Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan FT UGM
UJIAN AKHIR SEMESTER MATEMATIKA TEKNIK SA B T U, 2 J UL I 2011 | OPE N B OOK | W AK T U 10 0 ME NIT
P ETUNJUK 1) Saudara boleh menggunakan komputer untuk mengerjakan soal-soal ujian ini. Tabel hitungan Saudara salin ke lembar jawab. 2) Harap Saudara memperhatikan satuan pada setiap variabel. 3) Setiap butir soal memiliki bobot nilai yang sama.
S OAL 1 25
22
20
Elevasi (m)
20 14
15
14
13 9
10
7
6
5 5
2
2
0 0
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
Jarak (m)
Gambar di atas menunjukkan profil tanah melintasi sebuah bukit. Bukit tersebut akan diratakan dengan cara dipotong (digali) hingga elevasi +0 m untuk keperluan pembangunan sebuah pabrik. Dengan asumsi profil tersebut identik pada arah tegak lurus bidang gambar, hitunglah dengan cara numeris volume potongan (per meter lebar tegak lurus bidang gambar) yang harus dilakukan.
Istiarto
P ENYELESAIAN Volume potongan per meter lebar tegak lurus bidang gambar adalah sama dengan luas kawasan di bawah kurva profil muka tanah dan di atas bidang pada elevasi +0 m, serta dibatasi oleh jarak 0 m di sisi kiri dan 400 m di sisi kanan. Secara matematis, luas tersebut dinyatakan dalam bentuk integral sebagai berikut:
UAS Metoda Numerik 2011
hlm. 1 dari 8
Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan FT UGM
400
A
y dx 0
Dalam persamaan tersebut A adalah luas (m2), y adalah elevasi muka tanah (m), dan x adalah jarak (m). Secara numeris, integral di atas dapat dihitung dengan memakai salah satu metoda yang telah dibahas pada saat kuliah. Di sini, dipilih metoda trapesium. Pada gambar tampak ada 10 buah trapesium dengan lebar seragam, h = ∆x = 40 m. 40
80
400
A y d x y d x ... 0
40
y dx
360
A1 A2 ... A10 y y1 y y10 y y2 40 0 40 1 ... 40 9 2 2 2
Hitungan dilakukan dengan cara tabulasi seperti disajikan pada tabel di bawah ini. T ABEL 1. H ITUNGAN VOLUME GA LIA N DENGAN IN TEGRA SI NUMERIS METODA
Titik ukur i
Jarak (m) xi
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
Elevasi (m) yi 2 7 14 22 20 14 5 9 13 6 2
TRAPESIUM
Luas (m2) Ai --180 420 720 840 680 380 280 440 380 160
4 480
Jadi luas atau volume pekerjaan galian tanah yang harus dilakukan untuk perataan tanah hingga elevasi +0 m adalah 4 480 m3/m'.
Istiarto
Pada metoda trapesium, bentuk profil bukit didekati dengan garis lurus yang menghubungkan titik-titik data ukur elevasi tanah. Bentuk profil itu sendiri tidak diketahui karena data elevasi tanah di antara titik-titik ukur tidak diketahui. Metoda trapesium dapat memiliki kesalahan hitung yang besar, khususnya apabila bentuk profil bukit pada kenyataannya menyimpang dari garis-garis lurus antar titik-titik data ukur. Untuk meningkatkan ketelitian hasil hitungan, dapat dipakai metoda Simpson 1/3. Pada metoda ini, antara 3 titik data ukur dihubungkan dengan garis lengkung yang diperoleh dari fungsi polinomial orde 2. Karena ada 11 titik data, maka ada 5 pasang tiga titik data atau 5 pias yang masing-masing memiliki lebar 80 m. Simpson 1/3 diterapkan pada kelima pias tersebut:
UAS Metoda Numerik 2011
hlm. 2 dari 8
Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan FT UGM
80
160
A y dx 0
240
y dx
80
360
y dx
160
400
y dx
240
y dx
360
A1 A2 A3 A4 A5 y 4 y1 y 2 y 4y3 y 4 80 0 80 2 6 6
y 4 y 9 y10 ... 80 8 6
Hitungan dilakukan dengan cara tabulasi seperti disajikan pada tabel di bawah ini. T ABEL 2. H ITUNGAN VOLUME GA LIA N DENGAN IN TEGRA SI NUMERIS METODA S IMPSON 1/3
Titik ukur i
Jarak (m) xi
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Luas (m2) Ai
Elevasi (m) yi
0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
2 7 14 22 20 14 5 9 13 6 2
----586.667 --1626.667 --1080 --720 --520
4533.333
Jadi luas atau volume pekerjaan galian tanah yang harus dilakukan untuk perataan tanah hingga elevasi +0 m adalah 4 533.333 m3/m'.
S OAL 2 25
22 20
Elevasi (m)
20
18 14
15
17 14
13 12 12 9
10
7
7 5
5
9 6 3
2
2
0 0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
Istiarto
Jarak (m)
UAS Metoda Numerik 2011
hlm. 3 dari 8
Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan FT UGM
Menjelang pelaksanaan pemotongan bukit pada Soal 1, dilakukan pengukuran ulang dengan penambahan titik ukur. Hasil pengukuran ulang disajikan pada gambar di bawah ini. Hitung kembali volume pekerjaan pemotongan bukit tersebut dengan metoda numeris. Gunakan metoda integrasi numeris Simpson 1/3 atau 3/8. Pada pias yang tidak memungkinkan penggunaan metoda Simpson, pakailah metoda trapesium. Tunjukkan pada tabel hitungan Saudara, metoda yang dipakai pada setiap pias.
P ENYELESAIAN Metoda Simpson 1/3 membutuhkan 3 pasang titik data berjarak seragam dan metoda Simpson 3/8 membutuhkan 4 pasang titik data berjarak seragam. Luas di bawah kurva atau nilai integral menurut metoda Simpson 3/8 untuk suatu pias adalah: x3
Ai y d x x0
y 3y1 3y2 y 3 x 3 x 0 0 8
Pada Soal 2, ada beberapa pias yang luasnya dapat dihitung dengan metoda Simpson 3/8, sebagian yang lain dihitung dengan metoda Simpson 1/3, dan ada pula yang hanya dapat dihitung dengan metoda trapesium. Hitungan disajikan pada Tabel 3. Hitungan integrasi numeris dengan berbagai metoda menunjukkan bahwa luas atau volume pekerjaan galian tanah untuk perataan tanah hingga elevasi +0 m adalah 4 446.667 m3/m'. T ABEL 3. H ITUNGAN VOLUME GA LIA N DENGAN IN TEGRA SI NUMERIS METODA S IMPSON 3/8, S IMP SON 1/3, DAN TRAPESIUM
Titik ukur i
0 40 80 100 120 160 180 200 240 260 280 310 320 330 340 360 380 400
Elevasi (m) yi 2 7 14 18 22 20 17 14 5 7 9 12 13 12 9 6 3 2
Lebar pias ∆xi --40 40 20 20 40 20 20 40 20 20 30 10 10 10 20 20 20
Luas (m2) Ai ----586.667 --720 840 --680 380 --280 315 ----360 ----285 4446.667
Metoda
Simpson 1/3 Simpson 1/3 Trapesium Simpson 1/3 Trapesium Simpson 1/3 Trapesium
Simpson 3/8
Simpson 3/8
Istiarto
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Jarak (m) xi
UAS Metoda Numerik 2011
hlm. 4 dari 8
Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan FT UGM
S OAL 3 Sebuah benda bergerak naik turun dengan kecepatan yang berubah-ubah. Dari pengukuran selama 2 detik dengan selang pengukuran 0.1 detik (frekuensi sampling 10 Hertz), diperoleh informasi bahwa kecepatan gerak benda tersebut dapat dinyatakan dengan persamaan:
v
dy y cos 3.2645t 0.5 y sin3.2645t 0.5 , pada t 0 s y 1 m dt
Dalam persamaan di atas v adalah kecepatan gerak benda (m/s), y adalah elevasi (m), dan t adalah waktu (s). Pada saat pengukuran dimulai, t = 0 s, posisi benda berada pada elevasi y = 1 m. Hitunglah dengan cara numeris posisi benda tersebut setiap selang waktu h = ∆t = 0.1 s pada rentang waktu t = 0 s.d. 2 s. Pakailah salah satu metoda: Euler, Heun, atau Poligon. Apabila Saudara menambahkan metoda Runge-Kutta untuk menghitung posisi benda tersebut, tambahan (bonus) nilai akan diberikan.
P ENYELESAIAN Penyelesaian persamaan diferensial ordiner (ordinary differential equations, ODE) dengan syarat awal yang diketahui seperti pada Soal 3 ini dilakukan dengan beda hingga yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
yi 1 yi h Dalam persamaan tersebut yi+1 dan yi berturut-turut adalah posisi atau elevasi benda pada waktu ti+1 dan ti, h adalah selang waktu atau ∆t = ti+1 – ti, dan adalah slope atau gradien penggal kurva antara yi dan yi+1. Gradien merupakan fungsi t dan y, = dy/dt = f(t,y). Dalam hal ini, gradien tidak lain adalah kecepatan benda, v, saat bergerak dari yi ke yi+1. Tiga metoda hitungan, yaitu Euler, Heun, dan Poligon berbeda dalam menetapkan gradien : a) pada metoda Euler, ditetapkan sebagai gradien di titik ti, b) pada metoda Heun, ditetapkan sebagai gradien rata-rata antara gradien di titik ti dan gradien di titik ti+1, c) pada metoda Poligon, ditetapkan sebagai gradien di titik tengah antara ti dan ti+1. Metoda penyelesaian yang paling mudah dan cepat untuk diselesaikan adalah metoda Euler:
yi 1 yi f t i , yi h yi vi h , h = 0.1 s
Istiarto
Hitungan disajikan dalam pada Tabel 4. Sampai di sini, Saudara telah selesai menjawab semua soal ujian. Namun demikian, apabila Saudara masih memiliki waktu, Saudara dapat mencoba menyelesaikan Soal 3 ini dengan memakai metoda-metoda yang lain. Pada tabel Tabel 5, Tabel 6, dan Tabel 7 disajikan hitungan penyelesaian ODE secara numeris dengan memakai metoda Heun, Poligon, dan Runge-Kutta. Pada pemakaian metoda Heun, hanya dilakukan satu kali koreksi, jadi yi+1 yang diperoleh dari langkah pertama sebagai prediktor dikoreksi pada langkah kedua yang menghasilkan korektor. Setelah itu, hitungan berlanjut pada langkah waktu t berikutnya. Metoda ini dikenal sebagai single-corrector Heun.
UAS Metoda Numerik 2011
hlm. 5 dari 8
Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan FT UGM
yiprediktor yi f t i , yi h yi vi h 1
rata rata
f t i , y i f t i 1 , y iprediktor 1 2
yikorektor yi rata rata h 1
Metoda Poligon mendefinisikan gradien gradien (yaitu kecepatan v) antara yi dan yi+1 sebagai gradien di titik yi+½, yaitu titik di tengah antara yi dan yi+1. Langkah hitungan adalah sebagai berikut: y i 1 2 y i f t i , y i
h h yi vi 2 2
yi 1 yi f t i 1 2 , yi 1 2 h
Metoda Runge-Kutta (RK) ada beberapa jenis, antara lain second-order RK, third-order RK, atau fourth-order RK. Pada Tabel 7 disajikan penyelesaian ODE dengan metoda fourth-order RK. Persamaan-persamaan yang dipakai pada metoda ini adalah:
y i 1 y i
k1 2k2 2k3 k4 h 6
k1 f t i , y i v i
k2 f t i 12 h, y i 12 h k1
k3 f t i 12 h, y i 12 h k2
k4 f t i h, y i h k3
Hasil hitungan posisi benda pada waktu t = 0 s.d. 2 detik dengan berbagai metoda disajikan pada gambar di bawah ini. Euler
Heun
Poligon
4th-order RK
1.6
Elevasi, y (m)
1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0
0.5
1
1.5
2
Istiarto
Waktu, t (s)
UAS Metoda Numerik 2011
hlm. 6 dari 8
Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan FT UGM T ABEL 4. H ITUNGAN POSISI BENDA
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ti (s)
f(ti,yi)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
1.357 1.315 1.059 0.585 -0.041 -0.686 -1.198 -1.474 -1.498 -1.327 -1.050 -0.739 -0.435 -0.151 0.115 0.373 0.627 0.871 1.081 1.216 ---
T ABEL 5. H ITUNGAN POSISI BENDA
i
f(ti,yi) (m/s)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
1.357 1.325 1.074 0.595 -0.042 -0.699 -1.222 -1.509 -1.546 -1.385 -1.108 -0.787 -0.466 -0.162 0.124 0.402 0.676 0.943 1.179 1.338 ---
SECARA NUMERIS MEMAKAI METODA
E ULER
SECARA NUMERIS MEMAKAI METODA
H EUN
yi (m) 1 1.136 1.267 1.373 1.432 1.427 1.359 1.239 1.092 0.942 0.809 0.704 0.630 0.587 0.572 0.583 0.620 0.683 0.770 0.878 1
DENGAN PEN YELESAIAN
ti (s)
ODE
ODE
yi(prediktor) (m) 1.136 1.277 1.393 1.457 1.454 1.384 1.263 1.118 0.972 0.844 0.743 0.672 0.629 0.614 0.627 0.667 0.736 0.834 0.958 1.100
f(ti,yi) (m/s) 1.541 1.479 1.164 0.621 -0.042 -0.665 -1.114 -1.330 -1.334 -1.190 -0.965 -0.705 -0.434 -0.158 0.127 0.427 0.744 1.063 1.345 1.523
rata-rata (m/s)
yi(korektor) (m)
1.449 1.402 1.119 0.608 -0.042 -0.682 -1.168 -1.420 -1.440 -1.287 -1.036 -0.746 -0.450 -0.160 0.125 0.414 0.710 1.003 1.262 1.430
1 1.145 1.285 1.397 1.458 1.454 1.385 1.269 1.127 0.983 0.854 0.750 0.676 0.631 0.615 0.627 0.669 0.740 0.840 0.966 1.109
Istiarto
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
DENGAN PEN YELESAIAN
UAS Metoda Numerik 2011
hlm. 7 dari 8
Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan FT UGM T ABEL 6. H ITUNGAN POSISI BENDA
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Istiarto
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ODE
SECARA NUMERIS MEMAKAI METODA
ti (s)
f(ti,yi) (m/s)
ti+½ (s)
yi+½ (m)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
1.357 1.315 1.051 0.572 -0.039 -0.641 -1.097 -1.331 -1.348 -1.203 -0.966 -0.694 -0.418 -0.149 0.116 0.385 0.661 0.934 1.178 1.337 ---
0.050 0.150 0.250 0.350 0.450 0.550 0.650 0.750 0.850 0.950 1.050 1.150 1.250 1.350 1.450 1.550 1.650 1.750 1.850 1.950
1.068 1.202 1.310 1.370 1.367 1.301 1.189 1.052 0.915 0.793 0.696 0.627 0.586 0.571 0.583 0.621 0.687 0.780 0.898 1.033
T ABEL 7. H ITUNGAN POSISI BENDA
i
DENGAN PEN YELESAIAN
DENGAN PEN YELESAIAN
ODE
f(ti+½,yi+½) (m/s) 1.361 1.214 0.838 0.276 -0.353 -0.899 -1.248 -1.366 -1.290 -1.088 -0.828 -0.553 -0.281 -0.016 0.249 0.519 0.795 1.058 1.268 1.362
SECARA NUMERIS MEMAKAI
P OLIGON
yi (m) 1 1.136 1.257 1.341 1.369 1.334 1.244 1.119 0.982 0.853 0.744 0.662 0.606 0.578 0.577 0.602 0.654 0.733 0.839 0.966 1.102
4 TH - ORD ER R UNGE -K UTTA
ti (s)
k1 (m/s)
k2 (m/s)
k3 (m/s)
k4 (m/s)
(m/s)
yi (m)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
1.357 1.314 1.050 0.570 -0.039 -0.640 -1.095 -1.331 -1.349 -1.204 -0.967 -0.695 -0.418 -0.149 0.116 0.385 0.661 0.935 1.179 1.339
1.361 1.213 0.836 0.275 -0.352 -0.897 -1.246 -1.366 -1.291 -1.090 -0.829 -0.553 -0.281 -0.016 0.249 0.519 0.795 1.059 1.270 1.364
1.361 1.208 0.830 0.272 -0.348 -0.888 -1.238 -1.364 -1.295 -1.097 -0.837 -0.559 -0.284 -0.016 0.251 0.525 0.803 1.068 1.276 1.366
1.315 1.050 0.570 -0.039 -0.639 -1.095 -1.330 -1.348 -1.203 -0.966 -0.694 -0.418 -0.149 0.116 0.385 0.661 0.936 1.180 1.340 1.345
1.353 1.201 0.825 0.271 -0.346 -0.884 -1.233 -1.356 -1.287 -1.091 -0.832 -0.556 -0.283 -0.016 0.250 0.522 0.799 1.061 1.269 1.357
1 1.135 1.255 1.338 1.365 1.330 1.242 1.119 0.983 0.854 0.745 0.662 0.606 0.578 0.577 0.602 0.654 0.734 0.840 0.967 1.102
-o0o-
UAS Metoda Numerik 2011
hlm. 8 dari 8
