Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 1 Coördinaatstelsels en scalarvelden in R2

UNIVERSITEIT TWENTE.

Vandaag

collegejaar college build slides

: : : :

14-15 1 27 augustus 2014 33


Coördinaatstelsels Scalarvelden

Vectoranalyse voor TG

1

Coördinatenstelsels

2

Scalarvelden in R2

VA.14-15[1] 27-8-2014 1

VA

vandaag TG

Voorkennis


Zelf bestuderen uit §1.1, §1.2 en §1.3: • Optellen en scalair vermenigvuldigen van vectoren. • Parametervoorstelling van een lijn met behulp van vectoren. • Vergelijking van een lijn. • Lijn door twee punten. • Lijnsegment. • Inproduct van twee vectoren. • Lengte van een vector. • Hoek tussen twee vectoren. • Projecties. • Vectorproduct (uitproduct). • Inhoud en oppervlakte.


Zie ook: Vectoranalyse voor TG

• Thomas’ Calculus, §12.1 tot en met §12.5. • Blokboek Ruimtewiskunde en Matlab: hoofdstuk 4, sectie ‘Oppervlakte, inhoud en determinanten’.

VA.14-15[1] 27-8-2014 2

VA

Assenstelsels in R2

§1.1

alg/1 TG


y Coördinaatstelsels Scalarvelden

O

x

Kies een oorsprong. Kies een x-as. De pijlpunt geeft het positieve deel van de x-as weer. De y-as ligt vast: • De y-as staat loodrecht op de x-as. • De positieve y-as wordt uit de positieve x-as verkregen door 90 ◦ naar links te draaien.

Vectoranalyse voor TG VA.14-15[1] 27-8-2014 3

VA

vr/1 TG

Cartesische coördinaten in R2


y Coördinaatstelsels

P

p2

Scalarvelden

x

p1

O

Stel P is een punt in het platte vlak. Bereken de projecties p1 en p2 van P op de x en y-as. De Cartesische coördinaten van P zijn p1 en p2 , notatie: P = (p1 , p2 ). Ieder punt P ∈ R2 kan op deze manier worden voorzien van unieke Cartesische coördinaten.


VA

Vectoren in R2

vr/2 TG


Een vector is een wiskundig object met een grootte en een richting. Coördinaatstelsels

Een vector kun je grafisch weergeven met een pijl: v

Scalarvelden

Q

P Vectoren hebben een begin- en een eindpunt. # » De naam van een vector is vetgedrukt: v = PQ. Vectoren veranderen niet als ze worden getransleerd: v1 v2 v1 = v2


VA

vr/3 TG

Vectoren in R2



P

p2

Scalarvelden

v p1

O

x

Een vector staat is standaardpositie als het beginpunt gelijk is aan de oorsprong. De componenten van de vector zijn de coördinaten van het eindpunt van de vector Notatie: " # # » p1 v = (p1 , p2 ) = met v = OP en P = (p1 , p2 ). p2 De vector v heet de plaatsvector van P.

Assenstelsels in R3


VA

vr/4 TG


z Coördinaatstelsels Scalarvelden

y O x Kies een oorsprong. Kies een x-as. Kies een y-as loodrecht op de x-as. De z-as ligt vast: • De z-as staat loodrecht op de x en y-as. • De richting van de z-as wordt bepaald met behulp van de rechterhandregel.


VA

vr/5 TG

Vectoren in de ruimte


z Coördinaatstelsels

p3

Scalarvelden

v

P p2

O

y

p1 x In R3 hebben punten drie coördinaten: P = (p1 , p2 , p3 ). Vectoren hebben drie componenten:   p1   v = (p1 , p2 , p3 ) =  p2  p3


# » waarbij v in standaardpositie is, dus v = OP.

Standaard basisvectoren in R2

VA

§1.2.12

vr/6 TG



y ey

x ex + y ey

ey

v

O

ex

Scalarvelden

x

x ex

In R2 definiëren we de standaarbasisvectoren ex en ey door "

ex =

1 0

#

"

en

ey =

#

0 . 1

Iedere vector v = (x, y) in R2 kan geschreven worden als v = x ex + y ey .


VA

vr/7 TG

Standaard basisvectoren in R2

§1.2.12


z z ez

ez O ex

x ex

Coördinaatstelsels

x ex + y ey + z ez

v

Scalarvelden

y ey

ey

y

x In R3 definiëren we de standaarbasisvectoren ex , ey en ez door      1 0 0       ex =  0  , ey =  1  en ez =  0  . 0 0 1 Iedere vector v = (x, y, z) in R3 kan geschreven worden als v = x ex + y ey + z ez . Thomas gebruikt i, j en k in plaats van ex , ey en ez .

Poolcoördinaten


VA

vr/8 TG


Definitie

De lengte van een vector x = (x1 , x2 ) is gedefinieerd als |x| =

q

x12

+

y |x|

x22 .

Het argument van een vector x 6= 0 is de hoek die de lijn door O en het eindpunt van x maakt met de positieve x-as.

θ O

Coördinaatstelsels

x

Scalarvelden

x

Het argument van de oorsprong is niet gedefinieerd. Het argument wordt gegeven in radialen. Het argument wordt gemeten vanaf de positieve reële as. Als de richting tegen de richting van de wijzers van de klok is, is het argument positief. Als de richting in de richting van de wijzers van de klok is, is het argument negatief. Het argument is niet uniek bepaald.


VA

pc/1 TG

Basisvectoren


We noteren een vector v met lengte r en argument θ als volgt: Coördinaatstelsels

v = r er + θ eθ

Scalarvelden

De notatie r er + θ eθ is symbolisch: er en eθ zijn geen vectoren. Je kunt er niet of moeilijk mee rekenen. Bijvoorbeeld: stel v = r er + θ eθ , dan αv = αr er + θ eθ . Het argument van een vector verandert niet bij scalaire vermenigvuldiging. y

Je mag niet componentsgewijs optellen. Bijvoorbeeld: stel v = (1, 0) = 1 er + 0 eθ en w = (0, 1) = 1 er + π2 eθ , dan √ v + w = (1, 1) = 2 er + π4 eθ .

w

√

v+w 2 π 4

O

v

x


VA

Van poolcoördinaten naar Cartesische coördinaten

pc/2 TG


y y

Coördinaatstelsels

v

Scalarvelden

r θ x

x

Stel v 6= 0 heeft argument θ en lengte r. Definieer v = (x, y) dan x y cos θ = en sin θ = . r r Hieruit volgt


x = r cos θ,

VA.14-15[1] 27-8-2014

y = r sin θ.

13

VA

pc/3 TG

Van Cartesische coördinaten naar poolcoördinaten


y y

Coördinaatstelsels

v

Scalarvelden

r θ

x

x

Stel v = x ex + y ey . Voor de lengte van v geldt |v| =

q

x 2 + y2.

Voor het argument θ van v geldt y tan θ = , x mits x 6= 0.

Vectoranalyse voor TG VA.14-15[1] 27-8-2014

Let op: alleen als x > 0 geldt er: θ = arctan

y x

.

14

VA

Van Cartesische coördinaten naar poolcoördinaten Voorbeeld

Schrijf v =

√

pc/4 TG


3, −1 in poolcoördinaten.


y √

0

3

x

− π6 2

√

3, −1

q √

( 3)2 + (−1)2 = 2. √ De punten (0, 0), ( 3, 0) en v vormen een rechthoekige driehoek met schuine zijde 2 en een rechthoekszijde 1, dus het argument van v is gelijk aan − π6 . √ In poolcoördinaten is 3, −1 gelijk aan v = 2 er − π6 eθ . |v| =


VA

pc/6 TG

Cilindercoördinaten


z ζ

v


θ

r

x

v0

y

Gegeven is een vector v in R3 . Projecteer v op het xy-vlak, noem de projectie v0 . Definieer r = |v0 | en θ is het argument van v0 , oftewel v0 = r er + θ eθ . Definieer ζ als de z-coördinaat van v. De getallen r, θ en ζ zijn de cilindercoördinaten van v. Notatie: v = r er + θ eθ + ζ eζ .

Cilinderco¨rdinaten en Cartesische coördinaten


VA

cc/1 TG


Stel v = r er + θ eθ + ζ eζ , dan x = r cos θ

Coördinaatstelsels

y = r sin θ

Scalarvelden

z =ζ Stel v = x ex + y ey + z ez = (x, y, z). • v0 = x ex + y ey = (x, y, 0) • Voor de lengte r p van v0 geldt r = |v0 | = x 2 + y 2 . • Voor het argument θ van v0 geldt y tan θ = , x mits x 6= 0.


• ζ = z.

17

VA.14-15[1] 27-8-2014

VA

cc/2 TG

Bolcoördinaten


z Coördinaatstelsels Scalarvelden

v ϕ ρ θ

v0

y

x 3 Gegeven is een vector pv in R . Definieer ρ = |v| = x 2 + y 2 + z 2 . Projecteer v op het xy-vlak, noem de projectie v0 . Definieer θ als het argument van v0 . Definieer ϕ als de hoek die v maakt met de positieve z-as. De getallen r, ϕ en θ zijn de bolcoördinaten van v: v = ρ eρ + ϕ eϕ + θ eθ .

Bolco¨rdinaten en Cartesische coördinaten z


VA

bc/1 TG


z v

v

Scalarvelden

ρ

ϕ

ϕ

Coördinaatstelsels

ϕ

z

ρ r θ

v0

y

r

v0

x Stel v = ρ eρ + ϕ eϕ + θ eθ , dan v0 = r er + θ eθ , dus z = ρ cos ϕ r = ρ sin ϕ Hiermee leid je direct af: x = r cos θ = ρ sin ϕ cos θ y = r sin θ = ρ sin ϕ sin θ


z = ρ cos ϕ VA

bc/2 TG

Van Cartesische coördinaten naar bolco¨rdinaten


Stel v = x ex + y ey + z ez = (x, y, z). Voor de lengte ρ van v geldt ρ = |v| =

Coördinaatstelsels

q

x 2 + y2 + z 2.

Scalarvelden

De hoek ϕ wordt gemeten vanaf de positieve z-as, dus geldt 0 ≤ ϕ ≤ π. Daarom geldt voor ϕ: z ϕ = arccos ρ mits v 6= 0.

z = arccos p 2 x + y2 + z 2

!

Voor de hoek θ geldt y tan θ = , x mits x 6= 0.


VA

Scalarvelden

bc/3 TG


Definitie

Een scalarveld is een functie die aan iedere vector een getal toevoegt.


Scalarvelden kun je definiëren op Rn of een deel daarvan, voor iedere waarde van n. Een scalarveld is in feite een functie die van meer variabelen afhangt. Stel x = (x1 , x2 , . . . , xn ), dan schrijven we f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ). Voorbeeld

Definieer de functie f (x, y) = x 2 − y 2 . Dan kunnen we f opvatten als een scalarveld dat aan iedere vector x = x1 ex + x2 ey het getal f (x1 , x2 ) = x12 − x22 toevoegt.


VA

sv/1 TG

De grafiek van een scalarveld


Definitie

Stel f : D → R is een functie gedefinieerd op D ⊆ R2 . De grafiek van f is de verzameling.


graf(f ) = {(x, y, f (x, y)) | (x, y) ∈ D} De grafiek van een functie is een deelverzameling van R3 . Definieer f (x, y) = x 2 − y 2 voor alle (x, y) ∈ D met D = [−1, 1] × [−1, 1]. z Vectoranalyse voor TG

y

VA.14-15[1] 27-8-2014

x

22

VA

De grafiek van een scalarveld

fig. 14.11(b) op blz.

sv/2 TG


Definieer f (x, y) = (4x 2 + y 2 )e −x

2 −y 2 Coördinaatstelsels

voor (x, y) met −3 ≤ x ≤ 3 en −3 ≤ y ≤ 3.

Scalarvelden

Grafieken kun je plotten met MATLAB of Mathematica: z

−3

−3


x

3

3

y

VA.14-15[1] 27-8-2014 23

VA

sv/3 TG

Niveauverzamelingen


Definitie

2.1.1

Stel f : V ⊆ R2 → R is een scalarveld. De niveauverzameling bij niveau c is gegeven door


{(x1 , x2 ) ∈ V | f (x1 , x2 ) = c}. Niveauverzamelingen zijn deelverzamelingen van R2 . De niveauverzameling bij niveau c is de oplossingsverzameling van de vergelijking f (x1 , x2 ) = c. Een niveauverzameling kan leeg zijn. Bijvoorbeeld: de niveauverzameling bij niveau −1 van de functie f (x, y) = x 2 + y 2 is leeg. In veel gevallen zijn niveauverzamelingen krommen. We spreken daarom ook van niveaukrommen.


VA

Grafische voorstelling van niveauverzamelingen

1/e

sv/4 TG


1/e

0.1 Coördinaatstelsels

1

1

Scalarvelden

0.1

f (x, y) = (4x 2 + y 2 )e −x

2

−y 2

De niveauverzameling op niveau 0.1 bestaat uit twee gesloten krommen. De niveauverzameling op niveau 1 bestaat uit twee gesloten krommen. De niveauverzameling op niveau 1/e bestaat uit twee gesloten krommen die elkaar snijden. De niveauverzameling op niveau 4/e bestaat uit punten.


VA

sv/5 TG

Hoogtelijnen



Juancho E. Yrausquin Airport (Saba)

Een hoogekaart is een kaart waarop de grafiek van de hoogte (als functie van de plaats) is afgebeeld met behulp van niveauverzamelingen. Deze niveauverzamelingen heten hoogtelijnen. Hoogtelijnen verbinden punten van gelijke hoogte. Hoe dichter hoogtelijnen bij elkaar liggen, des te steiler is het gebied. Het vliegveld (lengte: 400 m) is een voorbeeld van een niveauverzameling die geen kromme is.

Isobaren


VA

sv/6 TG



Isobaren verbinden punten van gelijke luchtdruk. Hoe dichter isobaren bij elkaar liggen, des te harder het waait.


VA

sv/7 TG

Kleurtoon (hue)



.2

0

.4

.6

.8

1

Gebruik de kleurtoonschaal om aan iedere functiewaarde een kleur toe te kennen. Niveauverzamelingen worden isochromen: verzamelingen punten met dezelfde kleur. z 1

−2

−1

1

2

VA.14-15[1] 27-8-2014

−1

28

y

x


VA

Electrische dipolen

sv/8 TG


y

x Coördinaatstelsels

r2

r1

Scalarvelden

x q

−q 1 2l

1 2l

Een electrische dipool bestaat uit twee tegengestelde ladingen q en −q op een onderlinge afstand l. We plaatsen de lading q op het punt (l/2, 0) en de lading −q op het punt (−l/2, 0). De potentiaal in een punt x wordt gegeven door q 1 1 Udip (x) = − , 4πε0 r1 r2 waarbij r1 de afstand van q tot x is, en r2 de afstand van −q tot x.


VA

ed/1 TG

Electrische dipolen


De potentiaal is evenredig met het scalarveld 1 1 f (x) = f (x1 , x2 ) = − r1 r2 1 1 − = x − 12 l, 0 x − − 12 l, 0 = r

1 x1 −

1 2l

2

+

x22

− r


1 x1 +

1 2l

2

. +

x22

y −q Vectoranalyse voor TG

q x

VA.14-15[1] 27-8-2014 30

VA

Equipotentiaallijnen

ed/2 TG



−q

q

De niveauverzamelingen van een potentiaalfunctie heten equipotentiaallijnen. Voor een electrische dipool bestaan de equipotentiaallijnen uit gesloten krommen om ( 12 l, 0) of (− 12 l, 0). De equipotentiaallijn bij potentiaal 0 is de verticale lijn x = 0.


VA

ed/3 TG

Niveaukrommen


Voorbeeld

2.1.4

Bepaal de niveaukrommen van


f (x, y) = x 2 − y 2 .

Methode 1: Probeer de niveaukrommen te beschrijven als grafiek van een functie: dat wil zeggen, los y op uit f (x, y) = c: x 2 − y 2 = c, 2

2

y = x − c, p

y = ± x 2 − c. ⇒ x 2 ≥ c De niveaukrommen zijn√samengesteld uit twee√grafieken van de functies g(x) = x 2 − c en h(x) = − x 2 − c.

Niveaukrommen


VA

sv/11 TG

UNIVERSITEIT TWENTE. 1 4

−4 −1 0 1 4

2


1 −2

−1

1

2

−1 −2

√

−4 −1 0

2 Stel c = −1, √ dan zijn g(x) = x + 1 en h(x) = − x 2 + 1 gedefinieerd voor iedere x ∈ R. √ Stel c = 1, dan zijn g(x) = x 2 − 1 en √ h(x) = − x 2 − 1 gedefinieerd voor alle x > 1 en x < −1. Stel c = 0, dan zijn g(x) = |x | en h(x) = − |x | gedefinieerd voor iedere x ∈ R.


VA

sv/12 TG

Vectoranalyse voor TG

Recommend Documents