UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN III
MODUL BEBAS, PENGENOL, DAN MODUL TORSI Direncanakan Untuk Perkuliahan Minggu ke-9, 10, dan 11
TEORI MODUL (Semester VI/3 SKS/MMM-3207) Oleh: 1. Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. 2. Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S.
Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN) Tahun Anggaran 2013
November 2013
BAB 3
MODUL BEBAS, PENGENOL, DAN MODUL TORSI 3.1. Basis dan Modul Bebas Misalkan M merupakan modul atas ring R. Dari bab sebelumnya telah dipelajari bagaimana membentuk submodul terkecil yang memuat suatu himpunan X di dalam M yang dinotasikan dengan hXi. Jelas bahwa hXi belum tentu sama dengan M . Dari kondisi ini didefinisikan pengertian berikut. Definisi 3.1.1. Himpunan X ⊂ M dikatakan membangun modul M jika memenuhi hXi = M . Mengingat selalu terjadi hXi ⊂ M , maka X membangun M ekuivalen dengan menyatakan bahwa X memuat M , yakni ekuivalen dengan mengatakan: X (∀m ∈ M )(∃r1 , r2 , · · · , rn ∈ R)(∃x1 , x2 , · · · , xn ∈ X)(m = ri xi ). Selanjutnya mengingat jika diambil r1 = r2 = · · · = rn = 0 maka akan diperoleh: r1 x1 +r2 x2 +· · ·+rn xn = 0.x1 +0.x2 +· · ·+0.xn = 0+0+· · ·+0 = 0. Pertanyaannya adalah bagaimana sebaliknya? Jika r1 x1 + r2 x2 + · · · + rn xn = 0.x1 + 0.x2 + · · · + 0.xn = 0 + 0 + · · · + 0 = 0, apakah juga berlaku r1 = r2 = · · · = rn = 0. Ternyata tidak selalu demikian. Mengingat hal tersebut didefinikanlah pengertian bebas linear. 30
31 Definisi 3.1.2. Himpunan X ⊂ M dikatakan bebas linear jika persamaan r1 x1 + r2 x2 + · · · + rn xn = 0 hanya dipenuhi jika r1 = r2 = · · · = rn = 0. Nampak bahwa definisi membangun dan bebas linear di atas sama denggan pengertian bebas linear dan membangan dalam ruang vektor atas lapangan. Sebagaimana dalam ruang vektor atas lapangan, kita juga dapat mendefinisikan pengertian basis suatu modul yakni suatu himpunan sekaligus membangun dan bebas linear. Perbedaannya dengan ruang vektor adalah bahwa di dalam teori modul tidak semua modul mempunyai basis, sebagai contoh modul bilangan rasional Q atas ring bilangan bulat Z tidak mempunyai basis. Mengingat tidak semua modul mempunyai basis, didefinisikan pengertian modul bebas sebagai berikut. Definisi 3.1.3. Modul M atas R dikatakan bebas jika M mempunyai basis, yakni ada B ⊆ M dengan sifat: 1. B membangun M , yaitu memenuhi: (∀m ∈ M )(∃r1 , · · · , rn ∈ R)(∃b1 , · · · , bn ∈ B)(m =
X
ri bi ).
2. B bebas linear, yaitu memenuhi: (∀r1 , · · · , rn ∈ R)r1 b1 + · · · + rn bn = 0 ⇒ r1 = · · · = rn = 0. Berikut diberikan beberapa contoh modul bebas. Contoh 3.1.4. Modul Rn atas ring R merupakan modul bebas dengan basis S = {e1 , e2 , ..., en } dimana ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) dengan 1 pada suku ke-i, untuk setiap i = 1, 2, .., n. . . Contoh 3.1.5. Diberikan Z 4Z-modul Z 4Z merupakan modul bebas . karena terdapat himpunan {1 + 4Z} sehingga Z 4Z = h1 + 8Zi dan . himpunan {1 + 4Z} bebas linear. Namun, Z 4Z sebagai Z-modul bukan
32 merupakan modul bebas karena untuk sebarang himpunan tak nol X ⊆ . P Z rx = 0 + 4Z. Dengan demikian 4Z terdapat r = 4 ∈ Z sehingga x∈X . himpunan bagian pada Z 4Z selain {0} tidak bebas linear, sehingga . Z 4Z sebagai Z-modul bukan merupakan modul bebas. Selanjutnya, muncul pertanyaan apa kelebihannya pada saat modul M mempunyai suatu basis (sebut B = {b1 , b2 , · · · , bn }). Sebagaimana dalam ruang vektor kelebihannya adalah bahwa dapat P ditunjukkan eksistensi r1 , r2 , · · · , rn ∈ R yang memenuhi m = ri bi adalah tunggal. Sebab , sn ∈ R P yang juga memenuhi P misalnya ada s1 , s2 , · · · P m = s b , maka akan diperoleh r b = si bi hal ini berarti i i i i P (ri − si )bi = 0. Mengingat B basis maka akan diperoleh: r1 − s1 = r2 − s2 = · · · = rn − s + n = 0 yang berakibat r1 = s1 , r2 = s2 , · · · , rn = sn . m=
Selanjutnya dengan tunggalnya r1 , r2 , · · · , rn ∈ R yang memenuhi P ri bi , didefinisikan pengertian koordinat suatu elemen m di M .
Definisi 3.1.6. Misalkan B = {b1 , b2 , · · · , bn }) suatu basis dari modul bebas M atas R, dan m adalah suatu elemen di M . Matriks berukuran n×1 r1 r2 [m]B = . .. rn disebut koordinat m relatif terhadap basis B jika m =
P
ri bi .
3.2. Pengenol dan Modul Torsi
Jika kita bandingkan modul Z atas ring Z dan modul Z12 atas Z, perbedaan yang utama adalah dalam modul Z tidak ada n 6= 0 sedemikian hingga ada r 6= 0 dalam ring Z sedemikian hingga rn = 0,
33 sementara dalam modul Z12 akan dapat ditemukan n 6= 0 sedemikian hingga ada r 6= 0 di Z sedemikian hingga rn = 0. Dari fenomena ini didefinisikanlah pengertian pengenol (annihilator) suatu elemen dalam suatu modul sebagai berikut, dan elemen torsi dalam suatu modul. Definisi 3.2.1. Misalkan M adalah modul atas ring R. 1. r ∈ R disebut pengenol dari m ∈ M jika rm = 0. 2. a ∈ R disebut pengeno dari himpunan X ⊆ M jika ax = 0 untuk setiap x ∈ X. 3. m ∈ M disebut elemen torsi jika terdapat r ∈ R\{0} sedemikian hingga rm = 0. Himpunan semua pengenol dari elemen m ∈ M dinotasikan dengan AnnR (m). Sedangkan himpunan semua pengenol dari himpunan X ⊆ M dinotasikan dengan AnnR (X). Dapat ditunjukkan bahwa AnnR (X) membnetuk ideal kiri di dalam ring R. Namun, jika X merupakan submodul di M , akan dapat ditunjukkan bahwa AnnR (X) membentuk ideal di dalam ring R. . Contoh 3.2.2. Diketahui modul faktor Z 8Z atas ring Z dan himpunan . X = {2 + 8Z, 6 + Z} di dalam modul Z 8Z. Pengenol dari himpunan X adalah: AnnR (X) = {a ∈ Z | aX = 0 + 8Z} = {a ∈ Z | a(2 + 8Z) = 0 + 8Z ∧ a(6 + 8Z) = 0 + 8Z} = {a ∈ Z | a = 4k, k ∈ Z} = 4Z. Himpunan semua elemen torsi di dalam modul M dinotasikan dengan Mτ . Selanjutnya, dari definisi elemen torsi, jelas bahwa elemen 0M ∈ M merupakan elemen torsi di M . Kemudian muncul pertanyaan apakah terdapat elemen torsi lainnya yang tidak nol.
34 Dapat ditunjukkan bahwa setiap elemen di dalam Z6 sebagai Zmodul merupakan elemen torsi. Oleh karena itu, munculah definisi modul bebas torsi dan modul torsi sebagai berikut. Definisi 3.2.3. Diberikan modul M atas ring R. 1. Modul M disebut modul bebas torsi jika elemen torsi di M hanya elemen 0M . Dengan kata lain, Mτ = {0M }. 2. Modul M disebut modul torsi jika setiap elemen m ∈ M merupakan elemen torsi. Dengan kata lain, Mτ = M . Untuk memperjelas, berikut diberikan beberapa contoh modul torsi. Contoh 3.2.4. Modul Zn atas Z merupakan modul torsi karena terdapat n ∈ Z \ {0} sedemikian hingga n¯ a=¯ 0 untuk setiap a ¯ ∈ Zn . Contoh 3.2.5. Z sebagai Z-modul merupakan modul bebas tors. Contoh 3.2.6. Pada Contoh , modul R3 atas ring R[X] melalui transformasi linear T merupakan modul torsi karena R3τ = R3 . Diperhatikan bahwa untuk setiap v ∈ R3 terdapat q(x) ∈ R[X] \ {0} dengan n P q(x) = ai sedemikian hingga q(x)v = 0. Hal ini dikarenakan untuk i=3
setiap n ≥ 3 memenuhi T n = 0. Contoh 3.2.7. Pada Contoh , modul R3 atas ring R[X] melalui transformasi linear T merupakan modul torsi karena R3τ = R3 . Diperhatikan bahwa untuk setiap v ∈ R3 terdapat q(x) ∈ R[X] \ {0} dengan n P q(x) = ai sedemikian hingga q(x)v = 0. Hal ini dikarenakan untuk i=2
setiap n ≥ 2 memenuhi T n = 0. Selanjutnya, berikut diberikan sifat dari himpunan Mτ . Proposisi 3.2.8. Jika diberikan modul M atas suatu daerah integral R, maka berlaku:
35 1. Mτ merupakan submodul di M , yang selanjutnya disebut dengan submodul torsi. . 2. Modul faktor M Mτ merupakan modul bebas torsi. Bukti. 1. Jelas bahwa Mτ bukan merupakan himpunan kosong, karena 0 ∈ Mτ . Diambil sebarang a, b ∈ Mτ maka terdapat r1 , r2 ∈ R \ {0} sehingga r1 a = 0 dan r2 a = 0. Karena R merupakan daerah integral maka r1 r2 6= 0 sehingga r1 r2 (a − b) = r1 r2 a − r1 r2 b. Karena R daerah integral maka berlaku: r1 r2 (a − b) = r2 (r1 a) − r1 (r2 b) = 0. Dengan demikian, diperoleh a − b ∈ Mτ . Selanjutnya, diambil a ∈ Mτ maka terdapat r ∈ R \ {0} sehingga ra = 0. Diambil sebarang x ∈ R. Karena R merupakan daerah integral mala : r(xa) = (rx)a = x(ra) = x0 = 0. Dengan demikian, diperoleh xa ∈ Mτ . Jadi terbukti bahwa Mτ merupakan submodul di M . 2. Karena Mτ merupakan submodul di M , maka .dapat dibentuk . M modul faktor Mτ . Akan ditunjukkan bahwa M Mτ merupakan . modul bebas torsi. Andaikan M Mτ memiliki elemen torsi m + Mτ 6= 0 + Mτ . Berarti ada r ∈ R \ {0} sehingga r(m + Mτ ) = rm + Mτ = 0 + Mτ . Akibatnya, diperoleh rm ∈ Mτ . Berarti ada s ∈ R \ {0} sedemikian hingga s(rm) = (sr)m = 0. karena R merupakan daerah integral dan s, r 6= 0 maka diperoleh sr 6= 0. Akibatnya, diperoleh m ∈ Mτ . Menurut kesamaan dua koset diperoleh m + Mτ = 0 + Mτ . Kontradiksi dengan yang diketahui, sehingga . pengandaian salah dan harus diingkar. Jadi, M terbukti bahwa Mτ merupakan modul bebas torsi.
36 3.3. Latihan Soal (1). Buktikan bahwa setiap R-modul bebas yang dibangun secara hingga memiliki basis berhingga! (2). Diberikan modul M atas daerah integral R. Buktikan bahwa jika M merupakan modul bebas maka M merupakan modul bebas torsi! (3). Diberikan F merupakan R-modul bebas dan f : F → M merupakan isomorphisma R-modul. a). Buktikan bahwa M merupakan R-modul bebas! b). Jika B merupakan basis untuk F , tunjukkan bahwa M juga memiliki basis dengan kardinalitas yang sama dengan B! (4). Tunjukkan bahwa Mn (R) merupakan R-modul bebas yang mempunyai basis dengan kardinalitas n2 ! (5). Jika F1 dan F2 merupakan R-modul bebas, buktikan bahwa F1 ×F2 juga merupakan R-modul bebas! (6). Diberikan {FαL }α∈Λ merupakan keluarga R-modul bebas. Tunjukkan bahwa Fα juga merupakan R-modul bebas! α∈Λ
(7). Apabila diberikan . R-modul siklik M = hmi, maka tunjukkan R ∼ bahwa M = AnnR (m)! (8). Diberikan ring komutatif R dan modul M atas ring R. Jika I merupakan ideal di R denagn.sifat I ⊆ AnnR (M ), maka buktikan bahwa M merupakan R I -modul terhadap operasi pergandaan skalar: . · : RI × M
−→ M
(a + I, m) 7−→ am . untuk setiap a + I ∈ R I dan m ∈ M !
