UM Palangkaraya. Rancangan Percobaan. Bahan Ajar. (Metode dan Rancangan Penelitian) Haryadi. Universitas Muhammadiyah Palangkaraya

ay a

Pa la ng ka r

Bahan Ajar

Rancangan Percobaan

UM

(Metode dan Rancangan Penelitian)

Haryadi

Universitas Muhammadiyah Palangkaraya 2012

. . . . . . .

1 2 2 2 2 3 3 4

2 Konsep Dasar Statistika 2.1 Beberapa distribusi peluang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Uji Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 9 10

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Pa la ng ka r

1 Pengantar 1.1 Prinsip Dasar Rancangan Percobaan 1.1.1 Replikasi . . . . . . . . . . . 1.1.2 Blocking . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Randomisasi . . . . . . . . . 1.2 Perencanaan Penelitian . . . . . . . 1.2.1 Menentukan Tujuan . . . . . 1.2.2 Sumber variasi . . . . . . . .

ay a

Daftar Isi

. . . . . . .

3 Eksperimen Satu Faktor Random Lengkap 13 3.1 Randomisasi Satuan Percobaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Analisis Varian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

19 19 19 21 22 24 25

5 Memeriksa Kesesuaian Model 5.1 Normalitas . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Memeriksa Independensi Kesalahan . 5.3 Uji Kesamaan Varian . . . . . . . . . 5.4 Transformasi . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

29 30 32 32 34

UM

4 Uji Perbedaan Antar Mean 4.1 Perbandingan Pasangan Mean . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Metode Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Fisher Least Significant Different (LSD) . . . . . . 4.1.3 Uji Ganda Duncan (Duncan’s multiple range test) 4.2 Pembandingan mean perlakuan dengan kontrol . . . . . . 4.3 Kontras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

6 Rancangan Blok 39 6.1 Rancangan Blok Random Lengkap . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.1.1 Asumsi model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 i

ii

DAFTAR ISI

7 Rancangan Faktorial 7.1 Model dan Hipotesis Rancangan Dua 7.1.1 Analisis . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Perbandingan Ganda . . . . . 7.1.3 Uji Kelayakan Model . . . . . 7.2 Rancangan Faktorial Umum . . . . . 7.3 Rancangan Faktorial Kelompok . . .

blok . . . . . . . . . . . .

Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

random lengkap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 44 46 49 54

. . . . . .

57 59 60 64 67 69 72

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

ay a

6.2 6.3 6.4

6.1.2 Perbandingan ganda pada rancangan 6.1.3 Memeriksa asumsi model . . . . . . Rancangan Blok Tak Lengkap Seimbang . . Rancangan Bujur Sangkar Latin . . . . . . Rancangan Blok Lengkap yang Diperluas .

. . . . . .

. . . . . .

Pa la ng ka r

8 Rancangan Faktorial 2k 77 8.1 Rancangan 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 8.2 Rancangan 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.3 Rancangan Faktorial 2k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9 Model Efek Random 87 9.1 Satu Faktor Random . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 9.2 Dua Faktor Random . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.3 Model Campuran Dua Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

UM

10 Rancangan Tersarang dan Split Plot 97 10.1 Rancangan Tersarang Dua Tahap . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 10.2 Rancangan Split Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Bab 1

Pa la ng ka r

ay a

Pengantar

UM

Ketika kita akan melakukan penelitian, kita sering dihadapkan pada pertanyan seperti ”bagaimana cara melaksanakan eksperimen agar kita bisa memperoleh informasi yang akurat”. Meskipun data atau informasi dapat diperoleh melalui studi observasi dan eksperimen, namun hanya data dari eskperimen yang memungkinkan kita untuk bisa mengambil kesimpulan tentang sebab dan akibat. Eksperimen merupakan serangkaian uji (test) dalam mana variabel input diberikan pada suatu proses atau sistem sehingga kita bisa melakukan observasi dan identifikasi pada output respon. Eksperimen digunakan untuk melakukan studi unjuk kerja suatu proses atau sistem. Proses atau sistem merupakan kombinasi dari mesin, tenaga kerja, metode dan sumber daya lainnya yang mentranformasi input menjadi output. Faktor-faktor yang mempengaruhi suatu proses terdiri dari faktor-faktor terkendali (controllable) dan faktor-faktor tak terkendali (uncontrollabel). Faktor terkendali yang bisa mempengaruhi repson suatu proses dinamakan pula perlakuan (treatment) atau faktor. Perlakuan sengaja diberikan pada proses dengan tujuan untuk melihat pengaruhnya terhadap output. Untuk mengetahui efek dari perlakuan terhadap respon suatu proses, perlakuan dikenakan secara bervariasi. Variasi perlakuan ini selanjutnya dinamakan level atau tingkat atau dosis perlakuan. Satuan percobaan (experimental unit) merupakan material paling penting dalam penelitian, karena dari satuan percobaan kita bisa memperoleh data/ informasi. Satuan percobaan adalah material dimana level dari perlakuan dikenakan. Misalnya, petak atau pot beserta tanamannya, pasien atau relawan, hewan percobaan, mesin, peralatan, dan sebagainya.

Contoh 1. Seorang peneliti ingin mengatahui pegaruh dosis pupuk P terhadap hasil tanaman jagung. Berdasarkan informasi sebelumnya, ia menentukan dosis 1, 2, 3, 4 dan 5 kwintal/ha, dan setiap dosis diberikan pada 3 petak. Ini berarti ada 3 × 5 = 15 petak percobaan. 1

2

BAB 1. PENGANTAR

Setiap petak merupakan satuan percobaan (experimental unit), jadi ada 15 satuan percobaan. Pupuk P merupakan faktor atau perlakuan, dan dosis pupuk P tersebut merupakan tingkat/level dari perlakuan. Dengan demikian pada contoh ini perlakuan pupuk P memiliki 5 level.

1.1

Prinsip Dasar Rancangan Percobaan

Replikasi

Pa la ng ka r

1.1.1

ay a

Untuk bisa melaksanaan eksperimen secara efisien dan kesimpulannya absah, seorang peneliti perlu menyusun suatu perencaan penelitian. Rancangan penelitian secara statistika merupakan suatu proses perencanaan eksperimen sehingga data yang dapat dianalisis dengan metode statistika, akan memberikan kesimpulan yang absah. Prinsip dasar perancangan percobaan adalah ulangan (replikasi), randomisasi dan pengelompokan (blocking ).

Replikasikasi berarti mengenakan level perlakuan yang sama pada beberapa satuan percobaan. Pada contoh di atas, setiap dosis P diberikan pada 3 satuan percobaan yang berarti terdapat 3 ulangan. Fungsi dari ulangan adalah untuk menimbulkan galat (random error). Random error menggambarkan variasi dalam satu level perlakuan.

1.1.2

Blocking

UM

Selain faktor perlakuan, setiap satuan percobaan harus mendapat kondisi yang sama. Jika banyaknya satuan percobaan semakin besar, maka bisa terjadi ada faktor selain perlakuan yang membuat satuan percobaan mendapat kondisi berbeda yang tidak bisa dihindari. Misalnya pada percobaan di lapangan secara alami bisa terjadi adanya perbedaan kesuburan tanah. Dengan demikian selain dipengaruhi faktor perlakuan, respon tanaman juga akan dipengaruhi oleh kesuburan tanah. Untuk mengatasi pengaruh perbedaan kesuburan ini dilakukan pengelompokan (blocking), dalam arti bahwa dalam satu kelompok terdapat setiap level perlakuan dan setiap satuan percobaan berada pada kondisi yang sama selain kondisi perlakuan. Sebagai contoh, karena adanya perbedaan kesuburan tanah, maka jagung ditanam dalam 3 kelompok dimana setiap kelompok terdiri dari 5 satuan percobaan yang masing-masing diberi dosis P 1, 2, 3, 4 dan 5 kuintal per hektar. Demikian pula dalam bidang medis, pengukuran beberapa variabel secara alami dipengaruhi oleh jenis kelamin, sehingga dalam meneliti perbedaan alat ukur kita perlu melakukan pengelompokan atas dasar jenis kelamin.

1.1.3

Randomisasi

Randomisasi bertujuan untuk menghindari bias sistematik atau bias personal. Bias personal bisa terjadi misalnya ketika seorang peneliti ingin memband-

1.2. PERENCANAAN PENELITIAN

3

ingkan varietas vaforitnya dengan varitas lain, maka bisa timbul kencederungan bersikap subjektif pada saat melakukan pengamatan. Bias ini juga terjadi misalnya seorang peneliti yang ingin mengetahui perbedaan efek beberapa obat dengan obat faforitnya.

1.2

Perencanaan Penelitian

ay a

Bias sistematik misalnya bisa terjadi jika seorang peneliti melakukan pengamatan secara berurutan dari satuan percobaan yang levelnya paling rendah hingga paling tinggi. Cara pengamatan demikian bisa memacu kencenderungan pencatatan nilai pengamatan akan semakin besar atau semakin kecil. Randomisasi dapat dilakukan dengan bantuan tabel bilangan random ataupun dengan perangkat lunak.

Pa la ng ka r

Suatu penelitian bisa dianggap sebagai suatu sistem atau proses dimana terdapat input, faktor perlakuan, faktor pengganggu (nuisance factor) dan respon atau output. Faktor-faktor tersebut akan mempengaruhi sistem sehingga terjadi variasi pada respon. Oleh karena itu dalam perencaan penelitian perlu dipertimbangkan keberadaan faktor-faktor tersebut. Secara garis besar perencanaan penelitian meliputi: (1) Menentukan tujuan penelitian.

(2) Mengidentifikasi semua sumber variasi yang mencakup: (a) faktor perlakuan dan level (b) satuan percobaan

(c) faktor blok, faktor pengganggu dan covariat.

UM

(3) Menentukan suatu metode cara pengenaan/pemberian perlakuan pada satuan percobaan. (4) Menentukan metode pengukuran, prosedur percobaan dan antisipasi kesulitan. (5) Melakukan pilot experiment. (6) Menentukan model. (7) Membuat garis besar analisis. (8) Menentukan banyaknya observasi yang diperlukan. Perencaan di atas tidak harus dilakukan secara urut seperti daftar tersebut.

1.2.1

Menentukan Tujuan

Untuk menentukan tujuan, kita dapat memulai dengan pertanyan yang berkaitan dengan penelitian yang akan dilakukan.

4

1.2.2

BAB 1. PENGANTAR

Sumber variasi

Sumber variasi (source of variation) adalah segala sesuatu yang bisa mengakibatkan terjadinya perbedaan nilai observasi antara observasi yang satu dengan yang lain. Ada sumber variasi yang mengakibatkan perbedaan kecil, dan ada pula yang mengakibatkan perbedaan besar. (1) Sumber variasi yang berasal dari perlakuan merupakan sumber variasi yang menjadi perhatian utama peneliti.

ay a

(2) Sumber variasi faktor pengganggu tidak menjadi perhatian peneliti namun akan digunakan dalam analisis.

Pa la ng ka r

(3) Sumber variasi yang berasal dari satuan percobaan terjadi misalnya adanya material atau lingkungan yang tidak seragam antar satuan percobaan. Dalam percobaan lapangan sumber variasi ini bisa berasal dari perbedaan tingkat kesuburan lahan, cahaya matahari, kemiringan dan sebagainya.

UM

(4) Selain sumber variasi di atas, masih ada sumber variasi yang lain yang pengaruhnya jelas ada namun di luar kendali peneliti, yaitu covariat. Misalnya tekanan darah pasien, IQ, besarnya ukuran pohon dan sebagainya.

Bab 2

ay a

Konsep Dasar Statistika

Pa la ng ka r

Untuk memberikan gambaran bagaimana pentingnya statistika dalam rancangan percobaan, kita akan mulai dengan contoh eksperimen sederhana. Eksperimen pembandingan sederhana merupakan eksperimen dengan dua level perlakuan. Misalkan suatu eksperimen ingin mempelajari pengaruh perbedaan dua jenis pupuk. Perhatikan bahwa dalam hal ini perlakuannya adalah jenis pupuk dan levelnya adalah pupuk jenis 1 dan pupuk jenis 2. Peneliti melakukan eksprimen dengan membuat dua kelompok tanaman, satu diberi pupuk jenis 1 dan lainnya diberi pupuk jenis 2. Misalkan setiap perlakuan diulang 10 kali dan data hasil pengamatan terhadap variabel produksi adalah sebagai berikut:

UM

Table 2.1: Hasil tanaman Pupuk jenis 1 Pupuk jenis 2 Ulangan (y1 ) (y2 ) 1 12.6 20.2 2 18.5 21.3 3 13.6 21.5 4 12.5 19.5 5 16.3 18.4 6 18.9 20.4 7 17.3 23.1 8 15.2 22.3 9 14.7 21.4 10 17.8 21.4

Ada banyak cara untuk mengetahui apakah ada perbedaan produksi antara tanaman yang diberi pupuk jenis 1 dengan yang diberi pupuk jenis 2. Misalnya kita dapat menggunakan diagram box plot. Diagram box plot menyajikan nilai minimum, maksimum, quartil bawah, quartil atas dan median data (Gambar 2.1).

5

6

BAB 2. KONSEP DASAR STATISTIKA

Pa la ng ka r

ay a

Figure 2.1: Diagram kotak (boxplot)

Cara kedua adalah dengan diagram titik (Gambar 2.2), yang memungkinkan peneliti untuk melihat dengan cepat kencederungan dan sebaran dari nilai pengamatan.

UM

Figure 2.2: Diagram titik (dotplot)

Kedua cara di atas hanya memberikan kita informasi secara visual. Pendekatan yang lazim digunakan untuk melihat perbedaan pengaruh di atas adalah menggunakan inferensi statistik. Didalam inferensi statitik kita akan mengambil kesimpulan mengenai ada tidaknya perberdaan pengaruh perlakuan berdasarkan data pengamatan. Untuk mempelajari inferensi statistik, kita ingatkan kembali

7

ay a

pengertian-pengertian yang akan sering digunakan. Ingat kembali bahwa variabel respon juga dipengaruhi oleh kehadiran faktor pengganggu yang terjadi secara rancom. Dengan demikian variabel respon merupakan variabel random. Ini berarti hasil pengamatan pada 2.1 adalah variabel random. Variabel random dikatakan diskrit jika nilai-nilainya berhingga atau terhitung. Variabel random kontinyu adalah variabel random yang dapat mengambil nilai berarapun dalam suatu interval. Distribusi peluang suatu variabel random merupakan gambaran bagaimana peluang variabel random pada nilai-nilai tertentu. Jika X variabel random diskrit, maka peluang variabel random Y bernilai y ditulis dengan notasi f (y) = P (Y = y).

Pa la ng ka r

Sedangkan jika Y adalah variabel random kontinyu, maka peluang Y mengambil nilai antara a dan b ditulis Z b f (y)dy a

dan f (y) dinamakan fungsi densitas. Nilai harapan suatu variabel random menggambarkan nilai yang diharapkan akan terjadi dari suatu eksperimen random atau kecenderungan hasil yang akan terjadi. Definisi 2.0.1. Nilai harapan suatu variabel random ditulis E(Y ) atau µ, didefinisikan sebagai berikut X µ = E(Y ) = yi .P (Y = yi ), jika Y variabel random diskrit, dan

Z

µ = E(Y ) =

b

yf (y)dy,

UM

a

jika Y variabel random kontinyu. Jika µ adalah nilai harapan variabel random Y , maka Y − µ merupakan penyimpangan (deviasi) Y terhadap nilai harapannya. Definisi 2.0.2. Varian variabel random Y ditulis V ar(Y ) atau σ 2 adalah X σ 2 = V ar(Y ) = E((Y − µ)2 ) = (yi − µ)2 .P (Y = yi ), jika Y variabel random diskrit, dan σ 2 = V ar(Y ) = E((Y − µ)2 ) =

Z

b

(y − µ)2 .f (y)dy,

a

jika Y variabel random kontinyu. Kuantitas σ = dar.

√

σ 2 dinamakan deviasi stan-

8


Berdasarkan definisi di atas, V ar(Y ) merupakan nilai harapan kuadrat deviasi Y − µ; dengan demikian V ar(Y ) ≥ 0. Jika diketahui Y variabel random dengan nilai harapan µ dan varian σ 2 , dan k konstanta, yakni E(Y ) = µ dan V ar(Y ) = σ 2 ; maka berlaku (1) E(k) = k (2) E(kY ) = kµ.

(4) V ar(kY ) = k 2 σ 2 .

ay a

(3) V ar(k) = 0.

Pa la ng ka r

Misalkan ada dua variabel random Y1 dan Y2 dengan nilai harapan dan varian berturut-turut E(Y1 ) = µ1 , V ar(Y1 ) = σ12 dan E(Y2 ) = µ2 , V ar(Y2 ) = σ22 . Covarian variabel random Y1 dan Y2 ditulis Cov(Y1 , Y2 ) didefinisikan sebagai Cov(Y1 , Y2 ) = E[(Y1 − µ1 )(Y2 − µ2 ).

Covarian variabel Y1 dan Y2 menggambarkan hubungan linear antara kedua variabel. Dapat ditunjukan jika kedua variabel independen maka Cov(Y1 , Y2 ) = 0. (1) E(Y1 + Y2 ) = E(Y1 ) + E(Y2 ) = µ1 + µ2 .

(2) V ar(Y1 +Y2 ) = V ar(Y1 )+V ar(Y2 )+2Cov(Y1 , Y2 ) = σ12 +σ22 +2Cov(Y1 , Y2 ). (3) V ar(Y1 −Y2 ) = V ar(Y1 )+V ar(Y2 )−2Cov(Y1 , Y2 ) = σ12 +σ22 −2Cov(Y1 , Y2 ). (4) Jika Y1 dan Y2 independen, maka V ar(Y1 + Y2 ) = V ar(Y1 ) + V ar(Y2 ) = σ12 + σ22 .

UM

(5) Jika Y1 dan Y2 independen, maka E(Y1 · Y2 ) = E(Y1 )E(Y2 ). Definisi 2.0.3. Diketahui y1 , y2 , · · · , yn adalah n nilai hasil pengamatan. Mean sampel, y¯ didefinisikan Pn yi y¯ = i=1 n

dan varian sampel, s2 didefinisikan Pn (y1 − y¯)2 s2 = i=1 . n−1 √ s = s2 dinamakan deviasi standar sampel. Parameter seperti rata-rata populasi dan varian populasi, umumnya tidak diketahui. Oleh karena itu nilai suatu parameter perlu diketahui dengan cara menduga (mengestimasi). Mean dan varian sampel merupakan statistik; mean sampel y¯ merupakan penduga titik (point estimator) untuk mean populasi µ,

2.1. BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG

9

sedangkan varian sampel s2 merupakan penduga titik untuk varian populasi σ 2 . Ada beberapa kriteria untuk estimator yang baik. Dua kriteria berikut merupakan kriteria yang paling umum digunakan: (1) Penduga tak bias (unbiased), yakni nilai harapan penduga tersebut sama dengan nilai parameter yang diduga.

ay a

(2) Penduga tak bias sebaiknya memiliki varian minimum, yaitu memiliki varian yang paling kecil di antara penduga lainnya.

2.1

Pa la ng ka r

Teorema 2.0.1. Mean sampel y¯ dan varian sampel s2 berturut-turut merupakan penduga tak bias untuk paramater mean populasi µ dan varian populasi σ 2 . Pn Pn (y −¯ y )2 , jumlah JK = i=1 (yi − y¯)2 dinamakan Didalam rumus s2 = i=1n−1i jumlah kuadrat, dan bilangan n − 1 dinamakan derajat bebas (degrees of freedom.

Beberapa distribusi peluang

Pengambilan kesimpulan secara statistik didasarkan pada beberapa asumsi agar proses pengambilan kesimpulan tersebut absah. Untuk itu kita perlu menyampaikan kembali hasil-hasil dalam mata kuliah statistika. Definisi 2.1.1. Variabel random y dikatakan berdistribusi normal dengan parameter µ dan σ, jika fungsi peluangnya adalah f (y) =

2 1 1 √ e− 2 ((y−µ)/σ) , σ 2π

−∞ < y < ∞.

UM

Jika variabel random y dikatakan berdistribusi normal dengan parameter µ dan σ, maka ditulis y ∼ N (µ, σ 2 ). Jika µ = 0 dan σ = 1 maka y dikatakan brdistribusi normal standar, dan ditulis y ∼ N (0, 1). Suatu hasil penting adalah jika y ∼ N (µ, σ 2 ), dan z=

y−µ σ

maka z ∼ N (0, 1). Dalam prakteknya kita tidak mengetahui bagaimana distribusi variabel random yang menjadi perhatian. Untunglah ada teorema yang menjamin bahwa jika ukuran sampel semakin besar maka distribusi variabel random tersebut akan mendekati distribusi normal. Teorema 2.1.1 (Teorema Limit Pusat). Jika Y adalah mean sampel random berukuran n dari suatu populasi dengan mean µ dan varian σ 2 , maka Z=

Y −µ √ σ n

mendekati berdistribusi normal standar jika n besar.

10


Umumnya Z mendekati distribusi normal untuk n ≥ 30. Teorema di atas dapat digunakan untuk mencari nilai pendekatan peluang variabel random Y¯ . Hasil-hasil yang berkaitan dengan distribusi normal yang akan kita gunakan dalam pembahasan selanjutnya kita ringkas sebagai berikut:

ay a

Distribusi Chi-square Jika variabel random Y1 , Y2 , Y3 , · · · , Yr adalah r variabel independen yang masing-masing berdistibusi normal standar, maka variabel random χ2 = Y12 + Y22 + Y32 + · · · + Yr2 ,

Pa la ng ka r

berdistribusi Chi-square dengan derajat bebas r. Distribusi kumulatif χ2 dengan derajat bebas r ditulis P (χ2r ≤ x). Nilai batas y untuk derajat bebas r dan distribusi kumulatif γ tertentu dapat dicari pada suatu tabel yang dinamakan tabel Distribusi χ2 . Distribusi t Diketahui Y dan Z variabel random independen, dengan Y berdistribusi normal standar dan Z berdistribusi chi-square dengan derajat bebas r. Dapat ditunjukan bahwa variabel random Y T =p Z/r

memiliki distribusi t dengan derajat bebas r. Nilai distribusi kumulatif variabel random berditribusi t dengan derajat bebas r ditulis P (tr ≤ x). Nilai y untuk derajat bebas r dan distribusi kumulatif γ tertentu dapat dicari pada suatu tabel yang dinamakan tabel Distribusi t.

UM

Distribusi F Diketahui variabel random Y dan Z berdistribusi chi-square dengan derajat bebas berturut-turut r1 dan r2 . Dapat dibuktikan bahwa variabel random Y /r1 F = Z/r2

memiliki distribusi F dengan derajat bebas r1 dan r2 . Dalam hal ini r1 disebut juga derajat bebas pembilang dan r2 disebut juga derajat bebas penyebut. Distribusi kumulatif F dengan derajat bebas r1 dan r2 , ditulis P (Fr1 ,r2 ≤ y). Nilai y untuk r1 dan r2 tertentu dan distribusi kumulatif γ tertentu telah dihitung dan ditabelkan pada suatu tabel yang dinamakan tabel F .

2.2

Uji Hipotesis

Kita tinjau kembali percobaan sederhana pengaruh jenis pupuk terhadap hasil suatu jenis tanaman. Misal y11 , y12 , · · · , y1n1 menyatakan n1 hasil pengamatan faktor pertama, dan y21 , y22 , · · · , y2n2 menyatakan n2 hasil pengamatan faktor

2.2. UJI HIPOTESIS

11

kedua. Diasumsikan sampel tersebut diambil secara random dari dua populasi normal independen. Hasil eksperimen dapat dinyakan dengan model. Model pada eksperimen sederhana tersebut dapat ditulis yij = µi + ij ,

i = 1, 2. dan j = 1, 2, · · · , ni .

ay a

dimana yij menyatakan hasil pengamatan ke j pada faktor ke i, µi adalah mean respon faktor i, dan ij kesalahan random pengamatan ke j faktor i yang diasumsikan berdistribusi normal standar. Karena µ1 dan µ2 konstan, maka yij berdistribusi normal dengan mean µi dan varian σi2 , i = 1, 2.

Definisi 2.2.1. Hipotesis statistik adalah suatu pernyataan tentang parameter suatu distribusi peluang atau paramater di dalam suatu model.

Pa la ng ka r

Jadi hipotesis mencerminkan suatu dugaan (konjektur) tentang persoalan yang dibicarakan. Sebagai contoh pada eksperimen sederhana di atas, hipotesisnya dapat berupa pernyataan “Mean kedua perlakuan tidak perbeda”. Jika H0 adalah suatu hipotesis, maka hipotesis yang berbeda dengan H0 dinamakan hipotesis alternatif dan ditulis H1 . Sedangkan H0 dinamakan hipotesis nol. Misalnya H0 adalah pernyataan “Mean kedua perlakuan tidak perbedaan” Hipotesis alternatifnya misalnya adalah “Mean kedua perlakuan berbada”. Secara umum kedua hipotesis biasa ditulis H0 H1

: :

µ1 = µ2 µ1 6= µ2

(2.1)

UM

Hipotesis di atas dinamakan hipotesis dua sisi, karena H1 : µ1 6= µ2 ekivalen dengan µ1 < µ2 atau µ1 > µ2 . Uji hipotesis adalah suatu prosedur yang berdasarkan data sampel akan menuntun pada diterima atau tidak diterima hipotesis tersebut. Dalam mengambil keputusan diterima atau ditolaknya suatu hipotesis ada dua jenis kesalahan yang bisa terjadi. Kesalahan jenis pertama adalah ”menolak H0 padahal H0 benar”. Kesalahan jenis kedua adalah ”menerima H0 padahal H0 salah”. Peluang terjadinya kesalahan pertama dinamakan tingkat signifikansi dan ditulis dengan notasi α, Tingkat signifikansi =α = P (menolak H0 |H0 benar)


UM

Pa la ng ka r

ay a

12

Bab 3

3.1

Pa la ng ka r

ay a

Eksperimen Satu Faktor Random Lengkap Randomisasi Satuan Percobaan

UM

Untuk memahami bagaimana eksperimen satu faktor dari sisi rancangan percobaan, kita akan berikan melalui contoh. Misalkan seorang peneliti ingin mengetahui pengaruh dosis pupuk NPK terhadap produksi tomat. Untuk keperluan tersebut peneliti menerapkan 5 dosis pupuk NPK yaitu P1= 0, P2=2, P3=4, P4=6 dan P5=7 ton per hektar. Peneliti juga mengulang setiap dosis 4 kali. Ini merupakan contoh ekeperimen satu faktor dengan 5 tingkat (perlakuan) dan 4 ulangan. Dengan demikian ada 20 satuan percobaan yang akan dilakukan secara random. Ke 20 satuan percobaan terlebih dahulu diberi nomor urut 1 sampai dengan 20.

Dosis

Table 3.1: Nomor Urut Satuan Percobaan

P1

1

2

3

4

P2

5

6

7

8

P3

9

10

11

12

P4

13

14

15

16

P5

17

18

19

20

Penempatan ke 20 satuan percobaan dilakukan secara random. Dengan menggunakan bilangan random dimisalkan susunan percobaan adalah sebagaimana disajikan pada Tabel 3.2. Setelah percobaan dilaksanakan, maka diamati hasil tanaman pada setiap 13

14

BAB 3. EKSPERIMEN SATU FAKTOR RANDOM LENGKAP

Table 3.2: Urutan penempatan satuan percobaan Nomor Satuan Percobaan

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Randomisasi

18

16

6

2

4

14

5

13

8

19

Nomor Satuan Percobaan

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Randomisasi

15

10

7

11

1

20

12

3

17

9

Pa la ng ka r

ay a

satuan percobaan. Sebagai ilustrasi, dimisalkan data hasil pengamatan terhadap hasil panen adalah dinyatakan pada Tabel 5.1. Dari tabel ini, satuan percobaan nomor 1 ditempatkan pada posisi 18, satuan percobaan nomor 2 pada posisi 16 dan seterusnya. Table 3.3: Data Hasil Pengamatan

Hasil per tanaman (gram)

Perlakuan P1

20

18

14

23

P2

24

25

30

25

P3

34

56

45

34

P4

57

56

45

52

P5

37

23

36

32

UM

Setelah data diperoleh, berdasarkan data tersebut kita ingin mengambil kesimpulan apakah dosis pupuk berpengaruh terhadap hasil tanaman tomat. Untuk membahasnya kita perlu mengembangkan metode yang akan menuntun kita dalam mengambil kesimpulan tersebut.

3.2

Analisis Varian

Misalkan kita ingin membandingkan mean pada suatu percobaan faktor tunggal terdiri dari a level atau perlakuan. Data hasil pengamatan percobaan ini dapat dinyatakan dalam Tabel 3.4. Di dalam percobaan faktor tunggal, nilai setiap observasi dapat dijelaskan dengan model yij = µi + ij (3.1) i = 1, 2, · · · , a dan j = 1, 2, · · · , n dimana yij adalah nilai observasi perlakuan ke i ulangan ke j, µi adalah efek perlakuan ke i dan ij adalah kesalahan random perlakuan ke i ulangan ke j

3.2. ANALISIS VARIAN

15

Table 3.4: Data Eksperimen Faktor Tunggal Perlakuan

Observasi

Total

Rata-rata

y11

y12

···

y1n

y1.

y¯1.

2 .. .

y21

y22

···

y2n

y2.

y¯2.

a

ya1

ya2

···

yan

ya.

y¯a.

ay a

1

Pa la ng ka r

yang diasumsikan berdistribusi normal dengan mean 0 dan varian σ 2 . Kesalahan random bersumber dari semua variabilitas selain perlakuan, seperti pengukuran, faktor yang tak diketahui, perbedaan antar satuan percobaan (misalnya material), lingkungan dan waktu.

Dalam rancangan random lengkap satu faktor dihipotesiskan bahwa terdapat berbedaan mean antar level perlakuan. Secara lengkap hipotesis ini dinyatakan dengan H0 : H1 :

µ1 = µ2 = · · · = µa µi 6= µj untuk suatu indeks i 6= j

Hipotesis H1 juga dapat dinyatakan bahwa setidaknya ada dua mean yang berbeda. Untuk menguji hipotesis tersebut, digunakan prosedur yang dinamakan analisis varians. Dalam pembahasan selanjutnya kita gunakan notasi yi. menyatakan total perlakuan ke i, y¯i. menyatakan rata-rata perlakuan ke i, y.. total seluruh observasi dan y¯.. menyatakan rata-rata selurluh observasi, yakni Pn yi. = j=1 yij Pa Pn y.. = i=1 j=1 yij

UM

y¯i. = yi. /n y¯.. = y.. /N

(3.2)

dimana N = na adalah banyaknya seluruh pengamatan. Nilai observasi yij dikurangi rata-rata umum y¯.. , yaitu yij − y¯.. menggambarkan besarnya penyimpangan nilai observasi tersebut. Jika selisih ini dikuadratkan dan dijumlahkan untuk seluruh observasi, maka diperoleh kuantitas yang merupakan ukuran variabilitas total dan dinamakan jumlah kuadrat total disingkat JKT , yakni JKT =

a X n X i=1 j=1

(yij − y¯.. )2

16


Dalam rancangan random lengkap satu faktor, diasumsikan variabilitas total merupakan gabungan dari variabilitas perlakuan dan variabilitas kesalahan random (random error ) atau galat. Oleh karena itu dalam analisis varian rancangan ini, jumlah kuadrat total dipartisi menjadi jumlah kuadrat komponennya. Untuk mempartisi jumlah kuadrat, perhatikan bahwa yij − y¯.. = y¯i. − y¯.. + yij − y¯i.

a X n X

(yij − y¯.. )2 =

i=1 j=1

ay a

Selanjutnya jumlah kuadrat total diperoleh dengan mengkuadratkan kedua ruas dan menjumlahkannya a X n X (¯ yi. − y¯.. + yij − y¯i. )2 i=1 j=1

Pa la ng ka r

Dapat ditunjukan bahwa jumlah kuadrat total ini dapat dinyatakan sebagai n a X X i=1 j=1

(yij − y¯.. )2 = n

a X n a X X (yij − y¯i. )2 (¯ yi. − y¯.. )2 +

(3.3)

i=1 j=1

i=1

Persamaan 3.3 menyatakan bahwa jumlah kuadrat total data dapat dipartisi menjadi jumlah kuadrat perlakuan dan jumlah kuadrat kesalahan random (galat). Selanjutnya jumlah kuadrat perlakuan dan jumlah kuadrat kesalahan random berturut-turut ditulis dengan notasi JKP dan JKE . Dengan demikian persamaan 3.3 dapat dituliskan sebagai JKT = JKP + JKE

(3.4)

UM

Ada atau tidak adanya perbedaan antara mean perlakuan dapat dievaluasi berdasarkan perbandingan variabilitas perlakuan dan variabilitas kesalahan random. Jika variabilitas perlakuan tidak berbeda jauh dengan variabilitas kesalahan, maka ini merupakan indikasi tidak ada berbedaan antar level perlakuan, sebaliknya jika variabilitas perlakuan berbeda jauh dengan variabilitas kesalahan, maka ini merupakan indikasi adanya perbedaan mean antar level perlakuan.

Suatu prosedur untuk menguji hipotesis ini dinamakan uji F . Dengan uji ini statistik penguji ditulis dengan notasi F0 dan dihitung dengan F0 =

JKP JKE

(3.5)

Jika nilai F0 lebih kecil atau sama dengan Fα,a−1,N −a maka disimpulkan tidak ada perbedaan antar perlakuan. Sebaliknya, jika statistik penguji F0 lebih besar dari Fα,a−1,N −a , maka disimpulkan ada perbedaan antar perlakuan. Notasi Fα,a−1,N −a diperoleh dari tabel distribusi F0 dengan dejarat pembilang a − 1, derajat bebas penyebut N − a dan tingkat signifikansi α.

3.2. ANALISIS VARIAN

17

Untuk perhitungan secara manual, jumlah kuadrat dapat dihitung dengan persamaan-persamaan berikut. JKT =

a X n X

2 yij −

i=1 j=1

dan

y..2 N

a

JKP =

1 X 2 y..2 y − n i=1 i. N

ay a

Jumlah kuadrat galat (error) diperoleh dengan pengurangan sebagai berikut JKE = JKT − JKP

Sumber Variasi (Source of variation) Perlakuan Galat (error) Total

Pa la ng ka r

Analisis varian diringkas dalam tabel berikut

Jumlah Kuadrat (Sum of square) JKP JKE JKT

Derajat bebas (Degress of freedom) (a − 1) a(n − 1) an − 1

Kuadrat Tengah (Mean square)

F0

P KTP = JK a−1 JKE KTE = a(n−1)

KTA KTE

Berdasarkan tabel analisis varian, dapa disimpulkan ada tidaknya perbedaan antara perlakuan. Contoh 2. Akan dilakukan analisis ragam data hasil pengamatan pada Tabel 1. Berdasarkan tabel tersebut diperoleh

UM

y1. = 75 y2. = 104 y3. = 169 y4. = 210 y5. = 128 y.. = 686

y¯1. = 18.75 y¯2. = 26.00 y¯3. = 42.25 y¯4. = 52.5 y¯5. = 32.00 y¯.. = 34.3

Jumlah kuadratnya adalah JKT = 202 + 182 + · · · + 322 − JKP =

1 4

6862 20

= 3450.2

752 + 1042 + 1692 + 1282 −

6862 20

= 2841.7

JKE = JKT − JKT = 3450.2 − 2841.7 = 608.5 Kuadrat tengah dan Fhitung dapat diperoleh dari hasil-hasil di atas sebagai beikut

18


KTP =

2841.7 4

KTE =

608.5 15

F =

710.4 40.6

= 710.4 = 40.6

= 17.51

Hasil perhitungan di atas dapat diringkas dalam suatu tabel analisis varian. Derajat bebas

Perlakuan

2841.7

4

Galat (Error)

608.5

15

Total

3450.2

19

Kuadrat Tengah

ay a

Jumlah Kuadrat

Pa la ng ka r

Sumber Variasi

710.4

F 17.51

40.6

UM

Berdasarkan tabel analisis varian diperoleh F = 17.51, sedangkan nilai F0.05,4,15 = 3.06. Karena F > F0.05,4,15 maka disimpulkan ada pengaruh perlakuan, dengan kata lain pemberian pupuk NPK memberikan pengaruh terhadap hasil tanaman tomat pada tingkat signifikansi 5 persen.

Bab 4

ay a

Uji Perbedaan Antar Mean

4.1

Pa la ng ka r

Jika banyaknya level perlakuan lebih dari dua, maka tabel analisis varian tidak memberikan informasi perlakuan mana yang berbeda. Jika analisis varian mengindikasikan adanya pengaruh perlakuan, maka kita dapat melanjutkan untuk menganalisis perlakuan mana yang berbeda. Prosedur untuk menganalisis perbedaan antar rata-rata (mean) dinamakan perbandingan ganda. Pada bagian ini kita akan mempelajari perbandingan antar mean, yaitu (1) perbandingan pasangan mean perlakuan dan (2) perbandingan mean perlakuan dengan kontrol.

Perbandingan Pasangan Mean

UM

Misalkan dalam suatu rancangan random lengkap terdapat a level perlakuan dan analisis varian menunjukan adanya perbedaan antar mean perlakuan. Untuk mengetahui level mana yang berbeda, maka kita perlu melakukan pengujian perbedaan setiap pasangan mean dari a mean perlakuan tersebut. Dengan a demikian kita akan melakukan pengujian perbedaan sebanyak 2 = (a−1)a 2 pasangan mean.

4.1.1

Metode Tukey

Misalkan hasil analisis varian menunjukan hipotesis nol ditolak yang berarti ada perbedaan antar mean perlakuan. Selanjutnya misalkan kita ingin menguji seluruh pasangan mean, H0 : µi = µj H1 : µi 6= µj Untuk ukuran sampel sama, dua mean yi. dan yj. disimpulkan berbeda pada tingkat signifikansi α, jika nilai mutlak selisih kedua mean lebih besar dari r KTE Tα = qα (a, f ) (4.1) n 19

20

BAB 4. UJI PERBEDAAN ANTAR MEAN

dimana qα (a, f ) diperoleh dari tabel q, dengan α tingkat signifikansi, a banyaknya level perlakuan dan f derajat bebas kesalahan random (error). Untuk ukuran sampel yang tidak sama, maka kriteria 4.1 menjadi s qα (a, f ) 1 1 Tα = √ KTE + ni nj 2

(4.2)

dengan ni dan nj adalah ukuran masing-masing sampel.

r KTE KTE ≤ µi − µj ≤ y¯i. − y¯j. + qα (a, f ) (4.3) y¯i. − y¯j. − qα (a, f ) n n untuk ukuran sampel sama. Untuk ukuran sampel tidak sama, interval kepercayaan dapat dibentuk dengan mengganti Tα dengan persamaan 4.2.

Pa la ng ka r

r

ay a

Berdasarkan hasil di atas, interval kepercayaan 100(1 − α) persen untuk semua pasangan mean adalah

UM

Contoh 3. Berdsarkan hasil analisis varian pada contoh sebelumnya mengindikasikan adanya perbedaan antar tingkat perlakuan, namun tingkat (dosis) yang mana yang berbeda tidak dapat diamati dari hasil analisis tersebut. Kita akan menggunakan metode Tukey untuk membandingkan kelima tingkat perlakuan. Karena tingkat signifikansi yang digunakan adalah 0.05, banyaknya ulangan setiap perlakuan sama yaitu 4 dan derajat bebas KTE adalah 15, maka berdasarkan tabel q diproleh qα (a, f ) = q0.05 (4, 15) = 4.08. Berdasarkan tabel analisi varian diperoleh KTE = 40.6. Karena ukuran sampel setiap tingkat perlakuan sama, maka digunakan 4.1 untuk menghitung Tα . Oleh karena itu r 40.6 T0.05 = q0.05 (4, 15) = 12.9985 4 Nilai mutlak selisih antar rata-rata dua level perlakuan adalah sebagai berikut |¯ y1. − y¯2. | = |18.75 − 26.00| = 7.25 |¯ y1. − y¯3. | = |18.75 − 42.25| = 23.5∗ |¯ y1. − y¯4. | = |18.75 − 52.50| = 33.75∗ |¯ y1. − y¯5. | = |18.75 − 32.00| = 13.25∗ |¯ y2. − y¯3. | = |26.00 − 42.25| = 16.25∗ |¯ y2. − y¯4. | = |26.00 − 52.50| = 26.5∗ |¯ y2. − y¯5. | = |26.00 − 32.00| = 6 |¯ y3. − y¯4. | = |42.25 − 52.50| = 10.25 |¯ y3. − y¯5. | = |42.25 − 32.00| = 10.25 |¯ y4. − y¯5. | = |52.50 − 32.00| = 20.5∗

4.1. PERBANDINGAN PASANGAN MEAN

21

Mean

P4

52.50A

P3

42.25AB

P5

32.00BC

P2

26.00CD

P1

18.75D

Pa la ng ka r

Perlakuan

ay a

Selisih kedua mean lebih besar dari T0.05 diberi tanda *. Kita bisa membaca hasil selisih ini, misalnya nilai mutlak selisih antara y¯1. dan y¯2. adalah 7.25, yaitu lebih kecil dari T0.05 = 12.9985, dengan kata lain kedua tingkat perlakuan tidak berbeda pada tingkat signifikansi 0.05. Nilai mutlak selisih antara y¯1. dan y¯3. adalah 23.5, yaitu lebih besar dari T0.05 = 12.9985, dengan kata lain kedua tingkat perlakuan berbeda pada tingkat signifikansi 0.05. Hasil tersebut biasa diringkas dalam bentuk tabel berikut

Abjad di kanan atas nilai rata-rata memiliki arti sebagai berikut: rata-rata yang tidak memiliki huruf yang sama berarti berbeda pada tingkat signifikansi 0.05. Sebagai contoh level P4 dan P3 tidak berbeda, level P4 dan P2 berbeda pada tingkat signifikansi 0.05.

4.1.2

Fisher Least Significant Different (LSD)

UM

Untuk menguji hipotesis H0 : µi = µj dan H1 : µi 6= µj dengan Uji LSD digunakan statistik penguji s 1 1 LSD = tα/2,N −a KT E + (4.4) ni nj dengan kriteria µi dan µj dikatakan berbeda pada tingkat signifikan α jika |¯ yi. − y¯j. | > LSD

(4.5)

Jika ukuran sampel semua perlakuan sama, maka LSD pada 4.5 digunakan r 2KT E (4.6) LSD = tα/2,N −a n Contoh 4. Berdasarkan tabel analisis varians pada contoh 1, kita akan melakukan uji berpasangan mean dengan metode LSD pada tingkat signifikansi 5 persen. Derajat bebas error 15, diperoleh t0.025,15 = 2.131; dari tabel analisis varian, KT E = 40.6 dan karena ukuran sampel setiap perlakuan sama dengan 4, maka nilai s 2 · (40.6) = 9.6013 LSD = (2.131) 4

22


|¯ y1. − y¯2. | = |18.75 − 26.00| = 7.25 |¯ y1. − y¯3. | = |18.75 − 42.25| = 23.5∗ |¯ y1. − y¯4. | = |18.75 − 52.50| = 33.75∗ |¯ y1. − y¯5. | = |18.75 − 32.00| = 13.25∗ |¯ y2. − y¯3. | = |26.00 − 42.25| = 16.25∗

ay a

|¯ y2. − y¯4. | = |26.00 − 52.50| = 26.5∗ |¯ y2. − y¯5. | = |26.00 − 32.00| = 6

|¯ y3. − y¯4. | = |42.25 − 52.50| = 10.25∗ |¯ y3. − y¯5. | = |42.25 − 32.00| = 10.25∗

Pa la ng ka r

|¯ y4. − y¯5. | = |52.50 − 32.00| = 20.5∗

Selisih yang bertanda * berarti lebih besar dari LSD=9.6013. Secara ringkas, hasil perbandingan rata-rata dengan metode Fisher adalah sebagai berikut: Mean

P4

52.50A

P3

42.25B

P5

32.00C

P2

26.00CD

P1

18.75D

UM

Perlakuan

4.1.3

Uji Ganda Duncan (Duncan’s multiple range test)

Pembandingan semua mean dengan metode Duncan dilakukan dengan terlebih dahulu mengurutkan mean perlakuan dalam urutan naik. Untuk ukuran sampel sama, maka standar error setiap mean adalah r Sy¯i. =

KT E n

(4.7)

dengan n ukuran sampel perlakuan. Jika ukuran sampel tidak sama maka n pada persamaan 4.7 diganti dengan nh dimana nh = Pa

a

1 i=1 ni

(4.8)

4.1. PERBANDINGAN PASANGAN MEAN

23

dengan ni adalah ukuran sampel perlakuan ke i, i = 1, 2, · · · , a. Selanjutnya dari tabel Duncan, dicari nilai p = 2, 3, · · · , a

rα (p, f ),

dimana α adalah tingkat signifikansi dan f banyaknya derajat bebas kesalahan. Selanjutnya nilai rα (p, f ) dikonversi menjadi range signifikan terkecil Rp = rα (p, f )Sy¯i. ,

p = 2, 3, · · · , a

(4.9)

Pa la ng ka r

ay a

Langkah selanjutnya adalah menguji selisih mean, dimulai dengan selisih mean terbesar dan mean terkecil lalu hasilnya dibandingkan dengan Ra . Selanjutnya, selisih mean terbesar dengan mean terkecil kedua dibandingkan dengan Ra−1 . Pembandingan ini diteruskan hingga selisih antara mean terbesar dan mean terbesar kedua. Setelah itu dilakukan pengujian selisih mean terbesar kedua dengan mean terkecil, kemudian diteruskan hingga pengujian selisih mean terbesar kedua dengan mean terbesar ketiga. Langkah ini diteruskan hingga seluruh selisih dua mean dilakukan.

UM

Contoh 5. Kita akan menguji perbedaan mean pada contoh 1. Telah diperoleh bahwa KT E = 40.6, N = 20, ukuran sampel setiap perlakuan sama yaitu n = 4, dan derajak bebas kesalahan f = 15. Kita tuliskan kembali mean perlakuan yang telah diurutkan dengan urutan naik sebagai berikut: y¯1.

=

18.75

y¯2.

=

26.00

y¯5.

=

32.00

y¯3.

=

42.25

y¯4.

=

52.5 q

Standar error setiap mean adalah Sy¯i. = 40.6 4 = 3.1859. Dari tabel Duncan dengan derajas bebas 15, α = 0.05 dan p = 2, 3, 4, 5, diperoleh r0.05 (2, 15) = 3.01,

r0.05 (3, 15) = 3.16,

r0.05 (4, 15) = 3.25,

r0.05 (5, 15) = 3.31.

Dengan demikian range signifikan terkecil adalah R2 = r0.05 (2, 15)Sy¯i. = (3.01)(3.1859) = 9.5859 R3 = r0.05 (3, 15)Sy¯i. = (3.16)(3.1859) = 10.0674 R4 = r0.05 (4, 15)Sy¯i. = (3.25)(3.1859) = 10.3542 R5 = r0.05 (5, 15)Sy¯i. = (3.31)(3.1859) = 10.5453

24

BAB 4. UJI PERBEDAAN ANTAR MEAN Pengujian selisih antar mean dengan Rp menghasilkan v.s.

P1

:

52.5 − 18.75 = 33.75

> R5

P4

v.s.

P2

:

52.5 − 26.00 = 26.50

> R4

P4

v.s.

P5

:

52.5 − 32.00 = 20.50

> R3

P4

v.s.

P3

:

52.5 − 42.25 = 10.25

> R2

P3

v.s.

P1

:

42.25 − 18.75 = 23.50 > R4

P3

v.s.

P2

:

42.25 − 26.00 = 16.25 > R3

P3

v.s.

P5

:

42.25 − 32.00 = 10.25 > R2

P5

v.s.

P1

:

32.00 − 18.75 = 13.25 > R3

P5

v.s.

P2

:

32.00 − 26.00 = 6.0

Pa la ng ka r

ay a

P4

P2

v.s.

P1

26.00 − 18.75 = 7.25

:

< R2 < R2

Berdasarkan hasil pembandingan tersebut diperoleh Mean

P4

52.50A

P3

42.25B

P5

32.00C

P2

26.00CD

P1

18.75D

UM

Perlakuan

4.2

Pembandingan mean perlakuan dengan kontrol

Dalam suatu eksperimen dengan a level, bisa terjadi suatu level merupakan kontrol dan peneliti ingin membandingkan kontrol dengan a−1 mean perlakuan. Prosedur pembandingan demikian dapat dilakukan dengan metode Dunnett. Anggap level a adalah kontrol dan akan diuji hipotesis apakah mean perlakuan berbeda dengan mean kontrol, yaitu H0 H1

: µi = µa : µi = 6 µa

dengan i = 1, 2, · · · , a − 1. Untuk setiap i dihitung nilai absolut selisih mean sampel |¯ yi. − y¯a. |, i = 1, 2, · · · , a − 1

4.3. KONTRAS

25

Hipotesis nol ditolak pada tingkat signifikansi α jika s 1 1 |¯ yi. − y¯a. | > dα (a − 1, f ) KT E + ni na

(4.10)

dimana ni adalah ukuran sampel perkaluan ke i, na ukuran sampel kontrol dan dα (a − 1, f ) diperoleh dari tabel.

ay a

Contoh 6. Perhatikan kembali contoh 1, misalkan perlakuan P 1 dianggap sebagai kontrol. Dalam hal ini a − 1 = 4, f = 15 dan ni = 4. Dari tabel diperoleh nilai d0.05 (4, 15) = 2.73 dan dihasilkan s r 1 1 2(40.60) + = 2.73 = 12.3002 d0.05 (4, 15) 40.60 4 4 4

4.3

Pa la ng ka r

Dengan demikian suatu mean perlakuan dikatakan berbeda secara signifikan terhadap kontrol jika selisih mean perlakuan dengan mean kontrol lebih besar dari 12.3002. Pembandingan mean perlakuan terhadap kontrol adalah P2

v.s.

P1

:

26.00 − 18.75 = 7.25

P3

v.s.

P1

:

42.25 − 18.75 = 23.50 > 12.3002

P4

v.s.

P1

:

52.5 − 18.75 = 33.75

P5

v.s.

P1

:

32.00 − 18.75 = 13.25 > 12.3002

Kontras

< 12.3002

> 12.3002

Hipotesis perbedaan dua mean

UM

H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 6= µ2

dapat dituliskan menjadi H0 : µ1 − µ2 = 0 H1 : µ1 − µ2 6= 0

(4.11)

Demikian pula jika kita ingin menguji hipotesis apakah jumlah dua mean sama dengan jumlah dua mean laiinya, yaitu H0 : µ1 + µ2 = µ3 + µ3 H1 : µ1 + µ2 6= µ3 + µ3 dapat ditulis menjadi H0 : µ1 + µ2 − µ3 − µ3 = 0 H1 : µ1 + µ2 − µ3 − µ3 6= 0

(4.12)

26

BAB 4. UJI PERBEDAAN ANTAR MEAN Jumlah dari koefisien µi pada hipotesis nol 4.11 adalah 1 + (−1) = 0 Demikian pula dari koefisien µi pada hipotesis nol 4.12 adalah 1 + 1 + (−1) + (−1) = 0

ay a

Misalkan kita memiliki a level perlakuan. Kontras adalah kombinasi linear parameter µ1 , µ2 , · · · a X ci µi i=1

sehingga c1 + c2 + · · · + ca = 0.

Pa la ng ka r

Hipotesis 4.11 dalam bentuk kontras dapat dituliskan sebagai H0 : H1 :

c1 µ1 + c2 µ2 = 0 c1 µi + c2 µj 6= 0

(4.13)

dengan c1 = 1 dan c2 = −1. Demikian pula hipotesis 4.12 juga dapat diltuliskan dalam bentuk kontras H0 : c1 µ1 + c2 µ2 + c3 µ3 + c4 µ3 = 0 H1 : c1 µ1 + c2 µ2 + c3 µ3 + c4 µ3 6= 0

(4.14)

dengan c1 = 1, c2 = 1, c3 = −1 dan c4 = −1. Pa Untuk menguji hipotesis tentang kontras, kita bisa mengestimasi i=1 ci µi. dengan menggunakan C=

a X

ci yi.

UM

i=1

Karena varian yi. adalah nσ 2 , maka V ar(C) =

a X

V ar(ci yi. ) =

i=1

i=1

Pa

Oleh karena itu C = varian V ar(C). Akibatnya

a X

i=1 ci yi.

c2i nσ 2 = nσ 2

a X

c2i .

i=1

berdistribusi normal dengan mean 0 dan

Pa

i=1 yi. V ar(C)

berditribusi normal standar. Jika varian populasi σ 2 diganti dengan kuadrat tengah kesalahan KTE , maka Pa i=1 yi. t0 = p Pa nKTE i=1 c2i

4.3. KONTRAS

27

berdistribusi t dengan dejajad bebas N − a. Selanjutnya karena kuadrat suatu distribusi t adalah berdistribusi F , maka F0 = t20 =

Pa 2 ( i=1 yi. ) Pa nKTE i=1 c2i

F0 > Fα,1,N −a . Perhatikan kembali bahwa F0 dapat ditulis

Pa la ng ka r

Pa 2 ( i=1 yi. ) KTkontras Pa = F0 = KTE KTE (n i=1 c2i )

ay a

berdistribusi F dengan derajat bebas pembilang 1 dan derajat bebas penyebut N − a. Oleh karena itu hipotesis nol ditolak pada tingkat sigiunikansi α jika

Derajat bebas kontras adalah 1, yang berarti bahwa

Pa 2 ( i=1 yi. ) JKkontras = KTkontras = P a 1 n i=1 c2i dengan kata lain

UM

JKkontras

Pa 2 ( i=1 yi. ) P = a n i=1 c2i

(4.15)


UM

Pa la ng ka r

ay a

28

Bab 5

Pa la ng ka r

ay a

Memeriksa Kesesuaian Model Dalam model efek tetap rancangan satu faktor yij = µ + τi + ij

(5.1)

i = 1, 2, · · · , a dan j = 1, 2, · · · , n

UM

kita berasumsi bahwa ij berdistribusi normal independen dengan mean 0 dan varian σ 2 . Akibatnya, yij berdistribusi normal independen dengan mean µ + τi dan varian σ 2 . Agar hasil analisis varian absah, maka asumsi di atas harus dipenuhi. Untuk itu, setelah data hasil eksperimen diperoleh, maka kita perlu melakukan pemeriksaan kelayakan asumsi pada model tersebut. Dalam bagian ini kita akan memeriksa kelayakan asumsi model dan memberikan langkah yang perlu dilakukan jika asumsi tersebut tidak dipenuhi. Berdasarkan asumsi model, pemeriksaan yang akan dilakukan meliputi: 1) Memeriksa normalitas eij dan adanya outlier atau observasi yang nilainya ekstrim. 2) Menguji independensi kesalahan random (eij ). 3) Memeriksa kekonstanan varian, yaitu memeriksa apakah eij memiliki varian yang sama untuk setiap perlakuan. Didalam model eksperimen satu faktor, kesalahan random eij diasumsikan memiliki nilai harapan nol. Ini berakibat nilai harapan yij E(yij ) = µ + τi . Penyimpangan terhadap asumsi model dapat diamati dari residual. Residual observasi ulangan j perkaluan ke i, ditulis eij , adalah selisih antara nilai observasi ulangan ke j perlakuan ke i (yij ) dikurangi nilai dugaan observasi ulangan ke j perlakuan ke i (ˆ yij ), atau 29

30

BAB 5. MEMERIKSA KESESUAIAN MODEL

eij = yij − yîj Nilai yîj dapat diperoleh sebagai berikut yîj = µ ˆ + τî = y¯.. + (¯ yi. − y¯.. ) = y¯i. . Oleh karena itu residual eij dapat dihitung dengan eij = yij − y¯i.

(5.2)

ay a

Jika asumsi model sesuai, maka residual tidak memiliki pola struktur yang jelas. Sebagai ilustrasi, marilah kita gunakan percobaan pengaruh pupuk P terhadap hasil tanaman tomat yang telah kita bahas pada rancangan random lengkap.

Pa la ng ka r

Table 5.1: Data Hasil Pengamatan

Perlakuan P1 P2 P3 P4 P5

Observasi 2 3 18 14 25 30 56 45 56 45 23 36

1 20 24 34 57 37

4 23 25 34 52 32

y¯i. 18.75 26.00 42.25 52.50 32.00

Berdasarkan data observasi, kita bisa mencari residual setiap observasi, misalnya e11 = 20 − 18.75 = 1.25,

e22 = 25 − 26 = −1,

dan seterusnya.

UM

Residual pada eksperimen 1 selengkapnya disajikan pada tabel 5.2.

5.1

Perlakuan P1 P2 P3 P4 P5

Table 5.2: Residual Observasi 1 2 3 1.25 -0.75 -4.75 -2 -1 4 -8.25 13.75 2.75 4.5 3.5 -7.5 5 -9 4

4 4.25 -1 -8.25 -0.5 0

Normalitas

Pengujian normalitas bisa dilakukan dengan membuat plot residual. Jika eij berdistribusi normal independen dengan mean nol dan varian σ 2 , maka plot

5.1. NORMALITAS

31

Pa la ng ka r

ay a

ini akan tampak seperti plot sampel yang diambil dari distribusi normal yang berpusat di 0. Plot residual bisa digunakan untuk mengamati adanya data yang nilainya ekstrim (outlier). Data outlier akan sangat mengganggu dalam analisis varian. Gambar 5.1 merupakan plot residual untuk percobaan di atas.

Prosedur statistik yang dapat digunakan untuk melacak adanya outlier adalah dengan mengamati residual standar, yaitu eij KTE Jika asumsi eij berdistribusi normal independen dengan mean nol dan varian σ 2 dipenuhi, maka residual standar akan mendekati normal dengan mean nol dan varian 1. Dalam hal ini, sekitar 60 persen residual standar berada antara -1 dan 1, sekitar 95 residual berada antara -2 dan 2 dan 100 persen residual standar berada antara -3 dan 3. Residual yang jaraknya terhadap 0 lebih dari 3 merupakan indikasi sebagai outlier. Dari tabel 5.2, bisa dicari misalnya e11 e1.25 d11 = √ =√ = 0.196 KTE 40.6 e12 e−0.75 d12 = √ = −0.118 =√ KTE 40.6 dan residual maksimumnya adalah e32 13.75 d32 = √ =√ = 2.16 KTE 40.6 Berdasarkan hasil ini, maka 100 persen residual standar berada antara −3 dan 3, dengan kata lain asumsi kesalahan random berdistribusi normal dipenuhi. Outlier adalah suatu observasi yang lebih besar atau lebih kecil dari yang diharapkan. Outlier dapat terjadi karena kesalahan dalam pengamatan, kesalahan random tidak berdistribusi normal atau memiliki varian berbeda dan karena ketidaktepan pemilihan model. Adanya outlier diindikasikan dari residual yang bernilai besar atau kecil. Outlier mudah dilacak dengan mengamati grafik antara residual yang distandarkan dengan level perlakuan.

UM

dij = √

32

5.2


Memeriksa Independensi Kesalahan

ay a

Independensi kesalahan random eij bisa diperiksa dengan melacak adanya korelasi antar residual. Indikasi adanya dependensi antar residual bisa dilihat ternjadinua kecenderungan residual positif atau negatif. Hal ini secara grafik bisa dilakukan dengan membuat plot antara residual dan urutan pelaksanaan (order) eksperimen. Untuk percobaan 1, grafik ini digambarkan pada 5.1. Dari gambar ini kita tidak menemukan adanya pola yang menggambarkan ketidakindependenan.

5.3

Pa la ng ka r

Figure 5.1: Plot residual vs urutan pelaksanaan

Uji Kesamaan Varian

UM

Uji kesamaan varian dapat dihipotesiskan sebagai berikut

H0 : σ12 = σ22 = · · · = σa2 H1 : setidaknya ada satu varian yang tidak sama.

(5.3)

Secara grafik, indikasi perbedaan varian antar perlakuan dapat diselidiki dengan membuat grafik residual vs nilai prediksi (fitted value). Adanya perbedaan varian ditunjukan dengan pola tertentu pada grafik tersebut. Untuk percobaan 1, nilai prediksi adalah yîj = y¯i. , yaitu sama dengan mean perlakuan. Grafik residual versus nilai prediksi untuk percobaan 1 digambarkan pada 5.2. Dari grafik ini kita tidak mendapatkan adanya pola tertentu, yang mengindikasikan tidak ada perbedaan varian. Uji Bartlett dapat digunakan untuk menguji hipotesis kesamaan varian dengan syarat normalitas dipenuhi. Jika normalitas tidak dipenuhi, maka disarankan tidak menggunakan uji Bartlett. Statistik penguji untuk uji Bartlett adalah χ20 = 2.3026

q c

(5.4)

5.3. UJI KESAMAAN VARIAN

33

dimana

Pa la ng ka r

ay a

Figure 5.2: Plot residual vs nilai prediksi

Pa q = (N − a) log10 Sp2 − i=1 (ni − 1) log10 Si2 P a 1 1 1 c = 1 + 3(a−1) i=1 (ni −1) − N −a Sp2 = Si2

Pa

2 i=1 (ni −1)Si

N −a

dengan adalah varian sampel perlakuan ke i. Dalam hal ini hipotesis nol ditolak jika χ20 > χ2α,α−1 .

Contoh 7. Pada eksperimen di atas, dapat dihitung bahwa S22 = 7.33,

S32 = 110.92,

S42 = 29.67,

S52 = 40.67

UM

S12 = 14.25,

4(14.25) + 4(7.33) + 4(110.92) + 4(29.67) + 4(40.67) = 54.09 20 − 5 1 1 1 1 1 1 17 1 + + + + − = c=1+ 3(5 − 1) 4 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − 1 20 − 5 15 Sp2 =

q

=

(20 − 5) log 40.67 − (3 log 14.25 + 3 log 7.33 + 3 log 110.92 +3 log 29.67 + 3 log 40.67)

=

24.139 − 21.427 = 2.702 χ20 = 2.3026

2.702 = 5.4897. 17/15

34


Karena χ20.05,4 = 9.49, maka hipotesis nol diterima, dengan kata lain kelima varian perlakuan adalah sama. Uji kesamaan varian yang tidak sensitif terhadap normalitas misalnya adalah uji Levene yang dimodifikasi. Uji Levene menggunakan nilai mutlak deviasi observasi terhadap median, yaitu dij = |yij − y˜i | i = 1, 2, · · · , a dan j = 1, , 2, · · · , ni

(5.5)

ay a

dimana y˜i adalah median perlakuan i. Statistik penguji untuk uji Levene adalah uji F .

Pa la ng ka r

Contoh 8. Berdasarkan data, diperoleh median untuk setiap level perlakuan y˜1 = 19, y˜2 = 25, y˜3 = 39.5, y˜4 = 54 dan y˜5 = 34. Penyimpangan terhadap mediannya adalah sebagai berikut Perlakuan P1 P2 P3 P4 P5

Deviasi terhadap median 1 1 5 5 1 0 5 0 5.5 16.5 5.5 5.5 3 2 9 2 3 11 2 2

Berdasarkan data deviasi tersebut, diperoleh hasil analisis varian Table 5.3: Tabel Analisis Varian Derajat bebas

Jumlah Kuadrat

Kuadrat Tengah

F0

Deviasi

4

103.7

25.9

1.84

Error

15

211.5

14.1

Total

19

315.2

UM

Sumber Variasi

Karena F0.05,4,15 = 3.06, maka hipotesis nol diterima, dengan kata lain tidak terdapat berbedaan varian.

5.4

Transformasi

Jika hasil pengujian kesamaan varian menunjukan adanya varian yang tidak sama, maka kita perlu melakukan transformasi penstabilan varian sebelum dilakukan analisis varian. Jika analisis varian telah dilakukan pada data yang telah ditranformasi tersebut, maka interpretasinya juga hanya berlaku untuk data transformasi tersebut.

5.4. TRANSFORMASI

35

Jenis transformasi penstabilan varian tergantung pada distribusi data. Data yang mengikuti distribusi Poisson bisa dilakukan transformasi akar kuadrat p √ zij = yij atau zij = 1 + yij Untuk data yang mengikuti distribusi lognormal, digunakan transformasi logaritma zij = log yij

ay a

dan untuk data yang berdistribusi binomial digunakan transformasi arcsin, √ zij = arcsin yij .

Pa la ng ka r

Jika distribusi data tidak bisa diketahui secara jelas, maka kita bisa mencari transformasi untuk menyamakan varian. Pemilihan jenis transformasi kita ringkaskan pada tabel berikut Hubungan Antara σ dan µ

Transformasi

Tidak perlu transformasi √ y∗ = y

σ konstan

σ sebanding dengan

√

µ

σ sebanding dengan µ

y∗ = log y

σ sebanding dengan µ3/2

y∗ =

√1 y

σ sebanding dengan µ2

y∗ =

1 y

UM

Contoh 9. Suatu penelitian bertujuan untuk mengetahui pengaruh intensitas cahaya terhadap tinggi suatu jenis tanaman. Hasil pengamatan (dalam cm) disajikan pada tabel berikut. Observasi

Intensitas

1

2

3

4

5

I1

0.4

0.3

0.4

0.6

0.8

I2

2.3

2.4

2.7

3.1

2.9

I3

6.7

6.4

8.7

9.2

6.7

I4

10.2

16.7

12.4

17.5

11.2

Plot residual mengindikasikan adanya perbedaan varian (gambar 9). Setelah dilakukan uji kesamaan varian dengan metode Levene, dengan menggunakan

36


Pa la ng ka r

ay a

Minitab diperoleh nilai F0 = 4.14 dengan nilai p−value = 0.024, yakni terdapat berbedaan varian. Agar analisis varian absah, maka data harus ditranformasi sehingga tidak ada perbedaan varian.

Berdasarkan pola hubungan antara residual dan mean perlakuan, ada kecenderungan nilai residual sebanding dengan akar mean perlakuan. Oleh karena itu digunakan transformasi akar untuk menstabilkan varian. Data yang telah ditransformasi disajikan pada tabel 5.4. Observasi

UM

Akar Intensitas √ √ √ √

1

2

3

4

5

I1

0.632

0.547

0.632

0.774

0.894

I2

1.516

1.549

1.643

1.760

1.702

I3

2.588

2.529

2.949

3.033

2.588

I4

3.193

4.086

3.521

4.183

3.346

Uji kesamaan varian pada data yang telah ditransfomasi memberikan statistik Levene 2.19 dengan p − value = 0.129, yang berarti bahwa tidak terdapat perbedaan varian. Hasil analisis varian data tranformasi ini disajikan pada tabel 5.4. Kesimpulan yang diambil dari tabel analisis varian ini tentu harus dibatasi pada data yang telah ditransfomasi, bukan pada data aslinya.

37

Pa la ng ka r

ay a

5.4. TRANSFORMASI

Table 5.4: Tabel Analisis Varian

Sumber Variasi Intensitas (transformasi) Error

UM

Total

Derajat bebas

Jumlah Kuadrat

Kuadrat Tengah

F0

3

25.0958

8.3653

118.67

16

1.1278

0.0705

19

26.2236


UM

Pa la ng ka r

ay a

38

Rancangan Blok

ay a

Bab 6

UM

Pa la ng ka r

Variabilitas yang bersumber dari faktor pengganggu bukan menjadi perhatian peneliti, namun demikian variabilitas ini bisa memberikan pengaruh terhadap respon. Persoalaannya menjadi bertambah jika ternyata variabilitas dari faktor pengganggu tidak diketahui peneliti atau di luar kemampuan peneliti untuk mengendalikannya. Dampak dari adanya variabilitas ini adalah dapat menyesatkan dalam menguji efek perlakuan, apakah perbedaan respon disebabkan faktor perlakuan atau faktor pengganggu. Jika faktor pengganggu dapat diketahui dan dapat dikendalikan, maka kita bisa memisahkan efek faktor pengganggu tersebut dengan faktor perlakuan dengan cara melakukan pengelompokan (blocking). Dalam kenyataan, faktor pengganggu yang dapat dikelompokan misalnya adalah perbedaan kesuburan tanah, perbedaan mesin yang digunakan untuk menghasilkan suatu produk, perbedaan operator suatu mesin, perbedaan guru untuk suatu mata pelajaran, batch, jenis kelamin dan sebagainya.

6.1

Rancangan Blok Random Lengkap

Dalam rancangan blok random lengkap, satuan percobaan dikelompokan, pada setiap blok (kelompok) dikenakan semua level perlakuan dan randomisasi dilakukan pada setiap blok. Jadi jika ada a level perlakuan dan b kelompok maka akan ada ab satuan percobaan.

6.1.1

Asumsi model

Notasi yij menyatakan respon unit eksperimen perlakuan ke i blok kej. Model efek tetap untuk rancangan blok random lengkap adalah yij = µ + τi + βj + ij dengan i = 1, 2, · · · , a j = 1, 2, · · · , b 39

(6.1)

40

BAB 6. RANCANGAN BLOK Blok 1

Blok 2

Blok b

y11 y21 y31 .. . ya1

y12 y22 y32 .. . ya2

y1b y2b y3b .. . yab

···

ay a

Figure 6.1: Rancangan kelompok random lengkap

Pa la ng ka r

dimana µ adalah rata-rata keseluruhan, τi adalah efek perlakuan ke i, βj adalah efek kelompok (blok) ke j dan ij adalah kesalahan random yang diasumsikan berdistribusi normal dengan mean 0 dan variance σ 2 . Efek perlakuan dan efek kelompok ditafsirkan sebagai deviasi terhadap rata-rata keseluruhan, yang berarti a X

τi = 0

i=1

dan

b X

βj = 0

j=1

Hipotesis dalam rancangan ini dapat dituliskan sebagai H0 H1

: τ1 = τ2 = · · · = τa = 0 : setidaknya ada satu τi 6= 0

(6.2)

UM

Dalam analisis varian rancangan blok random lengkap kita akan menggunakan notasi berikut

yi.

=

y.j

=

y..

=

b X

yij

(total perlakuan level i)

j=1 a X

yij i=1 a X b X

(total kelompok j) yij

(total seluruhnya)

i=1 j=1

y¯i.

=

yi. b

(rata-rata semua observasi perlakuan level i)

y¯.j

=

y.j a

(rata-rata semua observasi kelompok ke j )

y¯..

=

y.. N

(rata-rata semua observasi)

6.1. RANCANGAN BLOK RANDOM LENGKAP

41

Karena yij − y¯.. = (¯ yi. − y¯.. ) + (¯ y.j − y¯.. ) + (yij − y¯i. − y¯.j + y¯.. ) maka dengan mengkuadratkan kedua ruas dan menjumlahkan untuk semua perlakuan dan kelompok diperoleh a X b a b a X b X X X X (yij − y¯ij )2 = b (¯ yi. − y¯.. )2 +a (¯ y.j − y¯.. )2 + (yij − y¯i. − y¯.j + y¯.. )2 i=1 j=1

i=1

j=1

i=1 j=1

Pa la ng ka r

JKT = JKP + JKB + JKE .

ay a

(6.3) Persaamaan 6.3 menyatakan partisi jumlah kuadrat total (JKT ) menjadi jumlah kuadrat perlakuan (JKP ), jumlah kuadrat blok (JKB ) dan jumlah kuadrat kesalahan (JKE ), atau ditulis

Derajat bebas dan kuadrat tengah masing-masing komponen jumlah kuadrat adalah Komponen Perlakuan Blok

Kesalahan

Kuadrat tengah

a−1

KTP =

JKP a−1

b−1

KTB =

JKB b−a

(a − 1)(b − 1)

KTE =

JKE (a − 1)(b − 1)

N −1

UM

Total

Derajat bebas

Dapat ditunjukan bahwa nilai harapan masing-masing kuadrat tengah adalah Pa b i=1 τi2 2 E(KTP ) = σ + a−1 2

E(KTB )

=σ +

E(KTE )

= σ2 Pa

a

Pb

j=1

βi2

(6.4)

b−1

Jika hipotesis nol benar, maka i=1 τi2 = 0, sehingaa E(KTP ) = σ 2 yang berarti bahwa varian perlakuan tidak berbeda jauh dengan varian kesalahan. Oleh karena itu kita bisa menggunakan statistik F0 =

KTP KTE

42

BAB 6. RANCANGAN BLOK

untuk menguji hipotesis kesamaan mean perlakuan dimana H0 ditolak jika F0 > Fα,a−1,(a−1)(b−1) . Demikian pula jika tidak ada perbedaan yang cukup besar antara varian blok dan varian kesalahan, maka berarti tidak adanya pengaruh blok. Secara ringkas, pengujian hipotesis kita sajikan pada tabel berikut Table 6.1: Tabel Analisis Varian Rancangan Blok Random Lengkap Derajat bebas

Perlakuan

JKA

(a − 1)

Blok

JKB

b−1

Kesalahan (error)

JKE

(a − 1)(b − 1)

Total

JKT

N −1

Kuadrat Tengah JKA a−1 JKB b−1 JKE (a − 1)(b − 1)

ay a

Jumlah Kuadrat

F0 KTA KTE KTB KTE

Pa la ng ka r

Sumber Variasi

Untuk perhitungan secara manual, jumlah kuadrat bisa kita cari dengan cara berikut: a X b X y2 2 JKT = yij − .. N i=1 j=1 a 1 X 2 y..2 y − JKP = b i=1 i. N (6.5) b X b 2 X 1 y 2 JKB = y.j − .. a j=1 j=1 N JKE

= JKT − JKP − JKB

UM

Contoh 10. Suatu eksperimen untuk mengetahui pengaruh dolomit terhadap tinggi tanaman tomat terdiri dari 4 level dolomit D1, D2, D3 dan D4. Karena alasan tingkat keseburuan tanah di lapangan yang bervariasi, maka penelitian dilakukkan dengan 3 blok. Hasil pengamatan respon tanaman adalah sebagai berikut Table 6.2: Respon tinggi tanaman tomat (dalam cm) Blok

Dolomit

1

2

3

y.j

D1 D2 D3 D4

24.4 31.6 27.0 35.8

20.5 24.7 23.1 31.9

24.5 29.8 28.0 35.7

69.4 86.1 78.1 103.4

yi.

118.8

100.2

118.0

y.. = 337


jumlah kuadrat secara manual, pertama dicari terlebih = 24.4 + 20.5 + 24.5 = 69.4 = 31.6 + 24.7 + 29.8 = 86.1 = 27.0 + 23.1 + 28.0 = 78.1 = 35.8 + 31.9 + 35.7 = 103.4 = 24.4 + 31.6 + 27.0 + 35.8 = 118.8 = 20.5 + 24.7 + 23.1 + 31.9 = 100.2 = 24.5 + 29.8 + 28.0 + 35.7 = 118.0 = 24.4 + 20.5 + · · · + 35.7 = 337

ay a

Untuk menghitung dahulu y1. y2. y3. y4. y.1 y.2 y.3 y..

43

Hasil perhitungan tersebut telah kita letakan pada bars terakhir dan kolom terakhir tabel di atas.

JKP JKB JKE

3372 12

Pa la ng ka r

JKT

= (24.4)2 + (20.5)2 + · · · + (35.7)2 −

= 9732.9 − 9464.08 = 268.81 1 3372 = ((69.4)2 + (86.1)2 + (78.1)2 + (103.4)2 ) − = 209.497 2 12 2 1 337 = ((118.8)2 + (100.2)2 + (118.0)2 ) − = 55.28 4 12 = 268.81 − 209.497 − 55.28 = 4.033

Untuk menguji hipotesis adanya perbedaan antara mean perlakuan dan blok kita lakukan analisis varian yang dirangkumkan pada tabel berikut Table 6.3: Tabel Analisis Varian

Sumber Variasi

Derajat bebas

Jumlah Kuadrat

Kuadrat Tengah

F0

2

55.287

27.643

41.12

Dolomit

3

209.497

69.832

103.88

Error

6

4.033

0.672

Total

11

268.817

UM

Blok

Berdasarkan tabel analisis varian, kita tolak hipotesis nol pada tingkat signifikansi 0.05, sebab F0 = 103.88 > F0.05;3,6 = 4.76, dengan kata lain ada perbedaan mean antar level perlakuan pada tingkat signifikansi 0.05. Antar blok juga terdapat perbedaan pada tingkat signifikansi 0.05, sebab F0 = 41.12 > F0.05;2,6 = 5.14.

44

6.1.2


Perbandingan ganda pada rancangan blok random lengkap

dengan f = (a − 1)(b − 1) dan b banyaknya blok.

ay a

Jika hasil analisis varian suatu rancangan blok menunjukan adanya perbedaan mean perlakuan, peneliti biasanya ingin mengatahui perlakuan mana yang berbeda. Prosedur perbandingan ganda yang telah disampaikan pada rancangan random lengkap dapat digunakan dalam rancangan blok dengan cara mengganti banyaknya ulangan n dengan blok b dan derajat bebas error menjadi (a − 1)(b − 1). Dengan demikian r KTE (6.6) Tα = qα (a, f ) b

Pa la ng ka r

Contoh 11. Berdasarkan hasil analisis varian pada contoh 1, perlakuan dolomit mengidikasikan adanya perbedaan antar mean. Untuk melihat perlakuan level mana yang berbeda, kita coba lakukan analisis dengan metode Tukey pada tingkat signifikansi 5 persen. Dari tabel tersebut diperoleh KTE = 0.672, b = 4. Karena ada 4 perlakuan, 3 blok dan f = 6, maka q E T0.05 = q0.05 (4, 6) KT 3 q = 4.90 0.672 = 2.319 3 Dengan membandingkan selisih antar mean dengan T0.05 = 2.319 maka diperoleh hasil perbandingan ganda

UM

Table 6.4: Uji beda mean

6.1.3

Perlakuan D1 vs D2 D1 vs D3 D1 vs D4 D2 vs D3 D2 vs D4 D3 vs D4

Selisih −5.57∗ −2.90∗ −11.33∗ 2.67∗ −5.77∗ −8.43∗

Memeriksa asumsi model

Untuk menjamin keabsahan kesimpulan hasil analisis ragam, kita perlu memeriksa asumsi pada model 6.1. Nilai prediksi yîj pada rancangan blok random lengkap adalah yîj = y¯i. + y¯.j − y¯... . Karena residual eij = yij − yîj , maka residual dapat dihitung dengan eij = yij − y¯i. − y¯.j + y¯...

(6.7)


45

Pa la ng ka r

ay a

Figure 6.2: Plot residual yang dibakukan

Kita gunakan contoh di atas untuk memberikan gambaran bagaimana asumsi model diperiksa. Berdasarkan data 6.2, nilai residual setiap pengamatan dapat dihitung. Pada tabel 6.5 telah dihitung nilai residual untuk setiap observasi.

Table 6.5: Residual Blok

Dolomit

UM

D1 D2 D3 D4

1

2

3

-0.35 1.28 -0.65 -0.28

0.40 -0.97 0.10 0.47

-0.05 -0.32 0.55 -0.18

Secara grafik, distribusi normal dari residual bisa diamati dari gambar 6.2. Dari grafik ini kita tidak menemukan adanya indikasi resudual tidak berdistribusi normal, yakni kita lihat bahwa sekitar 90 persen residual yang dibakukan berada dalam rentang -2 sampai dengan 2. Untuk memeriksa kesamaan varian antar perlakuan, kita bisa menggunakan uji Barttlet maupun metode Levene. Dengan uji Barttlet diperoleh nilai statistik penguji 0.52 dengan nilai p = 0.915, sedangkan dengan metode Levene diperoleh statistik penguji 0.13 dengan nilai p = 0.942. Kedua uji menyatakan tidak ada perbedaan varian antara level perlakuan. Secara grafik, plot antara residual dan nilai prediksi tidak memiliki pola yang tertentu, yang berarti tidak ada kecenderungan terjadinya perbedaan varian (gambar 6.3.

46


6.2

Pa la ng ka r

ay a

Figure 6.3: Plot residual vs nilai prediksi

Rancangan Blok Tak Lengkap Seimbang

Kadang-kadang dalam suatu percobaan terdapat faktor pembatas yang mengakibatkan eksperimen tidak dapat dilaksanakan dengan rancangan blok random lengkap. Secara lebih eksplisit, bisa terjadi tidak setiap perlakuan ada pada setiap blok. Dalam hal demikian maka rancanganya dinamakan rancangan blok random tidak lengkap. Kondisi demikian misalnya terjadi karena keterbatasan lahan percobaan, keterbatasan waktu pelaksanaan percobaan, keadaan yang memaksa tidak semua batch harus diamati.

UM

Suatu kejadian khusus dari rancangan ini adalah rancangan blok tak lengkap seimbang, yaitu suatu rancangan blok tak lengkap dimana setiap dua level perlakuan ada bersama-sama dengan frekuensi sama. Misalkan suatu eksperimen blok memiliki a level perlakuan dan setiap blok hanya bisa menampung k level perlakuan dengan k < a. Suatu rancangan blok tak lengkap seimbang dapat dibentuk dengan binomk, n blok. Misalkan ada b blok dan setiap blok memuat k level perlakuan dan setiap level perlakuan dilakukan sebanyak r kali. Dengan demikian jumlah seluruh observasi ada N = ar = bk. Dapat dibuktikan bahwa banyaknya setiap pasangan level perlakuan pada blok yang sama adalah r(k − 1) k−1 Model statistika untuk rancangan blok tak lengkap seimbang adalah λ=

yij = µ + τi + βj + ij

(6.8)

dimana yij adalah respon perlakuan leverl ke i blok ke j, µ adalah efek umum, τi adalah efek perlakuan level i, βj adalah efek blok ke j, dan ij adalah

6.2. RANCANGAN BLOK TAK LENGKAP SEIMBANG

47

kesalahan perlakuan level ke i dan blok ke j yang diasumsikan berdistribusi normal dengan mean 0 dan varian σ 2 . Jumlah kuadrat total untuk racangan ini adalah JKT =

a X b X i=1 j=1

2 yij −

y..2 N

ay a

Jumlah kuadrat total dapat dipartisi menjadi jumlah kuadrat perlakuan yang disesuaikan (JKP S ) jumlah kuadrat blok dan jumlah kuadrat kesalahan sebagai berikut: JKT = JKP S + JKB + JKE (6.9)

Pa la ng ka r

Dalam partisi kuadrat total digunakan jumlah kuadrat perlakuan yang disesuaikan. Hal ini perlu dilakukan karena setiap level perlakuan hanya ada pada r blok, sehingga jumlah total perlakuan y1. , y2. , · · · , ya. juga dipengaruhi oleh blok. Jumlah kuadrat blok dihitung dengan cara biasa, yaitu JKB =

b b y2 1 XX 2 y.j − .. k j=1 j=1 N

dimana y.j adalah total blok ke j. Jumlah kuadrat perlakuan yang disesuaikan dihitung dengan a k X 2 JKP S = Q λa i=1 i dimana Qi adalah total perlakuan level i yang disesuaikan, yang dihitung dengan

UM

Qi = yi. −

b 1X nij y.j , k j=1

i = 1, 2, · · · , a

dengan nij = 1 jika level i ada pada blok j dan nij = 0 jika level i tidak ada pada blok j. Jumlah kuadrat kesalahan (error) merupakan selisih jumlah kuadrat total dengan jumlah kuadrat perlakuan dan blok JKE = JKT − JKP S − JKB

Uji hipotesis perbedaan antar mean perlakuan dilakukan dengan uji F yang kita rangkumkan dalam tabel analisis varian berikut Contoh 12. Empat jenis traktor akan diuji kecepatannya dalam membajak lahan. Karena hanya tersedia tiga operator, maka digunakan rancangan blok tidak lengkap seimbang dengan blok hari. Hasil pengamatan memberikan data pada tabel berikut. Dalam eksperimen ini a = 4, b = 4, setiap level perlakuan hanya ada pada 3 blok, jadi k = 3, setiap blok berisi 3 level perlakuan, jadi r = 3 dan banyaknya

48


Table 6.6: Tabel Analisis Varian Rancangan Blok Tak Lengkap Seimbang Jumlah Kuadrat

Derajat bebas

Kuadrat Tengah

Perlakuan

JKP S

(a − 1)

KTP S =

JKP S a−1

KTP S KTE

Blok

JKB

b−1

KTB =

JKB b−1

KTB KTE

Kesalahan (error)

JKE

N −a−b+1

Total

JKT

N −1

JKE N −a−b+1

ay a

KTE =

Pa la ng ka r

Sumber Variasi

Table 6.7: Lama membajak 1 ha lahan (jam) Blok (hari)

Jenis traktor

1

2

3

4

traktor 1

11

12

10

-

traktor 2

12

11

-

12

traktor 3

-

15

14

12

traktor 4

15

-

15

14

UM

seluruh observasi adalah N = 12. Dari sini diperoleh λ = 2. Untuk perhitungan manual, terlebih dahulu dihitung y1. = 11 + 12 + 10 = 33 y2. y3. = 15 + 14 + 12 = 41 y4. y.1 = 11 + 12 + 15 = 38 y.2 y.3 = 10 + 14 + 15 = 39 y.3 y.. = 11 + 12 + · · · + 14 = 153

= 12 + 11 + 12 = 35 = 15 + 15 + 14 = 44 = 12 + 11 + 15 = 38 = 12 + 12 + 14 = 38

Jumlah kuadratnya dapat dicari sebagai berikut

JKT

= (112 + 122 + · · · + 142 ) −

JKB

=

1532 = 1985 − 1950.75 = 34.25 12

1 1532 5853 (382 + 382 + 392 + 382 ) − = − 1950.75 = 0.25 3 12 3

F0

6.3. RANCANGAN BUJUR SANGKAR LATIN

49

Selanjutnya dihitung total level perlakuan yang disesuaikan

Q3

Q4

1 = y2. − (n21 y.1 + n22 y.2 + n23 y.3 + n24 y.4 ) 3 1 = 35 − (38 + 38 + 38) = −3 3

ay a

Q2

1 = y1. − (n11 y.1 + n12 y.2 + n13 y.3 + n14 y.4 ) 3 1 16 = 33 − (38 + 38 + 39) = − 3 3

1 = y3. − (n31 y.1 + n32 y.2 + n33 y.3 + n34 y.4 ) 3 1 8 = 41 − (38 + 39 + 38) = 3 3

Pa la ng ka r

Q1

1 = y4. − (n41 y.1 + n42 y.2 + n43 y.3 + n44 y.4 ) 3 17 1 = 44 − (38 + 38 + 39) = 3 3

Dengan demikian jumlah kuadrat perlakuan yang disesuaikan adalah 2

JKP S

=

k X 2 Q λa i=1 i

3 = 2·4

2 2 2 ! 16 8 17 3 − + (−3) + + 3 3 3

3 (76.67) = 28.75 8 Jumlah kuadrak kesalahan diperoleh dengan pengurangan

UM

=

JKE

= JKT − JKP S − JKB = 34.25 − 28.75 − 2.75 = 5.25.

Karena nilai F0 = 9.13 > F0.05;3,5 = 5.41 maka kita menolak hipotesis nol, dengan kata lain ada perbedaan pengaruh jenis traktor terhadap kecepatan menyelesaikan pekerjaan.

6.3

Rancangan Bujur Sangkar Latin

Terdapat banyak percobaan dimana lebih dari satu faktor pengganggu hadir. Misalnya dalam pengujian beberapa dosis herbisida, ada dua faktor yang perlu

50


Table 6.8: Tabel Analisis Varian Jumlah Kuadrat

Derajat bebas

Kuadrat Tengah

Blok

0.25

3

-

Traktor

28.75

3

9.583

Error

5.25

5

1.050

Total

34.25

11

F0

9.13

ay a

Sumber Variasi

Pa la ng ka r

dipertimbangkan, yaitu batch dari herbisida dan operator yang akan mengaplikasikannya. Agar kita bisa mengamati dengan jelas efek dosis, maka efek batch dan operator harus dipisahkan, yaitu dengan memandang kedua faktor pengganggu tersebut sebagai blok. Jika kita misalkan ada 4 dosis, 4 operator dan 4 batch, maka kita memerlukan sebanyak 64 satuan percobaan untuk melaksanakan rancangan blok ini. Rancangan bujur sangkar latin dapat digunakan untuk mengurangi banyaknya satuan percobaan. Selain untuk mengurangi banyaknya satuan percobaan, rancangan ini dimaksudkan untuk mengeliminasi sumber variasi dari kedua faktor mengganggu dengan menggunakan dua blok. Rancangan ini terdiri dari p baris dan p kolom dimana baris dan kolom ini merupakan blok. Perlakuan dalam rancangan ini ditulis dengan abjad A, B, C dan sebagainya yang disusun dalam p baris dan p kolom dimana perlakuan antar blok baris adalah sama dan perlakuan antar blok kolom adalah sama. Untuk memberikan gambaran yang lebih nyata, misalkan batch dan operator diperlakukan sebagai blok, dan keempat level perlakuan berturut-turut diberi notasi A, B, C dan D, maka susunan rancangan bujur sangkar latin adalah

UM

Operator Batch

1

2

3

4

1

C

D

B

A

2

D

A

C

B

3

A

B

D

C

4

B

C

A

D

Perhatikan bahwa setiap kolom memuat tepat satu level perlakuan, dan demikian pula setiap baris. Dari tabel di atas, kita bisa membaca misalnya operator 1 batch 2 adalah perlakuan A. Model efek tetap untuk rancangan bujur sangkar latin adalah


51

yijk = µ + αi + τj + βk + ijk (6.10) i = 1, 2, · · · , p,

j = 1, 2, · · · , p,

k = 1, 2, · · · , p.

dimana yijk adalah observasi baris i kolom k perlakuan ke j, µ adalah rata-rata umum, αi efek baris i, βk adalah efek kolom k, τj adalah efek perlakuan ke j dan ijk adalah kesalahan random.

(6.11)

Pa la ng ka r

JKT = JKBaris + JKKolom + JKP + JKE

ay a

Untuk melakukan analisis, kita harus mempartisi sumber variasi dari seluruh N = p2 observasi menjadi komponen baris, kolom, perlakuan dan kesalahan, yaitu

Dengan asumsi kesalahan berdistribusi normal dengan mean 0 dan varian σ 2 , maka pengujian perbedaan mean perlakuan dapat didasarkan pada statistik penguji F0 =

KTP KTE

yang berdistribusi F dengan derajad bebas pembilang p − 1 dan derajat bebas penyebut (p − 2)(p − 1). Hal serupa juga digunakan untukl pengujian efek baris dan kolom. Ringkasan analisisnya kita sajikan dalam tabel berikut Table 6.9: Tabel Analisis Varian Rancangan Bujur Sangkar Latin Jumlah Kuadrat

Derajat bebas

Kuadrat Tengah

F0

JKP

(a − 1)

JKP a−1

KTP KTE

Baris

JKBaris

p−1

JKBaris p−1

KTBaris KTE

Kolom

JKKolom

p−1

JKKolom p−1

KTKolom KTE

Kesalahan (error)

JKE

(p − 2)(p − 1)

JKE (p − 2)(p − 1)

Total

JKT

p2 − 1

UM

Sumber Variasi Perlakuan

Jumlah kuadrat pada tabel analisis varians tersebut dapat dihitung sebagai berikut

52


JKT

=

p X p X p X

2 yijk −

i=1 j=1 k=1

2 y... N

p

JKP

=

1X 2 y2 y.j. − ... p j=1 N

JKBaris

=

y2 1X 2 yi.. − ... p i=1 N

JKKolom

=

y2 1X 2 y..k − ... p N

p

ay a

(6.12)

p

Pa la ng ka r

k=1

JKE

= JKT − JKP − JKBaris − JKKolom

Contoh 13. Misalkan ingin diketahui pengaruh dosis herbisida terhadap kecepatan mematikan gulma. Perlakuan herbisida terdiri dari 4 level dan diambil dari 4 batch dan penyemprotan dilakukan oleh 4 operator. Hasil pengamatan dinyatakan dalam tabel berikut

Table 6.10: Kecepatan mematikan gulma (jam)

UM

Operator

Batch

1

2

3

4

1

C=7

D=14

A=7

B=8

2

B=7

C=18

D=11

A=8

3

A=5

B=10

C=11

D=9

4

D=10

A=10

B=12

C=14

Berdasarkan hasil pengamatan, diperoleh

y... = 164 y1.. = 39

y2.. = 44 y3.. = 35 y4.. = 46

y..1 = 32

y..2 = 52 y..3 = 41 y..4 = 39


53

Dosis

y.j.

A

30

B

37

C

53

D

44

ay a

Jumlah setiap level perlakuan adalah

Jumlah kuadrat setiap komponen adalah

JKBaris =

1 2 4 (39

1642 16

= 153

Pa la ng ka r

JKT = (72 + 142 + · · · + 142 ) − 2

2

1642 16

2

+ 44 + 35 + 46 ) −

JKKolom = 14 (322 + 522 + 412 + 392 ) − JKP =

1 2 4 (30

2

2

2

+ 37 + 53 + 44 ) −

164 16

2

164 16

= 51.5

2

= 18.5

= 72.5

JKE = JKT − JKBaris − JKKolom − JKP = 153 − 51.5 − 18.5 − 72.5 = 10.5


Sumber Variasi

Derajat bebas

Jumlah Kuadrat

Kuadrat Tengah

F0

3

18.5

6.167

3.52

3

51.5

17.167

9.81

Perlakuan

3

72.5

24.167

13.81

Error

6

10.5

1.750

Total

15

153.0

Baris

UM

Kolom

54


Nilai F0.05;3,6 adalah 4.76, yang berarti bahwa pada tingkat signifikansi 5 persen ada pengaruh kolom, ada pengaruh perlakuan, dan tidak ada pengaruh baris.

6.4

Rancangan Blok Lengkap yang Diperluas

ay a

Jika banyaknya observasi n pada tiap perlakuan dalam setiap blok lebih dari satu, maka kita bisa membentuk rancangan blok yang diperluas. Model ini memungkinkan kita untuk melihat efek interaksi blok perlakuan. Dalam hal ini ada dua model standar, yaitu model blok-perlakuan tanpa interaksi

Pa la ng ka r

yij = µ + τi + βj + ijk

(6.13)

dan model blok-perlakuan dengan interaksi

yij = µ + τi + βj + (τ β)ij + ijk

(6.14)

dengan

i = 1, 2, · · · , a,

j = 1, 2, · · · , b,

k = 1, 2, · · · , n.

Pada kedua model, ijk diasumsikan berdistribusi normal standar dengan mean 0 dan varians σ 2 dan mutuali independen. Analisis varian untuk kedua model diberikan pada tabel berikut

UM

Table 6.12: Analisis varian model blok-perlakuak tanpa interaksi Sumber Variasi

Jumlah Kuadrat

Derajat bebas

Kuadrat Tengah

Perlakuan

JKP

a−1

KTP =

JKP a−1

KTP KTE

Blok

JKB

b−1

KTB =

JKB b−a

KTB KTE

Kesalahan

JKE

abn − b − n − 1

Total

JKT

abn − 1

KTE =

F0

JKE abn − b − n − 1

Untuk perhitungan manual, jumlah kudrat rancangan blok diperluas tanpa interaksi adalah

6.4. RANCANGAN BLOK LENGKAP YANG DIPERLUAS

JKT

=

p X p X n X

2 yijk −

i=1 j=1 k=1

55

2 y... N

b

JKB

1 X 2 y2 = y.j. − ... an i=1 N

(6.15)

a

=

JKE

= JKT − JKP − JKB

ay a

1 X 2 y2 yi.. − ... bn i=1 N

JKP

Sumber Variasi Perlakuan Blok Interaksi Kesalahan Total

Pa la ng ka r

Table 6.13: Analisis varian model blok-perlakuan dengan interaksi Jumlah Kuadrat

Derajat bebas

Kuadrat Tengah

JKP

a−1

KTP =

JKP a−1

KTP KTE

JKB

b−1

KTB =

JKB b−a

KTB KTE

(a − 1)(b − 1)

JKP B

JKE

abn − b − n − 1

JKT

abn − 1

KTP B =

KTE =

JKP B (a − 1)(b − 1)

F0

KTP B KTE

JKE abn − b − n − 1

UM

Jumlah kudrat rancangan blok diperluas dengan interaksi untuk JKP , JKB dan JKT dihitung dengan rumus yang sama dengan rancangan tanpa interaksi, sedangkan jumlah kuadrat interaksi perlakuan-blok dihitung dengan a

JKP B =

b

a

1 XX 2 1 X 2 1 X y2 2 yij. − y.i. − j = 1b y.j. + ... n i=1 j=1 bn i=1 an N

dan jumlah kuadrat error dihitung dengan pengurangan JKE = JKT − JKP − JKB − JKP B Contoh 14. Pengukuran lama hidup beberapa merek bola lampu dilakukan dengan 4 merek, 2 macam daya dan 5 observasi setiap merek dalam setiap macam daya. Hasil pengukuran adalah sebagai berikut Untuk mengetahui adanya pengaruh mereak atau blok atau interaksi merk dan blok, dilakukan analisis varian. Hasil analisis varian untuk kedua rancangan disajikan pada tabel-tabel berikut.

56


Table 6.14: Lama hidup bola lampu (jam) Merk 1

2

3

4

60 watt

750

600

755

800

760

650

755

780

780

700

740

680

750

710

ay a

Blok (Daya)

750

700

720

680

760

Pa la ng ka r

710

100 watt

700

600

710

750

690

620

700

710

675

680

685

700

680

680

690

720

610

650

600

700

Table 6.15: Analisis varian model blok-perlakuan tanpa interaksi Sumber Variasi

Derajat bebas

Jumlah Kuadrat

Kuadrat Tengah

F0

1

24010

24010

20.08

Merek

3

35385

11795

9.87

Error

35

41845

1196

Total

39

101240

UM

Daya

Table 6.16: Analisis varian model blok-perlakuan dengan interaksi

Sumber Variasi

Jumlah Kuadrat

Derajat bebas

Kuadrat Tengah

F0

Daya

1

24010

24010

20.95

Merek

3

35385

11795

10.29

Interaksi

3

5175

1725

1.51

Error

32

36670

1146

Total

39

101240

Pa la ng ka r

Rancangan Faktorial

ay a

Bab 7

UM

Suatu eksperimen dapat mencakup dua faktor. Dalam eksperimen demikian setiap satuan percobaan dikenai satu level dari faktor pertama dan satu level dari faktor kedua, atau dikatakan bahwa setiap satuan percobaan dikenai kombinasi level kedua faktor. Eksperimen faktorial merupakan eksperimen dimana dalam setiap ulangan semua kombinasi yang mungkin dari semua level faktor dikenakan. Sebagain contoh, dalam eksperimen dua faktor yang terdiri dari a level faktor A dan b level faktor B, maka setiap ulangan memuat ab kombinasi perlakuan. Efek suatu faktor, dinamakan pula efek utama, adalah perubahan respon sebagai akibat perubahan level faktor tersebut. Selain kedua faktor utama, respon juga bisa dipengaruhi oleh hadirnya kedua faktor secara bersama-sama. Pengaruh kedua faktor secara bersama-sama dinamakan pengaruh interaksi.

Untuk memberikan gambaran tentang eksperimen faktorial, kita ambil contoh eksperimen faktorial pengaruh pemberian pupuk N dan P terhadap produksi suatu jenis tanaman. Misalkan faktor N terdiri dari tiga level N 1, N 2 dan N 3, faktor P terdiri dari dua level P 1 dan P 2. Ada delapan pengaruh yang mengkin terjadi, yaitu (a) ketiga faktor N , P dan interaksi tidak berpengaruh, (b) faktor N tidak berpengaruh, faktor P berpengaruh dan interaksi tidak berpengaruh, (c) faktor N berpengaruh, faktor P dan interaksi tidak berpengaruh, (d) faktor N dan P berpengaruh, interaksi tidak berpengaruh, (e) faktor N tidak berpengaruh, faktor P dan interaksi berpengaruh, (f) faktor N berpengaruh, faktor P tidak berpengaruh dan interaksi berpengaruh, (g) faktor N dan P tidak berpengaruh dan interaksi berpengaruh, dan (h) ketiga faktor A, B dan interaksi berpengaruh. Kedelapan kemungkinan ini digambarkan pada grafik berikut. 57

58

BAB 7. RANCANGAN FAKTORIAL

Mean

Mean

P2 P1

P1

N1

N2

N1

N1

Mean

N2

N1

(b)

Pa la ng ka r

(a)

ay a

P2

Mean

P1 P2

N1

N2

N1

N1

N2

N1

(d)

UM

(c)

P2 P1

Mean

Mean

P1 P1 P2

P2 N1

N2

N1 (e)

N1

N2

N1 (f )

7.1. MODEL DAN HIPOTESIS RANCANGAN DUA FAKTOR Mean

P2

P1 P2

N1

N2

P1

N1

N1

N2

(g)

N1 (h)

ay a

Mean

59

Figure 7.1: Kemungkinan pengaruh faktor utama dan interaksi

Model dan Hipotesis Rancangan Dua Faktor

Pa la ng ka r

7.1

Misalkan suatu eksperimen faktorial terdiri dari faktor A dan faktor B. Faktor A terdiri dari a level dan faktor B terdiri dari b level. Dengan demikian setiap ulangan memiliki ab kombinasi perlakuan. Misalkan banyaknya ulangan adalah n. Observasi eksperimen ini dapat dinyatakan dalam tabel berikut.

1 Faktor A

2

Faktor 2 y121 , y122 , · · · , y12n y221 , y222 , · · · , y22n .. .

ya11 , ya12 , · · · , ya1n

ya21 , ya22 , · · · , ya2n

UM

.. . a

1 y111 ,y112 , · · · ,y11n y211 , y212 , · · · , y21n .. .

B ··· ··· ··· .. . ···

b y1b1 , y1b2 , · · · , y1bn y2b1 , y2b2 , · · · , y2bn .. . yab1 , yab2 , · · · , yabn

Nilai observasi pada eksperimen dua faktor dapat dinyatakan dengan yijk = µ + αi + βj + (αβ)ij + ijk dengan i = 1, 2, · · · , a j = 1, 2, · · · , b k = 1, 2, · · · , n

(7.1)

Model 7.1 dinamakan model 1 atau model efek tetap. Pada model ini, yijk adalah nilai observasi faktor A level i faktor B level j dan ulangan ke k, µ adalah efek mean keseluruhan, αi adalah efek level ke i faktor A, βj adalah efek level ke j faktor B, (αβ)ij adalah efek interaksi antara αi dan βj , dan ijk adalah komponen galat (kesalahan random). Komponen galat ijk diasumsikan berdistribusi normal independen dengan mean 0 dan varian σ 2 . Model 7.1 dapat ditafsirkan bahwa nilai observasi dipengaruhi oleh mean umum, faktor A,

60


faktor B, faktor interaksi dan kesalahan random. Kedua faktor diasumsikan tetap, dan efek perlakuan didefinisikanPsebagai deviasi P (penyimpangan) terhadap mean keseluruhan, dengan demikian αi = 0 dan βj = P 0. Demikian pula efek interaaksi adalah tetap, sehingga berlaku P (αβ) = ij i j (αβ)ij = 0. Karena ada ab kombinasi perlakuan dan n ulangan, maka ada abn observasi.

: α1 = α2 = · · · = αa = 0 : setidaknya satu αi 6= 0

Pa la ng ka r

H0 H1

ay a

Pada eksprimen dua faktor ini, efek faktor A dinamakan pula efek baris, dan efek faktor B dinamakan pula efek kolom. Hipotesis tentang efek baris dapat dinyatakan sebagai berikut. Untuk mengetahui ada tidaknya efek faktor A, dapat dibuat hipotesis nol ”tidak ada perbedaan antar baris ” dan hipotesis alternatif ”paling sedikit ada satu baris yang berbeda dengan baris lainnya”, yaitu (7.2)

Dengan cara serupa, hipotesis tentang efek kolom adalah H0 H1

: β1 = β2 = · · · = βb = 0 : setidaknya satu βj 6= 0

(7.3)

dan hipotesis tentang efek interaksi adalah H0 H1

(7.4)

Analisis

UM

7.1.1

: (αβ)ij = 0 untuk semua i, j : setidaknya satu (αβ)ij 6= 0

Untuk menguji hipotesis di atas bisa dilakukan dengan analisis varian dua faktor. Untuk mempermudah penulisan, kita akan menggunakan notasi berikut yi.. y.j. yij.

= = =

total semua observasi level ke i faktor A (total baris i) total semua observasi level ke j faktor B (total kolom j) total semua observasi level ke i faktor A level ke j faktor B (total baris i kolom j) y... = total semua observasi (grand total) y¯i.. = rata-rata semua observasi level ke i faktor A (rata-rata baris i) y¯.j. = rata-rata semua observasi level ke j faktor B (rata-rata kolom j) y¯ij. = rata-ratal semua observasi level ke i faktor A level ke j faktor B (rata-rata baris i kolom j) y¯... = rata-ratal semua observasi Dengan demikian dengan menggunakan notasi di atas, kita dapat menuliskan

7.1. MODEL DAN HIPOTESIS RANCANGAN DUA FAKTOR

61

sebagai berikut yi.. =

Pb

Pn

yijk

y.j. =

Pa

Pn

yijk

yij. =

Pn

y... =

Pa

yijk Pb Pn

j=1

k=1

i=1

k=1

yi.. bn y.j. y¯.j. = an yij. y¯ij. = n yi.. y¯... = abn

k=1

i=1

j=1

i = 1, 2, · · · , a

y¯i.. =

k=1

yijk

j = 1, 2, · · · , b i = 1, 2, · · · , a

j = 1, 2, · · · , b

i=1

Pb

j=1

Pn

k=1

2

(yijk − y¯... )

=

Pb yi.. − y¯... )2 + an j=1 (¯ y.j. − y¯... )2 i=1 (¯ Pa Pb +n i=1 j=1 (¯ yij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... )2 Pa Pb Pn + i=1 j=1 k=1 (yijk − y¯ij. )2 bn

Pa

Pa la ng ka r

Pa

ay a

Jumlah kuadrat total dapat dinyatakan sebagai berikut

(7.5)

Persamaan 7.5 dapat dituliskan dengan

JKT = JKA + JKB + JKAB + JKE dimana JKT JKA JKB JKAB

= =

Pa

Pb Pn i=1 j=1 k=1 (yijk Pa bn i=1 (¯ yi.. − y¯... )2 Pb an j=1 (¯ y.j. − y¯... )2

2

− y¯... )

Pa Pb = n i=1 j=1 (¯ yij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯... )2 Pa Pb Pn = ¯ij. )2 i=1 j=1 k=1 (yijk − y

UM

JKE

=

(7.6)

Interpretasi dari 7.6 adalah jumlah kuadrat total terdiri dari komponen jumlah kuadrat faktor A, jumlah kuadrat faktor B, jumlah kuadrat interaksi dan jumlah kuadrat kesalahan. Berdasarkan suku terakhir, maka setidaknya harus ada 2 ulangan untuk memperoleh galat. Banyaknya derajat bebas untuk setiap komponen jumlah kuadrat adalah Efek

Derajat Bebas

A

a−1

B

b−1

Interaksi AB

(a − 1)(b − 1)

Galat (error)

ab(n − 1)

Total

abn − 1

62


Jumlah kuadrat dibagi derajat bebasnya adalah kuadrat tengah (mean square). Dapat ditunjukan bahwa nilai harapan dari kuadrat tengah adalah sebagai berikut. P 2 bn a 2 A i=1 αi = σ + E(KTA ) = E JK a−1 a−1 E(KTB ) = E

JKB b−1

an

= σ2 +

Pb

j=1

βj2

b−1

(7.7)

E(JKE ) = E

JKAB (a−1)(b−1)

JKE ab(n−1)

2

=σ +

= σ2

n

Pb

i=1

Pb

2 j=1 (αβ)ij

(a−1)(b−1)

ay a

E(KTAB ) = E

Pa la ng ka r

Jika hipotesis tidak ada efek faktor A, tidak ada efek faktor B dan tidak ada efek interaksi AB adalah benar, maka nilai harapan KTA , KTB , KTAB dan KTE adalah sama dengan σ 2 . Karena itu jika ada perbedaan efek antar baris pada faktor A misalnya, maka KTA akan lebih besar dari KTE . Demikian pula jika ada perbdaan efek antar kolom pada faktor B maka KTB lebih besar dari KTE , dan jika ada perbedaan antar interaksi maka KTAB lebih besar dari KTE . Dengan demikian jika rasio antara KTA dan KTE adalah cukup besar, berarti observasi tidak mendukung hipotesis nol.

UM

Jika model 7.1 layak dan suku kesalahan random (galat) ijk berdistribusi normal standar dengan varian konstan σ 2 , maka setiap rasio JKA /JKE , JKB /JKE dan JKAB /JKE berdistribusi F dengan derajat bebas berturut-turut a−1, b−1 dan (a − 1)(b − 1). Efek

Kuadrat Tengah (Mean square)

A

JKA /(a − 1)

B

JKB /(b − 1)

Interaksi AB

JKAB /((a − 1)(b − 1))

Galat (error)

JKE /(ab(n − 1))

Prosedur untuk menguji hipotesis di atas biasanya diringkas dalam bentuk tabel analisis varian (ragam) seperti pada tabel 7.1.


63

Table 7.1: Tabel Analisis Varian Rancangan Random Lengkap Dua Faktor Sumber Variasi

Jumlah Kuadrat

Derajat bebas

A

JKA

(a − 1)

KTA =

JKA a−1

KTA KTE

B

JKB

b−1

KTB =

JKB b−1

KTB KTE

Interaksi

JKAB

(a − 1)(b − 1)

Kesalahan (error)

JKE

ab(n − 1)

Total

JKT

abn − 1

Kuadrat Tengah

KTAB KTE

JKE ab(n−1)

Pa la ng ka r

KTE =

JKAB (a−1)(b−1)

ay a

KTAB =

F0

Untuk mencari jumlah kuadrat dapat dihitung dengan persamaan-persamaan berikut. JKT

=

JKA

=

JKB

=

b X n a X X

2 yijk −

i=1 j=1 k=1 a y2 1 X 2 yi.. − ... bn i=1 abn b X 1 y2 2 y.j. − ... an j=1 abn

2 y... abn

Untuk menghitung jumlah kuadrat interaksi, pertama dihitung jumlah kuadrat sub total, yaitu jumlah kuadrat antara semua sel ab

UM

a

JKsubtotal

b

1 XX 2 y2 = yij. − ... n i=1 j=1 abn

Jumlah kuadrat interaksi dapat dihitung dengan JKAB = JKsubtotal − JKA − JKB

Jumlah kuadrat kesalahan diperoleh dengan pengurangan JKE = JKT − JKA − JKB − JKAB

Contoh 15. Tabel berikut menunjukan observasi tinggi tanaman tomat percobaan dua faktor dengan 4 ulangan, faktor pertama adalah pupuk N yang terdiri dari 3 level dan faktor kedua adalah pupuk P yang terdiri dari 3 level.

64


Table 7.2: Data (dalam cm) tinggi tanaman tomat

N1

y1j. y¯1j. N2

Pupuk P P2 25 25 26 27 103 25.75 30 29 26 27 112 28.0 36 34 33 33 136 34.4 351

P3 27 28 28 27 110 27.5 27 25 24 25 101 25.3 32 34 35 34 135 33.8 346

yi..

311

334

Pa la ng ka r

y2j. y¯2j. N3

P1 24 24 25 25 98 24.5 31 30 30 30 121 30.3 27 27 28 30 112 28.0 331

ay a

Pupuk N

y3j. y¯3j. y.j.

383

y... =1028

Analisis varian dimulai dengan menghitung jumlah kuadrat, (1028)2 3·3·4 = 422.8889 2 (1028) 3832 ) − 3·3·4 = 225.3889 2 3462 ) − (1028) 3·3·4 = 18.0556

(242 + 252 + · · · + 342 ) −

JKA =

1 2 3·4 (311

+ 3342 +

JKB =

1 2 3·4 (331

+ 3512 +

JKAB =

1 2 4 (98 + 2 − (1028) 3·3·4

1032 + · · · + 1352 )

UM

JKT =

JKE =

− 225.3889 − 18.0556 = 142.4444

422.8889 − 225.3889 − 18.0556 − 142.4444 = 37.0000

Berdasarkan tabel analisis varian, kedua faktor utama dan faktor interaksi berpengaruh pada tingkat signifikansi 5 persen, karena nilai F0 > F0.05,2,27 = 3, 35. Kesimpulan ini juga bisa dibaca dari nilai p yang lebih besar dari 0.05.

7.1.2

Perbandingan Ganda

Jika analisis varian mengindikasikan ada perbedaan suatu faktor utama (antar baris atau kolom), maka biasanya peneliti ingin membandingkan suatu mean pada satu baris atau satu kolom. Pengujian perbedaan mean tentu harus jelas,


65

Table 7.3: Tabel Analisis Varian Jumlah Kuadrat

Kuadrat Tengah

F0

p

Pupuk N

2

225.389

112.694

82.24

0.000

Pupuk P

2

18.056

9.028

6.59

0.005

Pupuk N*Pupuk P

4

142.444

35.611

25.99

0.000

Error

27

37.000

1.370

Total

35

422.889

ay a

Derajat bebas

Pa la ng ka r

Sumber Variasi

sebagai misal membandingkan mean level 1 faktor A dengan mean level 2 faktor B tentu tidak memberikan makna yang jelas. Demikian pula jika interaksi menunjukan ada perbedaan, maka biasanya peneliti ingin mengetahui kombinasi mana yang berbeda. Contoh 16. Berdasarkan hasil analisis varian, terdapat pengaruh interaksi dan pengaruh faktor utama pupuk N pada tingkat signifikansi 5 persen. Untuk mengetahui perbedaan mean level pupuk N maka dilakukan pada level tertentu perlakuan pupuk P. Misalkan digunakan metode Tukey untuk menguji perbedaan antar mean perlakuan. Karena interaksi menunjukan perbedaan, maka kita bisa menguji pengaruh pupuk N pada satu level pupuk P, misalnya pada level level 2 faktor pupuk P. Mean setiap level Pupuk N pada level P2 faktor P setelah diurutkan adalah

UM

level N1 : y¯12. = 14 (25 + 25 + 26 + 27) = 25.75

level N2 : y¯32. = 14 (30 + 29 + 26 + 27) = 28.00 level N3 : y¯22. = 14 (36 + 34 + 33 + 33) = 31.50

Dengan derajat bebas error 27 dan 3 level N, dari tabel q diperoleh q0.05 (3, 27) = 3.50. Karena KTE = 1.370, dan pada setiap level ada 4 ulangan, maka r r KTE 1.370 T0.05 = q0.05 (3, 27) = 3.50 = 1.024 4 4 Perbandingan pasangan mean pada level P2 menghasilkan N 3 − N 1 = 31.50 − 25.75 = 5.75 > 1.024 N 3 − N 2 = 31.50 − 28 = 3.5 > 1.024 N 2 − N 1 = 28 − 25.75 = 2.25 > 1.024

66


Pa la ng ka r

ay a

Figure 7.2: Plot Interaksi

Hasil ini menunjukan bahwa pada level P2 pupuk P ada perbedaan antara N3 dengan N1, antara N3 dengan N2, dan antara N1 dengan N2 pada tingkat signifikansi 5 persen. Pembandingan mean perlakuan pupuk N pada level P lainnya dilakukan dengan cara serupa. Demikian pula perbandingan mean Pupuk P pada level tertentu pupuk N juga dapat dilakukan dengan cara serupa.

UM

Selanjutnya karena hasil analisis varian mengindikasikan adanya perbedaan pada interaksi, maka wajar jika kita melakukan pengujian perbedaan mean interaksi. Mean untuk setiap kombinasi perlakuan telah dihitung dan disajikan pada tabel 7.2. Dengan derajat bebas error 27, banyaknya kombinasi perlakuan 12 dari tabel q diperoleh q0.05 (12, 27) ≈ 5.05. Karena KTE = 1.370, dan ada 4 ulangan, maka r T0.05 = q0.05 (12, 27)

r KTE 1.370 = 3.50 = 1.024 4 4

Ada 12 mean yang akan dibandingkan, karena itu akan ada 9·8 2 = 36 perbandingan pasangan mean. Untuk menghemat perhitungan, mean kombinasi perlakuan terlebih dahulu diurutkan dari nilai terbesar hingga nilai terkecil. Hasil pembandingan ini disajikan pada Tabel 7.4. Pada tabel tersebut, dua mean yang tidak memiliki abjad yang sama, berarti kedua mean berbeda pada tingkat signifikansi 5 persen.


67

Pupuk P

Kombinasi

Mean

3

2

N3P2

34.0A

3

3

N3P3

33.8A

2

1

N2P1

30.3B

3

1

N3P1

28.0BC

2

2

N2P2

28.0BC

1

3

N1P3

27.5BC

1

2

N1P2

25.75CD

2

3

N2P3

25.3CD

Pa la ng ka r

Pupuk N

1

7.1.3

ay a

Table 7.4: Perbandingan ganda antar mean interaksi

1

N1P1

24.5D

Uji Kelayakan Model

Sebelum kita mengambil kesimpulan dari analisis varian, kelayakan asumsi perlu diperiksa. Sebagaimana pada rancangan sebelumnya, alat utama untuk memeriksa asumsi model adalah residual. Untuk rancangan dua faktor, residual diberikan oleh eijk = yijk − yîjk

(7.8)

UM

Karena yîjk = y¯ij. , maka residual dapat dicari dengan eijk = yijk − y¯ij.

(7.9)

yakni residual ijk merupakan selisih antara nilai observasi ijk dengan mean perkaluan ke ij. Untuk eksperimen di atas, residual disajikan pada tabel 7.5. Sebagai contoh, untuk memeriksa normalitas dari residu, kita bisa membuat plot residu yang dibakukan. Sebagaimana ditunjukan pada gambar 7.3, semua residu yang dibakukan berada dalam interal -3 sampai dengan 3. Oleh karena itu, asumsi ei j berdistribusi normal standar pada hasil observasi dipenuhi. Dengan metode Levene untuk kesamaan varian, diperoleh nilai statistik penguji 1.02 dengan peluan 0.446, yang berarti tidak terdapat perbedaan varian antar perlakuan. Hasil ini juga bisa dilihat pada plot residual versus nilai prediksi yang menunjukan tidak ada pola tertentu dari plot residual tersebut (gambar 7.4.

68


N1

2 1 -2 -1

1.75 -0.25 -1.25 -0.25

Pa la ng ka r

N2

0.75 -0.25 -0.25 -0.25

P3 -0.5 0.5 0.5 -0.5

ay a

Pupuk N

Table 7.5: Residual Pupuk P P1 P2 -0.5 -0.75 -0.5 -0.75 0.5 0.25 0.5 1.25

N3

-2.5 -2.5 -1.5 6.5

1.25 2.25 -1.75 -1.75

-1.75 0.25 1.25 0.25

UM

Figure 7.3: Plot residu yang dibakukan

7.2. RANCANGAN FAKTORIAL UMUM

69

7.2

Pa la ng ka r

ay a

Figure 7.4: Plot residu vs nilai prediksi

Rancangan Faktorial Umum

UM

Pembahasan tentang rancangan faktorial dua faktor dapat diperluas menjadi lebih dari dua faktor. Dalam hal ini faktor A terdiri dari a level, faktor B terdiri dari b level, faktor C terdiri dari c level dan seterusnya. Jika ada n ulangan, maka akan ada abc · · · n obsservasi. Jika semua faktor adalah tetap, maka kita dapat merumuskan tentang efek utama dan efek interaksi. Uji statistik untuk efek utama dan efek interaksi dapat dilakukan dengan membagi kuadrat tengahnya dengan kuadrat tengah kesalahan. Banyaknya derajat bebas setiap fakltor utama adalah banyaknya level dikurangi satu, dan banyaknya derajat bebas interaksi adalah hasil kali derajat bebas faktor yang menjadi komponen interaksi. Untuk memberikan gambaran tentang racangan faktorial umum, kita berikan contoh rancangan faktorial dengan tiga faktor. Model linear untuk rancangan faktorial tiga faktor adalah yijkl = µ + αi + βj + γk + (αβ)ij + (αγ)ik + (βγ)jk + (αβγ)ijk + ijkl dengan i = 1, 2, · · · , a j = 1, 2, · · · , b k = 1, 2, · · · , c l = 1, 2, · · · , n (7.10)

70


Dengan asumsi A, B, dan C tetap, tabel analisis varian rancangan ini dapat dinyatakan sebagai berikut. Table 7.6: Tabel Analisis Varian Rancangan Faktorial Tiga Faktor Jumlah Kuadrat

Derajat bebas

Kuadrat Tengah

(Source of variation)

(Sum of square)

(Degress of freedom)

(Mean square)

A

JKA

(a − 1)

B

JKB

b−1

C

JKC

AB

JKAB

(a − 1)(b − 1)

AC

JKAC

(a − 1)(c − 1)

BC

JKBC

(b − 1)(c − 1)

ABC

JKABC

(a − 1)(b − 1)(c − 1)

Kesalahan (error)

JKE

abc(n − 1)

JKA a−1 JKB b−1 JKC c−1 JKAB (a−1)(b−1) JKAC (a−1)(c−1) JKBC (b−1)(c−1) JKABC (a−1)(b−1)(c−1) JKE abc(n−1)

Total

JKT

abcn − 1

ay a

Sumber Variasi

Pa la ng ka r

c−1

Untuk penghitungan secara manual jumlah kudrat dapat digunakan persamaanpersamaan berikut. Jumlah kuadrat total dapat dihitung dengan JKT =

b X l X n a X X i=1 j=1 k=1 l=1

yijkl −

2 y.... abcn

Jumlah kuadrat efek utama A, B dan C dapat dihitung dengan a

UM

y2 1 X 2 yi... − .... JKA = bcn i=1 abcn b

JKB =

1 X 2 y2 y.j.. − .... acn j=1 abcn

JKC =

1 X 2 y2 y..k. − .... abn abcn

c

k=1

Untuk menghitung jumlah kuadrat interaksi dua faktor AB, AC dan BC dapat digunakan a

JKAB =

b

1 XX 2 y2 yij.. − .... − JKA − JKB cn i=1 j=1 abcn

F0 KTA KTE KTB KTE KTC KTE KTAB KTE KTAC KTE KTBC KTE KTABC KTE

7.2. RANCANGAN FAKTORIAL UMUM

a

JKAC =

71

c

1 XX 2 y2 yi.k. − .... − JKA − JKC bn i=1 abcn k=1

b

JKBC =

c

1 XX 2 y2 y.jk. − .... − JKB − JKC an j=1 abcn k=1

Jumlah kuadrat interaksi tiga faktor ABC dapat dihitung dengan

=

1 n

Pa

Pb

Pc

y2

2 .... yijk. − abcn −JKA − JKB − JKC − JKAB − JKAC − JKBC i=1

j=1

k=1

ay a

JKABC

Pa la ng ka r

Jumlah kuadrat error dapat diperoleh dengan cara mengurangan jumlah kuadrat total dengan jumlah dari jumlah kuadrat efek utama dan jumlah kuadrat interaksi, JKE = JKT − JKA − JKB − JKC − JKAB − JKAC − JKBC − JKABC Contoh 17. Suatu percobaan bertujuan untuk mengetahui pengaruh pupuk P , varietas dan jarak tanam terhadap produksi padi. Faktor utama terdiri dari 3 level pupuk P , dua varietas padi dan dua jarak tanam. Data pengamatan disajikan pada tabel berikut. Table 7.7: Data pengamatan produksi padi (kwintal/ha) Pupuk P

UM

P1

Varietas 1 Jarak 1 Jarak 2 2.3 2.5 2.1 2.4 2.4 2.3 6.8 7.2 2.3 2.3 2.4 2.4 3.1 2.6 7.8 7.3 3.5 3.7 3.4 3.6 3.1 3.9 10 11.2

y1jk. P2

y2jk. P3 y1jk.

Total pupuk y11.. = 14.0, y21.. = 15.1, y31.. = 21.2,

Varietas 2 Jarak 1 Jarak 2 2.5 2.7 2.3 3 2.6 2.9 7.4 8.6 2.3 3.4 3.1 3.2 3.2 3.1 8.6 9.7 3.5 3.5 3.6 3.8 3.2 3.6 10.3 10.9

× varietas yij.. y12.. = 16 y22.. = 18.3 y32.. = 21.2

yi...

30

33.4

42.4

72


y.11. = 24.6, y.1.. = 50.3, y..1. = 50.9, y... = 105.8

Total pupuk y1.1. = 14.2, y2.1. = 16.4, y3.1. = 20.3,

× Jarak yi.k. y1.2. = 15.8 y2.2. = 17 y3.2. = 22.1

y.12. = 25.7, y.2.. = 55.5 y..2. = 54.9

y.21. = 26.3,

y.22. = 29.2

(105.8)2 36

JKT =

((2.3)2 + (2.5)2 + · · · + (3.6)2 ) −

JKA =

302 +33.42 +42.42 − (105.8) = 6.8422 2.2.3 36 2 2 2 50.3 +55.5 − (105.8) = 0.7511 3.2.3 36 (105.8)2 50.92 +54.92 − 36 = 0.4444 3.2.3

2

= 10.2256

Pa la ng ka r

JKB =

ay a

Jumlah kuadrat dapat dihitung sebagai berikut

JKC = JKAB =

14.02 +162 +15.12 +18.32 +21.22 +21.22 2.3

−

(105.8)2 36

− 6.8422 − 0.7511

−

(105.8)2 36

− 6.8422 − 0.4444

= 0.4356

JKAC =

14.22 +15.82 +16.42 +172 +20.32 +22.12 2.3

= 0.0689

JKBC = JKABC =

24.62 +25.72 +26.32 +29.22 − (105.8) 3.3 36 2 2 2 (105.8)2 6.8 +7.2 +···+10.9 − 3 36

2

− 0.7511 − 0.4444 = 0.0900

−6.8422 − 0.7511 − 0.4444 − 0.4356 − 0.0689 − 0.0900 = 0.2067

JKE =

10.2256 − 6.8422 − 0.7511 − 0.4444 − 0.4356 − 0.0689

UM

−0.0900 − 0.2067 = 1.3867 Analisis varian untuk contoh ini juga telah dilakukan dengan program Minitab dan hasil analisis varian disajikan pada tabel 7.8. Pada kolom terakhir tabel analisis varian 7.8 terdapat p − value, yaitu nilai maksimum kesalahan jenia pertama. Ini berarti jika p − value < 0.05 maka disimpulkan terdapat pengaruh pada tingkat signifikansi 5 persen.

7.3

Rancangan Faktorial Kelompok

Semua pembahasan rancangan faktorial di atas adalah rancangan random lengkap. Dalam kenyataan di lapangan, kadang-kadang kita harus melakukan pengelompokan (blocking). Oleh karena itu kita perlu meninjau rancangan faktorial kelompok. Untuk memudahkan pembahasan, kita tinjau rancangan faktorial dua faktor A dan B dengan n ulangan. Kita ingatkan kembali bahwa model linear untuk rancangan ini adalah

7.3. RANCANGAN FAKTORIAL KELOMPOK

73

Table 7.8: Tabel Analisis Varian Rancangan Faktorial Tiga Faktor Jumlah Kuadrat

Kuadrat Tengah

F0

p− value

Pupuk

2

6.8422

3.4211

59.21

0.000

Varietas

1

0.7511

0.7511

13.00

0.001

Jarak

1

0.4444

0.4444

7.69

0.011

Pupuk*Varietas

2

0.4356

0.2178

3.77

0.038

Pupuk*Jarak

2

0.0689

0.0344

0.60

0.559

Varietas*Jarak

1

0.0900

0.0900

1.56

0.224

2

0.2067

0.1033

1.79

0.189

24

1.3867

0.0578

35

10.2256

Pa la ng ka r

Pupuk*Varietas*Jarak Error Total

ay a

Derajat bebas

Sumber Variasi

yijk = µ + αi + βj + (αβ)ij + ijk dengan i = 1, 2, · · · , a j = 1, 2, · · · , b k = 1, 2, · · · , n

(7.11)

UM

dimana αi , βj dan (αβ)ij masing-masing menyatakan efek faktor A, B dan interaksi AB. Perhatikan bahwa pada percobaan demikian semua abn kombinasi perlakuan dilakukan pada kondisi yang sama. Misalnya karena keadaan tertentu, kita harus melakukan bloking (pengelompokan). Akibatnya randomisasi dilakukan pada setiap blok, dan satu ulangan percobaan faktorial lengkap dilaksanakan dalam setiap blok. Oleh karena itu model linear 7.11 kita ubah dengan menambahkan efek blok menjadi yijk = µ + αi + βj + (αβ)ij + δk + ijk dengan i = 1, 2, · · · , a j = 1, 2, · · · , b k = 1, 2, · · · , n

(7.12)

dimana δk adalah efek blok ke k. Didalam setiap blok, kombinasi perlakuan dijalankan secara random lengkap. Dalam rancangan faktorial blok, diasumsikan tidak ada interaksi antara blok dan perlakuan. Analisis varian untuk rancangan faktorial blok diberikan pada tabel berikut. Jumlah kuadrat dari setiap komponen sumber variasi dihitung sebagai berikut

74


Table 7.9: Tabel Analisis Varian Rancangan Faktorial Kelompok Dua Faktor Jumlah Kuadrat

Derajat bebas

Kuadrat Tengah

(Source of variation)

(Sum of square)

(Degress of freedom)

(Mean square)

JKblok

n−1

A

JKA

(a − 1)

B

JKB

b−1

JKAB

(a − 1)(b − 1)

Kesalahan (error)

JKE

(ab − 1)(n − 1)

JKblok n−1 JKA a−1 JKB b−1 JKAB (a−1)(b−1) JKE (ab−1)(n−1)

Total

JKT

abn − 1

Blok

Pa la ng ka r

Interaksi

ay a

Sumber Variasi

2 y... abn

JKT

=

Pa

JKblok

=

1 ab

JKA

=

JKB

=

JKAB

=

JKE

= JKT − JKA − JKB − JKAB − JKblok

i=1

Pb

j=1

Pn

k=1

yijk −

2 y... 2 k y..k − abn 2 Pa y... 1 2 i=1 yi.. − abn bn 2 Pb y... 1 2 j=1 y.j. − abn an 2 Pa Pb y... 1 2 i=1 j=1 yij − abn n

P

UM

− JKA − JKB )

Contoh 18. Seorang peneliti ingin mengetahui pengaruh jarak tanam dan banyaknya tongkol terhadap produksi jagung. Peneliti menggunakan empat varietas jagung. Karena peneliti hanya tertarik pada jarak tanam dan banyaknya tongkol saja, maka varietas jagung dijadikan sebagai blok. Pada tabel hasil pengamatan telah dihitung total faktor utama. Pada pertitungan jumlah kuadrat berikut, A =jarak tanam, dan B =jumlah tongkol.

y.1. y11. y21. y31.

= 43.9, = 14, 2, = 14.3, = 15.4,

y.2. y12. y22. y32

= 45.5 = 14.8 = 14.8 = 15.9

F0 KTblok JKE KTA KTE KTB KTE KTAB KTE

7.3. RANCANGAN FAKTORIAL KELOMPOK

75

Table 7.10: Data pengamatan hasil tanaman jagung (ton/hektar) Varietas (Blok)

Blok 1

Blok 2

Blok 3

Blok 4 yi..

Banyaknya Tongkol

1

2

1

2

1

2

1

2

J1

3.6

3.9

3.2

3.4

3.6

3.6

3.8

3.9

29

J2

3.7

3.9

3.7

3.5

3.4

3.7

3.5

3.7

29.1

J3

4

4.1

3.7

4.1

3.8

3.9

3.9

3.8

31.3

JKT

=

21.6

22

89.42 3.2.4

(3.62 + 3.92 + · · · + 3.92 ) − 2

22.6

Pa la ng ka r

23.2

y..k

ay a

Jarak Tanam

2

2

2

=

29 +29.1 +31.3 2.4

JKB

=

43.92 +45.52 3.4

JKAB

=

1 2 4 (14.2

JKblok

=

1 2 3.2 (23.2

JKE

=

1.1650 − 0.4225 − 0.1067 − 0.0008 − 0.2450 = 0.3900

−

−

89.42 3.2.4

= 0.4225

= 0.1067

+ 14.82 + · · · + 15.92 ) −

UM

JKA

89.4 3.2.4

= 1.1650

2

2

89.42 3.2.4

2

+ 21.6 + 22 + 22.6 ) −

− 0.4225 − 0.1067 = 0.0008

2 − 89.4 3.2.4

= 0.2450


Sumber Variasi

Derajat bebas

Jumlah Kuadrat

Kuadrat Tengah

F0

p

Jarak Tanam

2

0.4225

0.2113

8.12

0.004

Tongkol

1

0.1067

0.1067

4.10

0.061

Interaksi

2

0.0008

0.0004

0.02

0.984

Blok

3

0.2450

0.0817

3.14

0.057

Error

15

0.39000

0.02600

Total

23

1.1650


UM

Pa la ng ka r

ay a

76

Bab 8

ay a

Rancangan Faktorial 2k

8.1

Pa la ng ka r

Rancangan faktorial merupakan rancangan yang banyak digunakan, karena kebanyakan nilai observasi dipengaruhi oleh banyak faktor. Suatu bentuk khusus dari rancangan faktorial adalah suatu rancangan faktorial dimana setiap faktor memiliki 2 level perlakuan. Rancangan demikian dinamakan rancangan 2k dimana k menyatakan banyaknya faktor. Level perlakuan pada rancangan ini bisa bersifat kunatitatif atau kualitatif. Dalam bagian ini kita akan membahas rancangan 2k dengan asumsi semua faktor adalah tetap dan rancangan merupakan random lengkap.

Rancangan 22

UM

Rancangan 22 adalah rancangan dengan dua faktor dan setiap faktor terdiri dari dua level perlakuan. Untuk sederhananya, misalkan kedua faktor adalah faktor A dan faktor B, kedua level pada setiap faktor kita namakan level tinggi (+) dan level rendah (-) dan banyaknya ulangan adalah n. Notasi (1), a, b, dan ab berturut-turut menyatakan total n ulangan kombinasi perlakuan seperti dinyatakan pada gambar 8.1 Efek faktor A pada level rendah faktor B adalah (a−(1))/n dan efek faktor A pada level tinggi faktor B adalah (ab−b)/n. Rata-rata kedua efek ini dinamakan utama faktor A A=

1 1 [(ab − b) + (a − (1))] = (ab + a − b − (1)) 2n 2n

(8.1)

Efek faktor B pada level rendah faktor A adalah (b−(1))/n dan efek faktor B pada level tinggi faktor A adalah (ab−a)/n. Rata-rata kedua efek ini dinamakan utama faktor B B=

1 1 [(ab − a) + (b − (1))] = (ab + b − a − (1)) 2n 2n 77

(8.2)

BAB 8. RANCANGAN FAKTORIAL 2K

78

tinggi

b

ab

rendah

ay a

Faktor B

a

(1)

tinggi

rendah

Pa la ng ka r

Faktor A

Efek interaksi AB didefinisikan sebagai rata-rata selisih antara efek faktor B pada level tinggi faktor A dengan efek faktor B pada level rendah faktor A, yaitu Efek faktor A pada level rendah faktor B adalah (a−(1))/n dan efek faktor A pada level tinggi faktor B adalah (ab−b)/n. Rata-rata kedua efek ini dinamakan utama faktor A

AB =

1 1 [(ab − b) − (a − (1))] = (ab + (1) − a − b) 2n 2n

(8.3)

UM

Perhatikan bahwa pada tiga persamaan di atas, kita telah menggunakan konstras untuk menyatakan efek A, B dan AB, yaitu KontrasA = ab + a − b − (1) KontrasB = ab + b − a − (1) KontrasAB = ab + (1) − a − b

(8.4)

Berdasarkan pembahasan pada bahwa jumlah kuadrat kontras sama dengan kuadrat kontras dibagi banyaknya observasi dikali jumlah kuadrat koefisien konstras, yaitu P 2 ( ci yi. ) P 2 . JKkontras = n ci P 2 Karena setiap kontras pada 8.4 ci = 4, maka jumlah kuadrat untuk setiap komponen sumber variasi adalah sebagai berikut.

8.1. RANCANGAN 22

79

JKA =

(ab + a − b − (1))2 4n

JKB =

(ab + b − a − (1))2 4n

JKAB =

(8.5)

(ab + (1) − a − b)2 4n

JKT =

2 X 2 X n X

2 yijk −

i=1 i=j k=1

2 y... 4n

ay a

Jumlah kuadrat total dihitung seperti biasa, yaitu (8.6)

Pa la ng ka r

dan jumlah kuadrat kesalahan dihitung dengan pengurangan JKE = JKT − JKA − JKB − JKAB

(8.7)

Table 8.1: Tabel Analisis Varian Rancangan 22 Jumlah Kuadrat

Derajat bebas

Kuadrat Tengah

A

JKA

1

JKA

B

JKB

1

JKB

AB

JKAB

1

JKAB

JKE 4(n − 1

UM

Sumber Variasi

Kesalahan

JKE

4(n − 1)

Total

JKT

4n − 1

F0

KTA KTE KTB KTE KTAB KTE

Contoh 19. Seorang peneliti mengklaim bahwa kecepatan reaksi dipengaruhi oleh konsentrasi katalisator dan temperatur. Untuk membuktikan klaim tersebut dilakukan penelitian dengan kedua faktor dan setiap faktor terdiri dari dua level, yaitu konsentrasi level1 dan level2, temperatur 300 dan 700 . Hasil obesrvasi adalah sebagai berikut. Pada kolom terakhir tabel hasil observasi telah kita hitung total setiap kombinasi perlakuan. Berdasarkan tabel tersebut diperoleh (1) = 183,

a = 185,

b = 182,

ab = 201.


80

Konsentrasi

Kombinasi

Ulangan

A

B

Perlakuan

1

2

3

Total

-

-

A rendah, B rendah

62

61

60

183

-

+

A rendah, B tinggi

57

62

63

182

+

-

A tinggi, B rendah

61

61

63

185

+

+

A tinggi, B tinggi

68

69

64

201

ay a

Temperatur

Jumlah ulangan n = 3, sehingga kuadrat setiap komponen sumber variasi adalah (201 + 185 − 182 − 183)2 = 36.75 12

JKB =

(201 + 182 − 185 − 183)2 = 18.75 12

Pa la ng ka r JKA =

JKAB =

(201 + 183 − 185 − 182)2 = 24.083 12

JKT = (622 + 612 + · · · + 644 ) −

751 12

= 118.917

JKE = 118.917 − 36.75 − 18.75 − 24.083 = 39.333

UM

Hasil uji hipotesis peneliti tersebut dapat dilihat pada tabel 8.8. Berdasarkan hasil ini terdapat pengaruh faktor A (temperatur) pada tingkat signifikansi 5 persen, karena F0 = 7.47 > F0.05,1,8 = 5.32. Sedangkan faktor katalis dan interaksi tidak memberikan pengaruh pada tingkat signifikansi 5 persen. Table 8.2: Analisis Varian

Sumber Variasi

Jumlah Kuadrat

Derajat bebas

Kuadrat Tengah

F0

A

36.750

1

36.750

7.47

B

18.750

1

18.750

3.81

Interaksi

24.083

1

24.083

4.90

Error

39.333

8

4.917

Total

118.917

11

8.2. RANCANGAN 23

81

Perhatikan kembali ke kontras 8.4. Koefisien setiap kontras terdiri dari +1 dan −1, sehingga efek dapat dinyatakan dalam tabel 8.3, Table 8.3: (1)

a

b

ab

A

-1

+1

-1

+1

B

-1

-1

+1

+1

AB

+1

-1

-1

+1

ay a

Efek

Pa la ng ka r

Dari tabel 8.3, kita bisa menentukan tanda untuk setiap kombinasi perlakuan sebagaimana disajikan pada tabel 8.4, yang dinamakan tabel plus minus. Table 8.4: Tanda untuk menghitung efek pada rancangan 22 Kombinasi Perlakuan (1) a b

I

A

B

AB

+

-

-

+

+

+

-

-

+

-

+

-

+

+

+

+

UM

ab

Efek Faktorial

8.2

Rancangan 23

Untuk mengembangkan rancangan 23 , marilah kita tinjau kembali kontras pada rancangan 22 . Pada rancangan 22 , efek setiap faktor dapat diperoleh dengan bantuan tabel berikut Tabel 8.5 dapat digunakan untuk mencari konstras setiap efek, yaitu dengan cara menjumlahkan hasil kali kolom efek dan kolom Label; KontrasA = ab − b + a − 1 KontrasB = ab + b − a − 1 KontrasAB = ab − b − a + (1) Marilah pada rancangan 23 ketiga faktor kita tulis berturut-turut dengan notasi A, B dan C. Seperti notasi sebelumnya, level rendah dan level tinggi setiap faktor berturut-turut ditulis dengan notasi − dan +. Karena ada tiga


82

Table 8.5: Efek pada rancangan 22 B

AB

Label

-

-

+

(1)

+

-

-

a

-

+

-

b

+

+

+

ab

ay a

A

Pa la ng ka r

faktor dan setiap faktor terdiri dari dua level, maka ada 23 = 8 kombinasi perlakuan yang kita tuliskan dengan notasi (1), a, b, c, ab, ac, bc dan abc. Makna dari notasi ini dapat dilihat pada tabel 8.6.

UM

Table 8.6: Efek pada rancangan 23

Kombinasi Perlakuan

A

B

C

AB

AC

BC

ABC

(1)

-

-

-

+

+

+

-

a

+

-

-

-

-

+

+

b

-

+

-

-

+

-

+

ab

+

+

-

+

-

-

-

c

-

-

+

+

-

-

+

ac

+

-

+

-

+

-

-

bc

-

+

+

-

-

+

-

abc

+

+

+

+

+

+

+

Berdasarkan tabel 8.6, kita bisa mencari kontras untuk setiap kombinasi perlakuan. Jika ada n ulangan, maka pada rancangan 23 jumlah kuadratnya setiap efek dapat dicari dengan

JK =

(kontras)2 8n

Dengan demikian, jumlah kuadrat setiap efek adalah

(8.8)

8.2. RANCANGAN 23

83

1 8n (abc

− bc + ac − c + ab − b + a − (1))2

JKB =

1 8n (abc

+ bc − ac − c + ab + b − a − (1))2

JKC =

1 8n (abc

+ bc + ac + c − ab − b − a − (1))2

JKAB =

1 8n (abc

− bc − ac + c + ab − b − a + (1))2

JKAC =

1 8n (abc

− bc + ac − c − ab + b − a + (1))

2

JKBC =

1 8n (abc

+ bc − ac − c − ab − b + a + (1))2

JKABC =

1 8n (abc

− bc − ac + c − ab + b + a − (1))2

(8.9)

ay a

JKA =

Pa la ng ka r

Contoh 20. Seorang peneliti ingin mengegai pengaruh faktor cahaya (A), zat perangsang (B) dan kelembaban (C) terhadap kecepatan perkecambahan suatu jenis benih. Misalkan setiap faktor terdiri dari dua level, yaitu faktor cahaya intensitas rendah dan intensitas tinggi, faktor zat perangsang dosis rendah dan dosis tinggi, dan faktor kelembaban rendah dan kelembaban tinggi. Data hasil pengataman adalah sebagai berikut dimana − dan + berturut-turut menyatakan level rendah dan tinggi. Table 8.7: Waktu perkecambahan sejak diberi perlakuan Faktor A

B

1

-

-

2

+

-

3

-

+

4

+

+

UM

Percobaan

Waktu perkecambahan (jam)

Kombinasi

C

Ulangan 1

Ulangan 2

Ulangan 3

Perlakuan

-

20

30

25

(1)=75

-

30

42

29

a=101

-

34

33

47

b=114

-

52

45

44

ab=141

5

-

-

+

43

44

37

c=124

6

+

-

+

40

35

37

ac=112

7

-

+

+

58

49

53

bc=160

8

+

+

+

38

40

46

abc=124

Pada kolom terakhir tabel tersebut telah dihitung total setiap kombinasi perlakuan. Berdasarkan 8.9, kita bisa mencari jumlah kuadrat setiap kombinasi perlakuan, misalnya JKA =

1 (124 + 160 + 112 − 124 + 141 − 114 + 101 − 75)2 = 1.04. 24

Jumlah kuadrat yang lain dapat dihitung dan selengkapnya disajikan dalam tabel analisis varian berikut.


84

Table 8.8: Analisis Varian 23 Derajat bebas

Jumlah Kuadrat

Kuadrat Tengah

F0

A

1

1.04

1.04

0.04

B

1

672.04

672.04

24.93

C

1

330.04

330.04

12.24

A*B

1

22.04

22.04

0.82

A*C

1

425.04

425.04

15.77

B*C

1

40.04

40.04

1.49

A*B*C

1

26.04

26.04

0.97

Error

16

431.33

Total

23

1947.62

Pa la ng ka r

8.3

ay a

Sumber Variasi

26.96

Rancangan Faktorial 2k

UM

Rancangan 22 dan 23 yang telah dibahas dapat diperluan untuk rancangan 2k untuk k > 3. Pada rancangan 22 terdapat 2 faktor utama dan 22 = 1 faktor interaksi; pada rancangan 23 terdapat 3 faktor utama, 32 = 3 faktor interkasi dua faktor dan 33 = 1 faktor interaksi tiga faktor. Jika diperluas ke rancangan 2k , maka akan mencakup k faktor utama, k2 faktor interaksi dua faktor, k3 faktor interaksi tiga faktor, dan seterusnya hingga satu faktor interaksi k faktor. Untuk rancangan faktorial 2k , faktor utama kita beri label berturut-turut A, B, C, D, · · · . Untuk perhitungan secara manual, maka menjadi tidak mudah jika k semakin besar. Namun demikian masih bisa dilakukan dengan menuliskan kontras setiap efek. Kontras efek AB · · · K dapat dicari dengan KontrasAB···K = (a ± 1)(b ± 1) · · · (k ± 1)

(8.10)

Sebagai contoh, untuk rancangan 23 , maka KontrasAC = (a − 1)(c − 1)(b + 1) = abc + ac − ab − a − bc − c + (1) , untuk rancangan 24 , maka KontrasABC

= (a − 1)(b − 1)(c − 1)(d + 1) = abcd − abd − acd − bcd + abc + ad + bd + cd −ab − ac − bc + a + b + c − d − (1)

8.3. RANCANGAN FAKTORIAL 2K

85

Selanjutnya jika kontras sudah diperoleh, maka efek kombinasi faktor dan jumlah kuadrat bisa dihitung dengan AB · · · K =

2 (KontrasAB···K ) n2k

(8.11)

1 (KontrasAB···K )2 n2k dimana n adalah banyaknya ulangan.

(8.12)

JKAB···K =

UM

Pa la ng ka r

ay a

Dalam prakteknya, akan sangat membantu jika kita menggunakan program statistika untuk melakukan analisis rancangan faktorial 2k .


UM

Pa la ng ka r

ay a

86

Model Efek Random

ay a

Bab 9

UM

Pa la ng ka r

Semua rancangan yang telah dibahas telah kita asumsikan faktor tetap, karena dalam model linear perlakuan merupakan suatu kontanta. Dalam model demikian, level setiap perlakuan dipilih tertentu. Ini berakibat kesimpulan hasil analisis varian hanya berlaku untuk level perlakuan yang diamati. Jika banyaknya level yang mungkin dari suatu populasi adalah tak hingga atau sangat banyak, maka menjadi tidak mudah untuk menentukan level-level yang akan diamati agar kesimpulan tentang populasi tersebut bermakna. Untuk mencapai kesimpulan tentang populasi tersebut, kita bisa mengambil secara random level perlakuan yang akan diteliti, yang berarti efek perlakuan adalah random. Efek perlakuan demikian dinamakan efek random. Dalam efek random, tidak relevan jika kita membahas efek setiap level perlakuan, tetapi akan relevan jika yang dibahas adalah variabilitas efek tersebut pada populasi. Sebagai contoh, suatu industri makanan ringan ingin mengetahui kadar air bahan baku jagung yang dikumpulkan dari petani. Ada banyak karung jagung di gudangnya yang berasal dari banyak petani. Untuk menguji kadar air setiap asal jagung tentu tidak mudah. Oleh karena itu diambil secara random beberapa karung untuk dianalisis.

9.1

Satu Faktor Random

Model linear untuk efek random dengan satu faktor tidaklah berbeda dengan rancangan satu faktor dengan efek tetap, yang membedakan kedua rancangan adalah pada asumsi model. Pada rancangan dengan satu efek random diasimsikan sebagai berikut. yij = µ + τi + ij

(9.1)

i = 1, 2, · · · , a dan j = 1, 2, · · · , n dimana τi dan ij merupakan variabel random. Jika τi dan ij independen maka varian setiap observasi adalah V ar(yij ) = στ2 + σ 2 87

(9.2)

88

BAB 9. MODEL EFEK RANDOM

Ho : στ2 = 0 H1 : στ2 > 0

ay a

dengan στ2 dan σ 2 berturut-turut adalah varian τi dan varian ij . Selanjutnya στ2 dan σ 2 dinamakan komponen varian; model 9.1 dinamakan model komponen varian atau model efek random. Di dalam model efek random, diasumsikan bahwa ij berdistribusi normal indendepnden dengan mean 0 dan varian σ 2 , bahwa τi berdistribusi normal indendepnden dengan mean 0 dan varian στ2 , dan bahwa τi dan ij independen. Karena dalam model efek random kita tertarik pada efek perlakuan terhadap keseluruan populasi, maka himpotesisnya adalah tentang komonen varian yang bersumber dari perlakuan στ2 . (9.3)

Pa la ng ka r

Jika H0 diterima maka berarti semua perlakuan adalah indentik, sedangan jika H1 diterima berarti ada variabilitas antar perlakuan. Untuk menguji hipotesis di atas, seperti biasanya diguanakan analisis varian. Jumlah kuadrat untuk model ini tentu tidak berbeda dengan model efek tetap yaitu JKT = JKP + JKE

(9.4)

dengan kata lain jumlah kuadrat total merupakan jumlah dari jumlah kuadrat perlakuan dan jumlah kuadrat kesalahan random. Dengan asumsi distribusi στ2 dan σ 2 yang telah dikemukakan di atas, maka KTP berdistribusi chi-square dengan derajat bebas a − 1 dan KE berdistribusi chi-square dengan derajat bebas N − a dan kedua variabel random adalah independen. Dengan demikian statistik penguji untuk hipotesis di atas adalah F0 =

KTP KTE

(9.5)

UM

yang berdistribusi F dengan derajat bebas pembilang a − 1 dan derakat bebas penyebut N − a. Kriteria untuk menerima H0 perlu dikembangkan dengan mengamati nilai harapan kuadrat tengah. Dapat ditunjukan bahwa nilai harapan kuadrat tengah untuk perlakuan dan kesalahan berturut-turut adalah E(KTP ) = σ 2 + nστ2 E(KTE ) = σ 2

(9.6)

Dari kedua nilai harapan ini, kita bisa menerima H −0 jika hasil bagi kuadrat tengan perlakuan dan kuadrat tengah error tidak berbeda jauh dengan σ 2 , sebaliknya kita menerima H1 jika hasil bagi kedua kuadrat tengah tersebut berbeda dengan σ 2 . Dengan demikian kriteria untuk menolak H0 pada tingkat signifikansi α adalah jika F0 > Fα,a−1,N −a . Dalam uji hipotesis model efek random, kita menguji varian faktor. Oleh karena itu akan berguna jika kita menggali informasi tentang varian dengan cara mengestimasi komponen varian σ 2 dan στ2 . Prosedur untuk mengestimasi

9.1. SATU FAKTOR RANDOM

89

σ 2 dan στ2 dinamakan metode analisis varian. Prosedur ini dilakukan dengan menyamakan nilai observasi kuadrat tengah dengan nilai harapannya. Dengan demikian untuk model yang sedang kita bahas, berdasarkan 9.6 diperoleh KTP = σ 2 + nστ2 dan KTE = σ 2 .

(9.7)

Dengan demikian estimasi komponen variannya adalah

ay a

σ ˆ 2 = KTE dan KTP + KTE σ ˆτ2 = n

(9.8)

Pa la ng ka r

Jika banyaknya sampel tidak sama, maka n pada persamaan 9.8 diganti dengan ! Pa a 2 X n 1 i n0 = ni − Pi=1 . (9.9) a a − 1 i=1 i=1 ni

UM

Contoh 21. Dengan pertimbangan bahan baku jagung diperoleh dari berbagai petani, diduga ada variasi kadar air jagung pipilan yang diterima oleh perusanahaan makanan ringan. Untuk menguji dugaan tersebut, dialkukan pengukuran kadar air jagung yang ada di gudang dengan cara mengambil sampel dari berbagai karung secara random. Data observasi diberikan pada tabel berikut.

Karung 1 2 3 4

1 17 14 16 15

Observasi 2 3 16 18 13 13 15 17 16 18

4 16 12 15 16

Perhitungan jumlah kuadrat untuk rancangan ini tentu tidak berbeda dengan rancangan random lengkap. Tabel 21 menyajikan hasil analisis varian. Berdasarkan tabel ini, kita simpulkan terdapat pengaruh asal jagung (karung) pada variasi kadar air keseluruhan jagung yang ada di gudang. Dengan metode analisis varian, estimasi komponen varinnya adalah σ ˆ 2 = 1.021 σ ˆτ2 = 11.229−1.021 = 2.552 4 Dengan demikian varian kadar air jagung setiap observasi dapat diestimasi dengan V ar(yij ) = σ 2 + σ ˆτ2 = 1.021 + 2.552 = 3.573

90

BAB 9. MODEL EFEK RANDOM Sumber Variasi

Derajat Bebas

Jumlah Kuadrat

Kuadrat Tengah

Karung

3

33.688

11.229

Error Total

12 15

12.250 45.938

1.021

F0

p

11.00 0.001

9.2

ay a

Varian ini merupakan variabilitas kadar air jagung yang disebabkan dari perbedaan karung.

Dua Faktor Random

Pa la ng ka r

Misalkan suatu percobaan memiliki dua faktor, faktor A dan faktor B keduanya faktor random; faktor A terdiri dari a level dan faktor B terdiri dari b level. Tentu level-level ini diambil secara random. Jika ada n ulangan, maka setiap observasi dapat dinyatakan dengan model linear yijk = µ + αi + βj + (αβ)ij + ijk dengan i = 1, 2, · · · , a j = 1, 2, · · · , b k = 1, 2, · · · , n

(9.10)

dimana parameter αi , βj , (αβ)ij dan ijk semuanya merupakan variabel random independen dan berdistribusi normal dengan mean 0 dan varian V ar(αi ) = 2 σα2 , V ar(βj ) = σβ2 , V ar(αβ)ij = σαβ dan V ar(ijk ) = σ 2 . Dengan asumsi ini, varian setiap observasi dapat dinyatakan sebagai jumlah dari komponen varian

UM

2 V ar(yijk ) = σα2 + σβ2 + σαβ + σ2 ,

(9.11)

Karena dalam model random kita tertarik pada variabilitas faktor, maka hipotesis nol dapat dinyatakan sebagai H0 : σα2 = 0

H1 : σα2 > 0

H0 : σβ2 = 0

H1 : σβ2 > 0

H0 :

2 σαβ

= 0 H1 :

2 σαβ

(9.12)

>0

Model linear pada 9.10 tidak berbeda dengan model linear pada rancangan faktorial dua faktor. Oleh karena itu jumlah kuadrat total dapat dipartisi menjadi jumlah kudrat komponennya dengan cara yang sama pada rancangan faktorial dua faktor. Meskipun demikian karena asumsinya berbeda, maka untuk melakukan uji statistik hipotesis di atas, pertama perlu diketahui dahulu nilai harapan kuarat tengah. Dapat ditunjukan bahwa nilai harapan kuadrat tengah adalah sebagai berikut

9.2. DUA FAKTOR RANDOM

91

2 E(KTA ) = σ 2 + nσαβ + bnσα2 2 E(KTB ) = σ 2 + nσαβ + anσβ2

(9.13)

2 E(KTAB ) = σ 2 + nσαβ

E(KTE ) = σ 2

F0 =

KTA KTE

Pa la ng ka r

yang berdistribusi Fa−1,(a−1)(b−1) .

ay a

Jika hipotesis nol, misalnya H0 : σα2 = 0, benar, maka nilai harapan KTA tidak berbeda dengan nilai harapan KTE . Dengan demikian untuk menguji hipotesis H0 : σα2 = 0 dapat digunakan statistik (9.14)

Demikian pula untuk menguji H0 : σβ2 = 0 digunakan statistik F0 =

KTB KTE

(9.15)

2 dengan berdistribusi Fb−1,(a−1)(b−1) , dan untuk menguji H0 : σαβ = 0 digunakan statistik

F0 =

KTBA KTE

(9.16)

UM

dengan distribusi F(a−1)(b−1),ab(n−1) . Seperti pada rancangan efek random satu faktor, pada rancangan dua faktor pokok bahasan kita juga pada estimasi komponen varian. Dengan metode analisis varian, yaitu menyamakan nilai kuadrat tengah pada tabel analisis varian dengan ruas kanan persamaan 9.13, maka diperoleh nilai estimasi setiap komponen varian sebagai berikut

σ ˆ 2 = KTE 2 σ ˆαβ =

σ ˆα2

KTAB − KTE n

(9.17)

KTA − KTAB = bn

σ ˆβ2 =

KTB − KTAB an

Contoh 22. Suatu industri makanan ringan menduga bahwa variasi hasil pengukuran kadar bahan baku jagung pipilan dipengaruhi oleh asal jagung dan

92


Table 9.1: Observasi kadar air jagung pipilan 1 10 13 11 17 10 11 11 10 13 13

Analis 10 14 10 18 10 14 12 10 15 16

2 10 14 11 16 10 11 14 10 13 15

Analis 10 13 10 17 10 13 12 10 14 14

3 11 14 12 18 11 12 10 10 14 15

ay a

Analis 11 14 10 17 10 13 12 10 14 15

Pa la ng ka r

Karung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

analis yang melakukan pengujian. Untuk memuktikan dugaan tersebut dilakukan pengukuran kadar air jagung yang ada di gudangnya dengan mengambil secara random 10 karung dan menunjuk secara random 3 analisis dengan 2 ulangan. Hasil pengukuran (dalam persen) disajikan pada tabel 9.1.

Perhitungan jumlah kuadrat secara manual sama dengan perhitungan jumlah kuadrat pada model efek tetap. Tabel analisis varian untuk data di atas disajikan pada tabel 9.2.

Derajat Bebas

Jumlah Kuadrat

Kuadrat Tengah

F0

p

Analis (A)

2

1.633

0.817

2.00

0.165

Karung (B)

9

298.933

33.215

Interaksi (AB)

18

7.367

0.409

Error

30

25.000

0.833

Total

59

332.933

UM

Sumber Variasi

81.16 0.49

0.000 0.942

Perdasarkan tabel analisis varian, ternyata faktor analisis dan interaksi tidak menimbulkan variasi dalam pengukuran kadar air jagung, sedangkan asal jagung (karung) memberikan kontribusi yang signifikasn terhadap variasi dalam hasil pengukuran kadar air jagung. Dari tabel analisis varian, estimasi komponen varian adalah sebagai berikut.

9.3

93

σ ˆ2

= 0.833

2 σ ˆαβ

=

0.409 − 0.833 = −0.212 2

σ ˆα2

=

0.817 − 0.409 = 0.020 3·2

σ ˆβ2

=

33.215 − 0.409 = 5.468 10 · 2

Model Campuran Dua Faktor

ay a

9.3. MODEL CAMPURAN DUA FAKTOR

Pa la ng ka r

Dalam banyak penarapan eksperimen dua faktor bisa terjadi faktor A tetap dan faktor B random. Model demikian dinamakan model campuran. Model linear untuk model campuran sama dengan model linear percobaan faktorial, namun asumsi modelnya berbeda. Misalkan faktor A memiliki a level, faktor B memiliki b level dan ada n ulangan. Model linear eskperimen ini adalah yijk = µ + αi + βj + (αβ)ij + ijk dengan i = 1, 2, · · · , a j = 1, 2, · · · , b k = 1, 2, · · · , n

(9.18)

UM

dimana parameter αi adalah tetap, parameter βj random, interaksi (αβ)ij Pa random dan kesalahan ijk random. Selanjutnya diasumsikan i=1 αi = 0 dan βj berdistribusi normal independen dengan mean 0 dan varian σβ2 . Faktor interaksi P (αβ)ij diasumsikan berdistribusi normal dengan mean 0 dan varian a−1 2 i (αβ)ij = 0 untuk setiap level j pada faktor random B, dan covarian a σαβ , antar (αβ)ij adalah j 6= j 0 ,

cov[(αβ)ij , (αβ)ij 0 ] = 0,

βj , (αβ)ij ,dan ijk adalah saling independen. Dengan asumsi di atas, dapat ditunjukann bahwa nilai harapan untuk komponen kuadrat tengah adalah 2 E(KTA ) = σ 2 + nσαβ +

E(KTB ) = σ 2 + anσβ2 2 E(KTAB ) = σ 2 + nσαβ

bn

i=1a α2i a−1

P

(9.19)

E(KTE ) = σ 2 Karena faktor A adalah tetap, maka hipotesis yang menjadi perhatian kita adalah H0 : αi = 0 dengan statistik penguji

94


F0 =

KTA KTAB

(9.20)

yang berdistribusi Fa−1,(a−1)(b−1) . Untuk menguji pengaruh faktor random B, yaitu H0 : σβ2 = 0, digunakan statistik penguji F0 =

KTB KTE

(9.21)

F0 =

KTAB KTE

Pa la ng ka r

dengan distribusi F(a−1)(b−1),ab(n−1) .

ay a

dengan distribusi Fb−1,ab(n−1) . Faktor interaksi merupakan fantor random, se2 hingga statistik penguji untuk H0 : σαβ = 0 adalah (9.22)

Dalam model campuran masih bisa diestimasi efek tetapnya, yaitu µ ˆ = y¯... α ˆ i = y¯i.. − y¯...

(9.23)

Komponen varian bisa diestimasi dengan metode analisis varian, yaitu dengan menyakan ruas kanan 9.19 dengan kuadrat tengah pada tabel analisis varian. Dengan demikian estimasi komponen varian model campuran adalah

σ ˆ 2 = KTE

UM

2 σ ˆαβ =

σ ˆβ2 =

KTAB − KTE n

(9.24)

KTB − KTE an

Contoh 23. Misalkan didalam contoh 22 perusahaan hanya memiliki tiga analisis, yang berarti analis merupakan faktor tetap. Dengan demikian kita memiliki model campuran dengan analisis sebagai faktor tetap dan karung sebagai faktor random. Dengan model campuran, maka dari data 9.1 kita bisa melakukan analisis varian dan mencari komponen varian. Hasil analisis varian dan komponen varian dengan Minitab menunjukan adanya variasi kadar air yang bersumber dari perbedaan asal jagung (karung), sedangkan faktor analis dan interaksi tidak bervaiasi. General Linear Model: KADAR versus ANALIS, KARUNG Factor Type Levels Values ANALIS fixed 3 1, 2, 3 KARUNG random 10 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

9.3. MODEL CAMPURAN DUA FAKTOR

95

Analysis of Variance for KADAR, using Adjusted SS for Tests Source ANALIS KARUNG ANALIS*KARUNG Error Total

DF 2 9 18 30 59

Seq SS 1.633 298.933 7.367 25.000 332.933

Adj SS 1.633 298.933 7.367 25.000

Adj MS 0.817 33.215 0.409 0.833

F 2.00 81.16 0.49

P 0.165 0.000 0.942

Variance Components, using Adjusted SS Estimated Value 5.4676 -0.2120 0.8333

Pa la ng ka r

UM

Source KARUNG ANALIS*KARUNG Error

ay a

S = 0.912871 R-Sq = 92.49


UM

Pa la ng ka r

ay a

96

Bab 10

Pa la ng ka r

ay a

Rancangan Tersarang dan Split Plot

Dalam bagian ini kita akan mempelajari dua rancangan, rancangan bersarang dan rancangan split-plot. Sepintas kedua rancangan mirip dengan rancangan faktorial, namun seperti akan kita lihat, rancangan ini bukan rancangan faktorial. Dalam berbagai bidang ilmu dan teknologi, rancangan ini banyak digunakan karena alasan tertentu.

10.1

Rancangan Tersarang Dua Tahap

UM

Agar pembahasan kita lebih nyata, akan kita jelaskan melalui contoh. Misalkan kita ingin mengetahui daya tumbuh suatu jenis benih dari beberapa penangkar. Tiap kemasan benih yang diproduksi oleh setiap penangkar tentu diproduksi pada periode tertentu. Misalkan ada 3 penangkar dan setiap penangkar diambil 4 periode produksi. Secara hirarki, observasi terhadap daya tumbuh benih dapat kita gambarkan sebagai berikut. Figure 10.1: Observasi Rancangan Tersarang Dua Tahap Penangkar 1 Penangkar 2 Penangkar 3

Batch

1

2

3

4

y111 y121 y131 y141 y112 y122 y132 y142 y113 y123 y133 y143

1

2

3

4

y211 y221 y231 y241 y212 y222 y232 y242 y213 y223 y233 y243

1

2

3

4

y311 y321 y331 y341 y312 y322 y332 y342 y313 y323 y333 y343

Skema percobaan pada 10.1 dinamakan rancangan tersarang dua tahap. Rancangan demikian sepintas seperti rancangan faktorial, tetapi sebenarnya 97

98

BAB 10. RANCANGAN TERSARANG DAN SPLIT PLOT

bukan, karena tidak setiap batch sama ada pada setiap penangkar; batch 1 pada penangkar 1 tidak sama dengan batch 1 penangkar 2 atau penangkar 3, dan sebagainya. Agar lebih membedakan bahwa batch pada suatu penangkar berbeda dengan batch pada penangkar lain, kita gunakan notasi 1, 2, 3, dan 4 untuk batch dari penangkar 1, 5, 6, 7, dan 8 untuk batch dari penangkar 2, dan 9, 10, 11, dan 12 untuk batch dari penangkar 3. Dengan notasi ini, skema 10.1 dapat digambarkan kembali menjadi skema 10.2. Dengan skema demikian, jelas bahwa rancangan tersarang bukanlah rancangan faktorial.

Batch

1

2

3

Penangkar 2 4

5

7

8

9

y211 y221 y231 y241 y212 y222 y232 y242 y213 y223 y233 y243

10

11

12

y311 y321 y331 y341 y312 y322 y332 y342 y313 y323 y333 y343

Pa la ng ka r

y111 y121 y131 y141 y112 y122 y132 y142 y113 y123 y133 y143

6

Penangkar 3

ay a

Penangkar 1

Figure 10.2: Pelabelan kembali batch

Untuk ringkasnya, misalnya penangkar sebagai faktor A dan bath sebagai faktor B. Model linear untuk rancangan ini adalah yijk = µ + τi + βj(i) + (ij)k

(10.1)

dengan

i = 1, 2, · · · , a,

j = 1, 2, · · · , b,

k = 1, 2, · · · , n.

UM

Subskrip j(i) menyatakan bahwa level j faktor B bersarang di dalam level i faktor A. Subskrip (ij)k pada suku error menyatakan bahwa ulangan bersarang pada kombinasi faktor level A dan B. Jika banyaknya ulangan sama dan banyaknya setiap level B yang bersarang pada setiap level A sama, maka rancangannya dinamakan rancangan tersarang seimbang. Jumlah kuadrat total pada racangan ini dapat dipartisi menjadi

a X b X n X i=1 j=1 k=1

(yijk −¯ y... )2 = bn

a X i=1

(¯ yi.. −¯ y... )2 +n

a X b X

a X b X n X (¯ yij. −¯ yi.. )2 + (yijk −¯ yij. )2

i=1 j=1

i=1 j=1 k=1

(10.2) yang menyatakan bahwa jumlah kuadrat total merupakan jumlah dari jumlah kuadrat faktor A, jumlah kuadrat faktor B di bawah faktor A, dan jumlah kuadrat kesalahan, ditulis JKT = JKA + JKB(A) + JKE

10.1. RANCANGAN TERSARANG DUA TAHAP

99

Untuk perhitungan secara manual, kita bisa menggunakan hubungan berikut. 2 Pb Pn y... 2 i=1 j=1 k=1 yijk − abn 2 Pa y... 1 2 i=1 yi.. − abn bn Pa Pb Pa 1 1 2 2 i=1 j=1 yij. − bn i=1 yi.. n Pa Pb Pn Pa 1 2 i=1 j=1 k=1 yijk − n i=1

Pa

=

JKA = JKB(A)

=

JKE

=

Tabel analisis varian untuk model efek tetap, yakni disajikan pada Tabel 10.1.

(10.3) Pb

j=1

Pa

i=1

2 yij.

τ i = 0 dan

Pb

j=1

βj(i)

ay a

JKT

Table 10.1: Analisis Varian untuk Rancangan Bersarang dengan Efek Tetap Derajat bebas

Jumlah Kuadrat

a−1

JKA

a(b − 1)

JKB(A)

KTB(A) =

Error

ab(n − 1)

JKE

KTE =

Total

abn − 1

JKT

Kuadrat Tengah

F0

Pa la ng ka r

Sumber Variasi A B dalam A

KTA =

JKA a−1

JKB(A) a(b−1)

KTA KTE KTB(A) KTE

JKE ab(n−1)

Contoh 24. Setelah dilakukan observasi daya tumbuh benih dari ketiga penangkar, misalkan diperoleh data pada tabel 10.2. Pada tabel tersebut telah dihitung total setiap batch dalam penangkar (yij. dan total penangkar (yi.. ).

UM

Table 10.2: Observasi daya tumbuh (persen) Penangkar 1

Batch

yij. yi..

Penangkar 2

Penangkar 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

90

85

85

90

90

85

83

85

92

82

90

93

86

80

87

95

83

95

85

93

95

87

83

92

80

75

90

87

80

92

80

92

87

92

92

91

256 240 262 272

253 272 248 270

274 261 265 276

1030

1043

1076

Dalam perhitungan secara manual jumlah kuadrat berikut, notasi A menyatakan penangkar dan B menyatakan batch.

100


= (902 + 852 + · · · + 276) −

JKT JKA JKB(A)

=

1 4·3

=

1 2 3 (256

10302 + 10432 + 1076 2

31492 36

2

−

2

+ 240 + · · · + 276 ) −

= 900.9722 31492 36 1 4·3

= 93.7222

10302 + 10432 + 10762 = 375.9167

ay a

= (902 + 852 + · · · + 276) − 13 (2562 + 2402 + · · · + 2762 ) = 431.3333

JKE


Jumlah Kuadrat

Penangkar

2

93.7222

Batch

9

Error Total

Kuadrat Tengah

F0

p

46.8611

1.122

0.367

375.9167

41.7685

2.324

0.048

24

431.3333

17.9722

35

900.9722

Pa la ng ka r

Sumber Variasi

Untuk memeriksa asumsi model dengan residual, pertama perlu diketahui bahwaˆ yijk = y¯ij. ; dengan demikian residual dihitung dengan eijk = yijk − y¯ijk

Rancangan Split Plot

UM

10.2

(10.4)

Rancangan split plot diperlukan bilamana terdapat suatu faktor yang levelnya tidak mudah untuk diubah. Misalnya suatu penelitian ingin mengetahui pengaruh metode irigasi (faktor A) dan dosis pupuk (faktor B) terhadap produksi tanaman padi. Misalkan ada 2 level faktor A dan 3 level faktor B dan tersedia 6 petak. Jika digunakan rancangan random lengkap, maka ada 6 kombinasi perlakuan yaitu A1 B1 , A1 B2 , A1 B3 , A2 B1 , A2 B2 dan A2 B3 . Dengan demikian derajat bebas setiap sumber variasi adalah sumber variasi A B Interaksi Error (galat) Total

derajat bebas 1 2 2 0 5

10.2. RANCANGAN SPLIT PLOT

101

yakni kesalahan (galat) tidak memiliki derajat bebas, yang berarti nilai kuadrat tengah kesalahan tidak bisa diestimasi. Jika setiap petak dibagi menjadi subpetak yang lebih kecil, maka akan diperoleh ulangan, sehingga kuadrat tengah kesalahan dapat diestimasi. Dengan cara demikian kita bisa menerapkan level faktor B pada subpetak, namun sayang sekali kita tidak mungkin menerapkan metode irigasi pada setiap sub petak (karena harus memindah saluran irigasi!).

Pa la ng ka r

ay a

Untuk menangani persoalan tersebut, bisa digunakan rancangan split plot. Dengan rancangan ini setiap metode irigasi dikenakan secara random pada 3 dari 6 petak tersebut. Masing-masing dari keenam petak dinamakan keseluruhan plot atau petak utama. Setiap petak utama kemudian dibagi menjadi 3 subpetak yang dinamakan splitplot, kemudian ketiga dosis pupuk dikenakan secara random pada setiap splitplot dalam setiap plot utama. Skema rancangan split plot dapat dilihat pada 10.3. Perhatikan bahwa pada rancangan splitplot, petak utama bisa dipandangan sebagai ulangan atau blok. Figure 10.3: Rancangan split plot Petak Keseluruhan

A2 B2 A1 B3 A1 B2 A2 B1 A1 B3 A2 B2 A2 B1 A1 B2 A1 B1 A2 B3 A1 B1 A2 B1

Split plot

UM

A2 B3 A1 B1 A1 B3 A2 B2 A1 B2 A2 B1

Model linear untuk rancangan split plot adalah yijk = µ + ρi(j) + αj + βk + (αβ)jk + ijk

(10.5)

dimana αj adalah efek faktor utama ke-j (perlakuan plot keseluruhan ke j), βk adalah efek utama evel k faktor B (perlakuan split plot ke k), ρi(j) adalah efek plot keseluruhan ke i tersarang dalam level j faktor A). Tabel ANOVA untuk rancangan split plot adalah sebagai berikut:


ay a

102


Jumlah Kuadrat

Faktor A

a−1

KJA

Galat plot keseluruhan

a(s − 1)

JKW (A)

Faktor B

b−1

JKB

Interaksi AB

(a − 1)(b − 1)

KTAB

Galat split plot

a(s−1)(b−1)

JK

Keseluruan plot

Kuadrat Tengah

Pa la ng ka r

Sumber Variasi

KTA

UM

Split plot

Total

abs − 1

KTB

F0

p

ay a

Daftar Pustaka [1] Dean, A., and Voss, D., Design and Analysis of Experiments., SpringerVerlag, New York, 1999.

Pa la ng ka r

[2] Kutner, M.H., Nachtsheim,C.J., and Neter, J., Applied Linear Statistical Models., 5th ed., McGraw-Hill Irwin, New York, 2005.

UM

[3] Montgomery, D.C., Design and Analysis of Experiments., 5th ed., John Wiley and Sons, Inc., New York, 2001.

103

DAFTAR PUSTAKA

UM

Pa la ng ka r

ay a

104

UM Palangkaraya. Rancangan Percobaan. Bahan Ajar. (Metode dan Rancangan Penelitian) Haryadi. Universitas Muhammadiyah Palangkaraya

Recommend Documents