Jurnal Gradien Vol.3 No.2 Juli 2007 : 277-281
Uji Median Pengaruh Utama dan Interaksi dalam Percobaan Berfaktor Sigit Nugroho Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Bengkulu, Indonesia Diterima 1 Juni 2007; Disetujui 26 Juli 2007
Abstract - Factorial experiments with fixed effects in randomized complete block design can be modeled as Yijk = µ + β i + τ j + ϕ k + (τϕ ) jk + ε ijk i = 1, 2,..., b j = 1, 2,..., t k = 1, 2,..., m . To test main effects and its interaction when basic assumptions are met is using the F test (ANOVA). Nonparametric alternative testing for main effects median and interaction median is discussed in this paper. Keywords : factorial, nonparametric, median, main effects and interaction. Pendahuluan
a. Alternatif Pengujian
Dalam tulisan ini model yang digunakan adalah dengan Yijk = µ + βi +τ j +ϕk + (τϕ) jk + εijk
i = 1, 2,..., b
j = 1, 2,..., t
k = 1, 2,..., m .
Bila
asumsi dasar model ini dipenuhi, maka prosedur statistika parametrik digunakan untuk menguji pengaruh-pengaruh utama
τj
dan
ϕk , serta interaksi
(τϕ ) jk . Analisis keragaman merupakan prosedur yang tepat untuk itu. Untuk
H 0 : τ 1 = τ 2 = ... = τ t
menguji
H1 : τ i ≠ τ j
i≠ j
KT (τ ) / KT (ε ) .
digunakan
Tolak
statistik
hipotesis
KT (τ ) / KT (ε ) > Ft −1;( b −1)( tm −1) .
lawan
nol
Untuk
uji apabila
menguji
H 0 : ϕ1 = ϕ2 = ... = ϕm H1 : ϕi ≠ ϕ j
i≠ j
lawan digunakan
statistik
Tidak terpenuhinya asumsi dasar rancangan percobaan, seperti normalitas dan kehomogenan ragam ataupun karena skala pengukuran, mengakibatkan perlu dipertanyakannya validitas analisis jika prosedur diatas (prosedur parametrik) tetap digunakan. Oleh karena itu, sebagai alternatif pengujian dapat digunakan prosedur statistika nonparametrik. Median merupakan salah satu ukuran pemusatan data, disamping mean atau rata-rata. Untuk data yang tidak simetris, median lebih baik untuk mendiskripsikan ukuran pemusatan data daripada mean. Oleh karenanya, sebagai alternatif digunakan uji median untuk melihat pengaruh-pengaruh utama perlakuan maupun interaksinya. b. Pengujian Median Pengaruh Utama
τj
uji
KT (ϕ ) / KT (ε ) . Tolak hipotesis nol apabila
Dalam setiap blok, banyaknya pengamatan yang
KT (ϕ ) / KT (ε ) > Fm −1;( b −1)( tm −1) . Sedangkan untuk
digunakan untuk menghitung pengaruh utama
menguji
H 0 : (τϕ )11 = (τϕ )12 = ... = (τϕ )tm lawan
H1 : (τϕ )ij ≠ (τϕ ) kl
ij ≠ kl digunakan statistik uji
KT (τϕ ) / KT (ε ) . Tolak hipotesis nol apabila KT (τϕ ) / KT (ε ) > F(t −1)( m −1);(b −1)(tm −1) .
τj
ada
sebanyak m. Sedangkan untuk setiap kombinasi blok
βi
dan perlakuan
ϕk
ada sebanyat t pengaruh utama
τ. Dengan demikian, untuk pengujian median pengaruh utama
τj
perlu dilakukan melalui tahapan-tahapan
seperti berikut:
Sigit Nugroho / Jurnal Gradien Vol. 3 No. 2 Juli 2007 : 277-281
278
1.
Hipotesis nol : median pengaruh utama
βi
pada tiap kombinasi blok
2.
τj
dan perlakuan
βi
nilainya dengan
2.
3.
menyatakan bahwa hipotesis nol tidak benar. Kelompokkan data untuk melihat pengaruh antar
yaitu
banyaknya
τj
pada setiap
pengamatan akibat perlakuan
dan perlakuan ( ik )
besar dari nilai mediannya, mτ sama b
juga
ϕk
4.
=1,2,...,t data yang dikelompokkan tersebut adalah Yij1, Yij2, ..., Yijm. Hitung nilai median data Yij1, Yij2, ..., Yijm untuk tiap i = 1,2,...,b dan j =1,2,...,t. Sebut saja nilainya
b
pengamatan akibat perlakuan kombinasi blok
6.
yang
besarnya
Sebagai
5. t
dihitung
besarnya
Sebagai
tambahan,
Hitung statistik
Tϑ =
m 2 btm2 ( Ok(1) − Ok(1) ) dimana ∑ m (1) m (0) k =1 ∑ Ok ∑ Ok k =1 k =1
Ok(1) = 6.
ϕk
digunakan untuk menghitung pengaruh utama
1 m (1) ∑ Ok . m k =1
Tolak hipotesis nol jika Tϕ > χ m2 −1,α
d. Pengujian Median Pengaruh Interaksi
Dalam setiap blok, banyaknya pengamatan yang
ϕk
sebanyak t. Sedangkan untuk setiap kombinasi blok
ada
βi
ada sebanyat m pengaruh utama ϕ .
Dengan demikian, untuk pengujian median pengaruh perlu dilakukan melalui tahapan-tahapan
seperti berikut:
yang lebih
Ok(1) + Ok(0) = bt .
c. Pengujian Median Pengaruh Utama
ϕk
τj
i =1 j =1
Tolak hipotesis nol jika Tτ > χt2−1,α
utama
juga
t
Ok(0) = ∑∑ Ψ (Yijk ≤ mϕ(ij ) ) .
tambahan,
1 t (1) . ∑ Oj t j =1
τj
sama b
2 dimana bmt ∑ ( O (1)j − O (1)j ) t (1) t (0) j =1 ∑ Oj ∑ Oj j =1 j =1
dan perlakuan
dan perlakuan
pada setiap
( ij )
Hitung statistik
O (1) j =
βi
ϕk
besar dari nilai mediannya, mϕ . Dengan cara
. Dengan cara
i =1 k =1
Tτ =
t
Hitung O (1) = ∑∑ Ψ(Yijk > mϕ(ij ) ) yaitu banyaknya k i =1 j =1
(0) O (1) = bm . j + Oj
2
dan
dengan mϕ .
yang lebih
dihitung
m
O (0) = ∑∑ Ψ (Yijk ≤ mτ(ik ) ) . j
5.
βi
τ j . Artinya untuk tiap i = 1,2,...,b dan j
i =1 k =1
yang
dan perlakuan
( ij )
m
βi
sama
hipotesis tandingannya secara umum
perlakuan
= 1,2,..., t, hitung
( ik ) O (1) ) j = ∑∑ Ψ (Yijk > mτ
kombinasi blok
βi
ϕk
perlakuan pada tiap kombinasi blok
mτ(ik ) .
Untuk setiap nilai j b
τ j dan
dan
=1,2,...,m data yang dikelompokkan tersebut adalah Yi1k, Yi2k, ..., Yitk. Hitung nilai median data Yi1k, Yi2k, ..., Yitk untuk tiap i = 1,2,...,b dan k =1,2,...,m. Sebut saja
Hipotesis nol : median pengaruh utama pada tiap kombinasi blok
ϕk . Artinya untuk tiap i = 1,2,...,b dan k
perlakuan
4.
1.
ϕk
dan hipotesis tandingannya secara umum menyatakan bahwa hipotesis nol tidak benar. Kelompokkan data untuk melihat pengaruh antar perlakuan pada tiap kombinasi blok
3.
sama
(τϕ ) jk
Untuk pengujian median pengaruh interaksi (τϕ ) jk perlu dilakukan melalui tahapan-tahapan berikut: 1.
seperti
Hipotesis nol : median pengaruh interaksi (τϕ ) jk sama
pada
tiap
blok
βi
dan
hipotesis
tandingannya secara umum menyatakan bahwa hipotesis nol tidak benar.
Sigit Nugroho / Jurnal Gradien Vol. 3 No. 2 Juli 2007 : 277-281
2.
Kelompokkan data untuk melihat pengaruh kombinasi perlakuan pada tiap blok
3.
βi .
Artinya
untuk tiap i = 1,2,...,b data yang dikelompokkan tersebut adalah Yi11, Yi12, ..., Yi1m, Yi21, Yi22,... Yi2m,..., Yit1,..., Yitm. Hitung nilai median data Yi11, Yi12, ..., Yi1m, Yi21, Yi22,... Yi2m,..., Yit1,..., Yitm untuk tiap i = 1,2,...,b. (i )
Sebut saja nilainya dengan mτϕ .
n j O(1)j O( 0 ) (1 − p) j (1) p j j =1 dimana p adalah peluang sebuah pengamatan bernilai lebih dari nilai mediannya. c
∏O
Apabila total baris diketahui atau ditetapkan nilainya, maka sebaran pasti T memiliki fungsi kepekatan peluang n1 n2 nc (1) (1) L (1) O1 O2 Oc N a
b
4.
O
Hitung
= ∑ Ψ (Yijk > mτϕ ) (i )
(1) jk
yaitu
i =1
banyaknya pengamatan akibat perlakuan (τϕ ) jk pada setiap kombinasi blok βi yang lebih besar
279
Namun dalam prakteknya, sebaran kai-kuadrat dengan derajat bebas c-1 digunakan.
(i )
dari nilai mediannya, mτϕ . Dengan cara yang sama
juga
dihitung
besarnya
f. Teladan
b
(i ) . O (0) jk = ∑ Ψ (Yijk ≤ mτϕ )
Sebagai
tambahan,
i =1
(0) . O (1) jk + O jk = b
5.
Hitung Tτϑ =
statistik 2
2
2 bt m ∑∑ ( O(1)jk − O(1)jk ) t m (1) t m (0) j =1 k =1 ∑∑ O jk ∑∑ O jk j =1 k =1 j =1 k =1
1 dimana O (1) jk =
t
t
m
m
∑∑ O tm
6.
Dalam percobaan berfaktor 4x3 dalam rancangan acak kelompok lengkap diperoleh data seperti berikut :
j =1 k =1
(1) jk
.
Tolak hipotesis nol jika Tτϕ > χ (2t −1)( m−1),α
e. Sebaran Eksak Statistik Uji
Untuk melakukan pengujian median pengaruh utama
Secara umum bentuk data frekuensi pengamatan yang lebih besar dan tidak lebih besar dari median untuk pengujian median ini dapat disajikan seperti berikut. Sebaran pasti statistik T merupakan sebaran bersyarat yang tergantung pada total baris dan total kolom.
perlakuan pertama (dinotasikan dengan Faktor τ) dapat dipermudah dengan membuat tabel di bawah ini, yang merupakan transformasi tiap nilai diatas menjadi 1 atau 0. Penentuan nilai 1 atau 0 ini dengan menggunakan kriteria Ψ (Yijk > mτ(ik ) ) , dimana Ψ merupakan fungsi indikator.
Peluang untuk memperoleh komposisi data seperti tabel c
O1(1)
O 2(1)
...
Oc(1)
a = ∑ O (1) j
O1(0)
O2(0)
...
Oc(0)
b = ∑ O (0) j
n1
n2
nc
N
j =1
c
dengan total kolom yang tetap adalah
j =1
Hasil dari transformasi diatas adalah
Sigit Nugroho / Jurnal Gradien Vol. 3 No. 2 Juli 2007 : 277-281
280
Selanjutnya dihitung untuk tiap taraf perlakuan τ, banyaknya pengamatan yang lebih besar (dan juga yang lebih kecil atau sama dengan) mediannya: Faktor τ
1
2
3
4
>med
3
9
10
14
36
<=med
15
9
8
4
36
18
18
18
18
72
Dengan demikian,
Dengan demikian, m 2 btm 2 Ok(1) − Ok(1) ) = 14, 63 . ( ∑ m m (1) (0) k =1 ∑ Ok ∑ Ok k =1 k =1 Nilai peluangnya dapat dihitung dengan fungsi pada Microsoft Excel misalnya, chidist(14,63;2) = 0,001. Dengan demikian median pengaruh utama ϕ berbeda secara signifikan pada taraf 1%.
Tϑ =
Akhirnya, untuk pengujian pengaruh interaksi diperoleh tabel transformasinya seperti berikut
t . 2 bmt 2 Tτ = ∑ ( O (1)j − O (1)j ) = 13,8 t (1) t (0) j =1 ∑ Oj ∑ Oj j =1 j =1
Nilai peluangnya dapat dihitung dengan fungsi pada Microsoft Excel misalnya, chidist(13,8;3) = 0,003. Dengan demikian median pengaruh utama τ berbeda secara signifikan pada taraf 1%, karena nilai-p atau nilai signifikansi pengujian ini (0,003) lebih kecil dari taraf pengujiannya (0,010).
Dengan cara yang sama seperti prosedur perhitungan pengaruh utama τ dan ϕ diperoleh
Selanjutnya, untuk melakukan pengujian median pengaruh utama perlakuan kedua (dinotasikan dengan Faktor ϕ) dapat dipermudah dengan membuat tabel di bawah ini, dengan cara yang sama seperti diatas, yang merupakan transformasi tiap nilai diatas menjadi 1 atau 0. Penentuan nilai 1 atau 0 ini dengan menggunakan kriteria Ψ (Yijk > mϕ(ij ) ) Hasil dari transformasi diatas adalah
Dengan menggunakan statistik uji
Tτϑ =
Selanjutnya dihitung untuk tiap taraf perlakuan ϕ, banyaknya pengamatan yang lebih besar (dan juga yang lebih kecil atau sama dengan) mediannya: Faktor ϕ
1
2
3
>med
6
3
15
24
<=med
18
21
9
48
24
24
24
72
t m bt 2 m 2 (1) 2 O (1) ( ∑∑ jk − O jk ) t m t m (1) (0) j =1 k =1 ∑∑ O jk ∑∑ O jk j =1 k =1 j =1 k =1
Nilai dari statistik ini adalah 0, dengan demikian chidist(0;6) = 1,000. Ini berarti bahwa tidak terdapat interaksi antara pengaruh utama τ dan θ terhadap median. Daftar Pustaka [1] Conover, W.J., 1971, Practical Nonparametric Statistics. Wiley International Edition, John Wiley & Sons. New York. NY.
Sigit Nugroho / Jurnal Gradien Vol. 3 No. 2 Juli 2007 : 277-281
[2] Gibbons, J.D., 1985, Nonparametric Statistical Inference. 2nd ed. Revised and Extended. Marcel Dekker, Inc. New York. NY. [3] Randles R.H., and D.A. Wolfe, 1979, Introduction to the Theory of Nonparametric Statistics, John Wiley & Sons. New York.
281
