Úvod do "Boundary Elements Method" Jiří Bouchala

Úvod do "Boundary Elements Method" Jiˇrí Bouchala

Katedra aplikované matematiky [email protected]

www.am.vsb.cz/bouchala SNA’07, 22.-26. ledna 2007 - p. 1/46

1. Úvod.

Úvod do BEM.

´ 1. Uvod. • Klasick´ e a slab´ e ˇreˇsen´ı PDR. • Dirichletova u ´loha na kouli. • Dirichletova u ´loha na vnˇ ejˇsku koule. • Gaussova vˇ eta. • Greenovy formule.

1. Úvod - p. 2/46

ˇ Vnitˇrní a vnejší okrajová úloha.

Ω ⊂ RN

  −∆u = f v Ω, +  okrajové podmínky na ∂Ω

du = h na ∂Ω, ... ; u = g na ∂Ω, dn ... omezená oblast s dost hladkou hranicí (N ≥ 2).

 N −∆u = f v R \ Ω,      +  okrajové podmínky na ∂Ω,    +    podmínky v ∞ 1 u=O pro kxk → ∞ . kxkN −2 Úvod do BEM.


1. Úvod - p. 3/46

Pˇ r´ıklad.

(

−∆u = f v Ω,

u = 0 na ∂Ω.

Klasick´ e ˇ reˇ sen´ ı: u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω), ... Z

Ω

∇u∇v dx =

Z

f v dx.

Ω


Slab´ e ˇ reˇ sen´ ı: u ∈ W01,2 (Ω), ... Plat´ı: u je dost hladké slabé ˇrešení ⇒ u je klasické ˇrešení. Neplat´ı: u je klasické ˇrešení ⇒ u je slabé ˇrešení.

Úvod do BEM.

1. Úvod - p. 4/46

Pˇ r´ıklad.

(

−∆u(x, y) = p u(x, y) :=

−∆u = f v B1 (0) ⊂ R2 , u = 0 na ∂B1 (0).

x2 + y 2

2 1−

p

x2

−

y2

+p =: f (x, y), 2 2 3 (1 − x − y )

1 − x2 − y 2 ∈ C ∞ (B1 (0)) ∩ C(B1 (0)),


u je klasickým ˇrešením. Ale! R

2

B1 (0)

|∇u| dx dy =

= 2π

R1

r2 0 1−r 2

R

B1 (0)

r dr = 2π

√

R1 0

−x 1−x2 −y 2

−

2

1 2(r+1)

+

+

√ −y2 2 1−x −y

1 2(1−r)

2

dx dy =

− r dr = ∞,

a proto u ∈ / W01,2 (B1 (0)); u není slabým ˇrešením. Úvod do BEM.

1. Úvod - p. 5/46

ˇ Rešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici na kouli.

(DK) kde

(

∆u = 0 v BR (x0 ), u = ϕ na ∂BR (x0 ),

´ 1. Uvod. • Klasick´ e a slab´ e ˇreˇsen´ı PDR. • Dirichletova u ´loha na kouli. • Dirichletova u ´loha na vnˇ ejˇsku koule. • Gaussova vˇ eta. • Greenovy formule. √

R > 0, x0 ∈ RN , BR (x0 ) = {x ∈ RN : kx − x0 k < R}, ■ ϕ ∈ C ∂BR (x0 ) . 2π N/2 κN = Γ(N/2) , Vˇ eta. Bud’ (2k−1)!! 1 Γ(k) = (k − 1)!, Γ(k + ) = π,  2 2k  ϕ(x), x ∈ ∂BR (x0 ), (2k − 1)!! = (2k − 1)(2k − 3) · · · 3 · 1. R u(x) := R2 −kx−x0 k2 1  ϕ(y) kx−ykN dSy , x ∈ BR (x0 ), κ1 = 2, κ2 = 2π,  κN ·R ∂BR (x0 ) κ3 = 4π, κ4 = 2π 2 , kde κN je povrch jednotkové koule v RN . κ5 = 83 π 2 , κ6 = π 3 , 16 3 1 4 ∞ Pak u ∈ C BR (x0 ) ∩ C BR (x0 ) je jediným (klasickým) κ7 = 15 π , κ8 = 3 π , ... ˇrešením úlohy (DK) a platí kuk∞ ≤ kϕk∞ . ■

Úvod do BEM.

1. Úvod - p. 6/46

ˇ ˇ Rešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rov. na vnejšku koule.

(DVK)

 N ∆u = 0 v R \ BR (x0 ),      u = ϕ na ∂BR (x0 ), ϕ ∈ C ∂BR (x0 ) ,    1   u = O pro kxk → ∞. N −2 kxk

Vˇ eta. Bud’

  ϕ(x), x ∈ ∂BR (x0 ), R u(x) := kx−x0 k2 −R2 1  ϕ(y) kx−ykN dSy , kx − x0 k > R.  κN ·R


∂BR (x0 )

N Pak u ∈ C R \ BR (x0 ) ∩ C R \ BR (x0 ) je jediným (klasickým) ˇrešením úlohy (DVK). ∞

Úvod do BEM.

N

1. Úvod - p. 7/46

Vˇ eta (Gauss). Necht’ Ω ⊂ RN , kde N ≥ 1, je omezená

oblast s dost hladkou hranicí. Pak Z Z ∂u 1 dx = u ni ds ∀u ∈ C (Ω) ∀i ∈ {1, ..., N } : Ω ∂xi ∂Ω

ˇ normály). (n = (n1 , n2 , ..., nN ) ... jednotkový vektor vnejší N =1 ∀u ∈ C 1 (ha, bi) :

Z

∀u, v ∈ C 1 (ha, bi) : Z

a

Úvod do BEM.

a


b

u′ dx = [u]ba = u(b) − u(a), Z

b

(uv)′ dx = [uv]ba , a proto

a

b

u′ v dx = [uv]ba −

Z

b

uv ′ dx.

a

1. Úvod - p. 8/46

R

∂u dx Ω ∂xi

=

R

∂Ω

u ni ds

Dalˇ s´ı d˚ usledky Gaussovy vˇ ety: N =2

Vˇ eta (Green). Bud’ Ω ⊂ R2 a (f1 , f2 ) : R2 → R2 tˇrídy

C 1 na Ω. Pak Z ∂f Ω

∂f1 2 − dx dy = ∂x ∂y

Z

(f1 , f2 ) ds.

(∂Ω)


N =3

Vˇ eta (Gauss - Ostrogradskij). Bud’ Ω ⊂ R3 a (f1 , f2 , f3 ) : R3 → R3 tˇrídy C 1 na Ω. Pak Z Z ∂f1 ∂f2 ∂f3 + + dx dy dz = (f1 , f2 , f3 ) ds. ∂x ∂y ∂z Ω (∂Ω)

Úvod do BEM.

1. Úvod - p. 9/46

Z

∀u, v ∈ C 1 (Ω) :

2

∀u, v ∈ C (Ω) :

Ω

Z

2

Ω

2

∀u, v ∈ C (Ω) :

∂u v dx = − ∂xi ⇓

∂ u v dx = − ∂x2i

Z

Z

Ω

Z

∆u·v dx = −

∂(uv) dx Ω ∂xi

=

R

∂Ω

uv ni ds

∂v dx + ∂xi

Z

∂u ∂v dx + ∂xi ∂xi

Z

∂Ω

∂u vni ds ∂xi

Z

∂Ω

du v ds dn

u

Ω

Ω

⇓

R

Z

Ω

∇u∇v dx+

uvni ds

∂Ω


... 1. Greenova formule

2

∀u, v ∈ C (Ω) :

Úvod do BEM.

Z

Ω

⇓

∆u · v − u · ∆v dx =

Z

∂Ω

dv v−u ds dn dn

du

... 2. Greenova formule

1. Úvod - p. 10/46

2. Harmonick´ e funkce. • Element´ arn´ı ˇreˇsen´ı Laplac. rovnice.

2. Harmonické funkce.

Úvod do BEM.

2. Harmonické funkce. Elementární ˇrešení Laplaceovy rovnice - p. 11/46

ˇ Definice. Bud’ Ω ⊂ RN omezená oblast. Rekneme, že

funkce u ∈ C 2 (Ω) je harmonická v Ω, platí-li: ∆u = 0 v Ω.

ˇ že funkce Bud’ Ω ⊂ RN neomezená oblast. Rekneme, u ∈ C 2 (Ω) je harmonická v Ω, platí-li: ∆u = 0 v Ω a souˇcasneˇ u = O kxk1N −2 pro kxk → ∞. m N

(∃K > 0) (∃R > 0) ∀x ∈ R , kxk > R : |u(x)| ≤ Pˇ r´ıklady. ■ ■

■


K . N −2 kxk

Funkce u := 1 je harmonická v každé oblasti, je-li N = 2. Funkce u := 1 je harmonická v každé omezené oblasti a není harmonická v žádné neomezené oblasti, je-li N > 2. Funkce u(x, y) := x2 − y 2 je harmonická v každé omezen´ e oblasti v R2 .

Úvod do BEM.


Vˇ eta. Bud’ N > 2. Definujme v(x, y) :=

1 N N : R × R → R. N −2 kx − yk


Pak pro každé y ∈ RN je funkce x 7→ v(x, y) harmonická v každé oblasti, která neobsahuje bod y.

Vˇ eta. Bud’ N = 2. Definujme v(x, y) := ln

1 : R2 × R2 → R. kx − yk

Pak pro každé y ∈ R2 je funkce x 7→ v(x, y) harmonická v každé omezen´ e oblasti, která neobsahuje bod y.

Úvod do BEM.


Definice. Funkci  1  1 , je-li N ≥ 3, (N −2)κN kx−ykN −2 v(x, y) :=  1 ln 1 , je-li N = 2, 2π kx−yk


nazýváme elementárním ˇrešením Laplaceovy rovnice (tj. rovnice ∆u = 0).

Vˇ eta. Pro každé y ∈ RN platí ∆x v(x, y) =

N X ∂ 2v

2 ∂x i i=1

(x, y) = −δy ≡ δ(x − y)

(derivace je tˇreba chápat ve smyslu distribucí).

Úvod do BEM.


3. Potenciály.

Úvod do BEM.

3. Potenci´ aly. • Vˇ eta o tˇrech potenci´ alech. • Definice potenci´ al˚ u. • Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy.

3. Potenciály - p. 15/46

Vˇ eta (o tˇ rech potenci´ alech). Bud’ Ω ⊂ RN (N ≥ 2) omezená oblast s dost hladkou hranicí, v : RN × RN → R elementární ˇrešení Laplaceovy rovnice a u ∈ C 2 (Ω). Pak pro každé x ∈ Ω platí Z

Z

dv du u(x) = − ∆u(y)v(x, y) dy + v(x, y) (y)− (x, y)u(y) dsy . dn dn y Ω ∂Ω


ˇ je-li navíc ∆u = 0 v Ω, je Speciálne: Z du dv ∀x ∈ Ω : u(x) = v(x, y) (y) − (x, y)u(y) dsy . dn dny ∂Ω

D˚ usledek (vˇ eta o regularitˇ e). Bud’ Ω ⊂ RN (N ≥ 2) libovolná oblast, u ∈ C 2 (Ω), ∆u = 0 v Ω. Pak u ∈ C ∞ (Ω). Úvod do BEM.


u(x) = −

∆u(y)v(x, y)dy + Ω

du v(x, y) (y) − dn ∂Ω

dv dny

(x, y)u(y)dsy .

V dalším uvažujme pouze pˇrípad N ≥ 3.

Definice. ■

■

■

v(x) :=

w(x) :=

ϕ(x) :=

R

1 dsy µ(y) kx−ykN −2 ∂Ω

... potenciál jednoduché vrstvy,

R R

d σ(y) dny ∂Ω

1 kx−ykN −2


dsy

... potenciál dvojvrstvy,

1 dy ̺(y) kx−ykN −2 Ω

... objemový (Newtonuv) ˚ potenciál;

µ, σ, ̺ ... hustoty (pˇríslušných potenciálu). ˚

Úvod do BEM.


ϕ(x) :=

R

1 dy ̺(y) kx−ykN −2 Ω

Vˇ eta (vlastnosti objemov´ eho potenci´ alu). Bud’ Ω ⊂ RN (N ≥ 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a bud’ ̺ ∈ L∞ (Ω). Pak potenciál ϕ je ■ spojitý a spojite ˇ diferencovatelný v RN , ■

harmonická funkce v každé oblasti G ⊂ RN \ Ω.

Je-li ̺ ∈ C 1 (Ω), je ■ ϕ ∈ C 2 (Ω), ■ ∀x ∈ Ω : −∆ϕ(x) = (N − 2)κN ̺(x).


ˇ Uvedený výsledek nám umožnuje konstruovat partikulární ˇrešení Poissonovy rovnice a pˇrevést tak okrajovou úlohu pro Poissonovu rovnici na okrajovou úlohu pro Laplaceovu ) rovnici: 1 −∆u0 = f ∈ C (Ω) ⇒ −∆(u + u0 ) = f ; −∆u = 0 u0 (x) = Úvod do BEM.

1 (N − 2)κN

Z

Ω

f (y)

1 dy. N −2 kx − yk 3. Potenciály - p. 18/46

ϕ(x) :=

R

1 1 dy, ̺ ∈ C ̺(y) (Ω) ⇒ −∆ϕ(x) = (N − 2)κN ̺(x). N −2 kx−yk Ω

Pˇ r´ıklad. Objemovým potenciálem koule Br (0) ⊂ R3 s hustotou ̺ := 1 je funkce

ϕ(x) =

 2 2   2π (3r − kxk ), je-li kxk ≤ r, 3 r3 , 3 kxk

  4π

je-li kxk > r.

r=1

6

5

4

ϕ(x)

3


2

1 0

1

2

3

4

5

6

x

kxk Odtud plyne, že jedním z ˇrešení rovnice ∆u = 1 na Br (0) ⊂ R3 je funkce u(x) := −

1 2π 1 (3r2 − kxk2 ) = kxk2 + konst., 4π 3 6

˜(x) := 61 kxk2 . takže taky (napˇr.) funkce u Úvod do BEM.


v(x) :=

R


Vˇ eta (vlastnosti potenci´ alu jednoduch´ e vrstvy). Bud’ Ω ⊂ RN (N ≥ 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a bud’ µ ∈ L1 (∂Ω). Pak potenciál v je harmonickou funkcí v oblastech Ω a RN \ Ω. Je-li µ ∈ C(∂Ω), je potenciál v spojitý v RN a pro každé x ∈ ∂Ω platí: dv (N −2)κN dv dv ■ := lim ) = µ(x) + (x) (x + αn x dnx dnx 2 dnx (x), i


α→0−

■

kde dv

dv dnx (x)

:=

R

d µ(y) dnx ∂Ω

dnx (x) e := lim

dv (x α→0+ dnx

Úvod do BEM.

1 kx−ykN −2

dsy ;

N µ(x) + + αnx ) = − (N −2)κ 2

dv dnx (x).

dv dv Takže (x) i − (x) e = (N − 2)κN µ(x). dnx dnx


v(x) :=

R


Pˇ r´ıklad. Potenciálem jednoduché vrstvy na sféˇre ∂Br (0) ⊂ R3 s hustotou µ := 1 je funkce r=1

12

v(x) =

  4πr, je-li kxk ≤ r,  4π

r2 , kxk

je-li kxk > r.

10


8

6

v(x) 4

2

0

2

4

6

8

10

12

x

kxk

Úvod do BEM.


w(x) :=

R

d σ(y) dny ∂Ω

1 kx−ykN −2

dsy

Vˇ eta (vlastnosti potenci´ alu dvojvrstvy). Bud’ Ω ⊂ RN (N ≥ 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a bud’ σ ∈ L1 (∂Ω). Pak potenciál w je harmonickou funkcí v oblastech Ω a RN \ Ω. Je-li σ ∈ C(∂Ω), je w|∂Ω ∈ C(∂Ω) a pro každé x ∈ ∂Ω platí: ■

we (x) :=

lim

w(˜ x) =

x ˜→x x ˜ ∈ RN \ Ω

■

(N −2)κN 2


σ(x) + w(x),

N wi (x) := lim w(˜ x) = − (N −2)κ σ(x) + w(x). 2

x ˜→x x ˜∈Ω

Úvod do BEM.

Takže we (x) − wi (x) = (N − 2)κN σ(x).


w(x) :=

R

d σ(y) dny ∂Ω

1 kx−ykN −2

Pˇ r´ıklad. Potenciálem dvojvrstvy na sféˇre ∂Br (0) ⊂ R3 s hustotou σ := 1 je funkce 1

w(x) =

  −4π, je-li kxk < r,     

−2π, je-li kxk = r,

     

0,

je-li kxk > r.

2

kxk x 3

4

dsy

5

0

–2

–4


w(x)

–6

–8

–10

–12

Úvod do BEM.

r=1 3. Potenciály - p. 23/46

4. Metoda potenciálu. ˚

Úvod do BEM.

4. Metoda potenci´ al˚ u. • Vnitˇrn´ı Dirichletova u ´loha. • Vnˇ ejˇs´ı Neumannova u ´loha. • Vnˇ ejˇs´ı Dirichletova u ´loha. • Vnitˇrn´ı Neumannova u ´loha.

4. Metoda potenciálu˚ (nepˇrímá metoda) - p. 24/46

Vnitˇrní Dirichletova úloha. Bud’ Ω ⊂ RN (N ≥ 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a g ∈ C(∂Ω). Uvažujme problém

(Di )

(

∆u = 0 v Ω, u = g na ∂Ω.

Hledejme (klasické) ˇrešení u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) problému (Di ) ve tvaru potenciálu dvojvrstvy s nezn´ amou hustotou σ ∈ C(∂Ω), tj. R d 1  σ(y) dny kx−ykN −2 dsy , x ∈ Ω, ∂Ω u(x) := g(x), x ∈ ∂Ω.


ˇ Protože potenciál dvojvrstvy je na Ω harmonickou funkcí (tj. splnuje Laplaceovu rovnici automaticky), jde pouze o to urˇcit hustotu σ tak, aby platilo, že u ∈ C(Ω), tzn. aby pro každé x ∈ ∂Ω:

g(x)= ui (x) = Úvod do BEM.

N − (N −2)κ 2

σ(x) +

R

d σ(y) dny ∂Ω

1 kx−ykN −2

dsy ,


(Di ): ∆u = 0 v Ω, u = g na ∂Ω. tj. aby

∀x ∈ ∂Ω : R d 2 1 2 σ(x)− (N −2)κ σ(y) ds = − g(x). y N −2 dny kx−yk (N −2)κN ∂Ω N (♥)

(♥) ... Fredholmova integrální rovnice druhého druhu.


Vˇ eta. Pro každou funkci g ∈ C(∂Ω) existuje práveˇ jedno

(klasické) ˇrešení úlohy (Di ). Tímto ˇrešením je funkce

u(x) :=

(R

d σ(y) dny ∂Ω

1 kx−ykN −2

g(x), x ∈ ∂Ω,

dsy , x ∈ Ω,

kde σ je ˇrešením rovnice (♥). Úvod do BEM.


ˇ Vnejší Neumannova úloha. Bud’ Ω ⊂ RN (N ≥ 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a g ∈ C(∂Ω). Uvažujme problém

(Ne )

 N  ∆u = 0 v R \ Ω,      h du i = g na ∂Ω, dn e   1    pro kxk → ∞. u = O  N −2 kxk

Hledejme (klasické) ˇrešení u ∈ C 2 (RN \ Ω) ∩ C(RN \ Ω) problému vrstvy s nezn´ amou hustotou (Ne ) ve tvaru potenciálu jednoduché Z 1 µ ∈ C(∂Ω), tj. µ(y) dsy . u(x) := N −2 kx − yk ∂Ω


Protože potenciál jednoduché vrstvy je na RN \ Ω harmonickou funkcí, jde pouze o to urˇcit hustotu µ tak, aby pro každé x ∈ ∂Ω : du R d 1 N g(x) = dn (x) e = − (N −2)κ µ(x) + µ(y) 2 dnx kx−ykN −2 dsy , ∂Ω

Úvod do BEM.


(Ne ): ∆u = 0 v RN \ Ω,

du

dn e

= g na ∂Ω, u = O

1 kxkN −2

...

tj. aby

∀x ∈ ∂Ω : R d 2 1 2 µ(x)− (N −2)κ µ(y) ds = − g(x). y N −2 dnx kx−yk (N −2)κN ∂Ω N (♦)

(♦) ... adjungovaná rovnice k (♥).


Vˇ eta. Pro každou funkci g ∈ C(∂Ω) existuje práveˇ jedno

(klasické) ˇrešení úlohy (Ne ). Tímto ˇrešením je funkce

u(x) :=

R

1 µ(y) ∂Ω kx−ykN −2 dsy ,

kde µ je ˇrešením rovnice (♦).

Úvod do BEM.


ˇ Vnejší Dirichletova úloha. Bud’ Ω ⊂ RN (N ≥ 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a g ∈ C(∂Ω). Uvažujme problém

(De )

 N ∆u = 0 v R \ Ω,     u = g na ∂Ω, 1     u = O pro kxk → ∞. N −2 kxk

Podobneˇ jako u (Di ): funkce R d 1 N  ds σ(y) , x ∈ R \ Ω, y N −2 dny kx−yk ∂Ω u(x) := g(x), x ∈ ∂Ω,


je (klasickým) ˇrešením úlohy (De ), je-li hustota σ ∈ C(∂Ω) taková, že pro každé x ∈ ∂Ω:

g(x)= ue (x) = Úvod do BEM.

(N −2)κN 2

σ(x) +

R

d σ(y) dny ∂Ω

1 kx−ykN −2

dsy ,


(De ): ∆u = 0 v RN \ Ω, u = g na ∂Ω, u = O

1 kxkN −2

...

tj. že (♠)

∀x ∈ ∂Ω :

2 σ(x)+ (N −2)κ N

R

d σ(y) dny ∂Ω

1 kx−ykN −2

dsy =

2 (N −2)κN

g(x).

ˇ Tentokrát je situace složitejší, muže ˚ se totiž stát, že rovnice (♠) nemá ˇrešení. I v takovémto pˇrípadeˇ má sice úloha (De ) ˇrešení, toto však nemá tvar potenciálu dvojvrstvy.


K této situaci dochází proto, že potenciály dvojvrstvy tvoˇrí pˇríliš "malou" cˇ ást množiny všech harmonických funkcí v RN \ Ω. U obecné harmonické funkce totiž požadujeme, aby byla 1 O kxkN −2 pro kxk → ∞, zatímco potenciál dvojvrstvy je O kxk1N −1 pro kxk → ∞.

Úvod do BEM.


(De ): ∆u = 0 v RN \ Ω, u = g na ∂Ω, u = O

1 kxkN −2

...

Pokusme se ˇrešení najít ve tvaru souˇctu potenciálu dvojvrstvy a jednoduché harmonické funkce s rustem ˚ O kxk1N −2 pro kxk → ∞.

ˇ Umísteme poˇcátek soustavy souˇradnic dovnitˇr Ω a hledejme u ve tvaru: R R d 1 1    ∂Ω σ(y) dny kx−ykN −2 dsy + kxkN −2 ∂Ω σ(y) dsy , N u(x) := x ∈ R \ Ω,   g(x), x ∈ ∂Ω.


Už víme, že ∀σ ∈ C(∂Ω) je takto definovaná funkce u harmonická v RN \ Ω. Zbývá tedy urˇcit σ ∈ C(∂Ω) tak, aby pro každé x ∈ ∂Ω: i h R d 1 1 N + dsy , g(x) = ue (x) = (N −2)κ σ(x)+ σ(y) N −2 2 dny kx−yk kxkN −2 ∂Ω Úvod do BEM.


(De ): ∆u = 0 v RN \ Ω, u = g na ∂Ω, u = O

1 kxkN −2

...

tj. aby (♠♠) σ(x) +

∀x ∈ ∂Ω : 2 (N −2)κN

R

σ(y) ∂Ω

h

d dny

1 kx−ykN −2

+

1 kxkN −2

i

dsy =

2 (N −2)κN

Vˇ eta. Pro každou funkci g ∈ C(∂Ω) existuje práveˇ jedno (klasické) ˇrešení úlohy (De ). Tímto ˇrešením je funkce R R d 1 1    ∂Ω σ(y) dny kx−ykN −2 dsy + kxkN −2 ∂Ω σ(y) dsy , N u(x) := x ∈ R \ Ω,   g(x), x ∈ ∂Ω,

4. Metoda potenci´ al˚ u. • Vnitˇrn´ı Dirichletova u ´loha. • Vnˇ ejˇs´ı g(x). Neumannova u ´loha. • Vnˇ ejˇs´ı Dirichletova u ´loha. • Vnitˇrn´ı Neumannova u ´loha.

kde σ ∈ C(∂Ω) je ˇrešením rovnice (♠♠).

Úvod do BEM.


Vnitˇrní Neumannova úloha. Bud’ Ω ⊂ RN (N ≥ 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a g ∈ C(∂Ω). Uvažujme problém

 

∆u = 0 v Ω, h du i  = g na ∂Ω. dn i

(Ni ) Pozorov´ an´ı 1.

Je-li funkce u klasickým ˇrešením úlohy (Ni ), je i každá z funkcí vc (x) := u(x) + c,


kde c ∈ R, ˇrešením (Ni ).

Pozorov´ an´ı 2. Bud’ u dost hladké ˇrešení R úlohy (Ni ) a vR := 1. R Z 1. Greenovy formule Ω ∆u · v dx = − Ω ∇u∇v dx + ∂Ω pak vyplývá, že R R du 0 = ∂Ω dn ds = ∂Ω g ds. Úvod do BEM.

du dn

v ds


(Ni ): ∆u = 0 v Ω,

du

dn i

= g na ∂Ω.

ˇ Rešení u hledejme ve tvaru potenciálu jednoduché vrstvy s hustotou µ ∈ C(∂Ω), tj. Z 1 u(x) := µ(y) dsy . N −2 kx − yk ∂Ω Pro µ pak musí platit, že pro každé x ∈ ∂Ω : du

g(x) = dn (x) i =

tj. že (♣)

(N −2)κN 2

µ(x) +

∀x ∈ ∂Ω :

µ(x) +

2 (N −2)κN

Úvod do BEM.

R

d µ(y) dnx ∂Ω

R

d µ(y) dnx ∂Ω

1 kx−ykN −2

1 kx−ykN −2

dsy =

(♣) ... adjungovaná rovnice k (♠).

2 (N −2)κN

dsy ,


g(x).


(Ni ): ∆u = 0 v Ω,

Vˇ eta. Podmínka

R

∂Ω

du

dn i

= g na ∂Ω.

g(x) dsx = 0

je podmínkou nutnou a postaˇ cuj´ ıc´ ı, aby úloha (Ni ) ˇ ˇrešení. (s okrajovou podmínkou g ∈ C(∂Ω)) mela Toto ˇrešení je jednoznaˇcneˇ až na konstantu urˇceno vztahem

u(x) :=

R

1 µ(y) ∂Ω kx−ykN −2 dsy ,

kde µ je ˇrešením rovnice (♣).

Úvod do BEM.



5. Pˇrímé metody.

Úvod do BEM.

5. Pˇr´ım´ e metody. • Sm´ıˇsen´ a DN u ´loha. • Steklov Poincar´ e oper´ ator. • Slab´ e hraniˇ cn´ı ˇreˇsen´ı DN u ´lohy.

5. Pˇrímé metody (v R3 ) - p. 36/46

Smíšená Dirichletova - Neumannova úloha. Bud’ Ω ⊂ R3 omezená oblast s dost hladkou hranicí ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2 a bud’ g1 ∈ C(Γ1 ) a g2 ∈ C(Γ2 ). Uvažujme problém

(DNi )

    

∆u = 0 v Ω,

u = g1 na Γ1 , h du i     = g2 na Γ2 . dn i


ˇ o tˇrech potenciálech vyplývá: Z vety je-li u ∈ C 2 (Ω) (klasickým) ˇrešením (DNi ), je Z dv du ∀x ∈ Ω : u(x) = v(x, y) (y) − (x, y)u(y) dsy , dn dn y ∂Ω kde v : R3 × R3 → R je elementární ˇrešení Laplaceovy rovnice, tj. funkce v(x, y) :=

Úvod do BEM.

1 1 4π kx−yk .


(DNi ): ∆u = 0 v Ω, u = g1 na Γ1 ,

du

dn i

= g2 na Γ2 .

Zjistili jsme: je-li u ∈ C 2 (Ω) ˇrešením úlohy (DNi ), je pro každé x ∈ Ω :

u(x) =

R

Problém:

1 1 du (y) dsy ∂Ω 4π kx−yk dn

du dn (y)

=?

na

−

R

1 d ∂Ω 4π dny

Γ1 , u(y) = ?

1 kx−yk

na

u(y) dsy .

Γ2 .


ˇ Všimneme si: ■

■

R

1 du 1 (y) dsy ∂Ω 4π kx−yk dn

R

1 d ∂Ω 4π dny

... potenciál jednoduché vrstvy s hustotou

Úvod do BEM.

1 kx−yk

1 du 4π dn

∈ C(∂Ω),

u(y) dsy ... potenciál dvojvrstvy s hustotou

1 u∈ 4π

C(∂Ω). 5. Pˇrímé metody (v R3 ) - p. 38/46

du

(DNi ): ∆u = 0 v Ω, u = g1 na Γ1 ,

∀˜ x ∈ Ω : u(˜ x) =

R

tj.

∀x ∈ ∂Ω :

1 u(x) 2

=

Takže na ∂Ω platí

R

1 2u Úvod do BEM.

dsy −

1 d u(y) dny ∂Ω 4π

1 1 du (y) dsy ∂Ω 4π kx−yk dn

|

= g2 na Γ2 .

5. Pˇr´ım´ e metody. • Sm´ıˇsen´ a DN u ´loha. • Steklov ∈ ∂Ω) dostaneme, že pro každé Poincar´ e oper´ ator. • Slab´ e R 4π 1 d 1 1 hraniˇ reˇsen´ı − 2 4π u(x) + ∂Ω 4π u(y) dny kx−yk ds y ,cn´ı ˇ DN u ´lohy.

1 du 1 (y) k˜ x−yk ∂Ω 4π dn

Limitním pˇrechodem (Ω ∋ x ˜→x x ∈ ∂Ω platí: R 1 1 du u(x) = ∂Ω 4π (y) dn kx−yk dsy −

R

dn i

{z

}

−

du =: V ( dn )(x)

R

1 k˜ x−yk

1 d ∂Ω 4π dny

|

dsy .

1 kx−yk

{z

u(y) dsy .

=: K(u)(x)

}

du = V ( dn ) − K(u). 5. Pˇrímé metody (v R3 ) - p. 39/46

du

(DNi ): ∆u = 0 v Ω, u = g1 na Γ1 ,

∀x ∈ Ω : u(x) =

R

1 du 1 (y) kx−yk ∂Ω 4π dn

dsy −

R

dn i

1 d u(y) dny ∂Ω 4π

= g2 na Γ2 . 1 kx−yk

dsy .

ˇ normály". Nyní proved’me limitní pˇrechod pro "derivaci podle vnejší Z pˇredpokladu u ∈ C 2 (Ω) a z vlastností potenciálu jednoduché vrstvy plyne, že i h du du (x) = ∀x ∈ ∂Ω : dnx (x) = dn


i

=

4π 1 du 2 4π dn (x)

+

R

d 1 du (y) dnx ∂Ω 4π dn

1 kx−yk

tzn., že pro každé x ∈ ∂Ω platí: 1 du (x) 2 dn

=

R

| Úvod do BEM.

1 d ∂Ω 4π dnx

dsy −

1 du (y) dsy kx−yk dn

{z

du =: K ′ ( dn )(x)

−

}|

d dnx

d dnx

R

R

d 1 u(y) dny ∂Ω 4π

1 d ∂Ω 4π dny

{z

1 kx−yk

1 kx−yk

dsy ,

u(y) dsy .

=: D(u)(x)

}


(DNi ): ∆u = 0 v Ω, u = g1 na Γ1 ,

du

dn i

= g2 na Γ2 .

Zjistili jsme, že pro ˇrešení u ∈ C 2 (Ω) úlohy (DNi ) na ∂Ω platí:

du 1 u = V ( ) − K(u), 2 dn 1 du ′ du = K ( ) + D(u). 2 dn dn


Dá se dokázat, že existuje V −1 , a proto z první rovnosti vyplývá, že du −1 1 =V I + K (u). dn 2

Dosadíme-li tento vztah do druhé z výše uvedených rovností, dostaneme ( na ∂Ω ) rovnost du dn

=

|

Úvod do BEM.

1 ′ I + K 2

V

−1 1 2I +K {z

+ D (u) }

=: S ... Steklov - Poincaré operátor. 5. Pˇrímé metody (v R3 ) - p. 41/46

(DNi ): ∆u = 0 v Ω, u = g1 na Γ1 , du dn kde

= S(u) :=

V (λ)(x) :=

1 ′ I + K 2

R

V

1 d ∂Ω 4π dny

dn i

−1 1 2I + K

1 1 λ(y) dsy , ∂Ω 4π kx−yk

R

du

1 kx−yk

= g2 na Γ2 .

+ D (u),

u(y) dsy , R 1 d 1 ′ K (λ)(x) := ∂Ω 4π dnx kx−yk λ(y) dsy , R 1 d 1 d D(u)(x) := − dnx ∂Ω 4π dny kx−yk u(y) dsy . K(u)(x) :=


Dá se ukázat, že 1

1

1

1

1

1

V : H − 2 (∂Ω) → H 2 (∂Ω), K : H 2 (∂Ω) → H 2 (∂Ω), 1

1

K ′ : H − 2 (∂Ω) → H − 2 (∂Ω), D : H 2 (∂Ω) → H − 2 (∂Ω) 1

1

S : H 2 (∂Ω) → H − 2 (∂Ω) jsou spojitými lineárními operátory. Úvod do BEM.


du dn

= Su − N f .

Uvažujme problém

(DNi )

 −∆u = f v Ω,    u = 0 na Γ1 ,    du = g na Γ , 2 dn

kde Ω ⊂ R3 je omezená oblast s dost hladkou hranicí ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2 , Γ1 má "kladnou m´ıru", g ∈ L2 (Γ2 ), f ∈ L2 (Ω).


Slabým ˇrešením úlohy (DNi ) rozumíme funkci u ∈ W := {v ∈ H 1 (Ω) : T v = 0 na Γ1 } takovou, že

∀v ∈ W :

R

Ω

∇u∇v dx =

R

Ω

f v dx +

R

Γ2

gT v ds.

Slabým hraniˇcn´ım ˇrešením úlohy DNi rozumíme funkci 1 u ∈ W := {v ∈ H 2 (∂Ω) : v = 0 na Γ1 } takovou, že

∀v ∈ W : hSu, vi = hN f, vi + Úvod do BEM.

R

Γ2

gv ds. 5. Pˇrímé metody (v R3 ) - p. 43/46

Literatura.

Literatura.

Úvod do BEM.

Literatura - p. 44/46

■

P. Drábek: Integr´ aln´ı rovnice, SNTL, Praha, 1991;

■

L. C. Evans: Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, Volume 19, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998;

■

J. Francu: ˚ Parci´ aln´ı diferenci´ aln´ı rovnice, skripta VUT, Brno, 2003;

■

O. John, J. Neˇcas: Rovnice matematické fyziky, skripta MFF UK, Praha, 1981;

■

A. Kufner, O. John a S. Fuˇcík: Function spaces, Academia, Praha, 1977.

■

C. Johnson: Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Cambridge University Press, 1995;

■

K. Rektorys a spol.: Pˇrehled uˇzité matematiky II, Prometheus, Praha, 1995;

Úvod do BEM.

Literatura.


■

M. Renardy, R. C. Rogers: An introduction to partial differential equations, Springer – Verlag, New York, 1993;

■

´ M. Rokyta, O. John, J. Málek, M. Pokorný, J. Stará: Uvod do teorie parci´ aln´ıch diferenci´ aln´ıch rovnic, www.karlin.mff.cuni.cz/ rokyta/vyuka/skripta-pdr/, 2004;

■

ˇ sen´ı variaˇcn´ıch nerovnic pomoc´ı M. Sadowská: Reˇ hraniˇcn´ıch integr´ aln´ıch rovnic, diplomová práce, VŠB-TU Ostrava, 2005;

■

O. Steinbach: Stability estimates for hybrid coupled domain decomposition methods, Springer – Verlag, Heidelberg, 2003;

■

A. Ženíšek: Funkcion´ aln´ı analýza II, skripta VUT, Brno, 1999;

Literatura.

ˇ 201/07/0294. ˇ Pˇríspevek vznikl za podpory grantu GACR

Úvod do BEM.


Úvod do "Boundary Elements Method" Jiří Bouchala

Recommend Documents