Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 1
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 2
Definíció: zérushely
Az f:D→R függvénynek zérushelye van az xo∈D helyen, ha f(xo) = 0.
Megjegyzés:
A matematikai problémák visszavezethető függvények megkeresésére.
jelentős része zérushelyeinek
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 3
Definíció: korlátosság
Az f:D→R függvény felülről [alulról] korlátos, ha az értékkészlete (mint R részhalmaza) felülről [alulról] korlátos. Értelemszerűen definiálható a pontos felső korlát (sup) és a pontos alsó korlát (inf) fogalma is.
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 4
Definíció: monotonitás
monoton növekvő monoton csökkenő Az f:D→R függvény szigorúan monoton növekvő szigorúan monoton csökkenő ≤ ≥ f(x1) < f(x2). ha a x1,x2∈D, x1 < x2 ⇒ >
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 5
Példák:
Sebességfüggvény
Fogyasztási függvény
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 6
Definíció: szélsőérték
Az f:D→R függvénynek maximuma [minimuma] van az x0∈D helyen, ha f(x0) az f értékkészletének legnagyobb [legkisebb] eleme.
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 7
Definíció: helyi (lokális) szélsőérték
Az f:D→R függvénynek helyi maximuma [minimuma] van az x0∈D helyen, ha x0-nak van olyan U környezete, melyben az f függvénynek maximuma [minimuma] van az x0 helyen.
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 8
Példa:
Sebességfüggvény
Megjegyzés:
A helyi szélsőérték-helyek a függvény különböző monotonitású szakaszait választják el egymástól A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 9
Definíció: konvexitás
Az f:I→R függvény konvex [konkáv], ha az I intervallum bármely két u
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 10
Definíció: inflexió
Az f:D→R függvénynek az x∈D helyen az inflexiós pontja van, ha van az x-nek olyan ]x-ε,x+ε[ környezete, hogy az f függvénynek az ]x-ε,x] intervallumon konvex [konkáv], míg az [x,x+ε[ intervallumon konkáv [konvex].
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 11
Példa:
Fogyasztási függvény
A fogyasztási függvény konkáv. Ez azt fejezi ki, hogy a jövedelem növekedése esetén a fogyasztási kiadások egyre kisebb mértékben növekednek, azaz a növekedés üteme csökken. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 12
Definíció: paritás
Legyen a D⊂R halmaz szimmetrikus az origóra. Az f:D→R függvény páros [páratlan], ha bármely x∈D esetén f(-x) = f(x) [ f(-x) = -f(x) ].
Megjegyzés: A páros függvények grafikonja tengelyesen szimmetrikus a „függőleges” tengelyre, a páratlan függvények grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 13
Definíció: periódus
Az f:R→R függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan pozitív p szám, melyre teljesül, hogy bármely x∈R esetén f(x+p)=f(x).
Ha az f függvény periodikus, és a definícióban meghatározott tulajdonságú p értékek halmazának van legkisebb eleme, akkor ezt a számot az f függvény periódusának nevezzük. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 14
(Pontonkénti) műveletek R→R függvényekkel Definíció: összeadás
Az f:D→R és a g:D→R függvények összege az az (f+g):D→R függvény, melyre:
( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 15
Definíciók: kivonás, szorzás, osztás
( f – g )( x ) = f ( x ) – g ( x ) ( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) ( f / g )( x ) = f ( x ) / g ( x ) (ha 0∉Rg )
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 16
Definíció: folytonosság
Az f:[a,b]→Rf függvény folytonos az x0∈[a,b] helyen, ha bármely (xn):N→Df ,
xn → x0 sorozat esetén az f(xn):N→Rf sorozatra fennáll, hogy
f ( xn ) → f ( x0 ). Megjegyzés:
A folytonosság pontbeli tulajdonság. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 17
Példa:
Az f(x)=x2 függvény folytonos az x0=3 helyen, mert ha
xn→3, akkor
f(xn) = (xn)2 → 9 = f(3) A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 18
Definíció: jobb oldali folytonosság
Az f:]a,b[→R függvény jobbról folytonos az x0∈]a,b[ helyen, ha az f függvény [x0,b[ intervallumra való leszűkítése folytonos az x0 helyen.
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 19
Definíció: bal oldali folytonosság
Az f:]a,b[→R függvény balról folytonos az x0∈]a,b[ helyen, ha az f függvény ]a,x0] intervallumra való leszűkítése folytonos az x0 helyen.
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 20
Példa:
Ez a függvény mindenhol folytonos balról.
Tétel:
Az f:]a,b[→R függvény folytonos az x0∈]a,b[ helyen ⇔ f balról és jobbról is folytonos az x0 helyen.
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 21
Definíció:
Az f:I→R függvény folytonos az I intervallumon, ha folytonos az I minden pontjában.
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 22
Folytonos függvények néhány tulajdonsága Tétel:
Ha az f:[a,b]→R függvény folytonos az [a,b] zárt intervallumon, akkor az [a,b] intervallumon van maximuma és van minimuma
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 23
Megjegyzés:
Nyílt intervallumon folytonos függvény nem feltétlenül korlátos, illetve ha korlátos, akkor sincs feltétlenül maximuma, illetve minimuma.
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 24
Tétel:
Ha az f:[a,b]→R függvény folytonos [a,b]-n, akkor az értékkészlet bármely c,d∈Rf, c
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 25
Következmény:
Ha az f:[a,b]→R függvény folytonos az [a,b] intervallumon, továbbá az f(a) és az f(b) függvényértékek előjele különböző, akkor az f függvénynek van zérushelye az ]a,b[ intervallumban.
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 26
Függvények határértéke
MENNYI
Megjegyzés:
HOL
A∈R
-∞
+∞
a∈R
?
?
?
-∞
?
?
?
+∞
?
?
?
Míg a számsorozatok esetén a határérték csak egyféleképpen érthető (n→∞), addig egy függvény határértéke az értelmezési tartomány bármely torlódási pontjában megkérdezhető. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 27
Definíció: határérték valós helyen („végesben”)
Legyen W∈ R ∪ {-∞, +∞ }. Az f:D→R függvény Df értelmezési tartományának a torlódási pontjában az f függvény határértéke W, ha bármely (xn)⊂Df, xn≠a sorozat esetén, melyre
xn → a fennáll, hogy
f ( xn ) → W Jelölés:
lim f ( x ) = W x →a
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 28
Példa:
1 lim 2 = +∞ x →0 x
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 29
Példa:
lim x = 9 2
x →3
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
Példa:
EL 30
x 3 − 3x 2 x 2 ( x − 3) lim = lim = lim x 2 = 9 x →3 x →3 x →3 x −3 x −3
„hézagpont”
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 31
Definíció: bal oldali határérték
Legyen W∈ R ∪ {-∞, +∞ }. Az f:D→R függvény Df értelmezési tartományának a torlódási pontjában az f függvény bal oldali határértéke W, ha bármely (xn)⊂Df, xn
xn → a f ( xn ) → W
Jelölés:
lim f ( x ) = W
x →a − 0
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 32
Példa:
lim x = 9 2
x →3 − 0
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 33
Definíció: jobb oldali határérték
Legyen W∈ R ∪ {-∞, +∞ }. Az f:D→R függvény Df értelmezési tartományának a torlódási pontjában az f függvény jobb oldali határértéke W, ha bármely (xn)⊂Df, xn>a (n∈N) sorozat esetén, melyre fennáll, hogy
xn → a f ( xn ) → W
Jelölés:
lim f ( x ) = W
x →a + 0
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 34
Példa:
lim x = 9 2
x →3 + 0
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 35
Példák:
1 lim = −∞ x →0−0 x
1 lim = +∞ x →0+ 0 x
1 1 lim 2 = +∞ lim 2 = +∞ x →0−0 x x →0+ 0 x
1 lim 2 = +∞ x →0 x A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 36
Példák:
lim f ( x ) = 0
x →0 − 0
lim f ( x ) = 2
x →0+ 0
lim f ( x ) = 4 / 8
x →2−0
lim f ( x ) = 7 / 8
x →2+ 0
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 37
Definíció: határérték +∞-ben
Legyen W∈ R ∪ {-∞, +∞ }. Az f:]a,+∞[→R függvénynek a +∞-beli határértéke W, ha bármely (xn)⊂]a,+∞[ sorozat esetén, melyre fennáll, hogy
Jelölés:
xn → +∞
f ( xn ) → W
lim f ( x ) = W
x → +∞
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
Példa:
EL 38
π lim arctg x = x → +∞ 2
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
Példa:
EL 39
lim x = +∞ 2
x → +∞
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 40
Definíció: határérték -∞ -ben
Legyen W∈ R ∪ {-∞, +∞ }. Az f:]-∞,b[→R függvény +∞-beli határértéke W, ha bármely (xn)⊂]-∞,b[ sorozat esetén, melyre fennáll, hogy
Jelölés:
xn → -∞
f ( xn ) → W
lim f ( x ) = W
x → −∞
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
Példa:
EL 41
lim e = 0 x
x → −∞
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 42
Tétel: határérték és a műveletek kapcsolata
Ha a∈R az f és a g függvények értelmezési tartományának egyaránt torlódási pontja, továbbá
lim f ( x ) = A lim g( x ) = B x →a
x →b
A,B,c∈R, akkor
lim(f + g)(x ) = A + B x →a
lim(f ⋅ g)(x ) = A ⋅ B x →a
lim c ⋅ f ( x ) = c ⋅ A x →a
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 43
Ha még g(x) ≠0 (x∈Dg), és B ≠0 is fennáll, akkor
⎛f ⎞ A lim⎜⎜ ⎟⎟( x ) = x →a g B ⎝ ⎠
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 44
Megjegyzés: Ha két (véges, vagy végtelen) határértékkel rendelkező függvény között műveletet végzünk, de nem teljesülnek az előző tétel feltételei, például azért, mert legalább az egyik függvény határértéke végtelen, vagy két 0 határértékű függvényt osztottunk el, akkor előfordulhat az is, hogy pusztán a határértékek alapján meg lehet állapítani az új függvény határértékét, de az is, hogy ez nem lehetséges (ha van egyáltalán határérték). Az utóbbi eseteket szokás határozatlan alakú határérték-feladatnak nevezni. A következő táblázatban ? jelöli a határozatlan eseteket. A ! jel arra utal, hogy előjelvizsgálattal a határérték megállapítható. A többi esetben a határérték szerepel. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
lim f
lim g
lim f+g
lim f-g
lim g-f
lim f ⋅g
lim f /g
lim g/f
A>0
+∞ +∞ -∞ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ -∞
+∞ +∞ -∞ -∞ +∞ -∞ +∞ ? -∞
-∞ -∞ +∞ +∞ -∞ +∞ ? +∞ ?
+∞ +∞ -∞ -∞ +∞ -∞ ? -∞ ?
+∞ -∞ -∞ +∞ ? ? +∞ -∞ +∞
0 0 0 0 0 0 ? ? ?
+∞ -∞ -∞ +∞ ! ! ? ? ?
A<0 A>0 A<0 0 0
+∞ +∞ -∞
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 46
További határozatlan formák
Ha lim f ( x ) = 0 x →a
és lim g( x ) = 0 akkor x →a
f (x) a lim határérték-feladat határozatlan. x→a g ( x )
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
Ha vagy
EL 47
lim f ( x ) = 0 és lim g( x ) = 0 x →a x →a lim f ( x ) = 1 és lim g( x ) = +∞ x →a x →a
vagy lim f ( x ) = +∞ x →a
[ x →a
akkor a lim f ( x )
]
g(x)
és
lim g( x ) = 0 x →a
határérték-feladat határozatlan.
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 48
Tétel: határérték és a folytonosság kapcsolata
Az f:[a,b]→R függvény pontosan akkor folytonos az x0∈[a,b] helyen, ha f-nek létezik határértéke az x0 helyen, és az egyenlő az f(x0) függvényértékkel:
lim f ( x ) = f ( x 0 )
x →x 0
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 49
Példa:
lim x = 9 = f (3) 2
x →3
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 50
Definíció: megszüntethető szakadás
Az f:]a,x0[∪]x0,b[ → R függvénynek megszüntethető szakadása van az x0∈]a,b[ helyen, ha létezik a
lim f ( x ) = A
x →x 0
határérték és a
⎧f ( x ) , ha x ≠ x 0 g(x ) = ⎨ ⎩ A , ha x = x 0 függvény folytonos x0-ban. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
EL 51
Példa:
Az alábbi függvényeknek szakadása van.
megszüntethető
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása ________________________________________________
Példa:
EL 52
Az alábbi függvények szakadásai nem megszüntethető szakadások.
A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
