Inovace a zvýšení atraktivity studia optiky reg. č.: CZ.1.07/2.2.00/07.0289
Úlohy k přednášce Vlnová a paprsková optika OPT/VPO1X (řešení úloh pomocí programů OSLO Premium fy Lambda Research a MATLAB)
Zdeněk Bouchal
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
OBSAH:
I. Šíření světla nehomogenním prostředím I.1 I.2 I.3 I.4 I.5 I.6
Prostředí s axiálním gradientem SELFOC – prostředí s radiálním gradientem Gradientní čočka Luneburgova čočka Maxwellova rybí čočka Woodova čočka
II. Paraxiální zobrazování II.1 Zobrazení kuličkou II.2 Afokální čočka II.3 Kuličkový retroreflektor
III. Gaussovský svazek
III.1 III.2 III.3 III.4 III.5 III.6
Volné šíření GS Obecná transformace GS čočkou Fokusace GS čočkou Kolimace GS dvoučlenným systémem Průchod GS nehomogenním prostředím Určení módů SELFOC prostředí
I. Šíření světla nehomogenním prostředím Index lomu se mění v prostoru: n = n(r ) r
Monochromatická EM vlna
r r r r r E (r , t ) = e (r ) exp[iωt + ikϕ (r )] r r r r r H (r , t ) = h (r ) exp[iωt + ikϕ (r )] k=
ω v
=
2π
λ
Maxwellovy rovnice
n trajektorie paprsku
λ →0
Eikonálová rovnice
∇ϕ ⋅ ∇ϕ = n 2
směr paprsku ∇ϕ
Paprsková rovnice
vlnoplocha
r d dr n = ∇n ds ds
r r
ϕ
Typy nehomogenních prostředí Řešení paprskové rovnice: • analytické (s použitím paraxiální aproximace) • numerické (Runge-Kuttova metoda, program Oslo)
(možnost simulace v programu Oslo):
• axiálně-radiální gradient • axiální eliptický gradient • Woodova čočka • SELFOC gradient • sférický gradient • Maxwellova rybí oko • Luneburgova čočka
Úloha I.1: Prostředí s axiálním gradientem Zadání: Určete trajektorii paprsků, které se šíří prostředím, jehož index lomu je určen funkcí n = A + B ⋅ z , kde A a B jsou reálné konstanty. Paprsek leží v rovině (x,z) a v rovině z=0 má vzdálenost x0 od osy z a svírá s ní úhel θ0. Řešení úlohy ověřte simulací šíření paprsku v programu Oslo Premium.
Postup výpočtu: Paprsková rovnice pro axiální změnu indexu lomu :
Použití okrajové podmínky:
Trajektorie paprsku:
d (n sin θ ) = 0 , kde ds z=∫
x( z ) = x0 +
sin θ =
( A + Bz )2 − A2 sin 2 θ 0 A sin θ 0
dx dx = ds dx 2 + dz 2 dx
zA sin θ 0
( A + Bz )2 − A2 sin 2 θ 0
Diskuze výsledku: • Součin n sin θ je v prostředí konstantní – pro libovolnou vzdálenost šíření paprsku je splněn zákon lomu: n( z )sin θ ( z ) = n0 sin θ 0 • Trajektorie paprsku je odlišná pro B1 = B a B2 = - B. • Pro B=0 je trajektorie paprsku přímočará: x( z ) = x0 + z ⋅ tgθ 0
Prostředí s axiálním gradientem – program OSLO Premium
Zadání parametrů prostředí:
Prostředí s axiálním gradientem – program OSLO Premium Zadání parametrů paprsku:
Poloměr vstupního svazku
Úhel zorného pole
Předmětová vzdálenost
Znázornění chodu paprsků:
Podmínky vykreslení paprsků:
Počet paprsků
Počet svazků
Úloha I.2: SELFOC – prostředí s radiálním gradientem Zadání: Určete trajektorii paprsků, které se šíří prostředím, jehož index lomu je určen funkcí n = n0 (1 − α 2 r 2 2 ),
kde n0 a α jsou reálné konstanty a r 2 = x 2 + y.2 Paprsek leží v rovině (r,z) a v rovině z=0 má vzdálenost r0 od osy z a svírá s ní úhel θ0. Řešení úlohy ověřte simulací šíření paprsku v programu Oslo Premium.
Postup výpočtu: Paprsková rovnice upravená s použitím paraxiální aproximace d ds ≈ d dz :
d 2r + α 2r = 0 2 dz
θ0 sin (αz ) α θ = −r0α sin(αz ) + θ 0 cos(αz ) r = r0 cos(αz ) +
Trajektorie paprsku: Sklon paprsku vzhledem k ose z:
Diskuze výsledku: • Paprsky mají periodickou trajektorii, perioda je:
Λ=
2π
α
• Pro paprsky, které v rovině z=0 vycházejí z osy z, má periodická trajektorie amplitudu rmax = θ 0 α . • Pro paprsky, které jsou rovnoběžné s osou z, má periodická trajektorie amplitudu rmax = r0 .
Prostředí SELFOC – program OSLO Premium
perioda:
Λ = 2π nr1
Zadání parametrů prostředí:
nr 2 = nr 3 = nr 4 = 0 : n ≈ n 1 − (nr1r )2 2 0
[
]
Prostředí SELFOC – program OSLO Premium
Poloměr vstupního svazku
Úhel zorného pole
Zadání parametrů paprsku:
Předmětová vzdálenost
Vykreslení paprsků
Paraxiální chod paprsků: poloměr svazku 0.8 mm
Neparaxiální chod paprsků: poloměr svazku 3 mm
Λ = 2π/nr1 = 31.42 mm Chod paprsků ovlivněn sférickou vadou
Prostředí SELFOC – program OSLO Premium
Vykreslení paprsků
Paraxiální chod paprsků: poloměr svazku 0.8 mm, zorné pole 15 o
Nearaxiální chod paprsků: poloměr svazku 3 mm, zorné pole 15 o
Chod paprsků ovlivněn komou
Úloha I.3: Gradientní čočka Zadání: Určete ohniskovou vzdálenost gradientní čočky, která má tloušťku d a je vyrobena ze SELFOC 2 2 materiálu o indexu lomu n = n0 (1 − α r 2 ). Úlohu řešte obecně a následně proveďte vyčíslení pro parametry d=20 mm, n0=1.5 a α=0.05. Správnost výpočtu ověřte pomocí programu Oslo Premium.
Průchod paprsků gradientní (GRIN) čočkou
Z trajektorie paprsku a geometrie určíme: Poloha obrazového ohniskového bodu
z F' =
cos(αd ) n0α sin (αd )
F´
H´
Poloha obrazového hlavního bodu
z H' =
z´H
z´F f´
d
cos(αd ) − 1 n0α sin (αd )
Obrazová ohnisková vzdálenost
f'=
1 n0α sin (αd )
Gradientní čočka – program OSLO Premium Parametry prostředí: n0 = 1.5,
α ≡ nr1 = 0.05 z F' =
cos(αd ) = 8.561 mm n0α sin (αd )
f ´=
1 = 15.845 mm n0α sin (αd )
Zorné pole: 15 0
Gradientní čočka – program OSLO Premium
Zobrazení gradientní čočkou příčné měřítko m = - 0.5
příčné měřítko m = - 1
Úloha I.4: Luneburgova čočka – program Oslo Premium
Zadání: V programu Oslo Premium ověřte funkci Luneburgovy čočky, která umožňuje fokusaci monochromatické rovinné vlny. Znázorněte paprskovou kaustiku pro osový a mimoosový svazek rovnoběžných paprsků dopadajících na čočku. V programu Oslo Premium simulujte činnost teleskopu sestaveného z Luneburgových čoček.
Základní informace: Luneburgova čočka je optické prostředí se sféricky symetrickým, prostorově proměnným indexem lomu, které poskytuje dokonalé geometrické zobrazení dvou koncentrických sfér (jedna sféra se zobrazuje na druhou). Nejjednodušším typem je Luneburgova fokusační čočka (Rudolf Luneburg, 1944), která má tvar koule a je z materiálu, jehož index lomu se od středu čočky k jejímu povrchu zmenšuje. Čočka zobrazuje nekonečně vzdálený předmětový bod na protilehlou plochu čočky.
n =1 Index lomu:
n= 2
r n = 2− R
R
2
r = x2 + y2 + z 2
Eliptická dráha paprsku
R … poloměr čočky
Luneburgova čočka – program Oslo Premium
Parametry čočky: - poloměr kuličky R = nr1 = 5 mm, - n0 = 1, - sgc = 5 mm.
Luneburgova čočka – program Oslo Premium
Vykreslení paprsků
Zorné pole: 15 0
Luneburgův teleskop – program Oslo Premium
Vykreslení paprsků
Dokonalé zobrazení
Zorné pole: 15 0
Optické vady
Úloha I.5: Maxwellova rybí čočka – program Oslo Premium
Zadání: V programu Oslo Premium ověřte funkci Maxwellovy rybí čočky, která umožňuje dokonalé zobrazení monochromatického bodového zdroje. Znázorněte paprskovou kaustiku pro svazky vycházející z osového a mimoosového bodového zdroje.
Základní informace: Maxwellova rybí čočka je optické prostředí se sféricky symetrickým, prostorově proměnným indexem lomu, které má tvar kuličky. Poskytuje dokonalé geometrické zobrazení bodového monochromatického zdroje umístěného na povrchu kuličky – dokonalý obraz vzniká na protilehlé straně kuličky.
n=
n0 2
Index lomu:
n= Zdroj
n = n0 R
Obraz
n0 r 1+ R
2
r = x2 + y2 + z 2
R … poloměr čočky
Maxwellova rybí čočka – program Oslo Premium
Parametry čočky: - poloměr kuličky R = nr1 = 5 mm, - n0 = 1, - sgc = 5 mm.
Maxwellova rybí čočka – program Oslo Premium
Vykreslení paprsků
Úloha I.6: Woodova čočka – program Oslo Premium
Zadání: Navrhněte parametry při kterých bude Woodova čočka transformovat svazek rovnoběžných paprsků jako spojná a rozptylná čočka. Proveďte propočet paprsků Woodovou čočkou v programu Oslo Premium.
Základní informace: Woodova čočka je optické prostředí s radiálním gradientem indexu lomu. V programu Oslo Premium je index lomu určen vztahem n = n0 + nr1r 2 . Podle záporné nebo kladné hodnoty koeficientu nr1 Woodova čočka působí jako spojka nebo rozptylka.
Pro určení optických parametrů Woodovy čočky může být použit stejný postup jako v případě SELFOC čočky:
SELFOC čočka:
(
n = n0 1 − α r 2 2 2
)
n0α 2 nr1 = − 2
Woodova čočka:
n = n0 + nr1r 2 .
pro αd << 1 : f ´=
1 n0α sin (αd )
d Ktloušťka čočky
Obrazová ohnisková vzdálenost:
f ´≈ −
1 , 2nr1d
nr1 < 0 K spojka nr1 > 0K rozptylka
Woodova čočka – program Oslo Premium
Parametry prostředí: n0 = 1.5, d = 10 mm nr1 = −0.0035
Spojná Woodova čočka f' ≈−
1 = 14.3 mm 2nr1d
(předpoklad d nr1<<1)
Woodova čočka – program Oslo Premium Průchod paprsků Woodovou čočkou
Spojná Woodova čočka
Rozptylná Woodova čočka
n0 = 1.5, d = 10 mm
n0 = 1.5, d = 10 mm
nr1 = −0.0035 f' ≈−
1 = 14.3 mm 2nr1d
nr1 = 0.0035 f' ≈−
1 = −14.3 mm 2nr1d
II. Paraxiální zobrazování Úlohy paraxiálního zobrazování lze řešit pomocí maticového formalismu: Vstupní paprsek
Výstupní paprsek
x1, ϕ1
Optický systém
x2, ϕ2
Transformační matice optických systémů Fokusační systém A=0
x 2 A B x1 ϕ = C D ϕ 1 2
Afokální systém C=0
M . . . matice soustavy
Volné šíření (homogenní prostředí)
ϕ 2 = Dϕ1 D . . úhlové zvětšení
x 2 = Ax1 B=0
A . . . příčné měřítko
Kolimační systém D=0
ϕ 2 = Cx1
Základní transformační matice Průchod sférickým n2 rozhraním 1 0 M = (n1 − n2 ) / R 1
n1
n
x2 = Bϕ1
Zobrazovací systém
L
Tenká čočka
1 M = 1 / f
Odraz: 1 L / n M = 1 0
R
0 1 M = 2n1 / R 1
f . . . předmětová ohnisková vzdálenost
0 1
Úloha II.1: Zobrazování skleněnou kuličkou
Zadání: Určete paraxiální optické parametry skleněné kuličky, která je vyrobena ze skla o indexu lomu n = 3/2 a má poloměr R = 5 mm. Kulička je umístěna ve vzduchu. V programu Oslo Premium proveďte simulaci fokusace a vykreslete paprskovou kaustiku pro osový a mimoosový předmětový bod..
M1
M2 n
M3
M4
Obrazová ohnisková rovina ( A = 0 ) : M5
H´
F´
R
z´H
z´F
2R K −1 n −1 ' n , K= zF = R 2R K K − 2 n Obrazová hlavní rovina ( A = 1) :
f´ z H' =
A B M = = M 5M 4 M 3M 2 M1 C D
2R n 2R K −2 n
Obrazová ohnisková vzdálenost : 1 f ' = z F' − z H' = 2R K2 − K n
Fokusace svazku skleněnou kuličkou – program Oslo Premium
n = 3 / 2, R = 5 mm z F' = 2.5 mm f ' = 7.5 mm
Zorné pole: 15 0
Úloha II.2: Návrh afokální čočky Zadání: Navrhněte optické parametry afokální čočky, která pracuje jako teleskop Keplerova typu s úhlovým zvětšením Γ = - 2 a Galileova typu Γ = 2. Čočka je vyrobena ze skla o indexu lomu n = 3/2 a je umístěna ve vzduchu.
M1
M2
M3
Postup návrhu: - Volba poloměru R1
R1
n
R2
- Podmínka afokálnosti: C = 0 - Úhlové zvětšení: Γ=D
d
A B M = = M 3M 2M1 C D
R1 , Γ n(R1 − R2 ) d= . n −1 R2 =
Návrh afokální čočky
Afokální čočka Keplerova typu: n = 3/2, R1 = 50 mm, Γ = -2 R2 = -25 mm, d = 225 mm
Afokální čočka Galileova typu: n = 3/2, R1 = 50 mm, Γ = 2 R2 = 25 mm, d = 75 mm
Úloha II.3: Návrh kuličkového retroreflektoru Zadání: Navrhněte poloměr a index lomu skleněné kuličky s odraznou vrstvou, která pracuje jako retroreflektor. Kulička je umístěna ve vzduchu.
Skleněná kulička
M2
M1
M1 … průchod předním rozhraním M2 … šíření paprsku uvnitř kuličky
Odrazná vrstva
2 − n M = M 2M1 = n 1− n R
n
R
Podmínka fokusace A=0:
n=2
2R n 1
Kuličkový retroreflektor – program Oslo
Paraxiální svazek paprsků
Široký svazek paprsků – optické vady
III. Gaussovský laserový svazek
Gaussovský svazek má kruhově symetrickou stopu - jeho intenzitní profil je určen Gaussovou funkcí. Je to základní typ svazku, který je vyzářen ideálním laserem.
Řešení Helmholtzovy rovnice v paraxiální aproximaci
Metody popisu gaussovského svazku
Zobecněná paraboloidní vlna (nahrazení souřadnice komplexním parametrem)
Rovinná vlna propuštěná gaussovskou amplitudovou maskou
Matematický popis gaussovského svazku konstantní amplituda
amplitudový tvar Gouyův osová profil vlnoplochy fázový posuv amplituda
oscilační členy
r2 kr 2 w0 z exp iarctg exp (iωt − ikz ) exp − 2 exp i Komplexní amplituda: U (r , z ) = A w q0 w 2R Intenzita:
2r 2 w02 I (r , z ) = I 0 2 exp − 2 w w
Parametry svazku w0 …… pološířka (poloměr) pasu svazku q0 …… Rayleighova vzdálenost w …… pološířka (poloměr) svazku ve vzdálenosti z od pasu R ……. poloměr křivosti vlnoplochy k ……. vlnové číslo ω …… kruhová frekvence 2 0
kw q0 = 2
z2 w = w0 1 + 2 q0
1/ 2
q 02 R = z1 + 2 z
Znázornění gaussovského svazku
I0
Vlnoplocha I0 / e 2
w
w0
Profil intenzity Poloměr pasu svazku je definován jako vzdálenost od osy ve které intenzita poklesne z hodnoty I0 na hodnotu I0/e2.
S rostoucí vzdáleností od pasu se stopa svazku rozšiřuje a klesá osováintenzita. Ve vzdálenosti q0 od pasu osová intenzita klesne na polovinu.
I
z2 I (0, z ) = I 0 1 + 2 q0
−1
I0
Osová intenzita
I0 /2 q0
z
Maticová transformace gaussovského svazku Gaussovský svazek odpovídá paraxiální (paraboloidní) vlně u které je souřadnice z nahrazena komplexním parametrem q=z+iq0. Paraboloidní vlna
kr 2 A U = exp − i z 2z
Gaussovský svazek
X
kr 2 A U = exp − i q 2 q
Komplexní parametr: q = z + iq0
Vztah komplexního parametru a geometrických parametrů svazku
1 1 2 = −i 2 q R kw Maticová transformace komplexního parametru Vstupní svazek q1
A B M = C D
q2 =
Aq1 + B Cq1 + D
Výstupní svazek q2
Transformace gaussovského svazku čočkou M2
pas vstupního svazku w01 M1 F
pas transformovaného svazku w02 M3 F´ l2
l1 komplexní parametr v rovině pasu: q1=iq01
z1
z2
komplexní parametr v rovině pasu: q2=iq02
Maticová transformace mezi rovinami pasu: A B M ≡ = M 3M 2M1 C D Vyjádření komplexního parametru transformovaného svazku v rovině pasu
q 2 = iq 02
X
2 ACq 01 + BD + iq 01 q2 = 2 C 2 q 01 + D2
Porovnání reálné a imaginární části: Reálná část
určuje polohu pasu transformovaného svazku
Imaginární část
určuje poloměr pasu transformovaného svazku
Výsledky transformace svazku čočkou
Poloha pasu transformovaného svazku
Poloměr pasu transformovaného svazku
2 2 z1 z1 q 01 z 2 1 − 1 + = 1 + + f ' f ' f ' f '
Poloha pasu transformovaného svazku z2 je určena polohou pasu vstupního svazku z1 a jeho Rayleighovou vzdáleností q01.
2 2 z1 q 01 w01 = w02 1 + + f ' f '
Poloměr pasu transformovaného svazku w02 je určen poloměrem pasu vstupního svazku w01 a jeho polohou z1.
Zápis transformace pomocí příčného měřítka „m“ Přeznačení polohy pasu: Poloha pasu vstupního svazku vzhledem k předmětovému ohniskovému bodu: Poloha pasu výstupního svazku vzhledem k obrazovému ohniskovému bodu:
w02 = m ⋅ w01 ,
θ2 =
l2 = m ⋅ l1
1 ⋅ θ1 , m
m=
2
Speciální případ: Pas vstupního svazku je v předmětové ohniskové rovině čočky
l1 = 0,
l2 = 0
1/ 2
m=
f´ q01
l1 = f ´+ z1 l2 = f ´− z 2
f´ 2 l12 + q01
Úloha III.1: Volné šíření Gaussovského svazku
Zadání: Svazek He-Ne laseru (λ=632.8 nm) se šíří volným prostorem a ve vzdálenosti L od pasu vytváří na stínítku kolmém k ose svazku stopu s gaussovským profilem o poloměru w. Určete poloměr pasu svazku w0 tak, aby stopa vytvořená na stínítku mělo co nejmenší poloměr. Výsledný vztah vyčíslete pro L=500 mm a ověřte ho s použitím programu Oslo Premium.
Poloměr svazku ve vzdálenosti z=L:
Podmínka minimalizace stopy svazku:
L2 πw02 w = w0 1 + 2 , kde q0 = q0 λ ∂w =0 ∂w0
Optimální poloměr pasu svazku:
Minimální poloměr stopy:
w0 =
λL π
w = 2 w0 =
2λL
π
Volné šíření Gaussovského svazku Parametry: λ=632.8 nm, L=500 mm
w0 =
λL = 0.317mm, w = 2 w0 = 0.4488mm π
Úloha III.2: Obecná transformace gaussovského svazku čočkou
Zadání: Svazek laseru Verdi V2 (λ=532 nm) je transformován čočkou o ohniskové vzdálenosti f´=50 mm. Určete polohu a poloměr pasu transformovaného svazku, víte-li, že vstupní svazek má poloměr pasu w01=0.2 mm a je umístěn do předmětové ohniskové roviny čočky. Vlastní výpočet ověřte pomocí programu Oslo Premium. Pro simulaci transformace použijte ideální čočku („Perfect Lens“).
Rayleighova vzdálenost vstupního svazku:
πw012 q0 = = 236.21mm λ
Příčné měřítko zobrazení:
m=
Poloha pasu vstupního svazku:
Poloha pasu transformovaného svazku: Poloměr pasu transformovaného svazku:
f´ = 0.2116 q0 l1 = 0
l2 = 0
w02 = mw01 = 0.04232mm
Obecná transformace gaussovského svazku čočkou
Vypočtené parametry: w01=0.2 mm q0=236.21 mm w02=0.04232 mm
Úloha III.3: Fokusace gaussovského svazku čočkou Zadání: Svazek He-Ne laseru, který má vlnovou délku λ=632 nm, výkon P=20 mW a poloměr pasu
w0=0.45 mm, má být navázán do optického vlákna o poloměru ρ=1.5 µm. Navázání se provede tak, že svazek je na čelo vlákna fokusován pomocí mikroskopového objektivu. Určete ohniskovou vzdálenost objektivu, při které za předpokladu ideální justáže zachytí čelo vlákna 70 % výkonu svazku dopadajícího na objektiv. Příčné omezení vstupního svazku objektivem neuvažujte. Fokusaci svazku ověřte v programu Oslo Premium.
Výkon fokusovaného svazku zachycený čelem vlákna:
2 ρ 2 P = P0 1 − exp − '2 w0
Poloměr pasu fokusovaného svazku pro zachycený výkon
Ohnisková vzdálenost objektivu (q0>>f’):
P : P0
2ρ 2 w = − P ln1 − P0 ' 0
πw0 w0' f ´= λ
Fokusace gaussovského svazku čočkou – program Oslo Premium
Zadané parametry: λ=632,8 nm w0=0.45 mm ρ=1.5 µm P/P0=0.7 Vypočtené parametry: w’0=1.93 µm f´=4.32 mm
Úloha III.4: Návrh laserového rozšiřovače Zadání: Gaussovský svazek He-Ne laseru o vlnové délce λ = 633 nm má poloměr pasu w0=0.2 mm. Navrhněte dvoučlenné laserové rozšiřovače Keplerova a Galileova typu, které vstupní svazek transformují na svazek s Rayleighovou vzdáleností q’0=1.8 m. Při návrhu systému respektujte podmínku, aby stavební délka systému byla L=200 mm. Funkčnost navrženého systému ověřte v programu OSLO Premium.
f’2
f’1 w0=w01 F1
w’01=w02
w’02=w’0
F’1=F2
F’2 L
Rayleighova vzdálenost vstupního svazku:
πw02 q0 = λ
Transformace pasu svazku 1. a 2. členem rozšiřovače:
Pološířka pasu svazku za rozšiřovačem:
f1' w = w0 = w02 , q0
f 2' w = ' w0 , f1 ' 0
' 01
f1' + f 2' = L
f 2' w = w02 q02 ' 0
λqo' w = π ' 0
Návrh laserového rozšiřovače – program Oslo Premium Rozšiřovač Keplerova typu ( f1' > 0) Požadavek: L = 200 mm, w0 = 0.2 mm, q0' = 1.8 m ⇒ w0' = 0.6 mm
Lw0 f = = 50 mm, w0 + w0' ' 1
Lw0' f = = 150 mm w0 + w0' ' 2
Návrh laserového rozšiřovače – program Oslo Premium Rozšiřovač Galileova typu
(f
' 1
>0
)
Požadavek: L = 200 mm, w0 = 0.2 mm, q0' = 1.8 m ⇒ w0' = 0.6 mm
Lw0 f = = −100 mm, w0 − w0' ' 1
Lw0' f = ' = 300 mm w0 − w0 ' 2
Úloha III.5: Šíření gaussovského svazku prostředím SELFOC Zadání: Proveďte matematický popis šíření gaussovského svazku prostředím SELFOC s indexem lomu n = n0 (1 − α 2 r 2 2 ), kde n0 a α jsou reálné konstanty a r2=(x2+y2). Diskutujte podmínky šíření svazku v
závislosti na jeho poloměru pasu. Gradientní prostředí je omezeno rovinnými plochami, na které svazek dopadá kolmo. Pas svazku leží na vstupní ploše prostředí, prostředí má tloušťku L. Úlohu řešte s použitím paraxiální aproximace.
Transformační matice pro SELFOC prostředí:
pas vstupního svazku
1 A B cos(αL ) sin (αL ) M = = L C D − α sin (αL ) cos(αL )
Rovina z=0: q = iq0
Rovina z=L:
1 1 λ i = − q ' R ' πw' 2
w0, q
w’, q’ L
z=0
z=L
Aq + B Maticová q' = transformace: Cq + D
Parametry svazku v rovině z=L Poloměr svazku w’:
λ (A2 q02 + B 2 ) w = ⋅ π q0 '
Poloměr křivosti vlnoplochy R’:
A2 q02 + B 2 R = ACq02 + BD '
Šíření gaussovského svazku prostředím SELFOC Diskuze speciálních případů
Případ I.
w0 =
λ απ
w' = w0
Pro libovolnou vzdálenost L platí:
Případ II.
w0 <
Svazek má uvnitř gradientního prostředí konstantní poloměr a rovinnou vlnoplochu – šíří se bez difrakční rozbíhavosti. Difrakce vstupního svazku je přesně kompenzována refrakcí prostředí.
R' = ∞
λ απ mπ
Případ III.
Pro vzdálenosti
z=
Pro vzdálenosti
(2m + 1)π : z=
α
:
2α
w' = w0 R' = ∞
w' =
λ > w0 απw0
R' = ∞
Poloměr vstupního svazku je pro dané prostředí malý, takže se svazek nejprve difrakcí rozšiřuje a ve vzdálenosti z=(2m+1)π/2α dosahuje maximálního poloměru. Pak se vlivem refrakce zúžuje až na původní poloměr w0. Tento vývoj svazku se v prostředí periodicky opakuje.
Pro vzdálenosti
Pro vzdálenosti
λ απ mπ : z= α
w0 >
(2m + 1)π : z= 2α
w' = w0 R' = ∞
w' =
λ < w0 απw0
R' = ∞
Poloměr vstupního svazku je pro dané prostředí velký, takže refrakce překonává difrakci a ve vzdálenosti z=(2m+1)π/2α fokusuje svazek do stopy s minimálním Poloměrem. Pak se svazek zase difrakcí rozšiřuje na původní poloměr w0. Tento proces probíhá periodicky.
Šíření gaussovského svazku prostředím SELFOC – simulace MATLAB Případ I: Refrakce kompenzuje difrakci
Případ II: Difrakce vstupního svazku silnější než refrakce
Případ III: Refrakce silnější než difrakce vstupního svazku
Úloha III.6: Určení módů SELFOC prostředí Zadání: Proveďte matematický popis monochromatických módů s obecným tvarem skalární komplexní amplitudy U=u(x,y) exp(iωt-iβz), které se šíří SELFOC prostředím s indexem lomu n=n0[1-α2(x2+y2)/2]. Módy prostředí určete řešením Helmholtzovy rovnice. Podmínku pro existenci módů SELFOC prostředí porovnejte s podmínkou pro kompenzaci difrakce refrakcí, která byla stanovena pro gaussovský svazek použitím maticové metody .
Předpoklady:
Helmholtzova rovnice :
- skalární aproximace r - zanedbání členu ∇(∇ε ⋅ E ε ) - separovatelnost u(x,y)
Označení: k02 = ω 2ε 0 µ0 n02 ,
Separace proměnných: u (ξ ,η ) = X (ξ )Y (η )
ξ = x k0α , η = y k0α
Substituce:
(
~ X = X exp − ξ 2 / 2 ~ Y = Y exp − η 2 / 2
(
∇ 2U + ω 2εµ 0U = 0,
)
)
(
ε = n02 [1 − α 2 (x 2 + y 2 )] ε0
)
d2X + Λ x − ξ 2 X = 0, 2 dξ
(
)
d 2Y + Λ y − η 2 Y = 0, 2 dη
~ ~ d2X dX ~ ( ) ξ 2 1 − + Λ − X =0 x dξ 2 dξ ~ ~ d 2Y dY ~ − 2η + (Λ y − 1)Y = 0 2 dη dη
Λ = Λx + Λy k02 − β 2 Λ= k0α
Řešení:
~ X ≡ H m (ξ ),
m = (Λ x − 1) / 2
~ Y ≡ H n (η ),
n = (Λ y − 1) / 2
H m , H n K Hermiteovy polynomy
Určení módů SELFOC prostředí
Hermiteovské - gaussovské módy pro SELFOC prostředí:
(
) (
)
kα U mn = H m x k0α H n y k0α exp − 0 x 2 + y 2 − iβ mn z , 2 kde
β mn = k0 1 −
2α (m + n + 1) k0
(
)
módy mají rozdílné konstanty šíření – módová disperze
m=n=0: Gaussovský svazek
(
)
x2 + y2 k0α 2 exp − exp x + y2 ≡ − 2 w0 2
(
)
w0 =
λ απ
Gaussovský svazek se šíří SELFOC prostředím jako nedifraktující mód pouze tehdy, když je jeho poloměr pasu přizpůsoben vlnové délce a gradientu indexu lomu, který je vyjádřen pomocí konstanty α . V tomto případě je difrakční rozbíhavost kompenzována refrakcí prostředí. Identická podmínka pro poloměr pasu vedeného svazku byla získána pomocí maticového popisu šíření gaussovského svazku SELFOC prostředím.
Módy SELFOC prostředí – numerické vyhodnocení v programu MATLAB
Intenzita H-G módů
I mn = U mn
Vyčíslení Hermiteových polynomů:
2
H 0 ( x ) = 1,
H 1 ( x ) = 2 x,
H n +1 ( x ) = 2 xH n (x ) − 2nH n −1 ( x )
