V. osztály. Matematikai tehetségnap október 12. Megoldások

Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások

V. osztály

1. feladat.

Ha leejtünk egy labdát, akkor az fele akkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen

magasról ejtettük le a labdát, ha ötödik alkalommal

10cm

magasra pattant fel?

Megoldás:

Ha a leejtett labda ötödször 10 cm magasra pattant fel, és minden egyes esésénél feleakkora magasságra pattan fel mint, ahonnan leejtettük, akkor az ötödik esésnél a földt®l 20cm-re van . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

pont pont harmadiknál 80cm-re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 pont a másodiknál 160 cm-re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5pont az els®nél pedig 320 cm-re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5pont a negyediknél 40 cm-re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5

Tehát a labdát 320 cm magasságból ejtették le.

2. feladat.

Van 8 kis kockánk, mindegyiknek 1 cm az éle.

a) Hogyan színezzük ki a kis kockák lapjait, hogy ugyanazokkal a darabokkal akár kék, akár zöld 2cm él¶ kockát tudjunk összeállítani? b) Meg tudunk-e színezni 27 kis kockát úgy, hogy azokból akár kék, akár zöld 3 cm él¶ kockát lehessen összeállítani? c) Meg tudunk-e színezni 27 kis kockát úgy, hogy azokból akár kék, akár piros, akár zöld 3 cm él¶ kockát lehessen összeállítani?

Megoldás: a) Minden kiskockának 3 lapja látszik, tehát ha mindeniknek a látszó 3 szomszédos lapját kékre, a többit zöldre festjük a kirakás megvalósítható. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

pont

b) Egy zöld 3 cm él¶ kockában 8 darab olyan kiskocka van, melynek 3 lapja látszik, 12 darab olyan amelynek 2 lapja látszik, 6 darab amelynek 1 lapja látszik és egy amelynek nem látszik egyetlen lapja sem. Így ha a kiskockák el®bbi színezését használjuk a kirakás mindkét színnel megvalósítható, mert 8 kiskockának van 3 egyszín¶ laja, 12-nek legalább 2 egyszín¶ lapja(ami látszhat), 6-nak legalább egy kék vagy zöld lapja, az utolsó nem is látszik. .......................................................................................................3 c) Mivel a 27 kiskockának 162 lapja van, és egy

3x3-as

kocka felszínén pontosan 54 ilyen lap látszik, és

világos, hogy egyetlen színb®l sem lehet 54 lapnál több kiszínezve. Egy ilyen színezés:

1

pont

3x54 = 162


1 db. kocka 3 piros+3 kék lap 1 db. kocka 3 kék+3 zöld lap 1 db. kocka 3 zöld+3 piros lap 6 db. kocka 3 kék+2 piros+1 zöld lap 6 db. kocka 3 zöld+2 kék+1piros lap 6 db. kocka 3 piros+2 zöld+1kék lap 6 db. kocka 2 piros+2 zöld+2 kék lap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. feladat.

3 pont

Vágd szét a négyzetet minél többféleképpen két részre úgy, hogy azok egyforma nagyságúak és alakúak

legyenek! Csak a kis négyzetek oldalai mentén vághatsz!

Megoldás:

Minden helyes szétvágás

4. feladat.

1,5 pont.

Egy kis faluban három egymás melletti házban három különböz® foglalkozású ember lakik (ORVOS,

MATEKTANÁR, HOKISTA). A házak más-más szín¶ek (SÁRGA, ZÖLD, PIROS), minden háztulajdonos más-más állatot tart (MACSKA, KECSKE, KUTYA), más-más a kedvenc itala (TEA, KÁVÉ, GYÜMÖLCSLÉ), más-más járm¶vel mennek dolgozni (BICIKLI, MOTOR, AUTÓ) és igazak az alábbi állítások: 1. Az ORVOS a PIROS házban lakik.

2


2. A KUTYA és a MACSKA nem szomszédok. 3. Az els® házban lakó ember AUTÓT vezet és nem tart KUTYÁT. 4. A SÁRGA ház tulajdonosának nincs BICIKLIJE. 5. A MATEKTANÁR KECSKÉT tart. 6. A PIROS házban lakó ember nem TEÁT iszik. 7. A KUTYÁT tartó ember a ZÖLD házban lakik. 8. A középs® házban lakó ember KÁVÉZIK. Ki MOTOROZIK? Ki iszik GYÜMÖLCSLEVET?

1. ház

Megoldás: 2. ház

3. ház Foglalkozás ORVOS MATEKTANÁR HOKISTA Szín PIROS SÁRGA ZÖLD Állat MACSKA KECSKE KUTYA Ital GYÜMÖLCSLÉ KÁVÉ TEA Járm¶ AUTÓ MOTOR BICIKLI Részletesebben (egy lehetséges megoldás a sok közül): alapján a 2. házban lakó ember KÁVÉZIK. A c. állítás alapján az 1. házban lakó pont 1. ház 2. ház 3. ház Foglalkozás Szín Állat Ital KÁVÉ Járm¶ AUTÓ

A

h.

állítás

A

b.

állítás alapján a KUTYA és a MACSKA nem szomszédok, azaz a középs® házban lakik a KECSKE. . . .

1. ház Foglalkozás Szín Állat Ital Járm¶ Az

e.

2. ház

KÁVÉ AUTÓ 1. ház

A

c.

állítás alapján az

MACSKA lakik az

1.

1.

g.

2.

házban lakik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. ház

1 pont

3. ház

MATEKTANÁR

KECSKE KÁVÉ AUTÓ házban lakó ember nem tart KUTYÁT, tehát a KUTYA a

3.

házban lakik és így a

házban. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Foglalkozás Szín Állat Ital Járm¶ A

1 pont

3. ház

KECSKE

állítás alapján a MATEKTANÁR KECSKÉT tart, tehát ® a

Foglalkozás Szín Állat Ital Járm¶

ember AUTÓT vezet.1

1. ház

2. ház MATEKTANÁR

3. ház

MACSKA

KECSKE KÁVÉ

KUTYA

pont

AUTÓ

állítás alapján a KUTYÁT tartó ember a ZÖLD házban lakik, tehát a

3

3.

ház ZÖLD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

pont



a.

2. ház MATEKTANÁR

ZÖLD

MACSKA

KECSKE KÁVÉ

1. ház

Következik, hogy a

3.

A

d.

2.

MACSKA

KECSKE KÁVÉ

ZÖLD KUTYA

AUTÓ

2.

1. ház ORVOS PIROS MACSKA

ház SÁRGA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. ház MATEKTANÁR

3. ház

SÁRGA

ZÖLD KUTYA

KECSKE KÁVÉ

1 pont

HOKISTA

AUTÓ

3.


2. ház MATEKTANÁR SÁRGA KECSKE KÁVÉ

3. ház HOKISTA ZÖLD KUTYA

AUTÓ

MOTOR

BICIKLI

állítás alapján a PIROS házban lakó ember nem TEÁT iszik, tehát a TEÁT a

GYÜMÖLCSLEVET az

1.

házban van és így a

3.


2. ház MATEKTANÁR SÁRGA KECSKE KÁVÉ MOTOR

GYÜMÖLCSLÉ

AUTÓ

4

pont

házban isszák. Így pedig a

házban. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


pont

3. ház

házban. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Foglalkozás Szín Állat Ital Járm¶ f.

PIROS

házba tehet® be. . . . . . . . . . . . 1

állítás alapján a SÁRGA ház tulajdonosának nincs BICIKLIJE, tehát a BICIKLI a

MOTOR a

Az

1.

2. ház MATEKTANÁR

ORVOS

házban lakik a HOKISTA, illetve a


KUTYA

AUTÓ

állítás alapján az ORVOS a PIROS házban lakik, így ez a páros csak az


3. ház

3. ház HOKISTA ZÖLD KUTYA TEA

BICIKLI

1 pont


VI. osztály

1 1 1 1 1 1 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 számok közül melyiket (melyeket) kell eltávolítani ahhoz, hogy a a megmaradt számok összege 1 legyen?

1. feladat.

Az

1. megoldás

Mivel

1 1 1 1 1 1 60 30 20 15 12 10 147 + + + + + = + + + + + = , 2 4 6 8 10 12 120 120 120 120 120 120 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

pont

60 + 30 + 20 + 15 + 12 + 10 = 147 összegb®l 27-et kell levenni. A 60 és a 30 nem húzható ki, mivel nagyobbak, mint 27. Marad a 20, 15, 12, 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pont Pontosan két számot kell kihúzzunk ezekb®l, mivel egy nem elég (még a legnagyobb is kisebb 27-nél), három pedig már túl sok (a három legkisebb szám összege: 15 + 12 + 10 = 37 > 27). A 20-as viszont nem lehet egy párosnak sem tagja, mivel 20 + 10 = 30 > 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pont Maradnak a 15, 12, 10. Az ezekb®l a számokból alkotható három pár közül ((15, 12), (15, 10) és (12, 10)) csak a (15, 12) jó. 1 1 -et kell kihúzzuk ahhoz, hogy a megmaradt törteknek az összege 1 legyen. . . . . . . . . . . . . 1 pont Tehát az -ot és az 8 10 Ezért a

Valóban:

1 60 30 20 10 1 1 1 + + + = + + + = 1. 2 4 6 12 120 120 120 120 147 49 120 = 40 = Ahhoz, hogy a megmaradt számok összege

2. megoldás

A számok összege

törtek összegére kell bontani, amelyek

9 1 + 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 pont 9 9 1 legyen, 40 összeg¶ számokat kell eltávolítani. Ehhez a 40 törtet olyan nevez®i 2, 4, 6, 8, 10, 12 lehetnek, a számlálók pedig (egyszer¶sítés után) mind 1

legyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 40

1 pont

40 = 23 · 5, az 5-ös egyetlen tört nevez®jében szerepel, ez biztosan kell szerepeljen az eltávolításban, és mivel 1 1 1 − 10 = 81 , a két tört, amit el kell távolítani az 10 és az . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 pont 8 Javítási javaslat: ha nem indokol a tanuló, de megtalálja a megoldást, 7-8 pontot kaphat.

2. feladat. A SIMPLEX szó bet¶inek hány darab különb öz® (Például IESMPLX egy ilyen átrendezés, de ISMPLEX nem.) Megoldás.

A magánhangzókat (E,

I)

átrendezésében van mindkét magánhangzó el ®l?

el®l kétféleképpen lehet elhelyezni:

A mássalhangzók a magánhangzók után

5

EI, IE.

helyre tehet®ek be:

..........................

. Ez

5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

lehetséges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tehát

2 · 120 = 240

3. feladat.

2 pont

féleképpen

különböz® átrendezés van a feladat feltételeinek megfelel®en. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 pont 2 pont

Van 216 egyforma kis kockánk. Hány különböz® alakú téglatestet építhetünk ezekb®l, ha mindenik kockát

fel kell használni?

Megoldás: 216 = 23 · 33

a · b · c alakú és a ≤ b ≤ c, ezekb®l mind 19 téglatestet kapunk, közvetlen felsorolással is megkaphatjuk: 1 · 1 · 216, 1 · 2 · 108, 1 · 3 · 72, 1 · 4 · 54, 1 · 6 · 36, 1 · 8 · 27, 1 · 9 · 24, 1 · 12 · 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 pont 2 · 2 · 54, 2 · 3 · 36, 2 · 4 · 27, 2 · 6 · 18, 2 · 9 · 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pont 3 · 3 · 24, 3 · 4 · 18, 3 · 6 · 12, 3 · 8 · 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pont 4 · 6 · 9, 6 · 6 · 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pont Meg kell keresni az összes olyan felbontást, amely

különböz® alakú téglatesteket kapunk. Összesen

4. feladat.

Egy kis faluban három egymás melletti házban három k ülönböz® foglalkozású ember lakik (ORVOS,

MATEKTAN ÁR, HOKISTA). A házak más-más szín¶ek (SÁRGA, Z ÖLD, PIROS), minden háztulajdonos más-más állatot tart (MACSKA, KECSKE, KUTYA), más-más a kedvenc itala (TEA, KÁVÉ, GYÜMÖLCSLÉ), más-más járm¶vel mennek dolgozni (BICIKLI, MOTOR, AUTÓ) és igazak az alábbi állítá sok: 1. Az ORVOS a PIROS házban lakik. 2. A KUTYA és a MACSKA nem szomszédok. 3. Az els® házban lakó ember AUTÓT vezet és nem tart KUTYÁT.

5


4. A SÁRGA ház tulajdonosának nincs BICIKLIJE. 5. A MATEKTANÁR KECSKÉT tart. 6. A PIROS házban lakó ember nem TEÁT iszik. 7. A KUTYÁT tartó ember a ZÖLD házban lakik. 8. A középs® házban lakó ember KÁVÉZIK. Ki MOTOROZIK? Ki iszik GYÜMÖLCSLEVET?

1. ház

Megoldás: 2. ház

3. ház Foglalkozás ORVOS MATEKTANÁR HOKISTA Szín PIROS SÁRGA ZÖLD Állat MACSKA KECSKE KUTYA Ital GYÜMÖLCSLÉ KÁVÉ TEA Járm¶ AUTÓ MOTOR BICIKLI Részletesebben (egy lehetséges megoldás a sok közül): alapján a 2. házban lakó ember KÁVÉZIK. A c. állítás alapján az 1. házban lakó pont 1. ház 2. ház 3. ház Foglalkozás Szín Állat Ital KÁVÉ Járm¶ AUTÓ

A

h.

állítás

A

b.

állítás alapján a KUTYA és a MACSKA nem szomszédok, azaz a középs® házban lakik a KECSKE. . . .


e.

2. ház

KÁVÉ AUTÓ 1. ház

A

c.

állítás alapján az

MACSKA lakik az

1.

1.

g.

2.

házban lakik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. ház

1 pont

3. ház

MATEKTANÁR

KECSKE KÁVÉ AUTÓ házban lakó ember nem tart KUTYÁT, tehát a KUTYA a

3.

házban lakik és így a

házban. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Foglalkozás Szín Állat Ital Járm¶ A

1 pont

3. ház

KECSKE

állítás alapján a MATEKTANÁR KECSKÉT tart, tehát ® a


ember AUTÓT vezet.1

1. ház

2. ház MATEKTANÁR

3. ház

MACSKA

KECSKE KÁVÉ

KUTYA

AUTÓ

állítás alapján a KUTYÁT tartó ember a ZÖLD házban lakik, tehát a


pont

3.

ház ZÖLD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. ház

2. ház MATEKTANÁR

MACSKA

KECSKE KÁVÉ

3. ház ZÖLD

AUTÓ 6

KUTYA

pont


Az

a.

állítás alapján az ORVOS a PIROS házban lakik, így ez a páros csak az

1. ház Foglalkozás Szín Állat Ital Járm¶ Következik, hogy a

3.

A

d.

2.

MACSKA

KECSKE KÁVÉ

ZÖLD KUTYA

AUTÓ

2.


ház SÁRGA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. ház MATEKTANÁR

3. ház

SÁRGA

ZÖLD KUTYA

KECSKE KÁVÉ

1 pont

HOKISTA

AUTÓ

3.


2. ház MATEKTANÁR SÁRGA KECSKE KÁVÉ

3. ház HOKISTA ZÖLD KUTYA

AUTÓ

MOTOR

BICIKLI

állítás alapján a PIROS házban lakó ember nem TEÁT iszik, tehát a TEÁT a

GYÜMÖLCSLEVET az

1.

házban van és így a

3.


2. ház MATEKTANÁR SÁRGA KECSKE KÁVÉ MOTOR

GYÜMÖLCSLÉ

AUTÓ

7

pont

házban isszák. Így pedig a

házban. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


pont

3. ház

házban. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Foglalkozás Szín Állat Ital Járm¶ f.

PIROS

házba tehet® be. . . . . . . . . . . . 1

állítás alapján a SÁRGA ház tulajdonosának nincs BICIKLIJE, tehát a BICIKLI a

MOTOR a

Az

ORVOS

házban lakik a HOKISTA, illetve a


1.

2. ház MATEKTANÁR

3. ház HOKISTA ZÖLD KUTYA TEA

BICIKLI

1 pont


VII. osztály

1. feladat. A SIMPLEX szó bet¶inek IESMPLX egy ilyen átrendezés,

(Például

Megoldás.

A magánhangzókat (E,

I)

hány darab különböz® átrendezésében van mindkét magánhangzó el®l? de

ISMPLEX

nem.)

el®l kétféleképpen lehet elhelyezni:

A mássalhangzók a magánhangzók után

5

EI, IE.

helyre tehet®ek be:

..........................

. Ez

5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

lehetséges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tehát

2 · 120 = 240

2. feladat.

2 pont

féleképpen

különböz® átrendezés van a feladat feltételeinek megfelel®en. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 pont 2 pont

Van 12 egyforma gyufaszálunk. Tekintsük egy területegységnek annak a négyzetnek a területét, amelyet

négy gyufaszálból készítünk. Készíts olyan sokszögeket az összes gyufaszál felhasználásával, amelynek területe:

a)

5 területegység

b)

9 területegység

c)

6 területegység

d)

4 területegység

e)

3 területegység

Megoldás. a)

megfelel® pl. az

1 × 5-ös

téglalap.

.......................................................................................................2

b)

megfelel® pl. a

3 × 3-as

négyzet.

.......................................................................................................2

c)

egy

pont

pont

2 × 3-as téglalap oldalaira kifele illetve befele egyenl® oldalú háromszögeket állítunk, pl. a rajzon látható mó-

don: .......................................................................................................2

d)

hasonló módszerrel kapunk 4 terület¶ sokszöget egy

1 × 4-es

téglalapból

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5

8

pont

pont


e)

egy

1 × 3-as

téglalapbó két egyenl® oldalú háromszöget vágunk ki.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5

pont

Minden alpontnál a maximális pontot megfelel® indoklás esetén lehet elérni.

3. feladat.

Amikor a nagyapám már elmúlt 65 éves, de még nem volt 90, a következ®t mondta: Minden gyerekemnek

annyi gyermeke van, mint testvére. Éveim száma pedig pontosan annyi, ahány gyermekem és unokám van összesen." Hány éves volt ekkor a nagyapám?

Megoldás. így

x−1

Jelöljük a nagyapa gyerekeinek számát

x-szel.

Ebben az esetben minden gyermeknek

x−1

testvére van,

gyermeke is. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Tehát összesen

x(x − 1)

A gyermekek és az unokák száma így Olyan négyzetszámot Ilyen négyzetszám csak egy van, a

4. feladat.

pont pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pont

az unokák száma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

x + x (x − 1) = x + x2 − x = x2 . keresünk, amely 65-nél nagyobb és 95-nél

81.

kisebb.

......................................................................

2 pont

Az ábrán négy fogaskerék látható. A rajtuk lev® számok a fogak számát mutatják. Amíg a legnagyobb

egyszer körbefordul, hányszor fordul körbe a legkisebb?

Megoldás.

Mivel a fogaskerekek a fogak által össze vannak "kötve", ezért a mozgásuk is összekötött, egyszerre

mozognak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 pont

Tehát függetlenül attól, hogy a legnagyobb és a legkisebb fogaskerék között hány fogaskerék van, a legnagyobb és a legkisebb fogaskerék egyszerre mozog. Azaz akár az ábrán látható módon is elhelyezhetnénk ezeket és ez a feladaton nem változtatna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

pont

78 13 = 6-szor fordul körbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pont Indoklás (Ez azért van így, mert a kicsi fogaskerék egyszeri körbefordulása a nagyot éppen a kicsi fogaskerék

Amíg a nagy egyszer körbefordul, addig a kicsi

hosszával viszi el®re. Tehát meg kellene nézzük, hogy a kicsi fogaskerék hossza hányszor fér rá a nagyra. A nagy fogaskereket tekinthetjük

78

egység hosszúnak, a kicsit pedig

9

13-nak,

mert ha például a nagy körre rajzolunk

78


fogat (azaz vonalkát), egy fog mentén "elvágjuk" a fogaskereket és kiegyenesítjük, akkor

78

79

vonalka keletkezik, ami

egységszakaszt határoz meg. Ugyanez van a kicsi fogaskerékkel is, amin - ahhoz, hogy a fogaskerekek m¶ködjenek

- az egységek ugyanazok kell legyenek, mint a nagyon. Tehát csak azt kell megnézni, hogy a

78-ban.)

13

hányszor van meg a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Kibontottabb megoldás.

pont

(Ha nem veszi észre a gyermek hogy mindegy, hogy középen hány fogaskerék van.) Mivel

78 21 -szer fordul körbe. Amíg a 21 második egyszer körbefordul, addig a harmadik 44 -szer fordul körbe. Amíg a harmadik egyszer körbefordul, addig a 44 negyedik -szor fordul körbe. 13 78 21 44 Tehát amíg a legnagyobb fogaskerék egyszer körbefordul, addig a legkisebb 21 · 44 · 13 = 6-szor fordul körbe. a fogaskerekek egyszerre mozognak, amíg az els® egyszer körbefordul, addig a második

10


VIII. osztály

1. feladat.

Legyen

n

és

k

két darab háromjegy¶ természetes szám úgy, hogy

n + k = 1000.

Igazold, hogy az

n2

és

k2

természetes számok utolsó három számjegye megegyezik!

Megoldás

2

k = abc n2 = (1000 − k) = 1000000 − 2000k + k 2 n2 = 1000000 − 2000abc + k 2 = 1000000 − 2 · abc000 + k 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 pont 2 2 Ha n > k , akkor k ≤ 499 és 1000000 − 2 · abc000 = xy....000 alakú , tehát n utolsó három számjegyét épp a k utolsó Ha

három számjegye adja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Ha

n
hasonlóan járunk el felcserélve

Megjegyzés:

n

és

k szerepét

Ha

n=k

az állítás azonnali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

pont pont

Konkrét értékekkel való kisérletezés legtöbb 2pontot ér (+1). Minden más olyan megoldási kisérlet amely elvezet a megoldáshoz pontozandó.

2. feladat.

Az ábrán négy fogaskerék látható. A rajtuk lev® számok a fogak számát mutatják. Amíg a legnagyobb

egyszer körbefordul, hányszor fordul körbe a legkisebb?

Megoldás.

Mivel a fogaskerekek a fogak által össze vannak "kötve", ezért a mozgásuk is összekötött, egyszerre

mozognak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 pont

Tehát függetlenül attól, hogy a legnagyobb és a legkisebb fogaskerék között hány fogaskerék van, a legnagyobb és a legkisebb fogaskerék egyszerre mozog. Azaz akár az ábrán látható módon is elhelyezhetnénk ezeket és ez a feladaton nem változtatna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

pont

78 13 = 6-szor fordul körbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pont Indoklás (Ez azért van így, mert a kicsi fogaskerék egyszeri körbefordulása a nagyot éppen a kicsi fogaskerék

Amíg a nagy egyszer körbefordul, addig a kicsi

hosszával viszi el®re. Tehát meg kellene nézzük, hogy a kicsi fogaskerék hossza hányszor fér rá a nagyra. A nagy fogaskereket tekinthetjük

78

egység hosszúnak, a kicsit pedig

13-nak,

mert ha például a nagy körre rajzolunk

fogat (azaz vonalkát), egy fog mentén "elvágjuk" a fogaskereket és kiegyenesítjük, akkor

78

79

78

vonalka keletkezik, ami

egységszakaszt határoz meg. Ugyanez van a kicsi fogaskerékkel is, amin - ahhoz, hogy a fogaskerekek m¶ködjenek

- az egységek ugyanazok kell legyenek, mint a nagyon. Tehát csak azt kell megnézni, hogy a

78-ban.)

13

hányszor van meg a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Kibontottabb megoldás.

pont

(Ha nem veszi észre a gyermek hogy mindegy, hogy középen hány fogaskerék van.) Mivel

78 21 -szer fordul körbe. Amíg a 21 második egyszer körbefordul, addig a harmadik 44 -szer fordul körbe. Amíg a harmadik egyszer körbefordul, addig a 44 negyedik -szor fordul körbe. 13 78 21 44 Tehát amíg a legnagyobb fogaskerék egyszer körbefordul, addig a legkisebb 21 · 44 · 13 = 6-szor fordul körbe. a fogaskerekek egyszerre mozognak, amíg az els® egyszer körbefordul, addig a második

11


3. feladat.

Egy konvex sokszögnek pontosan három szöge tompaszög. Legfennebb hány oldala lehet a sokszögnek?

Megoldás.

Egy

n

(n − 2) · 180◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pont (n − 3) a hegyesszögek száma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pont ahonnan következik, hogy n < 7. Tehát a sokszögnek legfennebb 6

oldalú konvex sokszög szögeinek összege

Ha a sokszögnek pontosan három tompaszöge van, akkor Ezért

(n − 2) · 180◦ < 3 · 180◦ + (n − 3) · 90◦ ,

oldala lehet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

pont

Ilyen sokszöget valóban lehet rajzolni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

4. feladat.

Az

ABCD

négyzet oldalhossza

pontból induló

kutya a

D

12m.

Az

A

csúcsból egyszerre induló két kutya (K1 illetve

felé kétszer akkora sebességgel iramodik, mint

K2

a

B

K2

) a négyzet

A R robot úgy mozog, hogy minden pillanatban a két kutyát összeköt® szakasz felez®pontjában helyezkedik

oldalain úgy szalad, hogy a

K1

pont

felé. Közben az

el. a) Hol találkoznak a kutyák? b) Rajzold meg a robot útját, közben részletesen indokolj! c) Igazold, hogy ennek az útnak a hossza nagyobb, mint

17m.

Megoldás.

Legyen

EB -n

E

az

AB , F a DE ,M a BC , Ra K1 K2 felez®pontja K1 D-be ér mígK2 E-be, K1 végigmegy DC -n míg K2 az CN , K2 a BN távolságot ahol CN = 2BN . Tehát a kutyák a BC oldal N harmadoló

végülK1 megteszi a

pontjában találkoznak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

pont

AK1 AD 1 AK2 = AE = 2 tehát K1 K2 k DE minden pillanatban. Mivel AF oldalfelez® ADE háromszögben felez minden DE -vel párhuzamos szakaszt, tehát K1 K2 -t is ( hasonlósággal igazolható tulajdonság). Ha

K1 az AD-n

mozog, akkor:

K1 K2 szakasz Rfelez®pontja az AF szakaszon mozog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 pont K1 az DC -n mozog, akkor: az RM szakasz mindig a K1 K2 BC trapéz középvonala, tehát a K1 K2 szakasz Rfelez®pontja az F M szakaszon mozog. Ha K1 és K2 a BC -n mozog, akkor az Raz M N szakaszon mozog. . . . . 2 pont Megjegyzés: csak a rajz indoklások nélkül legtöbb 1pontot ér. ADE derékszög¶ háromszögben F a háromszög köré √ √ 180 1 írható kör középpontja, ezért AF = DE = = 3 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pont 2 2 F M a DEBC trapéz középvonala, tehát F M = DC+EB = 9 M N = M B − N B = 6 − 4 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pont 2 √ AF + F M + M N = 3 5 + 11 > 3 · 2 + 11 = 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 pont Tehát a

Ha

12

V. osztály. Matematikai tehetségnap október 12. Megoldások

Recommend Documents