OK (řešení úloh pomocí programů OSLO Premium fy Lambda Research)

Inovace a zvýšení atraktivity studia optiky reg. č.: CZ.1.07/2.2.00/07.0289

Řešené úlohy k přednáškám

Optika anizotropních prostředí OPT/ANIZ Optika krystalů OPT/OK (řešení úloh pomocí programů OSLO Premium fy Lambda Research)

Zdeněk Bouchal

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

OBSAH:

I. Simulace ideálních polarizačních prvků pomocí transformačních matic

I.1 I.2 I.3 I.4 I.5 I.6 I.7

Ideální polarizátor Soustava ideálních polarizátorů Půlvlná fázová destička Čtvrtvlná fázová destička Normální polarizační módy fázové destičky Soustava polarizátoru, fázové destičky a analyzátoru Simulace Lyotova filtru

II. Trasování paprsků anizotropními optickými prvky a systémy

II.1 Průchod paprsků Wollastonovým hranolem II.2 Průchod paprsků Rochonovým hranolem II.3 Průchod paprsků Sénarmontovým hranolem

Úloha I.1 Ideální polarizátor

Zadání: Sestavte transformační matici ideálního polarizátoru propustného pro kmitosměr elektrického pole, který svírá s osou x úhel ϕ. Vypočtěte propustnost polarizátoru pro lineárně polarizovanou vstupní vlnu s kmitosměrem, který svírá s osou x úhej Φ a pro kruhově polarizovanou vstupní vlnu. Činnost polarizátoru simulujte v programu Oslo Premium a proveďte kontrolu obecných vztahů vyčíslením pro ϕ=π/6 a Φ=-π/10.

Polarizátor propustný ve směru ϕ y

Polarizátor propustný v ose x y

Matice polarizátoru:

1 0 Px =   0 0  

x Výstupní polarizace

P = R−ϕ Px Rϕ J J =  J

' x ' y

x

  

Matice rotace:

 cos ϕ Rϕ =  − sin ϕ

sin ϕ  cos ϕ 

Polarizátor Výstupní polarizační stav Vstupní polarizace

J x  J =  J y  Vstupní intenzita:

+

I = J ⋅ J =1

1   2 ϕ ϕ J cos + J sin 2 y  x  2 J ´= PJ =   1 2  J x sin 2ϕ + J x sin ϕ  2  Výstupní intenzita 2

I ´= J x cos 2 ϕ + J y sin 2 ϕ + 2

(

)

1 J x J *y + J x* J y sin 2ϕ 2

Ideální polarizátor – simulace Oslo Premium Postup A: Zadání výsledné matice polarizátoru propustného ve směru ϕ Směr propustnosti polarizátoru: ϕ = π/6 (vztaženo k ose x) Směr kmitů vstupní lineární polarizace Φ = - π/18 (vztaženo k ose x)

Matice polarizátoru:

 cos 2 ϕ sin ϕ cos ϕ  P=  sin 2 ϕ  sin ϕ cos ϕ

Lineární polarizace: Kmitosměr (vztažený k ose y)

Zadání vstupní polarizace:

Ideální polarizátor – simulace Oslo Premium Postup B: Přímé zadání matic otočení do úhlu ϕ, matice polarizátoru pro směr propustnosti v ose x Rotace: Rϕ

P = R−ϕ Px Rϕ Polarizátor propustný v ose x: Px

Zpětná rotace: R-ϕ

Ideální polarizátor – výsledek simulace Oslo Premium Postupy zadání polarizátoru A a B dávají identické výsledky

Lineární vstupní polarizace: Φ = - π/18 (vztaženo k ose x)

J x = cos Φ, J y = sin Φ

Orientace polarizátoru: ϕ = π/6 (vztaženo k ose x) I´=0.5868 2

I ´= J x cos 2 ϕ + J y sin 2 ϕ + 2

(

Kruhová vstupní polarizace: Orientace polarizátoru: ϕ = π/6 (vztaženo k ose x)

I´=0.5

)

1 J x J *y + J x* J y sin 2ϕ 2

1 , 2 i Jy = 2 Jx =

Úloha I.2 Soustava „N“ ideálních polarizátorů Zadání: Lineárně polarizovaná vlna s kmitosměrem orientovaným v ose x prochází přes soustavu N

polarizátorů, které jsou nastaveny tak, že první je propustný ve směru, který s osou x svírá úhel ϕ1=π/(2N), j-tý v úhlu ϕj=jπ/(2N) a N-tý v úhlu ϕN=Nπ/(2N). Pomocí programu Oslo Premium ověřte, že prošlý svazek je lineárně polarizovaný podél osy y a má intenzitu I’=[cos(π/2N)] 2N.

Oslo Premium - ověření pro N=4

8

  π  I ' = cos  = 0.53   8 

Úloha I.3 Půlvlná fázová destička

Zadání: Sestavte transformační matici ideální půlvlné fázové destičky, jejíž optická osa leží v rovině (x,y) a svírá s

osou x úhel ϕ. Určete polarizační stavy za fázovou destičkou pro lineárně polarizovanou vstupní vlnu, jejíž kmitosměr svírá s osou x úhel Φ a pro levotočivě kruhově polarizovanou vstupní vlnu. Činnost půlvlnné fázové detičky simulujte v programu Oslo Premium. Kontrolu obecných vztahů proveďte vyčíslením pro ϕ=π/8 a Φ=0.

y

Polarizace výstupní vlny J’

x y

Y

X

Fázová destička

ϕ

Fázová destička je planparalelní destička vyrobená z jednoosého anizotropního materiálu (krystalu), tak, že optická osa krystalu leží v rovině destičky a svírá s osou x úhel ϕ. Normální módy polarizované podél osy X (optická osa krystalu) a osy Y se šíří rozdílnými fázovými rychlostmi c/ne a c/no, kde ne a no značí mimořádný a řádný index lomu prostředí. Při průchodu fázovou destičkou proto dochází k zavedení fázového rozdílu mezi polarizační složky kmitající podél os X a Y:

Optická osa krystalu x

d Polarizace vstupní vlny J

∆Γ =

2π

λ

d (ne − no )

Půlvlná fázová destička: ∆Γ = π → d =

λ

2(ne − no )

Transformační matice fázové destičky pro osy X a Y: 0 exp(− i ∆Γ 2)  W0 =  0 exp(i ∆Γ 2) 

y x

Vstupní a výstupní polarizace je určena pomocí složek kmitajících podél os x a y, proto je nutné provést otočení do směru os X a Y, pro které známe fázové ryclosti šíření:

Výsledná matice fázové destičky:

W = R −ϕ W 0 Rϕ

Výstupní polarizační stav:

J ' = WJ

Půlvlná fázová destička – simulace Oslo Premium Rotace: Rϕ

Parametry destičky: ∆Γ = π ,

ϕ =π 8

Matice půlvlné destičky v osách X a Y: W0

W = R−ϕW0 Rϕ Zpětná rotace: R-ϕ

Půlvlná fázová destička a lineárně polarizovaná vstupní vlna – simulace Oslo Premium

Jonesův vektor vstupní polarizace:

Jonesův vektor výstupní polarizace:

Obecný polarizační stav: J =

cos Φ  J =   sin Φ  cos(2ϕ − Φ ) J ' = WJ =    sin (2ϕ − Φ )

 ax   iδ  a x2 + a y2 a y e  1

Stokesovy parametry polarizačního stavu: (S 0 , S1 , S 2 , S3 )

Parametry transformace: Φ = 0,

ϕ = π 8 → ∆Φ = π 4

Stokesovy parametry výstupní polarizace: (1,0,1,0)

Lineárně polarizovaná vlna zůstává po průchodu půlvlnou destičkou lineárně polarizovaná ale její kmitosměr je stočen o úhel:

∆Φ = 2(ϕ − Φ )

S 0 = 1,

S1 = a x2 − a 2y ,

S 2 = 2a x a x cos δ ,

S 2 = 2a x a x sin δ .

Půlvlná fázová destička a kruhově polarizovaná vstupní vlna – simulace Oslo Premium

Jonesův vektor kruhové polarizace: J =

Jonesův vektor výstupní polarizace:

Parametry transformace:

1 2

1 ± i   

J ' = WJ =

δ = ±π 2,

1 2

1 m i   

ϕ =π 8

Stokesovy parametry výstupní polarizace: (1,0,0,1)

Kruhově polarizovaná vlna zachovává kruhovou polarizaci i po průchodu půlvlnou destičkou ale směr otáčení se mění na opačný (vlna s pravotočivou kruhovou polarizací se mění na levotočivou a naopak). Transformace nezávisí na směru optické osy krystalu.

Úloha I.4 Čtvrtvlná fázová destička Zadání: Při vhodně zvoleném úhlu mezi kmitosměrem vstupní lineárně polarizované vlny a optickou osou krystalu čtvrtvlné fázové destičky dojde k transformaci lineární polarizace na kruhovou. Je-li vstupní vlna lineárně polarizovaná ve směru osy x, určete v jakém úhlu ϕ vzhledem k ose x musí být nastavena optická osa krystalu čtvrtvlné destičky, aby výstupní vlna měla pravotočivou nebo levotočivou kruhovou polarizaci. Nastavení ověřte v programu Oslo Premium.

∆Γ =

2π

λ

Čtvrtvlná fázová destička:

d (ne − no )

∆Γ = π 2 → d =

λ

4(ne − no )

Transformační matice čtvrtvlné destičky pro osy X a Y: 0 exp(− i ∆Γ 2 )  1 1 − i 0  W0 =  =   0 exp(i ∆Γ 2) 2  0 1 + i 

Nastavení fázové destičky

ϕ=±

π 4

1 J =  0

Vstupní polarizace:

Výstupní polarizace:

J ' = R−ϕW0 Rϕ J =

Výstupní polarizace:

J '=

1 2

1 2

1 − i cos 2ϕ   − i sin 2ϕ   

1 m i   

Závěr: Je-li optická osa krystalu čtvrtvlné destičky orientovaná v úhlu ϕ = ± π 4 vzhledem k ose x, pak vstupní vlna s horizontální polarizací bude mít po průchodu destičkou pravotočivou nebo levotočivou kruhovou polarizaci. Transformace probíhá i reverzně – vstupní vlna s pravotočivou kruhovou polarizací je čtvrtvlnou destičkou přeměněna na horizontálně polarizovanou vlnu.

Čtvrtvlná fázová destička – simulace Oslo Premium Nastavení ϕ = π/4

Nastavení ϕ = - π/4

Úloha I.5 Normální polarizační módy půlvlné fázové destičky

Zadání: Výpočtem určete normální polarizační módy půlvlné fázové destičky, jejíž optická osa

svírá s osou x úhel ϕ. Nalezené normální módy ověřte v programu Oslo Premium pro nastavení optické osy ϕ=π/6.

Definice normálních polarizačních módů systému: Jsou tp polarizační stavy J, které se při průchodu systémem o transformační matici W nemění. Matematické vyjádření:

WJ = qJ ,

qK konst.

Podmínka normálních polarizačních módů pro půlvlnou fázovou destičku s optickou osou v úhlu ϕ:

R−ϕW0 Rϕ J = qJ ,

Řešení:

cos ϕ  J =   sin ϕ 

Normálním polarizačním módem půlvlné fázové destičky je vlna lineárně polarizovaná ve směru optické osy destičky.

Normální polarizační módy půlvlné fázové destičky – simulace Oslo Premium

Zadání půlvlné destičky s optickou osou v úhlu ϕ=π/6: Rϕ … otočení o úhel ϕ=π/6 W 0 … půlvlná destička R-ϕ … otočení o úhel - ϕ

Vstupní vlna polarizovaná v úhlu Φ=ϕ=π/6: polarizační stav se nemění

Vstupní vlna polarizovaná v úhlu Φ=−ϕ=−π/6: lineární polarizace se mění na eliptickou

Úloha I.6 Soustava fázové destičky, polarizátoru a analyzátoru Zadání: Vypočtěte propustnost systému, který je tvořen fázovou destičkou o zpoždění ∆Γ umístěnou mezi polarizátor a analyzátor. Optická osa fázové destičky svírá s osou x úhel ϕ, polarizátor i analyzátor propouštějí kmity elektrické intenzity orientované podél osy y. Obecné vztahy ověřte pomocí programu Oslo Premium pro parametry ∆Γ=π a ϕ=π/6, π/4 a 0. Vstupní vlnu uvažujte kruhově polarizovanou.

Analyzátor

A

WS = AR−ϕW0 Rϕ P

Matice soustavy:

Výstupní polarizační stav: y

Fázová destička

Optická osa krystalu ϕ

R−ϕW0 Rϕ

Propustnost systému:

x

T ≡ I ' = J '+ ⋅ J ' =

Polarizátor

P

J ' = WS J

[

1 cos 2 (∆Γ / 2) + sin 2 (∆Γ / 2) cos 2 2ϕ 2

Speciální případy nastavení:

1 2

ϕ = 0 → I'= , Vstupní polarizace

J

ϕ=

π 4

→ I ' = 0.

]

Soustava fázové destičky, polarizátoru a analyzátoru – simulace Oslo Premium Zadání parametrů soustavy

Polarizátor propustný ve směru osy y Otočení o úhel ϕ Půlvlná fázová destička ∆Γ=π Otočení o úhel - ϕ Polarizátor propustný ve směru osy y

Parametry fázové destičky:

∆Γ = π ,

ϕ =0

Vstupní polarizace:

J=

1 2

1 ± i   

Propustnost systému:

T=

[

]

1 cos 2 (∆Γ / 2) + sin 2 (∆Γ / 2) cos 2 2ϕ = 0.5 2

Soustava fázové destičky, polarizátoru a analyzátoru – simulace Oslo Premium

Parametry fázové destičky:

∆Γ = π ,

ϕ =π /4

Vstupní polarizace:

J=

1 2

1 ± i   

Propustnost systému:

T=

[

]

1 cos 2 (∆Γ / 2) + sin 2 (∆Γ / 2 ) cos 2 2ϕ = 0 2

Parametry fázové destičky:

∆Γ = π ,

ϕ =π /6

Vstupní polarizace:

J=

1 2

1 ± i   

Propustnost systému:

T=

[

]

1 cos 2 (∆Γ / 2 ) + sin 2 (∆Γ / 2) cos 2 2ϕ = 0.125 2

Úloha I.7 Lyotův filtr Schéma Lyotova filtru (N=4)

J’ Výsledná matice N - členného systému:

W4

W = WN KW2W1

P W3

Výstupní polarizační stav:

P W2

P W1 ϕ

P

FD (2 ∆Γ)

Fázová destička (zpoždění ∆Γ) Polarizátor

P J

FD (4 ∆Γ)

FD (8 ∆Γ)

J ' = WJ

Propustnost N - členného systému:

(

)

 sin 2 N ∆Γ / 2  T = N   2 sin (∆Γ / 2) 

2

Lyotův filtr je soustava fázových destiček, které jsou umístěny mezi polarizátory s rovnoběžnými směry propustnosti. Fázové destičky mají rovnoběžné optické osy, které se směrem propustnosti polarizátorů svírají úhel ϕ = π/4. Tloušťka fázových destiček se mění tak, že následující destička má dvojnásobnou tloušťku něž předcházející. Má-li tedy první fázová destička fázové zpoždění ∆Γ, pak n-tá fázová destička zavádí fázové zpoždění 2(n-1)∆Γ.

Lyotův filtr – simulace Oslo Premium Zadání Lyotova filtru pro N = 4

Parametry: ϕ = p/4 ∆Γ=π/16

P Rϕ FD ∆Γ R- ϕ P Rϕ FD 2∆Γ R- ϕ P Rϕ FD 4∆Γ R- ϕ P Rϕ FD 8∆Γ R- ϕ P

Lyotův filtr – výsledky Oslo Premium

Propustnost Lyotova filtru pro N = 4:

(

)

2

 sin 2 4 ∆Γ / 2  T = 4  = 0.40 ( ) 2 sin ∆Γ / 2  

Úloha II.1 Průchod paprsků Wollastonovým hranolem Wollastonův hranol je tvořen dvěma pravoúhlými hranoly vyrobenými z jednoosého anizotropního materiálu, kterým je nejčastěji vápenec (no>ne). Orientace pravoúhlých hranolů je taková, že optické osy prostředí jsou navzájem kolmé. Kolmo na první plochu hranolu dopadá nepolarizovaná rovinná vlna. V hranolu I se polarizační p -složka šíří fázovou rychlostí c/ne, v hranolu II rychlostí c/no. U s – složky je situace opačná, v hranolu I má rychlost c/no, v hranolu II rychlost c/ne. Na rozhraní pravoúhlých hranolů tedy nastávají pro p - a s – složku rozdílné podmínky pro refrakci a dochází k jejich směrové separaci.

Vápenec: no>ne Hranol II

p-složka

s-složka

c/ne

c/no c/no

c/ne

Hranol I

Fázové rychlosti p – a s – složky v jednoosém anizotropním prostředí závisejí na směru šíření vlny vzhledem k optické ose krystalu. Přiřazení fázových rychlostí polarizačním složkám se dá provést pomocí elipsoidu indexu lomu.

Určení fázových rychlostí normálních polarizačních módů v jednoosém prostředí

Optická z osa ne

Směr šíření světla k

θ

ne(θ) y no

X 2 Y2 Z2 + 2 + 2 =1 2 no no ne

Indexová elipsa

Indexy lomu normálních modů pro směr šíření světla určený úhlem θ: no, ne(θ) Speciální případy: θ=0 (šíření podél optické osy): no, ne(0)=no θ=π/2 (šíření kolmo k optické ose): no, ne(π/2)=ne

x

cos 2 (θ ) sin 2 (θ ) = + ne2 (θ ) no2 ne2 1

Simulace průchodu paprsků Wollastonovým hranolem v programu OSLO Premium Zadání konstrukčních parametrů

Sklon rozhraní pravoúhlých hranolů

Pravoúhlý hranol II

Pravoúhlý hranol I

Orientace optické osy (směr osy „y“)

Orientace optické osy (směr osy „x“)

Propočet mimořádného paprsku

Propočet řádného paprsku

Průchod polarizační p – složky Wollastonovým hranolem

Průchod paprsků Wollastonovým hranolem v programu OSLO Průchod polarizační p – složky

c/no c/ne

Mimořádný paprsek

Řádný paprsek

Průchod polarizační s – složky

c/ne

c/no Řádný paprsek

Mimořádný paprsek

Úloha II.2 Průchod paprsků Rochonovým hranolem

Rochonův hranol je tvořen dvěma pravoúhlými hranoly vyrobenými z jednoosého anizotropního materiálu, kterým je nejčastěji vápenec (no>ne). Orientace pravoúhlých hranolů je taková, že hranol I má optickou osu rovnoběžnou se směrem dopadající vlny, optická osa hranolu II je na směr šíření vstupní vlny kolmá. V hranolu I mají tedy p i s – polarizační složky stejnou fázovou rychlost c/no, v hranolu II se fázová rychlost s – složky mění na hodnotu c/ne, rychlost p – složky se nemění.

Vápenec: no>ne Hranol II

p-složka

s-složka

c/no

c/no c/no Hranol I

c/ne

Průchod paprsků Rochonovým hranolem v programu OSLO Průchod polarizační p – složky

c/no c/no Řádný paprsek

Řádný paprsek

Průchod polarizační s – složky

c/ne c/no Řádný paprsek

Mimořádný paprsek

Úloha II.3 Průchod paprsků Sénarmontovým hranolem

Sénarmontův hranol je tvořen dvěma pravoúhlými hranoly vyrobenými z jednoosého anizotropního materiálu, kterým je nejčastěji vápenec (no>ne). Orientace pravoúhlých hranolů je taková, že hranol I má optickou osu rovnoběžnou se směrem dopadající vlny, optická osa hranolu II je na směr šíření vstupní vlny kolmá. V hranolu I mají tedy p i s – polarizační složky stejnou fázovou rychlost c/no, v hranolu II se fázová rychlost p – složky mění na hodnotu c/ne, rychlost s – složky se nemění.

Vápenec: no>ne Hranol II

p-složka

s-složka

c/no

c/no c/no c/ne Hranol I

Průchod paprsků Sénarmontovým hranolem v programu OSLO Průchod polarizační s – složky

c/no c/no

Řádný paprsek

Řádný paprsek

Průchod polarizační p – složky

c/ne c/no

Řádný paprsek

Mimořádný paprsek