Universitatea Babes¸-Bolyai Cluj-Napoca ˘ tirea Personalului Departamentul pentru Prega Didactic ˘ ¸si Informatica ˘ Facultatea de Matematica
˘ Lucrare metodico-s¸tiint ¸ ifica pentru obt¸inerea gradului didactic I
Conduc˘ator ¸stiint¸ific, ´ s Szila ´ rd Dr. Andra lector universitar
Candidat, ´ Hajnalka Csapo ´ Liceul Teoretic M´arton Aron Miercurea Ciuc
Cluj-Napoca Seria 2009-2011
Universitatea Babes¸-Bolyai Cluj-Napoca ˘ tirea Personalului Departamentul pentru Prega Didactic ˘ ¸si Informatica ˘ Facultatea de Matematica
˘ Lucrare metodico-s¸tiint ¸ ifica pentru obt¸inerea gradului didactic I Eficient¸a pred˘ arii analizei matematice
Conduc˘ator ¸stiint¸ific, ´ s Szila ´ rd Dr. Andra lector universitar
Candidat, ´ Hajnalka Csapo ´ Liceul Teoretic M´arton Aron Miercurea Ciuc
Cluj-Napoca Seria 2009-2011
´ nyegyetem Babes¸-Bolyai Tudoma ´ rke ´pzo ˝ Inte ´zet Tana ´s Informatika Kar Matematika e
I-es fokozati szakdolgozat
A matematikai anal´ızis oktat´ as´ anak hat´ekonys´ aga
T´emavezet˝o ´ s Szila ´ rd Dr. Andra adjunktus
Kolozsv´ar 2009-2011.
Tan´ar ´ Hajnalka Csapo ´ M´arton Aron Gimn´azium Cs´ıkszereda
Tartalomjegyz´ ek 1. A term´ eszettudom´ anyok tan´ıt´ as´ anak probl´ em´ ai eur´ opai ´ es hazai jelent´ esek t¨ ukr´ eben
5
1.1. A Gago-jelent´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2. A Rocard-jelent´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3. A Miclea jelent´es ´es a rom´aniai helyzet . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4. A matematikaoktat´as helyzete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.5. Projektek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2. Az exponenci´ alis f¨ uggv´ eny bevezet´ ese p´ enz¨ ugyi fogalmakon kereszt¨ ul 32 2.1. Bevezet˝o p´enz¨ ugyi fogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 2.2. Az (en )n≥1 , en = 1 + n1 sorozat vizsg´alata . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2.1. A sorozat monotonit´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.2.2. A sorozat korl´atoss´aga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.3. Az exponenci´alis f¨ uggv´eny ´ertelmez´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.4. Az exponenci´alis f¨ uggv´eny tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.4.1. Az exponenci´alis f¨ uggv´eny monotonit´asa . . . . . . . . . . . . .
40
2.4.2. Az exponenci´alis f¨ uggv´eny konvexit´asa . . . . . . . . . . . . . .
41
2.4.3. Az exponenci´alis f¨ uggv´eny folytonoss´aga . . . . . . . . . . . . .
43
2.4.4. Az exponenci´alis f¨ uggv´eny deriv´alhat´os´aga . . . . . . . . . . . .
44
3. Feladatlapok
34
45
3.1. feladatlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
45
3.2. feladatlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.3. feladatlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.4. feladatlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.5. feladatlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.6. feladatlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4. Tapasztalatok, k¨ ovetkeztet´ esek
59
2
Bevezet´ es
’The best way to learn is to do - to ask, and to do. The best way to teach is to make students ask, and do. Don’t preach facts – stimulate acts.’ (Halmos P´ al)
Az ut´obbi ´evtizedben t¨obb olyan nemzetk¨ozi felm´er´es sz¨ uletett, amely a matematika ´es a term´eszettudom´anyok oktat´as´anak hat´ekonys´ag´at vizsg´alta a fenntarthat´o gazdas´agi ´es t´arsadalmi fejl˝od´es szempontj´ab´ol. A leg´atfog´obbak a 2004-es Gagojelent´es (Europe needs more scientists) ´es a 2007-es Rocard-jelent´es (Science Education NOW: A Renewed Pedagogy for the Future of Europe). Mindk´et jelent´es v´egs˝o aj´anl´asai k¨oz¨ott szerepel a matematika ´es a term´eszettudom´anyok oktat´as´aban alkalmazott pedag´ogiai m´odszerek meg´ uj´ıt´asa, pontosabban a k´ıv´ancsis´ag-vez´erelt oktat´as (Inquiry Based Learning) sz´eles k¨or˝ u alkalmaz´asa. T¨obbek k¨oz¨ott a jelent´esek hat´as´ara d¨ont´eshoz´oi szinten is tudatosultak azok az ´eget˝o probl´em´ak, amelyekkel a matematik´at ´es a term´eszettudom´anyokat oktat´ok szembes¨ ulnek, ´ıgy az Eur´opai Bizotts´ag is t¨obb ilyen ir´any´ u projektet t´amogat. A 2010 janu´arj´aban indul´o Primas projektben val´o r´eszv´etel r´air´any´ıtotta figyelmem arra, hogy nagy sz¨ uks´eg van u ´jszer˝ u (de r´egi elveken alapul´o) tananyagok l´etrehoz´as´ara. Dolgozatomban az exponenci´alis f¨ uggv´enyt ´es tulajdons´agait prob´alom meg a kiv´ancsis´ag-vez´erelt oktat´as elveit szem 3
el˝ott tartva bevezetni. K¨osz¨onettel tartozom az´ert, hogy ez a dolgozat megsz¨ ulethetett dr. Andr´as Szil´ard adjunktusnak, aki k¨oz´episkol´as korom o´ta figyelte, egyengette matematikai p´alyafut´asomat, illetve ami´ota tan´ar vagyok mindv´egig t´amogatott megjegyz´eseivel, ´ep´ıt˝o kritik´aj´aval, seg´ıt˝o ´eszrev´eteleivel ´es azzal a nagy ´erdekl˝od´essel, amivel mindig is a tan´ıt´as k´erd´esei fel´e fordult, s nem tette ezt m´ask´ent jelen dolgozat ´ır´asakor sem.
4
1. fejezet A term´ eszettudom´ anyok tan´ıt´ as´ anak probl´ em´ ai eur´ opai ´ es hazai jelent´ esek t¨ ukr´ eben Az ut´obbi ´evtizedben egy igen aggaszt´o jelens´eggel kell szemben´ezn¨ unk. A technika sz´azad´aban egyre kevesebb fiatal mutat ´erdekl˝od´est a matematikai ´es term´eszettudom´anyos p´aly´ak ir´ant. M´ıg az egyetemet v´egzettek sz´ama n¨ovekv˝oben van Eur´op´aban ´es a mi orsz´agunkban is, addig a matematika ´es term´eszettudom´anyos szakokat v´alaszt´ok sz´ama cs¨okken, s˝ot a b´armilyen tudom´anyos karriert befutni v´agy´ok sz´ama is cs¨okken˝oben van. R´eszletesen elemzi ezt a helyzetet t¨obb erre a c´elra kinevezett eur´opai szakbizotts´ag. A Rocard-jelent´es a term´eszettudom´anyokra a k¨ovetkez˝o meghat´aroz´ast adja: ,,A ,,term´eszettudom´anyokba” (ang. science) t´agabb ´ertelemben beletartozik minden olyan ismeretrendszertan, amely a val´os´agot objekt´ıven ´abr´azolja. Sz˝ ukebb ´ertelemben v´eve a term´eszettudom´any olyan rendszer, amely a tud´as megfigyel´es, kutat´as ´es k´ıs´erlet ´altali megszerz´es´en ´es term´eszettudom´anyos m´odszerekkel val´o le´ır´as´an ´es ¨osszegz´es´en alapul. E tanulm´any szerint a term´eszettudom´any fogalma alatt ´ertend˝ o minden term´eszettani ´ertelemben vett tudom´any: ´ıgy a biotudom´anyok, a sz´am´ıt´og´eppel foglalkoz´o tudom´anyok ´es technol´ogi´ak, valamint a matematika tudom´any´againak ¨ossze5
foglal´o neve, illetve az ´altal´anos - ´es k¨oz´episkolai oktat´as tant´argyai, amelyek ezen szakter¨ uletek valamelyik´evel foglalkozik.” Dolgozatomban a tov´abbiakban ezt fogom ´erteni term´eszettudom´any alatt.
1.1.
A Gago-jelent´ es
A 2004 a´prilis´aban Br¨ usszelben bemutatott Gago-jelent´es1 szerint 2001-ben az EU-ban 5,7 kutat´o jutott 1000 foglalkoztatottra, a tags´agra v´ar´o orsz´agokban pedig a´tlagosan 3,5 kutat´o. 1996 ´es 2001 k¨oz¨ott az a´tlagos ´evi n¨oveked´es 2,6% volt az EU tagorsz´agokban ´es 2,1% a tags´agra v´ar´o orsz´agokban. Az orsz´agok k¨oz¨ott is nagy k¨ ul¨onbs´egek vannak. A fenti a´tlagok amelett vannak, hogy egyes orsz´agokban (Finnorsz´ag, Norv´egia, Sv´edorsz´ag) az 1000 foglalkoztatottra jut´o kutat´ok sz´ama j´oval meghaladja a 8-as a´tlagot, amit az eur´opai gazdas´agi ´es technol´ogiai fejl˝od´es fenntart´asa ig´enyel. N´eh´any orsz´agban a 90-es ´evekben a n¨oveked´es is el´eg magas (G¨or¨ogorsz´agban ´es Portug´ali´aban t¨obb, mint 100%-kal, Ausztri´aban, Finnorsz´agban, D´ani´aban, Sv´edorsz´agban ´es Belgiumban t¨obb, mint 50%-kal n˝ott a 90-es ´evekben az 1000 foglalkoztatottra jut´o kutat´ok sz´ama), ami azt jelenti, hogy m´as orsz´agokban ´ l´enyegesen alacsony, s˝ot cs¨okken˝o tendenci´at mutat. Erdemes ezeket az adatokat o¨sszehasonl´ıtani a Jap´anbeli 9,14 kutat´o/1000 foglalkoztatott, illetve az Egyes¨ ult ´ Allamokbeli 8,08 kutat´o/1000 foglalkoztatottal. A lisszabonai EU cs´ ucson 2000-ben kit˝ uz¨ott c´el a GDP 3%-a kutat´asra 2010-ig. Ehhez k´epest az akkori 1,82% 2008-ig csak 1,9%-ra n¨ovekedett. A 3%-os c´el 8 kutat´o/1000 foglalkoztatottat jelentene, ami azt jelenti, hogy Eur´op´anak f´elmilli´oval t¨obb kutat´asban dolgoz´o emberre van sz¨ uks´ege. A csoport az Uni´o orsz´agait tanulm´anyozva meg´allap´ıtotta, hogy k¨ ul¨on¨osen rossz a helyzet a term´eszettudom´anyok ter¨ ulet´en. Ezek k¨oz¨ott f˝ok´ent a matematika ´es fizika tudom´anyok ir´anti ´erdekl˝od´es mutat nagyobb cs¨okken´est (az ´elettudom´anyok ´es a 1
Jos´e Mariano Gago ´ altal vezetett kutat´ocsoport a EUROPE NEEDS MORE SCIENTISTS
(Eur´ op´ anak t¨ obb tud´ osra van sz¨ uks´ege) konferenci´ara k´esz´ıtett Increasing Human Recources for Science and Technology in Europe (Hum´an er˝oforr´asok meger˝os´ıt´ese a term´eszettudom´anyok ´es m´ern¨ oki tudom´ anyok ter´en Eur´ op´ aban) c´ım˝ u tanulm´anya
6
sz´am´ıt´astechnika ir´anti ´erdekl˝odes stabil vagy ak´ar n¨oveked´est mutat). A Gago-jelent´es besz´amol az Eur´opai Fizikai T´arsas´ag (European Physical Society) a´ltal v´egzett MAPS (MApping Physics Students in Europe) tanulm´anyr´ol, amely szerint 1997 ´es 2001 k¨oz¨ott 17%-kal cs¨okkent Eur´op´aban a fizik´aban diplom´azottak sz´ama, a fizika egytemet v´alaszt´ok sz´ama pedig 2,7%-kal cs¨okkent. A term´eszettudom´anyos, m˝ uszaki ´es matematikai oktat´assal szervezett form´aban csak az iskol´aban tal´alkoznak a gyerekek (nem mint a nyelvek, sport vagy zenei nevel´essel). Ugyanakkor sz´amos ´elethelyzetben megjelennek ezek. Nagyon sok embernek ezekr˝ol a tudom´anyokr´ol val´o inform´aci´oszerz´es kiz´ar´olag az iskola falai k¨oz¨ott t¨ort´ent. Az elemi iskol´akban viszonylag egyszer˝ u felkelteni a gyerekek b´armi ir´anti ´erdekl˝od´es´et. Ez egyre nehezebb vagy ak´ar lehetetlen a nagyobb gyerekekn´el. Sajnos ez csaknem minden t´eren ´ıgy van. A term´eszettudom´anyoknak az a h´atr´anya, hogy viszonylag k´es˝on kezdik tanulni, a k´emi´at vagy a fizik´at p´eld´aul 13-14 ´eves kor k¨or¨ ul. Az elemi oszt´alyokban tan´ıt´ok pedig az esetek t¨obbs´eg´eben kev´es term´eszettudom´anyos orient´alts´ag´ u felk´esz¨ ul´esben r´eszes¨ ulnek. Ugyanakkor k´epesek kell legyenek komplex tudom´anyos jelens´egeket elmagyar´azni egyszer˝ u ´es ´erdekfesz´ıt˝o m´odon. A matematika ´es a fizika ter¨ uleteken bizonyos eur´opai orsz´agokban nemcsak a kutat´ok de a tan´arok sz´ama sem elegend˝o. ´Igy m´as v´egzetts´eg˝ uek tan´ıtj´ak ezeket a tudom´any´agakat. A jelent´es szerint a term´eszettudom´anyok ir´anti ´erdekl˝od´es cs¨okken´es´enek egy m´asik oka a nem megfelelel˝o p´alyav´alaszt´asi tan´acsad´as. A p´alyav´alaszt´asi tan´acsad´ok a´ltal´aban valamilyen hum´an vagy t´arsadalomtudom´anyi v´egzetts´eg˝ uek (n´alunk pszichol´ogusok), ´ıgy nem mindig tudnak re´alis k´epet adni a term´eszettudom´anyos szakm´akr´ol. A m´edia is a´ltal´aban arr´ol t´aj´ekoztat, hogy nem a tudom´anyos p´aly´ak a legmegfizetettebbek, ugyanakkor kev´esb´e t´aj´ekoztat arr´ol, hogy a fels˝obb tanulm´anyaikat a term´eszettudom´anyok ter¨ ulet´en v´egz˝ok k¨oz¨ott sokkal kevesebb a munkan´elk¨ uli ´es a gyeng´en fizetett, mint p´eld´aul a hum´an vagy m˝ uv´eszeti v´egzetts´eg˝ uek k¨oz¨ott.
7
A szenz´aci´ohajh´asz´as miatt a m´edia nagyon befoly´asolja a tudom´anyokr´ol alkotott k´epet. (P´eld´aul a sok tudom´anyos-fantasztikus filmnek k¨osz¨onhet˝oen sokan hiszik azt, hogy a tud´osok val´oban foglalkoznak a teleport´al´as tanulm´anyoz´as´aval) A Gago-jelent´es besz´amol sz´amos felm´er´es eredm´eny´er˝ol. A 2001-es Eurobarometer 55.2 felm´er´es alapj´an a legfontosabb tudom´anyos inform´aci´oforr´ask´ent az emberek 60%-a a telev´ızi´ot, 37%-a az ´ırott sajt´ot, 27%-a a r´adi´ot, 22%-a az iskol´at, 20%-a a tudom´anyos foly´oiratokat ´es 17%-a az internetet jel¨olte meg. Az arra vonatkoz´o k´erd´esre, hogy mi lehet az oka tudom´anyok ir´anti ´erdektelens´egnek a v´alaszad´ok 60%-a szerint az iskolai tudom´anyos oktat´as nem el´eg ´erdekes, 55% szerint a tudom´anyos t´em´ak t´ ul bonyolultak, 50%-ukat k¨ ul¨on¨osebben nem ´erdeklik a tudom´anyos t´em´ak, 42% szerint pedig a tudom´anyos karrier nem el´eg vonz´o. A 2001-es Eurobarometer felm´er´es szerint az embereket a tudom´anyok k¨oz¨ ul legink´abb az orvostudom´any (60%), a k¨ornyezet (52%) ´es az internet (28%) ´erdekli, a legkev´esb´e pedig a nanotechnol´ogia (4%) ´erdekli. A jelent´es le´ırja sz´amos felm´er´es eredm´eny´et fi´ uk ´es l´anyok ´erdekl˝od´esi k¨or´ere vonatkoz´oan. Az iskol´as tanul´okat vizsg´al´o SAS tanulm´any2 szerint u ´gy a fi´ ukat, mint a l´anyokat legjobban ´erdekl˝o tudom´anyos t´em´ak: • A f¨old¨on k´ıv¨ uli ´elet lehet˝os´ege • A sz´am´ıt´og´epek ´es mire haszn´alhatjuk • A dinozauruszok ´es mi´ert haltak ki • F¨oldreng´esek ´es vulk´anok • Zene, hangszerek ´es hangok • A Hold, a Nap ´es a bolyg´ok 2
Svein Sjøberg, 2002, ”Science And Scientists: The SAS-study Cross-cultural evidence and per-
spectives on pupils interests, experiences and perceptions”
8
Ugyanez a tanulm´any szerint a fi´ ukat ´es a l´anyokat egyar´ant a legkev´esb´e erdekl˝o t´em´ak: • Hogyan n¨ovelj¨ uk a term´est a kertekben ´es a farmokon? • Hogyan n˝onek a n¨ov´enyek ´es mire van sz¨ uks´eg¨ uk? • N¨ov´enyek ´es ´allatok a k¨ornyezetemben. • Tiszt´ıt´oszerek, szappanok ´es m˝ uk¨od´es¨ uk • T´apl´al´ek k´esz´ıt´ese, tart´os´ıt´asa ´es t´arol´asa • H´ıres tud´osok ´es ´elet¨ uk A k¨ ul¨onb¨oz˝o felm´er´esek szerint a tudom´anyos t´em´ak ´atlagban k´etszer annyi fi´ ut ´erdekelnek, mint l´anyt. A fi´ uk k¨or´eben elterjedtebb a technika ir´anti ´erdekl˝od´es, m´ıg a l´anyok k¨or´eben a n¨ov´eny ´es ´allatvil´ag ir´anti ´erdekl˝od´es. A jelent´es sz´amos okot vizsg´al ´es javaslatokat tesz a helyzet jav´ıt´asa ´erdek´eben. A tan´ıt´asr´ol, mint a jelens´eget befoly´asol´o egyik fontos t´enyez˝or˝ol a k¨ovetkez˝oket a´llap´ıtja meg: Az iskol´aban zajl´o matematikai ´es term´eszettudom´anyos oktat´as egy ,,saj´at vil´agban” zajlik, amely nem tud a tudom´anyos ter¨ uleteken zajl´o fejl˝od´essel l´ep´est tartani. A di´akok t´ ul absztraktnak ´erz´ekelik, mert alapgondolatokat pr´ob´al ´atadni megfelel˝o k´ıs´erletez˝o, megfigyel˝o, ´ertelmez˝o h´att´er n´elk¨ ul. Abban az a´llapotban van, hogy t´ ulnyom´oan t´enyszer˝ u, ez´altal nem el´egg´e figyelem ´es ´erdekl˝od´es felkelt˝o. A di´akok t¨obbs´ege irrelev´ansnak ´es neh´eznek tartja. Az iskolai oktat´as meg kellene oldja a gyerekek term´eszettudom´anyok ir´anti ´erdekl˝od´es´enek n¨ovel´es´et u ´gy hivat´as v´alaszt´as szintj´en, mint a mindennapi ´eletr˝ol val´o gondolkod´as szintj´en. Ennek ´erdek´eben a term´eszettudom´anyok oktat´as´at mindenkinek el´erhet˝ov´e kell tenni. Ezt a tanterv k´esz´ıt´esn´el kell kezdeni. Olyan tanterveket kell k´esz´ıteni, ami mindenki sz´am´ara er˝os´ıti a term´eszettudom´anyok meg´ert´es´et, felkelti a tanul´ok kiv´ancsis´ag´at ´es egy elfogult tudom´anyos gondolkod´asra tesznek szert. A tan´ıt´o- ´es 9
tan´ark´epz´esbe be kell iktatni a kutat´as ´es k´ıs´erletez´es vez´erelt oktat´asi m´odszerek elsaj´at´ıt´as´at. Optimiz´alni kell a tanul´as felt´eteleit. A tan´ıt´okat ´es tan´arokat meg kell gy˝ozni arr´ol, hogy di´akjaikban re´alis k´epet alak´ıtsanak ki a term´eszettudom´anyos hivat´asokr´ol ´es azok mindennapi ´eletben val´o fontoss´ag´ar´ol. Szorgalmazni kell az inform´alis term´eszettudom´anyos tanul´ast. Olyan h´al´ozatokat kell ki´ep´ıteni a m´edi´an, interneten keresz¨ ul, amelyek seg´ıthetnek a term´eszettudom´anyos nevel´esben)
1.2.
A Rocard-jelent´ es
A 2007-es Rocard-jelent´es3 meger˝os´ıti az el˝oz˝o jelent´es meg´allap´ıt´asait, s˝ot a helyzet s´ ulyosbod´as´ar´ol besz´el. ,,Az elm´ ult ´evekben sz´amtalan tanulm´any sz¨ uletett a t´em´aban, miszerint Eur´op´aban a fiatalokat egyre kev´esb´e ´erdeklik a term´eszettudom´anyos tant´argyak vagy a matematika. A sz´amos ezzel foglalkoz´o projekt ´es kezdem´enyez´es ellen´ere, a t´eny´all´asban egyel˝ore nincs el˝orel´ep´es. Ha nem siker¨ ul ez u ¨gyben hat´asosan fell´epni, az hossz´ ut´avon Eur´opa innov´aci´os k´epess´eg´eben ´es kutat´omunk´ainak min˝os´eg´eben okozhat negat´ıv k¨ovetkezm´enyeket. Vesz´elyes jelens´eg, hogy am´ıg az emberek tudom´anyos ter¨ uleteken val´o foglalkoztatotts´aga cs¨okken, addig a mai tud´asalap´ u t´arsadalom erre vonatkoz´o ig´enye az ´elet minden ter¨ ulet´en n˝o.” A kutat´ocsoport mott´oja: ,,Ne f´elj a v´altoz´ast´ol! Hagyd m˝ uk¨odni, ´es felfedezed azokat a konkr´et pontokat, amiken sz¨ uks´eges v´altoztatnod, ahhoz, hogy v´altoz´ as v´egbemehessen!” A csoport az a´ltal´anos ´es k¨oz´episkolai term´eszettudom´anyos oktat´ast vizsg´alta arra fektetve hangs´ ulyt, hogy MIT ´es HOGYAN tan´ıtanak. A tanulm´anyban meg´allap´ıtj´ak, hogy ,,A term´eszettudom´anyos alapk´epz´esnek biztos´ıtania kellene a minden polg´ ar sz´am´ara sz¨ uks´eges term´eszettudom´anyok ir´anti pozit´ıv be´all´ıtotts´agot. Ezen kell f´aradoznunk, hogy a j¨ov˝o tudom´anyainak a legjobb szakembereket nevelhess¨ uk. A 3
Az Eur´ opai Bizotts´ ag Michel Rocard ´altal vezetett kutat´ocsoportja ´altal v´egzett tanulm´any: Sci-
ence Education NOW: A Renewed Pedagogy for the Future of Europe (Term´eszettudom´any nevel´ese MOST: a meg´ uj´ıtott pedag´ ogia j¨ ov˝ oj´enek)
10
term´eszettudom´anyos alapk´epz´es elengedhetetlen a k¨ ul¨onf´ele k¨ornyezetspecifikus orvosi, gazdas´agi vagy m´as probl´em´ak meg´ert´es´ehez, amelyekkel egy modern t´arsadalomnak konfront´al´odnia kell. A modern t´arsadalmak egyre ink´abb ki vannak t´eve a term´eszettudom´anyok ´es a technika u ´jabb ´es u ´jabb kih´ıv´asainak. A megold´as, minden polg´ar sz´am´ara el´erhet˝ov´e tenni az alapvet˝o k´eszs´egek kifejleszt´es´et, amellyel egy tudom´anyokon alapul´o t´arsadalom akt´ıv r´esztvev˝oje lehet. Meg kell adni a lehet˝os´eget, hogy az egy´en kifejleszthesse saj´at kritikai gondolkod´as´at ´es tudom´anyos k¨ovetkeztet˝ o k´epess´eg´et, ami megalapozhatja az egy´en k´es˝obbi term´eszettudom´anyok melletti elk¨otelez˝od´es´et. A meg´ uj´ıtott term´eszettudom´anyos nevel´es seg´ıthet a t´arsadalom t´eves ´ıt´eleteit megv´altoztatni ´es k¨oz¨os kult´ ur´ankat racion´alis gondolkod´assal u ´jra´ertelmezni.” A jelent´es a ,,meg´ uj´ıtott term´eszettudom´anyos nevel´es” alatt a k´ıv´ancsis´ag-vez´erelt oktat´as (Inquiry-Based Science Education, IBSE, Inquiry-Based Learning, IBL vagy Problem-Based Learning, PBL) el˝ot´erbe helyez´es´et ´erti. A term´eszettudom´anyos nevel´est k´et pedag´ogia koncepci´o jellemzi: • a dedukt´ıv m´odszer (Top-down oktat´as), amely sor´an a tan´ar saj´atjak´ent adja el˝o a k¨ ul¨onb¨oz˝o logikai k¨ovetkeztet´eseket ´es koncepci´okat majd megnevez n´eh´any alkalmaz´asi p´eld´at. • az indukt´ıv m´odszer (Bottom-up oktat´as), amely sor´an tan´ari szakvezet´essel, de a gyerek maga a´ll´ıtja fel a tananyag egyes t´eteleit. Az indukt´ıv m´odszer tulajdonk´eppen a k´ıv´ancsis´ag-vez´erelt oktat´as. K´ıv´ancsis´ag-vez´erelt tanul´ason a jelent´es szerz˝oi azt a folyamatot ´ertik, amely probl´em´ak felt´ar´as´ara, k´ıs´erletek elemz´es´ere, alternat´ıv´ak megtal´al´as´ara, kis kutat´asok megtervez´es´ere, sejt´esek megfogalmaz´as´ara, inform´aci´o-gy˝ ujt´esre, modell alkot´asra, koherens ´ervek megfogalmaz´as´ara ir´anyul (Lim, Davis, Bell 2004). A matematikaoktat´asban probl´emak¨ozpont´ u tan´ıt´asnak (Problem-Based Learning) nevezz¨ uk azt a m´odszert, amelyben a tanul´as egy probl´ema felvet´es´evel kezd˝odik ´es a tanul´asi folyamat sor´an megold´asra ker¨ ul. A probl´ema bemutat´asa u ´gy t¨ort´enik, hogy a gyerekeknek u ´j felismer´esekre kell szert tenni¨ uk, miel˝ott a probl´em´at megoldj´ak. 11
Nem az a l´enyeg, hogy egy konkr´et v´alaszt tal´aljanak, hanem, hogy min´el t¨obb inform´aci´ot gy˝ ujtsenek, ´ert´ekelj´ek azokat, majd dolgozz´ak ki a megold´ashoz sz¨ uks´eges k¨ovetkeztet´eseket ´es a´ll´ıtsanak fel saj´at defin´ıci´okat. A k´ıv´ancsis´ag-vez´erelt oktat´as egy probl´emamegold´ason alapul´o m´odszer. Jelent˝os´ege a megold´ashoz megfigyel´esen ´es k´ıs´erletez´esen ´at vezet˝o folyamatban rejlik. A
tanulm´anyb´ol
kider¨ ul
az
is,
hogy
a
legt¨obb
eur´opai
orsz´agban
a
term´eszettudom´anyos oktat´as sor´an legt¨obbsz¨or a dedukt´ıv m´odszert alkalmazz´ak annak ellen´ere, hogy sz´amos tan´ar rendelkezik k¨ ul¨onf´ele tapasztalatokkal, innovat´ıv elk´epzel´esekkel. Ezek megval´os´ıt´asa sokszor anyagi okokb´ol kudarcot vall. Ez´ert volna sz¨ uks´eg a kezdem´enyez´esek k¨oz¨otti kooper´aci´ora. Ugyanakkor vannak Eur´opa szint˝ u bev´alt kezdem´enyez´esek is, mint a POLLEN ´es a SINUS-TRANSFER projektek. Mindkett˝o jav´ıtott a gyermekek term´eszettudom´anyos ´erdekl˝od´es´en ´es teljes´ıtm´eny´en. A kutat´ocsoport azt is meg´allap´ıtotta, hogy azokn´al a kezdem´enyez´esekn´el, ahol az IBL-t haszn´alj´ak, sokkal akt´ıvabb a l´anyok r´eszv´etele, illetve o¨ntudatoss´aga, mint a tradicion´alis m´odszerek szerinti oktat´asban. A tan´aroknak is egy szakmai h´al´oszervezet tagjak´ent lehet˝os´eg¨ uk ny´ılik szakmai eszk¨ozt´aruk folyamatos b˝ov´ıt´es´ere. Ez lehet˝ov´e tenn´e a folyamatos tapasztalat-, o¨tlet´es eszmecser´et, tan´arok ´es kutat´ok p´arbesz´ed´et, ´ıgy mag´at a term´eszettudom´anyos nevel´es min˝os´egi fejl˝od´es´et.
1.3.
A Miclea jelent´ es ´ es a rom´ aniai helyzet
A rom´an tan¨ ugyi rendszer a´llapot´at t´argyal´o 2007-es Miclea-jelent´es4 is kit´er sz´amos a fenti jelent´esekben eml´ıtett probl´em´ara. A jelent´es r¨ogt¨on az elej´en lesz¨ogezi, hogy a rom´an tan¨ ugyi rendszernek n´egy nagy probl´em´aja van: nem hat´ekony, jelent´ektelen, m´elt´anytalan ´es gyenge min˝os´eg˝ u. 4
Romˆ ania educat¸iei, Romˆ ania cercet˘arii, Raportul Comisiei Prezident¸iale pentru analiza ¸si elabo-
rarea politicilor din domeniile educat¸iei ¸si cercet˘arii, Bukarest, 2007. j´ ulius
12
Azt, hogy mennyire nem hat´ekony a k¨ ul¨onb¨oz˝o nemzetk¨ozi felm´er´esek is igazolj´ak. A Miclea jelent´es besz´amol a 2000-es PISA5 felm´er´es, a 2003-as TIMSS6 felm´ere´es ´es a 2001-es PIRLS7 felm´er´es eredm´enyeir˝ol. A PISA felm´er´esen a vizsg´alt 42 orsz´agb´ol Rom´ania a 34. helyen a´llt. A 2007es TIMSS felm´er´es szerint a 8. oszt´alyos tanul´ok matematikai teljes´ıtm´enye szerint Rom´ania 3 eur´opai orsz´ag kiv´etel´evel t¨obbnyire az afrikai ´es d´elamerikai orsz´agokat el˝ozi meg. Az olvas´asi k´eszs´eg eredm´enyek (PIRLS 2001) kiv´etel´evel Rom´ania minden teljes´ıtm´enye ezeken a felm´er´eseken j´oval a nemzetk¨ozi a´tlag alatt van. A jelent´es felh´ıvja a figyelmet arra, hogy v´eget kell vetni annak az ill´ uzi´onak, hogy sz´ınvonalas oktat´asi rendszer¨ unk van a nemzetk¨ozi term´eszettudom´anyos versenyeken el´ert eredm´enyekre hivatkozva, mert ezek csak a tanul´ok ´es tan´arok egy r´esz´et dics´erik. Az oktat´ast jelent´ektelennek nevezi a jelent´es, mert nem egy tud´as alap´ u gazdas´agi ´es t´arsadalmi j¨ov˝o el˝ok´esz´ıt´es´ere ir´anyul. A 2000-es Lisszaboni Strat´egia c´elul t˝ uzte ki, hogy 2010-ig az Eur´opai Uni´oban maximum 10%-os legyen a tanul´ast id˝o el˝ott abbahagy´ok ar´anya, a 22 ´evesek minimum 85%-´anak legyen meg legal´abb a k¨oz´episkolai v´egzetts´ege, azon 15 ´evesek ar´anya, akik alulteljes´ıtenek a PISA felm´er´eseken legfeljebb 15% legyen, a matematikai, term´eszettudom´anyi ´es m˝ uszaki egyetemeket v´egz˝ok sz´ama legal´abb 10%-kal n˝ojj¨on, a feln˝ottoktat´asban r´esztvev˝ok ar´anya legal´abb 12,5% legyen. Ehhez k´epest 2000-ben Rom´ani´aban a k¨otelez˝o 10 oszt´aly ut´an 23,6% abbahagyta a tanul´ast, a 22 ´eveseknek pedig csak 66,7%-a fejezte be legal´abb a k¨oz´episkol´at. Az Uni´oban ezek az ar´anyok 14,9% ´es 77,3%. A 15 ´evesek 41%-a nem ´erte el a legkisebb teljes´ıtm´enyszintet sem a PISA 2001-es felm´er´es alapj´an, az EU-ban ez az ar´any 19,4% volt. 2000-ben Rom´ani´aban a matematikai, term´eszettudom´anyi ´es m˝ uszaki egyetemeket v´egz˝ok ar´anya 23% volt, az EU-ban 24,1% volt, a feln˝ottoktat´asban r´esztvev˝ok sz´ama Rom´ani´aban 1,6% volt, m´ıg az EU-ban 10,8%. A Hargita Megyei Tanfel¨ ugyel˝os´eg seg´ıts´eg´evel felm´er´est v´egeztem a 2009-ben 5
The Programme for International Student Assessment Trends in International Mathematics and Science Study 7 Progress in International Reading Literacy Study 6
13
Hargita megy´eben k¨oz´episkol´as tanulm´anyaikat befejez˝o tanul´ok tov´abbtanul´as´ar´ol. A felm´er´es alapj´an megy´enkben sem r´ozs´as a helyzet. A v´egz˝os tanul´ok 52,92%a folytatta tanulm´anyait egyetemen vagy valamilyen k¨oz´episkola ut´ani k´epz´esen. A v´egz˝os˝ok 12,75%-a folytatja tanulm´anyait m˝ uszaki vagy term´eszettudom´anyos oktat´asban, ez a sz´am a tov´abbtanul´ok 24,08%-a, ami a 2000-es Eur´opai ´atlagnak felel meg. A m˝ uszaki vagy term´eszettudom´anyos oktat´ast v´alaszt´oknak csup´an 36,55%-a l´any, mik¨ozben a tanulm´anyaikat k¨oz´episkola ut´an folytat´ok 59,01%-a l´any. A 2009ben Hargita megy´eben v´egz˝o l´anyoknak csup´an 8,64%-a tanult tov´abb m˝ uszaki vagy term´eszettudom´anyos ter¨ uleten, ami a tov´abbtanul´o l´anyoknak 14,92%-a. A fi´ uk eset´en ezek az ar´anyok 17,56% ´es 37,29%. M´eg szomor´ ubb az a t´eny, hogy a 2682 felm´ert v´egz˝osb˝ol (1420-an tanulnak tov´abb) csup´an 2 tanul´o tanul tov´abb matematika egyetemen, 2 fizika egyetemen, 9 k´emia egyetemen ´es 4 biol´ogia egyetemen. A Miclea-jelent´es a k¨ ul¨onf´ele felm´er´esek eredm´enyei alapj´an kijelenti, hogy a rom´an oktat´as nem k´epes az orsz´agnak a munkapiacon versenyk´epes helyet biztos´ıtani. Egy oktat´asi rendszer m´elt´anyos, ha a tanul´oknak t´arsadalmi ´es kultur´alis sz´armaz´asukt´ol f¨ uggetlen¨ ul azonos lehet˝os´egeket teremt. Ehhez k´epest a falusi k¨ornyezetben ´el˝o gyerekeknek csak 24,54%-a ker¨ ul k¨oz´episkol´aba. A falusi k¨ornyezetb˝ol sz´armaz´o tanul´ok felm´er´eseken el´ert eredm´enyei is gyeng´ebbek, mint a v´arosiak´e. A h´atr´anyos helyzet˝ u gyerekek eredm´enyei ugyancsak gyeng´ebbek. A beiskol´azatlan gyerekek 80%-a roma sz´armaz´as´ u, akiknek 38%-a funkcion´alis analfab´eta. A rom´an oktat´as infrastrukt´ ur´aja ´es er˝oforr´asai gyenge min˝os´eg˝ uek. Az oktat´o szem´elyzet ki van o¨regedve (a tan´arn˝ok a´tlag´eletkora 40 ´ev, a f´erfi tan´arok´e 44 ´ev). Felm´er´esek alapj´an a tan´arok nagy r´esze dedukt´ıv m´odszereket haszn´al az oktat´asban. A NPSER8 a´ltal v´egzett felm´er´es alapj´an a megk´erdezett 8. oszt´alyos gyerekekek 74%-a szerint a tan´arok ´altal´aban dikt´alnak a tan´or´akon. Nem lehet tudni, milyen tud´ast v´arunk el egy ´eretts´egizett fiatalt´ol. Mindez l´at´ohat´ar n´elk¨ uli oktat´ashoz ´es semmit nem mutat´o bels˝o felm´er´eshez vezetett. A di´akok pedig egyre kev´esb´e ´ert´ekelnek egy olyan iskolarendszert, amely elz´ark´ozik a tud´as termel´es´enek ´es sz´all´ıt´as´anak jelen8
Nevoi ¸si Priorit˘ a¸ti de Schimbare Educat¸ional˘a ˆın Romˆania
14
legi m´odozatait´ol. Rom´ania a tudom´anyos publik´aci´ok lakoss´aghoz viszony´ıtott sz´ama szerint 11szer kisebb teljes´ıtm´enyt mutat az EU-s a´tlagn´al, ¨otsz¨or kisebbet Magyarorsz´aghoz ´es k´etszer kisebbet Bulg´ari´ahoz k´epest. Rom´ania innov´aci´os egy¨ utthat´oja 2006-ban k´etszer kisebb volt Bulg´ari´a´en´al, h´aromszor Magyarorsz´ag´en´al ´es ¨otsz¨or az EU a´tlagn´al, ugyanakkor a legnagyobb cs¨okken˝o tendenci´at mutatja az o¨sszes felm´ert orsz´ag k¨oz¨ott. Az Eurobarometer 2001-es vizsg´alata sor´an az Eur´opai Uni´o akkori tizen¨ot tagorsz´ag´aban is ´es a tizenh´arom tagjel¨olt orsz´agban is a k¨ovetkez˝o 13 alapvet˝o tudom´anyos k´erd´esr˝ol sz´ol´o igaz vagy hamis a´ll´ıt´ast tartalmaz´o k´arty´at mutatt´ak meg a megk´erdezetteknek: • A F¨old k¨oz´eppontja nagyon forr´o. • N¨ov´enyek termelik az ´altalunk bel´elegzett oxig´ent. • A radioakt´ıv tej forral´as ut´an biztons´agosan fogyaszthat´o. • Az elektronok kisebbek, mint az atomok. • A f¨oldr´eszek amelyeken ´el¨ unk ´evmilli´ok ´ota v´andorolnak ´es v´andorl´asukat a j¨ov˝oben is folytatj´ak majd. • Az apai g´enek hat´arozz´ak meg a sz¨ uletend˝o gyermek nem´et vagyis hogy fi´ u lesz-e vagy l´any. • Az els˝o emberek egy id˝oben ´eltek a dinozauruszokkal. • Az antibiotikumok a bakt´eriumokat ´es a v´ırusokat egyar´ant elpuszt´ıtj´ak. • A l´ezer hanghull´amok f´okusz´al´as´an alapul. • Csak ember a´ltal l´etrehozott radioaktivit´as l´etezik. • A ma ismert ember kor´abbi a´llatfajokb´ol fejl˝od¨ott ki. • A Nap a F¨old k¨or¨ ul kering. • Egy h´onapig tart am´ıg a F¨old megker¨ uli a Napot. A kutat´as azt mutatta ki hogy a tagjel¨olt orsz´agok lakoss´aga ´es az Eur´opai Uni´o lakoss´aga is csak korl´atozott ismeretekkel rendelkezik alapvet˝o tudom´anyos k´erd´esekben. A tagjel¨olt orsz´agok v´alaszad´oi a´tlagban m´asf´el k´erd´essel kevesebbre
15
tudt´ak a helyes v´alaszt. (1.1 ´abra) 1.1. a´bra. H´any t´enyb˝ol van helyes ismerete a 13 k¨oz¨ul az egyes tagjel¨olt orsz´agok lakoss´ ag´ anak?
Az Eur´opai Bizotts´ag megb´ız´as´ab´ol az Eurobarom´eter kutat´asok m´odszertan´anak megfelel˝oen a Standard Eurobarom´eter kutat´asi eredm´enyeivel ¨osszevethet˝oen 2002. okt´ober 16. ´es november 17. k¨oz¨ott a Magyar Gallup Int´ezet felm´er´est k´esz´ıtett a tudom´anyos kutat´asra ´es a technol´ogi´ara vonatkoz´o n´ezetekr˝ol v´elem´enyekr˝ol ´es ismeretekr˝ol tizenh´arom EU-tagjel¨olt orsz´agban. (1.2 ´es 1.3 a´br´ak). A
szakorient´alt
rendszer
miatt
az
elm´eleti
oktat´asban
a
k¨oz´episkola
hum´an tagozatain nagyon gyenge a term´eszettudom´anyos ir´any´ u oktat´as. A t´arsadalomtudom´anyok szakon 11. ´es 12. oszt´alyokban heti k´et o´ra matematik´at ´ır el˝o a tanterv ´es semmilyen m´as term´eszettudom´anyos tant´argyat, a filol´ogia oszt´alyokban heti egy ´ora Term´eszettudom´anyok (S¸tiint¸e) n´even fut´o tant´argyat, aminek tan´ıt´as´ara vizsont a rom´aniai fels˝ooktat´asban nincs k¨ ul¨on k´epz´es, ugyanis a tanterv szerint az illet˝o tan´arnak kell ´erteni fizik´ahoz, k´emi´ahoz ´es biol´ogi´ahoz is. Az elemi iskol´asok tanterv´eben is szerepel a Term´eszettudom´anyok tant´argy, amelynek oktat´as´ara a tan´ıtok nincsenek felk´esz´ıtve, ugyanis semmilyen fizikai, k´emiai, biol´ogiai, k´epz´esben nem r´eszes¨ ulnek. A term´eszetben el˝ofordul´o jelens´egeket u ´gy kell elmagyar´azz´ak a gyerekeknek vonz´o m´odon, hogy tudom´anyos h´atter¨ uket csak
16
1.2. a´bra. A magukat az egyes t´emak¨or¨ok ir´ant ´erdel˝od˝oknek mond´ok ar´anya a tagjel¨olt orsz´ agok lakoss´ ag´ anak ´erdekl˝ od´esi sorrendj´eben
saj´at olvasm´anyaikb´ol ismerhetik. S˝ot p´eld´aul a hazai oktat´asban nem is elv´ar´as a versnyvizsg´akon m´eg a matematika sem (csak rom´an ´es magyar irodalomb´ol versenyvizsg´aznak a tan´ıt´ok). Mindez azt bizony´ıtja, hogy nagyon nagy sz¨ uks´eg van a tan´ıt´ok, tan´arok ilyen ir´any´ u tov´abbk´epz´es´ere. A Miclea-jelent´es is ennek egyik ok´at a tan¨ ugyi rendszer jelenlegi a´llapot´aban l´atja ´es annak radik´alis ´atalak´ıt´as´at javasolja. Sok m´as fontos megoldand´o probl´ema mellett kiemelt fontoss´agot tulajdon´ıt a kompetencia-alap´ u oktat´asnak. A jelent´es szerint a jelenlegi kurrikulum t´ ulterhelt ´es irrelev´ans a munkapiac szempontj´ab´ol. Az inform´aci´oa´tad´as teljesen el˝ot´erben van a probl´emamegold´ast seg´ıt˝o kompetenci´ak fejleszt´es´evel szemben. Mindez azt mutatja, hogy a matematika ´es term´eszettudom´anyos oktat´as vil´agszerte nem t´ ul j´o helyzete n´alunk m´eg rosszabb k´epet mutat. Ilyen k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott val´oban minden matematik´at tan´ıt´o tan´arnak el kell gondolkoznia, hogy mik azok a m´odozatok, amellyel ezt a tendenci´at cs¨okkenteni lehetne.
17
1.3. ´abra. A magukat a tudom´any ir´ant ´erdel˝od˝oknek mond´ok ar´anya az egyes tagjel¨olt orsz´ agokban
1.4.
A matematikaoktat´ as helyzete
A matematikaoktat´as k´ıv´ancsis´ag vez´erelts´eg´enek ig´enye nem mai probl´ema. P´olya Gy¨orgy a ,,A gondolkod´as iskol´aja” c´ım˝ u alapk¨onyv´eben m´ar a m´ ult sz´azad k¨ozep´en megfogalmazta: ,,A matematika abban a k´etes megtiszteltet´esben r´eszes¨ ul, hogy az eg´esz tananyagban a legkev´esb´e n´epszer˝ u t´argy... A j¨ovend˝o tan´arok az ´altal´anos iskol´aban megtanulj´ak a matematika ut´alat´at, ´es visszat´ernek az ´altal´anos iskol´aba, hogy u ´j nemzed´ekeket tan´ıtsanak meg erre az ut´alatra.” ,,...nem szabad semmi olyat elmulasztani, aminek valami es´elye van arra, hogy a di´akokhoz k¨ozelebb hozza a matematik´at. A matematika nagyon absztrakt tudom´any – ´eppen ez´ert nagyon konkr´etan kell el˝oadni.” R´enyi Alfr´ed az ,,Ars mathematica” c´ım˝ u vallom´as´aban ezt ´ırja: ,,M´ıg m´ as tant´argyakban az iskolai anyag elvezeti a tanul´ot a modern tudom´any eredm´enyeihez, a hagyom´anyos matematikatan´ıt´as meg´all k¨or¨ ulbel¨ ul a XVII. sz´azad matematik´aj´an´al... A tan´ıt´as hagyom´anyos m´odszere a hangs´ ulyt bemagolt szab´alyok g´epies, rutinszer˝ u alkalmaz´as´ara helyezei, nem pedig a meg´ert´esre, az ¨on´all´o gondolkod´asra. Ez´altal a tanul´oban
18
a matematik´ar´ol t´eves k´ep alakul ki.” ,,Absztrah´alni csak konkr´etumokb´ol lehet, s ahhoz, hogy valaki j´ol tudjon absztrah´alni sokf´ele konkr´etummal kell megismerkednie. A matematika nagyon absztrakt, ´eppen ez a f˝o er˝oss´ege, hiszen ez azt jelenti, hogy nagyon sokf´ele konkr´et jelens´eg k¨oz¨os l´enyeget s˝ ur´ıti mag´aba. Ehhez a nagyon absztrakthoz nagyon konkr´et kiindul´assal tudjuk a legsikeresebben elvezetni a gyerekeket u ´gy , hogy elegend˝o sz´am´ u ´es el´eg v´altozatos konkr´et tapasztalatban r´eszes´ıtj¨ uk ˝oket.” (Varga Tam´as) Nagyon sok olyan t´enyez˝o van, ami a t´arsadalom ´es f˝ok´ent a politikum d¨ont´esein m´ ulik. Term´eszetesen valamilyen egys´eges, j´ol al´at´amasztott fell´ep´essel tal´an valamilyen m´ert´ekben ezt is lehet befoly´asolni. Amit megtehet¨ unk ´es meg is kell tenni az tan´ıt´asi gyakorlatunk a´talak´ıt´asa olyan m´odon, hogy val´oban partnerei lehess¨ unk tan´ıtv´anyainknak a tanul´as folyamat´aban ´es megv´altozott ´eletk¨or¨ ulm´enyeikb˝ol ad´od´o gondjaikra valamilyen ´eletk´epes megold´ast pr´ob´aljunk tal´alni. Olyan probl´em´akkal szembes¨ ul¨ unk a tan´ıt´as sor´an, mint: • az egyre er˝os¨od˝o hi´anyos sz¨oveg´ert´es, • az absztrakci´os k´epess´eg egyre nagyobb hi´anya, • a nyelvezet elszeg´enyed´ese ´es ez´altal az ´erzelmi ´es ´ertelmi ´elet szeg´enyed´ese, • a sok forr´asb´ol j¨ov˝o ´alland´o ingerl´esnek val´o kitetts´eg miatt pedig j´oval magasabb ingerk¨ usz¨ob. Ezeknek a gyerekeknek er˝osebb impulzusokra van sz¨ uks´eg¨ uk, ahhoz, hogy ´erdekl˝od´es¨ uket felkeltve akt´ıv r´esztvev˝oiv´e v´aljanak a tanul´asnak. Ahhoz, hogy ezt el´erj¨ uk v´altozatoss´a kell tenni a m´odszereinket, ´es azokat a m´odszereket kell el˝ot´erbe helyezni, amelyek k¨otelez˝ov´e teszik a di´ak akt´ıv r´eszv´etel´et a tan´or´an. El kell ´ern¨ unk, hogy a di´ak cselekv˝o m´odon reag´aljon az o˝t ´er˝o kih´ıv´asokra. Ez k¨ ul¨onben az ut´obbi id˝oben sokat hangoztatott kompetencia sz´o ´ertelmez´ese is: az egy´en bels˝o k´esztet´ese, hogy cselekv´essel v´alaszoljon egy adott helyzet kih´ıv´as´ara, teh´at nem azonos sem a tud´assal, sem a k´epess´eggel, mag´aban foglalja ezeket, de nem azonos vel¨ uk (Blomhoj ´es Jensen, 2003). 19
A Rocard-jelent´esben kiemelt k´ıv´ancsis´agorient´alt oktat´as olyan m´odszer, amelyet ´erdemes lenne rendszeresen haszn´alni a tan´ıt´asi folyamatban. Ez nagym´ert´ekben fejlesztheti a kompetenci´akat a puszta ismerettel szemben. Ennek gy¨okerei a probl´ema k¨ozpont´ u tan´ıt´assal azonosak. Ha megvizsg´aljuk Erich Wittmann elk´epzel´es´et a probl´emamegold´as k´epess´eg´enek fejleszt´es´ere vonatkoz´oan, azt tapasztaljuk, hogy szinte teljes m´ert´ekben megegyezik a Rocard-jelent´esben foglaltakkal. Erich Ch.Wittmann a probl´emamegold´asi k´epess´egek fejleszt´es´enek t´ız felt´etel´et tartja alapvet˝oen fontosnak9 : 1. Ismeretszerz´es felfedeztet˝o tan´ıt´as ´es tanul´as r´ev´en. 2. A tanul´ok ¨oszt¨onz´ese a divergens gondolkoz´asra (t¨obbf´ele megfogalmaz´as; t¨obb ir´anyb´ol t¨ort´en˝o megk¨ozel´ıt´ese ugyanannak a probl´em´anak; a matematika k¨ ul¨onb¨oz˝o ter¨ uleteinek ¨osszekapcsol´asa, a m´odszerek o¨tv¨oz´ese; stb.). 3. Automatiz´alt gondolatmenetek kiz´ar´olagos alkalmaz´as´anak h´att´erbe szor´ıt´asa. 4. Nyitott probl´em´ak vizsg´alata (nincs direkt k´erd´es, t¨obbf´ele k´erd´esfeltev´es lehets´eges, apr´o kutat´asi lehet˝os´egek stb.). ¨ on¨ozni kell arra a tanul´okat, hogy maguk is vessenek f¨ol probl´em´akat. 5. Oszt¨ 6. Egy olyan ,,nyelv” kialak´ıt´asa, amely lehet˝ov´e teszi a tanul´ok sz´am´ara, hogy gondolataikat ki tudj´ak fejezni. 7. Intuit´ıv indokl´asok, sejt´esek o¨szt¨onz´ese. (Egy kicsi, de o¨n´all´o l´ep´es t¨obbet ´er, mint egy bemutatott gondolatmenet ,,lef´enyk´epez´ese”.) 8. Heurisztikus strat´egi´ak tanul´asa. 9. Konstrukt´ıv magatart´as kialak´ıt´asa a hib´akkal szemben. 10. Diszkusszi´ok, reflexi´ok, argument´aci´ok ¨oszt¨onz´ese. 9
Erich Ch. Wittmann: Grundfragen des Mathematikunterrichts
20
Egy´ebk´ent mag´anak a probl´em´anak a mibenl´et´et is ´erdemes megvizsg´alnunk. ´ aban egy k´ıv´ans´agb´ol vagy sz´armazik probl´ema, vagy P´olya Gy¨orgy szerint: ,,Altal´ nem: ha azonnal, minden akad´aly n´elk¨ ul olyan k´ezenfekv˝o tennival´o jut eszembe, mellyel el´erem a k´ıv´ant dolgot, nincs probl´ema, ha azonban ilyen nem jut eszembe, akkor van. Probl´ em´ ank van, teh´at azt jelenti, hogy olyan megfelel˝o tennival´ot keres¨ unk tudatosan, amely alkalmas valamilyen vil´agosan megfogalmazott, de k¨ozvetlen¨ ul meg nem k¨ozel´ıthet˝o c´el el´er´es´ere. Probl´em´at megoldani a megfelel˝o tennival´o megtal´al´as´ at jelenti . . . a legjellemz˝obb emberi tev´ekenys´eg a probl´emamegold´as, a c´elrat¨or˝o gondolkod´as, eszk¨oz¨ok keres´ese valamely kit˝ uz¨ott c´el el´er´es´ehez.” 10 Alan H. Schoenfeld a probl´ema fogalm´anak ´ertelmez´esekor a ,,probl´emas´ag” krit´erium´at nem a feladat, a k´erd´es bonyolults´ag´aban keresi: ,,Az a neh´ezs´eg a probl´ema fogalm´anak ´ertelmez´es´eben, hogy maga a probl´emamegold´as folyamata nagyon f¨ ugg a probl´emamegold´o szem´ely´et˝ol. Azok a feladatok, amelyek megold´asa komoly er˝ofesz´ıt´est k´ıv´an bizonyos tanul´okt´ol, m´asok sz´am´ara lehetnek egyszer˝ u rutinfeladatok, s˝ot egy matematikus sz´am´ara ismeretei alapj´an trivialit´asok. Enn´elfogva az, hogy egy feladat probl´ema-e, nem mag´anak a feladatnak a l´enyegi saj´atoss´aga, sokkal ink´abb az egy´en ´es a feladat k¨oz¨otti kapcsolat jellemz˝oje.” 11 A P´olya-f´ele ´ertelmez´es nagyon r´avil´ag´ıt arra, hogy a probl´emamegold´as k´epess´ege ´es a kompetenci´ak megl´ete teljesen egy t˝or˝ol fakad, Schoenfeld ´ertelmez´ese pedig r´avil´ag´ıt arra, hogy a probl´emaszitu´aci´o egy´enenk´ent k¨ ul¨onb¨ozik. Biztos probl´ema szitu´aci´ot jelentenek mindenki sz´am´ara a tan´ıt´as sor´an azok a helyzetek, amikor olyan feladatot kell ell´atnunk, amely megold´as´ara nem elegend˝oek a m´ar meglev˝o eszk¨ozeink ´es u ´jabbakat kell tal´alnunk. Egy u ´j fogalom vagy eszk¨oz ilyenszer˝ u bevezet´ese (ahol az lehets´eges) biztosan ´elm´enyszer˝ ubb a tanul´o sz´am´ara, mint a puszta k¨ozl´es. A probl´emak¨ozpont´ u matematikai oktat´asban azonnal felmer¨ ul az alkalmaz´as ´es modellez´es probl´em´aja. Az ut´obbi m´asf´el ´evsz´azad ¨or¨ok¨os k´erd´ese volt, hogy tiszta matematik´at tan´ıtsanake vagy alkalmaz´ascentrikusat, s ha igen, milyen m´ert´ekben. A m´erleg nyelve hol erre, 10 11
P´ olya Gy¨ orgy: A probl´emamegold´ as iskol´aja A. H. Schoenfeld: Mathematical Problem Solving
21
hol arra d˝olt el, amikor valamely ir´any t´ uls´ ulyba ker¨ ult. Az ut´obbi ´evtizedekben kutat´asok is folytak, t¨obb eur´opai orsz´agban is ilyen ir´anyban (D´ania, Hollandia, N´emetorsz´ag, Sv´edorsz´ag) ´es egyre ink´abb sz¨ uks´egesnek tartj´ak a modellez´esi tev´ekenys´egek jelenl´et´et a matematikatan´ıt´asban. Ezt nyilv´anval´ov´a teszi annak sz¨ uks´egess´ege, hogy a matematik´at is integr´aljuk az ´elet m´as ter¨ uletein kifejtett tev´ekenys´egekkel. Hogyan val´osul ez meg az alkalmaz´as ´es modellez´es a´ltal? Mindkett˝o a matematik´anak a k¨ ulvil´aggal val´o kapcsolat´at teremti meg. A modellez´es a k¨ ulvil´ag matematika ir´any´ u kapcsolatot k´epviseli. Amikor modellez¨ unk a k¨ ulvil´agban ´allunk ´es a matematika birodalm´aban keres¨ unk a: ,,Hol tal´alhatok valamilyen matematikai eszk¨ozt, ami seg´ıtsen megoldani ezt a probl´em´at?” k´erd´esre v´alaszt. Az alkalmaz´as a matematika-k¨ ulvil´ag ir´any´ u kapcsolatot k´epviseli. Most a matematika birodalm´aban a´llunk ´es a k¨ ulvil´agban keress¨ uk a: ,,Hol haszn´alhatom a matematika vil´ag´an k´ıv¨ ul ezt az eszk¨ozt?” k´erd´esre a v´alaszt. A matematika didaktikusok k¨or´eben el´eg nagy konszenzus alakult ki abban, hogy a modellez´es nagyon fontos a matematikatan´ıt´asban. K´et felfog´as is l´etezik, vannak akik mag´a´ert a tan´ıt´as´ert tartj´ak fontosnak, ebben a felfog´asban a modellez´es eszk¨ozk´ent jelenik meg, amely megk¨onny´ıtheti ´es t´amogathatja a matematik´anak, mint tant´argynak a tan´ıt´as´at. A m´asik felfog´as azt vallja, hogy a matematik´at u ´gy kell tan´ıtani, hogy olyan kompetenci´akat fejlessz¨ unk, amelyek a matematika alkalmaz´as´aban ´es a modellalkot´asban seg´ıtenek. Az a´ltal´anos iskol´aban ez a dualit´as term´eszetes, hiszen mindk´et aspektus nagyon fontos, u ´gy kell egybe´agyazni o˝ket, hogy k¨ozben m´eg csak ki sem ejtj¨ uk a modell sz´ot. Meg kell teremteni a gyerek sz´am´ara a matematika vil´aga ´es a saj´at vil´aga k¨ozti o¨sszek¨ottet´est, meg kell tan´ıtani haszn´alni a matematik´at v´altozatos kontextusokban ´es helyzetekben, r´a kell ´ebreszteni, hogy mindenhol tal´alkozik vele. Az ,,alkalmaz´as ´es modellez´es a matematika tanul´as´a´ert” elk´epzel´es abb´ol indul ki,
22
hogy: a) bizony´ıtani kell a di´aknak, hogy a matematik´at az emberek sok okb´ol ´es c´elb´ol val´oban haszn´alj´ak, ´ıgy egy gazdagabb k´epet alkotnak a matematika term´eszet´er˝ol ´es szerep´er˝ol b) motiv´aci´ot ny´ ujt a di´aknak, hogy matematik´at tanuljon, mivel seg´ıt k¨ ul¨onb¨oz˝o attit˝ ud¨ok ´es elk´epzel´esek form´aba ¨ont´es´eben. A m´asik elk´epzel´es szerint: a) a matematikai tan´ıt´as ´es tanul´as egyik c´elja, hogy a di´akokat felszerelje azzal a k´epess´eggel, hogy a matematik´at ¨onmaga hat´arain t´ ul alkalmazza. b) a matematika o¨nmaga hat´arain t´ uli alkalmaz´asa mindig matematikai modellek ´es modellez´esen kereszt¨ ul t¨ort´enik. Id˝or˝ol id˝ore megjelenik k¨ ul¨onb¨oz˝o iskolarendszerekben (´es n´alunk m´eg ma is ´el) az az elk´epzel´es, hogy ha valaki helyes ´es hat´ekony m´odon tanult ,,tiszta matematik´at”, akkor k´epes lesz alkalmazni a matematik´at m´as ter¨ uleteken ´es m´as kontextusokban tov´abbi erre ir´anyul´o tan´ıt´as n´elk¨ ul. Ezzel szemben az ut´obbi id˝ok kutat´asai azt mutatt´ak ki, hogy nincs automatikus transzfer a tiszta matematikai tud´as ´es azon k´epess´eg k¨oz¨ott, hogy ezt az egy´en alkalmazni tudja olyan helyzetekben, amelyek m´eg nem teljesen matematiz´altak. Ez´ert, ha szeretn´enk, hogy di´akjaink alkalmaz´asi ´es modellez´esi kompetenci´akkal rendelkezzenek mint a matematikai m˝ uvelts´eg¨ uk egyik kimenetele, az alkalmaz´as ´es modellez´es expliciten kell szerepeljen a matematikatan´ıt´as programj´aban. Ennek megval´os´ıt´as´ahoz viszont a tan´arnak k´epesnek kell lennie v´altozatos tan´ıt´asi k¨ornyezetek l´etrehoz´as´ara, olyan helyzeteket ´es tev´ekenys´egeket kell kital´alnia, ami t´amogatja az alkalmaz´asi ´es modellez´esi kompetenci´ak megjelen´es´et k¨ ul¨onb¨oz˝o nevel´esi helyzetekben m´as matematikai kompetenci´akkal p´arhuzamosan. Ebben a tan´ar azonban k¨ ul¨onb¨oz˝o probl´em´akba u ¨tk¨ozik: • id˝obeoszt´asi gondok (mennyit tan´ıtsunk ezekb˝ol id˝oben?), • a tartalmak megtervez´ese (mit, milyen modelleket?), • a tev´ekenys´egek ´es felhaszn´alt anyagok kiv´alaszt´asa, 23
• a megfelel˝o egyens´ uly megteremt´ese az alkalmaz´as ´es a t¨obbi, fontos elm´eleti ´es m´as t´ıpus´ u matematikai tev´ekenys´eg k¨oz¨ott. Ahogy a di´ak nem k´epes bonyolultabb helyzetekben alkalmazni a matematik´at, illetve megalkotni ´es kielemezni matematikai modelleket az elm´eleti matematikai ismereteinek automatikus k¨ovetkezm´enyek´ent, ugyan´ ugy a tan´art sem teszi k´epess´e elm´eleti matematikusi vagy hagyom´anyos matematikatan´ari k´epz´ese arra, hogy megfelel˝o k¨ornyezeteket, helyzeteket illetve tev´ekenys´egeket hozzon l´etre az alkalmaz´asra ´es modellez´esre. Ehhez be kell ezt iktatni a tan´ari k´epz´esbe illetve a tov´abbk´epz´esek fontos r´esz´ev´e kell v´aljon ezen tan´ari k´epess´egek fejleszt´ese. Ugyanakkor fontos m´as orsz´agok m´ar meglev˝o tapasztalatainak kielemz´ese ´es a´tv´etele. Term´eszetesen a kompetencia-alap´ u, a k´ıv´ancsis´ag-vez´erelt tan´ıt´asnak ´es tanul´asnak is megvannak a maga korl´atai, alkalmazhat´os´agi hat´arai, ´es ezek majd hosszasabb alkalmaz´as ´es vizsg´alatok ut´an der¨ ulnek ki (p´eld´aul a kompetenci´ak m´er´es´enek egyik probl´em´aja, hogy ugyanazok a kompetenci´ak k¨ ul¨onb¨oz˝o emberekn´el nem egyid˝oben alakulnak ki, de az hogy nem alakult ki a felm´er´es id˝opontj´ara, nem azt jelenti felt´etlen¨ ul, hogy k´es˝obb sem v´alik operacion´aliss´a). K´erd´es az is, hogy bizonyos dolgok, mint a heurisztikus elj´ar´asok, a heurisztikus probl´emamegold´o k´epess´eg milyen m´ert´ekben tan´ıthat´oak. P´eld´aul a heurisztika tan´ıthat´os´ag´at illet˝oen Kosztol´anyi J´ozsef arra a k¨ovetkeztet´esre jut ,,A probl´emamegold´asi strat´egi´ak” c´ım˝ u Phd-dolgozat´aban, hogy az csak bizonyos m´ert´ekben tan´ıthat´o, de nagyon hasznos ezzel foglalkozni, mert bizonyos fejl˝od´es ´ el´erhet˝o megfelel˝o strat´egi´ak j´ol feltett k´erd´esekkel ir´any´ıtott tan´ıt´asa ´altal. Es term´eszetesen az, hogy ez csak bizonyos m´ert´ekig tan´ıthat´o nem ok arra, hogy ne tegy¨ uk azt. Ami biztos, ´es szint´en felm´er´esek bizony´ıtj´ak, a legfontosabb, hogy kik ´es hogyan alkalmazz´ak ezeket a m´odszereket, azaz a lelkes, u ´gy szakmai, mint didaktikai szempontb´ol j´ol felk´esz¨ ult, j´o k´epess´eg˝ u ´es emp´ati´aval rendelkez˝o tan´art nem lehet semmivel helyettes´ıteni, ´es minden m´odszeren t´ ul az o˝ szem´elyes hozz´aa´ll´asa az, ami az eg´esz tan´ıt´asi folyamatot a legnagyobb m´ert´ekben meghat´arozza. 24
Ugyanakkor a legkreat´ıvabb ´es j´o felk´esz¨ ults´eggel rendelkez˝o nevel˝onek, tan´ıt´onak is sz¨ uks´ege van seg´ıts´egre ´es egy¨ uttm˝ uk¨od´esre az u ´j(r´egi) ir´anyzatok megismer´es´ere, az alkalmaz´ashoz sz¨ uks´eges er˝ofesz´ıt´esek megterm´ekeny´ıt´es´ere. Ez´ert v´alnak egyre sz¨ uks´egesebbek´e a j´ol a´tgondolt, kivitelezett tov´abbk´epz´esek, illetve k¨ ul¨onb¨oz˝o hazai illetve nemzetk¨ozi projektekben val´o r´eszv´etelek ´es kooper´aci´ok. Egy m´asik igen fontos probl´ema a tank¨onyvek illetve seg´edanyagok k´erd´ese. Ami a Rom´ani´aban forgalomban lev˝o tank¨onyveket illeti, az a gond vel¨ uk, hogy m´eg mindig jobban hasonl´ıtanak feladat anyaggal kieg´esz´ıtett egyetemi jegyzetekre, t´etel, bizony´ıt´as, p´elda st´ılusban val´o felvezet´es jellemzi o˝ket, s ha n´emely k¨onyv el is t´er valamennyire ett˝ol a st´ılust´ol (amennyire ez egy´altal´an lehets´eges ahhoz, hogy megfeleljen az elbir´al´asi krit´eriumoknak), mivel nincsenek tan´ari k´ezik¨onyvek, a m´ashoz szokott tan´arok nem igaz´an tudj´ak haszn´alni ezeket, ´ıgy ink´abb v´alasztj´ak az a´ltaluk megszokott tank¨onyveket. Egy m´as felfog´asban szerkesztett, a kiv´ancsis´ag-vez´erelt oktat´ast t´amogat´o tank¨onyv koncepci´ora lenne sz¨ uks´eg. Term´eszetesen ehhez igen nagy t¨obbletmunk´ara van sz¨ uks´eg a szerz˝ok r´esz´er˝ol ´es egy nagyobb stabilit´asra a tan¨ ugyben, mondjuk minim´alisan arra, hogy a tanterv nem v´altozik ´evente vagy k´et´evente, mint azt az ut´obbi id˝oben m´ar megszoktuk. Dolgozatomban az exponenci´alis f¨ uggv´eny bevezet´es´evel ´es tulajdons´againak bizony´ıt´as´aval foglalkozom a probl´emak¨ozpont´ u tan´ıt´as elveinek megfelel˝oen, u ´gy, hogy ´ pr´ob´alok ´ep´ıtkezni, hogy a probl´ema az a kiv´ancsis´ag-vez´erelt tanul´ast t´amogassa. Ugy megel˝ozze az elm´eletet, hogy a tanul´o l´athassa, hogy honnan ´es mi´ert bukkanak el˝o a fogalmak, tulajdons´agok ´es mi´ert lesznek hasznosak a tal´alt matematikai eszk¨oz¨ok, mindek¨ozben pedig a modell alkot´asr´ol is n´emi k´epet szerezhet (ak´ar ki nem mondott form´aban is).
1.5.
Projektek
T¨obbek k¨oz¨ott a jelent´esek hat´as´ara d¨ont´eshoz´oi szinten is tudatosultak azok az ´eget˝o probl´em´ak, amelyekkel a matematik´at ´es a tudom´anyokat oktat´ok szembes¨ ulnek;
25
´ıgy az Eur´opai Bizotts´ag is t¨obb ilyen ir´any´ u projektet t´amogat. Az egyik ilyen sikeres projekt a m´ar eml´ıtett POLLEN projekt, amely m´ar 12 orsz´agban m˝ uk¨odik. A programban r´eszt vev˝o v´arosoknak t¨obb lehet˝os´eg¨ uk ny´ılik tan´ari tov´abbk´epz´esek szervez´es´ere vagy az oktat´ashoz sz¨ uks´eges er˝oforr´asok valamint ´ internetes hozz´af´er´esek ig´enybe v´etel´ere. Altal´ anoss´agban elmondhat´o, hogy a m´odszer alkalmaz´as´aval javul az a´ltal´anos iskolai term´eszettudom´anyos oktat´as sz´ınvonala, a tan´or´ak min˝os´ege, a term´eszettudom´anyokat tan´ıt´o szaktan´arok o¨nbecs¨ ul´ese ´es motiv´aci´os k´eszs´ege. A m´odszer j´o hat´assal b´ır a gyerekek term´eszettudom´anyos ´erdekl˝od´es´ere, pozit´ıvan befoly´asolja a tan´orai akt´ıv r´eszv´etel¨ uket. A nemek ar´any´aban mutatkoz´o szakad´ek cs¨okken. K¨ ul¨on¨osen l´atv´anyos a tanul´asi neh´ezs´egekkel k¨ uzd˝o, szoci´alisan h´atr´anyos helyzet˝ u tanul´ok term´eszettudom´anyos motiv´aci´oj´aban t¨ort´ent v´altoz´as. A Rocard-jelent´es is bemutatja a sokat hangoztatott IBL m´odszer Pollen projektb˝ol a´tvett p´eld´aj´at A k´ıs´erletekhez nem felt´etlen sz¨ uks´egesek mindig a leg´ ujabb vagy legmodernebb eszk¨oz¨ok. A legt¨obb k´ıs´erlethez, amit a Pollen az iskol´aknak a kerettantervbe beilleszteni aj´anl, csup´an az am´ ugy is rendelkez´esre ´all´o felszerelts´egre van sz¨ uks´eg. K´epzelj¨ unk el egy tan´art ´es egy oszt´alynyi gyereket. A t´ema a ,,Homok´ora” (mint egy ismert ´es egyszer˝ u id˝om´er˝o berendez´es). Milyen param´eterekkel magyar´azza meg a tan´ar, hogy mennyi id˝o alatt pereg ´at a homok a szerkezeten? A k¨ovetkez˝okben n´eh´any erre vonatkoz´o lehets´eges technik´at t´argyalunk: A. A tan´ar bemutat egy homok´or´at a gyerekeknek ´es elmagyar´azza, hogy az ´ora azt az id˝oegys´eget m´eri, amennyi id˝o alatt a homok lepereg. Teh´at a homok mennyis´ege ´es a megm´ert id˝oegys´eg ¨osszef¨ uggenek. Majd ezt a tanul´ok is kipr´ob´alj´ak. Ez a m´odszer majdnem olyan, mint egy el˝oad´as, ahol a tan´ar csup´an a k´ıs´erleti folyamat eredm´enyeit k¨ozli. A vizsg´alati oktat´asi m´odszert˝ol mindez nagyon t´avol ´all. B. A tanul´ok megfigyelnek egy homok´or´at, majd lerajzolj´ak ´es k¨or¨ ul´ırj´ak a tan´ari asztalon. Ezut´an a tan´ar megk´erdezi, hogy milyen t´enyez˝okt˝ol f¨ ugg az id˝o m´er´ese? A legt¨obb tanul´o meg´erti az ¨osszef¨ ugg´eseket ´es r´aj¨on a megold´asra, de nem mindenki.
26
C. Egy homok´ora k¨oz¨os megfigyel´ese ut´an a tan´ar megk´erdezi a tanul´okat, hogyan lehet meghosszabb´ıtani vagy ler¨ovid´ıteni azt az id˝ointervallumot, amely alatt a homok´or´aban a homok lepereg. A gyerek ekkor megkapja a k´erd´esfeltev´es lehet˝os´eg´et, hogy ´altala megtal´alja megold´ast. D. A tan´ar minimum h´arom homok´or´at mutat be. Az egyikben sokkal t¨obb ideig tart a homok leperg´ese, mint a t¨obbin´el. A csoportokba osztott tanul´ok megfigyelik, lerajzolj´ ak ´es k¨or¨ ul´ırj´ak azt a homok´or´at, amit kapnak. A homok´or´ak k¨orbej´arnak a csoportokon bel¨ ul, ´es amikor a tanul´ok ´eszreveszik azt a homok´or´at, amelyn´el sokkal tov´abb tart a homok leperg´ese, ¨oszt¨on¨osen felteszik a k´erd´est: hogyan lehets´eges ez. Ez a m´odszer egy lehet˝os´eg (nem az egyetlen), hogy a tanul´ok saj´at kez´ebe adjuk egy probl´ema felvet´es´enek lehet˝os´eg´et, ´es hogy saj´at maguk j¨ojjenek r´a ezt k¨ovet˝oen a probl´ema megold´as´ara is. Mindez j´ol mutatja, mi´ert lehet sikeres az IBL. A gyerekek ´altal´aban nagyon j´ ol megjegyzik azokat a k´ıs´erleteket, amelyeket ˝ok maguk v´egeznek. A k´ıs´erleti folyamat akkor eredm´enyes, ha azokb´ol ˝ok maguk vonj´ak le a k¨ovetkeztet´eseket. A homok´ora p´eld´an´al maradva a gyerekek sz´amba vehetik a homok mennyis´eg´et, az u ¨veg alakj´at, a homokszemcs´ek ´es a homok´ora m´eret´et. Nincs ann´al jobb, mint amikor a gyerek maga v´egzi el a k´ıs´erletet ´es maga vonja le a k¨ovetkeztet´eseket. A m´asik nagy projekt a SINUS-TRANSFER projekt, amely a k¨oz´episkolai term´eszettudom´anyos oktat´as pedag´ogiai koncepci´oj´anak meg´ uj´ıt´as´at c´elozza meg. Ez a m´odszer a term´eszettudom´anyos megfigyel´esek, ´es k´ıs´erletek kiemelt fontoss´ag´at hangs´ ulyozza. L´enyegi eleme a tan´arok folyamatos szakmai tov´abbk´epz´es´enek a k´erd´ese. A Sinus-Transfer k¨ ul¨on¨os figyelemmel k´ıs´eri a tanul´ok egy´eni, term´eszettudom´anyos fejl˝od´es´et. Er˝os egy¨ uttm˝ uk¨od´es kialak´ıt´as´ara t¨orekszik iskol´an bel¨ ul ´es m´as iskol´ak, kutat´ok bevon´as´aval. Mindk´et projekt egy innovat´ıv pedag´ogiai koncepci´ot k´ın´al, ´es nem azzal a sz´and´ekkal, hogy felforgassa az eddigi tanmeneteket, csup´an v´altoztat´asokat javasol, illetve kieg´esz´ıti a hagyom´anyos elk´epzel´eseket. Mindk´et m´odszer hangs´ ulyozza a k´ıs´erleti tanul´as fontoss´ag´at, ´es nem el´egszik meg a term´eszettudom´anyos k´ıs´erletek
27
´es vizsg´alatok eredm´enyeinek k¨ozl´es´evel, ´eppen az eredm´enyekhez vezet˝o folyamatok megfigyel´es´et nyomat´ekos´ıtja. Az Eur´opai K¨oz¨oss´eg 7. Kutat´asi-, Technol´ogifejleszt´esi ´es Demonstr´aci´os keretprogramja (7. keretprogram, Seventh Framework Programme, FP7) kb. 60 milli´o eur´ot sz´an ilyen jelleg˝ u tov´abbi projektek t´amogat´as´ara. 2010 janu´arj´at´ol a kor´abbi Comenius projektek mellett (pl. DQME II) Rom´ani´aban jelenleg k´et FP7-es projekt m˝ uk¨odik: A FIBONACCI (http://www.fibonacciproject.eu) ´es a PRIMAS (http://www.primas-project.eu). Ezeknek a projekteknek k´et alapvet˝o c´elkit˝ uz´ese van: egyr´eszt olyan tananyagok fejleszt´ese/kipr´ob´al´asa, amelyek illeszkednek a rom´aniai tantervhez ´es t¨ ukr¨ozik az IBL alapelveit, m´asr´eszt olyan oktat´oi test¨ ulet kik´epz´ese, amely hossz´ u t´avon k¨ozelebb hozhatja a matematik´at ´es a term´eszettudom´anyokat a di´akokhoz. A Fibonacci projektben 21 orsz´ag 25 k¨ozpontja vesz r´aszt. A rom´aniai k¨ozpont a bukaresti L´ezer, plazma ´es sug´arz´as fizik´aj´anak kutat´oint´ezete. A Primas Projektben 14 orsz´agb´ol 12 k¨ozpont vesz r´eszt. A rom´aniai k¨ozpont a kolozsv´ari Babe¸s–Bolyai Tudom´anyegyetem. A PRIMAS projekt koncepci´oja a k´ıv´ancsis´ag-vez´erelt tanul´asr´ol: A term´eszettudom´anyokban a k´ıv´ancsis´ag-vez´erelt tanul´as konkr´etan a tudom´anyos ismereteken alapul´o k´ıs´erletez´esben, a k´ıs´erletez´es ´es a modellez´es k¨oz¨otti k¨olcs¨onhat´asokban nyilv´anul meg. A projekt a k¨onnyebb ´atl´athat´os´ag´ert a a k´ıv´anycsis´ag-vez´erelt tanul´asi folyamat k¨ork¨or¨oss´eg´et ´abr´azolja (Hamann, 2004, Klahr, 2000) (1.4 a´bra) A projekt munkak¨oz¨oss´ege szerint matematik´at ´es term´eszettudom´anyokat j´ol tan´ıtani azt jelenti, hogy: • o¨szt¨ozn¨ozni a matematika ´es a term´eszettudom´anyok tanul´asa ir´anti ´erdekl˝od´est ´es motiv´aci´ot; • alaptud´ast biztos´ıtani;
28
1.4. ´abra. A k´ıv´ancsis´ag-vez´erelet tanul´as ciklusa
• a t´em´akban alap m˝ uvelts´eget fejleszteni; • a tanul´okat hagyni, hogy a hib´aikb´ol tanuljanak; • fokozatos tanul´ast fejleszteni; • auton´om tanul´ast fejleszteni; • az interdiszciplin´aris megk¨ozel´ıt´eseket biztos´ıtani; • a tanul´ok egy¨ uttm˝ uk¨od´es´et t´amogatni; • a nemi hovatartoz´asi sztereot´ıpi´akat cs¨okkenteni. A k´ıv´ancsis´ag–vez´erelt oktat´assal kapcsolatos tipikus tan´ari sztereot´ıpi´ak: • nincs megfelel˝o h´att´ertud´asuk ´es k´epess´eg¨ uk;
29
• a k´ıv´ancsis´ag–vez´erelt m´odszerek t´ ul sok id˝ot vesznek ig´enybe ´es nem tudj´ak betartani a tantervet; • a z´ar´ovizsg´ak ink´abb az inform´aci´ok birtokl´as´at sz¨ uks´egeltetetik mint a tudom´anyos gondolkod´ast; • nincs el´eg forr´asuk a k´ıv´ancsis´ag–vez´erelt oktat´as el˝ot´erbe helyez´es´ere. Az interdiszcinplinarit´as hi´any´anak egyik f˝o oka a tan´ark´epz´es egyoldal´ us´aga. Vladimir Arnold 1997-ben foglamazta meg ezir´any´ u agg´alyait: ,,A matematika a fizika r´esze. A fizika egy k´ıs´erleteken alapul´o tudom´any, a term´eszettudom´any egy ´aga. A matematika a fizika azon ´aga, amelybe olcs´ok a k´ıs´erletek. A h´ uszadik sz´azad k¨ozep´en sz´etv´alasztott´ak a fizik´at ´es a matematik´at. A k¨ovetkezm´enyek katasztr´of´alisak.
Matematikusok gener´aci´oi n˝ottek fel
tu-
dom´anyuk fel´enek ismerete h´ıjj´an ´es term´eszetesen minden m´as tudom´any ir´anti k¨oz¨omb¨oss´eggel.” 12 A PRIMAS projekt c´elkit˝ uz´esei 1. A k´ıv´ancsis´ag–vez´erelt oktat´as (Inquiry Based Learning) sz´eles k¨or˝ u elterjeszt´ese • A helyi tanterveknek megfelel˝o, IBL szeml´elet˝ u tananyagok l´etrehoz´asa, fejleszt´ese, terjeszt´ese • A tan´ark´epz´es ´es tan´artov´abbk´epz´es t´amogat´asa 2. A matematika ´es a term´eszettudom´anyok tan´ıt´asi illetve tanul´asi szok´asainak megv´altoztat´asa • M˝ uk¨od˝ok´epes oktat´asi-, k´epz´esi- ´es tov´abbk´epz´esi modellek, re´alis alternat´ıv´ak bemutat´asa • A transzform´aci´os modellen alapul´o tan´ark´epz˝o ´es tov´abbk´epz˝o tanfolyamok 12
Vladimir Arnold: On Teaching Mathematics, P´arizs, 1997. m´arcius 7.
30
• Foglalkoz´asok iskol´an k´ıv¨ uli c´elcsoportok sz´am´ara A rom´aniai kurrikulum nem t´er ki semmilyen modellez´esi, k´ıv´ancsis´ag-vez´erelt vagy b´armilyen alternat´ıv tan´ıt´asi m´odszerre, csak a Bourbaki–iskola koncepci´oj´at k¨oveti. Nincsenek speci´alis tan´ark´epz˝o int´ezm´enyek, a tan´arok tov´abbk´epz´es´et az egyetemek vagy civil szervezetek szervezik, tartalmuk nem felt´etlen¨ ul a matematika oktat´as´ara ir´anyul, hanem ink´abb inform´aci´o-´atad´as. A tanterv ´es a z´ar´ovizsg´ak szerkezete a legt¨obb tan´art nem ¨oszt¨onzi m´as megk¨ozel´ıt´esek fejleszt´es´ere. ´Igy nagyon nagy sz¨ uks´eg van a k´ıv´ancsis´ag-vez´erelt oktat´as terjeszt´es´ere.
31
2. fejezet Az exponenci´ alis f¨ uggv´ eny bevezet´ ese p´ enz¨ ugyi fogalmakon kereszt¨ ul 2.1.
Bevezet˝ o p´ enz¨ ugyi fogalmak
Mindenekel˝ott ´ertelmezz¨ unk n´eh´any p´enz¨ ugyi fogalmat! Kamat: a j¨ov˝obeli ´es a jelenbeli p´enz¨osszeg k¨oz¨otti k¨ ul¨onb¨ozet. Kamatl´ ab: id˝oegys´eg alatt realiz´alt kamat ´es t˝oke ar´anya. Egyszer˝ u kamat: csak az alap o¨sszeg kamatozik, azaz minden ´evben az alap¨osszeg·kamatl´abbal n˝o a t˝oke. Kamatos kamatoz´ as: a kamattal megn¨ovelt ¨osszeg kamatozik, azaz minden ´evben az aktu´alis ¨osszeg·kamatl´abbal n˝o a t˝oke. Tekints¨ unk n´eh´any p´eld´at! Ha a kamatl´ab 10%, ´es a befektetett ¨osszeg 100 p´enzegys´eg, akkor egyszer˝ u kamatoz´as eset´en 1 ´ev ut´an 100 + 100 · 0, 10 = 110, 2 ´ev ut´an 110 + 100 · 0, 10 = 120 p´enzegys´eg¨ unk van, A fogalom meg´ert´es´enek ellen˝orz´esek´eppen a tanul´ok megoldj´ak a 3.1.1 feladatot, amelyben r´aj¨onnek az egyszer˝ u kamat linearit´as´ara, azaz, hogy p kamatl´ab eset´en, ha a befektetett ¨osszeg S, akkor az 32
n ´ev ut´an kivehet˝o o¨sszeg Sn = S(1 + np). Kamatos kamatoz´as eset´en 1 ´ev ut´an 100 + 100 · 0, 10 = 110 p´enzegys´eg¨ unk van, majd ez a teljes o¨sszeg kamatozik, ´ıgy 2 ´ev ut´an 110 + 110 · 0, 10 = 121 p´enzegys´eg¨ unk van. A fogalom meg´ert´es´enek ellen˝orz´esek´eppen a tanul´ok megoldj´ak a 3.1.2 feladatot, amelyben r´aj¨onnek hogy minden ´evben az ¨osszeg 1, 1-szer n˝o ´es levonj´ak a k¨ovetkeztet´est, hogy p kamatl´ab eset´en, ha a befektetett o¨sszeg S, akkor kamatos kamat eset´en az n ´ev ut´an kivehet˝o o¨sszeg S(1 + p)n . A 3.1.3 ´es 3.1.4 feladatok megold´asakor a tanul´ok megfogalmazz´ak, hogy ugyanolyan kamatl´ab mellett kamatos kamattal jobban meg´eri befektetni, illetve, hogy ha az egyszer˝ u kamat eset´en nagyobb a kamatl´ab, mint a kamatos kamat eset´en, akkor r¨ovid t´avon jobban meg´eri az egyszer˝ u kamattal befektetni, de hossz´ ut´avon a kamatos kamat ´eri meg jobban. A fenti p´eld´akban a kamatoz´asi peri´odus 1 ´ev volt. A mindennapi ´eletben gyakran tal´alkozhatunk azonban olyan befektet´esekkel, amelyekn´el a kamatoz´asi peri´odus egy ´evn´el r¨ovidebb. Ezt u ´gy nevezz¨ uk, hogy ´evenk´enti t¨obbsz¨ori t˝ ok´ es´ıt´ es. Ilyen esetekben a kamatoz´asi peri´odussal megyegyez˝o ´erv´enyess´egi id˝otartamra vonatkoz´o kamatl´abat kell haszn´alni. Ha p´eld´aul a befektetett p´enz¨osszeg 100 p´enzegys´eg, a kamatl´ab 10% ´es havonta t˝ok´es´ıt¨ unk, akkor a havi kamatl´ab 1 h´onap ut´an 100 + 100 ·
10 12·100
10 )12 12·100
2 ´ev ut´an pedig 100(1 +
´ıgy kamatos kamatoz´as eset´en
= 100, 8(3) p´enzegys´eg¨ unk van,
2 h´onap ut´an 100, 8(3) + 100, 8(3) · 1 ´ev ut´an pedig 100(1 +
10 %, 12
10 12·100
= 101, 6736(1) p´enzegys´eg¨ unk van,
≈ 110, 471 p´enzegys´eg¨ unk van,
10 )24 12·100
≈ 122, 039 p´enzegys´eg¨ unk van. Egyszer˝ u kamatoz´as
eset´en 1 h´onap ut´an 100 + 100 ·
10 12·100
= 100, 8(3) p´enzegys´eg¨ unk van,
2 h´onap ut´an 100 + 100 · 2 ·
10 12·100
= 101, (6) p´enzegys´eg¨ unk van,
1 ´ev ut´an pedig 100(1 + 12 ·
10 12·100
= 110.
Vizsg´aljuk mi t¨ort´enik a p´enz¨osszeggel, ha hetente t˝ok´es´ıt¨ unk kamatos kamatoz´as
33
eset´en. Ekkor 1 ´ev ut´an 100(1 +
10 )52 52·100
≈ 110, 506.
A 3.1.5 feladat megold´asakor a tanul´ok meg´allap´ıtj´ak, hogy egyszer˝ u kamatoz´as eset´en nem v´altozik az egy ´ev ut´ani p´enz¨osszeg ak´ar t˝ok´es´ıt¨ unk, ak´ar nem. A 3.1.6 ´es 3.1.7 feladatok megold´asakor meg´allap´ıthat´o, hogy kamatos kamatoz´as eset´en egyenl˝o id˝ok¨oz¨okk´enti t˝ok´es´ıt´essel lesz 1 ´ev ut´an a legt¨obb p´enz¨ unk. A 3.1.8 feladatb´ol a tanul´ok levonj´ak a k¨ovetkeztet´est, hogy egyenl˝o id˝ok¨ozokk´ent t¨obbsz¨ori t˝ok´es´ıt´es eset´en lesz t¨obb p´enz¨ unk.
2.2.
Az (en)n≥1, en = 1 +
2.2.1.
A sorozat monotonit´ asa
Az en =
1+
1 n n
1 n n
sorozat vizsg´ alata
sorozat vizsg´alat´at a 3.2.1 ´es 3.2.2 feladatok megold´as´aval
kezdj¨ uk. A feladatokat ´altal´anos´ıtjuk, azaz tegy¨ unk be a bankba 1 p´enzegys´eget 100%-os kamatos kamattal, ´es n-szer t˝ok´es´ıts¨ uk egy ´evben. Egy ´ev m´ ulva a sz´amla ´ert´eke n 1 + n1 pe. Az (en )n≥1 , sorozat monotonit´asa a feladatok megold´as´ab´ol azonnal ad´odik, mert t¨obbsz¨ori t˝ok´es´ıt´es eset´en nyilv´an t¨obb p´enz¨ unk lesz. Teh´at n n+1 1 1 < 1+ . 1+ n n+1
(2.1)
Ezzel a megk¨ozel´ıt´essel m´as egyenl˝otlens´egeket is kaphatunk. Vizsg´aljuk, hogy mennyi p´enz¨ unk van az ´ev
k -ed n
r´eszekor, ha n-szer t˝ok´es´ıt¨ unk,
illetve ha n + 1-szer t˝ok´es´ıt¨ unk. Ennek ´erdek´eben el˝osz¨or megoldatjuk a tanul´okkal a 3.2.3-3.2.8 feladatokat, majd megfogalmazz´ak az a´ltal´anos´ıt´ast, amit matematikai indukci´oval igazolnak. n-szeri t˝ok´es´ıt´es eset´en eddig a pillanatig k-szor t˝ok´es´ıtett¨ unk, teh´at 1 + egys´eg¨ unk van. n + 1 -szeri t˝ok´es´ıt´es eset´en k t˝ok´es´ıt´es ut´an az ´ev
k n+1
1 k n
p´enz-
k n
,,pil-
<
k k lanat´aban” vagyunk. ´Igy nk − n+1 = n(n+1) id˝o eltelte ut´an az ´ev nk ,,pillanat´aban” u ´jb´ol k k 1 t˝ok´es´ıt¨ unk ´es 1 + n+1 1 + n(n+1 p´enzegys´eg¨ unk lesz. Mivel t¨obbsz¨ori t˝ok´es´ıt´es
eset´en nagyobb p´enz¨osszeg¨ unk lesz, b´armely k = 1, n eset´en fel´ırhatjuk a k¨ovetkez˝o 34
egyenl˝otlens´eget: k k 1 1 k 1+ < 1+ 1+ . n n+1 n(n + 1)
(2.2)
k = n eset´en a (2.1) egyenl˝otlens´eget kapjuk. A 3.2.9-3.2.13 feladatok megold´asakor a tanul´okat r´avezetj¨ uk arra, hogy az m + 1ik ´ev
k n
,,pillanat´aban”kevesebb p´enz¨ unk lesz ´evi n-szeri t˝ok´es´ıt´essel, mint n + 1-szeri
t˝ok´es´ıt´essel. Az ´ıgy kapott egyenl˝otlens´eget u ´gy is igazolhatjuk, hogy a (2.1) egyenl˝otlens´eget m-edik (m ∈ N∗ ) hatv´anyra emelj¨ uk, ´ıgy a k¨ovetkez˝o egyenl˝otlens´eget kapjuk: mn m(n+1) 1 1 1+ < 1+ . n n+1
(2.3)
Majd a (2.2) ´es (2.3) egyenl˝otlens´egekb˝ol kapjuk az mn+k m(n+1)+k 1 k 1 < 1+ 1+ 1+ n n+1 n(n + 1)
(2.4)
b´armely m ∈ N∗ ´es k = 1, n eset´en, egyenl˝otlens´eget.
2.2.2.
A sorozat korl´ atoss´ aga
A sorozat korl´atoss´ag´anak vizsg´alat´ahoz vizsg´aljuk, hogy mi t¨ort´enik, ha szint´en egy p´enzegys´eget tesz¨ unk a bankba 200%-os egyszer˝ u kamattal. A tanul´ok el˝osz¨or megoldj´ak a 3.3.1-3.3.5 feladatokat, amelyek sor´an az egy ´ev ut´an kivehet˝o o¨sszegeket hasonl´ıtj´ak ¨ossze 200%-os egyszer˝ u kamat ´es 100%-os kamatos kamat eset´en. Az ´ıgy kapott egyenl˝otlens´eget neh´ezkes egyszer˝ uen igazolni, ez´ert igazolni fogjuk, hogy f´el ´even a´t az ´ev minden
k n
,,pillanat´aban” t¨obb p´enz¨ unk lesz, mint a 100%-os
kamatos kamattal n-szeri t˝ok´es´ıt´es eset´en, azaz k 1 2k n 1+ < 1 + , ha k ≤ . n n 2
(2.5)
Ennek az egyenl˝otlens´egnek a megsejt´es´ehez a tanul´ok el˝osz¨or megoldj´ak a 3.3.63.3.10 feladatokat. 35
A (2.5) egyenl˝otlens´eget a matematikai indukci´o m´odszer´evel bizony´ıtjuk. k = 1 eset´en az 1 + n1 < 1 + n2 egyenl˝otlens´eg nyilv´anval´oan igaz. Felt´etelezz¨ uk, hogy az (2.5) egyenl˝otlens´eg igaz k eset´en, ´es igazoljuk k + 1-re, azaz, hogy
1 1+ n
k+1 <1+
2(k + 1) , n
ha k ≤
n − 1. 2
Ha a (2.5) egyenl˝otlens´eg mindk´et oldal´at megszorozzuk 1 + n1 -nel, az k+1 2k 1 1 < 1+ 1+ 1+ n n n igaz egyenl˝otlens´eget kapjuk. A k´erd´es az, hogy igaz-e az 2k 1 2(k + 1) 1+ 1+ <1+ n n n egyenl˝otlens´eg k ≤
n 2
− 1 eset´en, ami egyen´ert´ek˝ ua
l˝otlens´eggel. Teh´at a (2.5) egyenl˝otlens´eg igaz a k ≤
2k n2 n 2
<
1 n
⇐⇒ k <
n 2
igaz egyen-
term´eszetes sz´amok eset´en. Ha
n p´aratlan term´eszetes sz´am, m´eg bizony´ıtanunk kell az (2.5) egyenl˝otlens´eget k = 1 eset´en, azaz, hogy 1 + n1 2 < 1 + n1 , ami nyilv´anval´oan igaz, mert 1 + n1 > 1.
1 2
Teh´at a (2.5) egyenl˝otlens´eg igaz minden k ∈ { 2i : i = 1, n} eset´en. ´Igy igaz n n < 4 k = n2 eset´en is, azaz 1 + n1 2 < 2, amib˝ol n´egyzetreemel´essel a 1 + n1 egyenl˝otlens´eget kapjuk, azaz az (en )n≥1 sorozat fel¨ ulr˝ol korl´atos. Nyilv´an en ≥ e1 = 2 b´armely n ≥ 1 eset´en, teh´at mivel a sorozat monoton ´es korl´atos, konvergens is, ´es hat´ar´ert´eke lim en = e ∈ (2, 4]. Az intervallum sz˝ uk´ıt´ese ´erdek´eben alkalmazhatjuk n→∞
a tank¨onyvekb˝ol ismert m´odszert Newton binomi´alis k´eplete seg´ıts´eg´evel, azaz k ≤ n eset´en
1 1+ n
k =1+k·
1 k(k − 1) 1 k(k − 1)(k − 2) 1 + · 2+ · 3 + ··· n 2 n 6 n
k(k − 1)(k − 2) · · · (k − (k − 1)) 1 · k = k! n k k k 1 1 k k 1 k 2 1 =1+ + · − · + · − · − · ··· n n n n 2 n n n n n 6 k k 1 k 2 k k−1 1 ··· · − · − ··· − · < n n n n n n n k! ··· +
36
k 1 1 1 1 1 1 + + ··· + <1+ + + ··· + = 2 6 k! n 1·2 2·3 (k − 1)k k 1 1 1 1 1 1 1 2k =1+ 1 − + − + − + ··· + − <1+ . n 2 2 3 3 4 k−1 k n
k <1+ n
Teh´at az (2.5) egyenl˝otlens´eg igaz minden k ≤ n term´eszetes sz´amra, azaz 1 +
1 n n
<
3, teh´at e ∈ (2, 3].
2.3.
Az exponenci´ alis f¨ uggv´ eny ´ ertelmez´ ese
Vizsg´aljuk ´altal´anosabban a probl´em´at. Legyen a kamatl´ab p > 0. Ennek ´erdek´eben a tanul´ok megoldj´ak a 3.4.1 ´es 3.4.2 feladatokat, majd meg´allap´ıtj´ak, hogy n-szeri n t˝ok´es´ıt´es eset´en egy ´ev m´ ulva 1 + np p´enzegys´eg¨ unk lesz ´es, hogy az (epn )n≥1 , n epn = 1 + np sorozat monoton n¨ovekv˝o, mert t¨obbsz¨ori t˝ok´es´ıt´es eset´en nyilv´an t¨obb p´enz¨ unk lesz. Teh´at
p n 1+ < n
p 1+ n+1
n+1 .
(2.6)
Vizsg´aljuk a sz´aml´at az ´ev nk ,,pillanat´aban”! (3.4.3-3.4.6 feladatok). n-szeri t˝ok´es´ıt´es k k p kp eset´en 1 + np pe. lesz, n + 1-szeri t˝ok´es´ıt´es eset´en pedig 1 + n+1 1 + n(n+1) p´enzegys´eg¨ unk lesz. Teh´at fel´ırhatjuk az
p k < 1+ n
1+
p n+1
k
kp 1+ n(n + 1)
(2.7)
egyenl˝otlens´eget minden k = 1, n eset´en. k = n-re pedig az (2.6) egyenl˝otlens´eget kapjuk. A 3.4.7-3.4.11 feladatok megold´asa ´altal levonjuk a k¨ovetkeztet´est, hogy ebben az esetben is az m+1-ik ´ev
k n
,,pillanat´aban”kevesebb p´enz¨ unk lesz ´evi n-szeri t˝ok´es´ıt´essel,
mint n + 1-szeri t˝ok´es´ıt´essel, azaz
p mn+k 1+ < n
1+
p n+1
m(n+1)+k 1+
kp n(n + 1)
(2.8)
minden m ∈ N∗ ´es k = 1, n eset´en. Ezt az egyenl˝otlens´eget a (2.6) ´es (2.7) egyenl˝otlens´egek seg´ıts´eg´evel igazoljuk.
37
A sorozat korl´atoss´ag´anak vizsg´alat´ahoz vizsg´aljuk, hogy mi t¨ort´enik, ha szint´en egy p´enzegys´eget tesz¨ unk a bankba egyszer˝ u kamatoz´assal, ha a kamatl´ab 2p. A 3.5.1-3.5.5 feladatok seg´ıts´eg´evel megsejtetj¨ uk, hogy a 2p kamatl´ab´ u egyszer˝ u kamat eset´en egy ´ev m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk lesz, mint a p kamatl´ab´ u kamatos kamat h i n eset´en. Majd a 3.5.6-3.5.10 feladatokkal megsejtetj¨ uk, hogy 2p ´even a´t az ´ev minden k n
,,pillanat´aban” t¨obb p´enz¨ unk lesz, mint a kamatos kamatoz´assal p kamatl´abbal n-
szeri t˝ok´es´ıt´es eset´en, azaz
p k 2kp 1+ <1+ , n n
ha k ≤
n . 2p
(2.9)
Ezt az egyenl˝otlens´eget a matematikai indukci´o m´odszer´evel bizony´ıtjuk. k = 1 eset´en igaz az 1 + np < 1 + 2p egyenl˝otlens´eg. Felt´etelezz¨ uk, hogy az (2.9) egyenl˝otlens´eg n igaz k eset´en, ´es igazoljuk k + 1-re, azaz, hogy
1+
p k+1 2(k + 1)p <1+ , n n
ha k ≤
n − 1. 2p
Ha a (2.9) egyenl˝otlens´eg mindk´et oldal´at 1 + np -nel szorozzuk, az p k+1 2kp p 1+ < 1+ 1+ n n n igaz egyenl˝otlens´eget kapjuk. A k´erd´es az, hogy igaz-e az 2kp p 2(k + 1)p 1+ 1+ <1+ n n n egyenl˝otlens´eg minden k ≤
n 2p
− 1 term´eszetes sz´am eset´en, ami a
2kp2 n2
<
p n
n 2p
egyenl˝otlens´egekkel egyen´ert´ek˝ u. Teh´at az (2.9) egyenl˝otlens´eg igaz a k ≤ h i n term´eszetes sz´amok eset´en. k = 2p eset´en az (2.9) egyenl˝otlens´eg:
k <
⇔ n 2p
h i n n n 2 p 2 · 2p ·p 2p p [ 2p ] 1+ <1+ ≤1+ =2 n n n
n 2p0
L´etezik olyan p0 pozit´ıv racion´alis sz´am, amelyre el´eg nagy n eset´en h i n n n + 1 ≤ 2p , innen 2p0 ≤ 2p . Teh´at
1+
n ] p 2pn0 p [ 2p ≤ 1+ < 2. n n
38
1 p0
≤
1 p
−
2 n
⇔
Ebb˝ol az egyenl˝otlens´egb˝ol k¨ovetkezik, hogy
1+
p n < 22p0 , n
azaz az (epn )n≥1 sorozat fel¨ ulr˝ol korl´atos. Mivel n¨ovekv˝o ´es fel¨ ulr˝ol korl´atos, k¨ovetkezik, n hogy konvergens, teh´at l´etezik a lim 1 + np = l ∈ R hat´ar´ert´ek. n→∞
A tov´abbiakban igazoljuk, hogy p ∈ Q∗+ eset´en ez a hat´ar´ert´ek ep . Legyen p = p n a ∗ , a, b ∈ N ´ e s az (n ) , n = ak sorozat. Ekkor mivel az 1 + sorozat k k≥1 k b n n≥1 nk konvergens, k¨ovetkezik, hogy az 1 + npk r´eszsorozat is konvergens ´es ugyanaz k≥1 ak a a a 1 bk· b 1 ak b a hat´ar´ert´eke. Teh´at l = lim 1 + ak = lim 1 + bk = eb . = lim 1 + bk k→∞ k→∞ k→∞ n Teh´at p ∈ Q∗+ eset´en lim 1 + np = ep . n→∞ n Ha p > 0 irracion´alis, ´ertelmezz¨ uk az ep = lim 1 + np hatv´anyt. n→∞ n 0 p = 0 eset´en azonnali, hogy e = lim 1 + n0 = lim 1 = 1. n→∞
n→∞
Vizsg´aljuk, hogy mi t¨ort´enik negat´ıv racion´alis sz´amok eset´en. Legyen p = − ab < 0, a, b ∈ N∗ ´es n >
a b
term´eszetes sz´am. Ekkor
p n 1+ = n
1−
a b
n
n
a n = = 1− bn
=
1+
bn − a bn
n =
1 1+
!n
a bn−a
=
1 . n bn−a bn−a
a bn−a
n 1 + na sorozat hat´ar´ert´eke ea , teh´at a n≥1 bn−a a r´eszsorozat hat´ar´ert´eke is ea , ´es lim 1 + bn−a A
n n→∞ bn−a
n≥1
lim n→∞
1+
=
1 b
∈ Q∗+ , teh´at
1 1 − ab = = ep . n a = e bn−a bn−a b e
a bn−a
Teh´at a p < 0 racion´alis sz´amok eset´en is lim 1 + n→∞
p n n
= ep .
A p > 0 esethez hasonl´oan p < 0 irracion´alis sz´am eset´en is ´ertelmezz¨ uk az ep = n lim 1 + np hatv´anyt.
n→∞
Teh´at ´ertelmezt¨ uk az f : R → R,
f (p) = ep exponenci´alis f¨ uggv´enyt.
39
2.4. 2.4.1.
Az exponenci´ alis f¨ uggv´ eny tulajdons´ agai Az exponenci´ alis f¨ uggv´ eny monotonit´ asa
A 3.6.1 ´es 3.6.2 feladatok seg´ıts´eg´evel megsejtetj¨ uk, hogy ep1 +p2 = ep1 · ep2 b´armely p1 , p2 ∈ R eset´en. A 3.6.3 ´es 3.6.4 feladatok seg´ıts´eg´evel pedig megsejtetj¨ uk a monouk az (an )n≥1 , (bn )n≥1 tonit´ast. Az ep1 +p2 = ep1 · ep2 egyenl˝os´eg igazol´as´ahoz ´ertelmezz¨ n n 2 n ´es (cn )n≥1 sorozatokat u ´gy, hogy an = 1 + pn1 , bn = 1 + pn2 ´es cn = 1 + p1 +p n b´armely n ∈ N∗ eset´en. Tudjuk, hogy lim an = ep1 , lim bn = ep2 ´es lim cn = ep1 +p2 . n→∞
n→∞
n→∞
Vizsg´aljuk az (an bn )n≥1 sorozatot! n szigor´ uan 1 + np n≥1 n n¨ovekv˝o, konvergens ´es hat´ar´ert´eke ep , teh´at 1 < 1 + p < 1 + np < ep b´armely n > 1 El˝osz¨or igazoljuk, hogy ep > 1 b´armely p > 0 eset´en! Az
eset´en. Newton binomi´alis k´eplete alapj´an: n n n−1 p1 + p2 p1 p2 p1 + p2 p1 + p 2 p1 p2 + 2 = 1+ +n 1+ + an b n = 1 + n n n n n2 n−2 n(n − 1) p1 + p 2 p1 p2 2 p1 + p2 p1 p2 n−1 p1 p2 n + 1+ +···+n 1 + + . 2 n n2 n n2 n2 Ha n > |p1 + p2 |, akkor nyilv´anval´oan 1 +
p1 +p2 n
> 0, teh´at an bn > cn ´es l´etezik 2 k p0 ∈ R∗+ u ´gy, hogy p1 + p2 < p0 . Teh´at b´armely k = 1, n eset´en 1 + p1 +p < n k n 1 + pn0 < 1 + pn0 < ep0 ´es 1 < ep0 . Teh´at n p1 + p2 n − 1 p1 p 2 2 p 0 p1 p2 +e an b n < 1 + + · + n n 2n n (n − 1)(n − 2) p1 p2 3 (n − 1)(n − 2) · · · 2 p1 p2 n−1 1 p1 p2 n + · + ··· + + n < 6n2 n (n − 1)!nn−2 n n n n p p n−2 p p n−1 p1 p2 p1 p2 2 p1 + p2 1 2 1 2 p 0 p1 p2 < 1+ +e · 1+ + +···+ + = n n n n n n n p1 p2 n 1 − p1 + p2 p p 1 2 n = 1+ + ep0 · · = cn + d n . n n 1 − p1np2 p0
lim dn = lim e ·
n→∞
n→∞
p1 p2 n
·
p1 p2 n n p p 1− 1n 2
1−(
)
= 0, ´ıgy cn < an bn < cn + dn ´es a fog´o t´etele alapj´an
lim an bn = lim cn = ep1 +p2 , azaz ep1 +p2 = ep1 · ep2 minden p1 , p2 ∈ R eset´en.
n→∞
n→∞
40
Vizsg´aljuk a f¨ uggv´eny monotonit´as´at! Ha p1 < p2 val´os sz´amok ´es p0 = p2 − p1 > 0, akkor ep2 = ep1 +p0 = ep1 · ep0 > ep1 , mert ep0 > 1. K¨ovetkez´esk´eppen az f f¨ uggv´eny szigor´ uan n¨ovekv˝o.
2.4.2.
Az exponenci´ alis f¨ uggv´ eny konvexit´ asa
A f¨ uggv´eny konvexit´as´anak vizsg´alat´ahoz a k¨ovetkez˝o k´erd´est tessz¨ uk fel: Melyik esetben lesz t¨obb p´enz¨ unk: ha p´enz¨ unk egy r´esz´et egy bizonyos kamatl´abbal, a t¨obbi r´esz´et egy m´asik kamatl´abbal tessz¨ uk be a bankba, vagy ha a teljes o¨sszeget a k´et kamatl´ab s´ ulyozott k¨ozepe kamatl´abbal tessz¨ uk be. Hogy a k´erd´es vil´agosabb legyen ´es a v´alaszt is megkapj´ak a tanul´ok megoldj´ak a 3.6.5-3.6.7 feladatokat, majd megsejtik, hogy az els˝o esetben lesz t¨obb p´enz¨ unk. A probl´ema ´altal´anosan a k¨ovetkez˝o: p1 ´es p2 k¨ ul¨onb¨oz˝o val´os sz´amok ´es λ ∈ (0, 1) eset´en o¨ssze kell hasonl´ıtsuk a λf (p1 ) + (1 − λ)f (p2 ) = λep1 + (1 − λ)ep2
´es f (λp1 + (1 − λ)p2 ) = eλp1 +(1−λ)p2
kifejez´eseket. Ehhez ´ertelmezz¨ uk az (an )n≥1 , (bn )n≥1 ´es (cn )n≥1 sorozatokat: n p2 n λp1 + (1 − λ)p2 p1 n , bn = (1 − λ) 1 + ´es cn = 1 + . an = λ 1 + n n n Ha p1 ´es p2 pozit´ıv val´os sz´amok, akkor tulajdonk´eppen az a k´erd´es, hogy melyik esetben lesz t¨obb p´enz¨ unk egy ´ev ut´an: ha 1 p´enzegys´eget helyez¨ unk let´etbe λp1 + (1 − λ)p2 kamatl´ab´ u kamatos kamatoz´assal vagy, ha λ p´enzegys´eget helyez¨ unk let´etbe p1 kamatl´ab´ u kamatos kamattal, ´es 1 − λ p´enzegys´eget p2 kamatl´ab´ u kamatos kamattal, minden esetben n-szer t˝ok´es´ıtve. Ennek ´erdek´eben ¨osszehasonl´ıtjuk a k´et esetet az ´ev
k n
´ ,,pillant´aban”. Ertelmezz¨ uk az
(ank )n,k≥1 , (bnk )n,k≥1 ´es (cnk )n,k≥1 sorozatokat: ank
p 1 k =λ 1+ , n
bnk
p2 k = (1 − λ) 1 + n
´es cnk =
λp1 + (1 − λ)p2 1+ n
k
Ha k = 1, akkor p1 p2 λp1 (1 − λ)p2 an1 + bn1 = λ 1 + + (1 − λ) 1 + =λ+ +1−λ+ = n n n n 41
.
=1+
λp1 + (1 − λ)p2 = cn1 n
Ha k = 2, akkor p1 2 p2 2 λp1 + (1 − λ)p2 λp21 + (1 − λ)p22 + an2 + bn2 = λ 1 + + (1 − λ) 1 + = 1+2· n n n n2 2 λp1 + (1 − λ)p2 λp1 + (1 − λ)p2 =1+2· + cn2 = 1 + n n +
λ2 p21 + (1 − λ)2 p22 + 2λ(1 − λ)p1 p2 . n2
¨ Ossze kell hasonl´ıtsuk a λp21 +(1−λ)p22 ´es λ2 p21 +(1−λ)2 p22 +2λ(1−λ)p1 p2 . kifejez´eseket. λp21 +(1−λ)p22 −λ2 p21 −(1−λ)2 p22 −2λ(1−λ)p1 p2 = λ(1−λ)p21 λ(1−λ)p22 −2λ(1−λ)p1 p2 = = 2λ(1 − λ) (p1 − p2 )2 > 0. Teh´at an2 + bn2 > cn2 . A matematikai indukci´o m´odszer´evel igazolni fogjuk a p1 k p 2 k λ 1+ + (1 − λ) 1 + > n n
λp1 + (1 − λ)p2 1+ n
k (2.10)
egyenl˝otlens´eget minden k > 1 term´eszetes sz´am eset´en. Az (2.10) egyenl˝otlens´eg igaz k = 2-re, felt´etelezz¨ uk, hogy igaz k-ra, ´es igazoljuk k + 1-re. Az (2.10) egyenl˝otlens´eg mindk´et oldal´at szorozzuk meg 1 +
λp1 +(1−λ)p2 -nel, n
ekkor a k¨ovetkez˝o
igaz egyenl˝otlens´eget kapjuk: p2 k λp1 + (1 − λ)p2 p1 k + (1 − λ) 1 + 1+ λ 1+ > n n n k+1 λp1 + (1 − λ)p2 > 1+ . n K´erd´es, hogy igaz-e a p1 k+1 p2 k+1 λ 1+ + (1 − λ) 1 + > n n λp1 + (1 − λ)p2 p1 k p 2 k > 1+ λ 1+ + (1 − λ) 1 + , n n n
42
egyenl˝otlens´eg, ami egyen´ert´ek˝ ua p 1 k p1 λp1 + (1 − λ)p2 λ 1+ 1+ −1− + n n n p 2 k p2 λp1 + (1 − λ)p2 +(1 − λ) 1 + 1+ −1− > 0, n n n azaz p1 k p2 k 1+ >0 − 1+ n n k k egyenl˝otlens´eggel, ami igaz, mert az 1 + pn1 ´es 1 + pn2 sz´amok rendez´ese ugyanaz, λ(1 − λ) (p1 − p2 ) n
mint a p1 ´es p2 sz´amok rendez´ese. Teh´at az (2.10) egyenl˝otlens´eg igaz minden k > 1 term´eszetes sz´am eset´en, ´ıgy k = n eset´en is, teh´at an + bn > cn minden n ∈ N∗ eset´en. Ez azt jelenti, hogy kedvez˝obb, ha p´enz¨ unk egy r´esz´et egy kamattal, m´asik r´esz´et m´asik kamattal helyezz¨ uk let´etbe, mint az eg´eszet a kamatok s´ ulyozott k¨ozep´evel. Mivel az (2.10) egyenl˝otlens´eg bizony´ıt´as´an´al nem haszn´altuk, hogy a p1 ´es p2 sz´amok pozit´ıvak, kijelenthetj¨ uk, hogy b´armely p1 ´es p2 val´os sz´am ´es n ≥ 1 term´eszetes sz´am eset´en n p1 n p2 n λp1 + (1 − λ)p2 λ 1+ + (1 − λ) 1 + > 1+ . n n n
(2.11)
Ha a fenti egyenl˝otlens´egben hat´ar´ert´ekre t´er¨ unk a λep1 + (1 − λ)ep2 ≥ eλp1 +(1−λ)p2 egyenl˝otlens´eget kapjuk, teh´at az f exponenci´alis f¨ uggv´eny konvex.
2.4.3.
Az exponenci´ alis f¨ uggv´ eny folytonoss´ aga
A folytonoss´ag megsejt´es´ehez megoldatjuk a 3.6.8 ´es 3.6.9 feladatokat, majd elm´eletileg is igazoljuk. El´egs´eges a folytonoss´agot a 0-ban vizsg´alni, mert ha egy (pn )n≥1 sorozat hat´ar´ert´eke p ∈ R, akkor a (pn − p)n≥1 sorozat hat´art´ert´eke 0, ´es epn = epn −p · ep . Teh´at legyen (pn )n≥1 egy 0-hoz tart´o sorozat. Az a k´erd´es, hogy az ´ (epn )n≥1 sorozat hat´ar´ert´eke egyenl˝o-e 1-gyel. Ertelmezz¨ uk az (xnk )n,k≥1 , k xnk = 1 + pkn sorozatot, ´es vizsg´aljuk az (xnk − 1)n,k≥1 sorozat viselked´es´et! Newton binomi´alis k´eplet´evel kapjuk, hogy k−1 (k − 1)(k − 2) 2 1 k−1 xnk − 1 = pn 1 + pn + pn + · · · + k pn . 2k 6k 2 k 43
(2.12)
1 − |pn |k |xnk − 1| < |pn | 1 + |pn | + |pn |2 + · · · + |pn |k−1 = |pn | · . 1 − |pn |
(2.13)
Mivel lim pn = 0, k¨ovetkezik, hogy l´etezik olyan n1 , amelyre |pn | < 1 b´armely n ≥ n1 n→∞
eset´en. Teh´at, ha n ≥ n1 , akkor lim |pn | · k→∞
1−|pn |k 1−|pn |
=
|pn | . 1−|pn |
M´asr´eszt lim xnk = epn . k→∞
Hat´ar´ert´ekre t´er¨ unk az (2.13) egyenl˝otlens´egben, ha k → ∞, ´es az |epn − 1| ≤ |pn | n→∞ 1−|pn |
egyenl˝otlens´eget kapjuk b´armely n ≥ n1 eset´en. lim
|pn | 1−|pn |
= 0, teh´at lim epn = 1, n→∞
azaz az f f¨ uggv´eny folytonos a 0-ban, k¨ovetkez´esk´eppen folytonos R-en.
2.4.4.
Az exponenci´ alis f¨ uggv´ eny deriv´ alhat´ os´ aga
epn −ep hat´ar´ert´ek l´etez´es´et kell vizsg´alnunk, ha a (pn )n≥1 sorozat hat´ar´ert´eke n→∞ pn −p pn −ep pn −p p. Mivel epn −p = ep · e pn −p−1 , el´egs´eges a deriv´alhat´os´agot csak a 0-ban vizsg´alni. Legyen k a (pn )n≥1 sorozat hat´ar´ert´eke 0 ´es ´ertelmezz¨ uk az (xnk )n,k≥1 , xnk = 1 + pkn sorozatot.
A lim
Az
xnk −1 pn
sorozatot kell vizsg´alnunk. A (2.12) egyenl˝os´eg alapj´an n,k≥1
xnk − 1 k−1 (k − 1)(k − 2) 2 1 k−1 =1+ pn + p + · · · + p . n pn 2k 6k 2 kk n Teh´at k−1 xnk − 1 < |pn | 1 + |pn | + |pn |2 + · · · + |pn |k−2 = |pn | · 1 − |pn | . − 1 pn 1 − |pn |
(2.14)
Ebben az esetben is l´etezik az n1 u ´gy, hogy |pn | < 1 b´armely n ≥ n1 eset´en. k−1
|pn | n| Teh´at, ha n ≥ n1 , akkor lim |pn | · 1−|p = 1−|p . Hat´ar´ert´ekre t´er¨ unk az (2.14) n| k→∞ 1−|pn | pn |pn | egyenl˝otlens´egben, ha k → ∞, ´es az e pn−1 −1 ≤ 1−|p . lim |pn | = 0 egyenl˝otlens´eget n | n→∞ 1−|pn | pn kapjuk b´armely n ≥ n1 eset´en, teh´at lim e pn−1 = 1, azaz az f f¨ uggv´eny deriv´alhat´o n→∞
epn −ep n→∞ pn −p
0
0-ban ´es f (0) = 1. Ha a (pn )n≥1 sorozat hat´ar´ert´eke p ∈ R, akkor lim lim ep ·
n→∞
epn −p −1 pn −p
= ep . Teh´at az f f¨ uggv´eny deriv´alhat´o ´es f 0 (x) = ex .
44
=
3. fejezet Feladatlapok Megjegyz´ es: sz´amol´og´ep, sz´am´ıt´og´ep haszn´alata megengedett (esetenk´ent n´elk¨ ul¨ozhetetlen)!
3.1.
feladatlap
3.1.1. feladat. Betesz¨ unk 1000 lejt a bankba 10%-os egyszer˝ u kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki a) 1 ´ev ut´an? b) 2 ´ev ut´an? c) 3 ´ev ut´an? d) 10 ´ev ut´an? e) 20 ´ev ut´an? Mit vesztek ´eszre? Fogalmazzatok meg egy ´altal´anos´ıt´ast! 3.1.2. feladat. Betesz¨ unk 1000 lejt a bankba 10%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki a) 1 ´ev ut´an? 45
b) 2 ´ev ut´an? c) 3 ´ev ut´an? d) 10 ´ev ut´an? e) 20 ´ev ut´an? Mit vesztek ´eszre? Fogalmazzatok meg egy ´altal´anos´ıt´ast! 3.1.3. feladat. Hasonl´ıts´atok ¨ossze az el˝oz˝o k´et feladat eredm´enyeit! Mit vesztek ´eszre? 3.1.4. feladat. Vizsg´alj´atok meg, hogy mi t¨ort´enik, ha ugyanazt a p´enz¨osszeget tessz¨ uk be a bankba 10%-os egyszer˝ u kamattal, illetve 9%-os kamatos kamattal! 3.1.5. feladat. Betesz¨ unk 1000 lejt a bankba 12%-os egyszer˝ u kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki, ha a) negyed´ev eltelt´evel t˝ok´es´ıtj¨ uk? b) f´el ´ev eltelt´evel t˝ok´es´ıtj¨ uk? c) negyed´evkor ´es f´el´evkor is t˝ok´es´ıtj¨ uk? d) negyed´evkor, f´el´evkor ´es 8 h´onap eltelt´evel is t˝ok´es´ıtj¨ uk? Mit vesztek ´eszre? Fogalmazzatok meg egy ´altal´anos´ıt´ast! 3.1.6. feladat. Betesz¨ unk 1000 lejt a bankba 12%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki, ha a) negyed´ev eltelt´evel t˝ok´es´ıtj¨ uk? b) f´el ´ev eltelt´evel t˝ok´es´ıtj¨ uk? c) negyed´evkor ´es f´el´evkor is t˝ok´es´ıtj¨ uk? d) negyed´evkor, f´el´evkor ´es 8 h´onap eltelt´evel is t˝ok´es´ıtj¨ uk? 46
3.1.7. feladat. Betesz¨ unk 1000 lejt a bankba 12%-os kamatos kamattal. Sz´am´ıts´atok ki minden lehets´eges esetben, ha havonta t˝ok´es´ıthet¨ unk, hogy egy ´ev ut´an mennyi p´enzt vehet¨ unk ki, ha a) Egyszer t˝ok´es´ıt¨ unk. (azaz ´ev v´eg´en) b) K´etszer t˝ok´es´ıt¨ unk. c) H´aromszor t˝ok´es´ıt¨ unk. d) N´egyszer t˝ok´es´ıt¨ unk. Mit vesztek ´eszre? 3.1.8. feladat. Betesz¨ unk 1000 lejt a bankba 12%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enz¨ unk lesz egy ´ev ut´an, ha ´ ozben nem t˝ok´es´ıt¨ a) Evk¨ unk? b) F´el´evkor t˝ok´es´ıt¨ unk? c) 4 havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? d) Negyed´evente t˝ok´es´ıt¨ unk? e) Havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? f ) Naponta t˝ok´es´ıt¨ unk? (Az ´evet 360 naposnak tekintj¨ uk1 )
3.2.
feladatlap
3.2.1. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba 100%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enz¨ unk lesz egy ´ev ut´an, ha ´ ozben nem t˝ok´es´ıt¨ a) Evk¨ unk? 1
A n´emet ´es a francia minta szerint 360 nap, az angolsz´asz minta szerint 365 nap a banki ´ev
47
b) F´el´evkor t˝ok´es´ıt¨ unk? c) 4 havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? d) Negyed´evente t˝ok´es´ıt¨ unk? ¨ od´evente t˝ok´es´ıt¨ e) Ot¨ unk? f ) K´ethavonta t˝ok´es´ıt¨ unk? g) Havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? h) Naponta t˝ok´es´ıt¨ unk? Mit vesztek ´eszre? 3.2.2. feladat. Az el˝oz˝o feladat adataival sz´am´ıts´atok ki, hogy mennyi p´enz¨ unk lesz min´el t¨obb t˝ok´es´ıt´es eset´en! Mit vesztek ´eszre? 3.2.3. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba 100%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki f´el´ev ut´an, ha a) f´el´evkor t˝ok´es´ıt¨ unk? b) 4 havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? c) 3 havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? d) 2 havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? e) havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.2.4. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba 100%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki 4 h´onap ut´an, ha a) f´el´evkor t˝ok´es´ıt¨ unk? b) 4 havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? 48
c) 3 havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? d) 2 havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? e) havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.2.5. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba 100%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki 3 h´onap ut´an, ha a) 3 havonta (azaz 4-szer) t˝ok´es´ıt¨ unk? b) 5-sz¨or t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.2.6. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba 100%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki 4 h´onap ut´an, ha a) 2 havonta (azaz 6-szor) t˝ok´es´ıt¨ unk? b) 7-szer t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.2.7. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba 100%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki 8 h´onap ut´an, ha a) havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? b) 13-szor t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.2.8. feladat. Mit ´allap´ıthattok meg az el˝oz˝o feladatok alapj´an? Igazolj´atok az eredm´enyt a matematikai indukci´o m´odszer´evel! 3.2.9. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba 100%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki 16 h´onap m´ ulva, ha a) f´el´evente t˝ok´es´ıtj¨ uk? b) ´evharmadonk´ent t˝ok´es´ıtj¨ uk?
49
3.2.10. feladat. Az el˝oz˝o feladat adataival sz´am´ıts´atok ki mennyi p´enzt vehet¨ unk ki mindk´et esetben 18, 28, 30, illetve 64 h´onap m´ ulva! 3.2.11. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba 100%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki 13, 25, 37, illetve 49 h´onap m´ ulva, ha a) havonta t˝ok´es´ıtj¨ uk? b) 13-szor t˝ok´es´ıtj¨ uk? 3.2.12. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba 100%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki 5, 17, 29, 41, illetve 53 h´onap m´ ulva, ha a) 15-sz¨or t˝ok´es´ıtj¨ uk? b) 16-szor t˝ok´es´ıtj¨ uk? 3.2.13. feladat. Mit ´allap´ıthattok meg az el˝oz˝o feladatok alapj´an? Igazolj´atok az eredm´enyt!
3.3.
feladatlap
3.3.1. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz 1 ´ev m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 200%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy b) ha 100%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es f´el´evkor t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.3.2. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz 1 ´ev m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 200%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy b) ha 100%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es negyed´evente t˝ok´es´ıt¨ unk?
50
3.3.3. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz 1 ´ev m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 200%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy b) ha 100%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.3.4. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz 1 ´ev m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 200%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy b) ha 100%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es naponta t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.3.5. feladat. Mit ´allap´ıthattok meg az el˝oz˝o feladatok alapj´an? 3.3.6. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz f´el´ev m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 200%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy b) ha 100%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es f´el´evkor t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.3.7. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz 3 h´onap m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 200%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy b) ha 100%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es negyed´evente t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.3.8. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz 1, 2, 3, 4, 5, illetve 6 h´onap m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 200%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy b) ha 100%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es havonta t˝ok´es´ıt¨ unk?
51
3.3.9. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz 45, 90, 120, 180 nap m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 200%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy b) ha 100%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es naponta t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.3.10. feladat. Mit ´allap´ıthattok meg az el˝oz˝o feladatok alapj´an? Igazolj´atok az eredm´enyt a matematikai indukci´o m´odszer´evel!
3.4.
feladatlap
3.4.1. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegy´seget a bankba kamatos kamattal 12%-os kamatl´abal. Mennyi p´enz¨ unk lesz egy ´ev ut´an, ha ´ ozben nem t˝ok´es´ıt¨ a) Evk¨ unk? b) F´el´evkor t˝ok´es´ıt¨ unk? c) 4 havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? d) Negyed´evente t˝ok´es´ıt¨ unk? ¨ od´evente t˝ok´es´ıt¨ e) Ot¨ unk? f ) K´ethavonta t˝ok´es´ıt¨ unk? g) Havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? h) Naponta t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.4.2. feladat. Az el˝oz˝o feladat adataival sz´am´ıts´atok ki, hogy mennyi p´enz¨ unk lesz min´el t¨obb t˝ok´es´ıt´es eset´en! Mit vesztek ´eszre? Fogalmazzatok meg egy ´altal´anos´ıt´ast! 3.4.3. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba 12%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki f´el´ev ut´an, ha 52
a) f´el´evkor t˝ok´es´ıt¨ unk? b) 4 havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? c) 3 havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? d) 2 havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? e) havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.4.4. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba 12%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki 4 h´onap ut´an, ha a) f´el´evkor t˝ok´es´ıt¨ unk? b) 4 havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? c) 3 havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? d) 2 havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? e) havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.4.5. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba 12%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki 3 h´onap ut´an, ha a) 3 havonta (azaz 4-szer) t˝ok´es´ıt¨ unk? b) 5-sz¨or t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.4.6. feladat. Mit ´allap´ıthattok meg az el˝oz˝o feladatok alapj´an? Fogalmazzatok meg egy ´altal´anos tulajdons´agot! Igazolj´atok az eredm´enyt a matematikai indukci´ o m´odszer´evel! 3.4.7. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba 12%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki 16 h´onap m´ ulva, ha a) f´el´evente t˝ok´es´ıtj¨ uk? 53
b) ´evharmadonk´ent t˝ok´es´ıtj¨ uk? 3.4.8. feladat. Az el˝oz˝o feladat adataival sz´am´ıts´atok ki mennyi p´enzt vehet¨ unk ki mindk´et esetben 18, 28, 30, illetve 64 h´onap m´ ulva! 3.4.9. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba 12%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki 13, 25, 37, illetve 49 h´onap m´ ulva, ha a) havonta t˝ok´es´ıtj¨ uk? b) 13-szor t˝ok´es´ıtj¨ uk? 3.4.10. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba 12%-os kamatos kamattal. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki 5, 17, 29, 41, illetve 53 h´onap m´ ulva, ha a) 15-sz¨or t˝ok´es´ıtj¨ uk? b) 16-szor t˝ok´es´ıtj¨ uk? 3.4.11. feladat. Mit ´allap´ıthattok meg az el˝oz˝o feladatok alapj´an? Fogalmazzatok meg egy ´altal´anos tulajdons´agot! Igazolj´atok az eredm´enyt!
3.5.
feladatlap
3.5.1. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz 1 ´ev m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 24%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy b) ha 12%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es f´el´evkor t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.5.2. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz 1 ´ev m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 24%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy
54
b) ha 12%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es negyed´evente t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.5.3. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz 1 ´ev m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 24%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy b) ha 12%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.5.4. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz 1 ´ev m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 24%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy b) ha 12%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es naponta t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.5.5. feladat. Mit ´allap´ıthattok meg az el˝oz˝o feladatok alapj´an? 3.5.6. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz f´el´ev m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 24%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy b) ha 12%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es f´el´evkor t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.5.7. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz 3 h´onap m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 24%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy b) ha 12%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es negyed´evente t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.5.8. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz 1, 2, 3, 4, 5, illetve 6 h´onap m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 24%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy b) ha 12%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es havonta t˝ok´es´ıt¨ unk? 55
3.5.9. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Melyik esetben lesz 45, 90, 120, 180 nap m´ ulva t¨obb p´enz¨ unk: a) Ha 24%-os egyszer˝ u kamattal tessz¨ uk be vagy b) ha 12%-os kamatos kamattal tessz¨ uk be ´es naponta t˝ok´es´ıt¨ unk? 3.5.10. feladat. Mit ´allap´ıthattok meg az el˝oz˝o feladatok alapj´an? Fogalmazzatok meg egy ´altal´anos tulajdons´agot! Igazolj´atok az eredm´enyt a matematikai indukci´ o m´odszer´evel!
3.6.
feladatlap
3.6.1. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Sz´am´ıts´atok ki, hogy mennyi p´enzt vehet¨ unk ki egy ´ev m´ ulva, ha havonta t˝ok´es´ıt¨ unk a) 10%-os kamat eset´en; b) 20%-os kamat eset´en; c) 30%-os kamat eset´en; Szorozz´atok ¨ossze az a) ´es a b) pontbeli eredm´enyeket! Mit vesztek ´eszre? 3.6.2. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Sz´am´ıts´atok ki, hogy mennyi p´enzt vehet¨ unk ki egy ´ev m´ ulva, ha naponta t˝ok´es´ıt¨ unk a) 100%-os kamat eset´en; b) 200%-os kamat eset´en; c) 300%-os kamat eset´en; Szorozz´atok ¨ossze az a) ´es a b) pontbeli eredm´enyeket! Mit vesztek ´eszre? 3.6.3. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Sz´am´ıts´atok ki, hogy mennyi p´enzt vehet¨ unk ki egy ´ev m´ ulva, ha havonta t˝ok´es´ıt¨ unk 56
a) 10%-os kamat eset´en; b) 11%-os kamat eset´en; c) 12%-os kamat eset´en; d) 20%-os kamat eset´en; e) 100%-os kamat eset´en; f ) 200%-os kamat eset´en? 3.6.4. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Sz´am´ıts´atok ki, hogy mennyi p´enzt vehet¨ unk ki egy ´ev m´ ulva, ha naponta t˝ok´es´ıt¨ unk a) 10%-os kamat eset´en; b) 11%-os kamat eset´en; c) 12%-os kamat eset´en; d) 20%-os kamat eset´en; e) 100%-os kamat eset´en; f ) 200%-os kamat eset´en? 3.6.5. feladat. Betesz¨ unk 1000 lejt a bankba. Sz´am´ıts´atok ki, hogy mennyi p´enzt vehet¨ unk ki egy ´ev m´ ulva havi, illetve napi t˝ok´es´ıt´essel, ha a) 500 lejt 10%-os kamattal ´es 500 lejt 12%-os kamattal tesz¨ unk be? b) A teljes ¨osszeget 11%-os kamattal tessz¨ uk be? 3.6.6. feladat. Betesz¨ unk 900 lejt a bankba. Sz´am´ıts´atok ki, hogy mennyi p´enzt vehet¨ unk ki egy ´ev m´ ulva havi, illetve napi t˝ok´es´ıt´essel, ha a) 300 lejt 9%-os kamattal ´es 600 lejt 12%-os kamattal tesz¨ unk be? b) A teljes ¨osszeget
1 3
· 9% + 32 · 12% = 11%-os kamattal tessz¨ uk be?
57
3.6.7. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Sz´am´ıts´atok ki, hogy mennyi p´enzt vehet¨ unk ki minden h´onapban, ha havonta t˝ok´es´ıt¨ unk unk be? a) Ha 25 -´et 10%-os kamattal ´es 53 -´et 15%-os kamattal tesz¨ b) Ha a teljes ¨osszeget
2 5
· 10% + 35 · 15% = 13%-os kamattal tessz¨ uk be?
3.6.8. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki egy ´ev m´ ulva havi, illetve napi t˝ok´es´ıt´essel, ha a) 12%-os kamattal tessz¨ uk be; b) 12,1%-os kamattal tessz¨ uk be; c) 12,01%-os kamattal tessz¨ uk be; d) 12,001%-os kamattal tessz¨ uk be? 3.6.9. feladat. Betesz¨ unk 1 p´enzegys´eget a bankba. Mennyi p´enzt vehet¨ unk ki egy ´ev m´ ulva havi, illetve napi t˝ok´es´ıt´essel, ha a) 0,1%-os kamattal tessz¨ uk be; b) 0,01%-os kamattal tessz¨ uk be; c) 0,001%-os kamattal tessz¨ uk be; d) 0,0001%-os kamattal tessz¨ uk be?
58
4. fejezet Tapasztalatok, k¨ ovetkeztet´ esek Eddigi tan´ari tapasztalatom azt mutatja, hogy a matematika, s ezen bel¨ ul k¨ ul¨on¨osen a matematikai anal´ızis ir´anti ´erdekl˝od´es nagyon megcsappant az ut´obbi ´evtizedben a k¨oz´episkol´asok k¨or´eben. Ennek t¨obb oka is lehet. Az egyik ok, hogy egyre kev´esb´e van t¨ urelm¨ uk a tanul´oknak elb´ıbel˝odni egy kreat´ıv gondolkod´ast ig´enyl˝o feladaton, ha nem ,,j¨on ki az eredm´eny” o¨t perc ut´an, akkor otthagyj´ak, nem el´eg k´ıv´ancsiak a puszta matematikafeladatok megold´as´anak v´egkimenetel´ere. Term´eszetesen ez al´ol vannak kiv´etelek is, de sajnos m´ar csak a versenyz˝o di´akok k¨oz¨ott, ´es o˝k sem mind motiv´altak hosszan gondolkodni egy-egy nehezebb feladaton. Lehet, hogy ez magyar´azhat´o a felgyorsult vil´aggal, vagy ak´ar azzal is, hogy a gyerekek t¨obbs´ege tud programozni, ´es a sz´am´ıt´og´ep azonnal jelzi, hogy hol a hiba, de persze nem kell kiz´arni esetleg azt sem, hogy mi pedag´ogusok is hib´asak vagyunk, mert a rohan´as miatt (,,haladjunk a tananyaggal” t´ıpus´ u) k´eszen t´alalunk bizonyos ¨otleteket, nem hagyunk o´r´an el´eg id˝ot, hogy mindenre magukt´ol j¨ojjenek r´a a tanul´ok, nem vagyunk felk´esz¨ ulve az egyre gyakrabban elhangz´o ,,Ennek hol vessz¨ uk haszn´at az ´eletben?” t´ıpus´ u k´erd´esek megv´alaszol´as´ara. Nagyon sz´epen hangzik a Ger˝ocs L´aszl´o a´ltal megfogalmazott magyar´azta arra, hogy mi´ert nem lehet (nem kell) mindig megmagyar´azni a fogalmak mindennapi ´eletbeli haszn´at a ,,Quo vadis matematikaoktat´as”1 c´ım˝ u cikk´eben: ,,[· · · ]egy p´eknek 1
N´epszava, 2007. j´ unius 9.
59
vagy aut´oszerel˝onek, egy irodai alkalmazottnak, menedzsernek vagy egy b¨olcs´esznek, jog´asznak t´enyleg soha nem lesz sz¨ uks´ege p´eld´aul a logaritmus azonoss´agaira. De j´ o lenne, ha a d¨ont´eshoz´ok is meg´erten´ek: mindezeket a dolgokat nem az´ert tan´ıtjuk, mert valaha is haszn´alni fogja ˝oket a di´ak, hanem az´ert, mert mik¨ozben a tanul´ ok agy´aban v´egigvonul az a gondolkod´asi l´ep´essorozat, m´ıg a meg´ert´es, a felfedez´es, az alkalmaz´as k¨ ul¨onb¨oz˝o szintjei ¨on´all´oan be´ep¨ ulnek gondolkod´as´anak strukt´ ur´aj´aba, addig olyan fejl˝od´esen, csiszolts´agon megy kereszt¨ ul a gondolkod´as´anak k´epess´ege (amit persze maga a di´ak sem vesz ´eszre), hogy a folyamat v´eg´en (az ´eretts´egi vizsga t´aj´ek´an) val´oban tiszta fejjel, logikusan, fegyelmezetten gondolkod´o ember v´alik (v´alhat) bel˝ole. S b´arhov´a is ker¨ ul az ´eletben a di´ak, ezekre a k´epess´egekre minden¨ utt ´ohatatlanul nagy sz¨ uks´ege lesz, e k´epess´egeket minden¨ utt nagy haszonnal tudja majd alkalmazni leend˝ o munkahelyein. Ez az igazi konvert´alhat´o tud´as, ´ıgy ezek fejleszt´es´ere kell (kellene) a legnagyobb hangs´ ulyt fektetn¨ unk.” Ugyanakkor ez a magyar´azat nagyon kev´es di´aknak el´eg. Sz¨ uks´eg van arra, hogy min´el t¨obb gyakorlati megk¨ozel´ıt´est l´assanak a tanul´ok. Az ut´obbi ´evtizedben a tananyagot nagyon sokszor ,,´atrendezt´ek”, ,,cs¨okkentett´ek”, ,,szell˝oztetett´ek”, de tartalmilag t¨obbnyire ugyanaz maradt, mint 20 ´evvel ezel˝ott, annyi k¨ ul¨onbs´eggel, hogy kevesebb o´r´aban kell megtan´ıtani, nem kell minden esetben a fogalmakat megmagyar´azni, csak formailag tan´ıtani, ami term´eszetesen a kreat´ıv gondolkod´as fejleszt´es´enek h´atr´any´ara van, ugyanakkor a fejlesztend˝o k´epess´egekn´el egyik legfontosabb elemk´ent szerepel. A modellez´es, a fogalmak gyakorlati alkalmaz´asa is szerepel a tanterv felvezet˝o r´esz´eben, csak ´eppen a tartalmi r´eszek ´es a r´ajuk ford´ıthat´o id˝o nem engedi meg. Az ´eretts´egi k¨ovetelm´enyek miatt is sajnos a matematikaoktat´as az elv´ar´asok ellen´ere (k´epess´egeket fejleszt¨ unk, m´er¨ unk) egyre ink´abb inform´aci´o-centrikus. Az exponenci´alis f¨ uggv´eny 2. fejezetben bemutatott bevezet´ese egy r´esze egy sorozatnak, ami a matematika k´ıv´ancsis´ag-vez´erelt oktat´as´ar´ol fog sz´olni a PRIMAS projekt keret´en bel¨ ul. A projekt 2009-ben indult, ´ıgy mivel az´ota nem tan´ıtottam 11. oszt´alyban, akiknek
60
ir´anyozott ez a m´odszer, egy matematikat´aborban teszteltem le egy vegyes csoporttal (9., 10., 11. ´es 12.oszt´alyos versenyz˝o tanul´okkal.) ´ Erdekes tapasztalat volt, hiszen a 9. ´es 10. oszt´alyos tanul´ok semmilyen matemn atikai anal´ızis alappal nem rendelkeztek, viszont p´eld´aul az 1 + n1 sorozat konvergenci´aj´at azonnal ´eszrevett´ek. S˝ot a technika o¨rd¨og´enek k¨osz¨onhet˝oen k´ıv´ancsis´agukat kiel´eg´ıtend˝o kisz´amolt´ak a sorozat tagjait milli´os nagys´agrend˝ u sz´amokra is. Egy kicsit tartottam att´ol, hogy a kisebbeknek nem lesz el´eg k´ezenfekv˝o ez a fajta megk¨ozel´ıt´es, de a visszajelz´esek is megnyugtat´oak. Egy kilencedikes tanul´o visszajelz´ese: ´ azt hiszem, mindenki meg lehetett el´egedve ezzel a bemutat´assal, ´en legal´abbis En nem u ¨tk¨oztem akad´alyba, u ´gy eml´ekszem, ez volt az egyik dolog, amit rendesen meg´ertettem a t´aborban. A 11. ´es 12. oszt´alyosok is nagyon ´elvezt´ek ezt a megk¨ozel´ıt´est annak ellen´ere, hogy m´ar j´ol ismert´ek az exponenci´alis f¨ uggv´enyt tulajdons´agaival egy¨ utt. Ilyen felki´alt´asokat lehetett hallani a foglalkoz´asokon: ,,J´e, m´ar l´atom, hogy mi lesz ebb˝ol! ”, ,,Nah´at, ilyen form´aban m´eg nem tal´alkoztam az exponenci´alis f¨ uggv´ennyel! ” stb. A 11.´es 12. oszt´alyosok visszajelz´esei is pozit´ıvak. ´Ime egy tizenkettedikes v´elem´enye a foglalkoz´asr´ol: ,,V´elem´enyem szerint a matematika k¨ ul¨onb¨oz˝o fejezeteinek m´ as ir´anybeli megk¨ozel´ıt´ese (gazdas´agi, fizikai, k´emiai, stb) egy nagyon is pozit´ıv dolog, ugyanis az elm´eletnek a gyakorlathoz val´o f˝ uz´ese egyr´eszt hasznos, m´asr´eszt k¨ozelebb hozza a di´akot a l´enyegbeli probl´em´ahoz, jobban felkelti ´erdekl˝od´es´et ´es lelkesed´es´et. Elv´egre logikus, hogy ha valaki meg´erti hogy egy fogalom, egy t´etel mire j´o a gyakorlatban, ´es tudja is haszn´alni a mindennapi ´eletben, akkor jobban lelkesedik ´erte, mint ha csak valami sz´amok ´es k´epletek lenn´enek egy pap´ıron. Term´eszetesen, szerintem ez a mi (matekesek) eset¨ unkben nem mer¨ ul fel annyira, hiszen ´en lelkesedtem annak idej´en az oszt´alyban is amikor a klasszikus m´odszerrel tanultuk. Sz´amomra azok a ´ ,,sz´amok ´es k´epletek a pap´ıron” mindig valamivel t¨obbet jelentenek :) Erdekes volt ez a megk¨ozel´ıt´es ´es szerintem nagyon kellene alkalmazni az ilyen oktat´asi m´odszert a sulikban is. Ez az egyik nagyobb gond a tan¨ ugyi rendszerben, hogy nem val´osul a
61
kell˝o ¨osszek¨ottet´es a tant´argyak k¨oz¨ott. Sokkal t¨obbet tanuln´anak a di´akok, ha ink´abb arra lenne a hangs´ uly fektetve, hogy a matematik´at jobban ¨osszef˝ uzz´ek a fizik´aval, k´emi´aval, gazdas´agtannal, biol´ogi´aval, mintsem hogy k¨ ul¨on-k¨ ul¨on minden tan´ar leadja a saj´at, elv´art anyag´at, f¨ uggetlen¨ ul a m´asik´et´ol. Elv´egre az emberi agy u ´gy t´arolja az inform´aci´ot, hogy k¨ ul¨onb¨oz˝o fogalmak k¨oz¨ott ¨osszek¨ottet´est teremt.” A tud´asnak val´oban k¨ozvetlen alkamazhat´onak kell lennie, amivel sajnos a term´eszettudom´anyok ter´en el´egg´e hadil´abon a´llunk a tantervek o¨sszeegyeztetlens´ege miatt (pl. fizika vagy k´emia o´r´an olyan matematikai fogalmakat kellene ismerni¨ uk, amit m´eg matematika o´r´an nem tanulhattak). Az, hogy a 11-12. oszt´alyokban a hum´an tagozaton hi´anyzik a term´eszettudom´anyok oktat´asa ugyancsak a rom´aniai tan¨ ugy egy komoly hib´aja. Ugyanakkor a re´al oszt´alyokban (ahol m´eg 12-ig tanulj´ak) a term´eszettudom´anyok oktat´asa (a tantervb˝ol kifoly´olag) nagyon elm´eleti jelleg˝ u. Pedig ezek azok a m˝ uvelts´egi a´gak, amelyeket a k¨ozvetlen (a sz´o szoros ´ertelm´eben k´ezzelfoghat´o) tapasztal´assal lehetne a legjobban elsaj´at´ıtani Ezt ,,fent” is ´erz´ekelik, hiszen az u ´j tan¨ ugyi t¨orv´enytervezetben az ´eretts´egin egy vizsg´at k´epzelnek el a ,,matematika ´es term´eszettudom´anyok” m˝ uvelts´egi ter¨ uletb˝ol, ami azt jelenten´e, hogy ezeket o¨sszeegyeztetve tan´ıtsuk. A probl´ema csak az, hogy ez nincs tantervileg el˝ok´esz´ıtve, illetve a tan´arok sincsenek megfelel˝oen k´epezve (m´ar nincsenek ,,duplaszakos” tan´arok, arr´ol pl´ane sz´o sincs, hogy valaki a matematik´ahoz, fizik´ahoz, k´emi´ahoz ´es biol´ogi´ahoz is megfelel˝oen ´ertsen).
62
Irodalomjegyz´ ek [1] Andr´as Szil´ard, Csap´o Hajnalka: Matematic˘a, Tank¨onyv a XI. oszt´aly sz´am´ara, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bukarest, 2006. [2] Andr´as Szil´ard, Szil´agyi Jutka: Matematika, Tank¨onyv a X. oszt´aly sz´am´ara, ´ Abel kiad´o, Kolozsv´ar, 2001. [3] Arnold, Vladimir: On Teaching Mathematics, Paris, 1997. [4] Diaconu, Adrian: Asupra definit¸iei ´c si propriet˘a¸tilor func ctiei exponent¸iale, Didactica Mathematica, 2004. [5] Diaconu, Adrian: Asupra unor propriet˘a¸ti ale func ctiei exponent¸iale (II), Didactica Mathematica, 2005. [6] Diaconu, Adrian: Asupra unor propriet˘a¸ti ale func ctiei exponent¸iale (III), Didactica Mathematica, 2007. [7] Gago, J. M., Ziman, J., Caro, P., Constantinou, C., Graham, D., Parchmann, I., Rannikmae, M., Sjøberg, S.: Increasing Human Resources for Science and Technology in Europe, Brussels, UE report, 2004. [8] Kolumb´an J´ozsef: Az exponenci´alis f¨ uggv´eny bevezet´ese, Matlap, 2009. [9] Kosztol´anyi J´ozsef: A probl´emamegold´asi strat´egi´ak tan´ıt´as´ar´ol, PHD ´ertekez´es, Debreceni Egyetem, 2006. [10] Romˆania educat¸iei, Romˆania cercet˘ari, Raportul Comisiei Prezident¸iale pentru analiza ¸si elaborarea politicilor din domeniile educat¸iei ¸si cercet˘arii, 2007. 63
[11] P´olya Gy¨orgy: A gondolkod´as iskol´aja, Gondolat kiad´o, Budapest, 1977. [12] P´olya Gy¨orgy: A probl´emamegold´as iskol´aja, Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1979 [13] Rocard, M. , Csermely P., Jorde, D., Lenzen, D., Walberg-Henriksson, H. , Hemmo, V.: Science Education NOW: A Renewed Pedagogy for the Future of Europe, Brussels, UE Report, 2007. [14] Skemp, Richard R.: A matematikatanul´as pszichol´ogi´aja, Edge 2000 Kiad´o, Budapest, 2005. [15] Schoenfeld, Alan H.: Mathematical Problem Solving, Academic Press, INC., New York, 1985. [16] Wittmann, Erich Ch.: Grundfragen des Mathematikunterrichts, Vieweg, 1981.
64
DECLARAT ¸ IE DE AUTENTICITATE PE PROPRIE ˘ RASPUNDERE
´ Subsemnata Csap´ o Hajnalka, profesoar˘a la Liceul Teoretic ,,M´arton Aron” din Miercurea-Ciuc, ˆınscris˘a la examenul pentru obt¸inerea Gradului didactic I, seria 20092011, specializarea Matematic˘a, prin prezenta, certific c˘a lucrarea metodico-¸stiint¸ificu a cu titlul Eficient¸a pred˘arii analizei matematice, conduc˘ator ¸stiint¸if lector dr. Andr´as Szil´ard este rezultatul propriilor mele activit˘a¸ti de investigare teoretic˘a ¸si aplicativ˘a ¸si prezint˘a rezultatele personale obt¸inute ˆın activitatea mea didactic˘a. ˆIn realizarea lucr˘arii am studiat doar surse bibliografice consemnate ˆın lista bibliografic˘a, iar prelu˘arile din diferitele surse, inclusiv din alte lucr˘ari personale, au fost citate ˆın lucrare. Prezenta lucrare nu a mai fost utilizat˘a ˆın alte contexte evaluative - examene sau concursuri.
Data: 30 august 2010
Semn˘atura:
65
AVIZUL COORDONATORULUI S ¸ TIINT ¸ IFIC
Subsemnatul dr. Andr´ as Szil´ ard, conferent¸iar la Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a a Universit˘a¸tii Babe¸s-Bolyai, avizez lucrarea Eficient¸a pred˘arii analizei matematice, elaborat˘a de Csap´o Hajnalka, profesoar˘a de matematic˘a la Liceul Teoretic ´ ,,M´arton Aron” din Miercurea-Ciuc, pentru depunere la DPPD.
Data: 31 august 2010
Semn˘atura:
.
Coordonator ¸stiint¸ific,
.
Lector dr. Andr´as Szil´ard
66
