Villamosságtan II. főiskolai jegyzet Írta: Isza Sándor
Debreceni Egyetem Kísérleti Fizika Tanszék Debrecen, 2002.
Utolsó frissítés: 2002.09.23. 21:15
Villamosságtan II. félév
Tartalom Tartalom ........................................................................................................................................................................ 2 Tematikus tárgymutató.................................................................................................................................................. 3 Bevezetés........................................................................................................................................................................ 4 Váltóáramú hálózatok ..................................................................................................................................................... 5 Váltóáramok......................................................................................................................................................................................... 5 Elektrokémiai egyenérték ...................................................................................................................................................................................................... 5 Effektív érték .......................................................................................................................................................................................................................... 5 Harmonikus áram, feszültség ................................................................................................................................................................................................ 5 Fourier-tétel............................................................................................................................................................................................................................ 5
Harmonikus feszültséggel, ill. árammal gerjesztett hálózatok...................................................................................... 7 Harmonikus gerjesztésű hálózatok tárgyalása forgó vektorok segítségével................................................................................. 9 Harmonikus gerjesztésű hálózatok tárgyalása komplex mennyiségekkel ..................................................................................... 9 Komplex feszültség.............................................................................................................................................................................................................. 10 Komplex áramerősség......................................................................................................................................................................................................... 10 Komplex impedancia ........................................................................................................................................................................................................... 10 Soros RLC -kör ................................................................................................................................................................................................................. 10
2. oldal
Utolsó frissítés: 2002.09.23. 21:15
Villamosságtan II. félév
Tematikus tárgymutató váltóáramú hálózatok ................................................................................................. 5 effektív érték............................................................................................................................... 5 effektív áramerősség.............................................................................................................................................. 5 effektív feszültség................................................................................................................................................... 5 négyszögfeszültség effektív értéke.................................................................................................................... 5, 6
elektrokémiai egyenérték........................................................................................................... 5 a feszültség elektrokémiai egyenértéke................................................................................................................. 5 az áramerősség elektrokémiai egyenértéke .......................................................................................................... 5
négyszögfeszültség ................................................................................................................. 5, 6 kitöltési tényező.................................................................................................................................................. 5, 6
periódusidő................................................................................................................................. 5 váltakozó áram ........................................................................................................................... 5 váltóáram és váltófeszültség ...................................................................................................... 5 harmonikus áram és feszültség ............................................................................................................................. 5 amplitúdó ............................................................................................................................................................................................... 5 fázisszög ................................................................................................................................................................................................ 5 Fourier-tétel............................................................................................................................................................................................ 5 impedancia............................................................................................................................................................................................. 8 induktív jellegű tag ................................................................................................................................................................................. 9 kapacitív jellegű tag ............................................................................................................................................................................... 9 körfrekvencia.......................................................................................................................................................................................... 5 ohmikus jellegű tag ................................................................................................................................................................................ 9 soros RLC-kör........................................................................................................................................................................................ 7 tisztán rezisztens tag ............................................................................................................................................................................. 9 váltóáramú hálózatok tárgyalása forgó vektorokkal .............................................................................................................................. 9 váltóáramú hálózatok tárgyalása komplex mennyiségekkel ................................................................................................................. 9 komplex áramerősség.............................................................................................................................................................................................. 10 komplex feszültség .................................................................................................................................................................................................. 10 komplex impedancia ................................................................................................................................................................................................ 10 soros RLC-kör .................................................................................................................................................................................................... 10, 12
változó áram ............................................................................................................................... 5 változó feszültség........................................................................................................................ 5
3. oldal
Utolsó frissítés: 2002.09.23. 21:15
Villamosságtan II. félév
4. oldal
Bevezetés Ez a jegyzet elsősorban a villamosmérnök hallgatók második féléves Villamosságtan c. tárgyához íródott segédanyagként, de úgy gondoljuk, mások is haszonnal lapozgathatják elektronikai, elektrodinamikai ismereteik bővítése, mélyebb megalapozása érdekében. A jegyzet az első féléves jegyzet szerves folytatása, így tárgyalási módja, felépítése is azzal megegyező, ezért ezekről itt már nem ejtünk szót. Debrecen, 2002. szeptember
Villamosságtan II. félév
Utolsó frissítés: 2002.09.23. 21:15
5. oldal
Váltóáramú hálózatok Váltóáramok
Ha I (t ) ≠ állandó , ill. U (t ) ≠ állandó változó áramról, ill. feszültségről beszélünk. Ha létezik olyan T , amelyre I (t ± kT ) = I (t ) , ill. U (t ± kT ) = U (t ) , a változó áramot váltakozó áramnak, ill. feszültségnek hívjuk. T neve periódusidő, SI egysége definíciójából fakadóan s (szekundum). A periódusidő reciprokát frek1 1 venciának nevezzük: ν = , SI egysége ≡ H z (hertz). s T Ha
t0 +T
t0 +T
t0
t0
∫ I (t )dt = 0 , ill. ∫ U (t )dt = 0 , váltóáramról, ill. váltófeszültségről beszélünk.
Elektrokémiai egyenérték A váltakozó áram elektrokémiai egyenértékén annak az egyenáramnak az áramerősségét értjük, amely periódusidő alatt ugyanannyi töltést szállít, mint a szóban forgó váltakozó áram: I ekT =
t0 + T
∫ I ( t ) dt
⇒ I ek =
t0
1 T
t0 + T
∫ I ( t ) dt .
t0
Az áram elektrokémiai egyenértékének mintájára a feszültség elektrokémiai egyenértékét is szokás definiálni: U ek =
1 T
t0 +T
∫ U ( t ) dt .
t0
Az elektrokémiai egyenérték fogalmával a váltóáramot úgy is definiálhatjuk, hogy ez olyan váltakozó áram, amelynek elektrokémiai egyenértéke nulla.
Effektív érték A váltakozó áram effektív áramerősségén annak az egyenáramnak az áramerősségét értjük, amely periódusidő alatt egy ohmikus tagon ugyanannyi hőt termel, mint a szóban forgó váltóáram: 2 I eff RT =
t0 + T
∫
I 2 ( t ) R dt ⇒ I eff =
t0
1 T
t0 + T
∫
I 2 ( t ) dt .
t0
Az áramerősség effektív értékének mintájára a feszültség effektív értékét is szokás definiálni: I eff =
1 T
t0 + T
∫
U 2 ( t ) dt .
t0
Harmonikus áram, feszültség I (t ) = I 0 sin (ωt + ϕ ), ill. U (t ) = U 0 sin (ωt + ϕ ). I 0 , és U 0 neve amplitúdó, ωt + ϕ fázisszög. A szinuszfüggvény 2π szerinti periodicitása miatt ω ( t + T ) = ωt + 2π ⇒ ω =
2π = 2πν . T
1 s
ω neve körfrekvencia, SI egysége definíciójából következően . A harmonikus feszültséget, ill. áramot definiáló összefüggésekből kiolvasható, hogy az amplitúdó a feszültség vagy áram abszolútértékének legnagyobb értéke. A harmonikus feszültség vagy áram egyértelmű megadásához három adatra van szükség: U 0 , ω és ϕ , ill. I 0 , ω és ϕ .
Fourier-tétel Ha f (t ) T periódusú valós értékű függvény, amellyel létezik a
T 2
∫ f (t ) dt
−
akkor
integrál, akkor minden olyan nyílt intervallumon, amelyen f (t ) variációja korlátos,
T 2
∞ ∞ 2π 2 1 , k = 1, 2, 3, ..., ak = f ( t ) = a0 + ∑ ak cos k ω0t + ∑ bk sin kω0t , ahol ω 0 = T 2 T k =1 k =1
T 2
∫
−
T 2
2 f ( t ) cos ω0t dt és bk = T
T 2
∫ f ( t ) sin ω0t dt .
−
T 2
Ha a harmonikus áramokat tudjuk kezelni, akkor ilyenekből bármilyen periodikus áramot összerakhatunk.
Feladat Határozzuk meg az ábra szerinti lefutású négyszögfeszültség elektrokémiai egyenértékét és effektív értékét az ábrán értelmezett kitöltési tényező ( k = 0% − 100% ) függvényében!
Villamosságtan II. félév
Utolsó frissítés: 2002.09.23. 21:15
6. oldal
Megoldás Az ábráról leolvashatóan a feszültség egy-egy perióduson belül kT ideig U 0 , majd (1 − k ) T ideig 0 . Ennek figyelembevételével U ek =
1 T
kT
∫ U 0 dt = 0
1 1 U 0 k T = kU 0 , és U eff = T T
kT
∫ U 0 dt = 2
0
1 2 U0 k T = k U0 . T
U( t) kT
(1-k)T
U0
U0
U __0 2
Feladat U( t)
figyelembevételével U ek =
1 T
kT
∫ 0
100
k(%)
(1-k)T
U __0 2
Megoldás Az ábráról leolvashatóan a feszültség egy-egy perióduson belül kT ideig
kT
Ueff(k)
50
t
Határozzuk meg az ábra szerinti lefutású négyszögfeszültség elektrokémiai egyenértékét és effektív értékét az ábrán a kitöltési tényező függvényében!
Uek(k)
U0 U , majd (1 − k ) T ideig − 0 . Ennek 2 2
t
U0 _ __ 2
T 1 U U U0 U 1 dt − ∫ 0 dt = 0 k T − 0 (1 − k ) T = k − U 0 , T 2 2 2 2 2 kT
U __0 2
és
Ueff( k) Uek(k)
U eff
1 = T
T U2 U2 ∫ 40 dt + ∫ 40 dt = 0 kT
kT
1 U 02 U2 U 02 U2 U 02 U 0 k + 0 (1 − k ) = = . k T + 0 (1 − k ) T = 4 4 4 4 2 T 4
Látjuk, hogy a feszültség effektív értéke nem függ a kitöltési tényezőtől, értéke annyi, mintha
50
100
k(%)
U0 _ __ 2
U0 egyenfeszültségről lenne szó. 2 U( t)
Feladat Határozzuk meg annak a négyszögfeszültségnek az effektív értékét a kitöltési tényező függvényében, amelynek amplitúdója U 0 , elektrokémiai egyenértéke pedig a kitöltési tényezőtől függetlenül nulla!
kT
(1-k)T
Umax
t U0
Umin
Megoldás
A kitöltési tényező értelmezése szerint a négyszögfeszültség kT ideig U max , (1 − k ) T ideig U min , ahol a feladat feltétele szerint U max − U min = U 0 . U max és U min értékét abból határozhatjuk meg, hogy a feszültség elektrokémiai egyenértéke nulla: kT T 1 1 ∫ U max dt + ∫ U min dt = (U max k T + U min (1 − k ) T ) = k (U min + U 0 ) + (1 − k )U min = kU 0 + U min = 0 ⇒ U min = − kU 0 , T T0 kT
U __0 2
és
Uek(k)
U max = U min + U 0 = (1 − k )U 0 .
50
Ezek figyelembevételével: kT
1 T
U eff =
∫ (1 − k )
2
T
∫k
U 02 dt +
2
U 02 dt =
kT
0
Ueff( k)
1 T
( (1 − k )2 U 02 k T + k 2U 02 (1 − k ) T ) =
100
k(%)
_U __0 2
k (1 − k )( 1 − k +
k ) U 0 = k (1 − k ) U 0 . 1
Feladat Határozzuk meg az ábra szerinti lefutású négyszögfeszültség elektrokémiai egyenértékét és effektív értékét az ábrán az ábrán értelmezett k és U 0 függvényében! ( 0 ≤ k < 1)
U( t)
kT
(1-k)T
U0
Megoldás U 0 kT t , ha 0 ≤ t < kT , ( ) A feszültség időfüggése U t = Ennek figyelembevételével 1 1 U0 − U 0 t , ha kT ≤ t < T . (1 − k ) T 1 − k U ek =
1 T
kT
U
1
T
1
1
∫ kT0 t dt + T ∫ 1 − k U 0 − (1 − k )T U 0 t dt . 0
kT
Ennek a kifejezésnek a kiszámolását két részre bontjuk:
1 T
kT
kT U U 2 ∫ kT0 t dt = 2kT0 2 [t ]0 0
=
U0 2k T
2
k 2 T2 =
1 kU 0 , 2
t
7. oldal
Villamosságtan II. félév
Utolsó frissítés: 2002.09.23. 21:15 T
(
)
T 1 1 1 1 1 1 1 T 2 2 2 2 ∫ 1 − k U 0 − (1 − k )T U 0 t dt = (1 − k ) T U 0 [t ]kT − 2 (1 − k ) T 2 U 0 [t ]kT = (1 − k ) T U 0 (1 − k ) T − 2 (1 − k ) T 2 U 0 T − k T = T kT
= U0 −
k 2 (1 − k )
1 1 U 0 (1 − k ) (1 + k ) = U 0 − (1 + k )U 0 = (1 − k )U 0 . 2 2
A két részeredmény egyesítésével 1 1 1 U ek = kU 0 + (1 − k )U 0 = U 0 . 2 2 2 A feszültség effektív értékét is két részre bontva határozzuk meg:
1 T
2 = U eff
1 T
kT
U 02
kT
U2
∫ k 2T0 2 t
2
T
dt +
0
∫ k 2T 2 t
2
dt =
0
U 02 3k 2T 3
1
1
∫ 1 − k U 0 − (1 − k ) T t
kT
[t 3 ]0kT
=
2
dt ;
U 02
1 k 3 T 3 = kU 02 , 3 3k T 2
3
2 T T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 T 1 1 T t + t 3 U 02 = −2 U0 − U 0t d t = ∫ t+ t 2 U 02 dt = t −2 ∫ 2 3 kT 2 [ ]kT 2 2 2 2 2 2 kT (1 − k ) T 3 T kT 1 − k T 2 ( ) ( ) ( ) 1− k T 1− k T (1− k ) T (1 − k ) T kT 1 − k (1 − k ) T T
1 1 1 (1− k 2 ) T 2 + 1 (1− k 3 ) T 3 (1− k ) T − = 2 2 2 3 ( ) ( )2 T 3 ( ) 1 − k T 1 − k 1− k T
2 U 0 =
2 1 1 1 (1 − k ) (1 + k ) + 1 (1 − k ) (1 + k + k 2 ) U 02 = 1 − 1 + k + 1 1 + k + k U 02 = = − 2 2 − 1 k 3 1 k 1 k 3 1 k − − − (1 − k ) (1 − k )
1 − 1 − k 1 1 + k + k 2 2 −3k + 1 + k + k 2 2 1 − 2k + k 2 2 (1 − k ) 2 2 1 − k 2 = + U0 = U0 = U0 = U0 . U 0 = 3 1− k 3 (1 − k ) 3 (1 − k ) 3 1− k 3 (1 − k )
A két részeredmény egyesítésével: 1 1− k 2 1 2 1 2 U eff = kU 02 + U 0 = U 0 ⇒ U eff = U0. 3 3 3 3
U __0 2
Az eredményekből látjuk, hogy mind a feszültség elektrokémiai egyenértéke, mind az effektív értéke független a k tényező értékétől.
Ueff( k) Uek(k)
50
100
k(%)
Feladat Határozzuk meg az U ( t ) = U 0 sin ωt időlefutású feszültség elektrokémiai egyenértékét és effektív értékét!
Megoldás T
)
U ek =
1 1 1 1 T U 0 sin ωt dt = − U 0 [ cos ωt ]0 = − U 0 cos ω T − cos 0 = − U 0 (1 − 1) = 0 ; N T ∫0 ωT ωT ωT N 2π 0
2 U eff =
1 1 1 − sin 2ωt 1 2 T 1 1 2 1 1 1 1 T dt = 1 − 1) = U 02 U 02 sin 2 ωt dt = U 02 ∫ U 0 [t ]0 + U 02 [ cos 2ωt ]0 = U0 T + U 02 cos 2N ωT − cos 0 = U 02 + U 02 (N 2 2T 4T ω 4T ω 2 4T ω 2 T ∫0 T 2T 4π 0 0
U eff =
(
T
U0 2
T
(
)
⇒
,
2 α = 1 − 2sin 2 α ahol kihasználtuk, hogy sin 2α = sin 2 α − cos
⇒ sin 2 α =
2
1− sin α
1 − sin 2α . 2
Megjegyzés Látjuk, hogy a harmonikus lefutású feszültség elektrokémiai egyenértéke nulla, így joggal nevezhetjük az ilyen feszültséget váltófeszültségnek, ill. az I ( t ) = I 0 sin ωt jellegű áramokat váltóáramoknak. Ezen értelemszerűen a t tengely menti eltolás sem változtat, úgyhogy mondhatjuk, a harmonikus váltófeszültség, ill. váltóáram általános alakja: U ( t ) = U 0 sin (ωt + ϕ ) és I ( t ) = I 0 sin (ωt + ϕ ) , vagy U ( t ) = U 0 cos (ωt + ϕ ) és I ( t ) = I 0 cos (ωt + ϕ ) (hiszen a balra tolás a szinusz-függvényt koszinusz-függvénnyé transzformálja).
π
2
-vel történő
Harmonikus feszültséggel, ill. árammal gerjesztett hálózatok Feladat Határozzuk meg az ábra szerint soros RLC körön eső feszültség időfüggését, ha a gerjesztést biztosító áramgenerátor I ( t ) = I 0 cos ωt harmonikus feszültséget biztosít!
8. oldal
Villamosságtan II. félév
Utolsó frissítés: 2002.09.23. 21:15
Megoldás Alkalmazzuk a huroktörvény általánosítását az áramkörre (amely szerint a tekercset úgy vehetjük figyelembe, mintha rajta ± L
U R + UC + L
dI (t ) − U (t ) = 0 . dt
Behelyettesítve a konkrét áramköri elemek karakterisztikáját: I ( t ) R +
I 0 R cos ωt +
dI feszültség esne): dt
dI ( t ) 1 I ( t ) dt + L = U ( t ) . Kihasználva, hogy a gerjesztő áram harmonikus, dt C∫
I0 sin ωt − I 0 Lω sin ωt = U (t ). Cω
Az ω körfrekvenciájú harmonikus függvények összege is ω körfrekvenciájú harmonikus függvény, így
1 sin ωt − Lω sin ωt = U 0 cos(ωt + ϕ ) . Cω Ahhoz, hogy U ( t ) ismertté váljon, U 0 -t és ϕ -t kell meghatároznunk. U ( t ) maximuma azon ωt max mellett van, amelyre I 0 R cos ωt +
I I dU ( t ) d = I 0 R cos ωtmax + 0 sin ωtmax − I 0 Lω sin ωtmax = − I 0 Rω sin ωtmax + 0 ω cos ωtmax − I 0 Lωω cos ωtmax = 0 . Cω Cω dt dt I 0 -lal végigosztva
− R sin ωt max +
1 cos ωt max − Lω cos ωt max = 0 Cω
1 R sin ωtmax + Lω − cos ωtmax = 0 Cω
⇒
⇒
tg ωt max =
sin ωt max =− cos ωt max
Lω − R
1 Cω .
1 1 sin ωtmax = I 0 R cos ωtmax − Lω − sin ωtmax . Látjuk, hogy U 0 értékének konkretizálásához sin ωtmax Határozzuk meg U 0 -t: U 0 = I 0 R cos ωtmax − Lω sin ωtmax + ω Cω C és cos ωtmax értékét kell meghatároznunk tg ωtmax -szal kifejezve (mert ennek értékét ismerjük): tg α =
tg α 1 sin α sin α sin α 1 − cos 2 α = ⇒ tg 2 α − tg 2 α sin 2 α = sin 2 α ⇒ sin α = ; tg α = ⇒ tg 2 α cos 2 α = 1 − cos 2 α ⇒ cosα = . = 2 2 cos α cos α cos α 1 − sin α 1 + tg α 1 + tg 2 α
Ezek felhasználásával:
Lω −
cos ωt max =
1 1 − Lω 1 + Cω R
2
R
=
1 R + − Lω Cω 2
2
; sin ωt max
1 Cω
1 Lω − C ω R . =− =− 2 2 1 2 1 − Lω R + − Lω Cω 1 + Cω R
Ezeket U 0 kifejezésébe behelyettesítve:
U 0 = I0 R
= I0
R 1 R 2 + Lω − Cω 1 R 2 + Lω − Cω
2
1 + I 0 Lω − Cω
Lω −
1 Cω
1 R 2 + Lω − Cω
2
= I0
R
2
1 R 2 + Lω − Cω
2
+ I0
1 Lω − Cω
2
1 R + Lω − Cω 2
2
=
2
1 = I 0 R 2 + Lω − Cω 1 R 2 + Lω − Cω
2
2
2
1 A Z = R 2 + Lω − mennyiség ellenállás jellegű, neve: impedancia. Látjuk, hogy az impedancia ugyanolyan kapcsolatban áll a harmonikus feszültségCω amplitúdóval és áramamplitúdóval, mint az ellenállás a pillanatnyi feszültséggel, ill. áramerősséggel (fontos azonban, hogy szemben az ellenállással, nem a feszültség és az áramerősség pillanatnyi értéke között állapít meg kapcsolatot, hanem a harmonikusan változó feszültség és áram csúcsértékei között): 2
Z=
U0 1 = R 2 + Lω − . I0 Cω
U 0 és I 0 csúcsértékei nem azonos pillanatban következnek be. I (t ) = I 0 cos ωt maximuma akkor van, amikor ωt = 0 ⇒ t = 0 ; U (t ) = U 0 cos(ωt + ϕ ), maximuma pedig akkor, amikor ωt max + ϕ = 0 , vagyis ha ϕ = −ωt max . Felhasználva, hogy
9. oldal
Villamosságtan II. félév
Utolsó frissítés: 2002.09.23. 21:15
1 1 1 Lω − Lω − Lω − ω ω ω . C C C , továbbá, hogy tg(− α ) = − tg α , ϕ = −atg − = atg ωtmax = atg − R R R 1 Ha Lω − > 0 , akkor ϕ > 0 , vagyis U 0 cos ωt balra van eltolva, akkor a feszültség az áramerősséghez képest siet, az áramkört induktív jellegűnek mondCω 1 1 < 0 , akkor a feszültség az áramerősséghez képest késik, az áramkört kapacitív jellegűnek mondjuk. Ha Lω − = 0 , ohmijuk. Hasonlóan, ha Lω − Cω Cω kus jellegű vagy tisztán rezisztens áramkörről beszélünk: ilyenkor Z = R . Az impedancia az egyes áramköri elemekre külön-külön is meghatározható: ha az R , L , C tagok mindegyikén I (t ) = I 0 cos ωt áram folyik át (soros kapcsolás), akkor
Pillanatnyi feszültség
Áramköri elem
Ellenállás
Tekercs Kondenzátor
a feszültség az áramhoz képest
U = U (t )
U R (t ) = R I (t ) = R I 0 cos ωt U L (t ) = L UC (t ) =
dI π = − Lω I 0 sin ωt = Lω I 0 cos ωt + dt 2
fázisban van
π 2
-vel siet
I I 1 π π I ( t ) dt = 0 sin ωt = 0 cos ωt − -vel késik C∫ Cω Cω 2 2
Impedancia Z=
ZR = ZL =
ZC =
U0 I0
U R ,0 I0 U L,0 I0
U C ,0 I0
=R = Lω
=
1 Cω
Harmonikus gerjesztésű hálózatok tárgyalása forgó vektorok segítségével Az előző feladat megoldását más, sokkal rövidebb – és éppen ezért könnyebben áttekinthető – úton is megkaphatjuk: keressük ismét az I U ( t ) = I 0 R cos ωt − I 0 Lω sin ωt + 0 sin ωt Cω függvény maximumát! Vegyük észre, hogy az I 0 R cos ωt kifejezés olyan, mintha egy I 0 R nagyságú, ω szögsebességgel forgó vektor első komponense lenne. Hasonlóan lehet az I 0 Lω sin ωt mennyiséget egy I 0 Lω nagyságú vektor második komponenseként szemlélni. Felhasználva, hogy
π π − sin ωt = cos ωt + , és sin ωt = cos ωt − (így valamennyi tagot egy-egy vektor első komponenseként szemlélhetünk), a vizsgálandó összefüggés: 2 2 π I π U ( t ) = I 0 R cos ωt + I 0 Lω cos ωt + + 0 cos ωt − . 2 Cω 2 Így, amikor az U (t ) függvény maximumát keressük, fogalmazhatunk úgy, hogy három forgó vektor folytonosan változó vetületeiből képzett összeg maximu-
mát kell meghatároznunk. Felhasználva, hogy a vektorok vetületeinek összege egyenlő a vektorok összegének vetületével, kereshetjük az összegvektor vetületének maximumát is. Ez viszont nyilvánvalóan egyenlő az összegvektor nagyságával, így a megoldás menete igen jelentős mértékben leegyszerűsödik: a kívánt eredmény egy egyszerű vektorábráról leolvasható. Az ábrából az összegvektor nagyságának megállapításához szükséges adatokat kiemelve:
Harmonikus gerjesztésű hálózatok tárgyalása komplex mennyiségekkel Mint a matematikai bevezetőben ismertetett komplex aritmetikából ismeretes, a komplex számok kifejezetten a síkbeli vektorok elforgatásával (ill. forgatásával) kapcsolatos műveletek hatékony formalizálására alkalmasak (arra vannak kitalálva). Mivel pedig láttuk, hogy a váltóáramokkal kapcsolatos számolások igen hatékony segédeszközei a forgó vektorok, a számolások még hatékonyabbá tétele érdekében célszerűnek látszik a váltóáramokra vonatkozó számolásokat komplex mennyiségekkel végezni:
10. oldal
Villamosságtan II. félév
Utolsó frissítés: 2002.09.23. 21:15
Komplex feszültség
Im (Uˆ 0 ) Az U ( t ) = U 0 sin (ωt + ϕ ) váltófeszültséghez az Uˆ ( t ) = Uˆ 0 e jωt , komplex mennyiséget rendeljük, ahol Uˆ 0 = U 0 , és ϕ = atg , vagyis azt az ω szögsebesRe (Uˆ ) 0
séggel forgó vektort, amelynek abszolútértéke U 0 , a t = 0 pillanathoz tartozó szögelfordulása pedig ϕ .
Komplex áramerősség Im ( Iˆ0 ) Az I ( t ) = I 0 sin (ωt + ϕ ) váltófeszültséghez az Iˆ ( t ) = Iˆ0 e jωt , komplex mennyiséget rendeljük, ahol Iˆ0 = I 0 , és ϕ = atg , vagyis azt az ω szögsebességgel Re ( Iˆ ) 0
forgó vektort, amelynek abszolútértéke I 0 , a t = 0 pillanathoz tartozó szögelfordulása pedig ϕ .
Komplex impedancia Az a komplex mennyiség, amellyel egy áramköri elemen átfolyó váltóáramhoz rendelt komplex áramerősség amplitúdóját megszorozva az áramköri elemen ˆˆ . A definícióból kiolvasható, hogy a komplex impedancia abszolútértéke a vaeső váltófeszültséghez rendelt komplex feszültség amplitúdóját kapjuk: Uˆ 0 = ZI 0 ˆ Uˆ U U 0 0 = = Z , irányszöge pedig a feszültség és az áramerősség fázisszögének különbsége: ϕ ( Zˆ ) = ϕ 0 = ϕ (Uˆ 0 ) − ϕ ( Iˆ0 ) . lós impedanciával egyenlő: Zˆ = ˆ I0 Iˆ0 I0 A felírt összefüggésből látható, hogy a komplex impedancia ugyanolyan kapcsolatban áll a komplex feszültségamplitúdóval és áramamplitúdóval, mint az ellenállás a pillanatnyi feszültséggel, ill. áramerősséggel. Ennek alapján a váltófeszültséggel, ill. -árammal gerjesztett hálózatokat a komplex impedancia segítségével ugyanazokkal az eszközökkel tárgyalhatjuk, mint az egyenáramú hálózatokat, vagyis a Kirchhoff-törvények és az Ohm-törvénnyel analóg szerepben ˆ ˆ összefüggés felhasználásával. A következőkben összefoglaljuk a standard áramköri elemek komplex impedanciáját: álló Uˆ 0 = ZI 0
Áramköri elem
Komplex impedancia
Ellenállás
Uˆ Zˆ R = 0 = R Iˆ0
Tekercs
Kondenzátor
a feszültség az Fázisszög áramhoz képest fázisban van
ϕR = 0
Uˆ Zˆ L = 0 = jLω Iˆ0
π
ϕL =
Uˆ 1 1 = Zˆ C = 0 = − j Cω jCω Iˆ0
π
2
2
-vel siet
π 2
ϕC = −
-vel késik
π 2
Feladat Határozzuk meg a soros RLC-körön eső feszültséget a rajta átfolyó harmonikus gerjesztőáram körfrekvenciájának függvényében!
Megoldás
Válasszuk meg a harmonikus gerjesztő áramot I ( t ) = I 0 sin ωt alakban. Az RLC-kör komplex impedanciája Zˆ = R + j Lω −
2
ˆ = R + körön eső feszültség komplex amplitúdója Uˆ 0 (ω ) = ZI 0 függvénynek minimuma van azon ω mellett, amelyre Lωmin lim U 0 (ω ) = ∞ , és lim U 0 (ω ) = ∞ .
ω →0
1 , aminek felhasználásával a Cω
1 1 2 j Lω − I 0 . Ennek a I 0 . Ebből a feszültség csúcsértéke U 0 (ω ) = Z I 0 = R + Lω − Cω Cω 1 1 körfrekvenciánál. A felírt összefüggésből kiolvasható, hogy − = 0 , vagyis az ωmin = Cωmin LC
ω →∞
1 1 Lω − Lω − I0 Im (Uˆ 0 ) C ω ω. C Határozzuk meg most az RLC-körön eső feszültség fázisszög-különbségét az áramhoz viszonyítva: ϕUˆ (ω ) = atg = atg = atg 0 R R I0 Re (Uˆ ) 0
Mivel a minimális impedanciához tartozó ω mellett Lωmin −
1 Cωmin
= 0 , U 0 (ωmin ) = RI 0 , és ϕUˆ (ωmin ) = 0 , vagyis a soros RLC-körön eső feszültség ilyenkor fá0
π
zisban van a gerjesztő árammal. A felírt összefüggésből kiolvasható, hogy lim ϕUˆ (ω ) = atg ( −∞ ) = − , vagyis alacsony frekvencián a soros RLC-kör tisztán 0 ω →0 2 kapacitív jellegű; lim ϕUˆ (ω ) = atg ( ∞ ) = ω →∞
0
π , vagyis magas frekvencián a soros RLC-kör tisztán induktív jellegű. 2
11. oldal
Villamosságtan II. félév
Utolsó frissítés: 2002.09.23. 21:15
Feladat Határozzuk meg a soros RLC-kör egyes elemein eső feszültségnek a kör egészén eső feszültséghez való viszonyának szélsőértékét a gerjesztő áram körfrekvenciájának függvényében!
Megoldás Az ohmikus tagra vonatkozóan:
U R , 0 (ω ) U RLC , 0 (ω )
I0 R
=
1 I 0 R + Lω − Cω ( ) U R, 0 ω 1 R = 0 , s ekkor = = 1. muma), amelyre Lω − Cω U RLC , 0 (ω ) R2
Az induktív tagra vonatkozóan:
2
U L , 0 (ω ) = U RLC , 0 (ω )
2
I 0 Lω I0
1 R + Lω − Cω 2
2
. Ennek a függvénynek nyilvánvalóan azon ω mellett van szélsőértéke (mégpedig maxi-
. Ennek a függvénynek azon ω mellett van szélsőértéke (mégpedig könnyen beláthatóan
maximuma), amelyre a deriváltja nulla: d
2
Lω 2
1 R 2 + Lω − Cω = dω
1 L R 2 + Lω − − Lω Cω
1 R + Lω − Cω
1 R 2 + Lω − − Lω Cω
1 1 2 Lω − L + Cω Cω 2
R 2C 2 Látható, hogy ha L C ⇒ R 2
2
⇒
1 1 1 R 2 + Lω − = ω Lω − L + , Cω Cω Cω 2
R 2C 2ω 2 + L2C 2ω 4 − 2 LCω 2 + 1 = L2C 2ω 4 − 1,
⇒
2 = 2 LC − R 2C 2
ωmax =
= 0,
2
1 1 =0 Lω − L + 2 2 C ω C ω 1 2 R + Lω − Cω
2
⇒
2
1
R 2C 2ω 2 + ( LCω 2 − 1) = ( LCω 2 − 1)( LCω 2 + 1)
ω 2 ( R 2C 2 − 2 LC ) = −2
1 2 R 2 + Lω − Cω 2
2
L
1
1 . R 2C 2 LC − 2
2L , akkor ωmax = C
U L, 0 (ωmax ) 1 . Ezen a frekvencián a vizsgált arány = U LC RLC , 0 (ωmax )
L
1 LC 2
=
1 R 2 + Lω − C ω
1 L . R C
0
A kapacitív tagra vonatkozóan:
U C , 0 (ω ) = U RLC , 0 (ω )
1 I0 Cω I0
1 R + Lω − Cω 2
2
. Ennek a függvénynek azon ω mellett van szélsőértéke (mégpedig könnyen beláthatóan
maximuma), amelyre a deriváltja nulla: 1 1 ( 2 R 2C 2ω + 2 ( LCω 2 − 1) 2 LCω ) d 2 2 2 2 2 ( 2 2 2 2 ( 2 ) ) R 2C 2ω + ( LCω 2 − 1) 2 LCω R C ω + LCω − 1 2 R C ω + LCω − 1 =− =− = 0, 2 3 dω R 2C 2ω 2 + ( LCω 2 − 1) 2 2 2 2 2 ( 2 ) R C ω + LCω − 1
(
R 2C 2 ω + ( LCω 2 − 1) 2 L C ω = 0
Látható, hogy ha
1 R2 LC 2 L2
⇒
⇒
R
R 2C + 2 L2Cω 2 − 2 L = 0 ⇒ ωmax =
2L , akkor ωmax = C
1 LC
2 L − R 2C 2 L2C
=
)
1 R2 − . LC 2 L2
. Ezen a frekvencián a vizsgált arány
U C , 0 (ωmax )
U RLC , 0 (ωmax )
C
=
1 1 LC 2
1 R 2 + Lω − C ω
0
=
1 L . R C
12. oldal
Villamosságtan II. félév
Utolsó frissítés: 2002.09.23. 21:15
Soros rezonancia Azt a frekvenciát, amely mellett a gerjesztő áram által az RLC-körön eső feszültségnek minimuma van, rezonanciafrekvenciának nevezzük: ω0 =
1 LC
. Láttuk,
2L feltétel teljesülése mellett ugyanezen a frekvencián az induktív és a kapacitív tagon eső feszültség relatív értéke maximális. A rezonanciaC frekvenciát megadó hogy az R
1 LC
ω0 =
R mennyiséget csillapítási tényezőnek nevezzük. Ezzel a kapacitív tagon eső feszültség relatív érté2L kének maximuma a következőképpen is megadható: ωmax = ω02 − 2δ 2 .
összefüggést Thomson-képletnek nevezzük. A δ =
Feladat Határozzuk meg a párhuzamos RLC-körön átfolyó áramot a rajta eső harmonikus gerjesztőfeszültség körfrekvenciájának függvényében!
Megoldás Válasszuk meg a harmonikus gerjesztő feszültséget U ( t ) = U 0 sin ωt alakban. Az RLC -kör komplex impedanciája Zˆ =
1 1 = , ami1 1 1 1 + + jCω + j Cω − R jLω R Lω 2
U 1 1 1 1 nek felhasználásával a körön folyó áram komplex amplitúdója Iˆ0 (ω ) = 0 = + j Cω − + Cω − U0 . U 0 . Ebből az áram csúcsértéke: I 0 (ω ) = Lω Lω Zˆ R R2 1 1 − Cωmin = 0 , vagyis az ωmin = körfrekvenciánál. A felírt összefüggésből kiolvasható, Ennek a függvénynek minimuma van azon ω mellett, amelyre Lωmin LC hogy lim I 0 (ω ) = ∞ , és lim I 0 (ω ) = ∞ . ω →0
ω →∞
Határozzuk meg most az RLC-körön átfolyó áram fázisszög-különbségét a feszültséghez viszonyítva: ϕ Iˆ (ω ) = atg 0
Mivel a minimális impedanciához tartozó ω mellett Lωmin −
1 Cωmin
kör tisztán induktív jellegű; lim ϕ Iˆ (ω ) = atg ( ∞ ) = ω →∞
0
2
0
U = 0 , I 0 (ωmin ) = 0 , és ϕ Iˆ (ωmin ) = 0 , vagyis a párhuzamos RLC-körön átfolyó áram ilyenkor 0 R
fázisban van a gerjesztő feszültséggel. A felírt összefüggésből kiolvasható, hogy lim ϕ Iˆ (ω ) = atg ( −∞ ) = −
π
1 1 Cω − Cω − U0 Im ( Iˆ0 ) L ω L ω. = atg = atg R R U0 Re ( Iˆ )
ω →0
0
π 2
, vagyis alacsony frekvencián a párhuzamos RLC-
, vagyis magas frekvencián a soros RLC-kör tisztán kapacitív jellegű.
Feladat Határozzuk meg a párhuzamos RLC-kör egyes elemein átfolyó áramnak a kör egészén átfolyó áramhoz való viszonyának szélsőértékét a gerjesztő áram körfrekvenciájának függvényében!
Megoldás I R , 0 (ω ) Az ohmikus tagra vonatkozóan: = I RLC , 0 (ω )
1 U0 R
. Ennek a függvénynek nyilvánvalóan azon ω mellett van szélsőértéke (mégpedig maxi2 1 1 + − C U ω 0 Lω R2 1 I R , 0 (ω ) 1 = 0 , s ekkor muma), amelyre Cω − = R = 1. Lω I RLC , 0 (ω ) 1 R2 1 U0 I L , 0 (ω ) 1 ω L Az induktív tagra vonatkozóan: = = . Ennek a függvénynek azon ω mellett van szélsőértéke (mégpedig 2 2 I RLC , 0 (ω ) 2 L 2 ( 1 1 2 ) ω ω + − LC 1 ω + − C U 0 R2 Lω R2 könnyen beláthatóan maximuma), amelyre a deriváltja nulla:
Villamosságtan II. félév
Utolsó frissítés: 2002.09.23. 21:15
d
1 2
L
R2
1
ω 2 + ( LCω 2 − 1)
2
2
L
R2
ω 2 + ( LCω 2 − 1)
Látható, hogy ha
L
2
R2
=−
dω
1 2
2
2
ω 2 + ( LCω 2 − 1)
2
13. oldal
L2 2 2 2 ω + 2 ( LCω − 1) 2 LCω R
1 + Cω − Lω R2 1
= 0,
2
L2 L2 L 2 2 2 2 2 2 ω + 2 ( LCω − 1) 2 LCω = 0 ⇒ 2 ω + ( LCω − 1) 2 L C ω = 0 ⇒ 2 LC ω = 2C − 2 ⇒ ω = ωmax = R R R
1 1 ⇒ R LC 2R 2C 2
2C , akkor ωmax = L
1 LC
. Ezen a frekvencián a vizsgált arány
I L , 0 (ωmax )
I RLC , 0 (ωmax )
L =
1 1 − . LC 2C 2 R 2
1 1 LC
=
2
1 + Cω − ω
L R 2 1
1 . 1 L R C
0
A kapacitív tagra vonatkozóan:
I C , 0 (ω ) = I RLC , 0 (ω )
Cω U 0
. Ennek a függvénynek azon ω mellett van szélsőértéke (mégpedig könnyen beláthatóan
2
1 + Cω − U0 Lω R2 1
maximuma), amelyre a deriváltja nulla: 1 1 ( 2 R 2C 2ω + 2 ( LCω 2 − 1) 2 LCω ) d 2 2 R 2C 2ω + ( LCω 2 − 1) 2 LCω R 2C 2ω 2 + ( LCω 2 − 1) 2 R 2C 2ω 2 + ( LCω 2 − 1) =− = 0, =− 2 3 dω R 2C 2ω 2 + ( LCω 2 − 1) 2 2 2 2 2 ( 2 ) R C ω + LCω − 1
(
R 2C 2 ω + ( LCω 2 − 1) 2 L C ω = 0
Látható, hogy ha
1 R2 LC 2 L2
⇒
⇒
R
R 2C + 2 L2Cω 2 − 2 L = 0 ⇒ ωmax =
2L , akkor ωmax = C
1 LC
2 L − R 2C 2 L2C
=
)
1 R2 − . LC 2 L2
. Ezen a frekvencián a vizsgált arány
U C , 0 (ωmax )
U RLC , 0 (ωmax )
C =
1 1 LC 2
1 R 2 + Lω − C ω
=
1 L . R C
0
Párhuzamos rezonancia Azt a frekvenciát, amely mellett a gerjesztő áram által az RLC-körön eső feszültségnek minimuma van, rezonanciafrekvenciának nevezzük: ω0 =
1 LC
. Láttuk,
2L feltétel teljesülése mellett ugyanezen a frekvencián az induktív és a kapacitív tagon eső feszültség relatív értéke maximális. A rezonanciaC frekvenciát megadó
hogy az R
Villamosságtan II. félév
Utolsó frissítés: 2002.09.23. 21:15
ω0 =
14. oldal
1 LC
R mennyiséget csillapítási tényezőnek nevezzük. Ezzel a kapacitív tagon eső feszültség relatív érté2L kének maximuma a következőképpen is megadható: ωmax = ω02 − 2δ 2 .
összefüggést Thomson-képletnek nevezzük. A δ =
Feladat Megoldás 1 R + jLω jCω = = . Zˆ R + Zˆ L + ZˆC R + jLω + 1 jRCω − LCω 2 + 1 jCω
( Zˆ Zˆ =
R
)
+ Zˆ L ZˆC
( R + jLω )
Ha 1 − LCω 2 = 0 , vagyis Lω =
1 L R + jLω jLω , akkor Zˆ = . Ha teljesül továbbá, hogy R << Lω , akkor Zˆ ≅ . Ilyenkor az impedancia tisztán valós = Cω jRCω jRCω RC
(a rezgőkörön eső feszültség és az átfolyó áram fázisban van).
A harmonikus váltóáram teljesítménye Láttuk, hogy a harmonikus gerjesztésű hálózatok különböző elemein folyó áram és a rajta eső feszültség általában nincs fázisban. Olyan helyzet is gyakran áll elő, amikor egy-egy hálózati elemen éppen ellenkező irányú áram folyik, mint amilyet az éppen rajta eső feszültség indokolna. Ilyenkor a pillanatnyi teljesítmény negatív. A következőkben megvizsgáljuk, hogyan függ a teljesítmény átlagos értéke az áramköri elemen átfolyó áram és a rajta eső feszültség fáziskülönbségétől.
Effektív teljesítmény A pillanatnyi teljesítmény periódusidőre vett átlaga: Peff =
1 T
t0 + T
∫
t0
P ( t ) dt =
1 T
t0 + T
∫
U ( t ) I ( t ) dt .
t0
Feladat Határozzuk meg az effektív teljesítményt azon a harmonikus árammal átjárt áramköri elemen, amelyen a feszültség és az áram fázisszögének különbsége ϕ !
Megoldás Válasszuk az átfolyó áram időfüggését I ( t ) = I 0 cos ωt alakúnak, ekkor a feladat feltétele szerint U ( t ) = U 0 cos (ωt + ϕ ) . Ennek felhasználásával az effektív teljesítmény: Peff =
T T T T T T U I 1 U I U I U I I 0 cos ωtU 0 cos (ωt + ϕ ) dt = 0 0 ∫ cos ωt cos (ωt + ϕ ) dt = 0 0 ∫ ( cos ( 2ωt + ϕ ) + cos ϕ ) dt = 0 0 ∫ cos ( 2ωt + ϕ ) dt + ∫ cos ( −ϕ ) dt = 0 0 cos ϕ ∫ dt = ∫
2T 0 2T T0 T 0 2T 0 0 0 cos ϕ
0 T
=
U I U I U 0 I0 U I cos ϕ ∫ dt = 0 0 T cos ϕ = 0 0 cos ϕ = 0 0 cos ϕ = U eff I eff cos ϕ , 2T 2 2T 2 2 0
1 ( cos (α + β ) ) + cos (α − β ) . 2 Látjuk, hogy az effektív teljesítmény megadható az áramköri elemen eső effektív feszültséggel és effektív árammal kifejezve, de függ az áram és a feszültség
ahol kihasználtuk, hogy cos α cos β =
fázisszögének különbségétől is. Ha a fázisszög-különbség
π
2
, akkor az effektív teljesítmény 0 . Ez a helyzet a tisztán induktív, ill. kapacitív tagokon fordul elő.
Megjegyzés Lévén a cos ϕ függvény páros ( cos ( −ϕ ) = cos ϕ ), a harmonikus áram teljesítménye szempontjából mindegy, hogy az áramkör induktív vagy kapacitív jellegű-e, csupán a feszültség és az áram fázisszög-különbségének abszolútértéke befolyásolja a teljesítményt.
