N j j j 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 X 2 4 xj N N 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4
N
(Bukti : lihat Lampiran 7) Untuk strategi perdagangan tersebut diperoleh:
N j 1 j 1 N j 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 X 2 4 2 4 2 4 nj N N 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 N j j N j 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 X 2 4 2 4 2 4 2 4 N N 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 untuk j 1,..., N dengan n j 0 untuk setiap j sepanjang X 0
(Bukti : lihat Lampiran 8) Untuk penjualan yang memiliki posisi awal bernilai besar, solusi akan menurun secara monoton dari nilai awal terhadap nol pada saat tarif ditentukan oleh parameter . Untuk yang sangat kecil, diperoleh ekspresi hampiran:
( 2 )
2 ( ), 0
(37)
Begitu interval perdagangan pendek, 2 secara esensial merupakan rasio dari hasil kali volatilitas dan risk-intolerance terhadap parameter biaya transaksi temporer. Berikut ini akan diperlihatkan ilustrasi mengenai strategi optimal transaksi portofolio, dengan menggunakan parameter yang dipilih sesuai dengan analisis strategi optimal transaksi portofolio yang diperoleh pada pembahasan.
V ILUSTRASI 5.1 Pemilihan Parameter Pada bagian ini akan diberikan contoh numerik dengan tujuan mengeksplorasi karakteristik frontier efisien secara kualitatif. Dipilih harga awal per saham S0 50 , dan banyaknya saham awal sebesar satu juta saham, jadi nilai awal saham sebesar 50 juta. Saham ini memiliki volatilitas tahunan 30%, expected return tahunan sebesar 10%, bid-ask 1 memiliki keragaman , dan median volume 8 harian perdagangan sebesar 5 juta saham.
Dengan perdagangan tahunan selama 250 hari, ini memberikan volatilitas harian sebesar 0.3 0.019 , dan expected return harian 250 0.1 4 104 . Parameter mutlak sebesar 250 diperoleh dari perkalian volatilitas harian dengan harga awal sehingga diperoleh: 0.019 50 0.95 Likuidasi dilakukan dalam waktu satu minggu, sehingga T 5 hari. Untuk memilih parameter fungsi biaya temporer pada persamaan (29) , merupakan biaya tetap dari biaya temporer yaitu setengah dari bid-ask, sehingga diperoleh keragaman
1 1 1 0.0625 . Untuk dimisalkan 2 8 16
bahwa untuk setiap satu persen dari volume saham yang diperdagangkan, dibuat harga dampak sama dengan keragaman bid-ask. Sebagai contoh, perdagangan dengan tingkat 5% dari volume saham harian terjadi biaya 5 satu waktu setiap perdagangan sebesar . Di 8 bawah asumsi tersebut diperoleh: 1 8 2.5 10 6 . 6 0.01 5 10
Untuk biaya permanen, aturan yang biasanya terjadi bahwa harga saham menjadi signifikan ketika menjual 10% dari harga harian, sehingga diperoleh: 1 8 2.5 10 7 (0.1 5 106 ) Telah dipilih bahwa 10 6 . Persamaan (37) diperoleh untuk strategi optimal, 0.6 / hari sehingga T 3 . Untuk lebih jelas dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel 1 Parameter dan nilai yang dipilih untuk simulasi konstruksi portofolio optimal Parameter T N
Nilai 5 5 1
X S0
50 0,95 0,0625
0,6
Tabel 2 Hasil simulasi konstruksi portofolio optimal dengan menggunakan parameter tertentu untuk 106
j
0
1
2
3
4
5
tj
0
1
2
3
4
5
xj
1.000.000
550.186
298.440
154.131
65.309,8
nj
0
449.814
251.746
144.309
88.821,2
0 65.309, 8
Gambar 4 Trayektori A optimal untuk 106
Tabel 3 Hasil simulasi konstruksi portofolio optimal dengan menggunakan parameter tertentu untuk 0
j
0
1
2
3
4
5
tj
0
1
2
3
4
5
xj
1.000.000
800.000
600.000
400.000
200.000
0
nj
0
200.000
200.000
200.000
200.000
200.000
Gambar 5 Trayektori B optimal untuk 0
Tabel 4 Hasil simulasi konstruksi portofolio optimal dengan menggunakan parameter tertentu untuk 2 107
j
0
1
2
3
4
5
tj
0
1
2
3
4
5
xj
1.000.000
904.663
743.375
527.896
273.933
0
nj
0
95.337
161.288
215.479
253.963
273.933
Gambar 6 Trayektori C optimal untuk 2 107
Gambar 7 Trayektori A, B, dan C optimal
5.2 Struktur frontier Sebuah contoh dari frontier efisien ditunjukkan pada Gambar 7. Garis tangen mengindikasikan solusi optimal untuk parameter risiko 106 .
Gambar 8 Frontier efisien Trayektori bersesuaian dengan indikasi titik pada frontier yang ditunjukkan pada trayektori A, B, dan C.
Trayektori A pada Gambar 4 memiliki
106 , itu dipilih oleh pedagang yang takut risiko (risk-averse) yang mengharapkan menjual dengan cepat untuk mengurangi risiko volatilitas, di samping biaya perdagangan . Trayektori B pada Gambar 5 memiliki
0 , disebut sebagai strategi naïve, karenanya merepresentasikan strategi optimal yang memimimumkan implementasi shortfall tanpa memperhitungkan ragam. Trayektori C pada Gambar 6 memiliki 2 107 , itu dipilih oleh pedagang yang senang risiko yaitu seseorang yang menunda menjual sahamnya, dan menjual sahamnya dengan cepat pada akhir periode Dari gambar trayektori optimal, setiap parameter yang berbeda menunjukkan bahwa merupakan ukuran tingkat risiko (risk-aversion), dan ternyata untuk setiap nilai yang diberikan ada korespondensi trayektori perdagangan yang unik.
VI SIMPULAN Pada pembahasan telah dilakukan analisis mengenai eksekusi optimal transaksi portofolio yang bertujuan untuk meminimumkan kombinasi risiko volatilitas dan peningkatan biaya transaksi dari dampak pasar permanen dan temporer, atau secara umum meminimumkan biaya implementasi shortfall. Konstruksi suatu strategi efisien dapat dilakukan dengan menyelesaikan masalah optimisasi berkendala yaitu meminimumkan nilai harapan implementasi shortfall untuk setiap tingkat ragam implementasi shortfall maksimum. Masalah kendala optimisasi tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan pengali lagrange dengan meminimumkan fungsi biaya.
Fungsi biaya yang dipilih merupakan fungsi kuadratur, berupa fungsi yang strictly convex untuk tingkat risiko positif. Oleh karena itu dapat ditentukan minimum global unik dengan mengatur turunan parsialnya sama dengan nol. Dengan asumsi model biaya dampak pasar linear, diperoleh konstruksi eksplisit strategi optimal transaksi portofolio dengan menyelesaikan masalah nilai awal persamaan beda, dengan jumlah saham awal sebesar X dan sisa saham pada akhir periode sama dengan nol maka diperoleh solusi spesifik trayektori perdagangan optimal. Dapat disimpulkan bahwa untuk setiap tingkat risiko (risk aversion) yang diberikan, ada korespondensi trayektori perdagangan yang unik dengan fungsi biaya yang minimum.
