Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 10 De stelling van Stokes

UNIVERSITEIT TWENTE.

collegejaar college build slides

Vandaag

: : : :

14-15 10 25 september 2014 28


De stelling van Stokes Eigenschappen en toepassingen

1 2 3 4

Rotatie De stelling van Stokes De stelling van Green De wet van Faraday

Vectoranalyse voor TG VA.14-15[10] 25-9-2014 1

VA

vandaag TG

De stelling van Stokes

§4.5.6

Stelling – Stokes

Vergeleijking (4.62)

Section 16.7


Theorem 6


Het oppervlak S is georiënteerd en stuksgewijs glad. De rand C van S is een georiënteerde, enkelvoudige, gesloten, stuksgewijs gladde kromme, waarvan de oriëntatie overeenstemt met die van S volgens de rechterhandregel; Vectorveld F heeft continue partiële afgeleiden op een open omgeving van S. Dan geldt

I

F C

· dr =

ZZ

VA.14-15[10] 25-9-2014

·

curl F n dσ. S

Vectoranalyse voor TG

2

VA

Circulatie

Zie ook college 10

st/1 TG


Definitie

Gegeven is een stroming v in R3 . Stel C is een georiënteerde, gesloten kromme.I De circulatie door C is de lijnintegraal van v door C , dus

v C

n

· dr.


S

C Stelling – circulatiestelling

Stel S is een klein georiënteerd oppervlak met normaal n, dan I

v C

· dr ≈ (curl v · n) opp(S).


VA

st/2 TG



n2 B

n1

C0 S2

C


D0

A S1 D I

·

·

Voor vlak S1 geldt: curl F n1 opp(S1I) ≈ F dr. C1 Voor S2 geldt: curl F n2 opp(S2 ) ≈ F dr.

·

C2

·

Lijnstuk AB wordt twee keer doorlopen, maar in tegengestelde richting, dus I

I

I

· dr + C F · dr = ∂(S F∪S· )dr. I Dus curl F ·n1 opp(S1 )+curl F ·n2 opp(S2 ) ≈ F · dr. ∂(S ∪S ) F

C2

2

1

2

1

2



VA

st/3 TG

UNIVERSITEIT TWENTE. nk

Sk


S

Eigenschappen en toepassingen

C = ∂S Door herhaald toepassen krijg je een Riemann som X

·

curl F nk opp(Sk ) ≈

I

F ∂S

k

· dr.

Maak de oppervlakjes Sk kleiner en kleiner. Door limiet opp(Sk ) → 0 te nemen volgt de stelling van Stokes: ZZ

·

I

curl F n dσ = S

F ∂S

· dr.


VA

st/4 TG



Voorbeeld

Section 16.7, example 2

Gegeven is het vectorveld F = (y, −x, 0). Verifieer de stelling van Stokes voor het oppervlak S: x 2 + y 2 + z 2 = 9, z ≥ 0.


Kies de oriëntatie van ∂S is linksom (van boven gezien). Parametrisering van C = ∂S: r(θ) = (3 cos θ, 3 sin θ, 0) met 0 ≤ θ ≤ 2π. r0 (θ) = (−3 sin θ, 3 cos θ, 0)

F r(θ) = (3 sin θ, −3 cos θ, 0) F r(θ) r0 (θ) = −9 sin2 θ − 9 cos2 θ = −9.

·

Z

F C

· dr =

Z 2π

F r(θ) 0

Z 2π

· r (θ) dθ 0

−9 dθ = −18π.

0

Voorbeeld (vervolg)


VA

st/5 TG


curl F(x, y, z) = (0, 0, −2) = −2k. In Thomas wordt de oppervlakteintegraal met behulp van de impliciete vorm berekend. Dit voorbeeld wordt berekend met een expliciete parametrisering.


Parametrisering van S: r(ϕ, θ) = (3 sin ϕ cos θ, 3 sin ϕ sin θ, 3 cos ϕ) met 0 ≤ ϕ ≤ π/2 en 0 ≤ θ ≤ 2π. rϕ = 3(cos ϕ cos θ, cos ϕ sin θ, − sin ϕ). rθ = 3(− sin ϕ sin θ, sin ϕ cos θ, 0). rϕ × rθ = 9 sin ϕ(sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ).


Als 0 ≤ ϕ ≤ π/2 dan cos ϕ ≥ 0, dus rϕ ×rθ wijst naar boven. VA.14-15[10]

·

curl F r(ϕ, θ) (rϕ × rθ ) = −18 sin ϕ cos ϕ = −9 sin(2ϕ). RR S

·

curl F n dσ =

R 2π R π/2 0

0

25-9-2014 7

−9 sin(2ϕ) dϕ dθ= −18π. VA

st/6 TG



Voorbeeld

De kromme C is de snijfiguurH van de cilinder x 2 + y 2 = 1 en het vlak y + z = 2. Bereken C F dr waarbij 2 2 F(x, y, z) = −y , x, z . De oriëntatie van C is linksom (van boven gezien).

·


curl F(x, y, z) = (0, 0, 1 + 2y). C = ∂S met S = {(x, y, z) | x 2 + y 2 ≤ 1, y + z = 2}. Parametrisering van S: r(x, y) = (x, y, 2 − y) met (x, y) ∈ R = {(x, y) | x 2 + y 2 ≤ 1}. rx = (1, 0, 0) en ry = (0, 1, −1). rx × ry = (0, 1, 1). Deze vector is naar boven gericht en klopt met de oriëntatie van C .


VA

Voorbeeld (vervolg)

I

F C

· dr =

st/7 TG


ZZ

·

curl F n dσ ZZS

=


·


(0, 0, 1 + 2y) (0, 1, 1) dx dy R

ZZ

=

1 + 2y dx dy R 2π

Z

Z 1

(1 + 2r sin θ)r dr dθ

= 0

=

0

Z 2π h 0

Z 2π

= 0

=

1 2

1 2

1 2 2r

dθ 2π

+ 23 sin θ dθ = 12 θ − 23 cos θ

· 2π −

= π.

+

i1 2 3 3 r sin θ 0

2 3

cos(2π) − cos(0)

0


VA

st/8 TG



Voorbeeld

Het oppervlak S is het gedeelte van de bol x 2 + y 2 + z 2 = 4 dat binnen de cilinder x 2 + y 2 = 1 en boven het xy-vlak ligt. RR Bereken S curl F n dσ waarbij F(x, y, z) = (xz, yz, xy). Hierbij is de oriëntatie van de rand C van S linksom (van boven gezien).

·



VA

Voorbeeld (vervolg) √ Parametriseer de rand van C : r(t) = (cos t, sin t, 3). r0 (t) = (− sin t, cos t, 0). √ √ F r(t) = ( 3 cos t, 3 sin t, cos t sin t).

st/9 TG



ZZ

·

curl F n dσ SI

F

=

C Z 2π

· dr

F r(t)

= 0

Z 2π

=

· r0(t) dt

√ √ − 3 cos t sin t + 3 sin t cos t dt

0


Z 2π

=

0 dt = 0. 0

VA.14-15[10] 25-9-2014 11

VA

st/10 TG

De stelling van Green

§4.5.7

Stelling – Green

Secion 16.4

Vergelijking (4.63)


Theorem 5

R ⊆ R2 is een enkelvoudig samenhangend gebied, met rand C .


C is een enkelvoudige gesloten, stuksgewijs gladde, positief georiënteerde kromme. M en N zijn functies waarvan de partiële afgeleiden bestaan en continu zijn op een open gebied dat R omvat. Dan geldt I

ZZ

M dx + N dy = C

R

I

Als F = (M , N ) dan


∂N ∂M − dA. ∂x ∂y

VA.14-15[10] 25-9-2014

I

F

M dx + N dy = C

C

·

12

st/11

dr. VA


TG



Beschouw R als een oppervlak in R3 : {(x, y, 0) | (x, y) ∈ R} “=” R. Definieer F(x, y, z) = (M (x, y), N (x, y), 0). Als C wordt geparametriseerd met de vectorfunctie r(t) = x(t), y(t) met a ≤ t ≤ b dan is een parametrisering van C als kromme in het xy-vlak:

x(t), y(t), 0 .

F r(t)

· r0(t) = M

Vectoranalyse voor TG VA.14-15[10] 25-9-2014

x(t), y(t) x 0 (t) + N x(t), y(t) y 0 (t).

13

VA

st/12 TG

De stelling van Green Uit

∂M ∂z


∂N ∂z

= 0 volgt ∂N ∂M curl F = 0, 0, − . ∂x ∂y Parametriseer R: r(x, y) = (x, y, 0). Er geldt rx × ry = (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1). Daarmee I =


M dx + N dy C

Z b

M x(t), y(t) x 0 (t) dt + N x(t), y(t) y 0 (t) dt

= =

Ia

ZZ

· ZZ ∂N ∂M = 0, 0, − · (0, 0, 1) dA ∂x ∂y R F

=

C

ZZ

= R

· dr =

curl F n dσ

← Stokes

R

∂N ∂M − dA. ∂x ∂y


← Green

14

VA


st/13 TG


Voorbeeld

Section 16.4, example 1

Verifieer de stelling van Green voor het vectorveld F(x, y) = (x − y)i + xj voor het gebied R waarvan de rand de eenheidscirkel C is.


In tegenstelling tot het boek van Thomas verifiëren we de rotatie-variant van Green’s stelling: I

ZZ

M dx + N dy = C

R

∂N ∂M − dA. ∂x ∂y

Definieer M (x, y) = x − y,

N (x, y) = x.

en gebruik voor C de parametrisering r(t) = (cos t, sin t),

0 ≤ t ≤ 2π.


VA

st/14 TG

Voorbeeld (vervolg)


I

← =

M dx + N dy

I

F C

C

· dr

F r(t) = M (r(t)), N (r(t)) = (cos t − sin t, cos t).


r0 (t) = (− sin t, cos t). F r(t)

· r0(t) = − cos t sin t + sin2 t + cos2 t = 1 − 21 sin(2t).

I

I

F

M dx + N dy = C

C

Z 2π

F r(t)

= 0

· dr

· r (t) dt = 0

Z 2π 0

1 − 12 sin(2t) dt


2π 1 = t + 4 cos(2t) = 2π. 0

16

VA

Voorbeeld (vervolg)

st/15 TG


ZZ R

∂N ∂M − dA ∂x ∂y

∂N ∂x = = 1. ∂x ∂x ∂M ∂(x − y) = = −1. ∂y ∂x


∂N ∂M − = 1 − (−1) = 2. ∂x ∂y ZZ R

∂N ∂M − dA = ∂x ∂y

= 2 opp(R) = 2π.

ZZ

2 dA R Vectoranalyse voor TG VA.14-15[10] 25-9-2014 17

VA

st/16 TG

De stelling van Green Voorbeeld I

Bereken


3y − e sin x dx + 7x +

q

y 4 + 1 dy waarbij

C

C de cirkel is met middelpunt (0, 0) en straal 3.


C is de rand van de cirkelschijf R gegeven door R = {(x, y) ∈ R2 | x 2 + y 2 ≤ 9}. Gebruik de stelling van Green: I

3y − e

sin x

dx + 7x +

q

y4

+ 1 dy

C

M ZZ

N

7 − 3 dA = 4

=

ZZ

R

1 dA = 4 opp R = 36 π. R


∂N ∂M ∂x ∂y

18

VA

Conservatieve velden

§4.5.9

Zie ook colleges 7 en 10

Een vectorveld F in R3 heet rotatievrij als curl F(x) = 0 voor alle x ∈ R3 . Stelling

Section 16.7, vergelijking (8)

st/17 TG



Het gradiëntveld van een functie f : R3 → R is rotatievrij: curl grad f = 0 of

∇ × ∇f = 0.

Het bewijs volgt uit simpele verificatie. Gevolg

Als een vectorveld F conservatief is, dan is het rotatievrij. Bewijs Stel f is een potentiaal van F, dan F = grad f , dus


curl F = curl grad f = 0. VA

st/18 TG

Conservatieve velden


Stelling

Section 16.7, theorem 7

Stel F is een vectorveld gedefinieerd op een open, enkelvoudig samenhangend gebied D, en stel F is rotatievrij. Als de partiële afgeleiden van de componenten van F continu zijn, dan is F conservatief.


Bewijs Stel zowel C1 als C2 is een pad van P naar Q in D. Z

Z

· dr − C F · dr I ZZ = F · dr = curl F · n dσ ∂S S ZZ = 0 · n dσ = 0. S F

C1

2


st/19

Dus lijnintegralen in D zijn pad-onafhankelijk. VA

Gesloten oppervlakken

§4.5.8

TG


Stelling

Voor een enkelvoudig gesloten oppervlak S geldt ZZ


·

curl F n dσ = 0. S


Stel het gesloten oppervlak S is verdeeld in twee delen S1 en S2 , met gemeenschappelijke rand C . Het normaalveld n is naar buiten gericht. ZZ

·

ZZ

curl F n dσ +

curl F n dσ = S

I

F

= C

·

S

· dr −

ZZ

I1

F C

· dr = 0.

·

curl F n dσ S2


VA

st/20 TG



Gevolg

Voor twee een enkelvoudige oppervlakken S1 en S2 met gemeenschappelijke rand C en identieke oriëntatie geldt ZZ

ZZ

·

curl F n dσ = S1


·

curl F n dσ. S2


ZZ

I

·

curl F n dσ = S1

F C

· dr =

ZZ

·

curl F n dσ. S2

VA.14-15[10] 25-9-2014 22

VA


st/21 TG


Voorbeeld

Gegeven is het vectorveld F(x, y, z) = (−y, x, xyz 2 ). Het oppervlak S is een piramide bestaande uit drie driehoeken D1 , D2 en ZZD3 . De oriëntatie van E is naar boven gericht.


·

curl F n dσ.

Bereken S


De rand van S bestaat uit de driehoek met hoekpunten (0, 0, 0), (1, 0, 0) en (0, 1, 0).

23

VA

st/22 TG

Voorbeeld (vervolg)


Het oppervlak S bestaat uit drie delen: ZZ

ZZ

·

··· +

curl F n dσ = S

ZZ

D1

··· + D2

ZZ

··· D3

De rand van S bestaat uit drie lijnstukken: I

F ∂S

· dr =

Z

··· +

C1

Z

··· +

Z

C2


···

C3

De rand van S is ook de rand van de driehoek D0 met hoekpunten (0, 0, 0), (1, 0, 0) en (0, 1, 0).


ZZ

ZZ

·

curl F n dσ = S

·

curl F n dσ D0

VA.14-15[10] 25-9-2014 24

VA

Voorbeeld (vervolg)

st/23 TG


De normaal op D0 is n = (0, 0, 1). De stelling van Stokes Eigenschappen en toepassingen

F(x, y, z) = (−y, x, xyz 2 ). curl F(x, y, z) = (∗ , ∗ ,

∂ ∂x (x)

−

∂ ∂y (−y))

= (∗ , ∗ , 2).

·

Dus curl F(x, y, z) n = 2. ZZ

·

ZZ

curl F n dσ = S

ZZ

2 dσ = 2 opp(D0 ) = 2 ·

= D0

·

curl F n dσ D0

1 2

= 1.


VA

st/24 TG

Toepassing: de wet van Faraday


Inductiewet van Faraday De stelling van Stokes

Een veranderend magneetveld wekt een elektrisch veld op.


- Michael Faraday, 1831

Voor ieder georiënteerd oppervlak S met rand C geldt

B S

d E dr = − dt C

I

·

C

ZZ

·

B n dσ. S

- James Clerk Maxwell


VA

Toepassing: de wet van Faraday

st/25 TG


Gebruik de stelling van Stokes: ZZ I d − B n dσ = E dt S C ZZ

·

· dr


·

curl E n dσ.

= S


Als S niet afhangt van de tijd geldt: ZZ ZZ d ∂B B n dσ = − − n dσ dt S ∂t S Dus ZZ ∂B curl E + n dσ = 0. ∂t S Dit geldt voor ieder oppervlak S ⊆ R3 , dus

·

·

·

∂B curl E = − . ∂t


VA

st/26 TG

Overzicht


vlak

niet vlak De stelling van Stokes Eigenschappen en toepassingen

Vlakke integralen: Z b

f (x) dx

Lijnintegralen

Oppervlakteintegralen

van functies:

van functies:

Z

ZZ

f dr

a

f dσ

C

S

ZZ

f (x, y) dA S

ZZZ

f (x, y, z) dV E

van vectorvelden: Z

F C

· dr

van vectorvelden: ZZ

·

F n dσ S


VA

ov/1 TG

Vectoranalyse voor TG

Recommend Documents