učebnice
MATEMATIKA a JEJÍ APLIKACE zpracoval
Jiří Karas
OBSAH Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Výpočet plochy, obvodu, objemu – 6., 7. ročník . . . 2. Výpočet procent – 7. ročník . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Geometrie – 8., 9. ročník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Výpočet délky oblouku a kruhové výseče . . 3.2 Pythagorova věta – 9. ročník . . . . . . . . . . . . 4. Využití lineárních úprav při řešení rovnic – 8., 9. třída
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 5 8 11 12 12 13
1
ÚVOD Sbírka těchto úloh ti přiblíží metodu spočívající v experimentování v praxi. Formou měření na konkrétních přístupných místech v přírodě ti ukáže matematiku ne jako množství vzorců a pouček, ale jako způsob chápání tohoto předmětu v konkrétním poznání přírodních jevů, zákonitostí a souvislostí. V dnešním přetechnizovaném světě mohou mít moderní vymoženosti špatný dopad na přírodu i naše životní prostředí. Z hlediska těchto souvislostí budeš v jednotlivých předmětech (matematika, fyzika, chemie) studovat vybrané lokality řeky Ohře. Budeš provádět měření a na základě výsledků těchto měření řešit různé úkoly, aby sis dokázal, že ses něco naučil a že i neoblíbené předměty mohou sloužit jako nástroj k poznání přírodních jevů. Budeš prohlubovat své schopnosti a zvyšovat předpoklady k řešení problémů, bude také zvýšen experimentální charakter vyučování vedoucí k osvojení dané problematiky.
AUTOR: JIŘÍ K ARAS
Praktické výpočty a měření byly vypracovávány několik měsíců na různých částech asi patnáctikilometrového úseku řeky Ohře mezi Kynšperkem nad Ohří a Černým Mlýnem v obci Tisová. Měření a možnost přístupu k daným lokalitám byly vybírány v různých ročních obdobích vzhledem ke stavu vody v jednotlivých méně či více vhodných obdobích. Proto při měření byly vybrány ty lokality, které jsou přístupné, i když je řeka Ohře rozvodněná a výrazně zvýšena její hladina. Prováděná měření jsou rozdílná v jarních a podzimních měsících. Toto umožní prová2
dět na jedné vytipované lokalitě měření v různých ročních obdobích a porovnáním měření a výpočtů, vyjadřovat funkční vztahy grafem. Můžeš porovnávat soubory měření, výpočtů a dat, které jsi v průběhu práce na tomto projektu soustředil a spočítal. Pokud jsi žákem vyššího ročníku, využiješ svých znalostí z oblasti výuky statistiky a můžeš vytvářet statistické prognózy při svých výpočtech a měřeních. Zvyšuješ tím kompetence k učení a rozvíjíš své abstraktní myšlení.
Zvýšená hladina Ohře 6/2013 Dasnice – přítok z Habartova (rameno není vidět) AUTOR: JIŘÍ K ARAS
Hladina Ohře za normálního stavu 5/2013 Dasnice – přítok z Habartova AUTOR: JIŘÍ K ARAS
3
Železniční most v Dasnicích před povodněmi 2013 AUTOR: JIŘÍ K ARAS
Železniční most v Dasnicích při povodních 2013 AUTOR: JIŘÍ K ARAS
Při řešení úloh si procvičíš způsoby měření různými měřidly (ocelový metr, pásmo, dřevěný metr). Budeš vědět, s jakou přesností máš pracovat, protože výsledky měření se mohou drobně lišit. Budeš pracovat ve skupině s několika jinými žáky, protože v tomto prostoru není dostatek místa pro práci celé třídy. Každá skupina bude měření provádět v jiných jednotkách (m, cm, mm), což ti umožní současně i zopakování převodů jednotek.
4
1. VÝPOČET PLOCHY, OBVODU, OBJEMU – 6., 7. ročník Na pravém břehu po směru proudu řeky Ohře v těsné blízkosti vtokového objektu v lokalitě Černý Mlýn je umístěno betonové schodiště, vedoucí do značné hloubky téměř až ke dnu řeky. Tvým úkolem bude změření rozměrů schodnic (šířka, výška, délka a počet schodů) a z takto získaných údajů budeš počítat různé varianty příkladů. Např. výpočet plochy schodiště, délky, váhy, objemu atd. Provedená měření budou mít odchylky, protože výška hladiny je závislá na poloze (výšce zadržovacího systému – jezu), tím se budou měnit i jednotlivé výpočty. Terén v tomto místě je velmi dobře přístupný. Lokalita je v těsné blízkosti silnice, je nutné dbát zvýšené opatrnosti. Nedaleko lokality je zastávka autobusu (Sokolov, Březová, Kynšperk – asi 50 m).
Jez Černý Mlýn AUTOR: JIŘÍ K ARAS
Tady jsou některé příklady, které budeš počítat v lokalitě Černý Mlýn:
Výpočet plochy schodiště – 6. ročník Vypočítej plochu schodiště s 12 schody u nátokového objektu v lokalitě Černý mlýn, je-li: a = 25 cm, b = 19 cm, c = 1,5 m.
s1 s2 b a c
5
Výpočet obvodu a obsahu čtverce a obdélníku – 6. ročník Spočítej plochu a obvod části nátoku (betonová část) lokality Černý Mlýn na řece Ohři podle nákresu. Nátok se skládá ze čtverce (plocha A) a obdélníku (plocha B). a = b, a = 3,5 m, c = 5,5 m
A a
b
B c
Výpočet plochy lichoběžníku – 7. ročník Spočítej plochu vtokové části k jezu v lokalitě Černý Mlýn tvaru pravidelného lichoběžníku, jsou-li dány rozměry: va = 3,5 m, a = 9,5 m, c = 6,5 m
c va a
Regulace výšky jezu Černý Mlýn AUTOR: JIŘÍ K ARAS
V této lokalitě (schodiště) se budeš pohybovat v bezprostřední vzdálenosti od toku řeky, protože schodiště končí pod hladinou řeky. Počet schodů, které jsou vidět nad 6
hladinou (plocha schodů), se řídí podle stavu hladiny řeky Ohře a výšky pohyblivého jezu, který je v různých ročních obdobích výškově rozdílně nastaven. Tato lokalita se nachází přibližně 100 m od zastávky autobusů směr Kynšperk, Sokolov, zhruba 2 km od elektrárny Tisová.
Schodiště u vtokového objektu v lokalitě Černý Mlýn AUTOR: JIŘÍ K ARAS
Černý Mlýn, pohled na vtokovou oblast AUTOR: JIŘÍ K ARAS
Tato zastávka se označuje Černý Mlýn. V této lokalitě v minulosti pracoval vodní mlýn. Zbytky obtokového kanálu se již nedochovaly, protože při rekonstrukci jezu došlo k rozsáhlým úpravám. Z místa, odkud budeš provádět měření, je vidět zachovalá původní hlavní budova mlýna, která v současné době slouží majitelům k bydlení.
7
Černý Mlýn AUTOR: JIŘÍ K ARAS
2. VÝPOČET PROCENT – 7. ročník V 7. třídě jsi zvládl základní výpočet procent. Žiješ v regionu s rozvinutou těžbou uhlí, kterou vnímáš v celém svém okolí, proto je předpoklad, že i v tvém budoucím životě bude tvá práce (profese) souviset s dolovou činností. Úloha, kterou budeš řešit, přiblíží výuku tvému budoucímu povolání. Pomůže ti pochopit souvislosti matematiky a životního prostředí. Uvědomíš si kvality regionu, ve kterém žiješ (lázeňská střediska, rekreační oblasti zimních sportů, krásy povodí Ohře), a toto vše někdy narušuje důlní činnost. Předloženou slovní úlohu, která se týká výhřevnosti uhlí, budeš vnímat z praktického hlediska. Budeš porovnávat procentuálním způsobem produkt, kterým je celý region proslulý již několik stovek let. Při výpočtu podobných slovních úloh s procenty, si uvědomíš souvislosti, které ti byly skryty při klasické výuce ve třídě. Při úspěšném výpočtu budeš mít pocit příjemného uspokojení a tím víc si uvědomíš důležitost teoretické části výuky, která je někdy pro tebe velmi nezáživná a nudná. V úloze, která se bude týkat výpočtu procent, se seznámíš s lomem Jiří a s lomem Družba. Důl Jiří – je v současné době nejdůležitějším uhelným lomem v Sokolovské pánvi a rozkládá se mezi Lomnicí, Vintířovem a Královským Poříčím. Rozšiřuje se zhruba o 100 m za rok ve směru východ–západ. Zastavit by se měl před silnicí Svatava–Lomnice. Je hluboký 130 až 200 m. 8
Důl Družba – menší důl se nachází mezi obcemi Královské Poříčí, Vintířov a Nové Sedlo. Vyhlídka: Horní Pískovec. Poslední velká zbytková jáma, která vznikne v závěru těžby uhlí na Sokolovsku po r. 2036, zbyde po dolech Jiří a Družba. Uvažuje se o jejím zatopení. Jezero by mělo plochu 1322 ha a hloubku až 93 m.
Důl Jiří a Družba AUTOR: JIŘÍ K ARAS
Důl Družba AUTOR: JIŘÍ K ARAS
Také bývalý lom Medard bude zatopen. Medard je název pro nově vznikající jezero v lomové lokalitě Medard – Libík. Jezero se nachází na severozápad od Sokolova. Vzniká jako projekt rekultivace a revitalizace 9
území postiženého těžbou uhlí bývalého lomu Medard a lomu Libík, které se postupem těžby spojily v jeden, později nazývaný Medard – Libík. Samotná těžba v této lokalitě byla ukončena 1. 3. 2000.
Napouštěcí kanál lomu Medard AUTOR: JIŘÍ K ARAS
Společnost Sokolovská uhelná (SU) v roce 2011 definitivně ukončila těžbu hnědého uhlí v povrchovém lomu Družba. Dobývání uhlí v tomto prostoru skončilo po 122 letech. Důl Družba v Novém Sedle byl nástupcem dolu Kaiser. Zahájil těžbu v roce 1889 hlubinným způsobem, od roku 1907 následovala těžba na povrchu. Hlubinná těžba skončila v roce 1959. V 90. letech byly postupně doly a lomy utlumovány. Podle informací SU byla těžba v posledním hlubinném dolu Marie ukončena v roce 1991. O rok později skončila těžba v lomu Boden, v roce 1994 se pak přestalo těžit v Lomnickém lomu. Lom Marie ukončil těžbu v roce 1998 a poslední velký lom Medard – Libík skončil v roce 2000. V roce 2004 skončila těžba i v kamenolomu Dasnice. Uhlí z Družby sice mělo oproti sousednímu lomu Jiří menší výhřevnost, ale naopak i nižší obsah síry, a bylo tedy ekologičtější. V našem regionu se nachází hnědé uhlí nejen v Sokolovské pánvi, ale také v Chebské pánvi. Ta vznikla v třetihorách, stejně jako Sokolovská pánev a je součástí Krušnohorské pánve, kde se dodnes také hnědé uhlí těží (Mostecko, Chomutovsko). Uhelné sloje se v Chebské pánvi nacházejí asi na dvou třetinách její plochy. Drtivá 10
většina zásob je však v ochranných pásmech Františkových Lázní. Těžba uhlí je vyloučena, protože by pravděpodobně narušila tlakové poměry výstupu CO2 v lázeňských zřídlech. Jediným místem v Chebské pánvi, kde se těží uhlí, je Schirding na německé straně, ale i tam je těžba minimální. Na české straně Chebské pánve se těžilo hnědé uhlí skoro výhradně v okolí Kynšperka, Pochlovic a Čižebné. U Kynšperka a Dolních Pochlovic bylo v letech 1870 až 1946 dobýváno uhlí v hlubinném dole a dvou povrchových lomech (Boží Požehnání). Důsledky těžby dosud nejsou zahlazeny. Přítoky vod 5,5 m3/min. do severního a jižního lomu Boží Požehnání, mezi nimiž probíhá hlavní železniční trať Cheb–Chomutov, jsou již přes 60 let nákladně odčerpávány, aby byla zachována stabilita pilíře trati. Proto se nyní přistoupilo k sanaci zbytkových zatopených jam.
Zdroje: PŘÍRODNÍ FENOMÉNY A ZAJÍMAVOSTI ZÁPADNÍCH ČECH – VYDALO OBČANSKÉ SDRUŽENÍ MEZI LESY, PROSTIBOŘ VE SPOLUPRÁCI S MUZEEM CHEB, P. O. K ARLOVARSKÉHO KRAJE, 2010
3. GEOMETRIE – 8., 9. ročník Již starověká řecká škola kladla geometrii na jedno z předních míst mezi předměty tehdejší výuky. Z hodin dějepisu znáš postavu významného českého krále Karla IV., který byl vzdělaný, moudrý a prozíravý panovník. Bez znalostí geometrie by nebyla možná plavba po českých řekách. Tento panovník vydal zákon, kdy musely být všechny jezy opatřeny vraty alespoň dvacet loket (loket – 60cm) širokými. Bez znalosti geometrie by tyto stavby nemohly být realizovány. Při řešení těchto úloh je kladen důraz na experimentální charakter vyučující hodiny, která se koná na předem vybraném přístupném místě. K měření použiješ jednoduché pomůcky (různé druhy měřidel). Při rozdělení do skupin se podílíš společně s učitelem na vytváření pravidel bezpečnosti při práci, učíš se pracovat v týmu při řešení daného úkolu. Tímto zvyšuješ své schopnosti sociální a personální. Vyřešením úlohy jsi pověřen vždy po změření potřebných údajů v terénu. Před návštěvou pracovního místa by měl učitel vždy danou lokalitu navštívit, protože po deštích bývá tok řeky v některých úsecích pozměněn a vzhledem ke zvýšení hladiny řek 11
v některých případech není možný přístup k dané lokalitě, která byla vybrána k měření. Je dobré držet se zásady, že nejlepší způsob, jak se něco naučíš, je, když to sám objevíš. Práce v terénu by měla být kolektivní, aby byly rozšířeny tvé komunikativní schopnosti a nestala se případná měření a výpočty exhibicí jen několika žáků. Vyučující by měl po předchozím zadání úkolů ve škole v terénu pouze korigovat měření, doplňovat otázky a nesprávné závěry. Práce v terénu tě více zaujme než klasický způsob výuky u tabule ve třídě. Posílí tvůj rozvoj abstraktního myšlení. Zvýší tvou schopnost ustoupit ze svého někdy nesprávného řešení a uznat logický argument svého spolužáka v pracovní skupině, čímž posílí i tvé komunikativní schopnosti.
3.1 Výpočet délky oblouku a kruhové výseče V úlohách, které budeš řešit, zúročíš své vědomosti z předešlých ročníků, kdy jsi zvládl základy geometrie. Prohloubíš schopnosti k řešení problémů, vyhledáš způsob řešení, využiješ svůj úsudek, naučíš se hledat informace nutné k výpočtu. Ověříš si správnost svých výpočtů opět měřením.
3.2 Pythagorova věta – 9. ročník Po teoretické stránce jsi zvládl vědomosti umožňující ti výpočet stran, úhlů v pravoúhlém trojúhelníku podle Pythagorovy věty. Nyní tyto teoretické vědomosti uplatníš v praxi. Při výpočtu a praktickém ověření správnosti výpočtu je dobré se rozdělit do skupin, protože měření je prováděno v omezeném prostoru v blízkosti hladiny vody
Meandr v lokalitě „Bahna“ AUTOR: JIŘÍ K ARAS
12
a jezu. Vyučující by se měl pohybovat v době měření v dolní části schodiště. Budeš provádět měření v různých jednotkách (m, cm, mm). Každá skupina má určeny jednotky, ve kterých bude provádět výpočty. Je vhodné určit přesnost, se kterou se bude pracovat. Při práci, kdy budeš používat jako jednotku mm, budeš pracovat s přesností na cm, protože povrch schodiště je nerovnoměrný a docházelo by ke značným odchylkám ve výpočtech. Po změření si ve skupinách porovnáte naměřené hodnoty.
Schodiště Černý Mlýn AUTOR: JIŘÍ K ARAS
4. VYUŽITÍ LINEÁRNÍCH ÚPRAV PŘI ŘEŠENÍ ROVNIC – 8., 9. třída Po zvládnutí ekvivalentních úprav lineárních rovnic by sis měl vyzkoušet provést tento výpočet v praxi. Vyučující ti zadá úlohu, kdy budeš zjišťovat délku úseků řeky Ohře, a ty ji budeš řešit způsobem, který si zvolíš (logický úsudek, trojčlenka, nákres atd.) Podaří-li se ti řešit úlohu jiným než dříve jmenovaným způsobem, zjistíš, že se dá úloha řešit také rovnicemi. Po vyřešení úlohy zjistíš, že jsi schopen řešit úkol samostatně. Naučíš se vzájemné diskuzi se členy jiné skupiny, uznat logické argumenty při řešení dané úlohy, popřípadě rozdílných výsledků. Pokud uděláš numerickou chybu, je důležité, aby v případě diskuze byly argumenty předkládány jako postup a ne jako výsledek. Tímto způsobem současně zvýšíš i své komunikativní schopnosti při práci ve skupině a usnadní ti to obhájení vlastního přístupu při řešení dané úlohy. 13
Úloha, kdy se měří délky jednotlivých úseků v terénu, je vhodná pro skupinovou práci a může sloužit k utvrzení pojmů a lepšímu zafixování mechanických spojů, protože nejsi v časové tísni a máš větší možnost realizace své fantazie, protože úkol vidíš jiným způsobem než pouze ze školní lavice.
Pohled na řeku Ohři z cyklostezky AUTOR: JIŘÍ K ARAS
14
Název programu: Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název globálního grantu: Zvyšování kvality ve vzdělávání v Karlovarském kraji II Název projektu: Vzdělávej se s řekou Ohře Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.18/02.0017
Vzdělávej se s řekou Ohře Projekt je zaměřen na poznávání Karlovarského kraje, jehož nedílnou součástí je řeka Ohře. Smyslem projektu je formou inovace výuky prohloubit základní znalosti žáků školy a uvědomění si širších souvislostí týkajících se významu toku (řeky Ohře) v dané oblasti – Karlovarském kraji. Hlavním cílem projektu je formou aktivní práce a komunikace s cílovými skupinami zvýšit informovanost a vědomosti žáků o způsobu využití a potřebnosti vodního toku řeky Ohře a jednotlivých ekonomických a ekologických systémech, které jsou na danou oblast navázány.
Základní škola Lomnice Základní škola Lomnice je úplnou základní školou venkovského typu. Na škole pracují tři speciální pedagogové, koordinátor ŠVP, metodik – koordinátor ICT a koordinátor environmentální výchovy. Funkce koordinátorů jsou obsazeny plně kvalifikovanými pedagogy. Škola využívá dětské hřiště, multifunkční hřiště a dvě fotbalová hřiště. Součástí školního komplexu je školní jídelna a školní družina. Škola je vybavena moderní počítačovou učebnou s 25 stanicemi, v každé třídě je interaktivní tabule. Prioritním cílem školy je vytváření zdravého klimatu mezi dětmi a mezi pedagogy. K naplnění tohoto cíle slouží i předmět osobnostní a sociální výchova, adaptační a ozdravné pobyty žáků, na které přispívá velkou měrou obec Lomnice. Škola se modernizuje díky podpoře obce Lomnice.
www.lomnicezs.cz grafická úprava: www.studioillek.cz tisk: Pavel Bedrník – Praha
