INTERPOLASI
Tujuan
Interpolasi berguna untuk memperkirakan nilai-nilai tengah antara titik data yang sudah ditentukan dan tepat.
Interpolasi mempunyai orde atau derajat.
Macam Interpolasi
Interpolasi Linear Interpolasi Kuadratik Interpolasi Kubik Interpolasi Polinomial Interpolasi Beda Terbagi Newton Interpolasi Lagrange Interpolasi Kubik Spline
Interpolasi
Proses Interpolasi dari dua sampai lima titik data
Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi
Interpolasi Linear Diketahui: Dua titik(x1, y1), (x2, y2) Ditanya: Garis yang melewati 2 titik tersebut
f 2 x f x0
f x1 f x0 x x0 x1 x0 Contoh: f(x) = ln x
ln 2 = 0.6931472
x0 = 1 dan x1 = 6: f2(2) = 0.3583519
x0 = 1 dan x1 = 4 f2(2) = 0.4620981
Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!
Interpolasi Linear
Merupakan bentuk paling sederhana dari interpolasi, yang menghubungkan 2 titik data dengan garis lurus
f1 ( x) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) x x0 x x0
Kemiringan garis merupakan pendekatan terhadap turunan pertama
f ( x1 ) f ( x0 ) f1 ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) Persamaan x x0 interpolasi linear
f1(x) menyatakan bahwa ini adalah polinomial orde pertama.
Interpolasi Linear
Interpolasi Linier Derajat/orde 1 memerlukan 2 titik x 1 2 3 4
f(x) 4,5 7.6 9.8 11.2
Berapa f(x = 1,325) = ? Memerlukan 2 titik awal : x=1 x=2
Interpolasi Kuadratis Diketahui: Tiga titik(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3) Ditanya: kuadratis f2(x) = a0 + a1x + a2x2 yang melewati ke-3 titik diatas
f 2 x b0 b1 x x0 b2 x x0 x x1 b0 f x 0
b1
f x1 f x 0 x1 x 0
f x 2 f x1 f x1 f x 0 x 2 x1 x1 x 0 b2 x2 x0
Contoh: f(x) = ln x ln 2 = 0.6931472
Titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759) b0 = 0 b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981 b2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1) = -0.0518731
f2(2) = 0.5658444
Interpolasi Kuadratis
Interpolasi Kuadratik Derajat/orde 2 memerlukan 3 titik x = 1 f(x = 1) = . . . . x = 2 f(x = 2) = . . . . f (x = 1,325) = ? x = 3 f(x = 3) = . . . .
Interpolasi Polinomial Dua titik data
: Garis
Tiga titik data
: Kuadratik
Empat titik data …
:Polinomial tingkat-3
n titik data
:Polinomial tingkat-n
Diketahui: n titik data (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn) Ditanya :a0, a1, …, an sehingga
x1 a1 x12 a 2 ... x1n a n y1 a 0 x 2 a1 x 22 a 2 ... x 2n a n y 2 a 0
f x a0 a1 x a 2 x 2 a n x n
x n a1 x n2 a 2 ... x nn a n y n a 0
Adakah cara yang lebih baik untuk menyelesaikan persamaan diatas?
Interpolasi Polinomial
Interpolasi Kubik Derajat/orde 3 memerlukan 4 titik
Interpolasi derajat/orde ke-n memerlukan n+1 titik
Semakin tinggi orde yang digunakan untuk interpolasi hasilnya akan semakin baik (teliti).
TEKNIK INTERPOLASI
Interpolasi Linier
Cara: menghubungkan 2 titik dengan sebuah garis lurus
Pendekatan formulasi interpolasi linier sama dengan persamaan garis lurus.
f x1 f x0 x x0 f1 x f x0 x1 x0
Interpolasi Linier
Prosentase kesalahan pola interpolasi linier :
Harga_hasi l_perhitungan Harga_sebe narnya εt Harga_hasi l_perhitungan
Interpolasi Linier (Contoh 1)
Diketahui suatu nilai tabel distribusi ‘Student t’ sebagai berikut : t5% = 2,015 t2,5% = 2,571 Berapa t4% = ?
Interpolasi Linier (Contoh 1)
Penyelesaian x0 = 5 f(x0) = 2,015 x1 = 2,5 f(x1) = 2,571 x=4 f(x) = ? Dilakukan pendekatan dengan orde 1 : f1 x f x0
f x1 f x0 x x0 x1 x0
2,571 2,015 4 5 2,015 2,5 5 2,2374 2,237
Interpolasi Linier (Contoh 2)
Diketahui: log 3 = 0,4771213 log 5 = 0,698700 Harga sebenarnya: log (4,5) = 0,6532125 (kalkulator). Harga yang dihitung dengan interpolasi: log (4,5) = 0,6435078
0,6435078 0,6532125 t 100% 1,51% 0,6435078
Contoh :
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.
Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.
Contoh :
maka untuk mencari nilai x=45 maka,
Example The upward velocity of a rocket is given as a function of time in Table. Find the velocity at t=16 seconds using linear splines. t
v(t)
s
m/s
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
Table : Velocity as a function of time
Figure : Velocity vs. time data for the rocket example
Interpolasi Linier
Pendekatan interpolasi dengan derajat 1, pada kenyataannya sama dengan mendekati suatu harga tertentu melalui garis lurus.
Untuk memperbaiki kondisi tersebut dilakukan sebuah interpolasi dengan membuat garis yang menghubungkan titik yaitu melalui orde 2, orde 3, orde 4, dst, yang sering juga disebut interpolasi kuadratik, kubik, dan yang berikutnya disebut dengan polinomial.
Interpolasi Kuadrat F(x) = ax2 + bx + c
Interpolasi Kuadrat
Titik-titik data (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3)
Hitung a, b dan c dari sistem persamaan tersebut dengan Metode Eliminasi Gauss
Interpolasi Kuadrat (Versi lain)
Untuk memperoleh titik baru Q (x,y)
( x x2 )( x x3 ) ( x x1 )( x x3 ) ( x x1 )( x x2 ) y y1 y2 y3 ( x1 x2 )( x1 x3 ) ( x2 x1 )( x2 x3 ) ( x3 x1 )( x3 x2 )
Interpolasi Kuadratik
Interpolasi orde 2 sering disebut sebagai interpolasi kuadratik, memerlukan 3 titik data.
Bentuk polinomial orde ini adalah : f2(x) = a0 + a1x + a2x2 dengan mengambil: a0 = b0 – b1x0 + b2x0x1 a1 = b1 – b2x0 + b2x1 a2 = b2
Interpolasi Kuadratik
Sehingga f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) Pendekatan dengan garis linier
dengan
Pendekatan dengan kelengkungan
b0 f x0 b1
f x1 f x0 f x 1 , x0 x1 x0
f x2 f x1 f x1 f x0 x2 x1 x1 x0 f x , x , x b2 2 1 0 x2 x0
Interpolasi Kubik
f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
dengan: b0 f x0 b1
f x1 f x0 f x 1 , x0 x1 x0
f x2 f x1 f x1 f x0 x2 x1 x1 x0 f x , x , x f [x2 , x1 ] f [x1 , x0 ] b2 2 1 0 x2 x0 x2 x0 b3
f [x3 , x2 , x1 ] f [x2 , x1 , x0 ] f x3 , x2 , x1 , x0 x3 x0
Interpolasi Beda Terbagi Newton
Secara umum: f1(x) = b0 + b1(x-x0) f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +b3(x-x0)(x-x1)(x-x2) … fn(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +b3(x-x0)(x-x1)(x-x2) +… +bn(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)
Interpolasi Beda Terbagi Newton Dengan: b0 = f(x0) b1 = f[x1, x0] b2 = f[x2, x1, x0] … bn = f[xn, xn-1, xn-2, . . . ., x0]
Interpolasi Beda Terbagi Newton (Contoh 3)
Hitung nilai tabel distribusi ‘Student t’ pada derajat bebas dengan = 4%, jika diketahui: t10% = 1,476 t2,5% = 2,571 t5% = 2,015 t1% = 3,365 dengan interpolasi Newton orde 2 (a) dan orde 3 (b)!
Interpolasi Beda Terbagi Newton (Contoh 3a) Interpolasi Newton Orde 2: butuh 3 titik x0 = 5 f(x0) = 2,015 x1 = 2,5 f(x1) = 2,571 x2 = 1 f(x2) = 3,365 b0 = f(x0) = 2,015
f x1 f x0 2,571 2,015 b1 0,222 x1 x0 2,5 5 f x2 f x1 f x1 f x0 x2 x1 x1 x0 b2 x2 x0 3,365 2,571 2,571 2,015 1 2,5 2,5 5 0,077 15
Interpolasi Beda Terbagi Newton (Contoh 3a)
f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) = 2,015 + (-0,222) (4-5) + 0,077 (4-5)(4-2,5) = 2,121
Interpolasi Beda Terbagi Newton (Contoh 3b) Interpolasi Newton Orde 3: butuh 4 titik x0 = 5 f(x0) = 2,015 x1 = 2,5 f(x1) = 2,571 x2 = 1 f(x2) = 3,365 x3 = 10 f(x3) = 1,476
Interpolasi Beda Terbagi Newton (Contoh 3b)
b0 = f(x0) = 2,015 b1 = -0,222 f[x1,x0] b2 = 0,077 f[x2,x1,x0] 1,476 3,365 3,365 2,571 10 1 1 2,5 0,077 10 2,5 b3 10 5 0,043 0,077 5 0,007
Interpolasi Beda Terbagi Newton (Contoh 3b)
f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2) = 2,015 + (-0,222)(4-5) + 0,077 (4-5)(4-2,5) + (-0,007)(4-5)(4-2,5)(4-1) = 2,015 + 0,222 + 0,1155 + 0,0315 = 2,153
Contoh Interpolasi Polynomial Newton Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) Ditanya: Perkirakan x = 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3 f n x b0 b1 x x0 b2 x x0 x x1 b2 x x0 x x1 b3 x x0 x x1 x x 2
f x1, x0
1.386294 0 0.462 4 1
f x 2 , x1 , x 0
f x2 , x1
1.791759 1.386294 0.203 64
0.203 0.462 0.052 6 1
f x3 , x 2 , x1 , x 0
f x3 , x 2 , x1
f x3 , x2
1.609438 1.791759 0.182 56
0.182 0.203 0.020 54
0.020 (0.052) 0.008 5 1
f3(2) = 0.629
Divided Differences (Beda Terbagi) f [ xk ] f ( xk )
zeroth order DD
f [ x1 ] f [ x0 ] f [ x0 , x1 ] x1 x0
first order DD
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x0
Second order DD
............ f [ x1 , x2 ,..., xk ] f [ x0 , x1 ,..., xk 1 ] f [ x0 , x1 ,..., xk ] xk x0
Tabel Beda Terbagi x
F[ ]
F[ , ]
F[ , , ]
F[ , , ,]
x0
F[x0]
F[x0,x1]
F[x0,x1,x2]
F[x0,x1,x2,x3]
x1
F[x1]
F[x1,x2]
F[x1,x2,x3]
x2
F[x2]
F[x2,x3]
x3
F[x3]
f n ( x) F [ x0 , x1 ,..., xi ] i 0 n
x x j j 0 i 1
Tabel Beda Terbagi
xi
f(xi)
x
F[ ]
F[ , ]
F[ , , ]
0
-5
0
-5
2
-4
1
-3
1
-3
6
-1
-15
-1
-15
Tabel Beda Terbagi
x
F[ ]
F[ , ]
F[ , , ]
0
-5
2
-4
1
-3
6
-1
-15
xi
yi
0
-5
1
-3
-1
-15
Dua kolom pertama adalah kolom data titik Kolom ketiga adalah beda orde pertama Kolom berikutnya adalah beda orde kedua, dst.
Tabel Beda Terbagi
x
F[ ]
F[ , ]
F[ , , ]
0
-5
2
-4
1
-3
6
-1
-15
3 (5) 2 1 0
f [ x1 ] f [ x0 ] f [ x0 , x1 ] x1 x0
xi
yi
0
-5
1
-3
-1
-15
Tabel Beda Terbagi
x
F[ ]
F[ , ]
F[ , , ]
xi
yi
0
-5
2
-4
1
-3
6
0
-5
-1
-15
1
-3
-1
-15
15 (3) 6 1 1
f [ x2 ] f [ x1 ] f [ x1 , x2 ] x2 x1
Tabel Beda Terbagi
x
F[ ]
F[ , ]
F[ , , ]
xi
yi
0
-5
2
-4
1
-3
6
0
-5
-1
-15
1
-3
-1
-15
6 (2) 4 1 (0)
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x0
Tabel Beda Terbagi
x
F[ ]
F[ , ]
F[ , , ]
xi
yi
0
-5
2
-4
1
-3
6
0
-5
-1
-15
1
-3
-1
-15
f 2 ( x) 5 2( x 0) 4( x 0)( x 1) f2(x)= F[x0]+F[x0,x1] (x-x0)+F[x0,x1,x2] (x-x0)(x-x1)
Bandingkan!
x
y
x
y
1
0
2
3
2
3
1
0
3
8
3
8
Apa yang dapat disimpulkan?
Bandingkan! x
Y
1
0
3
2
3
5
3
8
1
P2 ( x) 0 3( x 1) 1( x 1)( x 2) x2 1
x
Y
2
3
3
1
0
4
3
8
1
P2 ( x) 3 3( x 2) 1( x 2)( x 1) x2 1
Urutan titik tidak akan mempengaruhi hasil beda terbagi
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x0 ] f [ x2 , x1 , x0 ]
TERIMA KASIH
