Vektorov´y prostor Pˇr´ıklady: Pˇr.1. R2 ; R3 ; Rn ...aritmetick´y n-rozmˇern´y prostor Dvˇe operace v Rn : souˇcet vektor˚u u = (u1 , ...un ) a v = (v1 , ...vn ) je vektor u + v = (u1 + v1 , ...un + vn ), n´asobek vektoru u cˇ´ıslem λ je vektor λ · u = (λu1 , ...λun ). Pˇr. 2. V (E2 ) ...mnoˇzina vektor˚u v E2 , vektor je mnoˇzina vˇsech navz´ajem ekvivalentn´ıch orientovan´ych u´ seˇcek v E2 . V (E3 ) ...mnoˇzina vektor˚u v E3 , Tyto dvˇe operace maj´ı n´asleduj´ıc´ı vlastnosti (piˇsme obecnˇe mnoˇzinu V ): ˇ Vektory, z´avislost, b´aze (Frantiˇsek Mr´az FS CVUT, 2015)
1 / 10
(a) Pro libovoln´e vektory u, v ∈ V a libovoln´e λ ∈ R patˇr´ı souˇcet u + v i souˇcin λ · u do V . (b) Tyto dvˇe operace jsou tzv. rozumn´e, tj. komutativn´ı, asociativn´ı, distributivn´ı. Pro libovoln´e vektory u, v, w ∈ V a libovoln´a re´aln´a cˇ´ısla α, β plat´ı: (b1)
u + v = v + u,
(b2)
(u + v) + w = u + (v + w),
(b3)
1 · u = u,
(b4)
α · (β · u) = (α · β) · u,
(b5)
α · (u + v) = α · u + α · v.
(b6)
(α + β) · u = α · u + β · u.
(c) Ve V existuje tzv. nulov´y vektor o. Pro libovoln´y vektor u pak plat´ı: u + o = u. (d) Ke kaˇzd´emu vektoru u ∈ V existuje vektor (−u) ∈ V (tzv. opaˇcn´y vektor k vektoru u) tak, zˇ e plat´ı: u + (−u) = o. Pozn´amka. Vlastnosti (a) se ˇr´ık´a uzavˇrenost mnoˇziny V v˚ucˇ i obˇema operac´ım.
ˇ Vektory, z´avislost, b´aze (Frantiˇsek Mr´az FS CVUT, 2015)
2 / 10
Definice. Mnoˇzina V s operacemi sˇc´ıt´an´ı prvk˚u (vektor˚u) a n´asoben´ı vektor˚u re´aln´ymi cˇ´ısly, kter´e maj´ı vlastnosti a) aˇz d) se naz´yv´a vektorov´y prostor. Vˇeta 1.4. Ve vektorov´em prostoru V existuje jedin´y nulov´y vektor. Vˇeta 1.7. Pro libovoln´y vektor u ∈ V a pro libovoln´e cˇ´ıslo α ∈ R plat´ı: 1) 0 · u = o,
2) (−1) · u = −u,
3) α · o = o.
ˇ Vektory, z´avislost, b´aze (Frantiˇsek Mr´az FS CVUT, 2015)
3 / 10
Dalˇs´ı pˇr´ıklady (se standardnˇe definovan´ymi operacemi): Pˇr. 3. Cha,bi ... mn. spojit´ych funkc´ı v ha, bi je vektorov´y prostor Pˇr. 4. P2 ... mn. vˇsech polynom˚u stupnˇe pr´avˇe dva, tj. funkce tvaru P (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0 nen´ı vektorov´y prostor 0
Pˇr. 5. P2 ... mn. vˇsech polynom˚u stupnˇe nejv´ysˇe dva je vektorov´y prostor Pˇr. 6. Mnoˇzina vˇsech matic t´ehoˇz typu m × n je vektorov´y prostor
Pozn´amka. Podprostor vektorov´eho prostoru. 0
Pˇr´ıklad Prostor P2 je podprostorem vektorov´eho prostoru C(−∞,∞)
ˇ Vektory, z´avislost, b´aze (Frantiˇsek Mr´az FS CVUT, 2015)
4 / 10
˚ Line´arn´ı z´avislost, nez´avislost (skupiny vektoru) Pˇr´ıklad 0. Urˇcete vektor w, kter´y je lin. kombinac´ı vektor˚u u = (2, 3, −1), v = (−1, 2, 2) s koeficienty α = −2, β = 2. V´ysledek: w = αu + βv = (−6, −2, 6). Definice. Skupinu vektor˚u u1 ..., un naz´yv´ame line´arnˇe z´avislou, jestliˇze existuj´ı re´aln´a cˇ´ısla α1 , ..., αn (aspoˇn jedno je 6= 0) tak, zˇ e plat´ı α1 u1 + α2 u2 + ... + αn un = o. (*). Skupinu vektor˚u, kter´a nen´ı line´arnˇe z´avisl´a, naz´yv´ame line´arnˇe nez´avislou. Pozn´amka. Skupina vektor˚u je lin. nez´avisl´a pr´avˇe tehdy, kdyˇz vektorov´a rovnice (*) m´a pouze nulov´e ˇreˇsen´ı αi = 0 pro ∀i. Pozn´amka. V tomto textu pouˇzijeme zkratky LN (lin. nez´avisl´a) a LZ (lin. z´avisl´a). Vˇeta 1.7. Jestliˇze skupina vektor˚u obsahuje nulov´y vektor, pak je tato skupina LZ. Vˇeta 1.8. Skupina vektor˚u je LZ pr´avˇe tehdy, kdyˇz alespoˇn jeden z nich lze vyj´adˇrit jako line´arn´ı kombinaci ostatn´ıch. ˇ Vektory, z´avislost, b´aze (Frantiˇsek Mr´az FS CVUT, 2015)
5 / 10
Skupina dvou nenulov´ych vektoru˚ je tedy LZ pr´avˇe tehdy, kdyˇz jeden z nich je n´asobkem druh´eho. Pˇr´ıklad 1. Skupina vektor˚u u = (6, −3), v = (−2, 1) je LZ, zat´ımco skupina a = (3, 2, −3), b = (6, 4, −5) je LN. Pˇr´ıklad 2. Urˇcete, pro kter´e hodnoty parametr˚u α, β je LN (resp. LZ) skupina dvou vektor˚u u = (1, 2, −3), v = (−2, α + 2, β). V´ysledek: α = −6, β = 6.
ˇ Vektory, z´avislost, b´aze (Frantiˇsek Mr´az FS CVUT, 2015)
6 / 10
´ ULOHA. Urˇcete, zda dan´a skupina (tˇr´ı a v´ıce vektor˚u) je LN nebo LZ. Postup. 1. moˇznost: Pomoc´ı matice sestaven´e z dan´ych vektor˚u (nˇekdy i pomoc´ı determinantu). 2. moˇznost: Postupujeme podle definice, tj. 1. Sestav´ıme vektorovou rovnici (*) pro hledan´e koeficienty ( vhodn´y je z´apis vektor˚u ve sloupcov´em tvaru). 2. Rovnici (*) rozep´ısˇeme do souˇradnic a takto vzniklou soustavu rovnic vyˇreˇs´ıme. 3. Z´avˇer: M´a-li soustava pouze nulov´e rˇ eˇsen´ı, pak je dan´a skupina lin. nez´avisl´a. M´a-li soustava i nenulov´e rˇ eˇsen´ı (a v tomto pˇr´ıpadˇe uˇz jich m´a nekoneˇcnˇe mnoho), pak je tato skupina lin. z´avisl´a.
ˇ Vektory, z´avislost, b´aze (Frantiˇsek Mr´az FS CVUT, 2015)
7 / 10
Pˇr´ıklad 3. Skupina tˇr´ı vektor˚u u = (1, 1, 0), v = (0, 2, 3), w = (3, 5, 4) je LZ nebo LN? V´ysledek: Dan´a skupina je LN. Pˇr´ıklad 4. Vektory u = (2, 3, −1), v = (−1, 2, 2), w = (−6, −2, 6) z Pˇr. 0 jsou LZ. Ovˇeˇrte! Pozn´amka. Libovoln´e dva z dan´ych tˇr´ı vektor˚u jsou LN (ovˇeˇrte si). Jak´a je vz´ajemn´a poloha tˇechto tˇr´ı vektor˚u ? ´ Pˇr´ıklad 1* . (Obmˇena pˇr. 4a z kap. Ulohy ze ZK) D´ana skupina LN vektor˚u. a) Co lze ˇr´ıci o skupinˇe, kter´a vznikne pˇrid´an´ım jednoho vektoru (je LN, nebo LZ, nebo nelze ˇr´ıci) ? b) Co lze ˇr´ıci o skupinˇe, kter´a vznikne z t´e p˚uvodn´ı odebr´an´ım jednoho vektoru ?
ˇ Vektory, z´avislost, b´aze (Frantiˇsek Mr´az FS CVUT, 2015)
8 / 10
Dimenze a b´aze vektorov´eho prostoru
Definice. Vektorov´y prostor V se naz´yv´a n rozmˇern´y (m´a dimenzi n, dim V =n), jestliˇze a) ve V existuje skupina n vektor˚u, kter´a je LN, b) kaˇzd´a skupina v´ıce neˇz n vektor˚u je LZ. Kaˇzdou lin. nez´av. skupinu n vektor˚u z V naz´yv´ame b´az´ı prostoru V . Pozn´amka. Dimenze prostoru V je tedy rovna maxim´aln´ımu poˇctu LN vektor˚u z V . Poˇcet vektor˚u v libovoln´e b´azi je stejn´y a je roven dim V . Vˇeta 1.15. Libovoln´y vektor z V lze vyj´adˇrit jedin´ym zp˚usobem jako line´arn´ı kombinaci vektor˚u dan´e b´aze. Pˇr´ıklad 5. a) Vektory e1 = (1; 0); e2 = (0; 1) tvoˇr´ı b´azi prostoru V (E2 ). b) Vektory a = (1; 2); b = (3; 1) tvoˇr´ı b´azi prostoru V (E2 ). ˇ Vektory, z´avislost, b´aze (Frantiˇsek Mr´az FS CVUT, 2015)
9 / 10
Pˇr´ıklad 6. Vektory i = (1; 0; 0); j = (0; 1; 0); k = (0; 0; 1) tvoˇr´ı b´azi prostoru V (E3 ). Pˇr´ıklad 7. B´aze v prostoru Rn . Pˇr´ıklad 8. a) Urˇcete, zda vektory z pˇr. 3, tj. u = (1, 1, 0), v = (0, 2, 3), w = (3, 5, 4) tvoˇr´ı b´azi vektorov´eho prostoru V (E3 ). b) Pokud je to moˇzn´e, vyj´adˇrete vektor a = (−2, 1, 4) ve tvaru line´arn´ı kombinace tˇechto vektor˚u. c) Jak´a je vz´ajemn´a poloha tˇechto cˇ tyˇr vektor˚u (geometrick´a interpretace) ? ´ Pˇr´ıklad 2* . (viz Ulohy ze ZK) D´ana skupina n + 1 vektor˚u v prostoru dimenze n. Je tato skupina LZ, nebo LN nebo nelze jednoznaˇcnˇe odpovˇedˇet ? D´ana skupina n − 1 vektor˚u .... D´ana skupina n vektor˚u ...
ˇ Vektory, z´avislost, b´aze (Frantiˇsek Mr´az FS CVUT, 2015)
10 / 10
