Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003
Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno
Obsah 1 Dvojný integrál
3
2 Trojný integrál
7
3 Křivkový integrál ve skalárním poli
10
4 Křivkový integrál ve vektrovém poli 13 4.1 Přímým výpočtem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2 Nezávislost na integrační cestě . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.3 Greenova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2
1
Dvojný integrál
Vypočtěte: ZZ
1.1
D
ln(x2 +y 2 ) dxdy, x2 +y 2
kde D = {[x, y] ∈ R2 ; 1 ≤ x2 + y 2 ≤ e2 }.
[polární souřadnice, meze konstantní, restrikce lze použít, substituce ln ρ = t; vyjde 2π]
1.2 Statický moment Sy pro homogenní oblast D vymezenou křivkou y = sin x a úsečkou spojující body [0, 0], [ π2 , 1]. (Hustota pro homogenní oblast σ(x, y) ≡ k ∈ R+ .) [bez transformace, nekonstantní meze proměnné y, per partes; vyjde: k(1 −
π2 12 )]
1.3 Těžiště T homogenní oblasti D = {[x, y] ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ r2 , y ≥ 0}. (r > 0) i
h
4r , [polární souřadnice, konstantní meze, restrikce možná; vyjde T = 0, 3π xT ihned.]
1.4 Hmotnost rovnoběžníka D vymezeného přímkami y = x, y = x + 2, y = 2, y = 6 s hustotou σ(x, y) = x2 + y 2 . [bez transformace, pozor na meze prommené x; vyjde 224] ZZ
1.5
D
(9x2 + 4y 2 + 4)dxdy, kde D = {[x, y] ∈ R2 ; 9x2 + 4y 2 ≤ 36}.
[zobecněné polární souřadnice, konstantní meze, restrikce možná; vyjde 132π]
1.6 Obsah plochy obrazce n
D = [x, y] ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ 4y, x2 + y 2 ≥ 2y, x ≥ 0, y ≥
√
[polární souřadnice, pozor na nekonstantní meze proměnné ρ; vyjde ZZ
1.7
D
(2x − y + 3)dxdy, kde ½
¾
D = [x, y] ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x, y ≤
4 . x
[bez transformace, nutno rozdělit na 2 integrály; vyjde 24 + 12 ln 2]
3
o
3x . 1 2
³
π+
√ ´ 3 3 ] 2
1.8 Moment setrvačnosti Iy homogenní oblasti D = {[x, y]; 6x + y ≥ 6, 2x + y ≤ 6, y ≥ 0}. [bez transformace, který způsob (pořadí) integrace je lepší? vyjde 13k] ZZ
1.9
D
xy 2 dxdy, kde oblast D je vymezena parabolou y 2 = 2px a částí
přímky x = p2 . (p > 0) [bez transformace, můžeme použít restrikce; vyjde
p5 21 ]
1.10 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 ≤ r2 , x2 + y 2 + (z − r)2 ≤ r2 }. [těžší příklad, polární souřadnice s konstantními mezemi, restrikce lze 8x, √ 3 subst. · · · = t; vyjde 5πr 12 ]
1.11 Objem tělesa Ω ohraničeného plochami az = a2 −x2 −y 2 , z = 0. (a > 0) [polární souřadnice, restrikci lze použít, nakreslete si také zde obrázky v R3 3 i v rovině xy; vyjde πa2 ]
1.12 Objem tělesa Ω ohraničeného plochami z = x2 + y 2 , z = 0, x = 0, y = 0, x + y = 1. [bez transformace, stačí obrázek projekce do roviny xy (x = 0,y = 0,x + y = 1); snadno vyjde 16 ]
1.13 Obsah plochy rotačního paraboloidu x2 +y 2 = 2z uvnitř válce x2 + y 2 ≤ 1. [polární souřadnice, meze, restrikce lze použít, subst. „odmocni³ √ konstantní ´ nováÿ; vyjde 2π 2 2 − 1 ] 3
1.14 Obsah plochy z =
√
4 − x2 − y 2 uvnitř kužele 3x2 + 3y 2 = z 2 .
[polární souřadnice, opět si√ nakreslete obrázek v R3 i v souř. rovině xy, ´ ³ restrikce lze; vyjde 4π 2 − 3 ]
1.15 Težiště homogenní oblasti D = {[x, y] ∈ R2 ; x2 +y 2 ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x+1}. [bez transformace, které h i pořadí integrace je jednodušší? 2x subst. metoda; 2 2 vyjde T = 3π+6 , π+2 ]
4
1.16 Souřadnici xT težiště T ≡ [xT , yT ] oblasti D = {[x, y] ∈ R2 ; 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x} s danou hustotou σ(x, y) = xy. [polární souřadnice; bez problémů vyjde
√ 124(4− 2) ] 225
1.17 Moment setrvačnosti Iz homogenní oblasti D ohraničené přímkami x + y = 2, x = 2 a y = 2. [bez transformace; snadno vyjde 8k]
1.18 Momenty setrvačnosti Ix , Iy , Iz homogenní oblasti D = {[x, y] ∈ R2 ; x2 ≤ y ≤ x} [bez transformace; integrací polynomů bez problémů Ix =
k 28 , Iy
=
k 20 , Iz
=
3k 35 ]
ZZ
1.19
D
(x2 + y 2 )dxdy, je-li D = {[x, y] ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ a2 , y ≥ x}. (a > 0)
[polární souřadnice s konstantními mezemi, můžeme i restrikcí;
πa4 4 ]
1.20 Težiště oblasti D = {[x, y] ∈ R2 ; 4x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0} s danou hustotou σ(x, y) = x. h
[zobecněné polární souřadnice; snadno vyjde T =
3π 3 16 , 4
i
]
1.21 Objem tělesa Ω vymezeného plochami x2 + y 2 = 4z, z = 4. [polární souřadnice, nakreslete si obrázek v R3 i projekci, nejlépe restrikcí; vyjde 32π]
1.22 Objem tělesa Ω vymezeného plochami x2 +y 2 = 1, z = 0, z =
√
x2 + y 2 + 1.
[polární souřadnice, ³ √ ´stačí obrázek projekce, jaké jsou meze proměnné z? Re2π strikcí; 3 2 2 − 1 ]
1.23 Obsah části plochy z =
√
x2 + y 2 nad oborem D = {[x, y]; x2 + y 2 ≤ 2y}.
[pokud si napíšete správně integrand, pak vyjde okamžitě:
1.24 Hmotnost oblasti
½
1 D = [x, y]; (x − 3)2 + (y − 1)2 ≤ 1 4
√ 2π]
¾
s danou hustotou σ(x, y) = (x − 3)2 (y − 1)2 . [zobecněné polární souřadnice s posunutím do počátku, raději bez restrikce; vyjde π3 ]
5
1.25 Objem tělesa Ω vymezeného plochami x2 = y, x2 = 4−3y, z = 0, z = 9. ¡
¢
[nakreslete si projekci do roviny xy x2 = y, x2 = 4 − 3y , bez transformace, restrikce ano; vyjde 16 ]
1.26 Těžiště T oblasti D = {[x, y]; x2 +
y2 y2 ≥ 1, x2 + ≤ 4, y ≥ 0} 4 4
s hustotou σ(x, y) = x2 . [zobec. polár. souřadnice x = ρ cos ϕ, y = 2ρ sin ϕ, pozor na meze ρ, restrikce h i 992 lze; T = 0, 225π ]
1.27 Objem tělesa Ω vymezeného plochami z = x2 + y 2 = 4.
4 , x2 +y 2
z = 0, x2 + y 2 = 1,
[stačí projekce do roviny xy (mezikruží) (zkuste obr. i v R3 ), polár. souřadnice s restrikcí; 8π ln 2]
1.28 Obsah plochy z = x2 + y 2 uvnitř válce x2 + y 2 = r2 . (r > 0) [nakreslete si obrázek v R3 i projekci, polární souřadnice s restrikcí, substituce „odmocninováÿ, upravíte-li dobře integrand, pak bez problémů vyjde ³ ´ 3 π 2 2 6 (1 + 4r ) − 1 ]
1.29 Obsah rovinného obrazce D = {[x, y]; y ≥ x1 , y ≥ 4x, y ≤ 8}. [bez transformace, které pořadí integrace je lepší? Meze x nekonstantní; vyjde 15 2 − 2 ln 2]
1.30 Moment setrvačnosti Iy homogenního kruhu D = {[x, y]; (x − a)2 + y 2 ≤ a2 },
(a > 0). ¡
[polární souřadnice s restrikcí, nekonstantní mez ρ, cos6 ϕ = cos2 ϕ 4 vyjde 5πka 4 ]
¢3
= . . .;
1.31 Obsah části kužele y 2 + z 2 = x2 uvnitř válce x2 + y 2 ≤ a2 . (a > 0) [těžší příklad, polární souřadnice s konstantními mezemi, restrikce 8x, obrázky nutné; vyjde 2πa2 ]
1.32 Objem tělesa Ω vymezeného plochami
x2 4
+
y2 9
2
= z 2 , x4 +
y2 9
= 2z.
[ Ω tedy vymezeno eliptickým kuželem a eliptickým paraboloidem, obrázek v R3 ani projekce nejsou obtížné, zobecněné polární souřadnice, restrikce 4x; vyjde 8π]
6
2
Trojný integrál ZZZ
Vypočtěte
Ω
f (x, y, z) dx dy dz, kde:
2.1 f (x, y, z) = xy, Ω = {[x, y, z] ∈ R3 ; x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y ≤ 1, z ≤ x2 + y 2 + 1 }. [bez transformace, stačí obrázek projekce do roviny xy, zkuste také obrázek 7 v R3 ; integrací polynomů vyjde 120 ]
2.2 f (x, y, z) = z 2 , Ω je vymezena rovinami x = 2, y = 5, x + z = 6 v 1. oktantu. [bez transformace, nakreslete obrázek projekce i obrázek v R3 ; integrací polynomů vyjde 1300 3 ]
2.3 f (x, y, z) = xyz, Ω = {[x, y, z] ∈ R3 ; y ≥ x2 , x ≥ y 2 , z ≥ 0, z ≤ xy}. [bez transformace, stačí obrázek projekce, zkuste také obrázek v R3 (sedlová 1 plocha); vyjde 96 ]
2.4 f (x, y, z) = xyz, Ω = {[x, y, z] ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}. [sférické souřadnice, všechny meze konstantní ; vyjde
1 48 ]
2.5 f (x, y, z) = xy, Ω = {[x, y, z] ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 ≤ 4z, z ≥ sqrtx2 + y 2 }. [cylindrické souřadnice, obrázek v R3 i projekce nutné (koule a ”vršek” rotačního kužele), restrikci raději ne; snadno vyjde 0]
Vypočtěte: 2.6 Objem tělesa Ω vymezeného plochami z = 4 − x2 , 2x + y = 4 v 1. oktantu. [bez transformace, projekce i obrázek v R3 nutné; integrací polynomů vyjde 40 3 ]
2.7 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] ∈ R3 ; x2 + y 2 ≤ 1, z ≤ 1 − x2 − y 2 , z ≥ 0, 0 ≤ y ≤ x}. [cylindrické souřadnice, stačí projekce, zkuste také obrázek v R3 (rotáční π paraboloid), restrikci nepoužít; vyjde 16 ]
2.8 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , x2 + y 2 + z 2 ≤ 2az}, kde a > 0 je konstanta.
7
[cylindrické souřadnice, obrázek v R3 (2 koule) i projekce nutné, jaký je 3 poloměr projekce?, restrikce 4x; vyjde 5πa 12 ]
2.9 Těžiště tělesa Ω = {[x,√y, z] ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , z ≥ 0} s danou hustotou σ(x, y, z) = k x2 + y 2 + z 2 , kde a > 0, k > 0 jsou konstanty. [sférické souřadnice, obrázek v R3 i projekce snadné; xT = yT = 0, zT =
2a 5 ]
2.10 Hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , z ≤ x2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}, kde a > 0 je konstanta, s danou hustotou σ(x, y, z) = x. [cylindrické souřadnice, stačí obrázek projekce (meze z jasné); snadno vyjde 2a5 15 ]
2.11 Těžiště tělesa Ω s danou hustotou σ(x, y, z) ≡ 1 vymezeného hraničními rovinami x = 0, z = 0, y = 1, y = 3, x + 2z = 3. [bez transformace, obrázek v R3 i projekce jsou snadné; vyjde T = [1, 2, 21 ]]
2.12 Objem tělesa Ω vymezeného plochami hz = x2 + y 2 , z = h, kde h > 0 je konstanta. [cylindrické souřadnice, pozor na meze proměnné z; vyjde
πh3 2 ]
2.13 Momenty setrvačnosti Ix , Iy , Iz tělesa Ω s danou hustotou σ(x, y, z) ≡ 1 vymezeného plochami x2 + y 2 = a2 , z = 0, z = b, kde a > 0, b > 0 jsou konstanty. 3 [cylindrické souřadnice, ³ 2 obrázek ´ v R i4 projekce snadné, (zdůvodněte si); 2 vyjde Ix = Iy = πa2 b a4 + b3 , Iz = πa2 b ] 2 2 2.14 Hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , z 2 ≥ √x2 + y 2 , z ≥ 0 }, kde a > 0 je konstanta, s danou hustotou σ(x, y, z) = x + y + 1.
[lepší jsou sférické souřadnice, všechny meze konstantní, restrikce 4x, obrázek v R3 i projekce; výsledek není pěkný, ale integrace je jednoduchá (po úpravě): √ 2πa3 π 2 a4 πa4 2πa3 − + − ] 16 8 3 3
2.15 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] ∈ R3 ; x2 + y 2 ≤ 2ax, |y| ≤ x, 0 ≤ z ≤ x}, kde a > 0 je konstanta. [cylindrické souřadnice, stačí ³obrázek´ projekce, zkuste i obrázek v R3 , re¡ ¢ strikce 2x ϕıh0, π4 i ; vyjde a3 π2 + 43 ]
2.16 Hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] ∈ R3 ; a2 ≤ x2 + y 2 ≤ 4a2 , y ≤ x, 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 } s danou hustotou σ(x, y, z) = √ 2 1 2 2 , kde a > 0 je x +y +a
konstanta. 8
¡
¢
[cylindrické souřadnice, stačí obrázek projekce, restrikce 4x ϕıh0, π4 i ; vyjde ´ ³ √ √ 3 πa 2 5+ 2 ] 3
2.17 Objem a hmotnost tělesa Ω = {[x, y, z] ∈ R3 ; x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ x, 0 ≤ z, z ≤ x2 + y 2 } s danou hustotou σ(x, y, z) = 8 (64x2 y 2 + z). [cylindrické souřadnice,stačí obrázek projekce (meze z jasné) restrikce 4x; vyjde V = π4 , m = 26π 3 ]
2.18 Objem tělesa Ω = {[x, y, z] ∈ R3 ; x2 + y 2 ≤ 2x, −1 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 }. [cylindrické souřadnice, stačí obrázek projekce, zkuste i obrázek v R3 , restrikce 2x; vyjde 7π 2 ]
Ve všech příkladech jsou pouze obvyklé goniometrické nebo odmocninové substituce. Vždy zkuste také obrázek v R3 .
9
3
Křivkový integrál ve skalárním poli
Vypočtěte: 3.1 Hmotnost křivky γ : ~r(t) = cos t · ~i +√sin t · ~j + t · ~k, t ∈ h0, 2πi, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = 2z − x2 + y 2 . √ [integrací polynomu ihned vyjde 2 2π(2π − 1)] Z
3.2
2
γ
xy ds, kde γ = {[x, y] ∈ R2 ; xa2 +
y2 b2
= 1, x ≥ 0, y ≥ 0}, kde a >
0, b > 0 jsou konstanty. [obvyklá parametrizace elipsy (viz Integrální počet II, str. 37), „odmocninová ¡ ¢ ab(a2 +ab+b2 ) substituceÿ, a3 − b3 = (a − b) a2 + ab + b2 ; vyjde ] 3(a+b)
3.3 Hmotnost šroubovice γ : ~r(t) = t cos t ·~i + t sin t · ~j + 3t · ~k, t ∈ h0, 2πi, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = z. q
[obvyklá substituce, snadno vyjde
(4π 2 + 10)3 −
√ 103 ]
3.4 Obsah části válcové plochy s řídící křivkou γ = {[x, y, z] ∈ R3 ; x2 + y 2 = 1, z = 0}, je-li tato válcová plocha vymezena plochami z = x2 , z = 2+y 2 . [parametrizace kružnice; vyjde 4π (zkuste i obrázek) ]
3.5 Obsah části válcové plochy s řídící křivkou γ = {[x, y, z]; 4x2 + 9y 2 = 36, y ≥ 0, z = 0}, je-li tato válcová plocha vymezena plochami z = 0, z = −xy. [parametrizace elipsy, nutno integrovat v 1. a2. kvadrantu zvlášť, v obou √ integrálech obvyklá substituce · · · = u; snadno vyjde: 76 5 ]
3.6 Hmotnost křivky γ = {[x, y, z]; x2 + y 2 = 2y, z = x2 + y 2 , x ≥ 0, y ≥ 1}, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = x (y − 1). [parametrizace kružnice x2 + y 2 = 2y pro x ≥ 0, y ≥ 1, √ 1 12 (5 5 − 1)] Z
3.7
γ
√ · · · = u; vyjde
(z − x)2 ds,
kde γ : ~r(t) = (cos t − sin t) · ~i + 3t · ~j + (cos t + sin t) · ~k, t ∈ h0, 2πi. √ [snadno vyjde 4 11π]
10
Z √
3.8
γ
2 + x2 + y 2 ds, kde z+1 γ : ~r(t) = t cos t · ~i + t sin t · ~j + t · ~k, t ∈ h0, 2πi .
[po správném dosazení do integrálu a úpravě integrandu vyjde lehce: 2π 2 − 2π + 3 ln(2π + 1)]
3.9 Hmotnost oblouku šroubovice γ : ~r(t) = 3 cos t · ~i + 3 sin t · ~j + t · ~k, t ∈ h0, 2πi , je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = 2 + √ [snadno vyjde 4 10π]
x2 −y 2 . 10
3.10 Těžiště homogenního oblouku γ : ~r(t) = a cos t · ~i + a sin t · ~j + bt · ~k, t ∈ h0, πi , kde a > 0, b > 0 jsou konstanty.
h
i
πb [přesně podle vzorcu pro výpočet těžiště vyjde bez problémů T = 0, 2a π , 2 ]
3.11 Hmotnost oblouku šroubovice ¿
γ : ~r(t) = 2 cos t · ~i + 2 sin t · ~j + 3t · ~k, t ∈ 0, je-li dána hustota křivky σ(x, y, z) = [při integraci užijte vzorec Z
3.12
R
dt t2 +a2
=
1 a
À
2 , 3
1 . x2 +y 2 +z 2
arctan at ; vyjde
√
13π 24 ]
D
γ
E
xy ds, kde γ : ~r(t) = sin t2 · ~i + sin t cos t · ~j + cos t · ~k, t ∈ 0, π2 .
[ds =
p
1 + sin2 tdt, obvyklá substituce,
√ 2 + 1)]
2 15 (
Z
3.13
γ
|xy| ds, kde γ = {[x, y] ∈ R2 ; x2 + y 2 = 4}.
[parametrizace kružnice s restrikcí 4x snadno vyjde 16] Z
3.14
√ γ
y ds, kde γ : ~r(t) = a(t − sin t) · ~i + a(1 − cos t) · ~j, t ∈ h0, 2πi
(první oblouk tzv. cykloidy). √ [po správném zderivování a dosazení do integrálu ihned vyjde 2 2πa3/2 ]
11
Z q
3.15
γ
16x2 + y 2 ds, kde γ = {[x, y] ∈ R2 ; x2 +
y2 4
= 1}.
[parametrizace elipsy, integrand je po úpravě jednoduchý (odmocnina zmizí), vyjde 10π] d křivky γ : y = ln x, 3.16 Moment setrvačnosti Iy homogenního oblouku AB A = [1, 0], B = [2, ln 2].
√ √ [přesně podle vzorce pro Iy a parametrizaci x = t, y = ln t vyjde: 13 (5 5 − 2 2)] Z
3.17
γ
xy ds, kde křivka γ je dána jako obvod obdélníka ABCD s vrcholy
na přímkách x = 0, x = 4, y = 0, y = 2. [γ = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 ∪ γ4 , snadná parametrizace, vyjde 24] Z
3.18
γ
xyz ds, kde γ je dána jako oblouk křivky x = t, y =
1 3
√
mezi body určenými hodnotami parametru t = 0, t = 1. [integrací polynomu snadno vyjde Z
3.19
γ
√ 16 2 143 ]
D √ E z ds, γ : ~r(t) = t cos t · ~i + t sin t · ~j + t · ~k, t ∈ 0, 2 .
√ [také jednoduchý příklad, vyjde 13 (3 3 − 1)]
12
8t3 , z = 21 t2
4 4.1
Křivkový integrál ve vektrovém poli Přímým výpočtem
4.1 Spočítejte práci síly F~ = y ·~i + z · ~j + x · ~k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce γ, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch x2 + y 2 = 1, z = xy od počátečního bodu A = [1, yA , zA ] přes bod B = [xB , 1, zB ] do koncového bodu C = [−1, yC , zC ]. [nezadané souřadnice bodů A, B, C snadno spočítáte z rovnic ploch, stačí projekce oblouku ABC do roviny xy, parametrizace γ lehká: x = cos t, y = sin t ⇒ z = · · · , t ∈ h0, πi, (proč?) vyjde: − π2 + 23 ]
4.2 Spočítejte práci vektorového pole F~ = x · ~i + z 2 · ~j + exy · ~k podél křivky γ, která je dána jako uzavřená orientovaná křivka ABC tvořená oblouky na ploše z = 1 − x2 pro x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, které leží postupně v rovinách y = 0, z = 0, y = x. Orientace je dána pořadím bodů A = [0, 0, 1], B = [1, 0, 0], C = [1, 1, 0]. [nakreslete si obrázek γ v prostoru R3 (parab. válec proťatý 3 rovinami); ihned uvidíte γ = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 , parametrizací γ1 , γ2 , γ3 (není obtížná) a součtem 3 integrálů (polynomy a substituce) vyjde: 38 − 15 +e ]
4.3 Spočítejte práci silového pole F~ = xy · ~i − y · ~j které působí při pohybu hmotného bodu po kladně orientované uzavřené křivce γ+ tvořené √ oblouky na křivkách y = x2 , y = x. [obrázek γ = γ1 ∪γ2 je snadný, parametrizací γ1 , γ2 a součtem dvou integrálů snadno vyjde: 3 − 20 ]
4.4 Spočítejte práci vektoru F~ = (ex y 2 + z) · ~i + 2yez · ~j + x · ~k podél křivky γ : x = ln t, y = t2 , z = t, která je orientovaná z počátečního bodu A = [0, 1, 1] do koncového bodu B = [ln 2, 4, 2]. [obrázek γ nepotřebujeme, interval t ∈ h·, ·i zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: 31 2 ln t = t) ] 5 + 8(e + e) + 2 ln 2. (e
4.5 Určete hodnotu integrálu
R γ
4xydx + xdy − dz, kde
γ : ~r(t) = sin t · ~i + sin(2t) · ~j + e−t · ~k, 13
t ∈ h0, πi.
[přímým dosazením do integrálu a rozepsáním sin(2t) = . . . , cos(2t) = . . . vyjde: π − 31 − e−π ]
4.6 Spočítejte integrál jsou konstanty.
R γ
ydx − xdy, kde γ+ :
x2 a2
2
+ yb2 = 1, kde a > 0, b > 0
[parametrizace elipsy, ihned vyjde: −2πab ]
4.7 Spočítejte práci vektrového pole F~ = (x + y) · ~i + 2x · ~j podél kladně orientované kružnice γ+ se středem v počátku a poloměrem r. [také lehký příklad, parametrizace kruŘnice, vyjde: πr2 ]
4.8 Spočítejte práci vykonanou vektorem síly F~ = (3x2 + 2y 2 )·~i + (4xy − 3y 2 )· ~j po křivce γ : x2 +y 2 = 1 od počátečního bodu A = [1, 0] do koncového bodu B = [0, 1]. [obr. γ a parametizace kružnice jednoduché, obvyklými goniometrickými substitucemi vyjde: −2 ]
14
4.2
Nezávislost na integrační cestě
Ověřte podmínky nezávisloti na integrační cestě v daném potenciálovém poli F~ = (P, Q) resp. F~ = (P, Q, R), najděte potenciál V a pro zadané body A, B případně interval parametru t spočítejte práci konanou při pohybu bodu z počátečního bodu A do koncového bodu B. 4.9 F~ = (1 − 2xy − y 2 ) · ~i + (1 − 2xy − x2 ) · ~j, A = [0, 2], B = [1, 0]. [ V (x, y) = x − x2 y − y 2 x + y + c, W = −1 ]
4.10
R γ
xz 2 dx + y 3 dy + x2 zdz, A = [−1, 1, 2], B = [−4, 2, −1]. 4
2 2
[ V (x, y, z) x 2z + y4 + c, W = 39 4 , spočítejte si také integrací po orientované úsečce AB!]
4.11 F~ =
y2 1+x2 y 4
· ~i +
2xy 1+x2 y 4
· ~j, γ : ~r(t) = t · ~i + t2 · ~j, t ∈ h0, 1i.
[tento příklad si spočítejte více způsoby – vychází velice jednoduše integrací a) po zadané křivce gamma (subst. t5 = u) b) orientované úsečce AB (A = [0, 0], B = [1, 1]) c) „lomenéÿ orientované křivce γ = AC ∪ CB, kde C = [1, 0] V (x, y) = arctg(xy 2 ) + c, W = π4 ]
4.12 F~ = (x + yz) ·~i + (y + xz) · ~j + (z + xy) · ~k, A = [1, 2, 3], B = [0, 0, 0]. [V (x, y, z) =
x2 +y 2 +z 2 2
+ xyz + c, W = −13]
4.13 F~ = 2xy · ~i + x2 · ~j − t ∈ h π2 , πi.
1 z2
· ~k, γ : ~r(t) = t cos t · ~i + t sin t · ~j + t · ~k,
[V (x, y, z) = x2 y + z1 + c, W = − π1 , komplikovaný vypočet, když počítáme přímým výpočtem po křivce γ]
4.14 F~ = ex yz ·~i + (1 + ex z) · ~j + ex z · ~k, γ : ~r(t) = t ·~i + (t − 1) · ~j − 3t · ~k, A = [1, 0, −3], B = [−1, −2, 3]. [V (x, y, z) = yz ex + y + c, W = − 6e − 2, spočítejte si také přímým dosazením]
4.15 F~ =
1 z
· ~i +
1 z
· ~j −
x+y z
· ~k, γ : ~r(t) = t2 · ~i − 3t · ~j + t3 · ~k, t ∈ h1, 2i.
7 [V (x, y, z) = x+y z + c, W = 4 , velice pěkně vyjde i bez výpočtu V přímým dosazením]
15
4.16 F~ = (3x2 y 2 − 2z 4 ) ·~i + 2x3 y · ~j − 8xz 3 · ~k, spočítejte kmenovou funkci V. [V (x, y, z) = x3 y 2 − 2xz 4 + c]
4.17 F~ = y · ~i + x · ~j + 2z · ~k, A = [0, 0, 0], B = [1, 1, 2]. [V (x, y, z) = xy + z 2 + c, W = 5]
4.18 F~ =
1 y
·~i +
[V (x, y) =
x y
y 2 −x y2
· ~j, A = [1, 1], B = [−6, 3]. (předpokládáme, že y 6= 0).
+ y + c, W = −1]
4.19 F~ = cos(2y) · ~i − 2x sin(2y) · ~j, A = [1, π6 ], B = [2, π4 ]. [V (x, y) = x cos(2y) + c, W = −f rac12]
4.20 Zjistěte, zda výraz (2x cos y − y 2 sin x) dx + (2y cos x − x2 sin y) dy je totálním diferenciálem a určete potenciál V . [tedy opět ověříme podmínky nezávislosti a spočítáme V (x, y) = x2 cos y + y 2 cos x + c]
4.21 F~ = (yz − y + z + 3) · ~i + (xz − x + 1) · ~j + (xy + x + 2z) · ~k, A = [0, 1, 2], B = [3, 2, 5]. [V (x, y, z) = xyz − xy + xz + 3x + y + z 2 + c, W = 70]
4.22 F~ = (3x2 + 2y 2 ) ·~i + (4xy − 3y 2 ) · ~j, γ : x2 + y 2 = 1 A = [1, 0] do konc B = [0, 1]. [V (x, y) = x3 + 2xy 2 − y 3 + c, W = −2, spočítejte si také přímou integrací po γ]
16
4.3
Greenova věta
Ověřte podmínky použitelnosti Greenovy věty a užijte ji k výpočtu následujícího integrálu (cirkulace vektorového pole F~ ) po zadané křivce γ: I
4.23
γ−
(x+y)2 dx−(x−y)2 dy, kde γ− je záporně orientovaná křivka tvořená
obloukem grafu funkce y = sin x a úsečkou na ose x pro x ∈ h0, πi. [obrázek i výpočet dvojného integrálu jsou jednoduché (per partes), vyjde: 4π]
4.24 F~ = (1 − x2 ) · ~i + x (1 + y 2 ) · ~j, γ+ : ~r(t) = 3 cos t · ~i + 3 sin t · ~j, t ∈ h0, 2πi. [obrázek i výpočet dvojného integrálu je snadný (transformace do polárních souřadnic), bez problémů vyjde: 117 4 π, zkuste si také spočítat přímým výpočtem bez Greenovy věty - vychází to pěkně]
4.25 F~ = (xy + x + y) · ~i + (xy + x − y) · ~j, γ+ : x2 + y 2 = y. [parametrizace posunuté kružnice (polární souřadnice), v intergrandu je rozdíl dvou funkcí a rozdělíte-li si integrál na dva, bude druhý z nich nulový (proč?), pak už hned vyjde π8 ] I
4.26
γ+
(ex sin y − 16y) dx+(ex cos y − 16) dy, kde γ+ je kladně orientovaná
hranice oblasti D = {[x, y]; x2 + y 2 = ax, x ≥ 0, y ≥ 0}, kde a > 0 je konstanta. [opět posunutá kružnice, polárními souřadnicemi s posunem, nebo bez posunu do počátku, vyjde okamžitě 2πa2 (výsledek lze také uhodnout, protože integrand je konstanta)] I
4.27
γ
y 2 dx − x2 dy, kde γ+ je kladně orientovaná kružnice se středem S =
[1, 1] a poloměrem r = 1. [polárními souřadnicemi nutně s posunem do počátku
x y
= =
1 + ρ cos ϕ , konst. 1 + ρ sin ϕ
vyjde snadno −4π (vychází pěkně i přímým výpočtem bez použití Greenovy věty)] meze ρ, ϕ;
4.28
I ³
´
³
´
x2 − y 2 dx + x2 + y 2 dy, kde γ− je záporně orientovaná křivka γ √ tvořená půlkružnicí y = r2 − x2 a úsečkou na ose x.
17
[„obyčejnéÿ polární souřadnice s konstantními mezemi, bez problémů vyjde − 43 r3 ]
4.29
I ³ γ
´
³
´
6x cos y − y 3 dx+ x3 − 3x2 sin y dy, kde γ+ je kladně orientovaná
kružnice x2 + y 2 = 1. [také „obyčejnéÿ polární souřadnice s konstantními mezemi, velice jednoduchý integrál, výsledek 3π 2 (bez použití Greenovy věty vychází nepěkně)] I
4.30
γ
(x + y)2 dx − (x − y)2 dy, kde γ+ je kladně orientovaná křivka tvořená
obloukem paraboly y = x2 a úsečkou na přímce y = x. [bez problémů ihned vyjde − 13 ]
4.31 F~ = y1 · ~i − x1 · ~j, γ+ je trojúhelník ABC s vrcholy A = [1, 1], B = [2, 1], C = [2, 2]. [také jednoduchý příklad bez transformace do polárních souřadnic, vyjde 21 ]
4.32
I ³ γ
´
xy + x2 dx + x2 ydy, kde γ+ je kladně orientovaná hranice oblasti
D = {[x, y]; 0 ≤ x ≤ y ≤ 1}. [snadné s Greenovou větou i bez Greenovy věty, integrací polynomu vyjde 1 12 ]
4.33 F~ = (1 + xy)exy · ~i + x2 (1 + exy ) · ~j, γ+ obdélník ABCD s vrcholy A = [0, 0], B = [2, 0], C = [2, 1], D = [0, 1]. [integrand vychází velice jednoduše, lehce vyjde: 4] 1 ~ 4.34 F~ = x arctan y · ~i + 1+y 2 · j, γ+ je trojúhelník KLM s vrcholy K = [−1, 0], L = [0, 0], M = [0, 1].
[těžší příklad: nejdříve substituce x+1 = t potom per partes u = arctg t, t − 1; pak už bez problémů vyjde 12 (1 − ln 2)]
v0 =
„Obrácenouÿ Greenovou větou spočítejte obsah rovinného obrazce D: 4.35 D = {[x, y] ∈ R2 ; x2 ≤ y ≤ x}. [parametrizace γ+ = γ1 ∪ γ2 snadná, bez problémů vyjde věty ješte kratší)]
18
1 6
(bez Greenovy
4.36 D = {[x, y] ∈ R2 ; y ≥ ln x, −x + 1 ≤ y ≤ 1}. [také nutný obrázek, parametrizace γ+ = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 není obtížná, vyjde e − 32 ]
4.37 D = {[x, y] ∈ R2 ; ex ≤ y ≤ eπ , x ≥ 0}. (Pozor: eπ je konstanta!) [opět parametrizace γ+ = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 , užitím per partes vyjde eπ (π − 1) + 1 (bez Greenovy věty je výpočet kratší – zkuste si spočítat)]
19
