UPI 1

Go to Siti’s file

Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI

1

Motivasi  Jumlah Riemann-Integral Tentu  Teorema Dasar Kalkulus  Sifat-sifat Integral Tentu  Anti Derivatif-Integral Tak tentu  Teknik Pengintegralan 


2

Luas Bidang Lengkung

P1 Empat sisi

P2

P3

Delapan sisi


3

Luas Bidang Lengkung

Empat sisi

…

P3

P2

P1

Delapan sisi

Enambelas sisi

…

P1 , P2 , P3 ,... Untuk

n

A(Lingkara n)

A( Pn )

atau

A(Lingkaran) lim A( Pn ) n

Deskripsi


4

George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)

Deskripsi


5

Masalah 1: (Purcell) Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva-y sedemikian sehingga kecepatannya pada saat t ≥ 0 diberikan oleh v(t ) 1 t 3 1 meter perdetik. 4 Seberapa jauh partikel tersebut bergerak antara t 0 dan t 3 ?

Pembahasan Benda bergerak dengan Kecepatan tetap k selama selang waktu ∆t.

Fakta: k

Jarak tempuh=k. ∆t. ∆t


6

1 3 t 4

y

Bagi selang [0,3] pada sumbu t menjadi n selang bagian dengan lebar ∆t=3/n.

1 Pandang poligon luar Sn.

Sn

Diperoleh 0=t0
Luas Sn=A(Sn) S1 S 2

∆t

t1 t2

=tn

Luas poligon Si, misalkan y=f(t)

f (t i ) t

1 3i 4 n

3

1

3 n


81 3 3 i 4 n 4n

7

A( S n )

f (t i )

t

f (t 2 )

t

...

f (t n )

t

n

f (t i )

t

i 1 n

81 3 i 4n 4

i 1

n

81 4n 4

n

i

3

i 1

81 4n 4

3 n i 1

n( n 1) 2

2 81 2 (n n 16

81 1 16

2 n

3 n 2

3 n n

2n n4 1 n2

129 16

Benda bergerak sejauh 8,06 meter antara t 0

dan

Selanjutnya diperoleh

Deskripsi

n


3

3

3

lim A( S n )

81 16

1)

8,06 t 3

8

Diberikan fungsi

y f (x)

pada selang [a,b] Jumlah Riemann (Rp)

(tidak perlu kontinu asalkan terbatas pada [a,b])

n

Rp

x0

i 1

x3

x1 a

f ( xi ) xi

x2

x4

xn

b y

x 0 x1 x 2

xi

Titik sampel pada selang [xi-1,xi] bx

a Fungsi f

terintegralkan pada [a,b], jhj

n

lim

| P|

0

f ( xi ) xi i 1

b

f ( x)dx

ada. Selanjutnya a

disebut integral tentu (integral Riemann) f fungsi dari a ke b.

b

f ( x)dx lim a

Deskripsi


n | P| 0

f ( x i ) xi i 1 9

Deskripsi


10

Pandang Kembali Masalah 1 y ' (t )

v(t )

1 3 t 4

y

1

F (t )

Substitusikan t 0 dan t 3 ke y f (t ) . Selanjutnya;

y

F (t )

1 4 t t 16 1 4 t t 3 16 1 4 t t 7 16 1 4 t t c 16

y ' F '(t ) 1 3 t 4 1 3 t 4 1 3 t 4 1 3 t 4

F (3) F (0) 1 4 1 4 3 3 c 0 16 16 81 129 3 16 16

1 1

0 c

1

Dalam hal ini, 1

3

v(t )dt

F (3)

F (0)

0


11

Jika F' x b a

f x dx Jika

f x ,

pada [a,b] makaCatatan:Jika F' x

Fb

Fa .

y' (t )

v(t )

pada [a,b], maka f kontinu pada [a,b]

maka

T

v(t )dt

T

atau

y (T )

f x ,

y (0)

v(t )dt

y (T )

y (0)

0

0

Fungsi f kontinu pada [a,b]. Luas daerah L yang dibatasi oleh kurva y f (x) , sumbu x, garis x=a dan x=b ditentukan oleh b

L=

a

f x dx

Fb

F disebut anti derivatif dari fungsi f dengan

Fa . . x F'

f x ,

Deskripsi Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI

12

Masalah 2 1

1 dx 2 1x

Periksa

Pembahasan

1

1 dx 2 x 1

1

x 2dx

1

1 x

1

1

x 2 1 1

2 1

1

1

1

1 1

2.

Jawaban di atas tidak benar karena hasilnya bernilai negatif, padahal fungsi yang diintegralkan adalah fungsi positif. Penjelas an

Deskripsi

Grafik fungsi 1/x2 seperti pada gambar tidak terbatas, karenanya tidak dapat dihitung menggunakan Teorema Dasar Kalkulus.


13

f terintegralkan pada [a,b]

SIFAT PENAMBAHAN SELANG c

b

f ( x)dx

c

f ( x)dx

a

a

f ( x)dx b

SIFAT LINEAR b

y

b

(i) kf ( x)dx k f ( x)dx, k konstanta a

a

b

(ii)

b

f ( x) g ( x) dx a

b

f ( x)dx a

g ( x)dx a

a b

x b

c

a

f ( x)dx a

S2

S1

f ( x)dx b


14

Diberikan fungsi-fungsi f ,g terintegralkan pada [a,b] SIFAT PERBANDINGAN

Jika

Jika 0 f ( x), maka

g ( x), maka

f ( x)

x [ a, b]

b

b

b

f ( x)dx a

0

g ( x)dx

a

a

y

SIFAT PENDIFERENSIALAN INTEGRAL TENTU Jika f fungsi kontinu pada selang [a, b], dan x [a, b] maka

f (x) g (x) x

a

f ( x)dx

x

b

Dx

f (t )dt

f ( x)

a

Deskripsi


15

Deskripsi


16

Fungsi F disebut anti derivatif dari fungsi f pada interval I, jika F’(x)=f(x), untuk setiap x di I.

CONTOH 1: Misalkan f(x)=x3. Jika F(x)=1/4x4

maka F’(x) = f(x) Bentuk paling umum dari anti derivatif f pada I adalah F(x) + C dengan C sembarang konstanta. Selanjutnya, jika f terintegralkan pada interval I dan F anti derivatif dari fungsi f maka intregral tak tentu fungsi f adalah

f ( x)dx F ( x) C Deskripsi


17

 METODE SUBSTITUSI  Substitusi langsung ke bentuk standar  Substitusi yang merasionalkan  Substitusi trigonometri  Substitusi dengan melengkapkan menjadi bentuk kuadrat

 METODE PENGINTEGRALAN PARSIAL Deskripsi


18

Teknik Pengintegralan

1. METODE SUBSTITUSI

Jika f dan g terdiferensialkan pada [a,b] dan u=g(x), , maka g (b )

b

f ( g ( x)) g ' ( x)dx

Andaikan g fungsi yang terdiferensialkan dan F anti derivatif dari f, jika u=g(x), maka f ( g ( x))g ' ( x)dx

f (u )du

f (u )du

a

g (a)

1. Pengintegralan Fungsi Aljabar n

x dx

1 n 1

xn

1

C, n Q , n 1

2. Pengintegralan Fungsi Trigonometri

F (u ) C F ( g ( x)) C

cos x dx

sin x C

sin x dx

cos x C

sec2 x dx tan x C

Catatan:

cos ec 2 x dx

Arahkan penggantian untuk memperoleh bentuk-bentuk standar

cot x C

tan x sec x dx sec x C cot x cos ec x dx


cos ec x C 19


1. METODE SUBSTITUSI Penggantian yang Merasionalkan Integran memuat bentuk Substitusi

n

u

ax

n

ax b

b

x 5 ( x 1) 2 dx

Contoh 2: 2

x5 x 1 dx

Tentukan

u5

1 u 2 .5u 4 du

5 u 11

u 6 du

Pembahasan Misalkan:

u

x 1

maka

u5

x 1

dan

5u 4 du

1 5

x x 1

12 5 x 1 5 12

5 12 u 12

5 x 1 7

7

2

5

dx

5 7 u 7 5

C

C

dx


20


1. METODE SUBSTITUSI

Contoh 2:

Substitusi Trigonometri

a 2 x 2 dx

Tentukan

Integran berbentuk Pembahasan

a 2 x 2 , a 2 x 2 , atau x 2 a 2 Fungsi integral

a2 a

2

x2 x

2

Substitusi dengan

x

a sin u

Misalkan x=a sin u

a2 x2

Hasil

a 2 cos2 u a 1

2

sin u

a

x

2

x

a sin u

a 2 (1 sin 2 u)

a cosu

dx

a cosu du

a cosu

x

a tan u

a 1

2

tan u

a sec u 2

a 2 a 2 sin 2 u

x

a secu

a sec2 u a tan u

a2

x 2 dx

a 2 cos2 u du 1

a cosu (a cosu du) a 2 cos2 u du

a2 a2 (1 cos 2u ) du (u 2 2 a2 (u sin u cos u ) C 2


1 sin 2u ) C 2

21


Nyatakan kembali ke dalam variabel x x=a sin u a

x

u

x a

sin u

u a2

cosu

arc sin

x a

x2 a

Jadi a

2

2

x dx

a2 x arc sin 2 a

x a2 2

x2

C


22


1. METODE SUBSTITUSI Melengkapkan menjadi Kuadrat Integran memuat bentuk

x

2

Bx C

2 Lengkapkan x Bx C menjadi bentuk kuadrat

Contoh 4 Tentukan

5

4x

2

x dx


Gunakan Substitusi Triginometri

23


2. METODE PENGINTEGRALAN PARSIAL u

Misalkan

f ( x) dan v

g ( x)

maka Pengintegralan Parsial Intergral Taktentu

maka

D x f ( x) g ( x)

f ( x) g ( x)

f ( x) g ' ( x)

f ( x) g ' ( x)dx

f ( x) g ' ( x)dx

f ' ( x) g ( x)

g ( x) f ' ( x)dx

f ( x) g ( x)

b

v du

u

b

a

f ' ( x)

h(v)

b a

v du a

Arti geometri Pengintegralan Parsial

b

udv

b

a

v(a) v(b) Deskripsi

b

u dv [uv]

a

u (a)

v du

Pengintegralan Parsial Intergral tentu

g ( x) f ' ( x)dx

Karena dv g ' ( x)dx dan du u (b)

u dv uv

b

udv

u (b)v(b)

a


u ( a )v ( a )

vdu a

24

UPI 1

Recommend Documents