diberikan dan lain sebagainya. Dengan membaca outline kuliah ini orang akan dapat melihat keleluasaan dan kedalaman isi kuliah itu, kcmampuan mahasiswa yang sudah mengikuti kuliah ini dan bagaimana bentuk pclaksanaannya. Untuk mengetahui kebenaran apakah proses pembclajaran berjalan dengan baik perlu ditelusuri lebih lanjut dalam bentuk penelitian perbaikan proses pembclajaran mata kuliah tersebut.
V. Topik
K A L K U L U S PEUBAH B A N Y A K : Pengertian, cara mengungkapkan dan cara menggambarkan
fungsi
skalar dengan dua peuhah dan lebih (multivariabel) Turunan parsial, limit dan kekontmiuan,
keterdefferensialan.
'I'urunan herarah, gradien, dan atiiran rantai. Bidang singgung dan hampiran linier Nilai ekstrim dan ekstrim bersyarat. Integral ganda dan integral ulang koordinat Cartesius dan koordinat kiituh Pengertian dan interprestasi Integral garis dan ketak bergantungan pada lintasan Teorema Green di bidang Integral permukaan dan teorema divergensi Gauss Pembahasan ini diawali dengan : Meninjau ulang aljabar vektor yang inendasar Fungsi vektor bernilai real dan persainaan kurva
9
Beberapa persainaan permukaan yang sederhana
Bendekalan penyajian Beberapa halyang akan diperhalikan dalam penyajian ini adalah : -
Pembahasan lebih ditekankan pada fungsi dengan dua atau tiga peubah Menentukan bahwa berbagai konsep dalam kalkulus multivariabel ini adalah sama atau merupakan perluasan konsep yang sama yang dipelajari dalam kalkulus jiingsi dengan satu peubah. Berbagai konsep ini senantiasa diberikan interprestasi dalam situasi
nyata,
baik
sesudah,
maupun
dalam
mengawali
pembaliasan dan disana-sini dikaitkan dengan penerapannya
1. Pendahuluan Aljabar vektor : Pembahasan dilakukan pada vektor sebagai garis berarah pada bidang dan dalam ruang (secara geometri), dan sebagian besaran berkompK)nen (secara aljabar). Pembahasan diutamakan mengenai jumiah, kombinasi linier, produk sekalar, j^erkalian silang. Persamaan vektor untuk garis dan bidang datar. Fungsi vektor bernilai real, dipandang sebagai kurva lintasan gerak sebuah titik pada bidang dan dalam ruang, dan sebagai pemetaan suaiu selang keruang berdemensi dua atau tiga. Dibahas pengertian kekontmiuan, turunan (vektor singgung dan vektor normal), dan integral fungsi sepanjang kurva (integral garis), parameter panjang busur, pemilihan parameter untuk mengubah arah kurva.
10
Persainaan permukaan dan cara mendapatkan persamaan |-)crmukaan yang sederhana, seperti bidang, tabung, bola, kerucul, paraboloida putar, paraboloida clips, paraboloida hiperbol.
2. Fungsi real dengan dua dan tiga peubah Pengertian fungsi real dengan beberapa peubah ini diturunkan dari definisi fungsi dengan daerah definisi suatu daerah pada bidang atau dalam ruang, dan daerah nilainya dalam sistem bilangan real. Ingatkan definisi fungsi real dengan satu peubah juga didefinisikan seperti itu juga. Diperkenalkan pula pengertian fungsi dengan beberapa peubah sebagai fungsi dengan peubah vektor. Jika mahasiswa sudah mengenai aljabar liniar, maka baiknya integral fungsi dengan beberapa peub ah ini ditangani dengan memandangnya sebagai fungsi dengan peubah vektor. Grafik fungsi dengan dua peuhah digambarkan sebagai permukaan dalam ruang atau sebagai sistem kurva yang disebut kurva ketinggian, sedangkan fungsi dengan tiga peubah atau lebih tidak dapat digambarkan secara geometri. Ditunjukkan contoh-contoh situasi nyata yang digambarkan sebagai fungsi dengan dua atau tiga peubah. Turunan parsial suatu fungsi didefinisikan sebagai turunan fungsi tersebut, bila salah satu peubahnya
dipandang konstan, dan diberikan interprestasinya.
Pengertian Until dan kekoniiniuan ditunjukkan sebagai pengertian yang sama pada fungsi dengan satu peubah dengan penyesuaian ditunjukkan kesamaan interprestasinya.
beberapa pengertian, dan
Pengertian keterdefferensialan tidak didefinisikan sebagai adanya turunan parsial, melainkan sebagai perluasan bentuk defenisi lain keterdefferensialan fungsi dengan satu peubah. Dari pengertian keterdefferensialan ini dikembangkan pengertian turunan berarah, dan dari sini didefinisikan pengertian turunan berarah, serta ditunjukkan arti geometrinya. Dari sini pula dikembangkan pengertian gradien dan aturan rantai. Diperkenalkan pula matriks Jacob! dalam aturan rantai. Dengan membandingkan persamaan bidang singgung
suatu
permukaan di suatu titik dengan keterdefferensialan fungsi yang dinyatakan permukaan itu, dapat disimpulkan bahwa bidang singgung itu merupakan hampiran linear yang terbaik bagi permukaan tersebut disekitar titik itu. Titik ekstrim suatu permukaan adalah titik tertinggi permukaan tersebut. Karena itu arah manapun ia merupakan titik tertinggi, dan karena itu turunan kearaah tersebut nol. Dari sini diturunkan syarat perlu bagi sebuah iitik stasioner dengan demikian diturunkan pula syarat nilal ekstrim dan jenls ekstrlnmya itu. Pembahasan ini dilanjutkan dengan pembahasan dan pengertian ekstrim bersyarat. Pembahasan integral ganda dapat dimulai khusus untuk daerah yang bukan siku empat. Pendetinisian ditunjukkan sebagai sama dengan proses pendetlnisian fungsi dengan satu peubah. Pengertian ini segera ditunjukkan penerapannya dalam berbagai masalah. Perbedaan untuk mendelinisikan integral dalam koordinat cartesius dan integral dalam koordinat kutup terleteak pada pemilihan bentuk partisis daerah tersebut. Integral ganda dua ini dilanjutkan ke integral ganda tiga atau integral volume.yang bukan hanya untuk koordinat cartesius akan tetapi juga integral dalam koordinat tabimg dan koordinat bola.
12
Integral pembukaan dibatasi pada integral medan skalar pada surat permukaan yang
dihitung
dengan
menggunakan
integral
ganda
dua.
Dijelaskan
pendetlnisiannya sebagaimana perluasan pendetinisian integral ganda dua, dan ditunjukkan bagaimana kaitan integral permukaan ini dengan integral luas
3. Medan Vektor Medan vekior dipandang sebagai fungsi bemilai vektor dengan peubah vektor, jadi fungsi dengan daerah definisi dan daerah nilainya merupakan himpunan dalam ruang vektor, yang tidak perlu berdemensi sama. Diingatkan bahwa definisi bernilai vektor dengan peubah real merupakan hai yang khusus sekali. Ditunjukkan pula apa fenomena nyata yang diungkapkan sebagai medan vektor ini. Dibahas integral medan vektor sepanjang suatu kurva dan ditnjukkan kasus dalam situasi nyata. Dibahas ketakbergantungan integral garis pada Imtasan, akan tetapi hanya pada ujung-ujung lintasan pengintegralan saja. Teorema Green pada bidang dituliskan dalam bentuk integral vektor. Dibahas pula integral medan vektor pada suatu permukaan, kaitannya dengan integral volume {teorema divergensi
Gauss),
dan ketcrkaitan integral
pada suatu
permukaan dengan integral sepanjang kurva batasnya (teorema Stakes}.
Catatan : Contoh-contoh sederhana perlu diberikan langsung setelah membawa suatu konsep atau pengertian, untuk mendapatkan kejelasan mengenai pengertian tersebut. Adalah suatu keharusan contoh itu tidak rumit, sehingga mahasiswa
