Úvod do moderní fyziky lekce 2 – částicové vlastnosti vln a vlnové vlastnosti částic, základy kvantové mechaniky
Hmota a záření • v klasické fyzice jsou hmota a záření popsány zcela odlišným způsobem (Newtonovy pohybové rovnice x Maxwellovy rovnice pro pole) 1911 – Rutherfordův planetární model atomu vytvořen po provedení Geigerova- Marsdenova experimentu (ozařování zlaté fólie alfa částicemi) – vyvrácení „pudinkového“ modelu atomu problém modelu – elektrony obíhající kolem jádra po zakřivené trajektorii by měli vyzařovat, atomy by měly produkovat záření se spojitým spektrem měly by mít konečnou, velmi krátkou dobu života
Fotoelektrický jev • aplikace brzdného napětí k zjištění energie emitovaných elektronů – tato energie dle pozorování nezávisí na intenzitě záření • elektrony se emitují až při výskytu záření o určité prahové frekvenci → hypotéza o kvantech záření E = hf, h = 6.63x10-34 J.s Plackova konstanta
určení Planckovy konstanty pomocí fotoelektrického jevu • měřením závislosti brzdného napětí na frekvenci dopadajícího záření získáme rovnoběžné přímky pro různé materiály • určením směrnice přímky pak získáme poměr h/e
Planckův vyzařovací zákon • popis spektrálního rozdělení intenzity záření absolutně černého tělesa (dutina jejíž stěny jsou ohřáty na teplotu T) • oscilací atomů stěn dutiny se vytváří elektromagnetické pole, při předpokladech klasické fyziky dojdeme k Rayleigh-Jeansovu zákonu (neodpovídá experimentálním měřením) • zahrneme-li do odvození „podivný“ předpoklad pro energii harmonických oscilátorů (oscilujících atomů) E=nhν, n celé číslo
Comptonův rozptyl • rozptyl fotonů rentgenového záření na volně vázaných elektronech v uhlíkovém terči
vlastnosti fotonu • m0 =0, q=0, E=pc, p=h/λ • setrvačná hmotnost mc2=hf • energie fotonu v eV: E [eV] = 1.24 / λ [μm] při odvození vycházíme ze součinu h×c=1.99×10-25 [J×m]
difrakce světla a detekce fotonů (dvouštěrbinový experiment) • nedokážeme předpovědět, kdy bude foton detekován v daném bodě na stínítku, fotony jsou detekovány v náhodných časových okamžicích • pravděpodobnost, že bude detekován v daném bodě v daném časovém intervalu je úměrna intenzitě světla dopadajícího na stínítko ( ̴E2)
de Broglieho hypotéza • 1923 Louis de Broglie – částice mají vlnové vlastnosti (symetrie k elektromagnetickým vlnám) λ=h/p obrázek: dvouštěrbinový experiment s elektrony (interferenční obrazec)
vlnová funkce • charakterizuje de Broglieho vlny, sama nemá žádný přímý fyzikální význam, je to komplexní funkce • pro popis jevů na atomární úrovni je třeba přiřadit volným kvantovým částicím nikoliv bod ve fázovém prostoru, ale rovinou monochromatickou vlnu • fyzikální význam má kvadrát vlnové funkce – hustota pravděpodobnosti výskytu částice (Bornův postulát – interpretace vlnové funkce)
frekvence vlny je přímo úměrná energii, vlnová délka nepřímo úměrná hybnosti částice
Davisson-Germerův experiment • 1927 – měření rozptylu elektronů na krystalickém niklu
matematická formulace kvantové mechaniky • stav systému popsán vlnovou funkcí • pozorovatelným (veličinám) přiřazujeme samosdružené lineární operátory na prostoru stavových funkcí • operátory jsou konstruovány podle principu korespondence • spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s množinou hodnot, které lze pro danou veličinu naměřit • matematickým aparátem kvantové mechaniky se zabývá funkcionální analýza více informací viz přednášky Kvantové mechaniky
Schrödingerova rovnice • popisuje vlnovou funkci kvantové částice v prostoru (stacionární), příp. i v čase (nestacionární) nestacionární
Hamiltonián
stacionární působení síly lze popsat změnou potenciální energie Ep(x) částice
Heisenbergův princip neurčitosti • částici nelze současně přiřadit polohu a hybnost s neomezenou přesností
Δx≈λ
• podobně platí neurčitost měření energie a neurčitost času, v němž bylo měření prováděno ΔEΔt >= h/(2π)
Beiser, str. 106-110
Δp≈h/λ
neurčitost měření energie v kvantové mechanice
• zákon zachování energie platí v kvantové mechanice s přesností nejvýše h/(2π)/Δt, kde Δt je interval mezi dvěma měřeními energie
vlny na strunách a de Broglieho vlny • nekonečně dlouhá struna – postupná vlna libovolné délky a libovolné frekvence • prostorově omezená napnutá struna (konečné délky) – pouze stojaté vlny o jistých diskrétních frekvencích • podobně to platí pro částice a de Broglieho vlny – prostorové omezení vlny (pohybu částice) vede ke kvantování, tj. povolení jen vybraných diskrétních stavů s diskrétními hodnotami energie
elektron v nekonečně hluboké potenciálové jámě
Nekonečně hluboká potenciálová jáma o šířce L=100 pm
E1 – základní stav E2 – první excitovaný stav E3 – druhý excitovaný stav
přechod elektronů mezi jednotlivými stavy • absorpce fotonu E=hf=E2-E1 • vyzáření fotonu opět o energii E
vlnová funkce a pravděpodobnost výskytu elektronu v nekonečné potenciálové jámě řešením Schrödingerovy rovnice
pro n=0 je nulová pravděpodobnost výskytu částice – částice musí mít vždy určitou nenulovou energii i v základním stavu pro L→inf je E→0
elektron v jámě konečné hloubky řešením Schrödingerovy rovnice pro Ep0 = 30 eV a L = 100 pm
nanokrystaly – realizace potenciálových jam • čím menší je nanokrystal, tím vyšší je prahová energie fotonu, který může být absorbován • nanokrystaly mohou absorbovat pouze světlo o vlnových délkách menších než hc/Et, kde Et je prahová energie fotonu • stejné chemické složení, ale různá velikost nanokrystalů – odrážené spektrum se liší, tj. liší se i barva vzorku
potenciálové jámy ve 2D a 3D • pravoúhlá kvantová hradba a kvantová krabice
degenerované stavy se stejnou energií
tunelování částice přes potenciálovou bariéru Pravděpodobnost průchodu částice potenciálovou bariérou klesá přibližně exponenciálně s tloušťkou bariéry, ale je nenulová!
EPR paradox 1935 – A. Einstein, B. Podolski, N. Rosen • dvě částice vzniklé určitým procesem musí mít vzhledem k platným zákonům zachování opačné hodnoty spinu • částice se rozletí daleko od sebe, přičemž u obou je pravděpodobnost naměření spinu +/– přesně 50 procent • ve chvíli, kdy jednu z částic podrobíme měření, druhá částice musí mít opačný spin • jak si částice mohou předat informaci o výsledku měření nekonečnou rychlostí? – spor s obecnou teorií relativity • tvrzení, že kvantová teorie je nekompletní a v budoucnu bude nahrazena kompletnější teorií
interpretace EPR paradoxu • Einsteinova – vlnová funkce neobsahuje úplný popis reality (předpoklad lokálnosti a skrytých proměnných) • Bohrova – pokud provedeme měření, změníme stav systému, byť by se to mělo projevit na druhém konci vesmíru (předpoklad nelokálnosti) • Kodaňská interpretace – nepozorované stavy přestaneme uvažovat (zhroucení vlnové funkce) a nadále jim nepřisuzujeme žádnou roli, žádné skryté parametry neexistují (později experimentálně potvrzeno)
teorie skrytých proměnných • každý systém má více parametrů než uvažuje kvantová mechanika, což má být řešením EPR paradoxu • pokud tyto skryté parametry existují, musí platit tzv. Bellovy nerovnosti • experimenty provedené francouzkým fyzikem Alainem Aspectem prokázaly porušení Bellových nerovností, čímž zavrhli možnost existence skrytých proměnných
experimentální vyvrácení Bellových nerovností • závislost míry korelace na úhlu mezi směry, do kterých probíhá projekce spinu dvou částic se spinem ½, které vznikly společně a jsou v propleteném stavu Modrá lomená křivka ukazuje maximální hodnotu míry korelace v případě lokálnosti a existence skrytých parametrů. Červená pak přesnou hodnotu v případě platnosti nelokální kvantové fyziky.
kvantová teleportace • teleportace z částice A do C, částice B a C v kvantově propleteném stavu, z částice A se přenese informace do B při jejich kontaktu, díky kvantovému provázání zároveň také do částice C • ověření, že se nenarušila kvantová propletenost stavů dvojice částic na velkou vzdálenost (ověřeno na Zemi na vzdálenost minimálně 144 km – rok 2010) • kolaps vlnové funkce proběhne sice okamžitě, ale informaci o výsledku měření lze předat maximálně s rychlostí světla, proto není narušena kauzalita, pro druhého pozorovatele jsou výsledky měření až do doby získání informace o prvním měření náhodná
Schroedingerova kočka • ilustruje absurditu aplikace kvantové mechaniky v makrosvětě • myšlenkový experiment, při kterém je kočka umístěna v krabici • polarizace fotonu ovlivní, zda se (ne)uvolní jed • pro vnějšího pozorovatele je kočka na základě principů kvantové mechaniky současně živá i mrtvá
aplikace - kvantová kryptografie • odposlouchávání komunikačního kanálu z hlediska fyziky odpovídá procesu měření určitých veličin • jakékoliv měření systém ovlivňuje a mění jeho stav, takže v určitých situacích je možné spolehlivě detekovat odposlech • narušením Bellových nerovností bylo experimentálně prokázáno, že náhodnost není důsledkem neúplnosti teorie, ale skutečně principiální záležitostí • výhodné pro kryptografii, která spoléhá na kvalitní generátory náhodných čísel • metody šifrování využívající polarizace fotonů nebo propletenosti fotonů
kryptografie založená na detekci polarizace fotonů • 1984 Charles H. Bennet a Gilles Brassard navrhli protokol BB84 pro kvantovou kryptografii • hodnoty bitů se kódují do polarizace fotonů • nastavíme-li fotonu do cesty polarizační filtr, tak buď projde nebo neprojde, pravděpodobnost průchodu fotonu je cos2θ, kde θ je úhel mezi rovinou polarizace fotonu a rovinou filtru • ke kódování bitů se použijí 4 polarizační stavy, z nichž dva a dva jsou navzájem kolmé a tyto dvojice jsou vůči sobě otočené o úhel 45° • detekci odposlechu umožňuje fakt, že měření fotonu v nesprávné rovině změní jeho stav a jeho následné měření dá s pravděpodobností 50% nesprávný výsledek
kryptografie založená na propletenosti fotonů • 1991 Artur Ekert navrhl využít stavu kvantové propletenosti (entanglement) dvojice částic, konkrétněji spinů fotonů • zdroj generuje dvojici fotonů, jejichž spiny jsou ve směru nahoru/dolu zcela náhodné, ale díky propletenosti úplně korelované (výsledek měření spinu jednoho z fotonů určí spin druhého fotonu – kolaps vlnové funkce – EPR paradox) • v případě odposlechu je narušena kvantová korelace mezi výsledky měření obou fotonů, přenášený šifrovací klíč pak nemůže být použit • pozn. – při kvantové propletenosti dvojice částic nemůže být vlnová funkce vyjádřena jako součin dvou vlnových funkcí jednotlivých částic
