Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 6 Lijnintegralen van een vectorveld

UNIVERSITEIT TWENTE.

collegejaar college build slides

Vandaag

: : : :

14-15 6 22 september 2014 51


Vectorvelden Lokale coördinaten Lijnintegralen Conservatieve velden

1 2 3 4 5

Vectorvelden Gradiëntvelden Lokale coördinaten Lijnintegralen van een vectorveld Conservatieve velden

Vectoranalyse voor TG VA.14-15[6] 22-9-2014 1

VA

vandaag TG

Vectorvelden

Section 16.2

Hoofdstuk 4


Definitie

Een vectorveld op Rn is een afbeelding v:D ⊆ Rn→ Rn . Als v(x) = (v1 (x1 , . . . , xn ), . . . , vn (x1 , . . . , xn )), dan heten de functies vi de componentfuncties van v. Als x ∈ D ⊆ beginpunt x.

R2

dan tekenen we v(x) als een pijl met


Om een indruk te krijgen van het vectorveld teken je een aantal pijlen. v(x, y) = y, − cos x −

y

x

y 10

v(x) Vectoranalyse voor TG VA.14-15[6] 22-9-2014

x

2

VA

Vectorvelden

vv/1 TG


Definitie

Een vectorveld op R3 is een afbeelding v : D ⊆ R3 → R3 .

Vectorvelden Lokale coördinaten

Als v(x, y, z) = P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) , dan heten P, Q en R de componentfuncties van v.

Lijnintegralen Conservatieve velden


VA

vv/2 TG

Vectorvelden


Voorbeeld

Het vectorveld v is gegeven door v(x, y) = (y, −x). Schets het vectorveld.

Conservatieve velden

y

v(x) x v(x) (0, −1) (−1, 0) (0, 1) (2, −2) (−2, −2) (−2, 2) (0, −3) (−3, 0) (0, −3) (1, 0) (0, −1) (−1, 0) (2, 2) (2, −2) (−2, −2) (3, 0) (0, −3) (−3, 0)

3 2 1 −3 −2 −1 1

2

3

x

Iedere vector v(x) raakt een cirkel met middelpunt 0: x v(x) = (x, y) (−y, x) = −xy + yx = 0 dus v(x) ⊥ x. De straal van de cirkel is gelijk aan de lengte van v(x):

·

|v(x)| =

·

q

(−y)2

+

x2

Lokale coördinaten Lijnintegralen

Bereken v(x, y) voor enkele punten x = (x, y): x (1, 0) (2, 2) (3, 0) (0, 1) (−2, 2) (0, 3)

Vectorvelden

=

q

x2

+

y2


= |x|. VA

Vectorvelden in R3

vv/3 TG


Voorbeeld

Beschrijf Newton’s gravitatiewet met een vectorveld.


De gravitatiewet van Newton luidt: Twee lichamen trekken elkaar aan met een kracht die rechtevenredig is met de massa van de lichamen en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tussen de lichamen. Als de kracht gelijk is aan F, dan geldt m mMG |F| = . F r2 Hierbij zijn m en M de massa’s, en r is de afstand tussen m en M M . De constante G is de gravitatieconstante.



VA

vv/4 TG

Voorbeeld (vervolg)


z

Gebruik de positie van M als de oorsprong van het assenstelsel.

m Vectorvelden

De positie van m is x.

F(x)

De kracht die M op m uitoefent is F(x). De vector F(x) is gericht naar de oorsprong, dus

M

F(x, y, z) =

,


x

F(x) = −αx voor zekere α > 0. Uit de gravitatiewet volgt |F(x)| mMG 1 mMG α= = · = . 2 |x| |x| |x| |x|3 mMG Hieruit volgt F(x) = − x. |x|3 −mMGx 3 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2

Lokale coördinaten

y

−mMGy 3 2 (x +y 2 +z 2 ) 2

,

−mMGz 3 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2

Vectoranalyse voor TG

.

VA.14-15[6] 22-9-2014 6

VA

Het gradiëntveld

vv/5 TG


De gradiënt ∇f van een functie f naar Rn is een vectorveld op Rn . Dit vectorveld heet het gradiëntveld van f .

Vectorvelden Lokale coördinaten Lijnintegralen

Definitie

Rn


Een vectorveld v op is conservatief als er een n functie f naar R bestaat zodat v = ∇f . De functie f waarvoor v = ∇f heet een potentiaal(functie) van v. Als f een potentiaal is van v, en c is een constante, dan is f + c ook een potentiaal van v.


VA

vv/6 TG

Conservatieve vectorvelden


mMG x. |x|3 mMG . Definieer f : R3 \ {0} → R door f (x) = |x| Schrijf x = (x, y, z), dan Het gravitatie vectorveld is F(x) = −

2

2

f (x, y, z) = mMG x + y + z

1 2 − 2


.

∂f mMG mMGx = − 12 32 · 2x = − 3 . ∂x x 2 + y2 + z 2 x 2 + y2 + z 2 2

∇f = =

∂f ∂f ∂f , , ∂x ∂y ∂z

−mMGx −mMGy −mMGz 3 , 3 , 3 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2

! Vectoranalyse voor TG VA.14-15[6] 22-9-2014

= F(x, y, z),

8

dus het gravitatie vectorveld F is conservatief.

VA

Lokale coördinaten

§4.1

vv/7 TG


Lokale coördinatenstelsels zijn alternatieve coördinatenstelsel die je krijgt door de oorsprong te verschuiven, 2 de coördinaatassen te draaien. 1

Lokale coördinatenstelsels kunnen soms handig zijn om vectorvelden mee te beschrijven.


De basisvectoren van een lokaal coördinatenstelsel noteren we met een dakje: ˆx , e ˆy , e ˆz , e ˆρ , enzovoort. e Lokale basisvectoren staan onderling loodrecht op elkaar, en hebben lengte 1. De oriëntatie is gelijk aan de oriëntatie van ex , ey en ez in R2 of R3 .


VA

lc/1 TG

Lokale coördinaten in R2

§4.1.3


y ˆy e v(x) x e ˆx v(x)

ey ex


x

Schrijf een twee-dimensionaal vectorveld v met behulp van eenheids basisvectoren: v(x) = (v1 (x, y), v2 (x, y)) = v1 (x, y) ex + v2 (x, y) ey . Van een vectorveld v tekenen we het beginpunt van de vector v(x) in x. Door de basisvectoren ex en ey ook te verschuiven naar x kun je ook schrijven ˆx + v2 (x, y) e ˆy . v(x) = v1 (x, y) e ˆx en e ˆy heten lokale basisvectoren. De vectoren e ˆ xi ! Lokele- en gewone basisvectoren zijn identiek: exi = e

Lokale poolcoördinaten



VA

lc/2 TG


y

vθ (r, θ)

v(x)

ˆθ e ey

Vectorvelden

x θ

ex

r

ˆr e

vr (r, θ)


x


Schrijf x in poolcoördinaten: x = r er + θ eθ . ˆr en e ˆθ door Definieer de lokale basisvectoren e ˆr = (cos θ, sin θ) en e ˆθ = (− sin θ, cos θ). e Ontbind v(x) in het nieuwe coördinatensysteem met ˆr en e ˆθ : oorsprong x en basisvectoren e ˆr + vθ (r, θ) e ˆθ . v(r, θ) = vr (r, θ) e We noemen vr (r, θ) de de radiële component van v en vθ (r, θ) de tangentiële component van v.


VA

lc/3 TG

Lokale coördinaten


Voorbeeld

Blz. 85

Definieer het vectorveld v op R2 door v(x) = (y, −x). Bepaal de lokale componenten van v in Cartesische- en in poolcoördinaten.


Teken v met MATLAB: > [X,Y] = meshgrid(-1:0.2:1); > quiver(X,Y,Y,-X)

Voor Cartesische lokale coördinaten geldt: ˆx − x e ˆy . v(x) = y e Voor lokale poolcoördinaten geldt: v(x)=(y, −x) = (r sin θ, −r cos θ) ˆθ = 0 e ˆr − r e ˆθ . =−r(− sin θ, cos θ) = −r e De tangentiële component van v is −r, de radiële component is 0.



VA

lc/4 TG


y

vθ (r, θ)

v(x)

ˆθ e

Vectorvelden

ey

x

ˆr e

θ

ex

vr (r, θ)


x

r


De component vr en vθ bereken je met projecties: ˆr v e ˆr = proj eˆr v = ˆr = (v e ˆr ) e ˆr , vr e e ˆr e ˆr e dus ˆr = (v1 , v2 ) (cos θ, sin θ) = v1 cos θ+v2 sin θ. vr = v e ˆθ = (v1 , v2 ) (− sin θ, cos θ) = Voor vθ geldt vθ = v e −v1 sin θ + v2 cos θ, dus

· ·

·

· ·

vr =

·

·

v1 cos θ + v2 sin θ

vθ = −v1 sin θ + v2 cos θ


VA

lc/5 TG

Radiële en tangentiële component Voorbeeld

UNIVERSITEIT TWENTE. Blz. 85

Definieer het vectorveld v op R2 door v(x) = (y, −x). Bereken de radiële- en de tangentiële component van v.


x = r cos θ

en y = r sin θ.


vr = v1 cos θ + v2 sin θ = y cos θ − x sin θ = r sin θ cos θ − r cos θ sin θ = 0. De radiële component van v is 0. vθ = −v1 sin θ + v2 cos θ = −y sin θ − x cos θ


= −r sin θ sin θ − r cos θ cos θ

VA.14-15[6] 22-9-2014

= −r(sin2 θ + cos2 θ) = −r.

14

De tangentiële component van v is −r.

Lokale poolcoördinaten ˆr en e ˆθ hangen af van x. De basisvectoren e ˆr en e ˆθ vectorvelden! In feite zijn e x y ˆr (x) = (cos θ, sin θ) = e , r r ! x y = p 2 ,p 2 x + y2 x + y2 en y x ˆθ (x) = (− sin θ, cos θ) = − , e r r ! −y x = p 2 ,p 2 . x + y2 x + y2 De basisvectoren voor poolcoördinaten er en eθ zijn symbolisch. ˆr en e ˆθ zijn echte vectoren! De lokele basisvectoren e

VA

lc/6 TG




VA

lc/8 TG




ˆr e ˆθ e


Lokale poolcoördinaten in R2 .

VA

Lokale poolcoördinaten en het gradiëntveld Stelling

lc/9 TG

UNIVERSITEIT TWENTE. Blz. 86, vergelijking (4.6)

Stel G is een differentieerbaar scalarveld op R2 . Definieer b G(r, θ) = G(r cos θ, r sin θ) dan geldt b b ∂G 1 ∂G ˆr + ˆθ . ∇G(r cos θ, r sin θ) = e e ∂r r ∂θ

Let op de extra factor Bewijs:

b ∂G



 ∂r  = b ∂G ∂θ

"


(4.6)


1 in de tangentiële component! r zelfstudie

b b ∂G ∂G ∂x ∂G ∂y ∂G ∂G ∂x ∂G ∂y = + = + ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂θ ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂G ∂G ∂G ∂G = cos θ+ sin θ = −r sin θ+r cos θ ∂x ∂y ∂x ∂y 

Vectorvelden

cos θ sin θ − r sin θ r cos θ

# " ∂G # ∂x ∂G ∂y


VA

lc/10 TG

Lokale poolcoördinaten en het gradiëntveld  

b ∂G ∂r b ∂G ∂θ



"

cos θ sin θ − r sin θ r cos θ

= "

1 0 0 r

= "

#"

# " ∂G # ∂x ∂G ∂y

Vectorvelden

cos(−θ) − sin(−θ) sin(−θ) cos(−θ)

#

1 0 = R−θ 0 r


zelfstudie

Lokale coördinaten

# " ∂G #

Lijnintegralen

∂x ∂G ∂y


" ∂G # ∂x ∂G ∂y

met R−θ een rotatiematrix. " ∂G # ∂x ∂G ∂y

"

=

#

1 0 R−θ 0 r

!−1  


  Vectoranalyse voor TG VA.14-15[6] 22-9-2014

en "

#

1 0 R−θ 0 r

!−1

"

1 0 0 r

−1 = R−θ

#−1

"

= Rθ

#

1 0 . 0 1/r

18

VA

Lokale poolcoördinaten en het gradiëntveld " ∂G # ∂x ∂G ∂y

∇G = "

= "

=

= Rθ

cos θ − sin θ sin θ cos θ

#"

sin θ

b ∂G

∂r

"

1 r

cos θ sin θ

ˆr + e

1 0  0 1/r #



b 1 ∂G + r ∂θ

b 1 ∂G

r ∂θ







b




1 0  ∂∂rG  b ∂G 0 1/r

#

cos θ #

#

TG


∂θ

cos θ − r1 sin θ

b ∂G = ∂r

=

"

zelfstudie

lc/11

b ∂G ∂r b ∂G ∂θ "

 

− sin θ cos θ

# Vectoranalyse voor TG

ˆθ . e

VA.14-15[6] 22-9-2014 19

VA

lc/12 TG

Lokale poolcoördinaten en het gradiëntveld


Voorbeeld

1 . Bereken |x| de radiële- en de tangentiële component van ∇f . Definieer de functie f op R2 \ {0} door f (x) =


Voor poolcoördinaten geldt: |x| = r, dus 1 b f = f (r cos θ, r sin θ) = . r b b ∂f 1 ∂f = − 2 en = 0. ∂r r ∂θ ∂ bf 1 ∂ bf 1 ˆr + ˆθ = − 2 (cos θ, sin θ) e e ∂r r ∂θ r 1 1 = − 3 (r cos θ, r sin θ) = − 3 x. r |x|


∇f =

Toepassing: voor het gravitatieveld F geldt F=−

mMG x = mMG ∇f . |x|3


VA

Lijnintegralen van een vectorveld

lc/14 TG

UNIVERSITEIT TWENTE. L

F

r0 (t) F1 ˆ t

F2

Vectorvelden

k

Lokale coördinaten

· tˆ


F

r(t)

Stel k heeft gladde parametrisering r : [a, b] → k. De vector r0 (t) is de raakvector in r(t). De eenheids raakvector is de vector 0 ˆt = r (t) . |r0 (t)| Een vector F is te ontbinden in een component F1 langs de raaklijn L en een component F2 loodrecht op L. De component F1 is de projectie van F op L. De grootte van deze projectie is F ˆt, en wordt de component van F langs k genoemd.

·


VA

lv/1 TG



Definitie

Stel F is een continu vectorveld gedefinieerd op een reguliere kromme k. De lijnintegraal van F langs k is gedefinieerd als de lijnintegraal van de component van F langs k: Z

F k

· dr =

Z

Lokale coördinaten Lijnintegralen Conservatieve velden

·

F ˆt ds.

k

Vectorvelden

Stelling

Blz. 91, vergelijking (4.16)

Stel de kromme k heeft een gladde parametrisering r : [a, b] → k, dan Z

F k

· dr =

Z b

F r(t)

a

· r(t)0 dt.

Vectoranalyse voor TG VA.14-15[6] 22-9-2014

·

Dit volgt uit F ˆt = F

·

r0 (t) en ds = |r0 (t)| dt. 0 |r (t)|

Georiënteerde krommen

·

22

VA

lv/2 TG


ˆt hangt af van de richting van r0 (t). Het teken van F R Daarom hangt k F dr af van de richting waarin een kromme wordt doorlopen. De doorlooprichting heet de oriëntatie van k, en hangt af van de gekozen parametrisering.

·


Definitie

Stel r : [a, b] → k is een gladde parametrisering van k, met a < b. De oriëntatie van k loopt van r(a) naar r(b). r(a)

k r(b)

De oriëntatie kun je aangeven met een pijltje. Voor integralen van een functie over k (integralen van R de vorm k f ds) is de oriëntatie niet van belang, omdat daarin de lengte van de raakvector voorkomt.


VA

lv/3 TG

Stuksgewijs reguliere krommen


Definitie

§4.2.8

Een kromme k heet stuksgewijs regulier als er reguliere krommen k1 , k2 , . . . , kn zijn en waarbij k = k1 ∪ k2 ∪ . . . ∪ kn zodanig dat het eindpunt van ki het beginpunt is van ki+i .

V3 1

V4

V2

V = V 1 ∪ V2 ∪ V3 ∪ V 4 .

x 0

De oriëntatie van V bepaalt de oriëntatie van de delen Vi .

·

F dr = V

Z

·

F dr + V1

1

V1


Z

·

F dr + V2

Lijnintegralen

y

Verdeel V in vier lijnstukken:

Z

Lokale coördinaten


Het vierkant V met hoekpunten (0, 0), (1, 0), (1, 1) en (0, 1) is stuksgewijs regulier.

Z

Vectorvelden

·

Z

F dr + V3

·

F dr V4

Arbeid

VA

lv/4 TG


F(x)

Vectorvelden

A

Lokale coördinaten

x

Lijnintegralen

k B


Stel F is een vectorveld op R2 , en k is een vlakke kromme, georiënteerd van A naar B. Iedere vector F(x) kan worden geïnterpreteerd als de kracht die op plaats x op een puntmassa wordt uitgeoefend. De integraal van F langs k is de arbeid die wordt verricht als een puntmassa langs k van A naar B wordt gevoerd.


VA

lv/5 TG



Voorbeeld

$4.2.5

Gegeven is het vectorveld F(x, y) = (x 2 , 3xy). Bepaal de arbeid die door F wordt verricht als een puntmassa wordt verplaatst langs een het lijnstuk c van (0, 0) naar (1, 2).


y 2

c

0

x

1


De oriëntatie van c is van (0, 0) naar (1, 2). VA

Voorbeeld (vervolg)

lv/6 TG


F(x, y) = (x 2 , 3xy). r(t) = t(1, 2) = (t, 2t) met 0 ≤ t ≤ 1.


d r0 (t) = (t, 2t) = (1, 2). dt

Lijnintegralen

F r(t) = (t 2 , 3t · (2t)) = (t 2 , 6t 2 ).


F r(t)

· r0(t) = t 2 + 2 · 6t 2 = 13 t 2.

Z

F c

· dr =

Z 1

Z 1

F r(t) 0

· r0(t) dt

13 3 1 t 0 3 0 13 3 13 = 1 − 03 = . 3 3 =

13 t 2 dt =


VA

lv/7 TG

Lijnintegralen van vectorvelden in R3

Zelfstudie


Voorbeeld

Gegeven Zis F(x, y, z) = (xy, yz, zx). F

Bereken k

·

Vectorvelden

dr, waarbij k de

Lokale coördinaten

ruimtekromme is gegeven door de parametrisering r(t) = t, t 2 , t 3 met 0 ≤ t ≤ 1.

r0 (t) =


d t, t 2 , t 3 = 1, 2t, 3t 2 . dt

F r(t) = t · t 2 , t 2 · t 3 , t 3 · t = t 3 , t 5 , t 4 .

· r0(t) = t 3 + 2t 6 + 3t 6 = t 3 + 5t 6. Z Z 1 1 3 6 1 4 5 7 F · dr = t + 5t dt = 4 t + 7 t 0 k 0

F r(t)


1 5 27 = + = . 4 7 28

VA

Lijnintegralen van vectorvelden in R2 over x en y

lv/8 TG


Stel F is gedefinieerd op een vlakke kromme k ⊂ R2 met gladde parametrisering r : [a, b] → k. Vectorvelden

Stel r(t) = x(t), y(t) , dan r0 (t) = x 0 (t), y 0 (t) .


Stel F(x, y) = M (x, y), N (x, y) , dan Z

F k

· dr =

Z b

F r(t) · r0 (t) dt

a

Z b

=

M (x(t), y(t)), N (x(t), y(t)) a

Z b

=


·

x 0 (t), y 0 (t) dt

M x(t), y(t) x 0 (t) + N x(t), y(t )y 0 (t) dt

Za

=

M dx + N dy. k


VA

lv/10 TG

Lijnintegralen van vectorvelden in R3 over x, y en z


Stel F is gedefinieerd op een ruimtekromme k ⊂ R3 met gladde parametrisering r : [a, b] → k. Vectorvelden

Stel r(t) = x(t), y(t), z(t) , dan 0 0 0 0 r (t) = x (t), y (t), z (t) .

Lokale coördinaten

Stel F(x, y, z) = (M (x, y, z), N (x, y, z), P(x, y, z)), dan


Z

· dr =

F k

Z b

Lijnintegralen

F x(t), y(t), z(t) a

Z b

· x 0(t), y 0(t), z 0(t)

=

M (r(t)), N (r(t)), P(r(t)) a

Z b

=

· x 0(t), y 0(t), z 0(t)

dt dt

M (r(t))x 0 (t) + N (r(t))y 0 (t) + P(r(t))z 0 (t) dt

Za

=


M dx + N dy + P dz. k

30

VA

Lijnintegralen over x, y of z

lv/11 TG


Z

M dx + N dy voor de lijnintegraal van F

De notatie k

over k kan leiden tot vergissingen.

Vectorvelden

Voorbeeld: in de integraal

Lokale coördinaten

Z

Lijnintegralen

xy dx + cos y dy


k

is het niet de bedoeling dat je direct over x en y primitiveert.

Z

xy dx + cos y dy = k

h

1 2 2x y

+ sin y

i k

. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[6] 22-9-2014

???

31

VA

lv/12 TG

Lijnintegralen over x en y


Voorbeeld Z

Bereken

Vectorvelden

x dy, waarbij C de eenheidscirkel is.

Lokale coördinaten

C

Lijnintegralen

Z

Fout: C

x dy = xy .


C

Goed: parametriseer C : definieer r(t) = (cos t, sin t) met 0 ≤ t ≤ 2π. Z

Z 2π

Z

x dy =

0 dx + x dy =

C

C

Z 2π

=

0

·

(0, cos t) (− sin t, cos t) dt 0

Z 2π

=

2

Z 2π

cos t dt = 0

=

·

(0, x) r0 (t) dt

h

1 2t

+ 14 sin(2t)

0 i2π 0

1 2


1 2

+ cos(2t) dt

VA.14-15[6] 22-9-2014

= π.

32

VA

De hoofdstelling voor lijnintegralen

Section 16.3

Stelling

§4.2.9

lv/13 TG


Blz. , vergelijking (4.21)

Stel F is een conservatief vectorveld met potentiaalfunctie G, en c is een gladde kromme van A = a naar B = b, dan Z

F c

· dr = G(b) − G(a).


Bewijs – variant voor vlakke krommen Stel r : [a, b] → c is een gladde parametrisering van c met r(t) = x(t), y(t) . Z

F c

· dr =

Z b ∂G

Z b

∇G r(t)

a

· r0(t) dt

d y ∂G = r(t) + r(t) dt ∂x dt ∂y dt a Z b b d = G r(t) dt = G r(t) a a dt = G r(b) − G r(a) = G(b) − G(a). d x


kettingregel

VA.14-15[6] 22-9-2014 33

VA

hs/1 TG

De hoofdstelling voor lijnintegralen


De hoofdstelling voor lijnintegralen geldt zowel voor vectorvelden in R2 als voor vectorvelden in R3 . De hoofdstelling voor lijnintegralen geldt ook voor stuksgewijs gladde, continue krommen.


B=b c2 c1 C =c A=a

Z

F c

· dr =

Z

F c1

· dr +

Z

F c2

· dr


= G(b) − G(a) + G(c) − G(b)

VA.14-15[6] 22-9-2014

= G(c) − G(a).

34

VA

Pad-onafhankelijkheid

hs/2 TG


Gevolg

Stel c1 en c2 zijn beide gladde krommen van A naar B, dan geldtZvoor ieder conservatief vectorveld F Z F c1

· dr =

F c2

· dr.


Als F conservatief is hangt de waarde van de integraal R c F dr alleen af van de waarde van f in de eindpunten van de kromme, en niet van het gekozen pad. Men zegt ook wel: de lijnintegraal van een conservatief vectorveld is pad-onafhankelijk.

·

Definitie R

·

Stel F is een vectorveld. De lijnintegraal F dr heet pad-onafhankelijk als voor ieder punt A en B en voor ieder tweetal krommen cZ1 en c2 van A naar B geldt Z F c1

· dr =

F c2

· dr.


VA

hs/4 TG

Gesloten krommen


Definitie

Een gesloten kromme is een kromme waarvan beginen eindpunt hetzelfde zijn. Een kringintegraal is en lijnintegraal over een gesloten kromme.


H

Een kringintegraal mag je noteren met het symbool “ ”. Stelling

Section 16.3, theorem 3

R

·

Stel F is een vectorveld. De integraal c F dr is pad-onafhankelijk dan en slechts dan als iedere kringintegraal gelijk is aan 0.


VA

Conservatieve vectorvelden

hs/5 TG


Conservatieve vectorvelden hebben pad-onafhankelijke lijnintegralen. Het omgekeerde geldt ook: Vectorvelden

Stelling

Lokale coördinaten

Stel D is een open samenhangend gebied inR R2 of R3 , en stel F is een continu vectorveld op D. Als c F dr pad-onafhankelijk is dan is F conservatief.

Lijnintegralen

·


Het bewijs verloopt ruwweg als volgt: (1) Kies een punt A in D. R

·

(2) Definieer de functie G(x) = c F dr waarbij c een kromme is met beginpunt A en eindpunt x. De definitie hangt niet van de keuze van c af. (3) Toon aan dat F = ∇G. Het bewijs is moeilijk! Zie ook het bewijs van theorem 2 van section 16.3 in Thomas’ Calculus.


VA

hs/6 TG

Conservatieve vectorvelden in R2


Stelling

Stel F(x) = M (x), N (x) is een conservatief vectorveld op R2 en stel dat M en N continue partiële afgeleiden ∂M ∂N hebben, dan geldt = . ∂y ∂x


Stel F = ∇G, dan geldt ∂G ∂G en N = . M = ∂x ∂y Gebruik de stelling van Clairaut: ∂M ∂ ∂G ∂2G = = ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y =

∂2G ∂ = ∂y ∂x ∂x

∂G ∂y

=

Sec. 14.3, thm. 2 Vectoranalyse voor TG

Clairaut

∂N . ∂x

VA.14-15[6] 22-9-2014 38

VA

Enkelvoudig samenhangende krommen en gebieden

hs/7 TG


Definitie

Een enkelvoudige gesloten kromme is een continue gesloten kromme die zichzelf niet snijdt. Een samenhangend gebied is een deelverzameling D ⊂ R2 waar met de eigenschap dat bij ieder tweetal punten P ∈ D en Q ∈ D een continue kromme C van P naar Q bestaat die geheel in D ligt.


Een enkelvoudig gebied is een deelverzameling D ⊂ R2 met de eigenschap dat iedere enkelvoudig geloten kromme C ⊂ D alleen punten van D omsluit. In de praktijk betekent “samenhangend” dat het gebied uit één stuk bestaat. En “enkelvoudig” betekent dat er in het gebied geen gaten zitten.


VA

hs/8 TG

Enkelvoudig samenhangende krommen en gebieden


Vectorvelden

enkelvoudig, niet gesloten

niet enkelvoudig, niet gesloten


niet enkelvoudig, gesloten

enkelvoudig en gesloten

enkelvoudig samenhangend

niet samenhangend


niet enkelvoudig

VA

De componententest

hs/9 TG


Stelling

Stel F(x) = M (x), N (x) is een vectorveld op een open, enkelvoudig samenhangend gebied D ⊂ R2 . Stel dat M en N continue partiële afgeleiden hebben, en stel dM dN (x) = (x) dy dx


voor alle x ∈ D. Dan is F conservatief. Stelling

Section 16.3, equation (2)

Stel F(x) = M (x), N (x), P(x) is een vectorveld op een open, enkelvoudig samenhangend gebied D ⊂ R3 . Stel dat M en N continue partiële afgeleiden hebben, en stel dM dN = , dy dx

dM dP = dz dx

en

dN dP = dz dy

voor alle x ∈ D. Dan is F conservatief.


VA

hs/10 TG

Conservatieve vectorvelden in R2 Voorbeeld

UNIVERSITEIT TWENTE. §4.2.10, voorbeeld 1

Bepaal of het vectorveld v(x, y) = (y, −x) conservatief is.


Stel M (x, y) = y en N (x, y) = −x.


∂M = 1. ∂y ∂N = −1. ∂x Er geldt

∂M ∂N 6= , dus v is niet conservatief. ∂y ∂x Vectoranalyse voor TG VA.14-15[6] 22-9-2014 42

VA


hs/11 TG


Bepaal of het vectorveld v(x, y) = (y, x + y) conservatief is.


Stel M (x, y) = y en N (x, y) = x + y. ∂M = 1. ∂y


∂N = 1. ∂x Er geldt

∂M ∂N = , dus v is conservatief. ∂y ∂x Vectoranalyse voor TG VA.14-15[6] 22-9-2014 43

VA

hs/12 TG



Bepaal of het vectorveld F(x, y, z) = (x, z, 2xy) conservatief is.


Stel M (x, y, z) = x, N (x, y, z) = z en P(x, y, z) = 2xy.


∂N ∂M =0= . ∂y ∂x ∂M ∂P = 0 6= 2y = . ∂z ∂x ∂N ∂P = 1 6= 2x = . ∂z ∂y


Conclusie: F is niet conservatief.

44

VA


hs/13 TG


Bepaal of het vectorveld F(x, y, z) = (x + y, x − z, z − y) conservatief is.


Stel M (x, y, z) = x + y, N (x, y, z) = x − z en P(x, y, z) = z − y.


∂M ∂N =1= . ∂y ∂x ∂M ∂P =0= . ∂z ∂x ∂N ∂P = −1 = . ∂z ∂y Conclusie: F is conservatief.


VA

hs/14 TG

Conservatieve vectorvelden in R2


Voorbeeld

§4.2.10, voorbeeld 2 Vectorvelden

(a) Bepaal een potentiaalfunctie van het vectorveld v(x, y) = (y, x + y). R


·

(b) Bepaal k v dr waarbij k het lijnstuk is van a = (1, 1) naar b = (2, 3). y

Definieer M (x, y) = x en N (x, y) = x + y.

b 3

∂M ∂N = = 1. ∂y ∂x


k 1

Vectorveld v is conservatief, zie ook slide 43.


a

VA.14-15[6] 22-9-2014

x 1

46

VA

Voorbeeld (vervolg) (a)

hs/15

2 TG


Bepaal een functie G zodat ∂G/∂x = y

(1)

∂G/∂y = x + y.

(2)

en



Uit (1) volgt G(x, y) = xy + ϕ(y)

Lijnintegralen

(3)

Partieel differentiëren naar y van (3) levert ∂G/∂y = x + ϕ0 (y). Uit (2) en (4) volgt ϕ0 (y) = y, dus ϕ(y) = 12 y 2 + C . Uit (3) volgt tenslotte (kies C = 0): G(x, y) = xy + 21 y 2 .

(4)


VA

hs/16 TG

Voorbeeld (vervolg) (b)


Het beginpunt van k is a = (1, 1). Het eindpunt van k is b = (2, 3). Z

v k


·

dr = G(b) − G(a) = G(2, 3) − G(1, 1)

Lijnintegralen

21 3 = (2 · 3 + − (1 · 1 + = − = 9. 2 2 Of met parametrisering r(t) = (1 + t, 1 + 2t), t ∈ [0, 1]: 1 2 23 )

1 2 21 )


r0 (t) = (1, 2).

v r(t) = (1 + 2t, 2 + 3t).

v r(t) Z

v k

· r0(t)Z = 5 + 8t.

· dr =

1

h

5 + 8t dt = 5t + 4t 0

2

i1 0

= 9.


VA


hs/17 TG


Gegeven is het vectorveld F(x, y, z) = (x + y, x − z, z − y) op R3 . Bepaal een potentiaalfunctie. Bepaal daarna de lijnintegraal van F over het lijnstuk c met beginpunt a = (1, 0, −1) en eindpunt b = (0, −2, 3). Vectorveld F is conservatief, zie slide 45. Stel G is een potentiaalfunctie van F, dan ∂G/∂x = x + y,


(1)

∂G/∂y = x − z,

(2)

∂G/∂z = z − y.

(3)

Integreer (1) naar x: G(x, y, z) = 12 x 2 + xy + ϕ(y, z).

(4)


Differentieer (4) partieel naar y:

49

∂G/∂y = x + ∂ϕ/∂y.

hs/18

(5) VA

TG

Voorbeeld (vervolg)


Uit (2) en (5) volgt ∂ϕ/∂y = −z.

Vectorvelden

Integreren naar y levert


ϕ(y, z) = −yz + ψ(z).

(6)


Uit (4) en (6) volgt G(x, y, z) = 21 x 2 + xy − yz + ψ(z).

(7)

Vergelijking (7) partieel differentiëren naar z geeft ∂G/∂z = −y + ψ 0 (z).

(8)

Uit (3) en (8) volgt ψ 0 (z) = z, dus ψ(z) = 12 z 2 + C .


Kies C = 0, dan volgt uit (7)

VA.14-15[6] 22-9-2014

G(x, y, z) = 12 x 2 + xy − yz + 12 z 2 .

50

VA

Voorbeeld (vervolg)

hs/19 TG


Voor de lijnintegraal geldt Z

F c

· dr = G(b) − G(a)

Vectorvelden

19 = G(0, −2, 3) − G(1, 0, −1) = . 2 Alternatieve methode: parametriseer c:


r(t) = a + t(b − a) = (1 − t, −2t, −1 + 4t), • • • •

met t ∈ [0, 1].

r0 (t) = (−1, −2, 4). F r(t) = (1 − 3t, 2 − 5t, −1 + 6t). F r(t) r0 (t) = −9 + 37t. Z Z 1 F dr = −9 + 37t dt

·

c

·

0

h

= −9t +

37 2 2 t

i1 0

=

19 . 2


VA

hs/20 TG

Vectoranalyse voor TG

Recommend Documents