stati, v nichž se z celého sborníku nejvýrazněji pracuje s empirickými údaji o tom, jak děti řeší matematické úlohy. Základním postojem konstruktivistické argumentace je tu na jedné straně obdiv k tomu, na co všechno přijdou děti úplně samy, bez jakékoli pomoci, jakou přitom projevují nápaditost, vynalézavost a inteligenci; na druhé straně pak zděšení a pohoršení, jakých nesmyslů a nehorázných projevů nekompetence jsou schopny pod tlakem školy. Touto optikou jsou popisovány a interpretovány běžné příhody, které samy o sobě čtenáře příliš nepřekvapí. Překvapí ovšem razance a jednoznačnost interpretací a závěrů tam, kde by namístě byla interpretační zdrženli-

vost, úvahy nad nejednoznačností kontextu a nad různými možnostmi výkladu. Následující příklady jsou ze stati Baroodyho a Ginsburga „Učení dětí: Kognitivní hledisko“. 3 Pětiletá Alison (začíná chodit do školky) hrála s tatínkem „basketbal“. Otec s každým košem ohlásil „to jsou dva“. Po několika koších dala Alison další „dva“ a rozhodla se zaznamenat si průběh skóre. Po svém došla k závěru, že její předchozí skóre bylo 11 a počítala: „1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 (krátká pauza), 14, 17.“ Dala další dva body a radostně začala ověřovat své skóre: „1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 (pauza), 14, 17.“ Po chvilce přemýšlení vykřikla: „ne, to jsem měla!“ Pak pokračovala opravou: „1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 17, 16, 19.“ (Baroody; Ginsburg 2004, s. 51) Aktivní konstrukce je tu argumentována těmito tvrzeními: „Nikdo Alison neukazoval, jak vypočítat součty mentálně spočítáním (compute mentally by counting). Například usoudila, že ,sedmnáct a ještě dva‘ musí být více než sedmnáct – přesně řečeno dvě čísla (počty) za sedmnácti. Její sčítací strategie byla produktem invence, nikoli imitace. Aktivně použila svou inteligenci k řešení problému, který byl pro ni důležitý.“ (C.d., s. 52)

Zajímavé je, jak se autoři domnívají (nebo se nás snaží přesvědčit), že když děti v dané situaci použijí něco, co nepochází přímo z ní nebo co jim přímo v této situaci nezprostředkuje dospělý, pak to pochází jaksi zevnitř dítěte a zprostředkování dospělým v tom nehraje vůbec roli, tedy ani v minulosti. Co neučí dítě škola (a nejlépe explicitně), to se naučilo samo. Tak je postulován jeden z umělých rozporů, na nichž didaktický konstruktivismus často staví.

2 Jde o sborník „Constructivist views on the teaching and learning of mathematics“, monotematické číslo časopisu Journal for research in mathematics education z r. 1990, které však mám k dispozici v pátém vydání z r. 2004. Editory sborníku jsou Robert B. Davis, Carolyn A. Maherová a Nel Noddings. 3 BAROODY, A.J.; GINSBURG, H.P. Children’s learning: A cognitive view. In DAVIS, R. B.; MAHER, C.A.; NODDINGS, N. (Eds.). Constructivist views on the teaching and learning of mathematics. Journal for research in mathematics education, Monograph number 4. National council of teachers of mathematics 2004. (5. vyd.), s. 51-64.

PEDAGOGIKA roč. LVIII, 2008

171

Opravdu máme věřit, že Alison přišla na počítání sama? Naučila se snad sama i číslovky a to jak jdou za sebou – přinejmenším až do jedenácti? (Pokud ano, nechápu, co to učitelky v českých školách často ještě ve druhé třídě dělají, když pořád procvičují, které číslo je „před“ a které „za“ daným číslem. Nemluvě o řadě dalších trivialit, které se ve škole pořád učí, přestože děti tak dalekosáhle konstruují samy.) A pokud jim Alison přece jen někdo učil, opravdu jí při tom neukazoval na předměty a nepřiřazoval je číslovkám? – tedy opravdu „no one shows Alison how to compute sums mentally by counting“? A nikdo ji předtím neuváděl do situací, kdy měla připočítat „ještě dvě“? A samotné počítání košů, v tom tatínek samozřejmě nijak nemá prsty, nijak nevyznačuje koše jako něco, co se dá počítat, hra má zcela nesoutěžní charakter a vůbec nenutí srovnávat, kdo dal víc košů. Je to čistě spontánní aktivita Alison, je to prostě kognitivní problém, který je pro ni důležitý. Zbývá se zeptat, zda náhodou nejde o dítě matematika – jaký div, že ji tatínek shledává tak tvořivou a geniální: na všechno přišla sama, nikdo ji nic záměrně neučil! Samozřejmě, že se dítě musí naučit všechno „samo“, tedy vlastní činností. Ale zároveň se to nikdy nenaučí bez pomoci dospělých, z velké části realizované prostřednictvím školní docházky. Jako příklad toho, že děti projevují překvapivou neformální sílu, například dříve netušené dovednosti při řešení problémů již ve školce a v první třídě, je uváděn rozhovor s Raulem, šestiletým prvňákem:

„Dotazující se: Raule, králík má 3 mrkve, veverka má 5 mrkví… Tak kolik je tři mrkve a pět mrkví dohromady? Raul: (vzpřímí se, natáhne obě ruce, „mumlá“ pro sebe a vztyčuje prsty. Na levé ruce napočítá tři prsty a na pravé ruce vztyčí rovnou všech pět. Dívá se na všechny prsty, z nichž některé

172

se velmi lehce pohybují, a hlásí:) Osm. (Potom dává ruce dolů.) D: Osm, dobrá. Teď tady máme jinou věc, ano? Teď králík má pět mrkví a veverka má tři mrkve. Kolik mrkví mají dohromady? R: (Natáhne levou ruku rovnou se všemi pěti prsty a říká:) Pět. (Potom natáhne pravou ruku, vztyčí tři prsty a říká:) Tři. (Dívá se na všechny prsty, které drží na levé ruce, a potom na pravé, jako by počítal prsty dohromady. Přitiskne obě ruce k sobě a říká:) Hmmm. (a začíná znovu s levou rukou. Tentokrát je znatelný lehký pohyb na každém prstu, jak Raul počítá od levé ruky k pravé. Hlásí:) Osm. (a skládá ruce.)“ (C.d., s. 55)

Jakou „překvapivou sílu“ má ukazovat postup Raula? Člověk by měl sklon v tom vidět spíše slabost, když poté, co vypočítal na prstech 5 + 3, počítá znovu celou procedurou 3 + 5. Navíc nevíme, o kterou část školního roku jde. V české škole 90. let by tento způsob počítání na prstech byl k vidění nanejvýš do pololetí první třídy. Je to zřejmě první, nejméně vyspělé stadium počítání na prstech. A opět: představa, že když dospělí či učitel neučí děti počítat na prstech, jde o čistě dětský vynález, je velmi jednostranná. Počítání na prstech se vyvíjí pod vlivem požadavků výuky a v korespondenci s nabízenými postupy a nástroji. Přestože lze u dětí nalézt velmi různé postupy počítání na prstech, kterým je pro dospělého někdy i těžké porozumět, neznamená to, že je vypracovávají bez přímého vlivu dospělé kultury, jak ji zprostředkovává škola. Právě na postupu k vyspělejším formám prstového počítání je patrné, jak se v něm promítají posuny ke stále vyspělejší logice počítání, k nimž je dítě tlačeno požadavky učiva a učitele. Také poznatek o komutativnosti sčítání, kterým Raul zjevně nedisponuje, je výdobytkem učení ve škole a praktikování příkladů. Ve druhém pololetí první třídy (ale nejspíše ještě mnohem dříve) by Raulovo opětné po-

čítání příkladu se záměnou sčítanců vyvolalo u našich dětí posměch a ostentativní údiv, spojený s tím, že někdo nevidí tak banální samozřejmost. Případ devítileté Sarity má ilustrovat „neefektivnost poznatků vnucených dětem a sílu vlastních jimi vymyšlených postupů“ (c.d., s. 53).

„S: (píše 12 x 9 = , přestává a říká) Můj učitel mi řekl trik. D: Jo, jaký trik? S: Myslím, že si vzpomenu… Dvanáct, dáte pryč jednu, to je 11? (Píše číslo 11 právě nad číslo 12) Um… um (dlouhá pauza). Nevzpomínám si. D: Hm. Předpokládejme, že jsi vůbec nevěděla, co je něco takového, ano? Dvanáctkrát devět… Myslím tím, že teď nezáleží na tom triku od učitele… a ty jsi chtěla zjistit, kolik to je? Ano? A mohla bys udělat všechno, co chceš, s papírem a tužkou. Jak bys na to šla? S: Tak… kdybych nevěděla, jak se dělá krát? D: Jo. S: Sečetla bych dvanáct devítek. D: Dobrá, to je jeden způsob, jak to udělat. Dej se do toho. S: (Píše 12 devítek do sloupce, jednu pod druhou.) Um… um… čtyřikrát devět je 36. (Vyznačuje

D: S: D: S:

první čtyři devítky jako blok, zapisuje 36 do rámečku, a – zatímco vyznačuje blok dalších čtyř devítek – říká:) Třicet šest a 36 je… um… 72. Tak to je 72, ne?4 Ano? Počkejte… um… (Jde zpátky k první sadě devítek a říká:) Třicet šest. Jo. (Píše číslo 72 do druhého rámečku.) Jo, dobře. Tak to je 72, co tu máš dohromady, je to tak? Jo. 72 plus 36 (vztahuje se k posledním čtyřem devítkám), um… (Pak používá sčítání pod sebe /??? written renaming procedure/, aby zjistila výsledek a hlásí:) Je to 108.“ (Tamtéž.)

Síla oněch „samovymyšlených“ postupů by se možná jevila jinak, kdyby se situace opakovala třeba druhý den či za týden. Nevymýšlela by Sarita celý postup znovu? Tahle pochybnost koresponduje s kritikou tzv. „minimal guided“ přístupů k učení: dítě vyřeší problém, ale není vůbec jisté, že se něco naučilo.5 Na druhé straně by postup Sarity hodně ztratil na efektivnosti i na půvabu, kdyby neměla po ruce zcela automatické („nabiflované“?) členění, odpovídající triádě násobení 12 = 4 x 3, které jí umožňuje spontánně členit

Důsledné by bylo, kdyby autoři v přepisu záznamu mluvené číslovky přepisovali slovními výrazy a číslice by používali tam, kde referují o tom, co dítě jako číslice zapsalo. Autoři však střídají číslovkové a číslicové výrazy i v přepisu mluveného projevu. 5 Pod pojem „minimal guidance“ nebo „minimal guided approach“ shrnují Kirschner, Sweller a Clark (2006) řadu koncepcí učení v posledních několika desetiletích, které se vždy znovu tváří objevně, avšak jsou pedagogicky ekvivalentní. K jejich společným podstatným rysům patří přesvědčení, že přímé poskytování učební strategie ve vyučování narušuje přirozené procesy, jimiž žák zhodnocuje svou unikátní předchozí zkušenost a učební styl ke konstrukci situovaných znalostí. Jednou z variant je přesvědčení, že žák se učí nejefektivněji zcela samostatným řešením problémů s minimálními zásahy učitele. Autoři přinášejí argumenty, že zejména v oblasti učiva, v níž je dítě nováčkem, vede snad tento postup k vyřešení zadaných problémů, ale nikoli k naučení – čím je problém (kontext) složitější a řešitel nezkušenější (bez vytvořených schémat a strukturací v dané oblasti), tím více je zatížena pracovní paměť. To má negativní, nikoli pozitivní efekt na učení (tedy změny v dlouhodobé paměti). Kromě toho může pochopitelně vést k selhání a frustraci i při samotném hledání řešení. Kritika autorů článku jde dokonce ještě dál: při řešení problémů, při němž je přetížena pracovní paměť, se ani nic naučit nemůže. Vypadá to, jako by část pracovní paměti byla potřeba na převod do dlouhodobé paměti, jako by to byl speciální proces s nároky na část kapacity pracovní paměti. 4


173

12 devítek na tři čtveřice devítek. Ale znovu se vrací stejná potíž: zatímco učitelův trik (zřejmě rozložení dvouciferného činitele na „10 + zbytek“, který učitel nejspíše ukazoval na násobení jedenácti) by fungoval např. i se 17 x 7, Sarita by se svým postupem mohla mít problémy jednak při vymýšlení, jednak při výpočtu, který by byl o dost komplikovanější. Ano, „vnucování znalostí“ (imposing knowledge on children) je zcela neefektivní – pokud zůstane bez procvičování, v němž děti samy nebo s pomocí učitele objeví logiku postupu. Není ale lepší ukazovat dětem korespondenci mezi různými postupy řešení, a tedy i mezi jejich zlepšováky a vynálezy a standardními školními postupy, než absolutizovat rozdíly mezi nimi a stavět různé postupy do antagonistického protikladu? „Případ Ronnieho“ podle autorů ilustruje, jak propast mezi abstraktní instrukcí a dětskou neformální matematikou může zabránit porozumění a kritickému myšlení.

Jeden z autorů (Baroody) dal svému synovci prvňákovi Ronniemu tento příklad na odčítání: 200 -87 Přestože Ronnie předtím bez problémů řešil jednodušší příklady jako 131 – 8 = ?,6 tento příklad ho zarazil. Strýc se zeptal, zda se ve škole učili „půjčovat si jedničku“ a Ronnie přisvědčil. Strýc se tedy pokoušel Ronniemu vysvětlit, jak příklad vypočítat pomocí opakovaného vypůjčení jedničky. Ronnie zdvořile poslouchal, ale bylo patrné, že ani po opakovaném vysvětlování nechápe. (C.d., s. 58). O pár stránek dál odkazují autoři na toto Ronnieho nepochopení jako na důsledek mechanického učení: „Protože se naučil jednokrokový postup půjčování zpaměti a nechápal racionále, o něž se opírá, nebyl schopen vysoudit, jak se použije v poněkud nových situacích, které vyžadovaly vícenásobné půjčování.“ (C.d., s. 61.) 6

Když pak u oběda v konverzaci narazili na tuto nesnáz, otec chlapce, učitel matematiky, vztáhl úlohu k Ronnieho dosavadním znalostem (sčítání) s vynikajícím výsledkem. Otec: (ptá se) Kolik potřebuješ, aby ses dostal od 87 na 90? Ronnie: (odpovídá) Tři. Otec: Kolik potřebuješ, aby ses dostal z 90 na 100? Ronnie: Deset. Otec: Kolik potřebuješ, aby ses dostal ze 100 na 200? Ronnie: 100. Otec: Kolik potřebuješ, aby ses dostal z 87 na 200? Ronnie: (chvíli v rozpacích, říká) 113! To je snadné!“ (C.d., s. 58-9)

Jenže Ronnie snad neměl problém ani tak s odčítáním jako takovým, ale se specifickým algoritmem odčítání pod sebe. I po „vynikajícím výsledku“ otcova vedení zřejmě tento problém zůstává. Zároveň zůstává problémem, jak srozumitelně dětem vysvětlit, co to vlastně děláme, když si při odčítání pod sebe „půjčujeme jedničku“. Z úryvků je patrné, že se to nepodařilo ani jednomu z autorů statě, že mu to však nebrání „vysvětlit“ Ronnieho nepochopení tím, jak se ve škole učí postup mechanicky. A to v té chvíli měl autor tu výhodu, že Ronnie proceduru již mechanicky zvládl. Kdyby ho autor obšťastnil komplikovaným vysvětlováním už při její první prezentaci, nejspíše by nezvládl ani to. Je patrné, že jak je to s „půjčováním jedničky“ přesně (a zda vůbec jde o půjčování a vracení), neví ani řada dospělých – budeme tedy tvrdit, že nepochopili podstatu operace odčítání vůbec? A dále: Jak příklad s Ronniem zdůvodňuje různá předchozí tvrzení? V čem je otcův výklad bližší nějaké „informal knowledge“? Autoři jinde (v závěrech stati) tvrdí, že

Autoři bohužel neuvádějí, zda „pod sebe“, nebo „vedle sebe“, nebo zpaměti.

174

„dětem musí být dána příležitost stavět na svých dosavadních znalostech, což pro děti na prvním stupni (primary) je jejich neformální matematická znalost založená na názorných počtech (their counting-based informal mathematical knowledge)“ (c.d., s. 63). Přejdeme-li první část tvrzení jako didaktický truismus, jak se druhá část shoduje s otcovým postupem? Byl snad méně abstraktní z toho důvodu, že operoval s názornými počty? Nikoli – rozdíl byl v něčem jiném: v prezentaci odčítání jako dočítání a v ústupu od počítání pod sebe. Není přitom nijak jisté, že Ronniemu byla zřejmá ekvivalence mezi „200 – 87“ a problémem „kolik potřebuješ, aby ses dostal z 87 na 200?“, a že mu tedy otec tímto způsobem vysvětlil odčítání (když už ne odčítání pod sebe). Je ovšem patrné, že je to možné případně vysvětlit v dalším kroku. Jak je navíc možné z pozic konstruktivismu akceptovat a dokonce vyzdvihovat způsob, jakým otec (určitě učitel prekonstruktivistického ražení, protože konstruktivismus byl tehdy v plenkách) Ronnieho při řešení úlohy krok za krokem vede? Nebo takovéto vedení je přijatelné, když se děje otázkami? Ale kdyby mělo podobu výkladu („aby ses dostal z 87 na 90, potřebuješ 3, aby ses dostal na 100, potřebuješ dalších deset, tedy dohromady třináct…“ atd.), byť s opakovaným ujištěním, že dítě jednotlivým krokům rozumí, už by to přijatelné nebylo? Proč? Tvrdili by konstruktivisté, že ve skutečnosti dítě nerozumí? A kdyby bylo schopno postup na jiném příkladu zopakovat, bylo by to z hlediska konstruktivismu jen mechanické memorování?

Ale nespočívá takový rozdíl především v tom, že jednou se využívá otázek a podruhé nikoli? A že možná otázky vyzývající k průběžnému odpovídání jednak nutí dítě k aktivitě, jednak umožňují dobře kontrolovat, zda a jak rozumí jednotlivým krokům? A je tohle ten radikální rozdíl, který odlišuje aktivitu dítěte směřující ke konstrukci poznatku od pasivního memorování? Podívejme se na případ Roberta.

Robert a jeho rodiče projevují velký zájem o to, aby se Robert udržel ve své třetí třídě. Jednou přišel kluk domů a ptal se, zda by mohl příští den zůstat doma. Měl se naučit „doslova přes noc“ násobilku devíti a bál se následků, když bude druhý den nepřipraven. Rodiče kontaktovali učitele s tím, že Robert ještě nezvládl násobilku šesti, sedmi a osmi a další úkol ho přetíží. Učitel uznal, že násobilka devíti je těžká a prodloužil lhůtu na naučení o den. Krátce nato požádala Robertova matka jednoho z autorů (Baroodyho), aby se na Roberta podíval. Jeho zjištění byla taková, že Robert nemá potíže s kombinacemi s nulou, jedničkou, dvojkou, pětkou a desítkou. Ostatní kombinace musel počítat opakovaným přičítáním násobku. Podle autora je to typický obraz třeťáka. Uzavírá, že problém nespočíval v nedostatcích inteligence nebo charakteru, jak se obávala matka. Problém vznikl psychologicky nepřiměřenou výukou (instruction) – nerealistickým očekáváním, že se dítě může naučit něco takového, jako násobilku devíti, za jeden či dva dny. (C.d., s. 59)

Mé zkušenosti s tím, co je typické pro třeťáka, jsou zcela odlišné. Běžný český třeťák (vycházím pravda ze zkušeností z výzkumu v devadesátých letech7) celkem bezpečně zvládá malou násobilku jen s občasnými chybami. Násobilku se učil už ve druhé tří-

7 Jde o longitudinální výzkum Pražské skupiny školní etnografie (1994–2003), vycházející především z kvalitativních metodologických postupů, který sledoval skupinu dětí po celou dobu jejich povinné školní docházky. Stěžejní metodou bylo zúčastněné pozorování ve třídě, většinou v týdenních intervalech, po celou dobu pobytu dětí ve škole.


175

dě a tam se úkol naučit se do druhého dne další řadu násobků nebral jako nic zvláště náročného. Nebyl pak problém toto naučené uplatňovat v rámci násobilky jednoho určitého čísla. Konkrétně u násobilky devíti se děti s učitelkou shodly, že se vlastně učí už jen jediný nový příklad, totiž 9 x 9 = 81. Všechny ostatní triadické kombinace s devítkou už se vlastně naučily dříve v příkladech jako 9 x 5, 9 x 6, 9 x 8 atd., příklad 10 x 9 = 90 pak vlastně znaly už ze jmenování názvů „desítek do stovky“. Problémy samozřejmě nastaly, když se střídaly triadické kombinace i z jiných násobkových řad, a tím spíše, když se střídaly i matematické operace. Občasné chyby se objevovaly ještě dlouho, rozhodně však nebylo patrné žádné zahlcení násobilkou. Pokud jsem pozoroval problémy, pak byly spíše s tím, co Robertovi potíže nedělalo: aby děti ve chvíli, kdy se jim nevybaví triadická kombinace, dokázaly přejít k načítání násobku a zjistit výsledek tímto způsobem. V tomto smyslu se dalo uvažovat o tom, zda znalost násobilky není mechanická, formální, zda nereprodukuje čistě verbální spojení. Po určitou dobu se u některých dětí dokonce zdálo, že číselný obor operace násobení není zcela integrován do číselné řady „do 100“ a že jakoby tvoří specifický číselný prostor nepropojený s čísly, která znaly ze sčítání a odčítání. To by mělo být varující… Jenže jsem měl příležitost pozorovat (protože šlo o výzkum longitudinální), jak tyto příznaky bez jakýchkoli speciálních kroků mizí a jak přechody mezi sčítáním/odčítáním a násobením/dělením a jakékoli složené operace v kontinuu přirozených čísel přestávají být problémem, resp. jsou zvládnuty přinejmenším na úrovni, která nebrání dětem v postupu k dalšímu učivu. Příklad s Robertem není tedy tak jednoznačný učitelský hřích, za jaký ho autoři považují. Abychom ho za takový mohli

176

považovat, museli bychom s nimi sdílet zjednodušující představu, že k nové látce nelze přejít, dokud ta předchozí není dokonale naučena. Tato představa má přinejmenším dvě vady. 1. Nedokonalé zvládnutí se často ukáže až při včlenění dosud učené látky do kontextu látky nové. (Např. děti zvládnou vyjmenovaná slova po „b“, pak po „l“ a teprve, když přijdou ta po „m“, začínají se předchozí plést. Bez této fáze interference zřejmě nemůže dojít k diferenciaci, která posune zvládnutí učiva dále.) 2. Některé souvislosti a náročnost probírané látky (obvykle ty nejpodstatnější) se objeví až zpětně, když se probírá látka nová, složitější. (Co vlastně obnáší „přechod přes desítku“, kterým se děti trápí v rámci sčítání a odčítání do dvaceti, se stane mnohem více zřejmým a naléhavým tehdy, když se obor jejich počítání rozšíří do sta a z přechodu přes desítku se stane přechod přes jakoukoli desítku; pak teprve se ukáže onen první přechod jako prototyp všech dalších.) Tyto zpětně nahlédnuté (přitom ne vždy uvědomované) souvislosti mohou také vést k dodatečnému zvládnutí předchozí látky na vyšší úrovni. Takže vůbec není samozřejmé, že by se Robert měl učit násobilku devíti až poté, co se naučí násobilku šesti, sedmi a osmi. Záleží velmi na tom, jakého druhu jsou jeho potíže. Když ovšem autor po interview s Robertem dochází k závěru, že nejde o nedostatky inteligence ani charakteru (lenost), jak se obávala matka, má to zřejmě vyznít ve smyslu titulku podkapitoly, která je nazvána „lockstep instruction“ (rigidní instrukce či vyučování). Celý Robertův „problém“ interpretují autoři jako chybu učitele a využívají ho ke kritice školy. Vůbec přitom není vzat v úvahu kontext třídy. Co Robertovi hrozilo, co by se dělo, kdyby býval kombinace s devítkou tak rychle

nezvládl? Vždyť něco podobného muselo už předtím nastat s násobky šesti, sedmi a osmi. A ostatní děti s požadavkem naučit se do druhého dne násobky devíti a s nimi spojené triády problém neměly? Pokud je Robert tak typický třeťák, jak autor tvrdí, měly by je mít také a učitel bude nucen své požadavky tomu přizpůsobit. Na druhé straně, co je nepřiměřeného a rigidního chtít se naučit do druhého dne deset triadických kombinací, opírajících se o deset násobků devíti, když autor sám konstatuje, že chlapec rozuměl konceptuální bázi násobení (jako opakovanému přičítání téhož čísla)? Z jedné příhody, kdy se chlapec bál(?) jít do školy a učitel ho kvůli tomu nechtěl zbavit stanovené povinnosti, se tu vyvozuje dramatická nepřiměřenost školy individuálnímu tempu vývoje. Jenže není toto tempo také odpovědí na sociální požadavky a tlak? A nepřizpůsobují se děti nižším nárokům také nižším tempem vývoje? Případ Roberta má ilustrovat jednu z charakteristik školy – rigiditu vyučování (lockstep instruction).

„Když je procvičování (training) vedeno abstraktně a rigidně, děti jsou nuceny memorovat matematiku zpaměti. Některé děti nedokáží memorovat to, co se jim zdá jako bezesmyslná informace, správně či vůbec a v důsledku toho se učí koncepty a postupy neúplně nebo zcela nesprávně. Navíc mnohé děti konstruují přesvědčení, která interferují s dalším učením a úsilím při řešení úloh.“ (C.d., s. 60)

Nehledě na to, jak málo Robertův případ něco takového dokazuje, lze konstatovat, že tento závěr vychází z běžného konstruktivistického předpokladu, že když učitel prezentuje dětem novou látku, pak ji jen říká, sděluje,

a žáci jsou v tu chvíli odsouzeni k pouhému zapamatování si bez porozumění. Ve skutečnosti patří k běžným zkušenostem, že samotný výklad nestačí ani těm dětem, které mu už v dané chvíli rozumějí; že další část dětí v průběhu výkladu význam jen tuší a začne do něj hlouběji pronikat až v průběhu procvičování; a konečně s další skupinou dětí bude nutno se k výkladu v průběhu procvičování vracet a individualizovat ho. Oproti této zkušenosti se zde absolutizuje jako zákonitá nemožnost porozumění jakémukoli výkladu. Případ Zeldy má ukazovat, jak rutinní vyučování podporuje slepé rutinní postupy a odrazuje od kritického myšlení.

Zadání zahrnovalo úkol vzít čtverce o straně 5 cm a rozstříhat každý na kousky, aby vznikly tyto tvary: obdélník, trojúhelník, lichoběžník a kosočtverec. Pro každý útvar měl student zjistit jeho obsah. Zelda mechanicky určila obsah pro každý tvar použitím naučeného vzorečku a dosazením potřebných rozměrů, které naměřila pravítkem. Vypočítala obsah obdélníku, trojúhelníku a lichoběžníku jako rovný 25 cm2. Protože špatně měřila, vypočítala obsah kosočtverce jako 24,5 cm2. Zdálo se, že jí nijak nevadí, že každý tvar byl vystřižen ze čtverce s obsahem 25 cm2 a každý má tentýž obsah. (C.d., s. 61)8

To, že děti nevzrušeně přejdou nesmyslné výsledky, nemusí nutně znamenat, že matematiku chápou jako soubor memorovaných postupů, v nichž nehledají smysl, protože ten buď přesahuje jejich schopnosti, nebo ho podle nich matematika prostě nemá. Je to možno vysvětlit „ekonomií plnění školních úkolů“. Ve škole je zadávána spousta úkolů (úloh, příkladů) v omezeném čase a očekává se, že dítě na ně dá nějakou odpověď. Dítě neřeší školní úlohy primárně

8 Zde i v dalších přeložených textech ponechávám výraz „student“, přestože se kontext často týká dětí, které bychom u nás označili spíše jako žáky.


177

jako kognitivní problém, ale jako „sociální situaci úkolu“. Díky tomu se jako nejefektivnější jeví: 1. Každému úkolu je třeba věnovat jen přiměřené, standardní množství času – je-li tento čas vyčerpán, je třeba řešení ukončit. 2. Špatná odpověď je lepší než žádná – mimo jiné se tak často nejsnáze dozvím, jak to mělo být správně. 3. Kontrola není efektivní způsob zjištění chyby – je snazší počkat, co na to učitel, nebo se podívat, jak to dělali spolužáci. Přes to všechno ale dochází ke kognitivním přírůstkům. Dítě bude ve škole mít ještě řadu příležitostí řešit podobné úlohy znovu. Jejich praktikování a korekce chybných postupů, byť se neděje tak, jak by si konstruktivisté a reformisté vůbec přáli – tedy s plným nasazením a zápalem (vnitřní motivací), zcela samostatně bez pomoci učitele a tedy individuálními objevy, které dítěti navždy utkví v paměti – posouvá dítě k hlubšímu pochopení. Zároveň však autoři na několika místech v popisech toho, jak se učí školní algoritmy a jak se s nimi pracuje, postihují jeden moment, kde je kritika namístě a kde se při výuce matematiky velmi chybuje. Jde o to, že mechanika úprav výrazů (rovnic) je často matematiky považována za logické vysvětlení postupu. Zřetelnost korespondence matematického výpočtu se sémantickými vztahy v zadání se nahrazuje logikou ekvivalencí matematických výrazů, jejichž vztah k sémantice zadání není dětem zřejmý. Učitelé matematiky i autoři učebnic často nechápou, že běžné matematické výrazy či jejich elegantní úpravy, které oni zcela samozřejmě vztáhnou k uspořádání, jež je popsáno v zadání, a v nichž se jim původní vztahy ani po úpravách nijak neztrácejí, mohou být pro děti úplně nesrozumitelné. Je pak lepší opakovaně vyvozovat výpočet úh-

178

lopříčky čtverce ze zápisu Pythagorovy věty a postupného dosazování, než rovnou zavést elegantní formuli a√2, v níž však děti nejsou schopny vidět vztahy, dané Pythagorovou větou pro strany čtverce a jeho úhlopříčku. Ke zkrácenému algebraickému vyjádření lze děti dovést postupně kroky, které jsou pro ně zjevné, srozumitelné. Musí být završením těchto opakovaných postupů, jinak může zůstat opravdu jen nepochopenou formulí k naučení zpaměti. Za účelem kritiky školy vytváří konstruktivismus řadu umělých antagonismů. Např. protože prý se student naučí postup mechanicky, neumí ho aplikovat na nové situace. Ale jak jinak se lze postup naučit, aniž by se aplikoval na nové situace? Postup naučený na typových situacích (jako schéma, algoritmus) musí projít „novými situacemi“ (s jejich odlišnostmi a obtížnostmi), aby byl pochopen. Ale nemůže jimi projít, dokud není naučen aspoň mechanicky (tj. ve své typové, schematické podobě). Nebo snad téhle trivialitě má konkurovat představa o dokonalém a hlubokém osvojení prostřednictvím jedné situace (úlohy, příkladu)? Je pravda, že konstruktivistická fetišizace vlastních objevů dítěte s takovým předpokladem pracuje: když dítě něco samo objeví, je to tak silný zážitek, že si to pamatuje navěky. Ve skutečnosti si to ovšem pamatuje spíše jako příhodu (v jejím celkovém kontextu) a nikoli jako postup řešení či dokonce jeho princip. A i tehdy, když objeví nejen řešení úlohy, ale také obecnější princip řešení (což není zdaleka totéž), děti bez procvičování na dalších úlohách úspěšně zapomínají i své vlastní objevy . Aby se mohla kritizovat škola, musí se stará didaktická zkušenost (že totiž úlohy se musí obměňovat, musí se variovat parametry jejich zadání, aby děti pochopily obecné koncepty), zatajit a namísto toho

tvrdit, že škola učí děti jen typovým úlohám. A případy, kdy skutečně učitelé setrvávají jen u typových úloh, se musí vydávat za typické pro klasickou školu. Náprava pak spočívá nikoli jen v prohloubení a dokončení polovičaté práce takových učitelů, nýbrž v totální reformě školy. Argumentace didaktického konstruktivismu stojí do značné míry na verbální ekvilibristice, která vytrhává z celkového kontextu školního dění jednotlivé epizody či aspekty výuky a přiřazuje jim jakési absolutně platné významy, které však v reálném kontextu nemají. Přitom se navíc popisy situací terminologicky vyostřují. Když se popisuje něco apriorně považovaného za nežádoucí, akcentuje se v popisu tlak učitele, závaznost mechanického memorování pojmů a postupů, ignoruje se interakce učitele s dětmi, jejich aktivita, individuální vysvětlování apod. Když se popisují situace žádoucí, akcentují se projevy aktivity a zaujatosti dětí, samostatnost jejich postupů, ignorují se zprostředkující a katalyzující intervence učitele apod. Tak se dají podobné situace popsat jako diametrálně odlišné. Celé ladění konstruktivistického diskursu také často směřuje k představě o žádoucnosti jakéhosi hladkého, nekonfliktního a bezrozporného procesu vývoje individuálního poznání, k němuž by došlo, kdyby byly dodrženy konstruktivistické principy. To je iluze nejen z čistě technického hlediska jejich realizovatelnosti, které musí brát v úvahu, že učitel nikdy nemá k dispozici onen badatelský komfort výzkumníka (čas na pozorování, záznamy, jejich analýzu apod.). Této iluzi odporuje i reálná podoba vývojových procesů. Určité kognitivní krize jsou totiž nutnou součástí vývoje. Žádná dokonalá komunikace učitele se žákem nemůže odstranit fáze kognitivního neporozumění a zmatku, když nové poznatky, PEDAGOGIKA roč. LVIII, 2008

jejichž osvojení škola po dítěti žádá, vyžadují restrukturovat a rekonstruovat dosavadní poznání. Nové koncepty a schémata, než jsou ovládnuty a stanou se postupně použitelnými či dokonce zcela samozřejmými nástroji myšlení, na přechodnou dobu nutně naruší i to, co již bylo zvládnuto.

2. Teoretické „opory“ konstruktivismu

Nezpochybnitelnou autoritou je pro konstruktivisty Jean Piaget. Přitom také Piagetovy koncepce vývoje dětského myšlení jsou již desítky let kritizovány za podceňování až ignorování socio-kulturní povahy vývojových stimulů a úlohy mediace kognitivního vývoje dítěte dospělými. Piagetovo líčení kognitivního vývoje je některými považováno za kognitivní robinsonádu. Jsou snad aspekty této kritiky ve vztahu ke škole nepodstatné? Ve sborníku Constructivist views… ovšem autoři zacházejí podivně i se samotným Piagetem. Na mnoha místech nalezneme odvolání na Piagetův pojem asimilace, aniž by byla zmíněna akomodace, která tvoří u Piageta s asimilací párovou kategorii. V celém sborníku se pojem akomodace objevuje v prvních dvou statích, v nichž se vymezují nejobecnější filozofická a teoretická východiska, ale zato se v nich neobjevuje žádný empirický materiál. Odtržení pojmu asimilace od akomodace pak umožňuje tvrdit, že děti přizpůsobují informace připraveným mentálním strukturám a že co do nich nezapadá, je pro ně zcela nesrozumitelné (zřejmě navěky). Jak vznikají tyto struktury? O tom se zde mlčí. S respektováním protikladného procesu akomodace by se aspoň muselo říci, že tyto struktury se podle Piageta mění, přepracovávají právě tehdy, když dítě informace nedokáže asimilovat do existujících struktur. Právě to je podle Piageta hnacím momentem kognitivního vývoje.

179

U von Glasersfelda se skutečně akomodace jako forma učení bere. „Dochází k ní tehdy, když schéma nevede k očekávanému výsledku.“ (2004, s. 24) Výsledek se ovšem týká „zkušenostního světa činného organismu, nikoli nějaké ,vnější‘ reality“ (tamtéž). Jak by to vypadalo ve školní situaci, jak a na základě jaké zkušenosti dítě přepracovává dosavadní schémata v matematice, s jakými cíli má učitel usilovat o změnu dosavadních schémat dítěte, a zejména co je ve škole selháním schémat dosavadních, to se zde neřeší. Autoři sborníku vidí jak v asimilaci, tak v akomodaci jen aspekty aktivity a interiority. Odmítají vidět v obou vzájemně spjatých procesech působení vnější reality a její aktivní uchopování.

2.1 Kognitivní psychologie

Konstruktivismus se často dovolává výsledků kognitivní psychologie a snaží se je vydávat za zdroj či oporu svých tezí. Jakkoli je obtížné kognitivní psychologii vymezit zcela přesně, přece jen se dá říci, že představuje široký proud různě inspirovaných směrů empirických výzkumů lidské poznávací činnosti, a to na různých rovinách interakce lidského jedince s prostředím. Pokusím se zde shrnout kritické hodnocení toho, jak konstruktivističtí autoři zacházejí s inspiracemi z kognitivní psychologie, které lze najít ve stati J. R. Andersona, L. M. Redera a H. A. Simona.9 Autoritativnost autorů ve vztahu k tématu chci ilustrovat následujícími údaji. J. R. Anderson je v přehledové

práci M. Sedlákové uveden mezi osmnácti významnými představiteli jednotlivých proudů kognitivního hnutí (Sedláková 2004, s. 215-216). H. A. Simon je Sternbergem řazen již k raným kognitivistům; ve Sternberově učebnici „Kognitivní psychologie“ najdeme v rejstříku 24 odkazů na Simona a jeho práce – to je výrazně nejvíce, pomineme-li samozřejmě Sternberga samotného. (Sternberg 2002, s. 625) Autoři vyvracejí řadu dezinterpretací, které šíří konstruktivismus a které přitom vydává za poznatky kognitivní psychologie: „Řada tvrzení, která byla prezentována jako vhledy z kognitivní psychologie, je v nejlepším případě sporná a v nejhorším případě je v přímém rozporu se známými výzkumnými zjištěními. V důsledku toho některé z preskripcí pro edukační reformy založené na těchto tvrzeních (claims) povedou k horším edukačním výsledkům a budou blokovat jiné, lepší metody zlepšení. (Anderson; Reder; Simon 2000, s. 1-2) Autoři přezkoumávají některé konkrétní teze konstruktivismu, odvolávající se na kognitivní psychologii. Uvedu vždy tezi a k ní shrnutí protiargumentace Andersona, Redera a Simona. Kognitivní výkon nelze rozložit na jednotlivé komponenty (dekomponovat) z toho důvodu, že klíčový je právě komplex interakcí mezi potenciálními komponentami. Stejně tak nemůže být znalost (knowledge) dekontextua-

9 Článek je dostupný na internetové adrese: . Autoři doporučují, aby byl uváděn s následujícím bibliografickým odkazem: ANDERSON, J.R., REDER, L.M., SIMON, H.A. Applications and misapplications of cognitive psychology to mathematics education. Texas Educational Review, 2000 Summer. V elektronické verzi nemá článek stránkování, proto strany, které uvádím v následujících citacích, jsou přibližným odkazem na místo v textu, který vznikne převodem do formátu pro MS Word (písmo Times New Roman, velikost 12).

180

lizována – tedy ani analyzována ( pro účely výzkumu), ani učena (ve školní výuce) mimo komplexní kontexty. Ve skutečnosti kognitivní psychologie zkoumá detailně jak jednotlivé komponenty (dílčí dovednosti) výkonu, tak jejich interakci s jinými komponentami (dílčími dovednostmi), s celkovým kontextem řešeného problému i s širším prostředím. Právě taková komponenciální analýza je podle autorů korektním principem pro učení a zlepšení metod učení. Pro každou dílčí dovednost je potřeba při jejím učení najít kontext odpovídající svým rozsahem specifice této dovednosti. Je zbytečné a zatěžující (nejen učitele, ale především žáky) učit sčítání v kontextu výpočtu daní jen proto, aby byl poznatek konstruován v komplexním kontextu, odpovídajícím jeho užití. Jak zkoumání, tak výuka dané dovednosti podle zjištění kognitivních výzkumů tedy vyžadují takový kontext, který je svou šíří konzistentní s jejím rámcem (scope). Najít odpovídající rozsah, resp. úroveň kontextualizace je podstatné kvůli limitům lidské pozornosti a kapacitě krátkodobé paměti. Poznání (knowledge) nemůže být vyučováno (transmitováno) učitelem, může být pouze konstruováno žákem. Poté, co autoři referují o některých relevantních výzkumech a teoriích v kognitivní psychologii, docházejí k závěrům, které tomuto tvrzení odporují. Teorie „learning-by-doing“, široce využívané v kognitivní vědě, jsou analýzami toho, jak se kognitivní struktura akomoduje vůči zkušenosti. Přitom „…je zcela chybné tvrdit, že to, co je naučeno, není ovlivněno explicitní instrukcí. Například… to, co se člověk naučí z příkladu, je silně ovlivněno instrukcí, která příklad doprovázela.“ (C.d., s. 11) PEDAGOGIKA roč. LVIII, 2008

Je pravda, že učení vyžaduje změnu na straně žáka, které může být dosaženo pouze tím, co žák dělá. Činnost učitele je tu nicméně relevantní, neboť přivádí studenty k aktivitám, v nichž by se jinak neangažovali. Když studenti nejsou schopni konstruovat poznatek vlastními silami, potřebují výklad. Existuje velmi málo důkazů pro pozitivní efekt učení objevováním (discovery learning), často je naopak méně účinné. Zejména může být nákladné na čas; navíc když je hledání dlouhé a neúspěšné, motivace běžně upadá. Je pravda, že lidé si někdy lépe pamatují informace, které vytvořili sami, než ty, které pasivně vnímali. To však neznamená, že si vůbec nepamatují, co jim bylo řečeno. Naopak jsou také případy, kdy si lidé dokonce lépe pamatují informace, které jim byly sděleny, než ty, které sami vytvořili. Reálná kompetence se dostavuje pouze po rozsáhlém procvičování (practice). Je jasné, že cílem výuky není „zabít“ motivaci vyžadováním drilu, nýbrž najít úkoly, které poskytují potřebné procvičení a přitom udrží zájem. To je možno dělat mnoha způsoby, např. učením z příkladů. (Viz c.d., s. 10-13) Poznatek (knowledge) nemůže být reprezentován symbolicky. Podle konstruktivismu vychází tradiční výuka z reprezentacionismu – z předpokladu, že symboly jsou reprezentací vnějšího světa. Taková výuka pak především prezentuje, sděluje dětem matematické poznání ve formě symbolů. Vede to k pasivitě žáka a blokuje to skutečnou konstrukci poznání. Anderson, Reder a Simon ukazují, jakých dezinterpretací a chyb se konstruktivismus dopouští, aby mohl něco podobného tvrdit. Konstruktivismus redukuje symboly na formální výrazy, především verbální. Podle kognitivní psychologie však symboly jsou mnohem více než jen formální výrazy.

181

Jakýkoli vzorec (pattern), který může být uchován a může odkazovat k jinému vzorci, jinými slovy může označovat něco jiného (včetně vnějšího světa), může být zpracován systémy lidského myšlení. (Dodejme, že toto vzájemné odkazování a manipulování s označujícími namísto označovanými, tato sémiotická aktivita je základem lidského myšlení. – M.R.) Kognitivní kompetence (včetně matematické) pak závisí na disponibilitě symbolických struktur (tj. mentálních vzorců a mentálních zobrazení), které se vytvářejí v odpovědi na zkušenost. Konstruktivismus předpokládá pasivně receptivní vztah žáka k symbolické formě prezentace poznatků. (Je-li ovšem sémiotická aktivita základem myšlení, lze sotva formulovat obecný předpoklad, že člověk je ve vztahu k symbolům pasivně receptivní. – M.R.) Konstruktivistické dezinterpretace tak předpokládají, že reprezentacionismus považuje vnitřní reprezentace za pouhé pasivní záznamy vnějších reprezentací – v případě matematických poznatků např. rovnic, grafů, pravidel. Neadekvátnost externích reprezentací (jak je prezentuje učitel či učebnice) by tak podle konstruktivismu automaticky vedla k fatální neadekvátnosti vnitřních reprezentací a k neschopnosti vytvořit správný koncept. Avšak kognitivní teorie postulují něco jiného a poskytují pro to důkazy: komplexní procesy transformování (asimilace a akomodace) těchto externích reprezentací vedou k produkci interních struktur, které vůbec nejsou izomorfické externím reprezentacím. Externí reprezentace jsou transformovány ve vnitřní struktury, které jsou od nich zcela odlišné. (Viz c.d., s. 13-14) Poznatky mohou být komunikovány pouze v komplexních učebních situacích. Tento postulát souvisí s předchozím a je důsledkem odmítání dekontextualizace. Tak např. konstruktivisté bez důkazů doporučují,

182

aby se děti učily veškerou svou matematiku z komplexních problémů. Oproti tomu Anderson, Reder a Simon argumentují: V komplexních problémech může být řešitel přetížen, má-li problémy s více dílčími kompetencemi. Je-li naopak většina potřebných dílčích kompetencí dobře zvládnuta, představuje jejich praktikování při řešení komplexního problému ztrátu času na úkor těch, které zvládnuty nejsou a potřebují procvičit. Existují samozřejmě dobré důvody praktikovat čas od času dovednosti v komplexních uspořádáních, a to včetně důvodů motivačních. Není však důvod, aby praktikování ve „full context“ bylo vůdčím principem vyučování. Autoři uvádějí příklady s hrou v orchestru, s tréninkem ve sportu i v matematice – všude je praktikování ve „full context“ potřebné kognitivně i motivačně, ale všude v tréninku převažuje procvičování dílčích dovedností. Doplňují to další citované argumenty. Je mnoho důvodů k pochybnostem, že složitá matematika je pro většinu studentů vnitřně motivující, a to v jakémkoli kontextu. Každé rozvíjení excelence vyžaduje neustálé procvičování – to však není většině jedinců nijak vlastní a vyžaduje podstatnou rodinnou a kulturní podporu. Jeden z citovaných autorů (Geary 1995) argumentuje, že je to právě rozdíl v kulturní podpoře, který vysvětluje velké rozdíly v matematických výkonech (achievements) mezi asijskými a americkými dětmi. (Viz c.d., s. 14-15) Konečně reagují Anderson, Reder a Simon také na nechuť konstruktivistických autorů k jakýmkoli standardním postupům evaluace. To, že sdílíme instinktivní nechuť k otázkám s nuceným výběrem ze čtyř odpovědí, nemůže na druhé straně znamenat, že je třeba zavést taková kritéria hodnocených

kompetencí, která spoléhají na subjektivní soudy evaluátorů. Nelze také předpokládat, že nějak zvláště validní je studentské posuzování přijatelnosti řešení úloh. Pokud by bylo akceptováno hledisko „student jako posuzovatel (judge)“, nebude už napříště jasné, kdy výuka selhala a kdy byla úspěšná. (Viz c.d., s. 15-17) Přezkoumání toho, co přináší konstruktivismus, shrnují autoři takto: „Zdá se nám, že argumentace ve prospěch radikálního konstruktivismu vede k hlubokému rozporu. Radikální konstruktivisté nemohou argumentovat pro jakoukoli jednotlivou agendu, jestliže popírají konsensus, pokud jde o hodnoty. Samotný akt argumentování pro nějakou pozici znamená angažovat se při výuce v hodnotově zatíženém chování. Zdá se, že radikální konstruktivisté by nám měli prezentovat data o důsledcích různých edukačních alternativ a dovolit nám konstruovat naše vlastní interpretace. (Avšak data překračující rámec anekdot jsou v konstruktivistických textech vzácná.) Není jasné, kolik z těch, kteří se popisují jako konstruktivisté, skutečně souhlasí s přímým odmítáním evaluace a výkladu (instruction). Méně radikální konstruktivismus nemusí obsahovat žádné rozpory a může obsahovat určitou pravdu. Avšak, abychom zopakovali svůj závěr týkající se situovaného učení10, takový umírněný konstruktivismus obsahuje málo nového a spoustu toho, co už je známo.“ (C.d., s. 17)

3. Argumentace konstruktivismu II: dezinterpretace výzkumných dat 3.1 Brian a Scott

Ve dvou statích Davise a Maherové z již uváděného sborníku „Constructivist views…“11 je stěžejním tématem to, jak a zda vůbec žák mentálně reprezentuje problém ze zadání úlohy. Autoři se snaží na empirických datech argumentovat, že 1)vytvoření adekvátní mentální reprezentace úlohy (problému) je klíčovým bodem žákova porozumění a že 2) nerespektování mentálních reprezentací, které děti vytvářejí, má negativní efekt. Učitel by se měl o žákovy mentální reprezentace zajímat, snažit se jim porozumět a nevycházet pouze ze svých. V této podobě se s jejich tezemi dá jistě souhlasit. Navíc téma samotné a jeho argumentace přinášejí mnohem věcnější, konkrétnější a diferencovanější pohled na aktivitu žáka, než je u konstruktivistických autorů obvyklé, a to i proto, že se opírá o empirická data. Z těchto důvodů jejich příspěvek budu poměrně rozsáhle citovat a detailněji komentovat. Osou obou statí jsou epizody dvojice chlapců v hodinách matematiky. Citace a parafráze textu Davise a Maherové uvádím většinou petitem. (Kurzíva v petitu je autorů.)

10 Vedle konstruktivismu a jeho snah odvolávat se na kognitivní psychologii se autoři v článku vyjadřují také k podobným nárokům, které vznášejí koncepce tzv. „situovaného učení“. 11 DAVIS, R.B.; MAHER, C.A. The nature of mathematics: What do we do when we „do mathematics“? In DAVIS, R.B.; MAHER, C.A.; NODDINGS, N. (Eds.). Constructivist views on the teaching and learning of mathematics. Journal for research in mathematics education, Monograph number 4. National council of teachers of mathematics 2004 (5. vyd.), s. 65-78. MAHER, C.A.; DAVIS, R.B. Teacher‘s learning: Building representations of children‘s meanings. In DAVIS, R.B.; MAHER, C.A.; NODDINGS, N. (Eds.). Constructivist views on the teaching and learning of mathematics. Journal for research in mathematics education, Monograph number 4. National council of teachers of mathematics 2004 (5. vyd.), s. 79-90.


183

Děti (šlo o pátý ročník12) dostaly v hodině matematiky následující úlohu. V Pizza Hut je každá velká pizza rozkrájena na 12 kousků. Paní Elsonová objednala dvě velké pizzy. Sedm studentů ze třídy paní Elsonové má sníst jeden kousek z každé pizzy. Jaký zlomek z těch dvou pizz byl sněden? Třída pracovala v malých skupinkách. Záznam sleduje počínání dvojice chlapců. Brian a Scott měli k dispozici na lavici různé materiály k manipulaci, které mohli použít, pokud by si přáli. V této epizodě využili ploché dřevěné obrazce: žlutý šestiúhelník, červený lichoběžník, modrý rovnoběžník, zelený trojúhelník, dále ještě oranžový čtverec a žíhaný rovnoběžník. Rozměry a tvary obrazců jsou uspořádány tak, že na jeden žlutý šestiúhelník pasuje šest zelených trojúhelníků nebo dva červené lichoběžníky. Jeden modrý rovnoběžník se může kombinovat s jedním zeleným trojúhelníkem a pokryje tak přesně červený lichoběžník apod. Žíhaný rovnoběžník a oranžový čtverec jsou výjimkami v této „dělitelnosti“ a nepasují na nic dalšího. Každý obrazec je na stole ve větším množství kusů. (Davis; Maher 2004, s. 68-9) B: (čte úlohu nahlas, potom bere jeden žlutý šestiúhelník): To je jedna pizza. Brian zkouší vytvořit reprezentaci informace dané v úloze (nebo přesněji té části dat, která zachází s pizzou; dosud se nedostal k reprezentaci studentů, kteří jedí pizzu.) B: (Bere několik malých kousků, zjevně se záměrem vyznačit nakrájené kousky.) Ne, tohle je jedna pizza (pak pokládá dva žluté šestiúhelníky). Všimněte si, co udělal: Jeho kontrola reprezentace mu ukázala, že by nemohl najít dvanáctiny. A tak

udělal krok tak důvtipný, že to bere dech: Používá dva kousky dřeva (pečlivě vybrané), aby reprezentoval jednu pizzu.13 B: To je pizza, tady. (Jen prostě opakuje svou novou definici, patrně kvůli Scottovi, svému partnerovi.) S: Jo. (Také bere dva šestiúhelníky.) Tohle jsou dvě pizzy. Všimněte si, že Scott nepostřehl jemnost Brianovy reprezentace jedné pizzy dvěma šestiúhelníky. Scott užívá jeden šestiúhelník k reprezentování jedné pizzy. Naše pozorování nám opakovaně ukázala, že velmi obtížným krokem, často chápaným nesprávně, je sladění mentálních reprezentací vlastních a někoho jiného. V tomto případě Scott nesprávně sladil svou reprezentaci s Brianovou. V této chvíli je v záznamu nějaké spíše neprůkazné mumlání a váhání; každý z chlapců přemýšlí o vlastní práci a snaží se nebýt rušen tím druhým. B: OK (z jeho držení těla a tónu je jasné, že ve skutečnosti neodpovídá Scottovi; vlastně ho ignoruje). S: Jo, tohle je jedna pizza. Je možné, že Scott nyní přijal Brianovu reprezentaci za svou a užívá dva šestiúhelníky k repezentaci jedné pizzy, ale není to zcela jisté. Videozáznam neposkytuje prokazatelnou evidenci ani pro jednu možnost. B: (rovnal malé zelené trojúhelníky, představující nakrájené díly, na šestiúhelník). Tohle (bere červený lichoběžník) se počítá jako tři zelené, OK? (Brian dosud ignoruje Scotta a pracuje na svém vlastním řešení problému. Brian zjevně chce využít červený lichoběžník, aby měl méně kousků, se kterými manipuluje.)14

Tento údaj je v textu až dále, vkládám ho už sem kvůli lepší orientaci. Zní to poněkud nadneseně. Pečlivý výběr tvaru vychází nejspíše z toho, že šestiúhelník se nejvíce podobá tvaru pizzy. Má také nejspíše zkušenost, že se do něj vejde šest trojúhelníků a „dech beroucí“ úvaha je prostě zdvojení tohoto počtu – protože nejspíše zvládá pamětně triádu 2-6-12. 14 Možná. Ale spíše si ujasňuje či rekapituluje ekvivalence mezi obrazci. Kdyby dále lichoběžníky použil, dostal by se poněkud mimo početní strukturaci dílů pizzy i studentů a spíše by mu to vhled zkomplikovalo. Uvidíme ovšem, že ve skutečnosti – alespoň pokud nám přepis záznamu tyto informace poskytuje – lichoběžníky nepoužil. 12 13

184

S: Počkej! Právě jsem to zjistil! Když máš dvanáct kousků a máš sedm studentů, kteří dostanou kousek… počkej! … rozsekaná na dvanáct dílů (ve skutečnosti v tomto okamžiku mluví k sobě) … každý ze studentů dostane jeden kousek z těch dvanácti… Je sedm studentů, je to tak? Tak pro dvě pizzy to bude čtrnáct dílů toho … Briane, když to sečteš všechno dohromady, a pak máš osm dílů, co zbydou.15 B: Jen o tom přemýšlej! Brianův tón se zdá říkat buď „neotravuj mě, nevidíš, že jsem zaneprázdněn?“ nebo, jinak, snad si Brian uvědomil, že Scottova reprezentace je špatná a žádá ho, aby to znovu zvážil.16 V každém případě Brian nechce být přerušován ve vlastních myšlenkových procesech, to je z jeho chování velmi jasné. S: Tak ti zbyde osm kousků… B: Jen o tom dál přemýšlej (tj. „teď mě neotravuj“) Tak … devatenáct a devatenáct je… S: Třicet šest. B: Třicet osm. Toto (a skutečně celý záznam obecně) ukazuje, jak tito dva chlapci mohou mít několik „vrstev“

nebo „úrovní“ konverzace (a pravděpodobně i myšlení), které běží v zásadě simultánně. (…) B: Ale je jen dvacet čtyři dílů! S: Jak jsi přišel na „dvacet čtyři“ dílů? Tohle je (jedna) pizza, Briane! Tohle je dvanáct dílů. (Ukazuje dva šestiúhelníky, takže v tuto chvíli se zdá, že přijal za svou Brianovu reprezentaci.) Tohle je jedna pizza. B: Dvanáct (ukazuje dva šestiúhelníky). Dvacet čtyři (pokládá další dva šestiúhelníky a vytváří kombinované seskupení čtyř šestiúhelníků). B: (Mění téma) OK … kolik chlapců je ve třídě? Skutečně, Brian nyní začíná pracovat na vytváření další části reprezentace dat, reprezentace dětí, které mají jíst pizzu. Nevybavil si správně zadání problému. Zde také vidíme mnoho „vrstev“ – Brian pravděpodobně vytvářel předběžnou „primitivní“ reprezentaci problému, v níž představa „děti ve třídě“ nebyla dobře reprezentována a podařilo se mu smíchat tuto představu s představou „chlapci v mé třídě právě teď“.17 S: Jeden, dva, tři, čtyři, pět, šest... Myslím osm.

Toto je jedno z míst, kde se zřetelně ukazuje, že si Scott vytváří představu situace ze zadání a matematických vztahů v ní – tedy jejich reprezentaci. Autoři to dále ve svých interpretacích nechtějí vidět. 16 To je velmi nepravděpodobné. Brian nepovažuje Scottovo řešení za špatné – prostě mu nevěnuje pozornost. Chová se dost přezíravě a suverénně (patrné je to i dále) – a na autory to zřejmě dělá dojem, považují ho jasně za nadanějšího a jeho převahu ve vztahu (také) za převahu intelektovou. V tuto chvíli označují Scottovo řešení za chybné, ačkoli zjevně odpovídá situaci v zadání, i když chybně určil počet zbylých kousků. Jediné, co by mohlo opravňovat jejich pozdější argumentaci, že jde o špatné řešení, je přesné znění otázky a lpění na nějakém jejím kodifikovaném (ve spisovné angličtině závazném) významu. Bez ohledu na to, že samotný kodifikovaný význam otázky nemusí být pro chlapce dostupný (když odlišně než autoři ho chápe i učitelka, jak uvidíme později), v tuto chvíli se jím zjevně nezabývají, nemají ho „v hlavě“. Bylo by to i v rozporu s tím, že se Brian nechce nechat vyrušovat – aby posoudil Scottovo řešení jako špatné, musel by na něj soustředit pozornost. 17 Kdybychom měli věřit interpretaci autorů, pak pečlivá konstrukce reprezentací vede ke značným (a poněkud nemotivovaným, jakoby volně asociovaným) odbočkám z kontextu a postupu řešení. Nemluvě už o zdlouhavosti, při níž si člověk říká, jestli by nestihli pět podobných příkladů, kdyby se jim při prvním ukázal postup, a zda by jim to nedalo víc. Jenže je zvláštní, že páťák Brian potřebuje zprostředkovat představu „7 studentů“ z úlohy konkrétním počtem a ještě ho složitě modelovat na dětech z vlastní třídy. (Možná přitom mluví o chlapcích v naději, že jich bude právě sedm? To se nepotvrdilo a Brian dále zahrnul do svého modelu „7 studentů“ i dívky?) Mám dojem, že se k představě studentů, jak jedí kousky pizzy, dostal už dříve a že se s ní dostal nějak do slepé uličky. Jeho „devatenáct a devatenáct“ nemohou být samotné kousky pizzy, v těch má, jak vidět, jasno. Dostal se nějak do problémů s počítáním snědených kousků – tedy „pro každého ze sedmi studentů 15


185

B: (opakuje se) Kolik chlapců je ve třídě? S: Jaké třídě?

S: Už jsem to vypočítal. To bys nechtěl dělat, Briane.

Zde znovu vidíme indikaci mnoha vrstev myšlení, které, jak se zdá, probíhají simultánně. Poprvé, když Brian kladl otázku, Scott pouze počítal chlapce, které viděl. Zdá se, jako by Brian Scotta neslyšel (nebo mu nevěřil) a klade tutéž otázku znovu. Ale opakování, zdá se, stlačilo Scotta na hlubší vrstvu myšlení a on začal být zvědav, proč se Brian ptá na totéž znovu. Scotta teď zajímá, zda oba mluví o téže třídě, a ptá se na to.

Zatímco Brian zkoušel vytvářet reprezentaci s použitím obrazců, Scott zkoušel vypracovat úlohu na papíře. Scottova slova tu, zdá se, znamenají: „Tuhle úlohu bys (výpočtem) na papíře nechtěl řešit, Briane!“ Následně se ukazuje, že Scottovo řešení „tužka a papír“ je ve skutečnosti nesprávné.

B: S: B: S: B: S: B:

S: B:

V naší třídě. Proč chceš vědět počet chlapců? Jen je spočítej! Devatenáct, všech dohromady. Je tu 6 … třináct chlapců. Třináct a třináct, to je dvacet šest. 18 Briiiaaaneee… Tady jsou pizzy. (Má před sebou čtyři žluté šestiúhelníky, dva pro každou „pizzu“, a začíná je pokrývat malými zelenými trojúhelníčky, představujícími díly.) Briane. … Briane! Vypočítej (figure) tohle, Briane! Myslím, že vím.

B: (ještě pracuje s obrazci) Ale ano, chtěl! Podej mi dva zelené (z hromádky) tamhle. S: Jistě, jestli si myslíš, že děláš tu úlohu, OK. B: OK, jaká je odpověď? Když teď skoro dokončil svoji konstrukci s obrazci, Brian tu ve skutečnosti mluví hlavně k sobě. Ve skutečnosti říká: „OK. Teď vidím, jak ta úloha je. Když se na to podívám správně, uvidím odpověď?“ S: Musíš poslouchaaat. B: Tak … Je jedna pizza… (Dva šestiúhelníky, nyní pokryté malými zelenými šestiúhelníky, zobrazují dvanáct „nakrájených kousků“.) S: Poslechnu si teď tvé řešení a potom ty si poslechneš moje. B: (dosud pracuje na své konkrétní reprezen-

jeden kousek z každé pizzy“. Dostal se nějakým způsobem k počtu 38 kousků a vidí rozpor – „ale je jen 24 kousků!“ Autoři tomu vůbec nevěnují pozornost, takže nevíme, zda si to nějak znázorňoval a jak došel k figuře „19 + 19“. Mimochodem: pokud to původně neznázorňoval viditelným způsobem, bere za své pozdější argumentace autorů, která vidí Brianův a Scottův postup jako zcela protikladné. Pokud je Brianovo „devatenáct“ výsledkem z výrazu „dvanáct kousků a sedm dětí na jednu pizzu“, pak mají autoři pravdu v jediném: Brian si opravdu potřebuje ujasnit reprezentaci základní situace: „Kolik kousků sní 7 studentů, když každý sní jeden? – Kolik kousků takto snědí, když má pizza 8 kousků, když jich má 12, když jich má 16?“ Kde by pak byla jakákoli superiorita Brianových vhledů a řešení ve srovnání se Scottem? Jenže je také možné, že už tady jde o aktuální počet dětí v jejich třídě a že jich Brian napočítal 19, ačkoli to nechává Brian Scotta znovu zjišťovat o chvíli později (viz níže). Tuto možnost zvažujeme dále. 18 Teď už to ovšem vypadá primárně na problém reprezentace jiných aspektů textu zadání, než jsou kvantitativní vztahy. Brian jako by textu rozuměl tak, že do pizzerie šli všichni studenti jejich třídy. Pokud by přehlédl údaj „sedm“ (snad proto, že není zadán číslicí), zbývá ještě otázka, proč bere „studenty z třídy paní Elsonové“ jako vlastní třídu. Existuje snad ve škole skutečně učitelka Elsonová a má něco společného s jejich třídou? Pak by skluz k jinému čtení úlohy nebyl tak podivný, jak se na první pohled jeví – Brian by mohl dokonce předpokládat, že zjistit a dosadit do úlohy počet dětí je implicitní součástí zadání. Tady ho možná zkouší počet omezit na počet chlapců, když s počtem všech (tj. 19) je tak zřetelně „přes“. Zkouší dále, zdali přece jen nedostane ze dvou pizz dvacet šest kousků, resp. chce modelováním zjistit, jak si poradit s rozporem, že mu vychází více kousků, které mají být snědeny, než kolik mají obě pizzy dohromady?

186

taci pizz s použitím obrazců) Podej mi ještě dvanáct těchhle (mluví o malých zelených trojúhelnících). S: Tady máš. B: 1 …3, 4, 5, 6, 8, 10, 12… Děkuji. … a … tady je další pizza! S: Teď si uvědom, že jsi to naposled měl špatně. Další důkaz mnoha různých úrovní, v nichž děti myslí více či méně simultánně. B: Uvědom si, že jsem měl pravdu víckrát než ty! S: Proto to máš stejně celé špatně a já to mám celé stejně dobře! Měl jsem to dobře! B: Nechtěl jsem to dělat jako ty. Brian pravděpodobně reflektuje výpočet na papíře, který Scott dokončil. S: OK. … Chci se podívat na tvé řešení, uvidím, jestli je stejné jako moje. Brian pečlivě seskupil dva tvary, z nichž každý sestává ze dvou šestiúhelníků vystavěných z malých zelených trojúhelníků. Tak modeloval dvě pizzy s dvanácti kousky na každé z nich. Je důležité si všimnout, že ještě nezačal modelovat děti, které jedí ony dvě pizzy. B: Možná to mám špatně. S: Ne, neříkám, že to máš spatně. Chci vidět, jestli je to stejné jako moje. B: Tady jsou dvě pizzy (gestikuluje směrem ke čtyřem šestiúhelníkům). Teď každý dostane díl z této pizzy (ukazuje na první pár šestiúhelníků). OK? S: Ne každý! Jen… (Scott bere papír a začíná znovu číst zadání úlohy. Sedm studentů ze třídy

paní Elsonové má sníst jeden kousek z každé z těch dvou pizz. B: Tak… sedm. A tady dělá Brian něco opravdu ohromujícího; jak pracuje na modelování další části úlohy - totiž studentech, kteří jedí pizzu – je právě tak konkrétní, jako byl při použití obrazců pro modelování samotných pizz. B: (Rozhlíží se po třídě, ukazuje na jednotlivé studenty a jmenuje ty, kteří mají jíst každý díl.) Tak tohle (přistrkuje jeden „kousek“ ke Scottovi a jeden k sobě) je pro tebe a pro mě; Ron (ukazuje na studenta), Rav (ukazuje na dalšího studenta), Jennifer (znovu ukazuje), Mary (ukazuje na Mary) a Melissa (ukazuje k Melisse). (Jak jmenuje každé dítě, odsune jeden kousek pryč z druhé pizzy.) (Čte znovu úlohu.) Jaký zlomek z (těch) dvou pizz byl sněden? Dva, čtyři, šest, osm, deset, dvanáct, čtrnáct. Tak … 24 ze 14. Myslím 14 z 24. (Píše zlomek 14/24.)19 S: Ne! Nemůžeš měnit dolní číslo! Nemůžeš měnit 12. Je to 14/12. („Dolním číslem“ Scott samozřejmě míní jmenovatele, který Brian právě zapsal jako „24“.) Ze sledování Scotta a Briana během zaznamenávaného sezení je jasné, že Scott je orientován na to, že se pokouší řešit tyto úlohy metodou tužka – papír, zatímco Brian obvykle preferuje vytváření reprezentací užitím obrazců. Je také jasné, že Scottova řešení jsou často chybná a že Brian obvykle rozumí úlohám lépe (pravděpodobně je to výsledek jeho záliby ve vytváření konkrétních reprezentací údajů úlohy).20 Předchozí výpis ze zaznamenaného sezení ukazuje velmi jasně, jak si studenti mohou

Z popisu není vůbec patrné, zda, jak a kdy Brian rozdělil první pizzu (když autoři zde zjevně zdůrazňují, že studentům rozdělil kousky z druhé pizzy). Pak také není jasné, jak (zřejmě) dostal dvojice kousků. Vynechali autoři popis téhož postupu s první pizzou? Pak by to bylo jasné. Zároveň se ovšem Brian dostává k téže strukturaci, jako už předtím Scott, který to vyjádřil slovy „tak pro dvě pizzy to bude čtrnáct kousků toho…, když to sečteš všechno dohromady“, jen udělal numerickou chybu: „a pak máš osm kousků, co zbydou“. Celý rozdíl a rozpor mezi jejich viděním situace v úloze je v tom, co berou jako vztažný celek, jednotku – a autoři pro mě překvapivě tvrdí, že správné je jen jedno řešení, a to Brianovo. 20 K tomu ještě autoři připojují poznámku na konci stati, v níž se mj. praví: „…je otázka, která jistě vyvstane v mysli některých čtenářů. Stává se Brian příliš vázaným na konkrétní přístupy, které mohou uspět jen 19


187

počínat při vytváření reprezentace pro „vstupní data“ z nějakého zadání úlohy nebo ze situace. „Je zejména cenný pro způsob, jakým ukazuje, že student rozděluje úkol vytvořit reprezentaci na části: nejprve konstruuje reprezentaci pro pizzy a ignoruje děti, které ji budou jíst; potom, když tato konstrukce byla dokončena, vytváří reprezentaci pro jedlíky a ignoruje (pro tu chvíli) pizzy. To je typické chování, které nacházíme jak u studentů, tak u dospělých expertů; lidé se zřídka pokoušejí uchopit celý problém, nýbrž namísto toho vytvářejí reprezentace pro různé oddělené kusy.“21 (C.d., s. 69-74)

vytvořit mentální reprezentace, které by mohly být vztaženy k sobě navzájem. Brianova činnost při řešení úlohy ukázala jeho schopnost vytvořit spojení mezi několika schématy, která konstruoval a propojil, jak budoval řešení problému. Začal užitím obrazců, aby udělal nějaké konkrétní reprezentace pizz (žluté šestiúhelníky a zelené trojúhelníky; také červené lichoběžníky a zelené trojúhelníky). Vztáhl model(y), který(é) vytvořil, k reprezentaci studentů, kteří budou jíst pizzu. Pak byl schopen popsat svou odpověď s použitím čísel, která mu zjevně dávala smysl.“ (C.d., s. 81)

K Brianovi a Scottovi se autoři vracejí ještě v další kapitole a předchozí dění interpretují takto:

V pokračování epizody ji autoři dále zvažují především ze dvou perspektiv. 1) Chtějí ukázat, jak je důležité, aby s mentálními reprezentacemi dětí počítali také učitelé, a co se děje, když tomu tak není; 2) prezentují záznam Briana a Scotta po roce se snahou ukázat – poněkud v rozporu s předchozím akcentem na úlohu učitele – jak se v jejich vývoji prosadily zdravé vnitřní tendence.

„Brian vytvořil konkrétní reprezentaci úlohy a Scott zkoušel řešit úlohu použitím postupů tužka – papír. Brianovo řešení (které bylo správné) bylo reflektováno reprezentací, kterou vystavěl22, zatímco Scottovo řešení (které bylo nesprávné) bylo výsledkem jeho pátrání po nějakém pravidlu či proceduře, kterou by mohl aplikovat na řešení úlohy. Zdálo se, že Scottovo hledání, aby našel pravidlo na problémovou situaci, dominovalo způsobu jeho přemýšlení o úloze do té míry, že pro něj bylo obtížné naslouchat Brianově interpretaci údajů z úlohy. Souběžně Brian byl tak zabrán do vytváření reprezentací problémové situace, že, jak se zdálo, přehlíží Scottova vyrušení.23 Videozáznam jasně ukazuje, že Scott a Brian nebyli schopni

„Dva studenti z páté třídy (…), Brian a Scott, pracovali pravidelně spolu jako partneři při matematice. Poté co jsme v předchozí kapitole zvažovali práci a myšlenkové procesy těchto dvou studentů, snažíme se nyní vidět jejich myšlení z perspektivy jejich učitelky. Protože máme výhodu videozáznamů toho, jak spolu Brian a Scott pracovali v před-

u malých čísel? Jde to za druh pozorovaných dat, s nimiž pracuje tato kapitola, ale otázka snad opravdu zasluhuje jakousi odpověď. Za prvé, nejdůležitějším pozorováním možná je, že Brianovo porozumění ho vede ke správným odpovědím, zatímco Scottovo úsilí pracovat se symboly, kterým nerozumí, ho vede k nesprávným odpovědím. Toto je pravděpodobně případ, kde „správné“ je opravdu lepší! (Rozuměj: jinde by tvrzení, že správné řešení je lepší, odporovalo konstruktivistickým zásadám. – M.R.) Za druhé, věříme, že Brian není limitován tím, co dělá. Skutečně, záznamy Briana, natočené o rok později, neukazují taková omezení. Brian se stal dost dobrým v užívání symbolů jejich obvyklým způsobem. Jediný rozdíl možná je, že to typicky dělá dobře! Konečně, i kdyby úloha obsahovala velká čísla, Brianovy „konkrétní“ metody by byly aplikovatelné; člověk musí jen správně zvolit významy. Skutečně, Brian toto dělá ve stávajícím sezení, když užívá jeden červený lichoběžník, aby reprezentoval tři malé trojúhelníky.“ (s. 78, pozn. 7) 21 Tento závěr podporuje, aniž by si to autoři uvědomovali, princip dekompozice, jak ho hájí proti konstruktivistům Anderson, Reder a Simon. 22 „Brian’s solution … was reflected by the representation that he built…“ Není to spíš naopak? Nebyla vytvořená reprezentace reflektována v řešení? 23 Čtenář jistě ocení nepředpojatost této interpretace.

188

chozích hodinách, a měli jsme také poznámky psané učitelkou po každé z těchto hodin, můžeme studovat jejich myšlení velmi detailně. Na základě toho můžeme získat dodatečný vhled do jejich matematického myšlení právě proto, abychom sledovali, jak se vyvíjí. (Samozřejmě, máme také výhodu odstupu, příležitost sledovat pásky znovu a znovu, diskutovat je, podívat se trochu víc, diskutovat trochu víc a tak dále. To je velmi odlišné od situace, s níž byla konfrontována učitelka, když skutečně vyučovala ve třídě a musela odpovídat v ‚reálném čase‘.)“ (C.d., s. 79-80) Učitelka v hodinách chodila po třídě a zastavovala se u jednotlivých skupin. V jedné hodině předcházející epizodě s pizzami se odehrál následující rozhovor. U: Měl jsi 3/8 této pizzy a 3/8 tamté. Kolik to je? B: 6/16 U: Ale pizza má jen 8 kousků. S: Je tohle správně? 6/8? U: Proč to nejsou šestnáctiny? S: Protože pizza má 8 kousků a to nemůžete měnit. V komentáři k této hodině učitelka napsala: Jak jsem chodila po třídě, viděla jsem, že studenti mají pořád problémy se smíšenými čísly a krácením. Někteří studenti stále sčítají jmenovatele. Brian stále sčítá jmenovatele. Její poznámky odhalují, že učitelka, stejně jako mnoho lidí, měla sklon uvažovat o „aritmetice“ v termínech manipulace se symboly. V důsledku toho interpretuje Brianovo chování jako „sčítání jmenovatelů“. Ale my jsme měli výhodu, že jsme ho sledovali, jak vytváří reprezentace úlohy, které jsou vlastně dobrou replikou stávajících významů. Člověk by si také mohl přát, aby se učitelka více zajímala o to, jak je „sčítání jmenovatelů“ běžné. To by ji mohlo vést k dalšímu promýšlení, proč tak mnoho různých dětí přicházelo se stejnými interpretacemi. Ale všichni z nás, kdo učili, vědí, jak rychle se situace ve třídě vyvíjí a nenechává učiteli žádný čas na reflexi. Člověk musí jednat rychle a bez výhod „okamžitého opakování“ z videozáznamu. (C.d., s. 82.)

Konflikt mentálních reprezentací učitelky a studenta vypadá v popisované epizodě takto:

… Brian vysvětluje učitelce své řešení (Scott se k němu příležitostně připojuje). B: Tady… U: Ty jsi, uh… S: Myslím, že to máme dobře. B: Myslím, že vím, že to mám dobře. S: Jo, myslíme, že víme, že to máme dobře B: Tak je 24 dílů v obou pizzách, tak paní E. chce, aby 7 studentů… vzala 7 studentů do Pizza Hut, tak… dá jim jeden díl z každé pizzy, takže budeme mít, uh, 14 z 24, správně, dílů. U: Dobře, teď se zeptám na tohle. Jak dostaneš 24 dílů v jedné pizze a 12 dílů v druhé? Všimněte si, že to není to, co Brian ve skutečnosti dělá či říká. (C.d., s. 82)

Autoři dále formulují náročný požadavek na učitele:

„Mohli bychom tuto situaci popsat tak, že jedním z úkolů, s nimiž se učitel setkává, je konstruovat ve své mysli mentální reprezentaci, která je v souladu s mentální reprezentací studenta. Jaké mohou být některé krátkodobé a dlouhodobé důsledky, jestliže učitelova reprezentace není v souladu (mismatches) se studentovou?“ (C.d., s. 82.)

S touto otázkou se vracejí k záznamu:

„Tón učitelky by mohl být popsán jako lehce nesouhlasný a překvapený. Anticipovala, že jako jednotka bude sloužit jedna pizza složená z dvanácti kousků. (Její plán na tuto hodinu, poznámky k němu, komentáře po zhlédnutí videozáznamu hodiny a následná diskuse o úloze indikují, že její interpretace byla právě tato.) B: Dohromady (in all) 24 T: Briane! B: Je 12 dílů v jedné pizze a 12 dílů v druhé. V této chvíli učitelka přerušila Briana a řekla mu, jak by měl(i) uvažovat o pizze. Scott se usmíval, vítězoslavně přikyvoval a dával Brianovi najevo uspokojení, že jeho řešení se zdá být ospravedlněno.

Pokud záznam bezprostředně navazuje, je to zřejmě odpověď na předchozí otázku, kde je těch 24 kousků.

24


189

U: Dobře, ale měli bychom o nich uvažovat jako o dvou oddělených pizzách, ano? (Scott souhlasně přikyvuje.) Zdálo se, že Brian byl připraven opustit své řešení. Učitelka usměrnila studenty korekcí jejich práce; odložila stranou Brianovo řešení (které bylo ve skutečnosti správné) poznámkou, že není žádná dost velká krabice pro takovou „obr-obrovitánskou“ pizzu. Brian se znovu pokusil ospravedlnit, jak by se to dalo udělat, ale byl učitelkou přerušen dříve, než byl vyslechnut. B: Jo… U: OK, ty, ty dáváš své 2 pizzy dohromady a děláš jednu… obr-obrovitánskou pizzu. S: (směje se) Obr-obrovitánskou pizzu. U: OK, nemůžeme mít jednu obr-obrovitánskou pizzu, protože není krabice, ve které by si ji někdo mohl odnést domů. (Všimněte si, že to je úplně irelevantní úloze.) B: Ne, jen slepit to (mumlá) … díly. U: Musíme to držet zvlášť. Musí přijít do dvou oddělených krabic. (Stále irelevantní.) (Učitelka použila Brianův model pizzy, přemístila některé z kousků a zeptala se, kde je 12 dílů.)25 Brian nyní opustil svou „teorii“, ale zdálo se, že také Scott ztratil důvěru ve svou „teorii“. Nálada sezení se v tomto okamžiku změnila. Zdálo se, že chlapci se submisivně přizpůsobili pokynům učitelky, téměř v anticipaci toho, jaké mají být odpovědi, které se od nich očekávají. S: Ale moje teorie byla chybná.26 B: Jo…

U: Hmmm. Teď se tam říká, že máme dát jeden

kousek z každé ze dvou pizz.

S: (zívá) Budeme potřebovat 7 kousků. B: Budeme muset mít víc než tolik. U: No, jeden student dostane jeden kousek z každé pizzy, (Scott přikyvuje) a je 7 studentů… S: Jo, a dostanou každý 7. U: … a každý dostane, ano? B: (dosud pracuje27) Ale mohli by mít víc dílů než tohle, protože zbyde víc dílů. S: Jo, ale pak by to, bylo by to spravedlivé – ale pak by tam byl díl pro paní Elsonovou (učitelku v zadání úlohy). Brian komentoval díly, které zbydou, a Scott odpověděl návrhem, že učitelka v úloze by mohla mít nějaké díly. Zdálo se, že chlapci prozkoumávají problém v zadání a obracejí se na učitelku o vyjasnění. Její odpověď nasměrovala Briana a Scotta, aby rozdělili díly. Brian odstraňoval obrazce, které představovaly díly, Scott pak počítal díly, které byly odebrány. B: (k učitelce) Tak musíme počítat paní Elsonovou? U: Ne, musíme počítat jen to, co se říká v úloze. B: (rovná obrazce) Scotte, myslím, že potřebuju trochu víc než tohle. S: Ach, OK, myslím, že můžeme zacházet s tímhle (společně sahají pro další obrazce). B: Myslím, že fakticky potřebuji trochu míň než tohle.28 (Scott vydává zvuky a Brian nesrozumitelně mumlá; Scott odpovídá, též nesrozumitelně.) U: OK, teď mi ukažte, co co je, kdo co tu dostane. Brian a Scott společně ukazují uspořádání kousků pizzy 7 dětem z každého koláče. Epizoda pokračuje:

25 To je hodně nedbalý popis toho, co učitelka udělala – popis ve svém důsledku bezobsažný, povrchní, formální. 26 Nechce tím Scott podpořit Briana? Jinak by to byl – po předchozím vítězoslavném přijetí učitelčiny verze – zvláštní moment, jehož kognitivnímu obsahu autoři vůbec nevěnují pozornost. 27 Zřejmě s obrazci – ale z přepisu nevíme, co vlastně dělá a jakou podobu modelu má před sebou. Pak není ani zcela jasné, ve vztahu k čemu soudí, že by „mohli mít víc dílů než tohle“. 28 Brianova po sobě jdoucí prohlášení jako by byla v rozporu a nedávala smysl. Dá se to vyložit tak, že nejdříve si řekl o další obrazce (nejspíše trojúhelníky) pro doplnění, ale podali si jich se Scottem tolik, že vzápětí už přebývaly.

190

B: OK, počítali jsme děti z téhle třídy, jako je (Brian opakuje přiřazení jmen dílům pizzy pro 7 studentů). U: Hm. B: Tak (počítá se Scottovou pomocí 7 kousků a odstraňuje je). U: Hm. B: Tak tyhle, tyhle přijdou pryč. U: Tak to jsou jejich, jejich kousky z pizzy číslo jedna? B: Jo. Tak potom… S: Potom jejich kousky z pizzy číslo 2… 29 B: Některé zbyly, ale potom ona bude chtít si také z téhle pizzy vzít (ukazuje). Tak tady je… 6 dětí (a mumlá nesrozumitelně, jak dává obrazce stranou). U: OK. B: Tak tohle zbyde. U: (ukazuje na model) Tak tohle jsou všechny kousky (díly), které se dají těm dětem? B: Jo. U: Těch 7 dětí. OK, tak to je tolik. Dobře, teď se podívejme, jestli můžeme spočítat, kolik dílů. Učitelka se ptá, kolik dílů bylo v koláči. Nakonec byla úspěšná v nasměrování Briana a Scotta k řešení, které zjevně hledala – čtrnáct dvanáctin (což byla samozřejmě nesprávná odpověď). Potom nakreslila obrázek modelu30, dala chlapcům pokyn, aby ho vyšrafovali (shade) a dala pokyn Brianovi, aby vyznačil díly. B: 14 S: (současně) 14

U: 14, a kolik dílů dělá 1 celá pizza? S: 7 U: Ne, kolik dílů (ukazuje na jeden žlutý šestiúhelník). B: Je jich 12. S: Je jich 12, jo, je jich 12. U: Vytvořilo pizzu.31 Takže použijeme 14 dvanáctin, ano? B a S: (odpovídají současně) Dvanáctin. U: Napišme 14 dvanáctin. B: Tak to by byla jedna. U: Správně. B: A dvě dvanáctiny.32 S: Rovná se jedné. U: Říká se tu (čte úlohu) „jaký zlomek“, tak to je to, co jsme zjistili (ukazuje) 14 dvanáctin, tak nechme tuhle odpověď. B: OK. (C.d., s. 83-86)

V následující analýze si autoři všímají toho, co zřejmě považují za krátkodobé efekty. Účinky na žáky vidí takto „Jedním z nejnápadnějších rysů tohoto záznamu je změna nálady u chlapců, když opustili iniciativu, spoléhání na sebe samé a důvěru ve svou dřívější práci vzhledem k nesouhlasu s autoritou učitele. Pasivní přijímání režie učitelky jak Brianem tak Scottem bylo zcela zjevné.“ (C.d., s. 86) Je jasné, že psaný záznam nemůže být zcela rovnocenný videozáznamu. Přesto i z něj

29 Tady Scott opravdu říká, co chce učitelka slyšet. Stejně tak se jejich předchozí návrhy a obracení se na učitelku dá považovat za aktivní pátrání po tom, jak to učitelka myslí, jak ona vidí situaci a k čemu je chce dovést. Na rozdíl od autorů je to pro mě důkaz vhledu, porozumění pro to, co jim učitelka sděluje. Konstruktivisté toto vydávají za mechanické papouškování a pasivní přizpůsobení. Ve skutečnosti je to důkaz toho, že se chlapci snaží sledovat a sdílet záměr učitelky a že se jim to daří. Je to drobná ukázka zásadního principu, na němž stojí výuka: v rozporu s tvrzením konstruktivismu sdílení významů toho, co bylo sděleno učitelem, možné je a ve třídě se s tím běžně pracuje. 30 Musíme být zřejmě rádi, že autoři nezůstali u konstatování, že použila „paper-and-pencil method“. Očekávat, že obrázek popíší blíže, když učitelčin postup už předtím zavrhli, by zřejmě byla naivní iluze. 31 Tady se zdá, že přepis záznamu zkresluje – šlo zřejmě o dokončení otázky, do které chlapci vpadli svými odpověďmi: „Kolik dílů… vytvořilo pizzu?“ 32 Opět by bylo namístě v přepisu vyjádřit, že jde o jednu odpověď, do které učitelka vpadla svým „správně“.


191

mám pochybnosti o naprosté pasivitě a úplné ztrátě iniciativy chlapců poté, co učitelka odmítla Brianovo řešení. Na mnoha místech je podle mého názoru patrné, že sice ustoupili od svých řešení (zvláštní je, že jakoby i Scott), ale snaží se aktivně porozumět, co má učitelka na mysli, kam svými korektivními intervencemi směřuje. Mnohem větší prostor věnují autoři tomu, co bránilo učitelce akceptovat alternativní interpretaci. Zvažují tyto možnosti: – Učitelka měla vlastní reprezentaci tak intenzivní, že jí to zabránilo přijmout Brianovu alternativní reprezentaci dat. Mj. si poznamenala: „Scott viděl hned, že snědeno bylo 14/12, ale Brian rozhodl, že to bylo 14/24.“ (C.d., s. 86) – Byla zřejmě zaujatá cílem, ke kterému chtěla dojít (autoři si tu nejsou jisti tím, co je podle mě zcela jasné) – totiž k výsledku ve formě smíšeného čísla. – Možná si prý nevšimla, že její interpretace nesedí na zadání, protože její vlastní schéma „jednotky“ nebylo ještě pevně vybudované. – Nasměrování Briana argumenty o způsobu balení pizzy bylo zoufalou snahou změnit jeho reprezentaci, aby byla stejná jako její. Možná to bylo právě proto, že byla nejistá, možná proto, že byla přesvědčena o tom, že Brianova reprezentace je chybná, a chtěla mu pomoci. Možná, že její vnímavost snížilo také to, jak předtím hodnotila Brianovo porozumění zlomkům. (Připomeňme, že také v tomto ohledu se autoři s učitelkou rozcházejí.) Přibližně po roce bylo nezávisle na sobě hovořeno s Brianem a Scottem a byla jim zadána stejná úloha s pizzou. Měli opět k dispozici dřevěné obrazce i další materiály k manipulaci.

192

Jaké byly dlouhodobé efekty tohoto nesouladu reprezentací pro žáky? Řekněme rovnou, že byly takové, jaké bychom předpokládali: i autoři sami přiznávají, že vlastně žádné. „V separátních interview oba chlapci udali, že si vzpomínají, jak před rokem pracovali společně, ale nepamatují si, jak řešili úlohu. Chlapci byli nyní v různých matematických třídách a už neměli příležitost pracovat společně. Zajímavé bylo, že ani jeden chlapec nepoužil k řešení úlohy obrazce. Scott začal tím, že nakreslil dva kruhy a rozdělil je na sekce, a když mu byly nabídnuty dřevěné obrazce, zvolil dva žluté šestiúhelníky, ale řešil problém mentálně. Dotazující se: Rozumíš úloze? S: Jo. 12, mají dvě, slečna Elsonová objednala 2 velké pizzy, které byly rozkrájené na 12 kousků (kreslí dva kruhy a začíná je dělit obsah na části, zdá se, že má problémy udělat jich dvanáct). D: Myslím, že jsi udělal 8 dílů. S: Jo, udělal. D: To je v pořádku, můžeš udělat víc, jestli chceš. S: (zkouší udělat v kruhu 12 stejných sekcí) A potom. D: Používáš ještě tyhle? (ukazuje na obrazce) S: Jo, někdy… D: Můžeš je udělat, jak chceš. S obrazci? S: Můžu je udělat obě. D: OK. Oběma způsoby. Také bych rád viděl oba. S: A objednali dvě pizzy (vybírá 2 žluté šestiúhelníky) a pak, a pak 7 studentů mělo jednu pizzu každý. D: Z každé pizzy. S: Jo, takže to bude, potom vezmou obě pizzy... mají 12 dílů… takže bude 24 a studenti snědli 14 dílů. D: Hm. S: Tak potom zbyde 10 dílů, protože 24 minus 14 je 10… zbyde vám 10 dílů. D: OK. Jaký zlomek? S: 10/24. D: To je kolik jsi snědl, nebo kolik jsi nechal? S: Kolik jsem nechal.

D: S: D: S:

Kolik jsi snědl? Jaký zlomek? 14/24. Pamatoval sis, jak jsi dělal tu úlohu posledně? Ne.

Naproti tomu Brian si vybral, že použije k řešení úlohy obrázek a čísla. Poté, co si přečetl úlohu, odehrála se následující diskuse: D: Pamatuješ si, jak jste se s ním (Scottem) o tom hádali? B: Ne. D: Jak bys to dělal? Můžeš použít obrazce, můžeš použít čísla, můžeš kreslit obrázek. B: Je 12 dílů v těch dvou pizzách (čte znovu úlohu; kreslí 2 kruhy a vyznačuje 12 sekcí v každé). Tak jaký zlomek snědli? Kolik zbylo? D: Kolik snědli? B: Oh! 14/24. D: Ty si nepamatuješ, jak jsi tu úlohu dělal s obrazci minulý rok? B: Pamatuji si tu úlohu, ale nepamatuji si, jak jsem to dělal. (C.d., s. 87-89.)

3.2 Poznámky k případu Briana a Scotta

Některé komentáře jsem vložil rovnou do citovaných pasáží ve formě poznámek pod čarou. Na závěr chci připojit ještě několik komentářů.

3.2.1 Nekorektnosti popisu a interpretací

Zarážející je, jak autoři mohou tak snadno (či spíše jak mohou vůbec) prohlásit, že Brian dospívá ke správným řešením a Scott ke špatným. Očividně se tu fandí Brianovi a jeho způsobu modelování, zatímco Scottova řešení a postupy se devalvují (zřejmě jako typicky školní produkt?). Bez dalšího se tu tvrdí, že z videozáznamu je jasné, že Scottova řešení jsou často chybná, že Brian obvykle rozumí problémům lépe a je to pravděpodobně výsledek jeho pečlivého vytváření reprezentací. Autoři se přitom dopouštějí řady nekorektností: PEDAGOGIKA roč. LVIII, 2008

– Také Scott dospívá ke správnému výsledku: z těch dvou pizz snědli 14/12 jedné pizzy. Autoři mají za to, že zadání (otázku) lze číst jediným způsobem – totiž „what (fraction of the two pizzas) (was eaten)“. Jenže text lze uzávorkovat a číst také jinak: „(what fraction) (of the two pizzas was eaten)“. Ani v angličtině se mi nezdá jako jediné správné řešení, že zlomkové vyjádření musí být vztaženo (jako k celku, k jednotce) ke dvěma pizzám a že tedy správná je jedině odpověď „snědeno bylo 14/24 neboli 7/12 dvou pizz, tedy celého množství pizzy“). „Konstruktivní schizofrenie“ tu dostupuje vrcholu: nepřipouští se ani alternativní kontext, v jehož rámci je řešení korektní. Přitom ve skutečnosti je každé zlomkové vyjádření správné či nesprávné jen ve vztahu k tomu, co je vzato jako celek. – Není vůbec jasné, co autoři dokazují při srovnání epizody s paní Elsonovou a předcházející epizody s úlohou „3/8 této pizzy a 3/8 tamté pizzy“. Především není jasné, jaký vztah mají tyto dvě epizody. Autoři jako by chtěli tvrdit, že když Brian dospívá v úloze s paní Elsonovou k řešení, že studenti snědli 14 ze 24 kousků pizzy – což podle nich odpovídá výrazu „čtrnáct čtyřiadvacetin“, a to považují za jediné správné řešení – je to totéž, jako když v předchozí hodině odpovídá, že 3/8 této pizzy a 3/8 tamté je dohromady 6/16. Obviňují dále učitelku, že za touhle chybou „vidí sčítání jmenovatele“. Oni prý ale měli příležitost vidět Briana, jak si vytváří reprezentace problému, které byly správnými zobrazeními (replicas) problému. Nad touto argumentací člověk nevychází z úžasu: a) Briana viděli vytvářet správné konkrétní reprezentace zlomků a manipulovat s nimi až v hodině následující po té, ve které dává odpověď 3/8 + 3/8 = 6/16; vůbec není jisté, zda by už tady vytvářel reprezentace stejně adekvátní.

193

b) Ze záznamu oné následující hodiny je patrné, že Brian musí zlomek znázornit, aby viděl vztahy – jeho pochopení je závislé na názorné reprezentaci, až na jejím základě dává odpověď. (Právě to na jeho postupu přece autoři tak oceňují.) Jenže v předcházející hodině je vystaven situaci právě zásadně odlišné: má nenázorně řešit „kolik je tři osminy a tři osminy“. Žádnou názornou reprezentaci tu nevytváří, nemůže ji tedy použít jako oporu svých úvah. Jak se pak autoři mohou domnívat, že tu uvažuje stejně, jako když následující hodinu manipuluje znázorněními zlomků? Je naopak vysoce pravděpodobné, že opravdu „sčítá jmenovatele“ – ovšem verbálně, aniž by přesně věděl, co tím dělá, aniž by měl v tu chvíli k dispozici zprostředkující mentální reprezentaci, nebo přímo chápal význam(y) této symbolické operace. c) Autoři si opět charakteristicky nevšímají toho, že Scott odpovídá správně – jeho odpověď zřejmě nestojí za povšimnutí, protože je podle nich asi jen projevem opovrženíhodné snahy „najít proceduru či pravidlo“ (srv. c.d., s. 81), což asi považují za mechanický verbalismus. Jenže Scott navíc říká: „…protože ta pizza má 8 kousků a to nemůžeš měnit“ – a to by mohl být silný indikátor porozumění pravidlu, proč se jmenovatelé nesčítají – že totiž odkazují ke stále stejné referenční jednotce (celku) a její strukturaci. Na rozdíl od Scotta tu Brian nedrží stálý referenční kontext (jednotku) – začíná s třemi osminami jedné pizzy a přechází k šesti šestnáctinám ze dvou pizz. Jak by autoři s prosazováním této interpretace jako jediné správné vůbec chtěli dospět ke konceptu sčítání zlomků? Co by pro ně bylo odpovídající sémantickou reprezentací korektní matematické operace „7/12 + 7/12 = 14/12“?

194

– V pokračování epizody postupu učitelky opět prokazují zaujatost ve prospěch Brianova řešení a v neprospěch Scottova a zde především učitelčina – že totiž jde o „čtrnáct dvanáctin“. Explicitně obviňují učitelku, že tlačí chlapce do kontextu „jedna pizza o dvanácti kouscích jako jednotka“. Správně a opodstatněně kritizují učitelku, že nevidí Brianovo řešení jako správné, ale vůči ní postupují stejně, jako ona vůči Brianovi: své řešení vidí jako jediné správné a její označují za chybné, formální. – Některé momenty dění na videozáznamu jsou opět mizerně popsány. Týká se to např. manipulace učitelky s Brianovým modelem. Není také jasné, co vlastně chlapci dělají s dřevěnými obrazci ve chvíli, kdy Brian říká, že jich bude potřebovat více, a vzápětí, že jich bude potřebovat méně. K čemu, k jakým počtům se to vztahuje? Autoři nepopisují obrázek, který učitelka nakreslila a který mají chlapci vyšrafovat – přitom zjevně musí jít o model. Velmi zvláštní je moment, kdy Scott, který původně má své řešení za to, které učitelka označuje za správné (a Scott nad tím jásá a posmívá se Brianovi), najednou říká „ale moje teorie byla chybná“. Bylo to poté, co učitelka manipulovala s modelem – což autoři popisují „výstižně“ jako „moving some of the pieces“ (c.d., s. 83). Autoři tento moment odbývají tím, že učitelčin postup uvrhl nakonec oba chlapce do pasivity. Jak ale můžeme pominout obsah restrukturace modelu, která byla nebo mohla být součástí tohoto zvratu?

3.2.2 Reprezentace jako manipulace s předměty

Podle autorů jedním z úkolů učitele je, aby konstruoval ve své mysli mentální reprezentaci, která odpovídá

(matches) mentální reprezentaci, jak si ji vytváří žák. S tím se dá vřele souhlasit. Proč se ale o to nesnaží u Scotta, proč mu vůbec jakékoli mentální reprezentace upírají? Nabízí se odpověď: protože u Briana jsou v oné názorné, předmětné podobě tak pěkně pozorovatelné. Jak pohodlné je prohlásit, že Brian reprezentace důsledně vytváří, kdežto Scott nikoli – a zřejmě je ani nikdy nevytvářel. Dovedeno do důsledků, dostávají se tímto předpokladem konstruktivisté do rozporu sami se sebou: buď (v případě, že Scott mentální reprezentace situací nevytváří) generování reprezentací není spontánní proces, nýbrž proces, který chtějí konstruktivisté indukovat – a pak je to didaktická metoda jako každá jiná a v její prospěch nelze argumentovat nějakou její přirozeností či souladem s mechanismy kognitivního vývoje, nýbrž jen vyšší efektivitou; nebo to spontánní proces je – a pak je nutno jej předpokládat i u Scotta, analyzovat jeho formy lišící se od Brianových a analyzovat jejich rozdíly, podobnosti, souvislosti, přechody; nikoli uznávat za reprezentaci jen názorné, předmětné, imaginární, nesymbolické formy.

3.2.3 Dlouhodobé efekty

V kapitolce o dlouhodobých efektech se děje to, co bych očekával. Ani jeden z chlapců není nijak poznamenán rok starou epizodou, oba řeší úlohu znovu, aniž by si vzpomínali, jak to bylo před rokem. (To přesně odpovídá mým zkušenostem z testování školních dětí opakovaného v ročních intervalech.) Ani jeden z chlapců nepotřebuje předmětnou manipulaci, ale Scott k ní víceméně svolí, když o to administrátor stojí. S reprezentací zadání nemají žádný problém, oba docházejí k uspořádání 24 kousků celkem, 14 snědeno. PEDAGOGIKA roč. LVIII, 2008

Když v této situaci padne otázka „jaký to tedy je zlomek?“, odpovídají pochopitelně 14/24 a interview končí, administrátor je spokojen. Věděl bych, jak jim to zkomplikovat, jak je znejistit takříkajíc v opačném gardu, než to před rokem udělala učitelka. Stačilo by se po jejich odpovědi znovu zeptat, nejraději se zdůraněným frázováním a intonací, která klade důraz na některá spojení: „jaký zlomek | z těch dvou pizz | byl sněden?“ („what fraction | of the two pizzas | was eaten?“). Při vyjádření pochybností ze strany dospělého opakováním otázky by začala probleskovat také nejednoznačnost toho, jakou referenční jednotku (celek) je třeba pro zlomkové vyjádření zvolit. Do závěrečného shrnujícího odstavce ovšem autoři vložili své konstruktivistické krédo: „Co se stalo (occured) s Brianem a Scottem, je to, že nebyli rozhodujícím způsobem ovlivněni řešením učitelky. Jejich vlastní poznání (knowledge), to znamená logika jejich vlastního myšlení, bylo tím, co zůstalo v čase trvalé. Zdálo se, že Brian a Scott si nepamatují, nepřenášejí nebo neaplikují informace, které pro ně neměly žádný význam.“ (C.d., s. 89) Tolik podivností v tak krátkém odstavci! a) Scottově „logice jeho vlastního myšlení“ se najednou dostává rozhřešení. V předchozích výkladech u něj přece žádnou nepozorovali, Scott jen mechanicky kopíroval formální postupy, které od něj učitelka vyžadovala. Cože se najednou tak zmátořil a začal se řídit svými vnitřními popudy? b) Chlapci přežili nápor učitelčiny nekompetence a díky vnitřním zdrojům myšlení vyšli nepostiženi. To hlavní se rodí a děje uvnitř a zevnitř a to přetrvalo škole navzdory.

195

Proč vlastně děti do školy posílat? Proč vystavovat jejich vnitřní zdroje myšlení a jeho vývoj rizikům poškození? c) Chlapci akceptovali a zpracovali jen takové informace, které pro ně měly nějaký význam, smysl (meaning). Ještěže se takhle dokáží bránit těm školním nesmyslům. Zbývá vysvětlit, jak vůbec děti pronikají do toho, co jim původně žádný smysl nedává? Nebo prostě jedinec zůstává uzavřen ve stále stejných významových rámcích, které jsou v něm obsaženy od počátku? Zvláštní ovšem trochu je, že Scottovi původně (před rokem) Brianova verze vyjádření snědených kousků jako 14/24 smysl nedávala. d) K tomu se váže další. Autoři předtím učitelku kritizují, že její koncept jednotky zřejmě nebyl dostatečně rozvinutý. Jinak se mohla Briana zeptat, jakou jednotku používá. Vůči sobě ani vůči chlapcům nyní tento nárok neuplatňují. Nebo ho neuplatňují, pokud chlapci zvolili řešení, které autoři považují za správné, žádoucí? Pak není už třeba reflektovat, ve vztahu k jaké jednotce je to řešení správné? Byl to zřejmě oprávněný požadavek tehdy, když s jeho pomocí kritizovali učitelku s jejím „nesprávným“ řešením. Není snad třeba žáky vést k reflexi toho, s jakou jednotkou pracují, když odpovídají 14/24, a jak by bylo řešení jiné, kdyby se jako jednotka zvolila „1 pizza o 12 kouscích“? e) Stávající řešení chlapců musí určitě být pouze výsledkem jejich vlastní logiky myšlení a případně ještě důsledkem toho, jak zpracovali, či spíše nechali stranou to, co jim učitelka před rokem řekla. Mezi těmito dvěma událostmi je pro autory zcela přímá, ničím nezprostředkovaná a nekomplikovaná spojitost, a proto je možno ji zkoumat jako existenci či neexistenci jednoduché kauzální souvislosti.

196

Mezi těmito dvěma událostmi se totiž zřejmě neodehrálo nic. Chlapci zřejmě nechodili do školy, nebo přinejmenším už neslyšeli o zlomcích nic dalšího a dnešní řešení úlohy, mnohem suverénnější než před rokem, rozhodně není ovlivněno žádnými dalšími nekompetentními pokusy učitelů je něco naučit. A protože je patrné, že je tehdejší (dez)interpretace učitelky neovlivnila, musí to být jejich čistá konstrukce. Zdá se tento výklad citovaného odstavce přehnaný? Pak je možno posloužit dalším odstavcem (c.d., s. 90): „Tato jednotlivá epizoda nám naznačuje sílu vlastních mentálních reprezentací žáků a logiku jejich vlastních procesů myšlení. Nesprávná interpretace, k jejímuž přijetí se učitelka v předchozím roce snažila chlapce přesvědčit, nezpůsobila žádný problém. Skutečně, protože chlapci neměli, v Piagetově smyslu slova, žádná asimilační paradigmata pro to, co učitelka říkala, její slova, zdá se, byla ve velké míře ignorována. Důkazy jejich vlastních smyslů (the evidence of their own senses) a jejich vlastní myšlenkové procesy, zdá se, dobyly vítězství a vedly je ke správnému chápání této úlohy.“ Je neporozumění v komunikaci učitel – žák ztrátou času? Stejně dobře lze postulovat opačnou absolutní tezi: neporozumění je produktivní – když žák cítí, že nerozumí učiteli a učitel jemu, je to pro něj podnět k restrukturaci předpokladů, ke konceptuální změně, k akodomaci dosavadních schémat. Je zřejmé, že obě protikladné teze do jisté míry platí. Při jednorázovém, dočasném neporozumění se neděje nic osudového, může být i produktivní. Trvalé neporozumění může vytvořit obtížnou situaci, která blokuje vývoj matematického myšlení žáka

a se kterou si navzdory konstruktivistickému přesvědčení o mocných vnitřních silách sám neporadí. Dovedeme-li argumentaci autorů do důsledků, nemůže vlastně učitel žáka poškodit; žák si podle nich stejně vybere jen to, na co je nastaven, co umí asimilovat – a co díky „mocným vnitřním pochodům vlastního myšlení“ je zdravé a přetrvá. Takže nejhorší, čeho se učitel může dopustit, je, že marní čas dětí. (Za ten svůj je koneckonců placen.) Jen zůstává stín nejistoty: jak je možné, že se onen zdravý vývoj poznání nevztahuje na učitele, ale jen na děti? Jak to, že učitelka tak propadla mylnému chápání slovní úlohy? Vyvíjela se vnitřně nějak pochybeně – a koncentrují se tito pokřivení jedinci v učitelském povolání? Nebo byla zkažena až později, na pedagogické fakultě? To by ovšem rozviklávalo tezi, že člověk nemůže být zvenku ovlivněn v rozporu se svými asimilačními předpoklady. Přestože kladou autoři na učitelovo porozumění žákovým mentálním reprezentacím takový důraz a spojují s ním radikální proměnu role učitele, je na druhé straně podle nich důsledkem neporozumění víceméně jen „marnění času ve vzájemných neporozuměních“. Tento rozpor, který se řeší jen verbálně, se vine celým diskursem didaktického konstruktivismu. Učitel na jedné straně musí dramaticky změnit svoje chápání dítěte a svoji roli, protože když to neučiní, dopouští se na dětech něčeho hrozného, a když to naopak udělá, stane se vyučování tryskajícím gejzírem dětských objevů a mohutným proudem poznávání. Na druhé straně jsou určující vnitřní vývojové síly dítěte a jeho neopakovatelná zkušenost, bohužel nesdělitelná a nepoznatelná, které samy určují, jak s nabídkami učitele naloží a vůči nimž tedy stojí učitel poněkud bezmocně. PEDAGOGIKA roč. LVIII, 2008

3.2.4 Iluze nejen konstruktivistická: lineární posloupnost fází při řešení problémů

Koncepce Davise a Maherové, jak člověk řeší úlohu (problém), spočívá v sekvenci pěti kroků: 1) vytvoření reprezentace pro vstupní údaje, 2) pátrání v paměti po relevantních reprezentacích a znalostech, 3) mapování mezi reprezentací údajů a reprezentací znalostí, 4) prověření výsledku mapování, 5) jestliže výsledky mapování odpovídají, užití technických nástrojů k řešení – tedy výpočet. Nechci podrobně rozebírat problematičnost vyčlenění jednotlivých fází a jejich pojetí. Například to, čemu autoři říkají „building a representation of possibly relevant knowledge“ (fáze 2), bych spíše nazval „nalezení korespondencí mezi sémantikou zadání (tj. reálnými či kvazireálnými procesy reprezentovanými textem) a matematickými operacemi“. Ve školních úlohách jde přitom nejčastěji o aktualizaci, evokaci dříve naučených korespondencí („jak se tohle počítá“), jen zřídka v nich jde o objevování nových, netypických postupů. Nebo tomu odpovídá až další krok – totiž mapování mezi reprezentací dat a reprezentací znalostí? Jak ovšem mohu dělat krok 2 – tj. pátrat v paměti po reprezentaci relevantních znalostí (mimochodem, proč ne prostě jen po relevantních znalostech? jak je znalost reprezentována? čím se liší reprezentace znalosti od znalosti?) – aniž bych už prováděl mapování? Jde mi tu však o něco jiného. Koncepce postupných fází řešení úlohy není nijak specificky konstruktivistická a vyskytuje se u mnoha dalších autorů z oblasti (psycho)didaktiky matematiky. Chci zde upozornit na určitou iluzi sekvenciality či sukcesivity, jíž se tyto koncepce vyznačují.

197

Stejně jako jiní autoři, i Davis a Maherová připouštějí v určitých fázích řešení úlohy návraty k předchozí fázi a určité cykly. Hovoří o sukcesivní modifikaci či aproximaci. Když Scott v jedné chvíli čte znovu text úlohy, autoři k tomu poznamenávají, že jde o typický fenomén, že studenti se při řešení téměř vždy „musí vracet a budovat reprezentaci úlohy sukcesivní aproximací“ (s. 78). Právě zde vyjadřují poměrně přesně, jak děti při řešení úloh postupují. Ale zřejmě nedoceňují význam toho, co právě napsali. Používají to jen jako vysvětlení, proč se Scott v průběhu řešení znovu vrací k údajům z textu. Autoři si také kladou adekvátní otázku, zda je nutné mluvit o dvou reprezentacích a mapování mezi nimi, zda nejde spíše o jednu reprezentaci postupně transformovanou. Řekl bych, že to druhé spíše odpovídá skutečnosti. Základní připomínky ke všem fázovým koncepcím řešení bych formuloval takto: 1. Pokud nejde o rutinní a jednoduchou úlohu, do níž dítě nabude vhledu naráz, pak reprezentace zadání (situace) se nevytváří předem (přinejmenším ne v úplnosti), aby byla následně jako celek mapována do matematických znalostí. Je tu opakovaný vstřícný pohyb či přechody mezi reprezentací situace a matematickým aparátem: jednotlivé prvky a operace matematického aparátu zpětně zpřesňují mentální reprezentaci zadání, tj. strukturu sémantických vazeb v situaci (strukturu propozice). Typické jsou i tápavé, zkusmé výpočty „něčeho“, při nichž se až zpětně hledá sémantická korespondence. Není pravda, že takové zkusmé výpočty jsou nutně mechanické a že dítě při nich setrvává v neporozumění. Nejúplnější mentální reprezentace zadání je pak dosaženo až s vyřešením úlohy. (Ve složitých slovních úlohách je to obzvlášť patrné.) Mentální reprezentace situace (zadání)

198

se nevytváří odděleně od matematických znalostí, ale za jejich účasti a do značné míry jejich prostřednictvím. Dobře to ukazuje Brian už v druhém kroku: místo jednoho bere za jednu pizzu dva šestiúhelníky, protože anticipuje dělení pizzy na 12 dílů a pro dělení jednoho šestiúhelníku má jako nejmenší díly jen šest trojúhelníků. Restrukturuje původní reprezentaci prostřednictvím matematických znalostí. Vyčlenění postupných a oddělených fází je tedy jen abstrakcí – ovšem oprávněnou a užitečnou, protože nám pomáhá ujasnit si povahu procesů, které při řešení úlohy probíhají. Při skutečném řešení však děti často přeskakují „od fáze k fázi“ bez ohledu na to, jak jsme stanovili jejich posloupnost. 2. Druhou připomínkou pak je to, že tyto cykly, přechody a „přeskoky“ probíhají nejspíše v mnohem kratších časových intervalech a odehraje se jich ve skutečnosti mnohonásobně více, než „fázové koncepce“ předpokládají. Líčení postupů při řešení úloh (včetně jejich posloupnosti) je tak částečně „dospělácká“ iluze: následný „popis“ postupu jako příběhu se zaměňuje za skutečnou podobu postupu. Děti často nejsou schopny o svém postupu referovat tak dobře jako dospělí – je to mj. i proto, že neumějí tak dobře vyprávět. Na druhé straně je ale takováto rekonstrukce postupu nejčastěji jedinou aproximací vlastních vnitřních procesů, které jsme schopni.

3.2.5 Polemika se závěry autorů

V závěrech své stati Davis a Maherová docházejí k tomu, že existuje alternativa: pokusit se dozvědět o žákovských představách co nejvíce, pokusit se porozumět myšlení žáků nebo jejich představy ignorovat. Kloní se pochopitelně k první možnosti – je to nezbytné pro získání vhledu do povahy a vývoje dětských reprezentací.

„Znalost dětského myšlení v tomto ohledu poskytuje bázi pro tvoření vhodných činností, které mají potenciál povzbudit další učení. Selhání učitele při rozpoznávání způsobu, jakým student uvažuje o problému, vede přinejmenším k maření času ve vzájemných neporozuměních. Tvrdíme tedy, že je důležité, aby učitelé neustále usilovali o posouzení povahy dětských reprezentací. Znalost dětského myšlení umožní učitelům podněcovat a rozšiřovat myšlení žáků a vhodně pro ně modifikovat a rozvíjet aktivity.“ (C.d., s. 89-90) Poznamenejme, že taková tvrzení a předpoklady, jakkoli s nimi lze souhlasit, jsou velmi obecné povahy, ničím nepřekvapí a nepřinášejí nic nového. Konkrétní příspěvky autorů se soustředily na případ údajného neporozumění žákovským představám a nebylo tedy možno z nich vidět, jak naopak pochopení toho, jak žák uvažuje, umožní učiteli „vhodnou modifikaci“, jež by přitom byla něčím jiným než pokusem o korekci, kterou autoři odmítají. Tvrdí totiž: „Existují význačné důkazy svědčící o tom, že snahy napravit a korigovat chyby dětí byly úspěšné krátkodobě, s malým, pokud vůbec nějakým, dlouhodobým úspěchem.“ (C.d., s. 90) Byť se neztotožníme s jejich zavrhováním „přímé instrukce“ a tedy i „přímé korekce“ a budeme je považovat za korektní a účinný postup, je patrné, že porozumění dětským představám a konceptům ještě nijak samozřejmě a automaticky neříká, jaká má být povaha učitelovy intervence. Mé hlavní polemické argumenty se ovšem týkají 1) neudržitelného zjednodušování pojetí mentálních reprezentací, 2) absolutizace jejich individuální povahy a 3) nereálné představy, že to jsou učitelé, na nichž leží odpovědnost za zkoumání povahy reprezentací. PEDAGOGIKA roč. LVIII, 2008

1. V předchozí polemice s konstruktivistickými autory jsem se již několikrát dotkl toho, že chápou mentální reprezentace zjednodušeně. V interpretacích epizod Briana a Scotta dokonce jako by se mentální reprezentace úlohy mohly vytvářet pouze na základě předmětné manipulace, jedině ta mohla být jejich zdrojem. Explicitní tvrzení konstruktivismu by takto vypjatá nebyla; mentální reprezentace se dávají do souvislosti také s obrázky. Avšak už z povahy konstruktivistické kritiky školy vyplývá, že konstruktivismus odmítá možnost, že by mentální reprezentace mohly mít symbolickou povahu – že by symboly mohly být zdrojem mentálních reprezentací a naopak, že problém, úloha, situace by mohly být reprezentovány symbolicky. Částečně můžeme polemiku s takovými tvrzeními najít už výše v referované stati Andersona, Redera a Simona (2000). Zahrnula dva aspekty: a) interní reprezentace nejsou pasivními odrazy vnějších mentálních reprezentací (včetně symbolických), ale jejich aktivní transformací; b) není pravda, že jedinec je při vnímání symbolů pasivně receptivní, naopak je schopen je myšlenkově zpracovávat a vytvářet na jejich základě mentální reprezentace. Dodejme k tomu následující. V kognitivní psychologii je už od počátku 70. let 20. století známa hypotéza dvojího kódování (jejím autorem je Paivio). „Podle této hypotézy existují dva nezávislé, ale vzájemně propojené systémy, které jsou nástroji mentální reprezentace, a to systém představování a jazykový systém.“ (Sedláková 2004, s. 224). „Podle Paiviovy teorie jsou oba systémy formami mentální reprezentace, jsou sice samostatné, ale vzájemně propojené – doplňují se tak, že jeden z nich, například verbální, je s to v paměti vyvolávat odpovídající (příslušný) obsah ve formě nonverbálního (imaginativního) kódu a opačně.“ (Tamtéž.)

199

Od 80. let pak trvá v kognitivní psychologii polemika o tom, zda jde v lidské kognici o dva rovnocenné kódy, nebo zda skutečnosti více odpovídá „názor, že hlavním nástrojem mentální reprezentace je propoziční kód a že imaginativní reprezentace obsahuje ve svých hloubkových strukturách subvokální znalosti, a to v podobě propozičního kódu“. (Sedláková, s. 225) Zjednodušení mentální reprezentace žáka na co nejnázornější představu situace, její pojetí jako oddělené od symbolicky reprezentovaných znalostí a trvání na významové prázdnosti (re)produkovaných symbolických reprezentací jsou z hlediska vědeckých poznatků nepřijatelná a nemohou vést k žádným systematickým zlepšením výuky. 2. Z omylu, že povaha mentálních reprezentací je výlučně individuální, se autoři usvědčují mnohokrát sami. Je tomu tak vždy, když konstatují, že některý chybný koncept či představa, která vede k neporozumění matematickým poznatkům či k jejich nesprávnému chápání, je mezi dětmi obecně rozšířená. Tak referují např. o chybách při odčítání pod sebou, při práci se zlomky pak např. o sčítání jmenovatelů. Jsem přesvědčen, že „obecně oblíbené omyly“ lze nalézt snad v každé oblasti učiva. Přestože zde téměř jistě platí principy ekvifinality a multifinality (tentýž výsledek vývoje může pocházet z různých zdrojů a naopak tentýž zdroj může produkovat různé výsledky), lze v každé oblasti učiva nalézt omezený a poměrně malý počet typických omylů a s nimi korespondujících mentálních reprezentací, které jsou sdíleny určitými skupinami dětí. Učitelé by měli od

vědců získat poznatky především o těchto kulturně a vývojově typických reprezentacích, nikoli dostávat rady, že mají u svých žáků sami hledat a analyzovat individuální podoby reprezentací. 3. Ačkoli na několika místech autoři poukazují na to, jak komfortními podmínkami pro analýzu reprezentací disponuje badatel ve srovnání s učitelem, a ačkoli přiznávají omezené možnosti učitele, nakonec přenášejí odpovědnost za analýzu mentálních reprezentací – navíc v šíři jejich individuální specifiky – na učitele. Domnívám se, že je zcela nereálné, aby učitel tento úkol splnil. Odpovědnost leží na vědě – psychologii, pedagogice, didaktice. Měla by dokázat zprostředkovat učitelům poznání typického uvažování dětí nikoli pouze ve svých experimentálních problémech, uspořádáních a podmínkách, nýbrž způsoby uvažování o běžném učivu a v běžných podmínkách vyučování. I poté by na učitele ještě zbyla spousta tvůrčí práce s aplikací těchto vědeckých poznatků.

4. Místo závěru: Konstruktivistické hledisko prizmatem terminologie

Vedle tématu interních mentálních reprezentací lze snad hledat určitou věcnost v terminologických posunech, které konstruktivismus zavádí. Nesetkal jsem se ovšem se žádným systematickým výkladem pojmů, které didaktický konstruktivismus nejčastěji používá.33 Nabyl jsem dojmu, že oproti terminologii tradiční didaktiky zavádí konstruktivismus zhruba tyto posuny:

33 Snaha o jednoznačnější vzájemné vymezení pojmů je ovšem komplikována tím, že už samotný překlad anglických termínů rozhodně k jednoznačnosti nepřispívá. Např. pojem „knowledge“ může být překládán jako poznání, poznatek, znalost, a podle toho se posouvá význam tvrzení, která s ním pracují. Pojem zkušenost je nejčastěji překladem anglického „experience“ a jako takový klade důraz na zažité, prožité. Pokud je jako zkušenost přeložen pojem „skill“, jde o zkušenost zcela jiné povahy.

200

1. Vědecké, oborové, předmětové poznatky, které se žákovi předkládají k osvojení, se označují jako informace. Akcentuje se jejich původní exteriorita, cizost, nesamozřejmost pro dítě, a tím také nesamozřejmost jejich osvojení. K osvojení nestačí pouhá prezence poznatku-informace, nýbrž je nutná aktivita (konstrukce), v níž, či jejímž prostřednictvím se teprve vytváří poznatek žáka. Konstruktivisté by se ovšem zřejmě bránili tezi, že v procesu běžného školního učení se informace stává poznatkem jedince. Podobně by jim patrně nevyhovovalo chápat běžné procvičování jako aktivitu, v níž dochází ke konstrukci poznatku. Procvičování je v jejich pojetí odsouzeno k tomu být pasivním bezduchým drilem. 2. Aktuální stav poznání dítěte, jeho aktuální dispozice, kompetence a vůbec aktuální stav mysli, v němž se projevuje celá individuální biografie, jsou v pojetí konstruktivismu zkušeností. Právě zkušenost je předpokladem asimilace informace (v běžné terminologii osvojení poznatku). Ve zkušenosti ovšem konstruktivismus zdůrazňuje prožitek, neškolnost (svět mimo školu jako zdroj zkušenosti) a nesdělitelnost. Byť to konstruktivismus nepopírá, přece jen málo mluví o tom, že součástí zkušenosti jsou i dříve nabyté poznatky. Tomu odpovídá, že v kritice tradiční školy konstruktivismus zdůrazňuje, že škola nepočítá se zkušeností dítěte. Vůči předkládaným poznatkům-informacím pak v optice konstruktivismu stojí na straně dítěte vždy zážitky, každodenní neškolní zkušenost, prekoncepty, miskoncepce – ale jako by tu nikdy nestály poznatky nabyté předtím ve škole. Ze školy a zejména z vyučování dítě nedisponuje žádnou zkušeností, nanejvýš má nadrilované formule, algoritmy, pravidla, které se snaží mechanicky, bez porozumění aplikovat. To ovšem nejen neprospívá jeho PEDAGOGIKA roč. LVIII, 2008

poznání a myšlení, ale naopak to narušuje jeho vnitřní, spontánní zdravé tendence. Kdyby byly součástí zkušenosti i dříve nabyté poznatky (tím spíše pak školní), dala by se konstruktivistická teze „informace jsou asimilovány pouze tehdy, když odpovídají zkušenosti dítěte“ přeložit např. tak, že „učivo musí navazovat na dosud nabyté znalosti a osvojené poznatky“. Co by to říkalo překvapivého či nového? Kde by pak byla radikální konstruktivistická proměna školy? 3. Poznatek je tedy v konstruktivistické perspektivě chápán jako individuální produkt setkání (individuální) zkušenosti s informací (vědeckým, předmětovým, školním poznatkem). Nevzniká (jak jsme si údajně v prekonstruktivistickém období naivně mysleli) pouhým obtiskem (transmisí) slyšeného či čteného do paměti dítěte. Dítě ho musí aktivně konstruovat v souladu se svou zkušeností a s jejím využitím. Je tu podobnost se základní tezí tradiční didaktiky a pedagogické psychologie, že každý nově osvojený poznatek, pojem, koncept se osvojuje v činnosti, v zacházení s ním, a že do tohoto procesu se nutně promítají dosavadní znalosti a dovednosti dítěte, ale také zvláštnosti jeho rodinného prostředí i jeho zvláštnosti individuální, jen zdánlivá? Vezmeme-li tyto terminologické posuny vážně a nikoli jen jako povinnou výbavu radikální rétoriky, pak obsahují, podobně jako celý diskurs konstruktivismu v didaktice matematiky, tyto věcné aspekty: 1. akcent na původní cizost vědeckého poznatku, na jeho nesamozřejmost pro dítě, na určitou nesamozřejmost toho, že mu dítě porozumí; 2. akcent na to, že k osvojení (konstrukci) poznatku dochází prostřednictvím aktivity dítěte, přičemž účinná je tato aktivita zejména tehdy, jde-li o aktivitu zaujatou,

201

identifikuje-li se dítě s úlohu, akceptuje-li ji jako svůj kognitivní problém; 3. akcent na mimovědeckou, mimoškolní, každodenní zkušenost jako jedno z východisek osvojování poznatků a konstrukce zprostředkujících mentálních reprezentací, provizorních konceptů, miskonceptů apod. S tímto poselstvím didaktického konstruktivismu se dá souhlasit, pokud tyto akcenty směřují k momentům osvojování vědeckých poznatků a způsobů myšlení, tak jak běžně ve škole probíhá. Souhlasit se však nedá s vytrhováním těchto momentů z kontextu celkového procesu a s jejich absolutizací jako systémových nedostatků školy. Ve svých reformních tendencích pak tato absolutizace směřuje:

1. ke snížení významu vědeckých poznatků na pouhé informace, mající status náhodného výběru z informační záplavy, které je člověk v dnešním světě vystaven34; 2. k nahrazení aktivit strukturovaných důsledně ve shodě s povahou předávaného systému poznatků aktivitami volenými ad hoc podle jejich okamžitého aktivizačního efektu; 3. k nahrazení systematicky budované individuální poznatkové báze kognitivního vývoje, která koresponduje se základy vědních disciplín jakožto kulturně-historicky produkovaných systémů poznání, sbírkou dovedností, praktik a způsobů uvažování, užitečných a funkčních především v každodenních situacích života dítěte.

Literatura:35 ANDERSON, J.R.; REDER, L.M.; SIMON, H.A. Applications and misapplications of cognitive psychology to mathematics education. Texas Educational Review, 2000, Summer. Dostupné na: . BAROODY, A.J.; GINSBURG, H.P. Children’s learning: A cognitive view. In DAVIS, R.B.; MAHER, C.A.; NODDINGS, N. (Eds.). Constructivist views on the teaching and learning of mathematics. Journal for research in mathematics education, Monograph number 4. National council of teachers of mathematics. 5. vyd. 2004, s. 51-64. DAVIS, R.B.; MAHER, C.A. The nature of mathematics: What do we do when we „do mathematics“? In DAVIS, R.B.; MAHER, C.A.; NODDINGS, N. (Eds.). Constructivist views on the teaching and learning of mathematics. Journal for research in mathematics education, Monograph number 4. National council of teachers of mathematics. 5. vyd. 2004, s. 65-78. DAVIS, R.B.; MAHER, C.A.; NODDINGS, N. (Eds.). Constructivist views on the teaching and learning of mathematics. Journal for research in mathematics education, Monograph number 4. National council of teachers of mathematics. 5. vyd. 2004. HEJNÝ, M. Chyba jako prvek edukační strategie učitele. In HEJNÝ, M.; NOVOTNÁ, J.; STEHLÍKOVÁ, N. (ed.). Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Praha : Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta, 2004, s. 63-92. 34 Nehrozí tím snad snižování významu předmětů a důraz na komunikaci, resp. „klíčové kompetence“ v Rámcových vzdělávacích programech a svoboda volby učiva ve Školních vzdělávacích programech? 35 Významným zdrojem informací a postřehů o konstruktivismu ve vyučování matematiky byly pro mě také debaty a korespondence s Davidem Steinem, doktorandem katedry matematiky a didaktiky matematiky Pedagogické fakulty UK v Praze.

202

HEJNÝ, M. Komunikační a interakční strategie učitele v hodinách matematiky. In HEJNÝ, M.; NOVOTNÁ, J.; STEHLÍKOVÁ, N. (ed.). Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Praha : Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta, 2004, s. 43-61. HEJNÝ, M. Mechanizmus poznávacího procesu. In HEJNÝ, M.; NOVOTNÁ, J.; STEHLÍKOVÁ, N. (ed.). Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Praha : Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta, 2004, s. 23-42. HEJNÝ, M.; KUŘINA, F. Dítě, škola a matematika. Praha : Portál, 2001. HEJNÝ, M.; NOVOTNÁ, J.; STEHLÍKOVÁ, N. (ed.). Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Praha : Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta, 2004. KAŠČÁK, O. Je pedagogika připravená na změny perspektiv? Rekontextualizace pohledů na výchovně-vzdělávací proces pod vlivem radikálního individuálního konstruktivismu a postmoderního sociálního konstruktivismu. Pedagogika, 2002, č. 4, s. 388-414. KIRSCHNER, P.A.; SWELLER, J.; CLARK, R.E. Why minimal guidance during instruction does not work: An analysis of the failure of constructivist, discovery, problem-based, experiential, and inquiry-based teaching. Educational psychologist, 2006, 41, (2), s. 75-86. MAHER, C.A.; DAVIS, R.B. Teacher’s learning: Building representations of children’s meanings. In DAVIS, R.B.; MAHER, C.A.; NODDINGS, N. (Eds.). Constructivist views on the teaching and learning of mathematics. Journal for research in mathematics education, Monograph number 4. National council of teachers of mathematics 5. vyd. 2004, s. 79-90. MÁLKOVÁ, G. Teoretická východiska a evaluace Instrumentálního obohacování Reuvena Feuersteina. Praha, 2007. Diplomová práce. Univerzita Karlova v Praze. Pedagogická fakulta. Katedra pedagogické a školní psychologie. PUPALA, B.; OSUSKÁ, Ľ. Vývoj, podoby a odkazy teórie konštruktivizmu. Pedagogická revue, 2000, č. 2, s. 101-114. SEDLÁKOVÁ, J. Chápání zlomků u dětí ze 7. a 8. třídy. Diplomová práce. Praha, 2006. Univerzita Karlova v Praze. Pedagogická fakulta. Katedra pedagogické a školní psychologie. SEDLÁKOVÁ, M. Vybrané kapitoly z kognitivní psychologie. Praha : Grada, 2004. STEHLÍKOVÁ, N. Konstruktivistické přístupy k vyučování matematice. In HEJNÝ, M.; NOVOTNÁ, J.; STEHLÍKOVÁ, N. (ed.). Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Praha : Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta, 2004, s. 11-21. STERNBERG, R.J. Kognitivní psychologie. Praha : Portál, 2002.


203

Vtéto stati se nijak nesnažím

Recommend Documents