Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY
ZVOLENÝ POLYNOM
2001/2002
CIFRIK
Zadání: Zvol polynom f (x ) stupně 6 takový, aby
a 6 , a 0 , f (1) ∈ {8,27,18,12,30,20,36,40,28}.
Urči všechny kořeny s násobností. Vypracování: Zadání vyhovuje pro a 0 = 28, a n = 18, f (1) = 40 polynom
f (x ) = 28 x 6 + 88 x 5 + 51x 4 − 77 x 3 − 77 x 2 + 9 x + 18 .
Nechť c ∈ Z je kořen polynomu f (x ) = a0 x n + K + a n −1 x + a n . Pak c a n . Určím celočíselné kořeny polynomu f . Protože a n = 18 , mohou jimi být pouze prvky z množiny {± 1,±2,±3,±6,±9,±18}. Protože f (1) = 40 (viz dodatek), není 1 kořenem polynomu f . Dále použiji Hornerovo schéma (příp. opakované Hornerovo schéma k určení násobnosti kořene). Platí -1 -1 -1 -1
28 0 28 0 28 0 28 0 28
88 -28 60 -28 32 -28 4 -28 -24
51 -60 -9 -32 -41 -4 -45 24 21
-77 -77 9 18 9 68 9 -18 -68 -9 18 0 41 27 -18 -27 18 0 45 -18 18 0 -21 -3
Číslo –1 je tedy trojnásobným kořenem polynomu f . Dále stačí hledat kořeny polynomu1 g (x ) = 28 x 3 + 4 x 2 − 45 x + 18 . Tento polynom již nemá další celočíselné kořeny2. Prověřím racionální kořeny. p ∈ Q je kořen polynomu f (x ) = a 0 x n + K + a n −1 x + a n , nechť c ∈ Z . q Pak (qc − p ) f (c ), (qc + p ) f (− c ) (používá se nejčastěji pro c = 1 , kdy dostáváme
Nechť
pro kořen
p podmínky (q − p ) f (1), (q + p ) f (− 1) ). q p ∈ { ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 } q ∈ { ± 1, ± 2, ± 4, ± 7, ± 14, ± 28}
1
Poslední řádek Hornerova schéma, v němž je zbytek nulový. Ukázka dělení je v dodatku. O tom bych se přesvědčil opakovaným dosazením do Hornerova schéma, ale polynom jsem si vymýšlel sám a vím jak vše dopadne. 2
1
Množina možných racionálních kořenů M : 1 1 1 1 1 1 2 3 3 3 3 3 9 9 M ∈ ± 1, ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± 2, ± , ± 3, ± , ± , ± , ± , ± , ± 9, ± , ± , 2 3 4 7 14 28 7 2 4 7 14 28 2 4 9 9 9 6 18 ± , ± , ± , ± 6, ± , ± 18, ± 7 14 28 7 7 Čísla 1, –1 jsem již prověřili. Platí
1 2 1 2
Číslo
28
4
-45 18
0
14
28
18 -36
0
14
28
32 -20
9
-18 0
16
1 je jednoduchým kořenem polynomu g , tedy i polynomu f . K určení 2
zbylých kořenů použiji polynom3
h(x ) = 28 x 2 + 18 x − 36 3 6 2 7
Podle vzorce pro kořeny kvadratické funkce dostávám zbylé kořeny − , . Závěr: 3 1 6 2 2 7
Zjistil jsem, že kořeny polynomu f jsou čísla –1 (trojnásobný kořen), − , , (jednoduché kořeny) a tedy 3 f (x ) = 28 x 6 + 88 x 5 + 51x 4 − 77 x 3 − 77 x 2 + 9 x + 18 = 28 ⋅ (x + 1) x +
3
3 1 6 x − x − . 2 2 7
Poslední řádek Hornerova schéma, v němž je zbytek nulový. Ukázka dělení je v dodatku
2
Dodatek
Hodnota polynomu f (x ) = 28 x + 88 x + 51x − 77 x − 77 x + 9 x + 18 v bodě 1: 6
5
4
3
1
2
28 88 51 -77 -77 0 28 116 167 90 28 116 167 90 13
9 13 22
18 22 40
Dělení polynomu f trojnásobným kořenem ( (x + 1)3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 ): (28 x 6 + 88 x 5 − 28 x 6 − 84 x 5 4x5 − 4x5
+ 51x 4 − 84 x 4 − 33x 4 − 12 x 4 − 45 x 4 45 x 4
− 77 x 3 − 28 x 3 − 105 x 3 − 12 x 3 − 117 x 3 + 135 x 3 18 x 3 − 18 x 3
− 77 x 2
+ 9 x + 18) : ( x 3 + 3x 2 + 3 x + 1) = 28 x 3 + 4 x 2 − 45 x + 18
− 77 x 2 − 4x 2 − 81x 2 + 9 x + 135 x 2 + 45 x + 54 x 2 + 54 x + 18 − 54 x 2 − 54 x − 18 0
Dělení polynomu g jednoduchým kořenem: 1 (28 x 3 + 4 x 2 − 45 x + 18) : ( x − ) = 28 x 2 + 18 x − 36 2 − 28 x 3 + 14 x 2 18 x 2 − 45 x − 18 x 2 + 9 x − 36 x + 18 36 x − 18 0
3
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY
NÁSOBENÍ POLYNOMŮ
2001/2002
CIFRIK
Zadání: a) Dokažte, že násobení polynomů je asociativní. b) Dokažte, že násobení polynomů je distributivní vzhledem ke sčítání polynomů Vypracování: V dalším textu budeme polynomy zapisovat jako nekonečné posloupnosti prvků. Násobení polynomů Nechť a = a 0 , a1 ,K, a n ,K , b = b0 , b1 ,K, bn ,K jsou dva polynomy a nechť je dána operace násobení polynomů. Součinem těchto polynomů je polynom c = c0 , c1 , K , c n ,K , kde c 0 = a 0 b0 c1 = a 0 b1 + a1b0 c 2 = a 0 b2 + a1b1 + a 2 b0 c3 = a 0 b3 + a1b2 + a 2 b1 + a3 b0 M n
c n = ∑ a p bn − p p =0
Ad a) Máme dokázat, že násobení polynomů je asociativní. Nechť a = a 0 , a1 ,K, a n ,K , b = b0 , b1 ,K , bn , K , c = c0 , c1 , K , c n ,K jsou tři polynomy a nechť je dána operace násobení polynomů. Aby násobení polynomů bylo asociativní, musí platit ∀n ∈ N 0 : [a ⋅ (b ⋅ c )]n = [(a ⋅ b ) ⋅ c ]n , tj. nezáleží na uzávorkování. Důkaz přímý: Označme d n n-tý člen polynomu a ⋅ (b ⋅ c ) . Pak pro n
n
n− p
p =0
p =0
r =0
∀n ∈ N 0 : d n = ∑ a p (b ⋅ c )n − p = ∑ a p ∑ br c n − p − r = = a 0 (b0 c n + b1c n −1 + K + bn c0 ) + a1 (b0 c n −1 + b1c n − 2 + K + bn −1c0 ) +
+ a 2 (b0 c n − 2 + b1c n −3 + K + bn − 2 c0 ) + K + a n −1 (b0 c1 + b1c0 ) + a n b0 c0
Označme hn n-tý člen polynomu (a ⋅ b ) ⋅ c . Pak pro n
n
p
p =0
p =0
r =0
∀n ∈ N 0 : hn = ∑ (a ⋅ b ) p ⋅ c n − p = ∑ c n − p ∑ a r b p − r = = c n (a 0 b0 ) + c n −1 (a 0 b1 + a1b0 ) + K + c 0 (a 0 bn + a1bn −1 + K + a n −1b1 + a n b0 )
upravíme-li poslední vztah tím, že ze všech členů obsahujících a0 vytkneme a0 , ze všech členů s a1 vytkneme a1 atd. až do a n , získáme rovnost hn = a 0 (b0 c n + b1c n −1 + K + bn c0 ) + a1 (b0 c n −1 + b1c n − 2 + K + bn −1c0 ) +
+ a 2 (b0 c n − 2 + b1c n −3 + K + bn − 2 c0 ) + K + a n −1 (b0 c1 + b1c0 ) + a n b0 c0
. 1
Protože jsou n-té členy obou součinů stejné, platí, že násobení polynomů je asociativní. QED Ad b) Máme dokázat, že násobení polynomů je distributivní vzhledem ke sčítání polynomů. Opět provedeme důkaz přímý. Nechť a = a 0 , a1 ,K, a n ,K , b = b0 , b1 ,K, bn ,K , c = c0 , c1 ,K, c n ,K jsou tři polynomy nad oborem integrity I , kde jsou dány operace sčítání a násobení polynomů. Aby násobení polynomů bylo distributivní vzhledem ke sčítání a násobení polynomů, musí platit [a ⋅ (b + c )]n = (a ⋅ b + b ⋅ c )n , tj. lze roznásobovat závorky. Důkaz: Zápis přepíšeme do sum a podle pravidel o počítání se sumami upravíme:
[a ⋅ (b + c )]n = ∑ a p (b + c )n− p = ∑ a p (bn− p + cn− p ) = ∑ (a p bn− p + a p cn− p ) = n
n
n
p =0
p =0
p =0
n
n
p =0
p =0
= ∑ a p bn − p + ∑ a p c n − p = [(a ⋅ b ) + (b ⋅ c )]n =(a ⋅ b + b ⋅ c )n
Dokázali jsme požadovanou rovnost. QED
2
Opakování: Binární operace4 (Binární) operací ☺ na množině M rozumíme každé zobrazení (celého) kartézského součinu M × M do M. Není-li definičním oborem celá množina M × M hovoříme o parciální nebo též částečné operaci. Říkáme, že operace ☺ na množině M • je komutativní, jestliže (∀a, b ∈ M ) a ☺ b = b ☺ a • je asociativní, jestliže (∀a, b, c ∈ M ) ( a ☺ b )☺c = a ☺ ( b ☺ c ), • má neutrální prvek n , jestliže (∃n ∈ M )(∀c ∈ M ) n ☺ c = c ☺ n = c • má agresivní prvek a , jestliže (∃a ∈ M )(∀c ∈ M ) a ☺ c = c ☺ a = a • má inverzní prvek c −1 ke každému prvku c , jestliže existuje neutrální prvek n a platí (∀c ∈ M )(∃c −1 ∈ M ) c ☺ c −1 = c −1 ☺ c = n . Distributivní zákon
(x ∗ y ) o z = (x o z ) ∗ ( y o z )
(distributivita operace o vzhledem k operaci ∗ )
Polynom, mnohočlen5 Polynom je algebraický výraz tvaru a 0 x k + a1 x k −1 + ... + a k −1 x + a k . Čísla a 0 , a1 ,..., a k jsou konstanty, tzv. koeficienty mnohočlenu, x je proměnná. Je-li a0 ≠ 0 , nazývá se číslo k stupeň mnohočlenu. Mnohočlen lze považovat za funkci proměnné x. Obdobně se definuje mnohočlen více proměnných; např. x 3 + 4 xy 2 z − yz + 2 je mnohočlen tří proměnných a čtvrtého stupně (nejvyšší součet exponentů u všech proměnných).
4 5
www.matematika.webz.cz/algebra/algebra.doc www.diderot.cz
3
