Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3
KONVERGENCE ŘAD
2. přepracované vydání
2002/2003
Cifrik, M-ZT
Zadání: Vyšetřete konvergenci řady
∞
∑a n =1
1. a n =
1 n(n + 2)
2. a n = 3
6. a n =
n
, jestliže
1 n ln (n + 1)
n! 7. an = (2n − 1)n
n n +1
3n n! nn
12. a n =
n
16. a n =
3n − 2 n 6n
8. an =
5 3 − n n 3 5
9. a n =
n 2n + 1
n
4. a n =
n + 1 10. a n = 3n
n
n! 2n
14. a n =
en n!
n ( − 1) 17. an = ln (n + 1)
3n n! 13. an = 2 n
3. a n =
cos n 5. a n = n e
11. an =
18. an = (− 1)n
1 n 2 −1
19. an =
n3 15. a n = n e
20. a n =
n +1 n(n + 2 )
3 + (− 1) (− 3)n
n
(2
(− 1)n n 3 n + (− 1) )
Vypracování: Definice 1: Nekonečná řada čísel Nechť je dána libovolná posloupnost reálných čísel {a n }∞n =1 . Výraz a1 + a 2 + a3 + K + a n + K se nazývá nekonečná řada reálných čísel a značíme
∞
∑a n =1
n
(čteme: řada a n pro n od jedné do nekonečna). Čísla a1 , a 2 , K, a n ,K nazýváme členy nekonečné řady, číslo a j j-tý člen nekonečné řady
∞
∑a n =1
n
.
Definice 2: Konvergence a divergence Nechť {s n }∞n=1 je posloupnost částečných součtů řady a) řada b) řada c) řada d) řada
∞
∑a n =1 ∞
∑a n =1 ∞
∑a n =1 ∞
∑a n =1
∞
∑a n =1
n
. Říkáme, že:
n
sn = s ∈ R ; konverguje a má součet s , jestliže lim n →∞
n
s n = +∞ ; diverguje k + ∞ , jestliže lim n →∞
n
s n = −∞ ; diverguje k − ∞ , jestliže lim n →∞
n
s n neexistuje. osciluje, jestliže lim n →∞
1
Příklad 1 ∞
1
∑ n(n + 2) n =1
∞
1
∑ n(n + 2) = n =1
A B 1 n(n + 2 ) = n + n + 2 1 = An + 2 A + Bn A+ B = 0 2A = 1 1 1 A= B=− 2 2 1 ∞ 1 1 = ∑ − 2 n =1 n n + 2
n-tý částečný součet ∀n ∈ N : sn =
Počítáme
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 − + − + − + − +K+ − = − . 2 6 4 8 6 10 8 12 n n+2 4 n+2
1 3 3 lim sn = lim − = , n →∞ n→∞ 4 n + 2 4 ∞ 3 1 konverguje a má součet . proto podle definice 2 řada ∑ 4 n =1 n(n + 2 )
Věta 1: Nutná podmínka pro konvergenci řady Nechť
∞
∑a n =1
n
an = 0 . konverguje. Potom lim n →∞
Poznámka: Je-li lim a n = 0 nemůžeme o chování příslušné řady nic usoudit. n →∞
Je-li lim a n ≠ 0 , potom n →∞
∞
∑a n =1
n
nekonverguje.
Příklad 2 ∞
∑ n =1
n 3
n +1 lim 3 n →∞
n n +1
= lim 6 n→∞
n3 = +∞ (n + 1)2
Není splněna nutná podmínka konvergence, proto řada
∞
∑ n =1
n 3
n +1
nekonverguje.
Poznámka: Stupeň čitatele je větší než stupeň jmenovatele.
2
Věta 2: Abelovo kritérium pro konvergenci nekonečné číselné řady ∞
∑a
Nechť řada
n =1
n
konverguje. Nechť pro posloupnost {ε n }∞n =1 platí:
ε 1 > ε 2 > ε 3 > K > 0 . Potom řada
∞
∑a ε n
n =1
konverguje.
n
Definice 3: Absolutní a relativní konvergence a) Nechť řada
∞
∑a n =1
∞
∑a
že řada
n =1
b) Nechť řada
n
n
konverguje. Potom řada
∞
∑a n =1
n
také konverguje a říkáme,
konverguje absolutně. ∞
∑a n =1
n
diverguje a řada
∞
∑a n =1
n
konverguje. Říkáme, že řada
∞
∑a n =1
n
konverguje neabsolutně neboli relativně.
Věta 3: Srovnávací (zobecněné srovnávací) kritérium Nechť
∞
∑ an a n =1
∞
∑b n =1
n
jsou řady s nezápornými členy, nechť existuje k ∈ N
takové, že ∀n ≥ k : a n ≤ bn ( ∀n ≥ k :
a n +1 bn +1 ≤ ). an bn
Potom a) b)
∞
∑a n =1 ∞
n
konverguje, jestliže
∑ bn diverguje, jestliže n =1
∞
∑b n =1
∞
∑a n =1
n
n
konverguje,
diverguje.
Příklad 3 3n − 2 n ∑ 6n n =1 ∞
1. jde o řadu s nezápornými členy a platí a n = a n (Pojmy konvergence a absolutní konvergence splývají.) 3n − 2 n 1 1 1 = n − n < n n 6 2 3 2 n n ∞ 3 −2 Řada ∑ n konverguje absolutně. 6 n =1
2.
3
Další možnost jak vyšetřit stejnou řadu: n
3n − 2 n 1 1 1. a n = = − 6n 2 3
n
n n 1 1 1 1 ∞ 1 1 = 1− 1 = 1 − 2. ∑ a n = ∑ − ∑ = 2 2 2 1− 1 3 1− 1 n =1 n =1 2 n =1 3 2 3 ∞ 3n − 2 n 1 Řada ∑ n tedy konverguje k . 2 6 n =1 ∞
∞
Příklad 4 ∞
5
∑ 3 n =1
n
−
3 5n
1. jde o řadu s nezápornými členy a platí a n = a n 5 3 5 n +1 − 3n +1 5 n +1 1 2. ∀n ∈ N : n − n = < n = 5⋅ n 3 5 15 15 3 ∞ 5 Řada ∑ n je konvergentní geometrická řada, a proto podle vety 3 a uvedené n =1 3 ∞ 5 3 nerovnosti konverguje také řada ∑ n − n . Z rovnosti a n = a n plyne, že 5 n =1 3 ∞ 5 3 řada ∑ n − n konverguje absolutně. 5 n =1 3 n
Věta 4: Cauchyovo nelimitní odmocninové kritérium Nechť
∞
∑a n =1
je řada s kladnými členy. Potom
n
a) existuje-li q ∈ R, 0 < q < 1 , a k ∈ N tak, že pro ∀n ∈ N , n ≥ k , je n a n ≤ q , potom řada
∞
∑a n =1
n
konverguje,
b) jestliže pro nekonečně mnoho n ∈ N je n a n ≥ 1 , potom řada
∞
∑a n =1
n
diverguje k +∞. Věta 5: Cauchyovo nelimitní odmocninové kritérium a) Nechť existuje q ∈ R, 0 < q < 1 , a nechť existuje k ∈ N takové, že pro všechna n ≥ k platí
n
a n ≤ q . Potom řada
∞
∑a n =1
n
b) Nechť pro nekonečně mnoho n ∈ N je
konverguje absolutně. n
a n ≥ 1 . Potom řada
∞
∑a n =1
n
nekonverguje. 4
Příklad 5 ∞
cos n n n =1 e
∑
∀n ∈ N : n
Řada
cos n = en
n
cos n e
≤
1 <1 e
∞
cos n konverguje absolutně (věta 5). n n =1 e
∑
Věta 6: D’Alembertovo nelimitní podílové kritérium Nechť
∞
∑a n =1
je řada s kladnými členy. Potom
n
a) existuje-li q ∈ R, 0 < q < 1 , a k ∈ N tak, že pro ∀n ∈ N , n ≥ k , je řada
∞
∑a n =1
n
a n +1 ≤ q , potom an
konverguje,
b) jestliže existuje k ∈ N takové, že n ∈ N , n ≥ k je
a n +1 ≥ 1 , potom řada an
∞
∑a n =1
n
diverguje k +∞. Věta 7: D’Alembertovo nelimitní podílové kritérium a) Nechť existuje q ∈ R, 0 < q < 1 , a nechť existuje k ∈ N takové, že pro všechna n ≥ k platí
a n +1 ≤ q . Potom řada an
∞
∑a n =1
n
konverguje absolutně.
b) Nechť existuje k ∈ N takové, že n ∈ N , n ≥ k platí
a n +1 ≥ 1 . Potom řada an
∞
∑a n =1
n
nekonverguje.
5
Věta 8: Cauchyovo limitní odmocninové kritérium a) Nechť
∞
∑a n =1
je řada s nezápornými členy. Potom
n
∞
n a < 1 , řada 1) je-li lim n n →∞
∑a
n a > 1 , řada 2) je-li nlim n →∞
∑a
n =1 ∞ n =1
n
konverguje,
n
diverguje.
∞
n a b) Nechť lim n < 1 . Potom řada n →∞
∑a
n a c) Nechť lim n > 1 . Potom řada n →∞
∑a
n =1 ∞ n =1
n
konverguje absolutně.
n
nekonverguje.
Poznámka: Účinné užití této věty je založeno na existenci lim n a n , která není rovna jedné. n →∞
Příklad 6 ∞
1
∑ ln (n + 1) n =1
n
1. a n = a n (Pojmy konvergence a absolutní konvergence splývají.) 2. 0 < Řada
1 n
∞
ln n (n + 1)
=
n≥2 1 <1 ln (n + 1)
1
∑ ln (n + 1) konverguje absolutně. Náš závěr vyplynul z věty 5. Abychom n
n =1
nemuseli udávat podmínku n ≥ 2 je v tomto případě vhodnější použít větu 8, tedy lim n a n = lim n n →∞
n →∞
1 1 = lim = 0 <1 ln (n + 1) n →∞ ln (n + 1) n
Příklad 7 ∞
n!
∑ (2n − 1)
n
n =1
1. a n = a n (Pojmy konvergence a absolutní konvergence splývají.) 2. Protože platí 0≤n
n n n! n! nn n n 1 ; lim = ≤ = = n → ∞ n 2n − 1 2 (2n − 1) 2n − 1 2n − 1 2n − 1
je n! 1 < < 1. n →∞ 2n − 1 2
lim n a n = lim n →∞
Řada
∞
n!
∑ (2n − 1) n =1
n
n
je absolutně konvergentní.
6
Příklad 8 ∞
n!
∑2 n =1
n
lim n n →∞
Řada
∞
n!
∑2 n =1
n
n n! n! 1 = lim = lim n n! = +∞ n n →∞ 2 2 n→ ∞ 2
nekonverguje (věta 8).
Poznámka: Není splněna nutná podmínka konvergence (věta 1).
Příklad 9 n
∞
n ∑ n =1 2 n + 1 1. a n = a n n
n 1 1 n = lim = lim = <1 2. nlim →∞ n→ ∞ 2n + 1 n →∞ 1 2 2n + 1 2+ n n
n
∞
n Řada ∑ konverguje absolutně. n =1 2 n + 1
Příklad 10 n + 1 ∑ n =1 3n 1. a n = a n n
∞
1 n +1 n + 1 n = 1 <1 n 2. ∀n ∈ N : lim = lim = lim → ∞ → ∞ n →∞ n n 3n 3 3 3n 1+
n
n + 1 Řada ∑ konverguje absolutně. n =1 3n ∞
n
Příklad 11 ∞
3 n n! ∑ n n =1 n n 3 n n! n! 3 lim = 3 lim = >1 n → ∞ n →∞ n n e n n
Řada
∞
3 n n! diverguje (věta 8). ∑ n n =1 n
7
Věta 9: D’Alembertovo limitní podílové kritérium a) Nechť
∞
∑a n =1
n
je řada s kladnými členy. Potom
a n +1 < 1 , je řada an a n +1 2) je-li lim > 1 , je řada n →∞ a n
1) je-li lim n →∞
∞
∑a n =1
a n +1 < 1 . Potom řada an
c) Nechť lim n →∞
a n +1 > 1 . Potom řada an
konvergentní,
n
divergentní.
∞
∑a
b) Nechť lim n →∞
n
n =1
∞
∑a n =1
n
konverguje absolutně.
n
nekonverguje.
∞
∑a n =1
a n +1 , která není rovna jedné. n →∞ a n
Poznámka: Účinné užití této věty je založeno na existenci lim
Příklad 12 ∞
n
∑
3n
n =1
1. a n = a n (Pojmy konvergence a absolutní konvergence splývají.) n +1
2. lim 3 n →∞
n +1
Řada
n
∑
n +1 3
n
3 n +1 = lim = lim → ∞ n n 3 n →∞ 3 n
1 n = 1 = 3 < 1, 3 3 3
1+
n
konverguje absolutně.
3n
n =1
n →∞
n 3
∞
= lim
n
Příklad 13 ∞
n!
∑n n =1
2
(n + 1)! (n + 1)2 lim n →∞
Řada
∞
n!
∑n n =1
2
n! n2
(n + 1)n! n 2 n → ∞ (n + 1)2 n!
= lim
n2 = +∞ n →∞ n + 1
= lim
nekonverguje.
8
Příklad 14 ∞
1 −1 1. a n = a n
∑2 n =1
n
1
1 2 − 1 = lim 2 − 1 = lim 2n = 1 < 1 2. lim n →∞ n → ∞ 2 n +1 − 1 n →∞ 1 1 2 2− n n 2 −1 2 ∞ 1 Řada ∑ n konverguje absolutně. n =1 2 − 1 n +1
1−
n
Příklad 15 ∞
n3 ∑ n n =1 e
3. a n = a n
(n + 1)3
e n +1 = lim (n + 1) = 1 lim n + 1 = 1 < 1 4. nlim →∞ n→ ∞ e n→ ∞ n e n3 en 3 n e 3 ∞ n Řada ∑ n konverguje absolutně. n =1 e 3
3
Příklad 16 ∞
en ∑ n =1 n!
1. a n = a n e n +1 e (n + 1)! 2. lim n = lim =0 n →∞ n →∞ n + 1 e n! n ∞ e Řada ∑ konverguje absolutně. n =1 n!
Definice 4: Alternující řada Nechť a n > 0 pro všechna n ∈ N . Řadu
∞
∑ (− 1) a n =1
n
n
nazýváme alternující řadou
neboli řadou se střídavými znaménky.
9
Věta 10: Leibnizovo kritérium pro alternující řady Nechť pro všechna n ∈ N platí a n ≥ a n +1 > 0 . Potom řada
∞
∑ (− 1) a n
n =1
n
konverguje
tehdy a jen tehdy, je-li lim an = 0 . n →∞ Příklad 17
(− 1)n ∑ n =1 ln (n + 1) ∞
Ověřme podmínku Leibnizova kritéria pro alternující řady: ∀n ∈ N : a n ≥ a n +1 > 0
∀n ∈ N : ln (n + 1) < ln (n + 2 ) ⇔
, 1 1 > ln (n + 1) ln (n + 2)
podmínka je tedy splněna. Abychom mohli rozhodnout o konvergenci, zbývá an = 0 : ještě určit, zda je lim n →∞ 1 = 0, n → ∞ ln (n + 1)
lim a n = lim n →∞
řada
(− 1)n tedy konverguje. Má-li tato řada konvergovat absolutně, musí ∑ n =1 ln (n + 1) ∞
konvergovat i řada
∞
1
∑ ln(n + 1) . Ta ovšem diverguje neboť podle srovnávacího n =1
kritéria platí: 1 1 ≥ , ln (n + 1) n + 1 ∞
∞ ∞ 1 1 1 =∑ ; a protože ∑ je „posunutou“ harmonickou řadou ( ∑ n =1 n + 1 n =1 n + 1 n=2 n ∞ 1 harmonická řada diverguje), diverguje i řada ∑ . n =1 ln (n + 1)
Řada
(− 1)n konverguje neabsolutně (relativně). ∑ n =1 ln (n + 1) ∞
10
Příklad 18 ∞
n +1
∑ (− 1) n(n + 2) n
n =1
Ověřme podmínku Leibnizova kritéria pro alternující řady: ∀n ∈ N : a n ≥ a n +1 > 0 ∀n ∈ N :
n 2 + 3n + 3 >0 n(n + 1)(n + 2 )(n + 3) (n + 1)2 (n + 3) − n(n + 2)2 > 0 n(n + 1)(n + 2 )(n + 3) , n +1 n+2 − >0 n(n + 2 ) (n + 1)(n + 3) n +1 n+2 > n(n + 2) (n + 1)(n + 3) a n > a n +1
podmínka je tedy splněna. Abychom mohli rozhodnout o konvergenci, zbývá ještě určit, zda je lim an = 0 : n →∞ 1 n +1 n +1 ≤ = n(n + 2) n(n + 1) n , n +1 lim a n = lim =0 n →∞ n → ∞ n(n + 2 )
řada
∞
n +1
∑ (− 1) n(n + 2) tedy konverguje. Vyšetřeme ještě, jak se chová n
řada
n =1
n +1 n 1 n +1 ≥ = : – zřejmě diverguje. n(n + 2) n(n + 2 ) n + 2 n =1 n =1 n (n + 2 ) ∞ n +1 Proto řada ∑ (− 1)n konverguje neabsolutně (relativně). n(n + 2 ) n =1 ∞
∞
∑ a n =∑
Příklad 19
3 + (− 1) ∑ (− 3)n n =1 ∞
n
1 1 n n − n ∞ ∞ 3 + (− 1) 1 1 3 1 1 = 3∑ − + ∑ = 3 ⋅ 3 + 3 = − + = − ∑ n 1 1 3 4 2 4 (− 3) n =1 n =1 n =1 3 1+ 1− 3 3 n ∞ 3 + (− 1) 1 Řada ∑ konverguje absolutně k − . n 4 (− 3) n =1 ∞
11
Příklad 20 ∞
∑ n =1
(2
(− 1)n n 3 n + (− 1) )
Ověřme podmínku Leibnizova kritéria pro alternující řady: ∀n ∈ N : a n ≥ a n +1 > 0 ∀n ∈ N :
(2
1
1
)
n + (− 1)
n 3
≥?
8 n 3 + 12n(− 1) + 6 n (− 1) + (− 1) 2n
n
≥?
3n
(2
1 n + 1 + (− 1)
)
n +1 3
1
8 (n + 1) + 12(n + 1)(− 1) + 6 n + 1(− 1) + (− 1) 3
2n
n
3n
8 n 3 + 12n(− 1) + 6 n (− 1) + (− 1) < 8 (n + 1) + 12(n + 1)(− 1) + 6 n + 1(− 1) + (− 1) a n > a n +1 2n
n
3n
3
2n
n
3n
podmínka je tedy splněna. Abychom mohli rozhodnout o konvergenci, zbývá určit, zda je lim an = 0 : n →∞ lim a n = lim n →∞
n →∞
(2
1 n + (− 1)
)
n 3
= 0,
protože stupeň čitatele je menší než stupeň jmenovatele. Řada
∞
∑ n =1
(2
(− 1)n n 3 n + (− 1) )
tedy konverguje. Otázku absolutní konvergence vyšetříme zkoumáním řady ∞
∞
n =1
n =1
∑ a n =∑
(2
1
(2n je řada
∞
∑ n =1
absolutně.
(2n
)
n + (− 1)
n 3
1 12
+ (− 1)
≤
) (2n
n 3
1 12
)
−1
3
=
8n
32
1 1 < 32 12 − 12n + 6n − 1 n
n ( − 1) konvergentní a proto řada ∑ konverguje n 3 12 n =1 (2 n + (− 1) ) ∞
1 12
. Podle srovnávacího kritéria:
+ (− 1)
)
n 3
12
Obsah Definice 1: Nekonečná řada čísel 1 Definice 2: Konvergence a divergence 1 Příklad 1 2 Věta 1: Nutná podmínka pro konvergenci řady 2 Příklad 2 Chyba! Záložka není definována. Věta 2: Abelovo kritérium pro konvergenci nekonečné číselné řady 3 Definice 3: Absolutní a relativní konvergence 3 Věta 3: Srovnávací (zobecněné srovnávací) kritérium 3 Příklad 3 3 Příklad 4 4 Věta 4: Cauchyovo nelimitní odmocninové kritérium 4 Věta 5: Cauchyovo nelimitní odmocninové kritérium 4 Příklad 5 Chyba! Záložka není definována. Věta 6: D’Alembertovo nelimitní podílové kritérium 5 Věta 7: D’Alembertovo nelimitní podílové kritérium 5 Příklad 6 9 Věta 8: Cauchyovo limitní odmocninové kritérium 6 Příklad 7 6 Příklad 8 6 Příklad 9 7 Příklad 10 7 Příklad 11 7 Příklad 12 7 Věta 9: D’Alembertovo limitní podílové kritérium 8 Příklad 13 8 Příklad 14 8 Příklad 15 9 Příklad 16 9 Definice 4: Alternující řada 9 Věta 10: Leibnizovo kritérium pro alternující řady 10 Příklad 17 10 Příklad 18 11 Příklad 19 12 Příklad 20 11 Literatura: KUBÍNOVÁ, M. – NOVOTNÁ, J.: Posloupnosti a řady. Karolinum, Praha 1997.
13
