ZADÁNÍ: U daných dvojbranů (derivační obvod, integrační obvod, přemostěný T-článek) změřte amplitudovou a fázovou charakteristiku. Výsledky zpracujte graficky; jednak v pravoúhlých souřadnicích, jednak v komplexní rovině. Laboratorní protokol doplňte teoretickým rozborem měřených dvojbranů. Naměřené hodnoty porovnejte s teoretickými číselně i v obojích grafech a odchylky v závěru zdůvodněte.
ÚVOD: Obvody RC v technické praxi slouží převážně k výraznému ovlivnění časového průběhu signálu ať již změnou tvaru, výběrem, či časovým posunutím. Díky těmto hlavním funkcím se tyto obvody též nazývají tvarovací obvody nebo také obvody pro úpravu časového průběhu signálů. Derivační obvody uskutečňují s elektrickými veličinami matematickou operaci derivování, v souhlase s obecnými vztahy, jimiž se řídí k tomu určený elektrický obvod. Derivační obvod RC - proud procházející kondenzátorem je vázán s napětím na jeho svorkách vztahem: i = C * ∆uc/∆ ∆t; je tedy úměrný derivaci napětí podle času. Pokud je v obvodu zařazen odpor na vstupu v sérii s kondenzátorem, vzniká na něm úbytek napětí a proud je dán rovnicí: i = C * ∆(u-ur) / ∆t. Výstupní napětí na odporu R pak vyjádříme vztahem: ur(t) = iR = CR [ ∆u/∆ ∆t - (Ri + R) ∆ i/∆ ∆ t ]. Je zřejmé, že výstupní napětí se blíží derivaci napětí na vstupu tím více, čím menší je druhý člen v závorce proti prvnímu, tj. čím menší je časová konstanta τ = RC proti rychlosti změny proudu, tedy i proti době nárůstu čela impulsu ϑč. V takovém případě je celé vstupní napětí na kondenzátoru a platí: ur(t) = CR ∆u/∆ ∆t = τ ∆u/∆ ∆t. Integrační obvody jsou analogické derivačním obvodům pro matematickou operaci integrování, kterou převádějí na vztahy mezi elektrickými veličinami příslušného obvodu. Integrační obvod RC - za předpokladu, že časová konstanta obvodu integračního článku s odporem v sérii na vstupu je podstatně větší než šířka vstupního impulsu, vytvoří se na kondenzátoru pouze malé napětí. Takřka celé vstupní napětí je na odporu obvodu (Ri + R). Napětí: u(t) = iR + Q/C. Protože lze zanedbat druhý člen proti prvnímu, platí: u(t) = iR = R ∆Q/∆ ∆t. Odtud pak pro náboj dostaneme ∆Q = 1 / R*u*∆ ∆t. Výstupní napětí, jako napětí na kondenzátoru, nalezneme z poměru celkového elektrického množství a kapacity: uc = Q/C = 1/RC ∫ u*∆ ∆t = 1/ττ ∫ u*∆ ∆t Výstupní napětí je tak přímo úměrné integrálu vstupního napětí tím přesněji, čím lépe je splněna podmínka: τ = RC >> ϑ. RC oscilátory představují další z možných využití RC pasivních dvojbranů (derivačních nebo integračních článků) ke generování sinusových kmitů. Oscilátory RC s posuvem fáze mají zpětnovazební řídící dvojbran složený z rezistorů R a kondenzátorů C. Tento dvojbran určuje oscilační kmitočet f0, kdy je splněna
1
amplitudová a fázová oscilační podmínka. Je třeba, aby fázová charakteristika byla v okolí oscilačního kmitočtu co nejstrmější z důvodů kmitočtové stability. Nejjednodušší oscilátory RC mají zpětnovazební dvojbran složený z kaskády tří článků RC. Tyto členy mohou být buď integračního, nebo derivačního charakteru. RC obvody mohou být použity také v regulačních obvodech jako statická soustava prvního řádu - systém s jedním zásobníkem energie. Tyto pasivní obvody mají i mnoho dalších využití v technické praxi.
SCHÉMA:
POPIS MĚŘENÍ: Měření amplitudové a fázové charakteristiky provádíme „najednou“. Měřený člen zapojíme nejprve podle schéma. Poté tónovým generátorem TG měníme logaritmicky frekvence v rozmezí 20Hz÷40Khz (především v pásmu, které je určeno měřeným článkem a rozsahy používaných přístrojů). Po celou dobu měření udržujeme konstantní vstupní napětí. Amplitudovou charakteristiku získáme pomocí hodnot, odečtených z voltmetrů EV1 a EV2. Přenos určíme podle vztahu: U |F|(dB) = 20 log ( 2 ) U1
2
Fázovou charakteristiku určíme pomocí osciloskopu, který je nastaven v režimu XY. Fázový posuv pak vyhodnotíme z elipsy zobrazené na stínítku osciloskopu pomocí vztahu: sin ϕ = a/b → ϕ = arctg (a/b)
NAMĚŘENÉ A VYPOČTENÉ VÝSLEDKY: DERIVAČNÍ ČLEN Parametry: C1 = 1,5nF R1 = 1MΩ Ω R2 = 100Ω Ω R2 • 1 + jωCR1 R2 R2 + = = R1 R2 + jωCR1R2 + R1 R1 + R2 + jωCR1R2 u1 jω jωC 1 + jωCR1 R2 + 1 R1 + jωC 1 + jωCR1 1 + jωT1 R2 = • =k• R1R2 1 + jωT2 R1 + R2 1 + jωC R1 + R2 f = 0, ω = 0, jω = 0 F jω =
u2 jω
=
R2 10 5 1 F0 = k = = 5 = R1 + R 2 11 ⋅ 10 11 1 F 0 dB = 20 log k = 20 log = −20,8dB 11 f = 0, ω = ∞ , jω = ∞ 1 + T1 jω T1 R2 R1C F∞ = k • =k• = • =1 1 R1R 2 T2 R1 + R 2 + T2 ⋅C jω R1 + R 2 F ∞ dB = 0dB Body zlomu:
3
1 1 1 = = = 106Hz 6 2πT1 2πR1C 2π10 ⋅ 1,5 ⋅ 10 − 9 1 1 1 f2 = = = = 1165Hz 6 R1R 2 2πT2 10 ⋅ 10 5 −9 2π ⋅ C 2π ⋅ • 1,5 • 10 R1 + R 2 1,1 ⋅ 10 6 f1 =
Tabulka č. 1a – naměřené hodnoty der. článku U1=5V~ f [Hz] U2 [V] F(jw) a [V] b [V] ϕ [ °] Re [F(jw)] Im [ F(jw)]
20,00 28,00 50,00 100,00 200,00 300,00 500,00 1000,00 0,40 0,43 0,46 0,57 0,90 1,24 1,86 2,96 -21,94 -21,31 -20,72 -18,83 -14,89 -12,11 -8,59 -4,55 0,10 0,20 0,30 0,50 1,00 1,40 2,00 2,80 0,50 0,70 0,80 0,90 1,40 1,80 2,60 4,00 11,54 16,60 22,02 33,75 45,58 51,06 50,28 44,43 0,08 0,08 0,09 0,10 0,14 0,18 0,27 0,45 0,02 0,02 0,03 0,06 0,12 0,17 0,26 0,38 Tabulka č. 1b – naměřené hodnoty der. článku
U1=5V~ f [Hz] 2000,00 3000,00 4080,00 5000,00 10000,00 20000,00 29500,00 40000,00 U2 [V] 3,80 4,05 4,16 4,22 4,30 4,32 4,33 4,35 F(jw) -2,38 -1,83 -1,60 -1,47 -1,31 -1,27 -1,25 -1,21 a [V] 2,20 1,80 1,40 1,10 0,60 0,30 0,20 0,10 b [V] 5,50 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 12,00 23,58 17,46 13,49 10,56 5,74 2,87 1,91 0,48 ϕ [°] Re [F(jw)] 0,70 0,77 0,81 0,83 0,86 0,86 0,87 0,87 Im [ F(jw)] 0,30 0,24 0,19 0,15 0,09 0,04 0,03 0,01
f [Hz] F(jw) ϕ [ °] Re [F(jw)] Im [ F(jw)]
Tabulka č. 2a – vypočtené hodnoty der. článku 20,00 28,00 50,00 100,00 200,00 300,00 500,00 1000,00 -20,68 -20,54 -19,96 -18,10 -14,37 -11,57 -7,90 -3,68 9,69 13,41 22,78 38,41 52,33 56,11 54,83 43,35 0,09 0,09 0,09 0,10 0,12 0,15 0,23 0,48 0,02 0,02 0,04 0,08 0,15 0,22 0,33 0,45
Tabulka č. 2b – vypočtené hodnoty der. článku f [Hz] 2000,00 3000,00 4080,00 5000,00 10000,00 20000,00 29500,00 40000,00 F(jw) -1,26 -0,61 -0,34 -0,23 -0,06 -0,01 -0,01 0,00 27,23 19,23 14,47 11,92 6,05 3,04 2,06 1,52 ϕ [°] Re [F(jw)] 0,77 0,88 0,93 0,95 0,99 1,00 1,00 1,00 Im [ F(jw)] 0,40 0,31 0,24 0,20 0,10 0,05 0,04 0,03
4
INTEGRAČNÍ ČLEN Parametry: C = 16nF R1 = 100kΩ Ω R2 = 5,6kΩ Ω R3 = 100kΩ Ω
F jω =
u2 jω u1 jω
=
1 R3 R2 + jωC 1 R3 + R2 + jωC 1 R 3 R 2 + jωC R1 + 1 R3 + R2 + jωC
=
1 R3 R2 + jωC 1 1 R1 R3 + R2 + + R 3 R 2 + jωC jωC
R 3( jωCR 2 + 1) =
jωC
R1( jωCR 3 + jωCR 2 + 1) + R 3( jωCR 2 + 1)
=
=
R 3(1 + jωCR 2)
R1 + R 3 + jωC( R1R 3 + R1R 2 + R 2 R 3)
jωC 1 + jωCR 2 1 + jωT2 R3 = • =k• R1 + R 3 1 + jωT1 R1R 3 1 + jωC + R 2 R1 + R 3 f = 0, ω = 0, jω = 0 1 1 1 1 F0 = k = = ⇒ F 0 dB = 20 log k = 20 log = −6dB 5 = R1 2 2 10 1+ 1+ 5 R3 10 f = ∞ , ω = ∞ , jω = ∞ 1 + T2 1 jω 1 16 ⋅ 5,6 ⋅ 10 − 6 1 1 F∞ = • = • ⇒ F ∞ dB = 20 log = −26,1dB −6 = 1 2 2 16 ⋅ 55,6 ⋅ 10 20,2 20,2 + T1 jω Body zlomu: f1 =
1 = 2 πT1
1 1 = = 178,5Hz 5 5 R1R 3 3 − 9 10 ⋅ 10 2 πC + R 2 2 π16 ⋅ 10 + 5,6 ⋅ 10 R1 + R 3 2 ⋅ 10 5
f2 =
1 1 1 = = = 1780Hz 2 πT2 2 πCR 2 2 π ⋅ 16 ⋅ 10 9 ⋅ 5,6 ⋅ 10 3
5
=
Tabulka č. 3 – naměřené hodnoty int. článku U1=5V~ f [Hz] U2 [V] F(jw) a [V] b [V] ϕ [°] Re [F(jw)] Im [ F(jw)]
20 30 51 96 200 306 483 1070 2000 4000 2,30 2,26 2,20 1,92 1,40 1,03 0,72 0,40 0,29 0,25 -6,74 -6,90 -7,13 -8,31 -11,06 -13,72 -16,83 -21,94 -24,73 -26,02 0,40 0,70 1,00 1,20 1,40 1,20 0,80 0,40 0,20 0,10 3,40 3,40 3,00 2,80 2,00 1,50 1,00 0,60 0,40 0,40 -6,76 -11,88 -19,47 -25,38 -44,43 -53,13 -53,13 -41,81 -30,00 -14,48 0,46 0,44 0,42 0,35 0,21 0,14 0,10 0,06 0,05 0,05 -0,05 -0,09 -0,14 -0,16 -0,18 -0,15 -0,10 -0,05 -0,03 -0,01
f [Hz] F(jw) ϕ [°] Re [F(jw)] Im [ F(jw)]
Tabulka č. 4 – vypočtené hodnoty int. článku 30 51 96 200 306 483 1070 2000 4000 -6,14 -6,36 -7,11 -9,49 -11,83 -14,90 -20,33 -23,47 -25,19 -8,55 -14,27 -25,12 -41,76 -49,91 -54,46 -49,44 -36,50 -21,38 0,49 0,47 0,40 0,25 0,16 0,10 0,06 0,05 0,05 -0,07 -0,12 -0,19 -0,22 -0,20 -0,15 -0,07 -0,04 -0,02
20 -6,07 -5,73 0,49 -0,05
PŘEMOSTĚNÝ T-ČLÁNEK
Parametry: R1 = 32kΩ Ω C1 = 100nF C2 = 100nF R’ = 2,2kΩ Ω R Pomocný parametr: s 2 = R' 2 ωRC s − +j u2( jω ) ωRC s s F( jω ) = = 2 + s2 ωRC u1( jω ) s − +j ωRC s s ω → 0; ω → ∞ F( 0) = F( ∞) = 1; ϕ = 0 s2 =
R 32 ; s = 14,5 = 3,82 ' = 2 ,2 R
6
s 3,82 2 2 = = 0,121 = 20 log 0,121 = −18,3dB 3 2 = − 7 = 190Hz; F(ω 0 ) = 2π ⋅ RC 2π ⋅ 32 ⋅ 10 ⋅ 10 2 + 11,5 2+s f → 0, f → ∞: ϕ = 0; F( 0) = F( ∞) = 1 ⇒ 0dB f0 =
Tabulka č. 5a – naměřené hodnoty přemostěného T-článku U1=5V~ f [Hz] U2 [V] F(jw) a [V] b [V] ϕ [°] Re [F(jw)] Im [ F(jw)]
20,00 4,74 -0,46 0,80 7,00 -6,56 0,94 -0,11
30,00 50,00 100,00 4,50 4,14 3,45 -0,92 -1,64 -3,22 1,10 1,30 0,70 6,40 6,00 5,00 -9,90 -12,51 -8,05 0,89 0,81 0,68 -0,15 -0,18 -0,10
150,00 3,30 -3,61 0,00 4,80 0,00 0,66 0,00
200,00 3,36 -3,45 0,40 4,80 4,78 0,67 0,06
297,00 3,67 -2,69 1,00 5,20 11,09 0,72 0,14
412,00 4,02 -1,89 1,20 5,80 11,94 0,79 0,17
Tabulka č. 5b – naměřené hodnoty přemostěného T-článku U1=5V~ f [Hz] 503,00 1000,00 2000,00 3000,00 5000,00 U2 [V] 4,25 4,78 4,90 4,93 4,95 F(jw) -1,41 -0,39 -0,18 -0,12 -0,09 a [V] 1,30 1,00 0,50 0,40 0,30 b [V] 6,00 7,00 7,00 7,00 7,00 12,51 8,21 4,10 3,28 2,46 ϕ [°] Re [F(jw)] 0,83 0,95 0,98 0,98 0,99 Im [ F(jw)] 0,18 0,14 0,07 0,06 0,04
f [Hz] F(jw) ϕ [°] Re [F(jw)] Im [ F(jw)]
Tabulka č. 6a – vypočtené hodnoty přemostěného T-článku 20,00 30,00 50,00 100,00 150,00 200,00 297,00 -0,32 -0,67 -1,49 -3,04 -3,51 -3,40 -2,71 -6,63 -9,03 -11,40 -7,92 -1,13 4,24 9,72 0,96 0,91 0,83 0,70 0,67 0,67 0,72 -0,11 -0,15 -0,17 -0,10 -0,01 0,05 0,12
Tabulka č. 6b – vypočtené hodnoty přemostěného T-článku f [Hz] 503,00 1000,00 2000,00 3000,00 5000,00 F(jw) -1,50 -0,49 -0,13 -0,06 -0,02 11,41 8,01 4,41 2,99 1,81 ϕ [°] Re [F(jw)] 0,82 0,94 0,98 0,99 1,00 Im [ F(jw)] 0,17 0,13 0,08 0,05 0,03 Poznámka: Ideální přenos je v grafech znázorněn přerušovanou čarou.
7
412,00 -1,94 11,47 0,78 0,16
ZÁVĚR: Ke změření vstupního a výstupního střídavého sinusového napětí jsme použili digitální osciloskop, který umožňoval měření efektivní hodnoty napětí. Pomocí něj jsme také měřili fázový posun měřeného článku. Z amplitudových charakteristik jednotlivých členů si můžeme povšimnout relativně malých odchylek naměřených hodnot od ideálních. Toho jsme dosáhli použitím přímých metod měření, tj. odečítáním hodnot přímo z osciloskopu. Ve fázových charakteristikách jednotlivých členů jsou relativně velké odchylky. To je způsobeno použitím nepřímé metody měření (změření pomocných hodnot; poté následný výpočet). Přenosy jednotlivých článků v Gausově rovině jsou ekvivalentní charakteristikám fázovým a amplitudovým. Proto se zde objevily chyby, které jsou především ve fázové charakteristice. Ke zmenšení chyby měření bych použil osciloskop, který umožňuje měřit fázi pomocí speciálních funkcí (přímou metodou).
8
AMPLITUDOVÁ CHARAKTERISTIKA DERIVAČNÍHO ČLÁNKU 10
100
1000
0
-5
-10
|F| (dB)
3
-15
-20
-25
f (Hz)
10000
100000
FÁZOVÁ CHARAKTERISTIKA DERIVAČNÍHO ČLÁNKU 60
50
ϕ °
40
30
20
10
0 10
100
1000
f (Hz)
10000
100000
PŘENOS DERIVAČNÍHO ČLÁNKU V GAUSOVĚ ROVINĚ 0,5 0,45 0,4 0,35
Im F(jw)
0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Re F(jw)
0,6
0,7
0,8
0,9
1
AMPLITUDOVÁ CHARAKTERISTIKA INTEGRAČNÍHO ČLÁNKU 10
100
1000
0
-5
F (p)
-10
-15
-20
-25
-30
f (Hz)
10000
FÁZOVÁ CHARAKTERISTIKA INTEGRAČNÍHO ČLÁNKU 10
100
1000
0
-10
ϕ °
-20
-30
-40
-50
-60
f (Hz)
10000
PŘENOS INTEGRAČNÍHO ČLÁNKU V GAUSOVĚ ROVINĚ 0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0
-0,05
Im F(p)
-0,1
-0,15
-0,2
-0,25
Re F(p)
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
AMPLITUDOVÁ CHARAKTERISTIKA T-ČLÁNKU 10
100
1000
0
-0,5
-1
F (p)
-1,5
-2
-2,5
-3
-3,5
-4
f (Hz)
10000
FÁZOVÁ CHARAKTERISTIKA T-ČLÁNKU 15
10
ϕ °
5
0
-5
-10
-15 10
100
1000
f (Hz)
10000
PŘENOS T-ČLÁNKU V GAUSOVĚ ROVINĚ 0,25
0,2
0,15
Im F(p)
0,1
0,05
0
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2 0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
Re F(p)
0,9
0,95
1
1,05
