ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta strojní Ústav letadlové techniky
Únosnost kompozitních konstrukcí
Optimalizační výpočet kompozitních táhel konstantního průřezu Technická zpráva Pořadové číslo: SOF/CLKV/12/08
Autoři: Ivan Jeřábek
Vedoucí úkolu: Ivan Jeřábek
Vedoucí Ústavu letadlové techniky Doc. Ing. Luboš Janko, CSc.
Vydáno: 18.9. 2008
Stupeň utajení:-
© ČVUT – Praha - 2008
1 Obsah 1 2 3
Obsah .............................................................................................................................. 1 Úvod ............................................................................................................................... 2 Výpočet prutů konstantního průřezu .............................................................................. 3 3.1 Kvadratický moment setrvačnosti vrstvy ............................................................... 4 4 Zadání vstupních dat....................................................................................................... 5 5 Numerický výpočet......................................................................................................... 7 Literatura ................................................................................................................................ 9
1
2 Úvod Optimalizační výpočet kompozitních táhel konstantního průřezu byl řešen jako dílčí úkol D4 Centra leteckého a kosmického a výzkumu. Pro optimalizační výpočet kompozitních táhel byla zvolena Eulerova metoda pro druhý případ vzpěru. Při výpočtu se vycházelo z následujících předpokladů: • uvažuje se druhý případ vzpěru • uvažuje se táhlo kruhového průřezu s konstantním kruhovým průřezem • celková síla táhla vychýleného do indiferentní polohy je rovna součtu sil působících na jednotlivé vrstvy • průhybová čára všech vrstev kompozitního táhla je stejná- nedochází k delaminaci • Při výpočtu se neuvažuje vliv lokálního vyztužení v místě vlepení koncovek Uvažovaní výše uvedených podmínek pro výpočet kompozitních táhel umožňuje rozdělit optimalizační úlohu výpočtu kompozitních táhel na stanovení kritické síly jednotlivých vrstev kompozitu. Pro každou vrstvu je stanovena kritická síla pomocí analytické metody pro izotropní materiály. Výsledná kritická síla je pak sumou dílčích kritických sil jednotlivých vrstev kompozitu. Při výpočtu minimální hmotnosti táhla se optimalizuje průměr táhla a počet vrstev navržené skladby (tloušťka stěny). Po ukončení výpočtu program vypíše všechny varianty, které vyhovující zadání nebo pouze pět variant s nejmenší hmotností. Program pro výpočet kompozitních táhel konstantního průřezu C-rod-e je integrovány do internetového rozhraní volně přístupného informačního portálu www.kompozity.info v kapitole kompozity.
2
3 Výpočet prutů konstantního průřezu Pro stanovení kritické síly kompozitních prutů byl uvažován: • druhý případ vzpěru • prut (táhlo) je konstantního kruhového průřezu • průhybová čára všech vrstev kompozitního táhla je stejná- nedochází k delaminaci • deformace táhla při ztrátě stability je malá • modul pružnosti laminy je konstantní pro uvažovaný rozsah deformací (pro nelineární chování kompozitních materiálů předepisuje norma ASTM D3039/D 3039M-00 výpočet sečného modulu pružnosti [2]). • při výpočtu kritické síly se neuvažuje vliv lokálního vyztužení v místě vlepení koncovek Předpokládejme, že síla N (Obr. 1) , odpovídající indiferentnímu stavu rovnováhy, je schopna udržet prut po Obr. 1 příčném vybočení v ohnutém stavu s výchylkami v(x), které jsou malé vůči délce prutu. V obecném průřezu bude deformovaný prut namáhán ohybovým momentem Mo ( x) = N ⋅ v ( x) [1] Vzhledem k předpokládaným malým výchylkám v(x) platí pro průhybovou čáru M ( x) N ⋅ v ( x) v′′ = − o [2] =− E⋅J E⋅J kde E modul pružnosti materiálu J kvadratický moment Řešením diferenciální rovnice je průhybová čára prutu ve tvaru π ⋅x v( x) = B ⋅ sin( ) l kde B maximální průhyb prutu v indiferentní poloze
[3]
Pro pruty z kompozitů se předpokládá, že průhybová čára jednotlivých vrstev uvažovaného prutu je stejná (nedochází k delaminaci ). Pro dosažení maximální kritické síly přenášené kompozitním prutem je nutné, aby i jednotlivé vrstvy - laminy kompozitního prutu přenášely právě kritickou sílu (při nižším zatížením vrstvy než je její kritická síla, klesá únosnost prutu jako celku, při zatížením silou vyšší dojde k vybočení a ztrátě stability). Kritická síla jednotlivých lamin je pro identickou průhybovou čáru kompozitního prutu je funkcí pouze modulu pružnosti a kvadratického momentu setrvačnosti dané laminy. Uvedená skutečnost umožňuje stanovit kritickou sílu kompozitního prutu jako součet kritických sil jednotlivých lamin. Dosazením [3] do [2] dostaneme pro kompozitní prut konstantního průřezu
3
n
N kr = ∑
π 2 ⋅ Ei ⋅ J i
[4]
l2
i =1
kde i n Ei Ji l
3.1
číslo laminy, pro kterou je vypočítávána kritická síla celkový počet lamin modul pružnosti laminy kvadratický moment laminy délka táhla
Kvadratický moment setrvačnosti vrstvy
Jak bylo již zmíněno výše je celková kritická síla rovna součtu kritických sil jednotlivých vrstev. Pro výpočet kritické síly jednotlivých vrstev je nutné vyjádřit kvadratický moment setrvačnosti jako funkci nezávisle proměnných tloušťky a vnitřního průměru, který je pak při numerickém výpočtu dosazen do [4].
J=
4 π ⋅(d + 2 ⋅t )
64
4 d ⋅ 1 − d + 2 ⋅ t
[5]
4
4 Zadání vstupních dat Vstupní data se zadávají prostřednictvím internetového formuláře viz. Obr. 2. Pro výpočet je nutné zadat požadovanou geometrii táhla a přenášenou sílu viz. Tab. 1 dále pak materiálové charakteristiky a skladbu kompozitu Tab. 2 . Označení Název proměnné proměnné Typ táhla
Jednotka Popis
-
Průřez táhla
-
F
Přenášená síla
N
L
Délka táhla
mm
Dmin
Minimální vnitřní mm průměr
Dmax
Maximální vnější mm průměr
∆t
Krok výpočtu
mm
tmin
Minimální tloušťka
mm
-
Určuje materiál táhla: ocelové, duralové nebo kompozitní. V internetovém formuláři jsou předdefinovány materiálové charakteristiky pro kovy. Uživatel má možnost modifikovat předdefinované hodnoty. Určuje jestli se bude jedna o výpočet táhla konstantního nebo proměnného průřezu. Na základě specifikace průběhu průřezu je spuštěn patřičný program pro optimalizační výpočet táhla. Početní zatížení táhla. Program neuvažuje žádné součinitele bezpečnosti. Délkou táhla se rozumí vzdálenost os závěsů, kde je zaváděná síla. Požadovaný minimální vnitřní průměr táhla. Jedná se o okrajovou podmínku optimalizačního výpočtu. Dmin=0 znamená, že táhlo muže být i plného (tyčového) materiálu Požadovaný maximální vnější průměr táhla. Jedná se o okrajovou podmínku optimalizačního výpočtu. Dmax=0 je většinou dáno konstrukčním omezením. Krok výpočtu je parametr pro výpočet kovových táhel a určuje změnu tloušťky stěny táhla. U kompozitních táhel výpočet tloušťky stěny probíhá pro jednotlivých vrstvách (nelze vyrobit 1,5 vrstvy tkaniny). Minimální požadovaná tloušťka stěny je okrajová podmínka pro optimalizační výpočet. Z technologický , pevnostních a jiných důvodů může být požadovaná minimální tloušťka stěny. Pokud tento parametr není relevantní zadá se tmin = 0.
Tab. 1 Parametry pro výpočet geometrie táhla
5
Název Torayca Interglass Tab. 2
Modul pružnosti [MPa] 9.4e4 2e4
Pevnost [MPa] v tahu v tlaku 1100 300 300 300
Hustota [kg/m3] 1.9 2.1
Tloušťka vrstvy [mm] 0.2 0.16
Maximální počet vrstev 4 10
Materiálové charakteristiky jednotlivých lamin ( jedna lamina muže mít několik vrstev tkaniny) a skladba kompozitu
Obr. 2 Formulář pro zadní vstupních dat
6
5 Numerický výpočet Pro výpočet optimální geometrie táhla byl navržen algoritmus, variující průměr táhla, tloušťku stěny ( počet lamin kompozitu ) tak, aby hmotnost táhla byla minimální. Při výpočtu program postupně mění tloušťku stěny podle zadané skladby (přidává nebo ubírá jednotlivé vrstvy kompozitu). Pokud je tloušťka stěny definovaného kompozitu menší, něž tloušťka stěny vzniklá rozdílem minimálního vnitřního a maximálního vnějšího průměru, je výpočet omezen pouze na tloušťku stěny definovanou kompozitem. Ve výpisu navržené geometrie je uvedena poslední použitá lamina a počet jejich vrstev. Jinými slovy program použil všechny laminy v pořadí definovaném uživatel a u poslední z nich (název uvedený ve výpisu) použil jen několik prvních vrstev. Celková tloušťka kompozitu je pak rovna součtu n použitých lamin a z n+1 laminy, jejíž název je vypsán, j použito pouze m vrstev. U kovových táhel probíhá výpočet v celém rozsahu průměrů a tloušťka stěny se mění s krokem ∆t. Vstupní data jsou zadávána do formuláře na informačním portálu www.kompozity.info v sekci kompozity. Po odeslání vstupních parametrů spustí server program pro výpočet kompozitních táhel „C-rod-e“. Doba výpočtu je závislá na rozsahu úlohy a zatížení serveru, ale pro většinu běžných technických aplikaci se pohybuje do jedné minuty. Zadané i vypočtené hodnoty pěti nejlehčích variant jsou opět zobrazeny ve formě internetové stránky (viz. Obr. 3).
7
Obr. 3 Ukázka výpisu výpočtu táhle na serveru www.kompozity.info
8
Literatura [1] [2]
E. Hájek, P. Reif, F. Valenta, Pružnost a pevnost I, SNTL/ALFA 1988 Standard Test Method for Tensile Properties of Polymer Matrix Composite Materials D3039/D 3039M - 00, American Society for Testing and Materials, 2000
9
