Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ALGEBRY

ELEMENTY LINEÁRNÍ ALGEBRY

1999/2000

CIFRIK

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ

Základní pojmy Binární relace R Binární relace R mezi množinami A, B je libovolná podmnožina R kartézského součinu množin A, B . Pro dva prvky a  A, b  B takové, že a, b  R , píšeme též aRb a čteme „(prvek) a je v relaci R s (prvkem) b “. Binární relace je: • reflexivní, jestliže platí x  M : xRx • ireflexivní, jestliže platí x  M : non xRx • symetrická, jestliže platí x, y  M : xRy  yRx  • antisymetrická, jestliže platí x, y  M : xRy  yRx   x  y • tranzitivní, jestliže platí x, y, z  M : xRy  yRz   xRz • konektivní, jestliže platí x, y  M : xRy  x  y  yRx  Binární relace U na množině M se nazývá • (neostré) uspořádání na množině M , je-li reflexivní, antisymetrická a tranzitivní • ostré uspořádání na množině M , je-li ireflexivní, antisymetrická a tranzitivní • (ostré či neostré) lineární uspořádání na množině M , jestliže je (ostrým či neostrým) uspořádáním na M a je navíc konektivní. Příklad 1. Je dána množina A  1,2,3,4,5,6,7,8. a) Určeme výčtem prvků binární relaci R  x, y A 2 ; x / y  x  y  x  1 b) Určeme 1. a 2. obor binární relace R . c) Určeme výčtem prvků relaci R 1 doplňkovou k R .





ad a) R   2,4, 2,6, 2,8, 3,6, 4,8  ad b) první obor O1 R    2,3,4, druhý obor O2 R    4,6,8 ad c) x, y A 2 ; x, y R 1   y, x R To znamená, že relaci R 1 vytvoříme z relace R záměnou pořadí složek ve všech uspořádaných dvojicích relace R . Tedy R 1   4,2, 6,2, 8,2, 6,3, 8,4  Příklad 2. Nechť M je množina přímek v rovině. Definujme relaci R takto: pRq znamená, že přímka p nemá společný bod s přímkou q . Které vlastnosti má relace R ? Relace R není reflexivní, protože přímka p má sama se sebou dokonce nekonečně mnoho společných bodů. Relace R je symetrická, protože zřejmě p má společný bod s q , právě když q má společný bod s p . Relace není tranzitivní. Kdyby byla tranzitivní, znamenalo by to, že nemá-li p společný bod s q a současně nemá q společný bod s r , pak p nemá společný bod s r . Zvolme speciálně p  q, pRq , tj. p  q, p║q, a r  p . Pak zřejmě pRq, qRp , ale p není v relaci R sama se sebou.

www.matematika.webz.cz

1

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Zobrazení Def.I. Zobrazení (funkce) f množiny A do množiny B (označení f : A  B ) je jakákoli relace mezi množinami A, B taková, že pro každé a  A existuje právě jeden prvek b  B takový, že a, b  f . Prvek b nazýváme hodnotou zobrazení f v bodě a (příp. obrazem prvku a při zobrazení f ) a píšeme stručně b  f a  . Prvek a nazýváme vzorem prvku b při zobrazení f . Definiční obor D f  zobrazení f je množina D f   x  A; b  B : b  f x . Obor hodnot H  f  zobrazení f je množina H  f   y  B; x  A : y  f x  Def.II. Zobrazením z množiny A do množiny B rozumíme takovou podmnožinu f množiny A B , pro kterou platí: (x  A)(y1 , y2  A){[(x, y1 )  f  ( x, y2 )  f ]  y1  y2 } . Zobrazení f : A  B se nazývá • prosté (injekce), jestliže pro libovolná x1 , x2  D f  platí: Je-li x1  x2 , je f x1   f x2  (tj. každým dvěma různým vzorům přísluší dva různé obrazy); • na (surjekce), je-li H  f   B ; • vzájemně jednoznačné (bijekce), jestliže je zároveň prosté a na (tj. D f   A, H  f   B a f je prosté). Binární operace (Binární) operací ☺ na množině M rozumíme každé zobrazení (celého) kartézského součinu M  M do M. Není-li definičním oborem celá množina M  M hovoříme o parciální nebo též částečné operaci. Říkáme, že operace ☺ na množině M • je komutativní, jestliže a, b  M  a ☺ b  b ☺ a • je asociativní, jestliže a, b, c  M  ( a ☺ b )☺c = a ☺ ( b ☺ c ), • má neutrální prvek n , jestliže n  M c  M  n ☺ c  c ☺ n  c • má agresivní prvek a , jestliže a  M c  M  a ☺ c  c ☺ a  a • má inverzní prvek c 1 ke každému prvku c , jestliže existuje neutrální prvek n a platí c  M  c1  M c ☺ c1  c1 ☺ c  n .





Grupa Grupou rozumíme uspořádanou dvojici (G,☺), kde G je neprázdná množina, tzv. nosič grupy G, a ☺ je binární operace na G, která je asociativní, má neutrální prvek a ke každému prvku i prvek inverzní. Je-li navíc operace ☺ komutativní, hovoříme o komutativní (neboli Abelově) grupě.


2

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Číselné těleso Číselným tělesem rozumíme uspořádanou trojici T ,, , kde T je podmnožina množiny komplexních čísel C taková, že 0  T , 1 T a platí: (x, y  T )( x  y  T  x. y  T ) (je uzavřená na sčítání a násobení) (x  T )(1).x  T (je uzavřená na opačné prvky) 1 (x  T )( x  0   T ) (je uzavřená na převrácené hodnoty nenulových prvků) x Obecně číselným tělesem rozumíme každou uspořádanou trojici T ,, , kde T je aspoň dvouprvková množina; ,  jsou operace na T a platí x, y, z  T  : x y  y x x y  yx x  y   z  x   y  z  x  y   z  x   y  z  (1 T )(x) 1 x  x ( 0  T )(x) 0  x  x (x)(  x  T ) x   x   0 (x  0)(x 1  T ) x  x 1  1 x  y   z  x  z   y  z  (distributivita operace  vzhledem k operaci  ) Aritmetický vektor

Nechť T je těleso, n přirozené číslo. Uspořádanou n-tici x  x1 , x2 ,..., xn , kde xi  T , i  1,2,..., n , nazveme n-rozměrným aritmetickým vektorem nad tělesem T. Prvek x i nazýváme i-tým členem aritmetického vektoru x . Množinu všech n-rozměrných aritmetických vektorů nad T budeme značit Vn T  . Rovnost dvou aritmetických vektorů Dva vektory x, y se sobě rovnají, právě když xi  yi , i  1, 2,..., n . Součet dvou aritmetických vektorů x  y   x1  y1 , x2  y 2 , ..., xn  y n  α-násobek

 x  x1 ,x2 ,...,xn 

Nulový aritmetický vektor o   0, 0, ..., 0 , tj. všechny členy jsou rovny nulovému prvku tělesa T. Lineární kombinace Nechť a1 , a2 ,..., ak jsou vektory z Vn (T ) , 1 , 2 ,..., k prvky z T. Aritmetický vektor x 1 a1   2 a 2  ...   k a k nazýváme lineární kombinací aritmetických vektorů a1 , a2 ,..., ak s koeficienty 1 , 2 ,..., k . triviální lineární kombinací - nazýváme lineární kombinaci, která má všechny koeficienty rovné nulovému prvku 0 z tělesa T netriviální lineární kombinaci – jestliže je aspoň jeden koeficient různý od 0 nulová lineární kombinace – jestliže pro prvky 1 , 2 ,..., k  T a vektory a1 , a2 ,..., ak  V (T ) platí: 1 a1   2 a 2  ...   k a k  o .


3

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Lineární závislost a nezávislost vektorů závislé – existuje nulová netriviální lineární kombinace nezávislé – existuje pouze triviální lineární kombinace Příklad 3. Rozhodněme, zda následující vektory z aritmetického vektorového prostoru R3 nad R jsou lineárně závislé nebo nezávislé. u  3,2,7, v  1,1,1, w  2,0,3 Rozhodnout, zda vektory u, v, w jsou lineárně závislé resp. nezávislé, znamená rozhodnout, zda rovnice c1 u  c 2 v  c3 w  0 má nenulové resp. pouze nulové řešení. Tuto rovnici lze přepsat na soustavu 3c1  c 2  2c 3  0

2c1  c 2

 0.

7c1  c 2  3c 3  0 Tato soustava má pouze triviální řešení c1  c 2  c3  0 , takže vektory u, v, w jsou LN. Pozn. O nezávislosti vektorů u, v, w lze rozhodnout též na základě výpočtu determinantu matice soustavy. (Soustava rovnic má pouze triviální řešení právě tehdy, když determinant matice soustavy není 0). 3 1 2 2 1 0  9  4  0  14  0  6  7  0  lineárně nezávislé 7 1 3 Příklad 4. Určeme reálné číslo b tak, aby vektory u, v, w z aritmetického vektorového prostoru R 3 nad R byly lineárně závislé. u  1,2,3, v  3,1,4, w  b,4,11 Aby vektory u, v, w byly lineárně závislé, musí existovat čísla c1 , c 2 , c3  R , z nichž aspoň jedno je nenulové, a platí c1 u  c 2 v  c3 w  0 . Zkoumáme tedy, pro které hodnoty parametru b má soustava c1  3c 2  b  c 3  0

2c1  c 2  4c 3  0 3c1  4c 2  11c 3  0 nulové řešení. Odečtením 1. a 2. rovnice od 3. rovnice dostaneme 7  b c3  0 . Snadno zjistíme, že pro b  7 je c3  c1  c 2  0 a pro b  7 má soustava nekonečně mnoho řešení, tedy pro b  7 jsou vektory u, v, w lineárně závislé.


4

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Příklad 5. Určeme všechny hodnoty a  R , pro které je vektor v lineární kombinací vektorů u 1 , u 2 , u 3 . u 1  3,2,5, u 2  2,4,7, u 3  5,6, a , v  1,3,5 Vektor v je lineární kombinací vektorů u 1 , u 2 , u 3 právě tehdy, když existují c1 , c 2 , c3  R taková, že v  c1 u 1  c 2 u 2  c3 u 3 , tzn., když soustava rovnic 3c1  2c 2  5c 3  1

2c1  4c 2  6c 3  3 5c1  7c 2  a  c 3  5 má aspoň jedno řešení. Podle Frobeinovy věty je tato soustava řešitelná právě tehdy, když je hodnost matice soustavy  3 2 5    A 2 4 6   5 7 a    rovna hodnosti rozšířené matice soustavy  3 2 5 1   A'   2 4 6 2 .  5 7 a 5   Matici A' upravíme na trojúhelníkový tvar:

    3 2 5 1  3 2 5 1  3 2 5 1       6 2  0 8 8 7  0 8 8 7   2 4     0 1 a  11 1   0 1 a  11 1   0 0 a  12 1       8   Vidíme, že pro a  12 je h A  h A'  3 , tedy soustava je řešitelná (protože hodnost matice soustavy je rovna počtu neznámých, je toto řešení právě jedno). To znamená, že vektor v je lineární kombinací vektorů u 1 , u 2 , u 3 pro libovolné reálné a  12 .  3 2 5  A'   2 4 6  5 7 a 

1 2 5

Pamatujme:

Neexistuje ani jedna oblast matematiky, a to ať je jakkoli abstraktní, která by se jednou nedala aplikovat na jevy reálného světa. N.I. Lobačevskij


5


Matice Nechť T je těleso. Obdélníkovou tabulku prvků z T sestavených do m řádků a n sloupců nazýváme matici typu m, n  nad tělesem T. Je-li m  n , hovoříme o čtvercové matici n-tého řádu. Matice A přiřazuje každé dvojici i, k , i 1,2,..., m, k 1,2,..., n prvek z T, který označujeme aik a nazýváme prvkem matice A v i-tém řádku a k-tém sloupci. Matici A zapisujeme  a11 , a12 ,..., a1n     a 21 , a 22 ,..., a 2 n  A  ...........    a , a ,..., a  mn   m1 m 2

nebo zkráceně

A  aik i 1,...,m . k  1,...,n

pokud je z textu známo m, n , píšeme pouze A  aik  . Aritmetický vektor ai1 , ai 2 ,..., ain  se nazývá i-tý řádek, aritmetický vektor a1k , a2 k ,..., amk  k-tý sloupec matice A . Diagonála a diagonální matice Nechť A  aik  je matice typu m, n  . Aritmetický vektor a11 , a22 ,..., arr  , kde r  min m, n , se nazývá (hlavní) diagonála matice A . Prvky aii , i 1,2, ,..., r , se nazývají diagonální prvky. Matice A  aik  , která má mimo hlavní diagonálu samé 0, tj. a ik  0 pro i  k , se nazývá diagonální. Jednotková matice Jednotkovou matici A n-tého řádu nazýváme diagonální matici E  eik  n-tého řádu, pro níž platí eii  1 pro všechna i 1,2, ..., n . (Jednotková matice stupně n je čtvercová matice E  eik  stupně n mající v hlavní diagonále všude prvek 1 a všude jinde prvek 0.) Transponovaná matice Transponovaná matice k matici A  aik  typu m, n  je matice B  bik  typu n, m , pro T

T

kterou platí aik  bik , i 1,2,..., m, k 1,2,..., n . (Transponovanou matici A dostaneme z matice A tak, že vzájemně vyměníme řádky a sloupce v matici A ). Příklad 6. Určeme transponované matice k maticím 4 1   2   A   5  2  3 ,  4 0 1  

2 3  1   B  0 2 1 3 6  3  

5 4  2   A   4  2 0 ,  1  3 1   

0 3   1   B  2 2 6  3 1  3  

T


T

6

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Matice symetrická a antisymetrická Matice A se nazývá symetrická (antisymetrická), jestliže platí T

A A

A   A . T

Trojúhelníková matice zobecněná: právě když matice A  aik  typu m, n  a má pouze nenulové řádky, b jsou-li aik , a rs vedoucí prvky takové, že i  r , pak k  s . redukovaná: právě když je u zobecněné trojúhelníková matice A  aik  typu m, n  a každý vedoucí prvek je roven 1, b nad každým vedoucím prvkem jsou ve sloupci pouze 0. Čtvercové matice: regulární  singulární Čtvercovou matici A n-tého řádu nazveme regulární jestliže hod A  n , čtvercovou matici A n-tého řádu nazveme singulární jestliže hod A  n . (Regulární maticí nazýváme čtvercovou matici n-tého řádu, jejíž hodnost je rovna n . V opačném případě mluvíme o singulární matici.) Matice A je regulární je-li determinant det A  0. K regulární matici existuje inverzní matice. Řádkový prostor Řádkovým prostorem matice A rozumíme podprostor vektorového prostoru Vn (T ) generovaný všemi řádky matice A . Hodnost matice Hodností matice A  aik  typu n, m nazýváme dimenzi jejího řádkového prostoru. Elementární úpravy Elementární řádkové (sloupcové) úpravy: a změna pořadí řádků (resp. sloupců) matice A b nahrazení řádku (resp. sloupce) matice A jeho α-násobkem, kde   T ,   0 . c nahrazení řádku (resp. sloupce) matice A jeho součtem s α-násobkem,   T , jiného řádku matice A . d vynechání řádku (resp. sloupce), který je lineární kombinací ostatních řádků (resp. sloupců) Dvě matice jsou ekvivalentní, právě když lze jednu z druhé získat konečným počtem elementárních úprav řádků. Příklad 7. Určeme hodnost matice    A   


3 2 1 0  4 0 2 3  . 11  4 13  1   2 1 5 1 

7

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Pomocí elementárních řádkových a sloupcových úprav převedeme matici A na ekvivalentní zobecněnou trojúhelníkovou matici: 0  1 2 5 1   1 2 5 1  3 2 1       0 2  3   2 3 1 0  0 1  9  2  4  11  4 13  1   0 4 2  3    0 4 2  3        2 1 5    4 11 13  1  0 5 11  1 1       5 1  1 2    1 2 5 1   0 1  9  2    0  1  9  2   0 0  34  11      0 0  34  11  0 0  34  11   Hodnost matice A je 3.

Rovnost matic

Matice A  aik  typu m, n  a B  bik  typu r, s  se sobě rovnají, právě když platí: m = r, n = s, aik  bik pro všechna i 1,2,..., m, k 1,2,..., n . Součet matic Nechť jsou dány matice A  aik  , B  bik  téhož typu m, n  nad týmž tělesem T. Součtem matic A a B nazýváme matici C  cik  typu m, n  definovanou předpisem

cik  aik  bik , i 1,2, ..., m, k 1,2, ..., n . Píšeme C  A  B . Platí: a A B  B  A

b

A  ( B  C )  ( A  B)  C

 A  B  A  B A0  0 A  A e  A   aik  , kde  aik je opačný prvek k aik v tělese T,  A je matice opačná k matici A, tj. platí  A  A  0 . c

d

T

T

T

(Z a,b,c,e plyne, že množina matic daného typu (m,n) nad tělesem T tvoří komutativní grupu.) Příklad 8. Sečtěme matice A a B . 4 1   2   A   5  2  3 ,  4 0 1  

2 3  1   B  0 2 1 3 6  3  

4  2 1  3   3 6 2  2 1     A  B   5  0  2  2  3 1    5  4  2   43 06 1  3   1 6  2  


8

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ α-násobek matice Nechť A  aik  je matice typu m, n  nad tělesem T. Součinem prvků   T a matice A nazýváme matici C  cik  typu m, n  definovanou předpisem

cik    aik , i 1,2, ...., m, k 1,2, ..., n . Píšeme C    A . Příklad 9. Určeme matici D  2 A  3B . 4 1   2   A   5  2  3 ,  4 0 1  

2 3  1   B  0 2 1 3 6  3  

 2.4  2.(1)   3.1 3.2 3.3    2.2     D    2.5  2.(2)  2.(3)    3.0 3.(2) 3.1     2.4  2.0  2.1   3.(3) 3.6 3.(3)   2   4 8     10 4 6  8 0 2 

6 9   3   3  0 6    9 18  9  

11    1  2    9     10  2    17 18  11    

Příklad 10. Vypočítejme matici X z rovnice

 6  5   1 3    X     4  3  7 2 Rovnice je ve tvaru A  X  B a budeme ji řešit vynásobením obou stran rovnice inverzní maticí A

1

1

1

1

zleva: A  A  X  A  B , takže X  A  B . 1

Určíme tedy matici A :

6 5  4 3 

1 0   6  5 1  0 1   0 3 

1 0  6 0  2 1  1  0 3 3  

 9 15   1 0  2  1  0 1 3  

3 2 2



5  2 3

 3 5  A   2 2     2 3 1   3 5    1 3  1  19      X  A B   2   2 2   7 2   2 3  23 0  1

Zkouška:

 6  5   19 1    1 3      B A  X   2    4  3   23 0   7 2 


9

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Součin matic Nechť je dána matice A  aik  typu m, n  a matice B  bik  typu n, p  , obě nad týmž tělesem T. Součinem matic A , B (v tomto pořadí!) nazýváme matici C  cik  typu m, p  definovanou předpisem n

cik  ai1b1k  ai 2 b2 k  ...  ain bnk   aij b jk , i 1,2, ..., m, k 1,2, ..., p . j 1

Píšeme C  A  B . (Podmínku pro typy matic při násobení si můžeme zapamatovat pomocí formálního vztahu (m,n)(n,p) = (m,p).) !!! Násobení matic není komutativní !!! Příklad 11. Určeme součin matic C  A  B 4 1   2   A   5  2  3 ,  4 0 1  

 a11  A  B   a 21 a  31

a12 a 22 a 32

2 3  1   B  0 2 1 3 6  3  

a13   a 23 , kde a 33 

a11  2.1  4.0  (1).(3)  5 a12  2.2  4.(2)  (1).6  10 a13  2.3  4.1  (1).(3)  13 a 21  5.1  (2).0  (3).(3)  14 a 22  5.2  (2).(2)  (3).6  4 a 23  5.3  (2).1  (3).(3)  22 a 31  4.1  0.0  1.(3)  1 a 32  4.2  0.(2)  1.6  14 a 33  4.3  0.1  1.(3)  9 , tedy  5  10 13    A  B  14  4 22   1 14 9    Záměnné matice Jsou matice A, B , pro které platí AB  B A . Frobeinova věta

* *  , soustava rovnic je řešitelná právě tehdy, když hodnost matice soustavy A   * * * * * . je rovna hodnosti matice rozšířené A r    * * *  


10

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Adjungované matice Příklad 12. Určeme adjungovanou matici adj A k matici A. 4 1   2   A   5 2 3   4 0 1   Adjungovanou matici adj A vypočítáme tak, že každý prvek matice A nahradíme jeho algebraickým doplňkem a takto získanou matici transponujeme:

 2   0  4 adj A     0  4   2

3 1 1 1 1 3

5 3  4 1 2 1 4 1 2 1  5 3

5 2 4 0 2 4  4 0 2 4 5 2

T

  T  8   2  17   2  4  14         4 6 16     17 6 1    14  8 16  24  1  24       

Inverzní matice Buďte A, B čtvercové regulární matice stupně n. Řekneme, že B je inverzní matice k matici A nebo že A je inverzní maticí k matici B , jestliže A  B  B  A  E , kde E je jednotková matice. Příklad 13. Určeme inverzní matici A-1 k matici A.  2 3 0   A   0 1 1   1 2 0   

 2   0  1   2   0  0 

3 0 1 1 2 0 3 0 7 0 0 7

  1 0 0  0 1 0   0 0 1  

1 0 0  2   0 1 0  0 0 0 1   0 1 0 0   14   1 0 2   0 1  7 2   0 2 7 1 7 1 7

0  0 


7 7

3 7 2 7 2 7

        

3 0 1 1 7 0 0 0 7 0 0 7

A

1

1 0 0  2   0 1 0  0 1 0 2   0 4 0  6  7   1 0 2  0 1  7 2   0

3 0 1 1 0 7 0 0 7 0 0 7

1 0 0  0 1 0  1  7 2  2 0  3  1 0 2  1  7 2 

0 3   2  1    1 0 2 7  2   1 7

11

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Příklad 14. Určeme inverzní matici A-1 k matici A.

4 1   2   A   5 2 3   4 0 1   Řešení 1 Zjistíme determinant dané matice a matici adjungovanou. Je-li determinant nenulový, platí vztah adj A 1 . A  det A det A vypočteme snadno pomocí Sarrusova pravidla: 2 4 1 det A  5  2  3  4  0  48  8  0  20  80 , 4 0 1

výpočet adj A je uveden v předchozím příkladě, proto   2  4  14   1  1 A     17 6 1 . 80    8 16  24  Řešení 2

Pomocí jednotkové matice:

2 4 1  5  2 3 4 0 1 

1 0 0  2 4 1 1 0 0    0 1 0    0  24  1  5 2 0  0 0 1   0  8 3  2 0 1 2 4 1 1 0 0    20  40 0 9 2  3       0  24 1 5 2 0    0 240 0 51  18  3   0 0  10 1 2  3   0 0  10 1 2  3   3 6 21     120 120 120    120 0 0  3  6  21  1 0 0   51 18 3   0 240 0 51  18  3    0 1 0   240 240 240   0 0  10 1 2  3   0 0 1 1 2 3      10 10 10   6 21   3   120 120    2  4  14   120  51 18 3 1 1      17 A   6 1   240 240 240  80    1 2 3   8 16  24      10 10   10 1 1 Zkoušku správnosti lze provést ověřením platnosti vztahu A  A  A  A  E , kde E je jednotková matice. www.matematika.webz.cz

12

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Příklad 15. Řešme soustavu rovnic

2 x1  x1

 3x 2 x2  2x2

 x3

 1  1  2

Jedná se o soustavu tří rovnic o třech neznámých, přičemž determinant matice soustavy 2 3 0 det A  0 1  1  7  0 , 1 2

0

takže soustava má právě jedno řešení. Řešení 1

Úpravou rozšířené matice soustavy (Gaussova eliminační metoda):  2 3 0 1  0 7 0 5  1  2 0  2       A   0 1 1  1   0 1  1  1   0 1 1  1  1 2 0 2    1 2 0 2   0 0 7 12  

Znovu jsme se přesvědčili, že soustava je řešitelná, neboť h A  h A'  3 (Frobeinova věta; A' je matice rozšířená) a h A  n ( n počet neznámých), takže řešení je právě jedno. 5 4 12 Z poslední upravené rovnice vidíme, že 7 x 3  12 , takže x 3  . Podobně x2  , x1   . 7 7 7 Řešení 2

Užitím Cramerova pravidla:

det A i , det A kde matice A i vznikne z A nahrazením i-tého sloupce pravými stranami soustavy. Takže 1 3 0 1 1 1 2 2 0 4 x1   7 7 2 1 0 0 1 1 1 2 0 5 x2   7 7 2 3 1 0 1 1 1 2 2 12 x3   7 7 xi 


13

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ 1

Řešení 3 Pomocí inverzní matice A k matici soustavy A : Danou soustavu lze přepsat ve tvaru rovnice:  2 3 0   x1   1         0 1 1    x2    1   1 2 0   x   2     3   Řešení této rovnice určíme tak, že vynásobíme zleva obě strany rovnice maticí A matici A . Známým způsobem (inverzní matice) zjistíme, že 0  3 2  1  1 A   1 0 2 . 7  2  1 7 Proto po dosazení do rovnice: 3 2 0    7   1  1 0 0   x1   7     1 2   0    1  0 1 0    x2    7    0 0 1  x  7 1 2   2    3 1   7 7  x1    4   1    x2     5  x  7  12   3   Odsud vidíme, že

1

inverzní k

4 5 12 x1   , x2  , x3  . 7 7 7

Pamatujme:

„Matematika je jen tehdy mocným nástrojem, když spolu s ní se zavádí něco nového, když vůbec do hloubky vnímá jak fyziku, tak i matematiku, když užívá právě ty metody, které jsou pro daný případ nutné. Zkouší-li bezmyšlenkovitě aplikovat matematický aparát a snaží-li se kompenzovat nedostatek pochopení podstaty věci matematickými formulemi, pak má stejně malou pravděpodobnost, že se dobere výsledku, jako má dítě začínající mluvit, že napíše báseň.“ A.N. Krylov


14


Permutace, determinanty a jejich užití Pořadí prvků Buď n přirozené číslo. Pořadím prvků 1,2,...., n rozumíme každou uspořádanou n-tici i1 , i2 ,..., in  prvků 1,2,...., n , kde se každý z prvků 1,2,...., n vyskytuje právě jednou. Inverze v pořadí Inverzí v pořadí i1 , i2 ,..., in  rozumíme každou dvojici čísel ir , i s takovou , že r  s a zároveň ir  is (tj. větší číslo se v pořadí vyskytuje před menším číslem). Permutace Permutací  množiny 1,2,..., n rozumíme každou bijekci množiny 1,2,..., n. Permutací  zapisujeme pomocí matice typu 2, n  tvaru  i1 , i 2 ,..., i n    ,  j1 , j 2 ,..., j n  ve které první řádek nazýváme pořadím vzorů, druhý řádek pořadím obrazů a pro každé x  1,2,..., nje  (i x )  j x . Množinu všech permutací množiny 1,2,..., n značíme S n . Inverzní zobrazení  1 k permutaci  nazýváme inverzní permutací k permutaci  . Říkáme, že permutace je v základním tvaru, jestliže pořadí vzorů je 1,2,..., n . Inverzní permutace Inverzní permutaci vytvoříme výměnou řádků. Znaménko permutace π Znaménkem permutace  rozumíme celé číslo 1 , kde k je počet všech inverzí v pořadí vzorů a m počet všech inverzí v pořadí obrazů. Znaménko permutace  značíme sign  . Je-li sign   1 řekneme, že permutace  je sudá, pokud sign   1 je permutace  lichá. k m

Příklad 16.

 3,4,1,2   . Určeme znaménko permutace  1,4,3,2  Můžeme postupovat dvěma způsoby. Buď určíme počet inverzí v pořadí vzorů a v pořadí obrazů (a), nebo nejprve zapíšeme permutaci v základním tvaru (b). Tedy a) inverze v pořadí vzorů: 3,4,1,2 2  2  0  0  4 inverze v pořadí obrazů 1,4,3,2 0  2  1  0  3 Znaménko permutace je  1

43

 1

1,2,3,4   . Inverzí v pořadí vzorů je tedy 0 a b) permutace zapsaná v základním tvaru je   3,2,1,4  3 v pořadí obrazů 2  1  0  0  3 , proto znaménko permutace je  1  1 .


15


Determinant matice A Buď A  aij  čtvercová matice n-tého řádu nad tělesem T . Determinantem matice A rozumíme prvek (číslo) det A z tělesa T , pro který platí: det A 

 1, 2,..., n   a1s1 a 2 s2 ...a nsn .  1 2 ,..., s n 

 sign  s , s  S n

Jsou-li a1, a 2 ,..., a n řádkové (resp. sloupcové) vektory matice A , píšeme místo det A též det a1 , a 2 ,..., a n  . Jinak definováno: Determinantem n-tého stupně matice  a11 , a12 ,..., a1n     a 21 , a 22 ,..., a 2 n  A .....................     a , a ,..., a  nn   n1 n 2 nazýváme číslo r det A    1 a1k1 a 2k 2 ...a nkn ,

kde se sčítá přes všechny permutace k1 , k 2 ,..., k n  čísel 1,2,..., n a kde r udává počet inverzí v permutaci k1 , k 2 ,..., k n  .  Determinant matice A je součet součinů; v každém součinu se vyskytuje z každého řádku i sloupce právě jeden prvek. Na druhé straně každý prvek řádku či sloupce se vyskytuje aspoň v jednom sčítanci.  Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na diagonále.  Vznikne-li matice B ze čtvercové matice A n-tého řádu výměnou dvou řádků, resp. sloupců, potom det B   det A .  Platí det A = det AT.  Věta o součtu determinantů: det a 1 , a 2 ,..., a i 1 , a i  b i , a i 1 ,..., a n   det a 1 ,..., a i ,..., a n   det a 1 ,..., b i ,..., a n   Věta o vytýkání konstanty ze řádku: det a1 , a 2 ,..., a i 1 , a i , a i 1 ,..., a n     det a1 , a 2 ,..., a i 1 , a i , a i 1 ,..., a n   Buď A čtvercová matice stupně n . Jestliže matice B vznikne z matice A vynásobením libovolného řádku prvkem c  T , pak det B  c  det A .  Věta o součinu dvou determinantů det  AB   det A  det B  Hodnota determinantu se nezmění, jestliže k danému řádku, resp. sloupci přičteme libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků, resp. sloupců.  Determinant regulární (singulární) matice je vždy různý od nuly (roven nule).


16

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Příklad 17. Spočtěme determinant pátého stupně

2 4 3 2 1 2 4 3 2 1

1 1 2 1 3 2 1 1 5 2 1 2 2 1 3 1 2 3 1 3

1 1 2 1 0 3 2 1 1  10 1 5 2 1 2  7 2 1 3 1 2 2 3 1 3 5 2 1 1  0 5

1 3 5 2 2

0 0 0  10 5  7 5 7 4 2 7 3 9 3  9 3   2 1 1 1 1 1 5 5 3 5 3 5

4 3 1  1 5

1 3 4 2 1 3 0 6 3 1  6  1 0  6    28 0 0 1 5 2 5 0 2 0 2 5

1. elementární transformace sloupců matice 2. (Lapleceův) rozvoj podle prvního řádku Minor (subdeterminant) Minorem (subdeterminantem) M ij z čtvercové matice A příslušným prvku a ij rozumíme determinant matice, která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Buď A  a ij  matice typu m, n  . Každou matici B , která vznikne z A vynecháním některých (libovolných) řádků a některých sloupců, nazýváme dílčí maticí matice A . Determinant každé čtvercové dílčí matice nazýváme subdeterminantem matice A .Je-li A čtvercová matice stupně n , pak vynecháním libovolných k řádků, k  n , a libovolných k sloupců z matice A dostaneme dílčí čtvercovou matici stupně n  k . Determinant každé takové dílčí matice nazýváme subdeterminantem matice A stupně n  k . Subdeterminant stupně n  1 vzniklý vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce označíme M ij . Prvek Aij   1

i j

M ij nazýváme

algebraickým doplňkem prvku a ij . Cramerovo pravidlo Je-li matice A regulární, pak rozšířená matice má právě jedno řešení, jež se vypočítá det Ai xi  , det A kde matice Ai vznikne z matice A nahrazením i-tého sloupce pravými stranami.


17

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Příklad 18. Pomocí Cramerova pravidla řešme soustavu 2 x1  2 x 2  x3 4 x1  3x 2  x3 8 x1  5 x 2  3x 3 3x1  3x 2  2 x 3

2 4 det A  8 3

2 1 3 1 5 3 3 2

  1 1 4 6 det A1  12 6

3 1

1 3

1 1  1   3  2 3 1

 1 

1 4 2 1 2 6 3 1  4 12 5  3 2 0 0 1

1 4 2 1 4 2 1 2 43   1  1  6 3 2   2  1 0  4 12 5 4 4 3 0 0

 2 1  64  2 4 3

2 4 1 4 6 1 det A 2  8 12  3 3 6 2   1 1

 4  6  12  6

1 2 2 1 1 0 1 1 2 0 1 1 0 1 4    1 1  0  3 1  4 0 3 1 0 1 1 0 2 1 1 0 0

2 1 3 1 5 3 3 2

  1 1 

 x4  2x4  4x4  2x4

1 3

1 2 4 1 1 0 2 1 2 0 2 1 0 1 4    1 1  0  4 1  4 0 4 1 0 1  2 0 2 1  2 0 0

 1 

2 1  2   4  2 4 1

2 1 4 3 1 6  2 5  3 12 3 2 6 det A3 det A 4 x3    1 , x4   1 det A det A

2 2 4 1 4 3 6 2 det A 3   2; det A 4  8 5 12 4 3 3 6 2 det A1 2 det A 2 2 x1    1 , x2    1, det A 2 det A 2

2 4 8 3

Zkouška: L1  2 1  2 1    1    1  4 ,

L2  4 1  3 1   1  2  1  6,

L3  8 1  5 1  3  1  4  1  12,

L4  3 1  3 1  2  1  2  1  6,


P1  4 ,

L1  P2

P2  6 ,

L2  P2

P3  12 , P4  6 ,

L3  P3 L4  P4

18


Vektorový prostor Vektorový prostor Nechť T je těleso, V množina. Uspořádanou trojici V ,,   , kde + je vnitřní operace na V (tj. zobrazení V  V  V ),  vnější operace na V nad T (tj. zobrazení T  V  V ), nazveme vektorovým prostorem nad tělesem T , jestliže: a V ,   je komutativní grupa, b vnější operace  splňuje tyto podmínky:   T a, b V :  .(a  b)   .a   .b,

 ,   T a V : (   ).a   .a   .a,  ,   T a V : ( . ).a   .(  .a), a V : 1.a  a (1 je jednotkový prvek z T) Ve vektorovém prostoru V T  platí: a a  V : 0  a  0 (0 je nulový skalár) b   T :   0  0 c   a  0    0  a  0 d a  V : a   1  a • Nejjednodušším příkladem vektorového prostoru je tzv. triviální nebo nulový vektorový prostor 0 , skládající se pouze z nulového vektoru. Příklad 19. Příklady vektorových prostorů 1. Těleso T spolu s operacemi sčítání a násobení definovanými na T je vektorový prostor nad T . 2. Speciálně těleso reálných čísel je vektorový prostor nad R (reálný vektorový prostor) 3. Množina P všech kladných reálných čísel spolu s operacemi  a  , kde r u  v  uv, r  u  u , u, v  P, r  R , je reálný vektorový prostor 4. Na množině T n všech uspořádaných n-tic prvků z T definujeme operace a1 , a 2 ,..., a n   b1 , b2 ,..., bn   a1  b1 , a 2  b2 ,..., a n  bn 

r a1 , a 2 ,..., a n   ra1 , ra 2 ,..., ra n 

Množina T n je pak vektorovým prostorem nad T , který nazýváme aritmetickým vektorovým prostorem nad T . Vektorový podprostor Nechť W je neprázdná podmnožina vektorového prostoru V ,,   . Uspořádanou trojici W ,,   nazveme (vektorovým) podprostorem prostoru V T  , jestliže platí: a a, b  W : a  b  W b   T a  W : a    W Průnik libovolného neprázdného systému podprostorů vektorového prostoru V je opět podprostorem prostoru V .


19

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Lineární obal Def.I Nechť a1 , a 2 ,..., a n jsou vektory z vektorového prostoru V (T ) . Množinu

M  1a1   2a2  ....   n an ;1,2 ,..., n  T  nazýváme podprostorem (lineárním obalem) generovaným vektory a1 , a2 ,..., an a značíme a1, a2 ,..., an  . O množině a1, a2 ,..., an  říkáme, že generuje množinu M nebo že je to množina generátorů podprostoru M. Def.II Buď M podmnožina vektorového prostoru V . Průnik všech podprostorů prostoru V , obsahujících množinu M , nazýváme lineárním obalem množiny M a značíme M  . • Buď M podmnožina vektorového prostoru V . Pak platí: a je-li M  0 , je M   0 b

je-li M  0 , pak M  je množina všech lineárních kombinací

n

r u i 1

i

i

, kde

u i  M , i  1,2,..., n . Úpravy generátorů Nechť a1 , a 2 ,..., a n jsou vektory z vektorového prostoru Vn T , M  a1 , a2 ,..., an  . Provedeme-li na skupinu vektorů a1 , a 2 ,..., a n některou z následujících změn, dostaneme novou skupinu vektorů, která generuje stejný podprostor M : a změna pořadí vektorů, b nahrazení libovolného vektoru z M jeho α-násobkem, kde   T ,  0 , c nahrazení libovolného vektoru z M jeho součtem s lineární kombinací ostatních vektorů z M , d vynechání vektoru, který je lineární kombinací ostatních vektorů, e přidání vektoru, který je lineární kombinací vektorů z M . Steinitzova věta Nechť vektory a1 , a2 ,..., an generují vektorový prostor V T  . Nechť vektory b1 , b2 ,..., bk z V T  jsou lineárně nezávislé. Pak platí: a kn b existuje n  k vektorů a i z a1 , a2 ,..., an , které spolu s vektory b1 , b2 ,..., bk generují

V T  .

Konečněrozměrný vektorový prostor Jestliže existují vektory a1 , a2 ,..., ak  V (T ) takové, že V (T )  a1 , a2 ,..., an  , je tento prostor konečněrozměrný. Báze Nechť V (T ) je konečněrozměrný prostor. Podmnožinu a1 , a2 ,..., an   V (T ) nazveme bází vektorového prostoru V (T ) , jestliže platí: a a1 , a 2 ,..., a n jsou lineárně nezávislé, b a1 , a2 ,..., an   V (T ) , tj. generují V (T )


20


Dimenze Nechť V (T ) je konečněrozměrný vektorový prostor. Dimenzí nenulového prostoru V (T ) nazýváme počet prvků některé jeho báze. Dimenze nulového vektorového prostoru je 0. Dimenze nekonečněrozměrného vektorového prostoru je  . Dimenzi vektorového prostoru V (T ) značíme dim V (T ) . Souřadnice vektoru vzhledem k bázi Označme  skupinu vektorů a1 , a2 ,..., an  v tomto pořadí a nechť  je báze vektorového prostoru V (T ), a V (T ) . Uspořádanou n-tici skalárů  1 ,  2 ,...,  n  takovou, že platí

a   1 a1   2 a 2  ...   n a n , nazýváme souřadnicemi vektoru a vzhledem k bázi  . Píšeme a    1 ,  2 ,...,  n  Součet podprostorů Nechť U , W jsou podprostory vektorového prostoru V T  . Podprostor U  W nazýváme lineárním součtem podprostorů U ,W . b Nechť U W  0. Potom lineární součet U  W nazýváme direktním součtem podprostorů U , W a píšeme U  W .  Nechť U  a1 , a 2 ,..., a n  , W  b1 , b2 ,..., bk  jsou podprostory vektorového prostoru V T  . Pak platí: U  W  a1 , a 2 ,..., a n , b1 , b2 ,..., bk  a



Nechť U , W jsou podprostory konečněrozměrného vektorového prostoru V T  . Pak platí: dim U  dim W  dim U  W   dim U W 

Příklad 20. Rozhodněme, zda množina W tvoří podprostor vektorového prostoru V3 R  . W  x, y,1 V3 R  Musíme ověřit podmínky vektorového podprostoru.  0,0,0   W  W  0 x1 , y1 ,1   x1 , y1 ,1   x1  x 2 , y1  y 2 ,2  W

 x, y,1   x,  y,    W

tedy W netvoří podprostor vektorového prostoru V3 R  .


21

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Příklad 21. Určeme bázi a dimenzi vektorového prostoru generovaného vektory u 1  2,0,1,3,1, u 2  1,1,0,1,1, u 3  0,2,1,5,3, u 4  1,3,2,9,5 z aritmetického vektorového prostoru R 5 . Nejprve zjistíme, zda vektory u 1 , u 2 , u 3 , u 4 nejsou lineárně nezávislé, tj. zda netvoří bázi daného vektorového prostoru. Řešíme tedy rovnici c1 u 1  c 2 u 2  c3 u 3  c 4 u 4  0 , kterou lze přepsat na soustavu 2c1  c 2  c4  0 c 2  2c 3  3c 4  0 c1  c 3  2c 4  0 3c1  c 2  5c 3  9c 4  0  c1  c 2  3c 3  5c 4  0 Užitím Gaussovy eliminační metody zjistíme, že tato soustava je ekvivalentní se soustavou  c1  c 2  3c 3  5c 4  0 c 2  2c 3  3c 4  0 která má zřejmě nekonečně mnoho řešení závislých na 2 parametrech. Množinu všech řešení soustavy lze zapsat např. ve tvaru  c3  2c 4 ,2c3  3c 4 , c3 , c 4 ; c3 , c 4  R. To znamená, že např. pro c3  c 4  1 je  3,5,1,1 jedním z řešení soustavy, takže

 3u 1  5u 2  u 3  u 4  0 . Vektory u 1 , u 2 , u 3 , u 4 jsou tedy lineárně závislé a bází daného vektorového prostoru netvoří. Podobně i vektory u 1 , u 2 , u 4 jsou lineárně závislé, neboť  2u 1  3u 2  u 4  0 . Vektory u 1 , u 2 jsou již lineárně nezávislé, protože k1 u 1  k 2 u 2  0 právě tehdy, když k1  k 2  0 . Množina   u 1 , u 2   2,0,1,3,1, 1,1,0,1,1je tedy bází daného vektorového prostoru a jeho dimenze je rovna 2. Jinou bázi téhož vektorového prostoru určíme jednodušším způsobem úpravou matice 0 1 3 1   1 1 0 1 1  u1   2       1 0 1 1   0 2 1 5 3  u2   1 A    u3 0 2 1 5 3   0 2 1 5 3         u   1  3 2 9  5   0  4 2 10  6      4 

1 0 1 1  1   A    0  2 1 5  3    Řádky matice A jsou lineárně nezávislé vektory, které tvoří bázi daného vektorového prostoru.


22


Euklidovské vektorové prostory Euklidovský vektorový prostor Vektorový prostor  E,,  nad R nazýváme euklidovským vektorovým prostorem, jestliže existuje zobrazení g : E  E  R takové, že pro libovolné vektory a, b, c  E a libovolné reálné číslo  platí: a g a, b  g b, a  b g a  b, c   g a, c   g b, c  c g  a, c    g a, c  d g a, a   0, g a, a   0  a  0 Zobrazení g nazýváme skalárním součinem. Úmluva: Euklidovský vektorový prostor  E,,  se skalárním součinem g budeme v dalším textu značit E, g  . V euklidovském vektorovém prostoru E, g  platí: a a  a b

a  0;

c

a 0a0

g a, b  a b (Schwartzova nerovnost)

d

a  b  a b (trojúhelníková nerovnost)

Velikost vektorů a jimi sevřeného úhlu Nechť E, g  je euklidovský vektorový prostor, a, b  E . Délkou (velikostí, normou) vektoru a nazýváme reálné číslo a  g a, a  . Velikost  úhlu mezi vektory a, b definujeme takto: g a, b  pro a  0, b  0,   0,  cos   a b cos   0 pro a  0 nebo b  0 . Jestliže platí cos   0 , nazýváme vektory a, b kolmými (ortogonálními) a píšeme a  b . Ortogonální doplněk Nechť E, g  je euklidovský vektorový prostor, M podmnožina E . Ortogonálním doplňkem množiny M nazýváme množinu M   a  E; b  M : a  b Vektory ortogonální a ortonormální Nechť a1 , a 2 ,..., a k jsou vektory z euklidovského vektorového prostoru E, g  . Vektory a1 , a 2 ,..., a k nazýváme ortogonálními, jestliže a i  a j pro všechna i  j . Vektory

a1 , a 2 ,..., a k nazýváme ortonormální, jestliže jsou navzájem ortogonální a a i  1 , 1  i  k .


23

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Ortogonální (ortonormální) báze Nechť E, g  je n-rozměrný euklidovský vektorový prostor,   a1 , a 2 ,..., a n jeho báze. Jsouli vektory a1 , a 2 ,..., a n navzájem ortogonální, resp. ortonormální, nazýváme  ortogonální, resp. ortonormální bází. Příklad 22. Nechť V je podprostor aritmetického vektorového prostoru R 3 se skalárním součinem takový, že V  2,1,3, 4,2,0  . a Určeme: ortogonální bázi ve V , která není ortonormální b ortogonální doplněk V  v prostoru R 3 c ortonormální bázi ve V d ortonormální bázi ve V  . Vektory u1  2,1,3 a u 2  4,2,0 , které generují vektorový prostor V , jsou zřejmě lineárně nezávislé, takže množina u1 ,u 2  je bází tohoto podprostoru. Tato báze však není ortogonální, neboť u1  u 2  2.4  1.2  3.0  10  0 . Abychom dostali ortogonální bázi, nahradíme např. vektor u 2 vektorem w V takovým, že u1  w  0 . Protože w V , musí existovat čísla a1 , a2  R taková, že w  a1u1  a2 u 2 . Platí tedy u1   a1u1  a2 u 2   0 , takže a1. u1  u1   a2 . u1  u 2   0 . K určení vektoru w stačí najít libovolné nenulové řešení této rovnice . Proto zvolíme např. a2  1.   u1  u 2   2,1,3  4,2,0 5  . Potom a1  ; po dosazení a1  2,1,3  2,1,3 u1  u 1 7 5  18 9 15  Hledaný vektor w   2,1,3  4,2,0   , ,  . 7 7 7 7 a

  18 9 15  Množina   u1 , w  2,1,3,  , ,  je tedy ortogonální bází prostoru V , která není  7 7 7   ortonormální, neboť např. u1  u1  14  1. Jinou ortogonální bází prostoru V , která není ortonormální je množina '  2,1,3, 6,3,5. Ortogonálním doplňkem V  podprostoru V v prostoru R 3 , je množina všech vektorů z R 3 ortogonálních na vektory u1 ,u 2 . b





Tedy V   u  u1 , u 2 , u 3   R 3 ; u  2,1,3  0  u  4,2,0  0 . Pro každý vektor u V  tedy musí platit 2u1  u 2  3u 3  0

.

4u1  2u 2 0 Tato soustava má nekonečně mnoho řešení závislých na jednom parametru. Množinu řešení lze zapsat například ve tvaru  u1 ,2u2 ,0, u1  R .  3 Tedy V  u  R ; u  u1 ,2u 2 ,0  .






24

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ c

Ortonormální bázi vektorového prostoru V získáme např. z báze '  u1 , w'   2,1,3, 6,3,5, která je pouze ortogonální tak, že z vektorů u 1 , w' vytvoříme vektory jednotkové: u1 1 1   u1   2,1,3 u1 14 u1  u1 w1  w1

1 1  w1   6,3,5 w1  w1 70

1 1  Množina   2,1,3,  6,3,5 je tedy ortonormální bází vektorového prostoru V . 70 14  Vzhledem k tomu, že dimenze vektorového prostoru R 3 je rovna 3 a dimenze jejího podprostoru V je rovna 2, musí být dimenze podprostoru V  rovna 3  2  1 . To znamená, že libovolný nenulový vektor z V  tvoří bázi V  . Uvažujme např. bázi  1,2,0 . Tato báze zřejmě není ortonormální, neboť 1,2,0  1,2,0  5  1. Ortonormální bázi bude tvořit d

jednotkový vektor z V  , tedy vektor 1

 1  2  1,2,0´  , ,0  . 1,2,0  1,2,0 5   5

 1  2 Ortonormální bází prostoru V  je tedy množina  , ,0  . 5   5

Pamatujme:

„I kdyby byl naším údělem dlouhý život, bylo by nutné šetrně si rozdělit čas, aby stačil na nezbytné záležitosti. Jaké šílenství učit se zbytečnosti v tak velké časové tísni, v níž jsme.“ Seneca


25


Lineární zobrazení, isomorfismus vektorových prostorů Lineární zobrazení Nechť V (T ) , V ' (T ) jsou vektorové prostory nad týmž tělesem T . Zobrazení  : V  V ' se nazývá lineární zobrazení, jestliže pro libovolné a, b V ,   T platí: a  a  b   a    b (zobrazení se nazývá aditivní) b   a     a  (zobrazení je homogenní) • Obraz lineární kombinace vektoru z V je roven lineární kombinaci jejich obrazů se stejnými koeficienty. Jádro a obraz zobrazení ρ Nechť  : V T   V ' T  je lineární zobrazení. Množina ker   a V ;  a   o se nazývá jádro zobrazení  , množina Im   b V ' ; a V :  a   b se nazývá obraz zobrazení  . • ker  je podprostor prostoru V (T ) , Im  je podprostor prostoru V ' (T ) . • Nechť  : V T   V ' T  je lineární zobrazení a V je konečně rozměrný prostor. Pak platí: dimker    dimIm    dim V • Nechť  : V T   V ' T  je lineární zobrazení a V je konečně rozměrný prostor. Pak jsou následující podmínky ekvivalentní: a)  je prosté b) ker   o c) dim (Im  )  dim V

Takto lineární algebra rozhodně nekončí, končí jen má práce.

Použitá literatura Bican, L.: Lineární algebra, Praha 1979 Bican, L.: Lineární algebra v úlohách, Praha 1979 Kopecký, M. - Emanovský, P.: Sbírka řešených příkladů z algebry, Olomouc 1990 Liebl, P.: Maticová algebra, Praha 1977 Novotná, J. - Trch, M.: Algebra a teoretická aritmetika (Lineární algebra), Praha 1995 Novotná, J. - Trch, M.: Algebra a teoretická aritmetika (Základy algebry), Praha 1993


26


OBSAH ELEMENTY LINEÁRNÍ ALGEBRY ..................................................................................... 0 Základní pojmy ........................................................................................................................ 1 Binární relace R ................................................................................................................... 1 Zobrazení ............................................................................................................................. 2 Binární operace .................................................................................................................... 2 Grupa ................................................................................................................................... 2 Číselné těleso ....................................................................................................................... 3 Aritmetický vektor ............................................................................................................... 3 Rovnost dvou aritmetických vektorů .................................................................................... 3 Součet dvou aritmetických vektorů....................................................................................... 3 α-násobek............................................................................................................................. 3 Nulový aritmetický vektor .................................................................................................... 3 Lineární kombinace .............................................................................................................. 3 Lineární závislost a nezávislost vektorů................................................................................ 4 Matice ...................................................................................................................................... 6 Diagonála a diagonální matice .............................................................................................. 6 Jednotková matice ................................................................................................................ 6 Transponovaná matice.......................................................................................................... 6 Matice symetrická a antisymetrická ...................................................................................... 7 Trojúhelníková matice.......................................................................................................... 7 Čtvercové matice: regulární  singulární ............................................................................. 7 Řádkový prostor ................................................................................................................... 7 Hodnost matice .................................................................................................................... 7 Elementární úpravy .............................................................................................................. 7 Rovnost matic ...................................................................................................................... 8 Součet matic ........................................................................................................................ 8 α-násobek matice ................................................................................................................. 9 Součin matic ...................................................................................................................... 10 Záměnné matice ................................................................................................................. 10 Frobeinova věta.................................................................................................................. 10 Adjungované matice........................................................................................................... 11 Inverzní matice .................................................................................................................. 11 Permutace, determinanty a jejich užití .................................................................................... 15 Pořadí prvků ...................................................................................................................... 15 Inverze v pořadí ................................................................................................................. 15 Permutace .......................................................................................................................... 15 Inverzní permutace ............................................................................................................. 15 Znaménko permutace π ...................................................................................................... 15 Determinant matice A ........................................................................................................ 16 Minor (subdeterminant) ...................................................................................................... 17 Cramerovo pravidlo ........................................................................................................... 17 Vektorový prostor .................................................................................................................. 19 Vektorový prostor .............................................................................................................. 19 Vektorový podprostor ........................................................................................................ 19 Lineární obal ...................................................................................................................... 20 Úpravy generátorů.............................................................................................................. 20 Steinitzova věta .................................................................................................................. 20 Konečněrozměrný vektorový prostor.................................................................................. 20 www.matematika.webz.cz

27

PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ Báze ................................................................................................................................... 20 Dimenze ............................................................................................................................. 21 Souřadnice vektoru vzhledem k bázi .................................................................................. 21 Součet podprostorů ............................................................................................................ 21 Euklidovské vektorové prostory ............................................................................................. 23 Euklidovský vektorový prostor........................................................................................... 23 Velikost vektorů a jimi sevřeného úhlu............................................................................... 23 Ortogonální doplněk........................................................................................................... 23 Vektory ortogonální a ortonormální ................................................................................... 23 Ortogonální (ortonormální) báze ........................................................................................ 24 Lineární zobrazení, isomorfismus vektorových prostorů......................................................... 26 Lineární zobrazení.............................................................................................................. 26 Jádro a obraz zobrazení ρ ................................................................................................... 26 Použitá literatura .................................................................................................................... 26 OBSAH ................................................................................................................................. 27


28

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Recommend Documents