Asset Path Trajectories Projection with ARMA/GARCH Models: Simulation Study for Prague Stock Exchange Companies Simulační studie projekce vývoje cen akciových titulů na BCPP s užitím modelů ARMA/GARCH Václav Klepáč Abstract: Aim of the article is to measure the forecasting power of combined volatility models for two Prague stock exchange titles data. Specifically we use ARMA stacionary model with GARCH type innovations for time series of yields analysis. We have concluded to separate data set into two categories, eg. in two time intervals. In first (in sample) we calculated the time series characteristics in interval from 1999 to 2013. In out of sample interval, from September 2013 to January 2014, we simulated each asset path with the one thousand of iterations based on the historical data. Finaly after we have tested seven selected models with prefiltered combinations of the parameters, we have chosen the model which suits the last empirical price obervations with the least error. For ČEZ company we get AR(1)-GJR(3,1) with the t-distribution. For Telefónica we chose MA(1)-GJR(3,1) with the Gaussian distribution. Keywords: GARCH-GJR(p,q), ARMA(p,q), Variance Ratio test, Monte Carlo method, Out of sample projection. Abstrakt: Cílem příspěvku je srovnat predikční sílu modelů vývoje akciových trhů na základě kombinovaných lineárních, nelineárních modelů volatility a autoregresních procesů pro vývoj cen titulů ČEZ, a. s., a Telefónica O2 Czech Republic v letech 1999 a 2014. Naše metodika pracuje ve dvou stupních: 1. fáze odhad vstupních parametrů z období 1999–2013. Ve 2. fázi, období 2013–2014, měříme přesnost střední hodnoty simulací proti pozorovaným datům cen. Po diagnostické kontrole časových řad testujeme složené modely na bázi ARMA filtru s inovací GARCH, GARCH-GJR a EGARCH pro případ normálního a t-rozdělení, na datech výnosů. Na základě simulací Monte Carlo, informačních kritérií, statistické verifikace a grafického posouzení jsme dospěli k modelu, který je založen na AR(1)-GJR(3,1) s t-rozdělením pro společnost ČEZ a MA(1)-GJR(3,1) s normálním rozdělením pro společnost Telefónica. Klíčová slova: GARCH-GJR(p,q), ARMA(p,q), Variance Ratio test, metoda Monte Carlo, projekce out of sample.
1.1 Úvod Cílem předloženého článku je aplikovat kombinované modely ARMA/GARCH1 při modelování a simulacích časových řad a výnosů likvidních titulů akciového trhu v časovém horizontu března 1999 až listopadu 2013 na Burze cenných papírů Praha, a. s. (ČEZ, a. s., a Telefónica O2 Czech Republic, a. s, a srovnat kvalitu predikce generovaných cen na historických datech do počátku února 2014). Finanční časové řady obvykle obsahují specifické charakteristiky, které musí důvěryhodná predikativní analýza časových řad brát do úvahy. Jedná se primárně o shlukování a variabilitu volatility, asymetrická rozdělení výnosů investičních instrumentů, pákový efekt asymetrie změny volatility a autokorelaci obsaženou v rámci časových řad. 1
Vycházíme ARMAX/GARCH filtru, v průběhu práce nebyl doplňkový regresní koeficient X využit, proto jsme redukovali model do podoby ARMA, resp. AR nebo MA.
XXXII International Colloquium, Brno, May 22, 2014
1
Volatilita – směrodatná odchylka výnosů, která je chápaná jako metrika rizikovosti investičního instrumentu, je důležitým vstupním parametrem pro oceňování rozličných typů derivátů2 a modelování časových řad – nepřesný odhad volatility může podhodnotit nebo nadhodnotit míru rizika, čímž dochází k nadhodnocení nebo podhodnocení hodnoty kontraktů. To platí i pro případ zjednodušení modelů, kdy konstantní míra kalkulované volatility neodpovídá realitě. Základní členění modelů volatility obsahuje dělení na stochastické modely: např. Hestonův, Hullův-Whiteův, Coxův-Ingersollův-Rossův model, a diskrétní lineární ARCH procesy s různými vlastnostmi a zobecněními: GARCH, IGARCH, FIGARCH, GARCH-M a nelineární EGARCH, IEGARCH, FIEGARCH, GJR-GARCH, STGARCH, pro základní přehled viz Arlt a Arltová (2009). Geneze těchto modelů je v posledních letech pestrá zejména v oblasti konstrukce portfolií, měření vícerozměrných závislostí mezi aktivy s propojením jejich marginálních distribucí pomocí kopula funkcí (Fernandezová, 2008). Mezi základní přístupy, ze kterých v článku vycházíme, řadíme kombinaci modelů z BoxovyJenkinsovy metodologie, pro modelování úrovňové složky a modelů třídy GARCH pro měření reziduí (inovace) modelu. Takto kombinované modely poskytují výhodu a flexibilitu oproti modelům prostým – filtrací dat je oprostíme o avizované nestandardní charakteristiky, čímž umožníme tvorbu teoreticky důvěryhodných měření a prognóz. Příspěvek byl vypracován za podpory PEF MENDELU pro rok 2014 v rámci projektu Interní grantové agentury: „Vývoj stochastických metod pro predikci korporátních bankrotů“.
1.2 Lineární modely volatility Základním modelem využívaným k zachycení proměnlivé volatility, je ARCH. Tento poprvé popsal Engle (1982) pro variantu ARCH(q), při , ve tvaru:
Bollerslev (1986) zobecnil tento model do podoby GARCH(1,1). V obecné podobě GARCH(p,q), pak můžeme psát:
Kladný podmíněný rozptyl zaručují podmínky . Arlt (2009).
>0,
pro
a
, pro
Pro účely modelování výnosů finančních aktiv můžeme vyjádřit model založený na procesu AR(p) výnosů s normální inovací následovně: , kde:
2
Kontrakty, jejichž hodnota je odvozena od jiného aktiva: jde o nástroje uplatňované pro účely řízení tržních a kreditních rizik.
XXXII International Colloquium, Brno, May 22, 2014
2
V podobě procesu ARMA(p,q)-GARCH(p,q):
I přes popularizaci základního modelu GARCH můžeme říct, že nezachycuje všechna specifika výnosů: leptokurtické a těžko-ocasé rozdělení výnosů. Z toho důvodu se jedná o model, který je vhodný pro modelování méně proměnlivých trhů nebo slouží jako základ pro empiričtěji založené přístupy (Cherubini, 2012). Empirickými analýzami s užitím kombinovaných modelů AR/GARCH se zabývala Ferensteinová (2004) na datech Varšavské burzy CP. Aplikace těchto modelů však nesahá pouze do oblasti finanční ekonomie, ale i nefinančních disciplín.
1.3 Nelineární modely volatility Základní omezení modelu GARCH(p,q) můžeme překonat různými rozšířenými. Jedním z nich je pákový efekt, pro měření asymetrického šoku do vývoje volatility. Empiricky bylo prokázáno, že po obdobích výrazných tržních výkyvů docházelo k útlumům. Dopad změněné dynamiky časové řady na volatilitu není lineární. Mezi popsané nelineární modely volatility můžeme řadit: GJR-GARCH(1,1) definovaný Glostenen, Jaganntahanem a Runkleem (1993): V tomto modelu zastupuje I umělou proměnnou, která slouží jako váha. I dosahuje hodnoty 1 při a hodnoty 0, při . EGARCH(1,1) uvedený Nelsonem (1991), který zvyšuje váhu dat s nižším zpožděním:
Vliv kladných šoků na logaritmus podmíněného rozptylu je dán součtem parametrů ( a vliv záporných šoků rozdílem ( ), detaily viz Arlt a Arltová (2009).
)
Při modelování empirických dat literatura vychází z odlišných modelů podmíněné variance, resp. z takových, které jsou založené na odlišném pravděpodobnostním rozdělení veličiny εt, než je N(0, σ2). Vědecká komunita se těmito metodami dále zabývá, konkrétně např. Ha a Lee (2011) nebo Jensen (2001), stejně jako stanovením predikční kvality jednotlivých modelů, viz Ramasamy a Munisamy (2013).
2 Metodika zpracování dat Pro analýzu jsme vybrali data dvou společností obchodovaných na veřejném trhu – ČEZ, a. s., a Telefónica Czech Republic, a. s., z databáze Patria Online. Data vycházejí z období březen 1999 až počátek února 2014, s tím, že období 1999 až září 2013 sloužilo pro „učení“ modelu (in sample) a odhad parametrů modelu, a následující období sloužilo pro testování predikční síly jednotlivých modelů proti empirickým datům (out of sample). Testování časových řad výnosů bylo provedeno na základě vlastních skriptů v SW Matlab, který automatizoval výpočty – na základě algoritmů ze statistického a ekonometrického toolboxu v SW Matlab a toolboxu pro výpočet Hurstova exponentu3, a sumarizoval testované statistiky a informační kritéria. Díky, kterým jsme odvodili nejvhodnější modely. Výhodou 3
Dostupný z: http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/19148-hurst-parameter-estimate.
XXXII International Colloquium, Brno, May 22, 2014
3
přístupu je možnost odhadovat hodnoty průběžně měřit stabilitu parametrů modelů v průběhu minulých období a odvodit vhodné dopady pro tvorbu simulace, než při ručním zpracování. Při analýze je obvyklý postup: 1. Grafická a elementární statistická analýza časové řady – vizuální posouzení ne/stacionarity časové řady. 2. Testování jednotkového kořene pro zjištění ne/stacionarity pro ověření předchozího kroku: ADF, KPSS test. Stacionarizace dat v případě nestacionarity: diferencování, resp. zlogaritmování koeficientu růstu původní časové řady. 3. Testování perzistence časové řady Hurstovým exponentem a Variance ratio testem. 4. Identifikace vhodného modelu pomocí ACF a PACF pro stacionarizovanou časovou řadu. Předpokládáme, že v případě finančních časových řad využijeme kombinovaných modelů – podmíněný průměr vyjádřený AR/ARMA procesem a inovace třídou lineárních/symetrických a nelineárních/nesymetrických GARCH procesů. 5. Diagnostická kontrola vhodnosti modelu – posouzení reziduální autokorelace: Ljungův-Boxův test, heteroskedasticita: ARCH test-LM a normalita: Jarque-Berra test, histogramy, a další pro měření informačních kritérií: AIC, BIC vypočtených z log-věrohodnostní funkce. Při zjevném výsledku grafické analýzy a při znalosti omezení predikčních modelů, lze určité dílčí kroky nerealizovat. 6. Porovnání předpovědí a skutečnosti se testuje pomocí ztrátových funkcí nebo grafickým srovnáním průběhu časových řad. 7. Je-li kvalita modelu podle uvedených kritérií přijatelná, lze tento model využít pro konstrukci bodových či intervalových předpovědí a simulací.
3 Analýza jednorozměrných časových řad Z obr. 1 vývoje časové řady je patrné, že se jedná o nestacionární časové řady, pro verifikaci testujeme existenci jednotkového kořene a další testy v tab. 2. Základní charakteristiky časových řad prezentujeme v tab. 1. Bližší analýza stavu ne/stacionarity v čase, je obsažena v obr. 2, kde na ročním intervalu testujeme stejné charakteristiky jako v předcházející tabulce. ČEZ
ČEZ 0.2 LN-Výnosy
Tržní cena
1 500 1 000 500
0 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013
0.1 0 -0.1 -0.2 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013
Telefónica
Telefónica
1 000
0.2 LN-Výnosy
Tržní cena
800 600 400 200 0 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013
0.1 0 -0.1 -0.2 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013
Obr. 1: Vývoj cen a logaritmizované výnosů (v letech 1999–2014)
XXXII International Colloquium, Brno, May 22, 2014
4
Na grafech výnosů lze vidět shluky volatility v počátečních letech, okolo roku 2009 a v závěru roku 2013. Významným jevem je snížení volatility u obou titulů v závěru časové řady. Tab. 1: Elementární statistické charakteristiky časových řad zvolených akciových titulů Hodnoty Stř. hodnota Medián Směr. odchylka Špičatost Šikmost Minimum Maximum
Cena ČEZ v Kč
Cena Telefónica v Kč
540,86 605,40 384,98 -1,21 0,17 44,30 1428,00
422,29 410,00 113,61 1,26 0,85 184,80 967,30
Výnosy Telefónica
-0,0001 0 0,0199 6,8802 -0,3140 -0,1617 0,1306
Výnosy ČEZ
0,0006 0,0009 0,0202 9,2745 -0,3377 -0,1983 0,1952
Pro další analýzu je podstatná primárně špičatost a šikmost výnosů – naznačuje nenormální rozdělení. Směrodatná odchylka od průměru a hodnoty max. a min. indikují vyšší kolísavost akcií ČEZ. Srovnáním marginálních distribučních funkcí a aproximací v Distribution Fitting Toolboxu jsme dospěli k závěru, že data vhodně aproximuje t-rozdělení. Tab. 2: Testování stacionarity a podmíněné heteroskedasticity časové řady v období 3/1999 – 2/2014 Test/p-hodnota
ČEZ
Telefónica
Cena
Výnos
Cena
Výnos
Variance ratio test
0,55 0,01 0,08
0,001 0,085 2,0106e-155
0,39 0,01 0,08
0,001 0,1 7,19e-192
Hurstův exponent – hodnota
1,01
0,559
0,99
0,547
ADF test KPSS test
Pozn. Bílé podbarvené buňky značí zamítnutí nulové hypotézy modelu. Šedé poukazují na platnost nulové hypotézy na hladině významnosti 95 %. Číselné hodnoty sdělují konkrétní p-hodnoty testů (kromě Hurstova exponentu). Pro modely ADF (H0 = nestacionarita, H1 = stacionarita); KPSS opačně. Variance ratio (H0 = náhodná procházka nebo identická rozdělení, H1 = heteroskedasticita, sériová korelace).
Variance ratio test v šedých buňkách indikuje proces náhodné procházky, v bílých buňkách sledujeme proces, který potenciálně obsahuje autokorelaci nebo heteroskedasticitu – výnosy z cen nejsou náhodné, resp. nejsou vytvořené na základě identického rozdělení.4 To je patrné, i z grafu pro jednotlivé časové úseky, s tím, že hodnoty cen obsahovaly neidentické pravděpodobnostní rozdělení v celkově třech letech – to platilo pro akcie obou společností.
4
Závisí na bližší specifikaci modelu. Totéž platí i pro test ADF, lze testovat více variant alternativní hypotézy.
XXXII International Colloquium, Brno, May 22, 2014
5
Výnos Telefónica
Cena Telefónica
Výnos ČEZ
Cena ČEZ
ADF test
KPSS test
Hurstův exponent
Variance Ratio test
1
2
1
1.5
0
1
0.5
1
-1 1999
2007
2014
0 1999
2007
2014
0 1999
2007
2014
0.5 1999
2
1
2
0.8
1
0
1
0.6
0 1999
2007
2014
-1 1999
2007
2014
0 1999
2007
2014
0.4 1999
1
2
1
1.5
0
1
0.5
1
-1 1999
2007
2014
0 1999
2007
2014
0 1999
2007
2014
0.5 1999
2
1
2
0.8
1
0.5
1
0.6
0 1999
2007
2014
0 1999
2007
2014
0 1999
2007
2014
0.4 1999
2007
2014
2007
2014
2007
2014
2007
2014
Obr. 2: Diagnostika základních vlastností časových řad s intervalem 250 obchodních dní (v období 3/1999 – 2/2014)
Hodnota Hurstova exponentu < 0,5 poukazuje na mean-reverting procesy (anti-perzistence), hodnoty nad 0,5 na proces, který s přibližováním k 1 vykazuje výraznější trend (perzistence). Hodnoty blízké 0,5 indikují proces náhodné procházky, kde nejsou posloupné hodnoty vzájemně korelované. U výnosů obou společností, hodnoty Hurstova exponentu oscilují okolo 0,5, tzn. že v čase se mění režim mezi návratem k průměru a trendováním.
3.1 Výsledky simulační studie Pro zvolení úrovňového lineárního modelu jsme zvolili postup skrze vizuální posouzení grafů funkcí ACF a PACF ze stacionarizované řady – výnosů. Zjistili jsme, že nejvhodnějším modelem pro podmíněný průměr u časové řady výnosů ČEZ je proces AR(2). Statisticky jsme otestovali jeho průkaznost na datech v rozmezí počátek až konec „učící fáze“. Korelogram u dat Telefóniky neprokázal jednoznačně autokorelaci, hodnoty byly maximálně těsně pod hranicí konfidenčního intervalu. Pro předvýběr simulačních modelů jsme zvolili hodnocení Akeikeho a Bayesova informačního kritéria vypočteného z log-věrohodnostní funkce. Na základě skriptu jsme otestovali kombinace modelů, pro různé řády zpoždění autoregresního zpoždění a rozptylu, které odfiltrovaly vhodné modely: Obecně lze říct, že modely s GJR a EGARCH inovací byly upřednostněny před základním GARCH, na konkrétní nastavení parametrů u GARCH-GJR bylo AIC i BIC málo citlivé.5 Závěrem jsme otestovali více variant pomocí t-statistik. Hodnoty výsledných modelů, které jsme odhadli na datech pomocí funkcí garchset a garchfit, pro srovnání viz tab. 3.6
5
6
Finanční časové řady vyžadují důkladnější, vícekriteriální diagnostiku, než je detekce řádu zpoždění prostřednictvím korelogramu. Testování ověřovalo maximálně kombinace 4. řádu zpoždění. Jedná se o jednostranný test, zamítáme nulovou hypotézu, že parametr = 0 oproti nenulové hypotéze, při kritické hodnotě 2. Pro některé případy, jsme v modelu ponechali i méně průkazný parametr, zejména u autoregresní složky.
XXXII International Colloquium, Brno, May 22, 2014
6
Pro společnost ČEZ byla teoreticky vhodnější specifikace GJR a pro Telefónicu EGARCH. Posouzením t-statistik a žádoucího tvaru modelů jsme dospěli k názoru, že i pro Telefónicu je vhodnější specifikace GJR – hodnoty parametrů jsou statisticky průkaznější. Tab. 3: Přehled koeficientů a jejich statistická významnost Telefónica
GARCH(1) GARCH(2) GARCH(3) ARCH(1)
Páka
C
AR(1)
MA(1)
K
x
x
0,012
0,00013
0,264
0,212
0,255
0,175
0,132
t-rozdělení
x
x
x
0,00004
0,328
0,306
0,189
0,153
0,046
Normální rozd.
x
x
x
0,0002
0,268
0,208
0,256
0,174
0,130
C
AR(1)
MA(1)
K
Normální rozd.
x
0,034
x
0,0002
0,369
0,426
x
0,109
0,095
t-rozdělení
x
0,022
x
0,0002
0,478
0,298
x
0,127
0,083
0,0005
0,036
x
0,0015
0,854
x
x
0,078
0,061
x
0,00022
0,489
0,289
0,039
0,13
0,0668
MA(1)-GJR(3,1) Normální rozd. GJR(3,1)
ČEZ
GARCH(1) GARCH(2) GARCH(3) ARCH(1)
Páka
AR(1)-GJR(2,1)
AR(1)-GJR(1,1) Normální rozd. AR(1)-GJR(3,1) t-rozdělení
0,0008 0,017451
Pozn. V modře podbarvených buňkách jsou hodnoty statisticky neprůkazné na hladině významnosti 95 %. Parametr K značí konstantu GARCH a C konstantu úrovňového modelu.
Pro těchto 7 modelů jsme provedli simulace výnosů užitím příkazu garchsim ve spojení s dříve realizovanými hodnotami standardizovaných reziduí, směrodatné odchylky a původní časové řady, tvz. presample data. Tato fáze byla provedena na celkově 3 650 datech uzavíracích cen logaritmické diference výnosů od r. 1999. Následnou 100denní simulaci jsme provedli výhradně na základě historických dat odhadnutých parametrů, ve výpočetním SW. Výpočet cen z výnosů na základě spojitého úročení: V dalším z kroků jsme vypočetli pro všechny modely průměr ze scénářů pro daný časový okamžik, vykreslili pro tuto posloupnost výnosů časovou řadu cen a srovnali ji s empirickým vývojem. Pro 50. a finální 100. den jsme doplnili kvantilové rozpětí na základě 5% a 95% kvantilu t-distribuce, pro model AR(1)-GJR(3,1), které graficky poskytl nejbližší vykreslení vůči reálným datům, ačkoliv jeho parametry nebyly všechny průkazné.
XXXII International Colloquium, Brno, May 22, 2014
7
700 650 600 550 500 450 Empirická data AR(1)-GJR(2,1): Normální rozdělení AR(1)-GJR(2,1): t-rozdělení AR(1)-GJR(1,1): Normální rozdělení AR(1)-GJR(3,1): t-rozdělení AR(1)-GJR(3,1): t-rozdělení: 5% kvantil MC AR(1)-GJR(3,1): t-rozdělení: 95% kvantil MC
400 350 300 250 září 2013
únor 2014
listopad 2013
Obr. 3: Out of sample simulace střední hodnoty cenových trajektorií pro 100 obchodních dní vývoje akcií ČEZ
Zajímavou se jeví situace v listopadu 2013, kdy cesty cen generované modelem výnosů AR(1)-GJR(3,1) ohraničuje interval těsně nad empirickou řadou. Sledovaný proces se navrací ke své potenciální střední hodnotě: mean reverting proces, a v koncovém bodě simulace směřuje znovu k reálným datům. Další data potvrzují evoluci modelů AR-GJR, při aktuální anti-perzistenci trhu. Vývoj generovaných dat indikoval pro všechny zkoumané varianty růst v časové řadě, avšak s potenciálním hlubokým propadem. Zde nezveřejněná data z počátku března, ale potvrzují nastíněný vývoj časové řady, kdy k výraznějším poklesům nedošlo. Pro data z akciového trhu pro společnost Telefónica můžeme potvrdit obdobnou přesnost predikce, ve stejném období došlo nejprve k výraznějšímu růstu a následně k poklesu, kdy se hodnoty modelu odchylovaly od střední hodnoty simulace. Model predikce indikoval setrvalý stav okolo 300 Kč: k tomu se v březnu 2014 data přibližují, zobrazená data na obr. 4. též. Simulační interval mezi 5% a 95% kvantilem vhodně vykresluje reálný průběh časové řady, kromě prvotních výraznějších oscilací. Situace na tomto trhu v březnu je svojí minimální oscilací značně atypická, což může být způsobeno snížením objemu obchodování. 400
Kč
350
300
Empirická data MA(1)-GJR(3,1): Normální rozdělení GJR(3,1): t-rozdělení GJR(3,1): Normální rozdělení MA(1)-GJR(3,1): Normální rozdělení: 5% kvantil MC MA(1)-GJR(3,1): Normální rozdělení: 95% kvantil MC
250
200
září 2013
listopad 2013
únor 2014
Obr. 4: Out of sample simulace střední hodnoty cenových trajektorií pro 100 obchodních dní vývoje akcií Telefónica XXXII International Colloquium, Brno, May 22, 2014
8
4 Závěr a diskuse K predikcím ceny finančních aktiv se využívá mnoha modelů, které v článku nebyly zmíněny, uvádíme pouze stacionární přístupy. Jedná se přirozeně o jednu z dlouhodobě nejvíce exponovaných výzkumných oblastí pro finanční aplikace. Práce se zaměřovala na aplikaci modelů z Boxovy-Jenkinsovy metodologie ve spojení s modely volatility GARCH. Jednotlivé autoregresní přístupy mají své výhody a spojeně s modely volatility nabízí ještě větší přínos pro predikci, díky zachycení pákového efektu a podmíněné heteroskedasticity. Z výsledků usuzujeme, že na kvalitu predikce mají vliv zejména typ modelu. S tím, že nelineární třída GARCH poskytuje větší informační hodnotu, než třída lineární – to platilo nezávisle na rozdělení inovací, kde preferované bylo t-rozdělení. Konkrétní aplikace modelů, pak závisí na kalibraci parametrů, přičemž statistické testy mohou indikovat obdobnou kvalitu vyrovnání pro různou specifikaci při odlišné kvalitě predikce. Při méně proměnlivém projevů časových řad můžeme uspokojivě modelovat výnosy pomocí GARCH založeném na normálním a t-rozdělení i bez autoregresní nebo MA složky. Moderní aplikace vybízí k modelování s různým variantami rozdělení inovací modelu GARCH. Zejména ve spojení s normálním inverzním Gaussovým a spojením s odlišnými Lévyho procesy při modelování ve spojitém čase. Logickou nevýhodou modelování a tvorby simulací je určité zprůměrování, které neumožní zachytit většinu variability v datech. Z toho důvodu je vhodné stejně jako při predikcích zobrazit konfidenční intervaly, popř. doplnit kvantilové ukazatele ve sledovaných časových úsecích. Díky tomu můžeme v reálném čase pozorovat přechod stavů časové řady v mezích svojí cenové distribuce při konkrétní míře rizika. Pro úpravu přesnosti krátkodobých prognóz by bylo vhodnější model rekalibrovat a upravit varianci na úroveň aktuální volatility po několika jednotkách až desítkách pozorování a nastavit na úroveň empirické časové řady. Tím zároveň snížíme hodnotu průběžně rostoucího interkvantilového rozpětí. Je nutné podotknout, že hodnoty vykreslené extrémními kvantily mají statisticky nízkou pravděpodobnost realizace, ačkoliv případ akcií ČEZ tento předpoklad zřetelně otestoval. Zvolená metodika poskytla vhodné srovnání různých tříd jednorozměrných modelů ARMA/GARCH s tím, že jsme testovali přesnost a blízkost vyrovnání při predikci out of sample bez vlivu empirických dat pro dva časové okamžiky. Další práce mohou směřovat do propojení a testování více tříd modelů GARCH s asymetrickými rozděleními nebo s jinou funkční specifikací, popř. do oblasti aplikace procesů vícerozměrných DCC/kopula-MGARCH modelů při řízení tržních rizik.
Použité zdroje ARLT, Josef a Markéta ARLTOVÁ. Ekonomické časové řady. 1. vyd. Praha: Professional Publishing, 2009, 290 s. ISBN 98-80-247-1319-9. BOLLERSLEV, Tim. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. EERI Research Paper Series EERI RP 1986/01, Economics and Econometrics Research Institute (EERI), Brussels. 1986. ENGLE, Robert F. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom Inflation. 1982. Econometrica. vol. 50, s. 987–1008. FERENSTEIN, Elzbieta a Miroslaw, GASOWSKI. Modelling stock returns with AR-GARCH processes. SORT. 28, 1 (2004). s. 55–68.
XXXII International Colloquium, Brno, May 22, 2014
9
FERNANDEZ, Viviana. Copula-based measures of dependence structure in assets returns. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2008, vol. 387, issue 14, s. 3615–3628. DOI: 10.1016/j.physa.2008.02.055. GLOSTEN, Lawrence R, Ravi JAGANNATHAN a David E. RUNKLE. On the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks. Journal of Finance, American Finance Association. 1993, vol. 48, s. 1779–1801. HA, Jeongcheol a Taewook LEE. NM-QELE for ARMA-GARCH models with non-Gaussian innovations. Statistics. 2011, vol. 81, issue 6, s. 694–703. DOI: 10.1016/j.spl.2011.02.004. CHERUBINI, Umberto. Dynamic copula methods in finance. Hoboken, NJ: Wiley, 2012, Frank J. Fabozzi series. ISBN 978-047-0683-071. JENSEN, M. B. a A. LUNDE. The NIGS and ARCH model: a fat tailed, stochastic, and autoregressive conditional heteroscedastic volatility model. Econometrics Journal. 2001, vol. 4, s. 319–342. NELSON, Daniel B. Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: a new Approach. Econometrica. 1991, vol. 59, s. 347–347. RAMASAMY Ravindran a Munisamy SHANMUGAN. Predictive accuracy of GARCH, GJR a EGARCH models select Exchange rates applications. Global Journal of Management and Business Research. 2012, vol. 12.
Ing. Václav Klepáč Ústav statistiky a operačního výzkumu, Provozně ekonomická fakulta, Mendelova univerzita v Brně Zemědělská 1, 613 00 Brno, Česká republika E-mail:
[email protected] Telefon: +420 545 132 414
XXXII International Colloquium, Brno, May 22, 2014
10
