2. STEJNOSMĚRNÉ OBVODY Příklad 2.1: V následujícím obvodě určete metodou postupného zjednodušování hodnoty zadaných proudů, napětí a výkonů. I I2 R2 I5 R5 Zadáno: I1 I3 I4 UZ = 30 V R4 = 60 Ω UZ U 3 R5 = 90 Ω R1 R3 R4 R6 R1 = 30 Ω R2 = 40 Ω R6 = 30 Ω Schéma 1. R3 = 40 Ω Určit: celkový odpor RC, I, I1, I2, I3, I4, I5, U3, P6 (výkon na rezistoru R6) Řešení: Rezistory R3 a R4 jsou spojeny paralelně, vypočítáme jejich výsledný odpor: 1 1 = = 24 Ω R34 = 1 1 1 1 + + I I2 R2 I5 R3 R4 40 60 I1 Rezistory R5 a R6 jsou zapojeny sériově, U U3 R Z jejich výsledný odpor: R1 R34 56 R56 = R5 + R6 = 90 + 30 = 120 Ω Obvod se nám zjednoduší dle schématu 2. Schéma 2. Dále vidíme, že rezistory R34 a R56 jsou paralelně, jejich výsledný odpor: 1 1 I I2 R2 = = 20 Ω R3456 = 1 1 1 1 + + I1 R34 R56 120 24 UZ U3 R1 R3456 Tím se nám obvod dále zjednoduší na následující schéma 3: Schéma 3. Rezistory R3456 a R2 jsou zapojeny sériově, I I2 jejich výsledný odpor: I1 R23456 = R3456 + R2 = 20 + 40 = 60 Ω UZ R1 R23456 Obvod se tímto krokem dále zjednoduší (schéma 4): Schéma 4. Rezistory R1 a R23456 jsou zapojeny paralelně, jejich výsledný odpor RC je zároveň celkový odpor vzhledem ke svorkám zdroje: 1 1 = = 20 Ω RC = 1 1 1 1 + + 60 30 R23456 R1 Obvod se nám zjednoduší na konečné schéma (schéma 5): Při řešení jednotlivých veličin v obvodě nyní postupujeme
1
I UZ
RC
Schéma 5.
„pozpátku“ po jednotlivých zjednodušených schématech a vypočítáváme jednotlivé veličiny. U Z 30 Vypočítáme celkový proud I z Ohmova zákona (podle schématu 5): I = = = 1,5 A RC 20 U Z 30 U Z 30 Dále proudy I1 a I2 podle schématu 4: I 1 = = =1A I2 = = = 0,5 A R1 30 R2 60 V dalším kroku se vrátíme ke schématu 3 a vypočítáme U3: U3 = I2 · R3456 = 0,5 · 20 = 10 V Ve schématu 2 vidíme, že napětí U3 je připojeno na rezistor R56, kterým protéká proud I5: U3 10 = = 0,0833 A I 53 = R56 120 Vrátíme-li se k původnímu schématu vidíme také, že napětí U3 je zároveň napětím na rezistorech R3 a R4, proudy těmito rezistory můžeme tedy vypočítat jako: U 3 10 U 10 = 0,1667 A = = 0,25 A I4 = 3 = I3 = R3 40 R4 60 Výkon na rezistoru R6 můžeme vypočítat z proudu tímto rezistorem a jeho odporu: P6 = R6 · I62 = 30 · 0,08332 = 0,2083 W
Příklad 2.2: Máme dvě paralelně spojené autobaterie, každá má určité vnitřní napětí Ui a vnitřní odpor Ri. Připojovací kabely mají odpor RV. Vypočítejte napětí a proudy v obvodě. Zadáno: Ui1 = 13 V Ri1 = 0,08 Ω RV1 = 0,06 Ω RZ = 0,35 Ω
Ui2 = 11,2 V Ri2 = 0,3 Ω RV2 = 0,04 Ω
Určit: I1, I2, UZ
K řešení použijeme metodu Kirchhoffovývh I1 RV1 rovnic. Pro obvod sestavíme tři rovnice, dvě IZ podle II. Kirchhoffova zákona (pro napětí ve Ri1 smyčkách) a jednu podle I. Kirchhoffova zákona UZ (pro proudy v uzlu). Neznámými budou proudy. Ui1 RV1 Napětí, která jsou ve směru šipek uvnitř smyčky budeme považovat za kladná, proudy vtékající do uzlu za kladné. Napětí na odporech vyjádříme z Ohmova zákona jako R·I. Rovnice podle II. Kirchhoffova zákona pro levou smyčku: -Ui1 + Ri1·I1 + RV1·I1 + RZ·IZ + RV1·I1 = 0 Rovnice podle II. Kirchhoffova zákona pro pravou smyčku: - RZ·IZ - RV2·I2 - Ri2·I2 + Ui2 - RV2·I2 = 0 Rovnice podle I. Kirchhoffova zákona pro horní uzel: I1 + I2 - IZ = 0 Rovnice upravíme: (Ri1 + RV1 + RV1)·I1 + RZ·IZ = Ui1 - RZ·IZ + (- RV2 - Ri2 - RV2)·I2 = -Ui2 2
RV2
I2 Ri2
RZ RV2
Ui2
I1 + I2 - IZ = 0 Do rovnic dosadíme konkrétní čísla a vyčíslíme závorky: 0,2·I1 + 0,35·IZ = 13 0,35·IZ + 0,38·I2 = 11,2 I1 + I2 - IZ = 0 Tuto soustavu rovnic můžeme řešit jakýmkoli způsobem, v tomto řešeném příkladě použijeme dosazovací metodu, ale možná by byla i jakákoli jiná. Vyjádříme si IZ IZ = I1 + I2, toto dosadíme do prvních dvou rovnic: 0,2·I1 + 0,35·(I1 + I2) = 13 0,35·(I1 + I2) + 0,38·I2 = 11,2 Po úpravě: 0,55·I1 + 0,35·I2 = 13 0,35·I1 + 0,73·I2 = 11,2 Z první rovnice vyjádříme I1: 13 − 0,35 ⋅ I 2 = 23,64 − 0,636 ⋅ I 2 I1 = 0,55 Dosadíme do druhé rovnice: 0,35·(23,64 - 0,636·I2) + 0,73·I2 = 11,2 Po úpravě: 0,5074·I2 = 2,926 2,926 = 5,767 A Z toho I 2 = 0,5074 Proud I1 = 23,64 - 0,636·I2 = 23,64 - 0,636·5,767 = 19,972 A Proud zátěží IZ = I1 + I2 = 5,767 + 19,972 = 25,739 A Napětí na zátěži bude UZ = RZ·IZ = 0,35·25,739 = 9,009 V
Příklad 2.3: Úsek stejnosměrné železniční tratě je napájen ze dvou stran, jak ukazuje obrázek 1. S uvažováním úbytků napětí na vedení i kolejnicích vypočítejte napětí na lokomotivě, její příkon, ztráty výkonu při přenosu a účinnost přenosu energie. Zadáno: vnitřní napětí napájecí stanice 1: délka úseku 1: vnitřní odpor napájecí stanice 1: odpor trolejového vedení 1: odpor kolejnic 1: náhradní odpor lokomotivy:
U1 = 3600 V l1 = 8000 m Ri1 = 0,1 Ω Rv1 = 0,7 Ω Rk1 = 0,15 Ω RL = 4,5 Ω
vnitřní napětí napájecí stanice 2: délka úseku 2: vnitřní odpor napájecí stanice 2: odpor trolejového vedení 2: odpor kolejnic 2:
Určit: UL, PL, ∆P, η
3
U2 = 3300 V l2 = 11000 m Ri2 = 0,15 Ω Rv2 = 0,96 Ω Rk2 = 0,21 Ω
napájecí stanice 1
napájecí + stanice 2
trolejové vedení
+
kolejnice
l1
l2
Obr. 1. – Skutečná situace Pro výpočet vyjdeme z náhradního schématu na Obr. 2. K řešení použijeme metodu Kirchhoffovývh I1 rovnic. Sestavíme tři rovnice, dvě podle II. Kirchhoffova zákona a jednu podle I. Ri1 Kirchhoffova zákona. Neznámými budou proudy. Napětí, která jsou ve směru šipek uvnitř smyčky U1 budeme považovat za kladná, proudy vtékající do uzlu za kladné. Napětí na odporech vyjádříme z Ohmova zákona jako R·I. Rovnice podle II. Kirchhoffova zákona pro levou smyčku: -U1 + Ri1·I1 + Rv1·I1 + RL·IL + Rk1·I1 = 0 Rovnice podle II. Kirchhoffova zákona pro pravou smyčku: U2 - Rk2·I2 - RL·IL - Rv2·I2 - Ri2·I2 = 0 Rovnice podle I. Kirchhoffova zákona pro proudy: I1 + I2 - IL = 0 Po dosazení do rovnic: -3600 + 0,1·I1 + 0,7·I1 + 4,5·IL + 0,15·I1 = 0 3300 - 0,21·I2 - 4,5·IL - 0,96·I2 - 0,15·I2 = 0 I1 + I2 - IL = 0 Po úpravě a dosazení IL = I1 + I2 : 0,1·I1 + 0,7·I1 + 4,5·( I1 + I2) + 0,15·I1 = 3600 - 0,21·I2 - 4,5·( I1 + I2) - 0,96·I2 - 0,15·I2 = -3300 Po úpravě: 5,45·I1 + 4,5·I2 = 3600 4,5·I1 + 5,82·I2 = 3300 · 5,45/4,5 Dostaneme: 5,45·I1 + 4,5·I2 = 3600 (*) 5,45·I1 + 7,048·I2 = 3996,667 Rovnice odečteme a dostaneme: -2,548·I2 = -396,667 Z toho: I2 = 155,678 A Z rovnice (*) potom: 3600 − 4,5 ⋅ 155,678 = 532,01 A I1 = 5,45 Dále IL = I1 + I2 = 155,678 + 532,01 = 687,688 A Napětí na lokomotivě UL = RL · IL = 4,5 · 687,688 = 3094,596 V 4
Rv1
Rv2
I2
IL UL Rk1
Ri2
RL Rk2
Obr. 2. – Náhradní schéma
U2
Příkon lokomotivy PL = UL · IL = 3094,596 · 687,688 = 2 128 116,534 W Ztráty výkonu vypočítáme z rozdílu výkonů napájecích stanic a výkonu lokomotivy. Výkony napájecích stanic: P1 = U1 · I1 = 3600·532,01 = 1 915 236 W P2 = U2 · I2 = 3300·155,678 = 513 737,4 W Ztráty výkonu při přenosu energie: ∆P = P1+ P2 - PL = 1 915 236 + 513 737,4 - 2 128 116,534 = 300 856,866 W Účinnost přenosu: PL 2128116,534 η= = = 0,876 P1 + P2 1915236 + 513737,4
Příklad 2.4: Je potřeba určit teplotu vinutí asynchronního motoru při dlouhodobém provozu (vinutí se vlivem ztrát zahřívá). K zjištění teploty bylo použito měření odporu vinutí za studena a za tepla ohmovou metodou (připojením stejnosměrného zdroje 6 V a změřením proudu). Zadáno: stejnosměrné napětí U = 6 V stejnosměrný proud za studena I0 = 4,4 A teplota okolí ϑ 0 = 20 °C
Stejnosměrný proud po zahřátí I1 = 3,5 A materiál vinutí měď, koeficient teplotní závislosti odporu α Cu = 0,0038 K-1
Určit: Teplotu vinutí za provozu (po zahřátí) ϑ 1.
I
Řešení: R V náhradním schématu (které je pouze pro jednu fázi) vidíme, že vinutí motoru má indukčnost a odpor. UZ Při napájení stejnosměrným proudem v ustáleném stavu se L indukčnost neuplatní. Proud je dán pouze velikostí stejnosměrného napětí a odporu vinutí. Náhradní schéma Vypočítáme tedy odpor vinutí za studena, zde předpokládáme, že vinutí má teplotu okolí a po zahřátí. Ze vztahu pro teplotní závislost odporu kovových materiálů určíme teplotu vinutí za provozu. U 6 = = 1,3637 Ω , Odpor za studena R0 = I 0 4,4 U 6 odpor po oteplení R1 = = = 1,7143 Ω . I 1 3,5 Rϑ − R0 , Vztah pro změnu teploty s odporem Rϑ = R0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆ϑ ) ⇒ ∆ϑ = R0 ⋅ α za odpor Rϑ dosadíme odpor za provozu R1.
5
R1 − R0 1,7143 − 1,3673 = = 66,79 ° C , R0 ⋅ α 1,3673 ⋅ 0,0038 Vypočítané oteplení je oteplení oproti počáteční teplotě, tedy teplotě okolí. Skutečná teplota vinutí za provozu tedy bude: ϑ 1 = ∆ ϑ + ϑ 0 = 66,79 + 20 = 86,79 ° C Potom
∆ϑ
=
Příklad 2.5: Máme zvonek připojený k baterii relativně dlouhým dvouvodičovým vedením, vypočítejte potřebné napětí napájecí baterie, jsou-li zadány následující parametry: Zadáno: I zvonek Jmenovité napětí zvonku UZ = 6 V RZ Jmenovitý proud zvonku IZ = 0,6 A UB UZ Délka vedení l = 70 m vedení Průřez vodiče S = 0,5 mm2 l Měrný odpor mědi ρCu = 0,0175·10-6 Ω·m skutečné schéma I
RV ∆UV RV
Určit: Potřebné napětí baterie UB. RZ
Řešení: Jak je vidět v náhradním schématu, nahradili jsme oba přívodní vodiče jejich odpory RV a ∆UV zvonek jeho odporem RZ. Na odporech náhradní schéma přívodních vodičů vzniknou úbytky napětí ∆UV. Odpor zvonku RZ nepotřebujeme znát, l 70 = 2,45 Ω vypočítáme tedy odpor vodiče: RV = ρ Cu ⋅ = 0,0175 ⋅ 10 − 6 ⋅ S 0,5 ⋅ 10 − 6 Bude-li obvodem procházet jmenovitý proud zvonku, bude na jednom vodiči úbytek napětí: ∆UV = IZ · RV = 0,6 · 2,45 = 1,47 V Potřebné napětí baterie bude UB = UZ + 2 · ∆UV = 6 + 2 · 1,47 = 8,94 V. UB
UZ
6
