Únosnost kompozitních konstrukcí

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta strojní Ústav letadlové techniky

Únosnost kompozitních konstrukcí

Optimalizační výpočet kompozitních táhel proměnného průřezu Technická zpráva Pořadové číslo: SOF/CLKV/13/08

Autoři: Ivan Jeřábek

Vedoucí úkolu: Ivan Jeřábek

Vedoucí Ústavu letadlové techniky Doc. Ing. Luboš Janko, CSc.

Vydáno: 20.9. 2008

Stupeň utajení:-

© ČVUT – Praha - 2008

1 Obsah 1 2 3

Obsah ..................................................................................................................................1 Úvod ...................................................................................................................................2 Výpočet táhel proměnného průřezu....................................................................................3 3.1 Rayleighova energetická metoda pro izotropní materiály..........................................3 3.1.1 Deformační energie od ohybu ............................................................................3 3.1.2 Práce vnější síly ..................................................................................................4 3.1.3 Kritická síla.........................................................................................................4 3.1.4 Volba průhybové křivky.....................................................................................4 3.2 Rozšíření Rayleighovi metoda na kompozitní materiály ...........................................4 4 Numerický výpočet optimalizační úlohy............................................................................5 4.1 Definice proměnného průměru ...................................................................................5 4.1.1 Výpočet koeficientů kubické paraboly ...............................................................6 4.1.1.1 Okrajové podmínky paraboly v místě koncovky............................................6 4.1.1.2 Okrajové podmínky v polovině táhla .............................................................6 4.1.1.3 Odvození výpočtu koeficientů........................................................................6 4.2 Kvadratický moment setrvačnosti vrstvy ...................................................................7 5 Zadání vstupních dat...........................................................................................................8 6 Numerický výpočet...........................................................................................................10 Literatura ..................................................................................................................................12

1

2 Úvod Optimalizační výpočet kompozitních táhel proměnného průřezu byl řešen jako dílčí úkol D4 Centra leteckého a kosmického a výzkumu. Pro optimalizační výpočet kompozitních táhel proměnného průřezu byla použita Rayleighova energetická metoda. Při výpočtu se vycházelo z následujících předpokladů: • uvažuje se druhý případ vzpěru • uvažuje se táhlo kruhového průřezu s konstantním nebo s plynule se měnícím kruhovým průřezem • celková deformační energie táhla vychýleného do indiferentní polohy je rovna práci vnějších sil • celková deformační energie táhla je rovna součtu deformačních energií jednotlivých vrstev • průhybová čára všech vrstev kompozitního táhla je stejná- nedochází k delaminaci • řešená úloha je symetrická podle roviny procházející polovinou délky táhla, která je kolmá ke spojnici koncových bodů. • Při výpočtu se neuvažuje vliv lokálního vyztužení v místě vlepení koncovek Uvažovaní výše uvedených podmínek pro výpočet kompozitních táhel umožňuje rozdělit optimalizační úlohu výpočtu kompozitních táhel na stanovení kritické síly jednotlivých vrstev, která je řešena analytickými metodami pro izotropní materiály. Výsledná kritická síla je pak sumou dílčích kritických sil jednotlivých vrstev kompozitu. Pro vyjádření závislost změny vnitřního průměru táhla proměnného průřezu na jeho poloze byly zvoleny dvě kubické paraboly. Paraboly jsou symetrické podle roviny procházející polovinou délky táhla a respektuje okrajové podmínky v místě vlepení koncovek. Při výpočtu minimální hmotnosti táhla se optimalizuje průměr táhla pro l/2 a počet vrstev navržené skladby (tloušťka stěny). Po ukončení výpočtu program vypíše všechny varianty, které vyhovující zadání nebo pouze pět variant s nejmenší hmotností. Program pro výpočet táhel C-rod-r je integrovány do internetového rozhraní volně přístupného informačního portálu www.kompozity.info v kapitole kompozity.

2

3 Výpočet táhel proměnného průřezu Pro optimalizační výpočet kompozitních proměnného průřezu byla zvolena Rayleighova energetická metoda pro druhý případ vzpěru [1]. Pro výpočet táhla energetickou metodou byly uvažovány následující podmínky: • druhý případ vzpěru • prut (táhlo) je kruhového průřezu s plynule se měnícím kruhovým průřezem • průhybová čára všech vrstev kompozitního táhla je stejná- nedochází k delaminaci • deformace táhla při ztrátě stability je malá • modul pružnosti laminy je konstantní pro uvažovaný rozsah deformací (pro nelineární chování kompozitních materiálů předepisuje norma ASTM D3039/D 3039M-00 výpočet sečného modulu pružnosti [2]). • při výpočtu kritické síly táhla se neuvažuje vliv lokálního vyztužení v místě vlepení koncovek • celková deformační energie táhla vychýleného do indiferentní polohy je rovna práci vnějších sil • celková deformační energie táhla je rovna součtu deformačních energií jednotlivých vrstev. • řešená úloha je symetrická podle roviny procházející polovinou délky táhla, která je kolmá ke spojnici koncových bodů.

3.1

Rayleighova energetická metoda pro izotropní materiály

Podstatou této metody je to, že v rovnováze při níž je zatížení prutu rovno kritickému zatížení, je při přechodu z přímého do mírně prohnutého stavu změna deformační energie prutu ∆U rovna přírůstku práce vnějších sil ∆W. (1) Podmínkou indiferentní rovnováhy bude tedy ∆U = ∆W

3.1.1 Deformační energie od ohybu Vychýlíme-li tento prut z přímé polohy, vzroste v důsledku přídavných ohybových napětí deformační energie o ∆U a síla N vykoná současně práci ∆W=N.∆l, kde ∆l je přiblížení konců vzpěry v důsledku deformace l 1 M o2 ( x) ⋅ dx 2 ∫0 E.J Po dosazení za ohybový moment Mo(x)=N.v(x) dostaneme

∆U =

(2)

kde E J

modul pružnosti laminy kvadratický moment laminy Obr. 1 l

2

N 2 v( x) ∆U = ⋅ dx (3) 2 ∫0 E.J Ohybový moment Mo(x) je možné vyjádřit z diferenciální rovnice průhybové čáry

3

E ⋅ J ⋅ v '' ( x) = − M o ( x) z čehož ( E ⋅ J ⋅ v '' ( x)) 2 = M o2 ( x) A po dosazení do (2) l 1 ∆U = ∫ (v '' ( x)) 2 ⋅ E ⋅ J ⋅ dx 20

(4) (5)

(6)

3.1.2 Práce vnější síly Zanedbáme-li vliv tlakových napětí na deformaci prutu, zůstává i po prohnutí jeho délka l stálá. Pro malé průhyby, tedy pro v’<<1 , bude  1  (7) ds = dx ⋅ 1 + (v ' ) 2   2  A hledané přiblížení kloubů l l   1 l   v' 2  2 (8) ∆l = ∫ (ds − dx) = ∫ dx ⋅ 1 +    − dx  = ⋅ ∫ v ' ⋅ dx  2  2 0  o  0     Práce vnější síly N, která během posunu ∆l nemění svou velikost bude l N ∆W = N ⋅ ∆l = ∫ (v ' ) 2 ⋅ dx (9) 2 0

( )

3.1.3 Kritická síla Po dosazení výrazů (3) a (9) do vztahu (1) dostáváme pro kritickou sílu vztah l

∫ (v ( x)) '

N krit =

2

⋅ dx

0 l

(10) (v '' ( x)) 2 ⋅ dx ∫0 E.J Podmínce minima deformační energie, která je podstatou energetické metody, vyhovuje samozřejmě pouze přesná vlastní funkce v(x), která vždy, tedy i u Rayleighovy metody, dává přesné výsledky. Každá volená funkce v(x) dává při výpočtu energetickou metodou vyšší hodnoty kritického zatížení, protože k vytvoření jiné průhybové křivky, než je skutečná, je zapotřebí vynaložit větší množství energie.

3.1.4 Volba průhybové křivky Pro výpočet kritické síly kompozitních táhel byla zvolena funkce průhybové křivky ve tvaru π ⋅x v( x) = B ⋅ sin (11) l

3.2

Rozšíření Rayleighovi metoda na kompozitní materiály

Při rozšíření Rayleighovi energetické metody na kompozitní materiály se vychází z předpokladu, že jednotlivé vrstvy kruhového kompozitního táhla mají identickou průhybovou čáru (nedochází k delaminaci). Celková deformační energie táhla je pak rovna součtu deformačních energií jednotlivých vrstev.

4

n

n

i =1

i =1

∑ ∆U i = ∑

l

Ni 2 v( x) 2 ⋅ dx 2 ⋅ Ei ∫0 J i

(12)

kde síla přenášená i-tou laminou modul pružnosti i-té laminy Kvadratický moment setrvačnosti

Ni Ei Ji

a obdobně práce vnějších sil n

n

n

l

n 1 ' 2 ( ) ∆ W = ∆ N ⋅∆ l = ∆ l ⋅ ∆ N ⋅ = ⋅ v ⋅ dx ⋅ Ni ∑ ∑ ∑ ∑ i i i 2 ∫0 i =1 i =1 i =1 i =1

(13)

Po dosazení výrazů (12) a (13) do vztahu (1) dostáváme vztah pro jednotlivé kritické síly v jednotlivých vrstvách. l

∫ (v ( x)) '

N ikrit =

2

⋅ dx

0 l

(14)

(v '' ( x))2 ⋅ dx ∫0 Ei .J i

Sumarizaci dílčích sil přenášenými jednotlivými vrstvami dostaneme celkovou kritickou sílu. l

∫ (v ( x)) '

N krit = ∑

2

⋅ dx

0 l

(15)

(v '' ( x)) 2 ⋅ dx ∫0 Ei .J i

4 Numerický výpočet optimalizační úlohy Při návrhu numerického výpočtu optimalizační úlohy kompozitních táhel se vycházelo z předpokladu řešení symetrické úlohy. Tzn. zatížené táhlo se deformuje v první i druhé polovině stejně a řešená úloha je symetrická k rovině kolmé k ose nezatíženého táhla a prochází polovinou délky táhla. Uvedený předpoklad umožňuje podstatně zefektivnit numerický výpočet (řeší se pouze polovina úlohy) a použít pro definici průběhu proměnného průřezu kubickou parabolu.

4.1

Definice proměnného průměru

Pro volbu funkce průběhu proměnného průřezu se vycházelo z následujících požadavků • funkce musí být po hladká po celé délce táhla • musí respektovat okrajové podmínky (průměr koncovek a koncový úhel koncovek ) • musí mít jednoduchý analytický tvar, vhodný pro numerické zpracování Pro splnění výše uvedených podmínek byla zvolena jako funkce pro průběh proměnného průřezu kubická parabola ve tvaru d ( x) = a ⋅ x 3 + b ⋅ x 2 + c ⋅ x + d (16)

5

4.1.1 Výpočet koeficientů kubické paraboly Jak již bylo řečeno tvar táhla je navržen ve tvaru kubické paraboly. Vzhledem k předpokladu řešení symetrické úlohy je definice křivky omezena pouze na úsek 0-l/2. Dále je požadováno, aby vnitřní průměr konce táhla měl průměr shodný s vnějším průměrem koncovky dk a jeho sklon byl stejný jako vrcholový úhel táhla tak, aby bylo možné výpočet aplikovat i na zkoušená táhla s kuželovými koncovkami. Při výpočtu bude optimalizován průběh vnitřního průměru táhla pro x=(0-l/2). Na základě uvedených předpokladů lze definovat okrajové podmínky pro výpočet konstant paraboly.

4.1.1.1 Okrajové podmínky paraboly v místě koncovky x=0 poloha vypočítávaného bodu na křivce dk vnitřní průměr koncovky φk úhel sklonu koncovky φk=0o pro válcovou koncovku φk≠0o pro kuželovou koncovku 4.1.1.2 Okrajové podmínky v polovině táhla x=l/2 poloha vypočítávaného bodu na křivce dl/2 vnitřní průměr táhla pro x=l/2 φl/2 úhel sklonu pro x=l/2. Z podmínky symetrie plyne φl/2=0o 4.1.1.3 Odvození výpočtu koeficientů Pro výpočet koeficientů paraboly je nutné provést derivaci navržené funkce, aby bylo možné zohlednit sklon křivky pro x=0 (okraj táhla) a x=l/2 (polovina táhla), kde x je poloha vypočítávaného bodu na křivce x ∈ <0,l/2>. Derivací funkce (16) získáme d ′( x) = 3 ⋅ a ⋅ x 2 + 2 ⋅ b ⋅ x + c

(17)

po dosazení okrajových podmínek z 4.1.1.1 a z 4.1.1.2 dostaneme pro okraj táhla x=0: d k = a ⋅ 03 + b ⋅ 0 2 + c ⋅ 0 + d

(18)

φk = 3 ⋅ a ⋅ 0 + 2 ⋅ b ⋅ 0 + c

(19)

2

odtud po úpravě (20) (21)

d=d k φk=c Dále dosadíme vypočtené koeficienty do rovnice dostaneme pro l/2 3

dl / 2

2

l l l = a ⋅   + b ⋅   + φk ⋅   + d k 2 2 2

(22)

a 2

l l 0 = 3 ⋅ a ⋅   + 2 ⋅ b ⋅   + φk 2 2 odkud po úpravě (23) dostaneme

(23)

6

3  −  ⋅ a ⋅ l 2 + φk  4  b=  l a po dosazení do (22) 3  −  ⋅ a ⋅ l 2 + φk  3 2 4 l l l   dl / 2 = a ⋅   + ⋅   + φk ⋅   + d k l 2 2 2 a následné úpravě dostaneme: 1   ⋅ φk ⋅ l − d l / 2 + d k  4  a = 16  3 l

4.2

(24)

(25)

Kvadratický moment setrvačnosti vrstvy

Jak bylo již zmíněno výše je celková kritická síla rovna součtu kritických sil jednotlivých vrstev. Pro výpočet kritické síly jednotlivých vrstev je nutné vyjádřit kvadratický moment setrvačnosti jako funkci nezávisle proměnných tloušťky a vnitřního průměru, který je pak při numerickém výpočtu dosazen do (15).

Ji =

4 π ⋅ ( d i ( x ) + 2 ⋅ ti ) 

64

4  d i ( x)   ⋅ 1 −      di ( x) + 2 ⋅ ti  

(26)

7

5 Zadání vstupních dat Vstupní data se zadávají prostřednictvím internetového formuláře viz. Obr. 2. Pro výpočet je nutné zadat požadovanou geometrii táhla a přenášenou sílu viz. Tab. 1 dále pak materiálové charakteristiky a skladbu kompozitu Tab. 2 . Označení Název proměnné proměnné Typ táhla

Jednotka Popis

-

Průřez táhla

-

F

Přenášená síla

N

L

Délka táhla

mm

Dk

Průměr koncovky

mm

φk Dmin

Úhel koncovky stupně Minimální vnitřní mm průměr

Dmax

Maximální vnější mm průměr

∆t

Krok výpočtu

mm

tmin

Minimální tloušťka

mm

-

Určuje materiál táhla: ocelové, duralové nebo kompozitní. V internetovém formuláři jsou předdefinovány materiálové charakteristiky pro kovy. Uživatel má možnost modifikovat předdefinované hodnoty. Určuje jestli se bude jedna o výpočet táhla konstantního nebo proměnného průřezu. Na základě specifikace průběhu průřezu je spuštěn patřičný program pro optimalizační výpočet táhla. Početní zatížení táhla. Program neuvažuje žádné součinitele bezpečnosti. Délkou táhla se rozumí vzdálenost os závěsů, kde je zaváděná síla. Vnější průměr koncovky=vnitřní průměr táhla na okraji Úhle koncovky = koncový úhel táhla Požadovaný minimální vnitřní průměr táhla. Jedná se o okrajovou podmínku optimalizačního výpočtu. Dmin=0 znamená, že táhlo muže být i plného (tyčového) materiálu Požadovaný maximální vnější průměr táhla. Jedná se o okrajovou podmínku optimalizačního výpočtu. Dmax=0 je většinou dáno konstrukčním omezením. Krok výpočtu je parametr pro výpočet kovových táhel a určuje změnu tloušťky stěny táhla. U kompozitních táhel výpočet tloušťky stěny probíhá pro jednotlivých vrstvách (nelze vyrobit 1,5 vrstvy tkaniny). Minimální požadovaná tloušťka stěny je okrajová podmínka pro optimalizační výpočet. Z technologický , pevnostních a jiných důvodů může být požadovaná minimální tloušťka stěny. Pokud tento parametr není relevantní zadá se tmin = 0.

Tab. 1 Parametry pro výpočet geometrie táhla

8

Název Torayca Interglass Tab. 2

Modul pružnosti [MPa] 9.4e4 2e4

Pevnost [MPa] v tahu v tlaku 1100 300 300 300

Hustota [kg/m3] 1.9 2.1

Tloušťka vrstvy [mm] 0.2 0.16

Maximální počet vrstev 4 10

Materiálové charakteristiky jednotlivých lamin ( jedna lamina muže mít několik vrstev tkaniny) a skladba kompozitu

Obr. 2 Formulář pro zadní vstupních dat

9

6 Numerický výpočet Pro výpočet optimální geometrie táhla byl navržen algoritmus, variující průběh průměru táhla, tloušťku stěny a počet lamin kompozitu tak, aby hmotnost táhla byla minimální. Při výpočtu program postupně mění tloušťku stěny podle zadané skladby (přidává nebo ubírá jednotlivé vrstvy kompozitu). Pokud je tloušťka stěny definovaného kompozitu menší, něž tloušťka stěny vzniklá rozdílem minimálního vnitřního a maximálního vnějšího průměru, je výpočet omezen pouze na tloušťku stěny definovanou kompozitem. Ve výpisu navržené geometrie je uvedena poslední použitá lamina a počet jejich vrstev. Jinými slovy program použil všechny laminy v pořadí definovaném uživatel a u poslední z nich (název uvedený ve výpisu) použil jen několik prvních vrstev. Celková tloušťka kompozitu je pak rovna součtu n použitých lamin a z n+1 laminy, jejíž název je vypsán, je použito pouze m vrstev. U kovových táhel probíhá výpočet v celém rozsahu průměrů a tloušťka stěny se mění s krokem ∆t. Vstupní data jsou zadávána do formuláře na informačním portálu www.kompozity.info v sekci kompozity. Po odeslání vstupních parametrů spustí server program pro výpočet kompozitních táhel „C-rod-r“. Doba výpočtu je závislá na rozsahu úlohy a zatížení serveru, ale pro většinu běžných technických aplikaci se pohybuje do jedné minuty. Zadané i vypočtené hodnoty pěti nejlehčích variant jsou opět zobrazeny ve formě internetové stránky včetně odkazů na souřadnice meridiánů průřezu táhla (viz. Obr. 3). Souřadnice bodu meridiánu jsou uloženy v textovém souboru oddělené tabulátorem. Z-tová souřadnice je nulová, tak aby bylo možné souřadnice přímo načíst do CAD.

10

Obr. 3 Ukázka výpisu výpočtu táhle na serveru www.kompozity.info

11

Literatura [1] [2]

E. Hájek, P. Reif, F. Valenta, Pružnost a pevnost I, SNTL/ALFA 1988 Standard Test Method for Tensile Properties of Polymer Matrix Composite Materials D3039/D 3039M - 00, American Society for Testing and Materials, 2000

12