velryba beluga rozsah slyšitelných frekvencí: khz Klishin et al. Aquatic Mammals 26, (2000)

• velryba l b beluga b l • rozsah slyšitelných frekvencí: 1.2 – 120 kHz

Klishin et al. Aquatic Mammals 26, 212-228 (2000)

Odraz vlnění f  x  vt 

• obecná vlna

y  f  x  vt   g  x  vt 

 f  x  vt 

x

•x=0y=0

g  vt    f vt 

x

y  f  x  vt   f  x  vt  x

x

Stojaté vlnění • odraz periodické vlny

y  f  x  vt   f  x  vt 

f x  vt   ei t  x / v   f  x  vt   ei t  x / v 

x   it    2ei t sinkx y 2e sin  v  • uzlyy

x v

 kx   n

x n

 2

n  0,1,2,3,

Stojaté vlnění módy

• vlny v ohraničené oblasti

n 1

• struna délky L upevněná na obou koncích

1  2 L 1  0

x   it    2ei t sinkx y 2e sin  v 

n2

2  L 2  20 n3 2 3  L 3  30 3 n4 1 2  L 4  40 2

• uzly musí být v x = 0 a x = L

L v k

k

 kL   n

n  1,2,3, 

n L 2



n 

2L n  1,2,3,  n

n  n

0  

v L

v  n0 L

n  1,2,3,

základní ákl d í frekvence f k

Stojaté vlnění • vlny v ohraničené oblasti • struna délky L upevněná na obou koncích

x   it    2ei t sinkx y 2e sin  v  • uzly musí být v x = 0 a x = L

L v k k

 kL   n

n  1,2,3, 

n L 2



n 

2L n  1,2,3,  n

n  n

0  

v L

v  n0 L

n  1,2,3,

základní ákl d í frekvence f k

Stojaté vlnění n  n

v  n0 L

v 0   L

n  1,2,3, 

základní frekvence

rychlost šíření vlny ve struně

v

Ft



Ft – napěťová síla struny  – hmotnost struny na jednotku délky základní frekvence

0 

 L

Ft



Chladniho obrazce na ozvučné desce kytary

Stojaté vlnění • tón D4

kalimba

• 293.7 293 7 H Hz

kytara y

D. Chapman, Acoustic’ 08 Paris

Stojaté vlnění 1.5

• tón D4

kalimba

1.0

• 293.7 293 7 H Hz y

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5 0

2

4

6

8

10

12

14

10

12

14

t (ms) 1.5

kytara y

1.0

y

0.5

0.0

-0.5

-1.0 10

-1.5 0

2

4

6

8

t (ms)

Fourierova řada • periodickou funkci můžeme napsat jako součet harmonických vln

f t   f t  T  • Fourierova řada  a0  f t     an cosnt    bn sin nt  2 n 1 n 1

jediný nenulový člen am 2

2  T 1 T

t 0 T



t0

1 f t  cosmt dt  T

t 0 T



t0

a0 1 cosmt dt  2 T

1  T

t 0 T

t 0 T

1     a cos  t cos m  t d t    t 1 T 0

1     b cos  t sin m  t d t    t 1 T 0

t 0 T

b

m

t0

t 0 T

2 mt dt   a cos m 

t0

cosmt sin mt dt  

Fourierova řada • periodickou funkci můžeme napsat jako součet harmonických vln

f t   f t  T 

• Fourierovy koeficienty

• Fourierova řada

f t  







a0   an cosnt    bn sin nt  2 n 1 n 1

2 T

2 a0  T

t 0 T

2 an  T

t 0 T

2 bn  T

t 0 T

 f t  dt

t0

 f t cosnt  dt

t0

 f t sinnt  dt

t0

Fourierova řada • příklad: obdélníkové kmity

4 an  0 b2 n  0 b2 n 1  2n  1 4 1 1  4  1 f t    sin i  t  sin i 3 t  sin i 5 t     sin i 2n  1t   3 5   n 1 2n  1  a0  f t     an cosnt    bn sin nt  2 n 1 n 1

2  T

Fourierova řada 10 členů řady

• příklad: obdélníkové kmity

4 an  0 b2 n  0 b2 n 1  2n  1 4 1 1  4  1 f t    sin i  t  sin i 3 t  sin i 5 t     sin i 2n  1t   3 5   n 1 2n  1 1.4





a f t   0   an cosnt    bn sin nt  2 n 1 n 1

2  T

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20



Fourierova řada 100 členů řady

• příklad: obdélníkové kmity

4 an  0 b2 n  0 b2 n 1  2n  1 4 1 1  4  1 f t    sin i  t  sin i 3 t  sin i 5 t     sin i 2n  1t   3 5   n 1 2n  1 1.4





a f t   0   an cosnt    bn sin nt  2 n 1 n 1

2  T

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20



Dopplerův jev • Christian Doppler, Praha 1842 • pohybující se zdroj vlnění

• zdroj v klidu

• zdroj v pohybu

• perioda vlnění: T0

• perioda vlnění: T

• frekvence: f0 = 1 / T0 = v / 0

• frekvence: f = 1 / T = v / 

  0  vsT0

0  vT0 vsT0

f  f0

v v  vs

Dopplerův jev • Christian Doppler, Praha 1842 • zdroj se pohybuje k nám: • frekvence:

v f  f0 v  vs

• vlnová délka:

  0  vsT0

• zdroj se pohybuje od nás: • frekvence: f k

• vlnová délka:

f  f0

v v  vs

  0  vsT0

pozorovatel zdroj d j

vp

vs vs  0

vs  0

• frekvence vlnění

vp  0 vp  0

f  f0

v  vp v  vs

Dopplerův jev

• frekvence vlnění

f  f0

v  vp v  vs

pozorovatel zdroj

vs

• zdroj se pohybuje ke stojícímu pozorovateli rychlostí zvuku

vs  v

vp  0

f 

• zdroj se pohybuje od stojícího pozorovatele rychlostí zvuku

vs  v

vp  0

1 f  f0 2

• zdroj d j se pohybuje h b j ke k stojícímu jí í pozorovateli li rychlostí hl í převyšující ř š jí í rychlost hl zvuku k

vs  v

vp  0

f 0

vp

Rudý a modrý posuv • absorbční spektra hvězd

pozorovatel zdroj

vs

• rudý ý pposuv – hvězda letící od nás • modrý posuv – hvězda letící k nám



vp

Mechanika kontinua - napětí • spojité prostředí – kontinuum • objemové síly – působí současně na všechny částice kontinua (např. tíhová síla) • plošné l š é síly íl – působí ů bí na povrchh studované t d é části čá ti kontinua k ti a způsobují ů b jí jeho j h deformaci d f i

• napětí

  dF  dS

S

z

 F

• jednotky j d tk Pascal P l [Pa] [P ] = N Nm-22 síla působící na malý plošný element dělená jeho plochou

y

x

Mechanika kontinua - napětí 





• napětí

  dF  dS

n 



• znaménková konvence • tažné napětí  > 0

• normálové napětí

  dF n  n dS

(kolmo na plochu)

• tečné (smykové) napětí

  dFt   dS

(v rovině plochy)

• kompresní napětí  < 0

Mechanika kontinua - napětí • tenzor napětí

  xx  xy  xz      yx  yy  yz      zy zz   zx

 xy   yx  xz   zx  yz   zy

• čistě tahové složky (tlakové) složky:

 xx ,  yy ,  zz • smykové složky:

 xy , xz , yz

Mechanika kontinua - napětí • tenzor napětí

  xx  xy  xz      yx  yy  yz      zy zz   zx

 xy   yx  xz   zx  yz   zy

• napětí v obecné rovině:

  x    xx  xy  xz  x            y     yx  yy  yz  y          zy zz  z   z   zx



   σv

   x , y , z  



 1

Mechanika kontinua - napětí • tenzor napětí

  xx  xy  xz      yx  yy  yz      zy zz   zx

 xy   yx  xz   zx  yz   zy z

• hlavní roviny

 1 0 0     0 2 0  0 0   3  • 1, 2 , 3 - hlavní napětí p

 xyy

1

y

x

Mechanika kontinua - napětí • jednoosá napjatost

z

  yy

x

• dvojosá napjatost

  xx

 yy   yy  xx

y

• trojosá napjatost

 zz

  xx

 yy   yy  xx

  zz

tenzor napětí

σ

0 0   0  yy 0 0 

0  0 0 

  xx 0   0  yy  0 0 

0  0 0 

0    xx 0    0  yy 0   0 0  zz  

 yy

Mechanika kontinua - deformace • deformace vede k posunutí částic kontinua







• posunutí u  r   r

u x 1  u x u x      x 2  x x  u y 1  u y u y      • deformace ve směru osy y:  yy  y  y 2  y u z 1  u z u z       • deformace ve směru osy z: zz  z 2  z z  • deformace ve směru osy x:  xx 

ux

y

 r'

• deformace způsobené normálovými napětími

 uy u  r x

Mechanika kontinua - deformace • deformace smykovými napětími • deformace ve směru osy x:  yx

ux   tg y p posunutí ve směru osy x

plocha, v které se posunutí děje, je kolmá na osu y

• deformace d f ve směru ě osy y:  xy 

uy x

 tg t 

Mechanika kontinua - deformace • deformace smykovými napětími

+

+

• xy a –yx dohromady

• xy a yx dohromady

• rotace,, ale žádná deformace

•p prostý ý smyk y

 xy   yx

Mechanika kontinua - deformace • deformace smykovými napětími • deformace ve směru osy x:  yx

• malé deformace

ux   tg y

tg   u  yx  x   yx y

 xy  • deformace d f ve směru ě osy y:  xy 

uy x

 tg t 

u y x

  xy

 xyy   yyx   xyy   yyx • úhel smyku

 xy

1  u x u y     xy    2  y x 

Mechanika kontinua - deformace

• tenzor malých deformací:

  xx  ε    yx   zx

1  ui u j   ij    2  x j xi 







• posunutí bodu s polohovým vektorem r při deformaci: u  ε r

 u x    xx     u y     yx u    z   zx

 xy  xz  x     yy  yz  y   zy  zz  z 

 xy  xz    yy  yz   zy  zz 

 xyy   yyx  xz   zx  yz   zy

Mechanika kontinua - deformace • tenzor malých deformací

  xx  ε    yx   zx

 xy  xz    yy  yz   zy  zz 

 xy   yx  xz   zx  yz   zy

1  ui u j    ij   2  x j xi 

xx – relativní změna délkyy elementu,, kterýý byl y před p deformací rovnoběžný ý s osou x yy – relativní změna délky elementu, který byl před deformací rovnoběžný s osou y zz – relativní změna délky elementu, elementu který byl před deformací rovnoběžný s osou z xy – je rovna polovině úhlu o který se deformací změní pravý úhel mezi elementy původně ů d ě rovnoběžnými běž ý i s osou x a y

xz – je rovna polovině úhlu o který se deformací změní pravý úhel mezi elementy původně rovnoběžnými s osou x a z

yz – je rovna polovině úhlu o který se deformací změní pravý úhel mezi elementy původně rovnoběžnými s osou y a z