Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat Tiga pada Balok Bk
(x k , yk , zk )
z
B
yk
1. Partisi balok B menjadi n bagian; B1, B2, …, Bk, …, Bn zk Definisikan |||| = diagonal ruang terpanjang dari Bk xk 2. Ambil ( x k , y k , z k ) Bk 3. Bentuk jumlah Riemann n
f (x k 1
k
, y k , z k )Vk
4. Jika |||| 0 diperoleh limit jumlah Riemann n lim
0
y x
f (x k 1
k
, y k , z k )Vk
Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis n
f (x, y, z)dV lim f (x 3/31/2013
B
KALKULUS LANJUT
0
k 1
k
, y k , z k )Vk 2
Integral Lipat Tiga pada Balok (2) vk = xk yk zk dV = dx dy dz Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:
f (x, y, z)dV f (x, y, z)dx dy dz B
3/31/2013
B
KALKULUS LANJUT
3
Contoh Hitung
2 x yz dV dengan B adalah balok dengan ukuran B
B = {(x,y,z)| 1 x 2, 0 y 1, 1 z 2} Jawab. 2 x yz dV B
2 1 2
2 x yz dx dy dz 1 0 1 2 1
2
1 yz x 3 dy dz 3 1 1 0 1 2 7 1 z y 2 dz 3 2 0 1 2
3/31/2013
7 1 2 7 z 6 2 1 4 KALKULUS LANJUT
4
Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang Hitung
2 x yz dV , Jika S benda padat sembarang S
Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1) B z
S
y x
(gb. 1) 3/31/2013
KALKULUS LANJUT
5
Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2)
z=2(x,y)
z
S
z=1(x,y)
Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=1(x,y) dan z=2(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka: b 2 ( x ) 2 ( x , y )
a x
b
y=1(x)
Sxy (gb. 2)
3/31/2013
f (x, y, z) dV f (x, y, z) dz dy dx
y y=2(x)
S
a
1(x)
1 ( x ,y )
Catatan: Jika f(x,y,z) = 1, maka f (x, y, z) dV S menyatakan volume benda pejal S
KALKULUS LANJUT
6
Contoh Hitung
f (x, y, z) dV dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda S
padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x2 dan bidang-bidang z = 0, y=x, y=0 z y=x
Jawab.
z=2–½ x2
Dari gambar terlihat bahwa
y=0
S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x 0≤z≤ 2 – ½x2} 0 2
Sxy
y
Sehingga,
2xyz
x
S
Sxy = proyeksi S pada XOY (segitiga) 3/31/2013
dV
KALKULUS LANJUT
2 x
1 2 x2 2
0 0
0
2xyz dz dy dx 2 x
xy 0 0
z
2
1 2 x2 2 0
dy dx 7
Contoh (lanjutan) 2
2 x
1 xy 2 x 2 dy dx 2 0 0 x 2 1 1 x 4 2x 2 x 4 y 2 dx 4 2 0 0 2 1 2x 3 x 5 x 7 dx 8 0 2 1 4 1 6 1 8 x x x 2 6 64 0 8
3/31/2013
32 4 4 3 3
KALKULUS LANJUT
8
Latihan 1. Hitung
z dV , S benda padat di oktan pertama yang S
dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung x2 + z2 = 1. 2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung y2 + z2 = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya. 3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh : a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0. b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0. c. x2 = y, z2 =y, y = 1. d. y = x2 +y 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0. / 2 z 4. Hitung sin(x y z)dxdydz
0 0 0
3/31/2013
KALKULUS LANJUT
9
Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola) Koordinat Tabung z
Koordinat Bola P(,,)
z
P(r,,z)
z
r
y
x Syarat & hubungan dg Kartesius r 0, 0 2 x = r cos y = r sin z=z r2 = x2 + y2
z
r
y
x Syarat & hubungan dg Kartesius 0, 0 2 , 0 x = r cos r = sin } x = cos sin y = r sin r = sin } y = sin sin z = cos x2 + y2 + z2 = 2
Jika D benda pejal punya sumbu simetri Koordinat Tabung Jika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik Koordinat Bola 3/31/2013
KALKULUS LANJUT
10
Contoh 1.
Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x2+y2=4 dan bidang z = 0, z = 4 z
Jawab.
4
D dalam koordinat: 2
0 2 x
3/31/2013
y
r x2+y2=4
a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ 4 x 2 , 0≤z≤4} b. Tabung: D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤≤ /2, 0≤z≤4}
KALKULUS LANJUT
11
Contoh 2.
Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I. Jawab.
z
z 4 x 2 y 2 D dalam koordinat:
2 0 2 x
3/31/2013
r
2 y
a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ 4 x 2 , 0≤z≤ 4 x 2 y 2 } b. Tabung: D={(x,y,z)| 0≤≤2, 0≤≤ /2, 0≤ ≤ /2}
KALKULUS LANJUT
12
Penggantian Peubah dalam Integral Lipat Tiga Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w) maka:
f (x, y, z) dx dy dz f (m(u, v, w), n(u, v, w), p(u, v, w)) J(u, v, w) du dv dw D
D
dimana
x
u
x
v
x
w
y y J (u , v, w ) y u v w z z z u v w
Jacobian
3/31/2013
KALKULUS LANJUT
13
Koordinat Kartesius Tabung x = r cos y = r sin z=z Matriks Jacobiannya: x
r
x
x
z
cos r sin 0
y y sin J (u , v, w ) y r z z z z 0 r z
r cos 0
0 r cos2 r sin 2 r 1
f (x, y, z) dx dy dz f (r cos, r sin , z) r dr d dz D
3/31/2013
D
KALKULUS LANJUT
14
Koordinat Kartesius Bola x = cos sin y = sin sin z = cos Matriks Jacobiannya: x
x
x
sin cos sin sin cos cos y y sin sin sin cos cos sin 2 sin J(u, v, w ) y cos 0 1 z z z 2 f ( x , y , z ) dx dy dz f ( sin cos , sin sin , cos ) sin d d d D
3/31/2013
D
KALKULUS LANJUT
15
Contoh (Tabung) 1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 + y2 dan z = 4. Z
Jawab. Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah: 2 2 y S={(x,y,z)|-2 x 2, 4 x y 4 x , x2 + y2 z 4} Dalam koordinat tabung: S={(r,,z)|0 r 2, 0 2 , r2 z 4}
z=4
Sxy
x
Sehingga, volume benda pejalnya adalah V
2 2 4
1 dV r dz d dr S
3/31/2013
0 0 r2
KALKULUS LANJUT
16
Contoh (Lanjutan) 2 2 4
V
r dz d dr 0 0 r2 2 2
4
r z r 2 d dr
0 0 2
2
r 4 r 2 0 dr 0
1 2 2r 2 r 4 4
2
8
0
Jadi volume benda pejalnya adalah 8
3/31/2013
KALKULUS LANJUT
17
Contoh (bola) 2. Hitung volume bola pejal x2 + y2 + z2 = 4 di oktan I z
Jawab. z 4 x2 y 2
D dalam koordinat:
2
2 x
a. Cartesius: 2 4 x D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 2 0 0≤z≤ 4 x 2 y 2 } y b. Bola: D={(x,y,z)| 0≤≤2, 0≤≤ /2, 0≤ ≤ /2} Sehingga, volume benda pejalnya adalah V
1 dV S
3/31/2013
/2 /2 2
0
0
2 sin d d d 0
KALKULUS LANJUT
18
Contoh (Lanjutan) /2 /2 2
2 sin d d d
/2 /2
1 sin 3 d dr 3 0 /2 8 cos d 3 0
V
0
0
0 /2
0
0
0
2
8 0 / 2 4 3 3
Jadi volume benda pejalnya adalah 4/3
3/31/2013
KALKULUS LANJUT
19
Contoh 1. Hitung
2 x dV, dengan D benda pejal yang dibatasi D
z =9 – x2 – y2 dan bidang xy. 2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi bola x2 + y2+ z2 = 1 dan x2 + y2+ z2 =4. 3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh bola r2+ z2 = 5 dan di bawah r2 =4z. 4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 + y2 dan bidang z =4. 5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola
x2+ y2+ z2 = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secara menyamping oleh tabung x2+y2=4. 3/31/2013
KALKULUS LANJUT
20
Latihan 6. Hitung volume benda pejal yang di dalam bola x2+ y2+ z2 = 9, di luar kerucut z x 2 y 2
dan di atas bidang xy. 7. Hitung
9 x2 y 2
9 x2
3
x
2
y2 z2
3/2
dy dz dx
3 9 x 2 9 x 2 y 2 3
8. Hitung
9 x2 2
0
9. Hitung
3/31/2013
0
x 2 y 2 dz dy dx
0
2
4 x2
4 x2 y2
0
0
0
z 4 x 2 y 2 dy dz dx
KALKULUS LANJUT
21
