UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN II
HOMOMORPHISMA MODUL Direncanakan Untuk Perkuliahan Minggu ke-5, 6, 7, dan 8
TEORI MODUL (Semester VI/3 SKS/MMM-3207) Oleh: 1. Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. 2. Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S.
Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN) Tahun Anggaran 2013
November 2013
BAB 2
HOMOMORPHISMA MODUL 2.1. Homomorphisma Modul Sebagai Generalisasi Transformasi Linear Atas Lapangan Telah kita ketahui pada aljabar linear, jika diberikan ruang vektor V1 dan V2 atas lapangan F , maka fungsi f : V1 → V2 disebut transformasi linear jika memenuhi aksioma sebagai berikut: a). f (u + v) = f (u) + f (v), untuk setiap u, v ∈ V1 . b). f (αv) = αf (v), untuk setiap α ∈ F dan v ∈ V1 . Karena modul merupakan generalisasi dari ruang vektor, selanjutnya muncul pertanyaan apakah suatu transformasi linear pada ruang vektor berlaku pada modul. Ternyata transformasi linear juga berlaku pada suatu modul yang selanjutnya disebut homomorphisma modul. Dengan demikian, modal pembentukan homomorphisma modul adalah: a). Dua modul M dan M 0 atas ring yang sama, misalkan ring R. b). Fungsi f : M → M 0 . Suatu fungsi f : M → M 0 disebut homomorphisma modul atas R jika fungsi f mengawetkan opeerasi penjumlahan pada M ke operasi penjumlahan pada M 0 serta mengawetkan operasi pergandaan skalar ◦ pada M ke operasi pergandaan skalar ◦0 pada M 0 . Untuk lebih jelasnya, berikut diberikan definisi homomorphisma modul. 20
21 Definisi 2.1.1. Diberikan modul M dan M 0 atas ring R serta fungsi f : M → M 0 . Fungsi f disebut homomorphisma R-modul jika untuk setiap m1 , m2 ∈ M dan r ∈ R memenuhi: 1. f (m1 + m2 ) = f (m1 ) + f (m2 ). 2. f (r ◦ m1 ) = r ◦0 f (m1 ).
Berikut diberikan beberapa contoh homomorphisma R-modul. Contoh 2.1.2. Diberikan modul M dan M 0 atas ring R serta fungsi Nol θ : M → M 0 dengan definisi θ(m) = 0M 0 untuk setiap m ∈ M . Diambil sebarang m1 , m2 ∈ M dan r ∈ R, diperoleh: θ(m1 + m2 ) = 0M 0 = 0M 0 + 0M 0 = θ(m1 ) + θ(m2 )
22 dan θ(r ◦ m1 ) = 0M 0 = r ◦0 0M 0 = r ◦0 θ(m1 ). Jadi diperoleh bahwa fungsi Nol merupakan homomorphisma R-modul. Contoh 2.1.3. Diberikan Z dan Z[X] keduanya merupakan modul atas Z. Fungsi θ : Z → Z[X] dengan definisi θ(a) = aX 3 untuk setiap a ∈ Z, merupakan homomorphisma Z-modul karena memenuhi: a). θ(a + b) = (a + b)X 3 = aX 3 + bX 3 = θ(a) + θ(b) b). θ(ra) = (ra)X 3 = r(aX 3 ) = rθ(a) untuk setiap r, a, b ∈ Z. Seperti halnya pada transformasi linear, berikut diberikan sifat terkait homomorphisma R-modul. Lemma 2.1.4. Jika f : M → M 0 merupakan homomorphisma Rmodul, maka: 1. f mengawetkan elemen netral, yakni: f (0M ) = 0M 0 . 2. f mengawetkan invers dari M , yakni f (−m) = −f (m) untuk setiap m ∈ M . 3. Jika H merupakan submodul di M , maka f (H) merupakan submodul di M 0 . 4. Jika K merupakan submodul di M 0 , maka f −1 (K) merupakan submodul di M . Diberikan homomorphisma R-modul f : M → M 0 . Kernel dari f adalah: Ker(f ) = {m ∈ M | f (m) = 0M 0 },
23 sedangkan bayangan dari f adalahL Im(f ) = {m0 ∈ M 0 | (∃m ∈ M )f (m) = m0 }. Dapat ditunjukkan bahwa kernel dan bayangan dari suatu homomorphisma R-modul merupakan submodul. Lemma 2.1.5. Diberikan homomorphisma R-modul f : M → M 0 . 1. Im(f ) merupakan submodul di M 0 . 2. Ker(f ) merupakan submodul di M . Contoh 2.1.6. Berdasarkan Contoh 2.1.3, diperoleh Ker(θ) = {0} dan Im(θ) = {ax3 | a ∈ Z}. Karena Ker(f.) membentuk submodul di M , maka dapat terbentuk modul faktor M Kernel(f ). Kemudian, muncul pertanyaan adakah . hubungan antara Im(f ), Ker(f ), dan modul faktor M Kernel(f )? Untuk menjawab pertanyaan tersebut diperlukan konsep terkait isomorphisma modul.
2.2. Jenis-Jenis Homomorphisma Modul: Monomorphisma, Epimorphisma, dan Isomorphisma Modul Berikut diberikan beberapa jenis homomorphisma R-modul. Definisi 2.2.1. Diberikan f : M → M 0 merupakan homomorphisma R-modul. 1. Fungsi f disebut monomorphisma R-modul jika f injektif (1-1), yaitu: (∀m1 , m2 ∈ M )f (m1 ) = f (m2 ) ⇒ m1 = m2 .
24 2. Fungsi f disebut epimorphisma R-modul jika f surjektif (onto), yaitu Image(f ) = M 0 . 3. Fungsi f disebut isomorphisma R-modul jika f bijektif (injektif dan surjektif). Selanjutnya, R-modul M dan M 0 dikatakan saling isomorfis jika terdapat suatu isomorphisma R-modul dari M ke M 0 , yang selanjutnya dinotasikan dengan M ∼ = M 0. Contoh 2.2.2. Diberikan modul Z sebagai Z-modul. Pemetaan f : Z → Z dengan f (a) = −a untuk setiap a ∈ Z merupakan isomorphisma modul. Diambil sebarang a, b, r ∈ Z, maka diperoleh: f (a + b) = −(a + b) = −a − b = −a + (−b) = f (a) + f (b) dan f (ra) = −(ra) = r(−a) = rf (a), sehingga terbukti f homomorphisma modul. Selanjutnya, jika diketahui f (a) = f (b) maka −a = −b, akibatnya diperoleh a = b. Dengan demikian, terbukti bahwa f bersifat injektif. Kemudian, untuk setiap a ∈ Z terdapat −a ∈ Z sehingga a = −(−a) = f (−a). Akibatnya, diperoleh bahwa f bersifat surjektif. Dengan demikian, terbukti bahwa f merupakan isomorphisma. Misalkan f : M → M 0 merupakan homomorphisma R-modul. . M Hubungan antara Im(f ), Ker(f ), dan modul faktor Kernel(f ) dijelaskan dalam teorema berikut ini, yang selanjutnya dikenal dengan Teorema Utama Homomorphisma Modul (Teorema Fundamental Homomorphisma Modul). Teorema 2.2.3. Diberikan modul M dan M 0 atas ring R. Jika fungsi f . : M → M 0 merupakan homomorphisma R-modul, maka berlaku M ∼ Ker(f ) = Im(f ).
25 Bukti. Misalkan K = Ker(f ) dan dibentuk suatu pengaitan: . g : M K → Im(f ) m+K → 7 g(m + K) = f (m) . untuk setiap m + K ∈ M K . Akan ditunjukkan bahwa g merupakan suatu isomorphisma modul. . a). Diambil sebarang a + K, b + K ∈ M K dengan a + K = b + K. Menurut kesamaan dua koset, diperoleh bahwa a − b ∈ K. Karena K = Ker(f ) maka diperoleh f (a − b) = 0, sehingga f (a) = f (b) atau g(a + K) = g(b + K). Jadi terbukti bahwa g merupakan suatu pemetaan. . b). Diambil sebarang a+K, b+K ∈ M K dan r ∈ R, maka diperoleh:
g((a + K) + (b + K)) = f (a) + f (b) = g(a + K) + g(b + K) dan g(r(a + K)) = g((ra) + K) = f (ra) = rf (a) = rg(a + K). Jadi, diperoleh bahwa g merupakan homomorphisma R-modul. c). Diambil sebarang x + K ∈ Ker(g), maka diperoleh g(x + K) = f (x) = 0. Berarti diperoleh x ∈ K. Dengan demikian, diperoleh Ker(g) = K sehingga terbukti bahwa g bersifat injektif. d). Diambil sebarang y ∈ Im(f ),.maka terdapat a ∈ M sehingga y = f (a). Berarti ada a + K ∈ M K sehingga memnuhi y = g(a + K). Jadi, terbukti bahwa g bersifat surjektif. Dengan demikian, terbukti . bahwa g merupakan suatu isomorphisma. M Jadi, terbukti bahwa Ker(f ) ∼ = Im(f ).
26 Jika fungsi f : M → M 0 dalam Teorema Utama Homomorphisma . modul merupakan suatu epimorphisma modul, maka diperoleh 0 M ∼ Ker(f ) = M . Selanjutnya, terdapat banyak manfaat dari Teorema Utama Homomorphisma Modul. Diantaranya adalah untuk menunjukkan beberapa sifat berikut ini. Teorema 2.2.4. Diberikan modul M atas ring R. Jika N dan P merupakan submodul di M , maka berlaku: . . N (N + P ) ∼ = P (N ∩ P ). . Bukti. Dibentuk suatu pengaitan f : N + P → N (N ∩ P ) dengan definisi f (n + p) = n + N ∩ P untuk setiap n + p ∈ N + P . Dapat ditunjukkan bahwa f merupakan epimorphisma modul. Selanjutnya, diperoleh bahwa himpunan:
Kerf
= {n + p ∈ N + P | f (n + p) = N ∩ P } = {n + p ∈ N + P | n + N ∩ P = N ∩ P } = {n + p ∈ N + P | n ∈ N ∩ P } = {n + p ∈ N + P | n ∈ P } = P.
Berdasarkan Utama Homomorfisma Modul, diperoleh bahwa . . Teorema N (N + P ) ∼ P = (N ∩ P ). Teorema 2.2.5. Diberikan modul M atas ring R. Jika N dan P merupakan submodul di M dengan P ⊆ N , maka berlaku: . . M ∼ (M/P ) = N (N/P ). . . Bukti. Dibentuk suatu pengaitan f : M P → M N dengan definisi . f (m + P ) = m + N untuk setiap m + P ∈ M P . Dapat ditun-
27 jukkan bahwa f merupakan epimorphisma modul. Selanjutnya, diperoleh bahwa himpunan: ) ( . Kerf = a + P ∈ M P f (a + P ) = N ( ) . a + P ∈ M P a + N = N = ( ) . a + P ∈ M P a ∈ N = . = NP Berdasarkan Teorema Utama Homomorfisma Modul, diperoleh bahwa . . M ∼ (M/P ) N= (N/P ).
2.3. Modul HomR (M, M 0 ) atas R Jika M , M 0 merupakan modul atas ring R, maka dapat dibentuk himpunan semua homomorphisma dari M ke M 0 yaitu: HomR (M, M 0 ) = {f : M → M 0 | f homomorphisma modul}. Jelas bahwa HomR (M, M 0 ) 6= ∅, karena minimal memuat fungsi nol θ : M → M 0 . Kemudian, muncul pertanyaan apakah HomR (M, M 0 ) membentuk suatu R-modul? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, didefinisikan operasi penjumlahan dan pergandaan skalar sebagai berikut. • Diambil sebarang f, g ∈ HomR (M, M 0 ), didefinisikan: (f + g)(m) = f (m) + g(m), untuk setiap m ∈ M .
28 • Diambil sebarang r ∈ R dan f ∈ HomR (M, M 0 ), didefinisikan: (rf )(m) = rf (m), untuk setiap m ∈ M . Dapat ditunjukkan bahwa HomR (M, M 0 ) membentuk R-modul jika R merupakan ring komutatif. Namun, jika R bukan merupakan ring komutatif maka HomR (M, M 0 ) hanya membentuk grup aditif Abelian. Apabila modul M = M 0 , maka HomR (M, M 0 ) = EndR (M ). Pada EndR (M ) dapat didefinisikan operasi komposisi fungsi ◦ sebagai berikut: (f ◦ g)(m) = f (g(m)) untuk setiap f, g ∈ EndR (M ) dan m ∈ M . Dapat ditunjukkan bahwa EndR (M ), +, ◦ membentuk suatu ring dengan elemen satuan. Jika R merupakan ring komutatif, EndR (M ) dapat membentuk suatu modul atas ring R. Oleh karena EndR (M ) merupakan ring dengan elemen satuan, dapat ditunjukkan bahwa grup Abelian (HomR (M, M 0 ), +) membentuk modul atas EndR (M ) terhadap operasi komposisi fungsi.
2.4. Latihan Soal (1). Diberikan R merupakan ring dengan elemen satuan dan homomorphisma ring f : R → R. Selidiki apakah f merupakan homomorphisma R-modul? (2). Diberikan M , N , dan P merupakan modul atas R, serta f : M → N dan g : N → P merupakan homomorphisma R-modul. Buktikan bahwa g ◦ f : M → P juga merupakan homomorphisma R-modul dan tentukan Ker(g ◦ f )! (3). Buktikan Lemma 2.1.4!
29 (4). Buktikan Lemma 2.1.5! (5). Diberikan M , N , dan P merupakan modul atas R, serta f : M → N dan g : N → P merupakan epimorphisma R-modul. Buktikan bahwa g ◦ f : M → P juga merupakan epimorphisma R-modul! (6). Diberikan M , N , dan P merupakan modul atas R, serta f : M → N dan g : N → P merupakan monomorphisma R-modul. Buktikan bahwa g ◦ f : M → P juga merupakan monomorphisma R-modul! (7). Diberikan M dan N merupakan modul atas R. Buktikan jika f : M → N merupakan isomorphisma R-modul maka f −1 : N → M juga merupakan isomorphisma R-modul! (8). Diberikan Z-modul M dan x ∈ M . Didefinisikan pemetaan f : Zn → M dengan f (¯ a) = xa untuk setiap a ¯ ∈ Zn . Tunjukkan bahwa f merupakan homomorphisma R-modul jika dan hanya jika nx = 0! (9). Diberikan Z-modul M . Tunjukkan bahwa N = {x ∈ M | nx = 0} merupakan submodul di M dan HomZ (Zn , M ) ∼ = N! (10). Diberikan R-modul M dan ideal I di R sehingga M I = 0. . a). Buktikan bahwa M merupakan R I -modul terhadap operasi pergandaan skalar (a + I)x = ax untuk setiap x ∈ M dan a + I ∈ . R ! I b). Tunjukkan bahwa terdapat suatu korespondensi satu-satu antara submodul . di M sebagai R-modul dengan submodul di M sebagai R I -modul!
