Tudományos Diákköri Dolgozat
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségelosz lásának numerikus vizsgálata
Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila III. éves építomérnök hallgatók
Konzulensek:
Budapest 2000. október
Dr. Bagi Katalin MTA – BME, Tartószerkezetek Numerikus Mechanikája Kutatócsoport Dr. Bojtár Imre BME, Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék ......................................................................................................................... 1 I. Bevezetés ................................................................................................................................ 1 II. Analitikus megoldás .............................................................................................................. 3 II. 1. Elméleti összefoglaló..................................................................................................... 3 II. 1. a. Az elmozdulások meghatározása a feszültség függvényekbol.............................. 4 II. 1. b. A biharmonikus differenciálegyenlet komplex alakja........................................... 6 II. 1. c. Az elmozdulások és a feszültségek komplex alakja .............................................. 8 II. 1. d. Az alapfeladat megoldása .................................................................................... 10 II. 2. Az analitikus megoldás eredménye és elemzése ......................................................... 13 III. Végeselem- módszer ........................................................................................................... 19 IV. Diszkrét elemes módszer („Distinct element method”) ..................................................... 27 IV. 1. Elméleti összefoglaló ................................................................................................. 27 IV. 2. A diszkrét-elemek módszerének gyakorlati alkalmazása .......................................... 29 IV. 2. a. Halmazgenerálás ................................................................................................ 29 IV. 2. b. Anyagjellemzok felvétele .................................................................................. 32 IV. 2. c.Terhelés és kiegyensúlyozás ............................................................................... 32 IV. 2. d. A futási eredmények vizsgálata és értékelése.................................................... 34 VI. Összefoglalás ..................................................................................................................... 44 VII. Felhasznált források .......................................................................................................... 45 VII. 1. Irodalomjegyzék ....................................................................................................... 45 VII. 2. Szoftverjegyzék ........................................................................................................ 46
1
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
I. Bevezetés Mérnöki szerkezetek tervezési feladatainál gyakori és érdekes probléma a lyukkal gyengített tárcsa szilárdságtani vizsgálata. E dolgozat a témát egy egyszerubb feladaton keresztül mutatja be: az igen sokféle geometriai alakú gyengítés közül mi az elliptikus lyukakkal foglalkoztunk, mert ezzel a feladatcsoporttal viszonylag sok valós eset modellezheto. E témakörbe tartozik például a körrel gyengített tárcsa, amely igen gyakori probléma a tartószerkezeteknél, és ide tartoznak a nagyon vékony repedések vizsgálatai is, melyeket nagy foátló különbségu ellipszisekkel modellezhetünk. Dolgozatunkban a feladatokat három különbözo módszerrel oldottuk meg, és így munkánk is e három megoldás köré épül. Az általunk tárgyalt megoldások közül az analitikus vizsgálat ma viszonylag ritkábban használt, ennek ellenére elméleti jelentossége miatt eloször ennek bemutatását tuztük ki célul. Az adott feladatkörhöz tartozó vizsgálatok eloször a XX. század elején kerültek publikálásra. Koloszov 1909-ben a klasszikus rugalmasságtan módszereivel fejezte ki ellipszissel gyengített tárcsa feszültségeit. O a biharmonikus differenc iálegyenlet komplex alakjával, feszültség függvények segítségével oldotta meg a feladatot. Modellje egy végtelen kiterjedésu, homogén és izotóp, egységnyi vastagságú tárcsa, melyre tetszoleges irányú és nagyságú konstans megoszló terhelés hat valamely irányból a végtelenben. A tárcsa közepére helyezett ellipszis fotengelyarányai tetszolegesek. Hangsúlyozzuk, hogy e feladat megoldása azért fontos, mert a további megoldási módszerek eredményeihez viszonyítási alapul szolgál. További ok a megoldására, hogy jól érzékelteti azt a tényt, hogy a klasszikus rugalmasságtan viszonylag milyen bonyolult módszerrel képes kezelni a problémát. Az analitikus megoldáshoz az általunk készített számítógépes program háromdimenziós ábrái segítik megérteni az elméleti rugalmasságtan tananyagát, így ezek jól felhasználhatók például az oktatásban is.
1. ábra Illusztráló ábra a feladat mechanikai megfogalmazásához
1
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Vizsgálataink második csoportjának eszköze a mai mérnöki gyakorlatban leggyakrabban használt numerikus eljárás, a végeselem-módszer. Ez az eljárás az analitikus megoldás egy lehetséges numerikus közelítése. Fontos jellemzoje a modellnek, hogy itt a tárcsa kiterjedése véges. A megoldás alapja általában valamely energiatétel használata (a potenciális energia stacio naritásának tétele a legelterjedtebb), speciálisan választott közelíto függvényekre. A módszer elonye az analitikus megoldással szemben, hogy itt nem csak a lyuk peremén, hanem a tárcsa belso pontjaiban is meg tudjuk határozni a feszültségeket, hátránya azonban az, hogy az eredményeket nem általánosan, zárt formában adja vissza – mint az analitikus változat – hanem minden esetben speciálisan csak arra az egy esetre vonatkozó megoldást ad. A végeselem- módszer után egy másik numerikus eljárást tárgyalunk. A numerikus eljárások között ma még inkább csak kísérleti jelleggel használt módszer a szerkezetet különálló elemekbol felépíto, úgynevezett „distinct element” technika. Ez a vizsgálat alapjaiban különbözik az eddig ismertetettektol, mivel ennél a megoldásnál már a modell sem egyezik meg az eddig használtakkal. Az anyagot itt nem kontinuumnak tételezzük fel, hanem elemi szemcsékbol álló együttesnek. A makroszintu anyagi jellemzoket az egyes szemcsék közti kapcsolatok mechanikai jellemzoi, illetve a halmaz geometriája szabják meg. A külso mechanikai hatások eredményeképpen az egyes szemcsék eltolódhatnak, illetve elfordulhatnak. Az elmozdulások például Newton II. törvénye alapján számíthatók. E rendszernél a megoldás értelmezése igen komplex feladat, hiszen az eredményt nem a klasszikus elméletekben megszokott folytonos függvények formájában kapjuk meg, hanem az egyes szemcsék elmozdulásait és közöttük átadódó eroket ismerjük meg csupán. A feszültség- és alakváltozás-tenzor foga lma például csak átlagolások alapján értelmezheto. A fenti három fo fejezetet követoen dolgozatunk utolsó elotti fejezetében összehasonlítjuk a három módszerbol kapott eredményeket, mérlegeljük elonyeiket és hibáikat. Munkánkat öszszefoglaló elemzés, illetve a felhasznált forrásokat felsoroló irodalom- és szoftverjegyzék zárja.
2
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
II. Analitikus megoldás A bevezetésben leírtaknak megfeleloen eloször az analitikus megoldást mutatjuk be. Ez a fejezet két alfejezetbol fog állni, melyek összefoglalják az elméleti ismereteket, illetve a számítógépes illusztráció segítségével a megoldást.
II. 1. Elméleti összefoglaló Ez az alfejezet a megoldást feszültségfüggvények segítségével kereso analitikus vizsgálat elméleti alapjaival foglalkozik. Mivel a bizonyítás rendkívül összetett és hosszú, ezért nem vezetjük le teljes terjedelmében, hanem Muskhelishvili könyvére alapozva egy rövid összefoglalást mutatunk be.
II-1 ábra Illusztráló ábra a feladat mechanikai megfogalmazásához Egy végtelen, kiterjedésu, elliptikus lyukkal gyengített, egységnyi vastagságú, homogén, izotróp, rugalmas anyagú tárcsát vizsgálunk. A tartományt, amelyen a lyuk fekszik, a z = x + i ⋅ y komplex számsíkkal (S) modellezzük. A tárcsára a végtelenben az x tengellyel β szöget bezáró (feszültség jellegu) p terhet helyezünk. Az ellipszis alakú belso peremet és a m tárcsát a z = ω (ζ ) = R ⋅ ζ + komplex függvény transzformáció segítségéve l egység sugaζ rú körré transzformáljuk. Ennek a leképezésnek az az elonye, hogy az ellipszis pereme az egység sugarú kör peremére, a végtelen tartomány pedig a kör belsejébe transzformálódik. Az átváltásnál R és m értékét a foátlók segítségével kaphatjuk meg: a −b a +b m= R= a+b 2 (a és b az ellipszis fotengelyei, lásd az ábrán)
3
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Mielott az adott feladat vizsgálatainak bemutatását folytatnánk, ki kell térnünk egy fontos elméleti különbségre a „hagyományos” algebrai polinomokat használó feszültségfüggvényes megoldási technika és a komplex függvényekkel történo vizsgálat között. A „hagyományos” megoldási eljárásnál az Airy- féle kétváltozós feszültségfüggvény segítségével lehet egy tárcsán belül a feszültségeket meghatározni. Komplex függvények esetében az egyértelmu meghatározáshoz azonban nem elég egy függvény, ez esetben két független függvényre van szükségünk, melyeket a következo két alpontban definiálunk.
II. 1. a. Az elmozdulások meghatározása a feszültség függvényekbol Vizsgáljuk eloször az egyszerubben kezelheto állapot változókat, az elmozdulásokat. A klaszszikus rugalmasságtanból ismert, hogy a feszültségeket az úgynevezett F feszültségfüggvénynyel az alábbi módon határozhatjuk meg:
∂2F ∂2F ∂2F σ x = 2 , σ y = 2 , τ xy = − . ∂y ∂x ∂x∂y
1)
Helyettesítsük ide az anyagegyenleteket, és végül vegyük figyelembe a geometriai egyenleteket is: λΘ + 2 µ
∂u ∂ 2 F ∂v ∂ 2 F = 2 , λΘ + 2 µ = , ∂x ∂y ∂y ∂x 2 ∂v ∂u ∂2F µ + = − . ∂x∂y ∂x ∂y
2)
A fenti egyenletrendszerben λ a Lame-paramétert jelöli, µ a nyírási rugalmassági modulus, Θ a fajlagos térfogatváltozás, u és v pedig az elmozdulás- függvények. ∂u ∂v Oldjuk meg a 2 alatti két egyenletet és -ra: ∂x ∂y
∂u ∂ 2 F λ ∂v ∂ 2 F λ 2µ = 2 − ∆F , 2µ = 2 − ∆F . ∂x ∂y 2(λ + µ ) ∂y ∂x 2(λ + µ )
4
3)
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
∂2F Helyettesítsünk be (felhasználva a ∆F = P-t jelölést) úgy, hogy az elso egyenletbe 2 helyé∂y ∂2F ∂2F ∂2F re P- 2 -et, a második helyére P- 2 -et írunk: ∂x ∂x 2 ∂y
2µ
∂u ∂2F λ ∂v ∂2F λ =− 2 + P, 2µ =− 2 + P. ∂x ∂y 2(λ + µ ) ∂y ∂x 2(λ + µ )
4/a)
Mivel ∆F =P, ezért ∆F =∆∆P=0, tehát P biharmonikus. Vegyünk fel egy Q függvényt, amely P függvény konjugáltja, ekkor teljesül a Cauchy-Riemann feltétel: ∂P ∂Q = , ∂x ∂y
∂P ∂Q =− . ∂y ∂x
4/b)
Ebbol az alábbi komplex függvény írható fel:
f (z ) = P( x, y ) + iQ ( x, y ) ,
5)
amely egy olyan komplex függvényt fog reprezentálni, melynek változója a z=x+iy komplex szám és egy S tartományát írja le a vizsgált tartománynak. Vegyük fel továbbá a következo függvényt is: ϕ ( z ) = p + iq =
1 f (z )dz , 4∫
6/a)
A fentiekbol adódik, hogy ennek a deriváltja az alábbi módon írható fel: ϕ ′( z ) =
∂p ∂q 1 +i = (P + iQ ) , ∂x ∂x 4
6/b)
ami nem más, mint a Cauchy-Riemann feltétel: ∂p ∂q 1 = = P ∂x ∂y 4
∂p ∂q 1 =− = − Q, ∂y ∂x 4
7/a)
innen: P =4
∂p ∂q =4 . ∂x ∂y
7/b)
A (4/a) számú egyenletbe visszahelyettesítve:
2µ
∂u ∂2F λ ∂p ∂v ∂2F λ ∂q =− 2 + , 2µ =− 2 + . ∂x ∂y 2(λ + µ ) ∂x ∂y ∂x 2(λ + µ ) ∂y
5
8)
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Integráljuk a fenti kifejezéseket: ∂F 2(λ + 2 µ ) + p + f 1( y ), ∂x λ+µ ∂F 2(λ + 2µ ) 2 µv = − + q + f 2 (x ). ∂y λ +µ
2 µu = −
9)
Visszahelyettesítve a (2)-es számú egyenletbe a következoket kapjuk: ∂p ∂q + = 0, ∂y ∂x
10/a)
f1′( y ) + f2′(x ) = 0
10/b)
Megjegyezzük, hogy az elozo egyenletnek (lásd részletesebben {[1], §27}) a következo formája van:
f1 = 2µ (− εy + α )
f 2 = 2 µ (εx + β ) ,
ahol α, β, ε tetszoleges konstansok, µ pedig – korábban is felhasznált – nyírási rugalmassági modulus. Elhagyva e számunkra most felesleges kifejezéseket, amelyeket csak merev testek elmozdulásaikor használunk, az alábbi összefüggéshez jutunk: ∂F 2(λ + 2 µ ) + p, ∂x λ +µ ∂F 2(λ + 2µ ) 2 µv = − + q, ∂y λ +µ
2 µu = −
11)
vagyis a 6/a egyenletben látott ϕ(z) alapján u és v elmozdulás- függvények egyértelmuen adódnak.
II. 1. b. A biharmonikus differenciálegyenlet komplex alakja Az elmozdulások vizsgálata után elemezzük most a feszültségeket. Bemutatjuk, hogy a kla szszikus kétváltozós F(x,y) feszültségfüggvényt hogy írhatjuk fel két z=x+iy változójú komplex függvény segítségével, majd levezetjük a biharmonikus differenciálegyenletet. A ϕ ( z ) = p + iq függvényt az elozo részben már bevezettük (6/a egyenlet). Könnyen ellenorizheto (7-es egye nlet), hogy az F-px-qy kifejezés harmonikus:
∆ (F − px − qy ) = 0 ,
12)
F = px + qy + p1 ,
13)
tehát
ahol p1 valamilyen harmonikus függvény az S tartományon.
6
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Most vezessük be a z változójú χ(z) függvényt úgy, hogy a valós része p1 legyen. Ha az S folytonos, akkor χ(z) holomorf ezen a tartományon. Nyilvánvalóan:
{
}
F = Re zϕ ( z ) + χ (z ) ,
14)
ahol Re a valós rész jelölése és z komplex konjugált: z = x − iy . Ezek segítségével F másképp is felírható: 2 F = zϕ ( z ) + zϕ (z ) + χ ( z ) + χ (z ) .
15)
Megjegyezzük, hogy ezt a kifejezést eloször E. Goursat vezette le 1898-ban, egy kicsit más formában. Ellenorizzük, hogy ez a függvény tényleg biharmonikus-e! Az F függvény parciális deriváltjai:
∂F = ϕ (z ) + zϕ ′( z ) + ϕ ( z ) + zϕ ′( z ) + χ ′(z ) + χ ′( z ), ∂x ∂F 2 = i − ϕ (z ) + zϕ ′( z ) + ϕ ( z ) − zϕ ′( z ) + χ ′( z ) − χ ′( z ) . ∂y 2
[
]
16)
Megjegyezzük, hogy kényelmesebb e két kifejezést az alábbi egyszerusített formában felírni: ∂F ∂F +i = ϕ ( z ) + zϕ ′(z ) +ψ ( z ) , ∂x ∂y ahol ψ (z ) =
17)
∂χ . Visszatérve a (15)-ös egyenletre: ∂z
[
]
∆F = 2 ϕ ′(z ) + ϕ ′( z ) = 4 Re[ϕ ′(z )] ,
18)
Mivel ϕ(z) harmonikus, ezért:
∆∆F = 0 .
19)
Belátható továbbá az is, hogy a komplex feszültségfüggvények ismeretében a feszültségeknek csupán bizonyos kombinációi határozhatóak meg közvetlenül.
7
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
II. 1. c. Az elmozdulások és a feszültségek komplex alakja Alakítsuk át eloször az (11)-es egyenletet komplex alakúra: ∂F ∂F 2(λ + 2 µ ) 2 µ (u + iv ) = − +i + ϕ (z ). ∂y λ +µ ∂x
20)
A (17)-es számú egyenletbe behelyettesítve a komplex elmozdulás- függvények: 2 µ (u + iv ) = ϑϕ ( z ) − zϕ ′( z ) −ψ ( z ) .
21)
ahol az anyagállandó kifejezheto a korábbi paraméterekkel: ϑ=
λ + 3µ λ+µ
22)
Vizsgáljuk meg most az AB ívet az x – y síkban. Legyen a pozitív irány az, amikor A-ból megyünk B-be. Vegyük fel t és n tengelyeket az ábrán látható módon és haladjunk A-ból B-be ds differenciálisan kicsiny lépésekkel.
II-2. ábra Feszültségfüggvény transzformálása
Bármely pontban igaz, hogy
∂2F ∂ 2F cos ( n , x ) − cos(n, y ), ∂y 2 ∂x∂y ∂2F ∂2F σ t = τ xy cos(n, x ) + σ y cos(n, y ) = − cos(n, x ) + 2 cos(n, y ), ∂x∂y ∂x σ n = σ x cos(n, x ) + τ xy cos (n, y ) =
8
23)
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
ugyanakkor cos (n, x ) = cos (t , y ) =
dy dx , cos (n, y ) = − cos (t , x ) = − ds ds
24)
is igaz. Egyszerusítve a (24)-es egyenlet alapján σn =
d ∂F d ∂F , σ t = − , ds ∂y ds ∂x
25)
vagy komplex formában σ n + iσ t =
d ∂F ∂F d ∂F ∂F −i = −i +i . ds ∂y ∂x ds ∂x ∂y
26)
A
(σ n + iσ t )ds = −id ∂F + i ∂F ∂x
27)
∂y
egyenletbe behelyettesítve a (17)-es összefüggést, megkapjuk hogy
(σ n + iσ t )ds = −id {ϕ ( z ) + zϕ ′( z ) + ψ ( z )}.
28)
Legyen eloször ds iránya az y tengely, ekkor: ds = dy , dz = idy , d z = −idy , σ n = σ y , σ t = τ xy .
29)
Így megkapjuk, hogy: σ x + i τ xy = ϕ ′( z ) + ϕ ′( z ) − zϕ ′′( z ) −ψ ′(z ).
30)
Most legyen ds iránya az x tengely, ekkor: ds = dx, dz = d z = dx, σ n = −τ xy , σ t = −σ y .
31)
Ekkor pedig az lesz az eredmény, hogy: σ y − iτ xy = ϕ ′( z ) + ϕ ′( z ) + zϕ ′′( z ) + ψ ′( z ).
32)
Összeadva (32)-es és (30)-as egyenleteket, megkapjuk az elso Koloszov egyenletet:
[
]
σ x + σ y = 2 ϕ ′(z ) + ϕ ′( z ) = 4 Re [ϕ ′( z )]
9
33)
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Kivonva a (32)-esbol a (30)-as egyenletet megkapjuk a második Koloszov egyenletet:
[
]
σ y − σ x + 2i τ xy = 2 zϕ ′′( z ) + ψ ′( z )
34)
Az alapveto kiindulási egyenletek rövid levezetése után rátérünk a vizsgált feladat megoldására.
II. 1. d. Az alapfeladat megoldása A feladat megoldásához nélkülözhetetlenek a feladat peremfeltételei. A végtelen tárcsán az x tengellyel β szöget bezárva a végtelenben hat a p feszültségnek megfelelo teher, ami alapján tudjuk, hogy a lyuktól bármilyen irányban jelentos mértékben távolodva a teherrel párhuzamosan a feszültség határértéke p, a rá meroleges komponens határértéke pedig nulla. További peremfeltétel, hogy az ellipszis kerületén csak érinto irányú feszültségek léphetnek fel. A pep remfeltételeink alapján felírhatjuk a Re [ϕ ′( z )] = = Γ , valamint 4 p zϕ ′′(z ) +ψ ′( z ) = − ⋅ e− 2⋅i⋅ β = Γ′ függvény kapcsolatokat. A feszültségfüggvényeket (Ansatz – 2 típusú becsléssel) az alábbi összegekkel helyettesíthetjük: X + iY log ζ + ϕ 0 (ζ ), 2π (1 + ϑ ) ϑ ( X − iY ) ψ (ζ ) = Γ′Rζ + log ζ + ψ 0 (ζ ), 2π (1 + ϑ ) ϕ (ζ ) = ΓRζ −
Ha figyelembe vesszük a peremfeltételeket (bevezetve ν Poisson-tényezot), akkor ϕ 0 (ζ ) és ψ 0 (ζ ) valamely f 0 értéket fogja felvenni:
p⋅R ν 2 + m p ⋅ R ⋅ e 2⋅i ⋅β ν + + f0 = − 4 ν 1 − m ⋅ν 2 2 ⋅ν p⋅ R 1 1 + m ⋅ν 2 p ⋅ R ⋅ e −2⋅i ⋅β ⋅ν f0 = +ν 2 + 4 ν ν − m 2
(
(
) (
)
)
A ζ 2 + m / ζ 1 − m ⋅ ζ 2 függvény analitikus az ellipszisen belül, kivéve a ζ=0 helyet, ahol a legfontosabb rész a m/ζ. A ζ 1 + mζ 2 / ζ 2 − m függvény analitikus az ellipszisen kívül, kivéve ζ = ∞ helyet, ahol mζ + 1 ζ forma érvényes.
(
)(
)
10
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Ebbol következik, hogy (lásd részletesebben {[1], §70}): 1 ν2 +m dν m ⋅ =− ∫ 2 2π ⋅ i γ ν 1 − mν ν − ζ ζ 2 2 1 1 + mν dν 1 + mζ 1 + m2 ζ ν ⋅ = − ζ + m ζ = − 2π ⋅ i ∫γ ν 2 − m ν − ζ ζ 2 −m ζ 2 −m
(
)
(
)
A komplex függvénytan lépéseit felhasználva: 1 νdν = 0, ∫ 2π ⋅ i γ ν − ζ
1 dν 1 =− ∫ 2π ⋅ i γ ν (ν − ζ ) ζ
Így (ezen egyenletek részletes bizonyítását lásd: {[1], §82}): ϕ (ζ ) = −
1 fdν ∫ 2πi γ ν − ζ
1 f dν 1 + mζ 2 ψ (ζ ) = − −ζ 2 ϕ ′(ζ ) 2πi ∫γ ν − ζ ζ −m egyenletekbe behelyettesítve az alábbi összefüggést kapjuk:
(
)
mpR pR ⋅ e 2⋅i⋅ β pR 2e 2⋅i⋅ β − m + = 4ζ 2ζ 4ζ 2 pR pR 1 + m ζ 1 + mζ 2 ψ 0 (ζ ) = − − − ζ ⋅ ϕ ′0 (ζ ) 4ζ 4ζ 2 −m ζ 2 −m ϕ 0 (ζ ) = −
( (
) )
Végezetül visszahelyettesítünk az eredeti függvényekbe, megkapjuk a keresett feszültségfüggvényeket : pR 2e 2⋅i⋅ β − m ζ + 4 ζ pR − 2iβ e 2iβ 1 + m 2 e 2iβ − m ζ ψ (ζ ) = − − ⋅ 2 e ζ + 2 mζ m ζ −m ϕ (ζ ) =
(
11
)(
)
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
A feszültség függvények megléte után már csak a Koloszov egyenletbe kell visszahelyettesíteni, hogy megkapjuk a feszültségeket. Mint már említettük, a Koloszov egyenletek csak a feszültségek összegeire adnak felvilágosítást, az egyes komponensekre nem. II-3. ábra Ellipszis peremén a feszültség-komponensek vázlatos rajza Koloszov a következo ügyes felismeréssel élt: következo lépésként áttért polárkoordinátarendszer használatára, továbbá felhasználta azt a tényt, hogy az elso Koloszov-féle feszültségegyenlet a feszültségtenzor elso invariánsát adja, így bármely transzformált koordinátarendszerben a két normálfeszültség összegeként számítható. Az ellipszis pereme mentén a feszültségek csak érinto irányúak lehetnek, így a rá meroleges komponens esetünkben mindig nulla. Jól látható, hogy ezzel a lépéssel gyakorlatilag a komplex függvény megoldása közve tlenül az érinto irányú feszültség értékét adja. A végleges megoldás a következo alakban írható fel, ami az α-hoz tartozó érinto irányú feszültséget (σtan ) jelenti (α a kerület egy pontját határozza meg az x tengelytol számított szöggel, m=(a-b)/(a+b); β a teher irányát jelöli):
σ tan = p
1 − m2 + 2m cos(2 β ) − 2 cos(2(α − β )) 1 − 2m cos(2α ) + m2
Ez az összefüggés bármilyen ellipszisre igaz, ezért ezzel az egy képlettel leírhatjuk az összes analitikus megoldást.
12
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
II. 2. Az analitikus megoldás eredménye és elemzése A II. 1. pontban bemutatott feszültségszámító képlet tetszoleges foátló-arányú ellipszis alakú lyuk peremének feszültség vizsgálatára alkalmas. Ebben az alpontban bemutatjuk a Wolfram Research Inc. által készített Mathematica 4 rendszerben általunk megírt programmal kapott néhány jellegzetes eredményt, amely a Koloszov- féle megoldás grafikus illusztrálását mutatja.
II-4. ábra Az analitikus megoldás bemutatásához animációt Mathematica 4 programmal készítettük A képlet – melyet az elobbiekben levezettünk – több paraméterrel rendelkezik. Bemutatása egyszeru egy-, vagy kétváltozós függvényként különbözo rögzített paraméter értékeknél (például rögzített a, b, β paraméterek mellett α mint futó paraméter függvényében ábrázolható az érinto irányú feszültség értéke) nem adna szemléletes, könnyen értheto képet a megoldásról. Így az alábbi, a mérnöki gyakorlatban nem túl gyakran alkalmazott animált vizualizációs fo rmát használtuk: felvázoltuk a tárcsa síkját (vastagságát elhanyagolva), a síkon lévo gyengítést (esetünkben ellipszist), jelöltük a terhelo feszültség irányát és a gyengítés peremére felmértük az animáció egyes képeinek megfelelo feszültségértékeket. Az animáció fázisaiban általában csak egy paramétert változtatunk, mivel a különbözo fázisok csatlakoznak egymáshoz (például az ellipszis forgatása, foátlók arányainak változása). A megoldás jól követheto, egyszeruen megértheto és a veszélyes helyek könnyen analizálhatók. Természetesen a program eredményei közül a kéziratban csak néhány jellegzetes képet mutatunk be, a dolgozatunkhoz mellékletként csatolt CD lemezen az eloadásunkon bemutatandó animáció, illetve kiegészíto képek, és a forrásnyelvu állomány is megtalálható. Az animáció megtekintheto bármely Internet-böngészovel (Netscape, Explorer, Opera), és a CD \animacio\analitikus mappájában található, a forrásnyelvu programot csak a teljesség kedvéért közöljük, annak elemzésével, bemutatásával nem foglalkozunk. Az illusztráció legvégén külön összefoglaljuk a további numerikus vizsgálatokra kiválasztott alapeseteket. 13
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
A következo ábra (II-5) baloldalán az ellipszis alakú gyengítés vázlata, illetve az ábra jobb oldalán általánosan elhelyezett ellipszis peremén feszültség érinto- irányú összetevojének vizualizációja látható. Az illusztrációt a késobbi képek megértésének segítésére illesztettük be dolgozatunkba. Itt jól látható, hogy korábbi jelöléseinket hol jelenítjük meg a háromd imenziós feszültség ábráinkon. Az α szög alatti magasság a feszültség értékével arányos, és a vonal színe érzékelteti, segít megérteni a megoldást. A negatív feszültség értékek az ellipszis síkja alatt kék színnel láthatók, a pozitívak pedig a sík felett sárga illetve (ha nagy feszültségrol van szó), piros színnel láthatók. Piros nyilak jelölik az értelmezéshez szükséges terhelo (az elméleti levezetésben p-vel jelölt) feszültség irányát, kék tengelyek jelölik ki az elfogatott ellipszis fotengelyeinek az irányát. Minden ábra tetején jelöltük – az eredeti jelölésnek megfeleloen – a foátlók méretét (a, b), és a terhelés ellipszishez képesti elforgatásának a szögét (β = Beta). A legnagyobb illetve legkisebb feszültség számmértékét a helye fölött illetve alatt tüntettük fel azokon a képeken, melyeken valamelyik fotengely párhuzamos a húzás irányával (például a II-6 ábrán látható).
II-5. ábra Ellipszis alakú gyengítés vázlat, és az ellipszis peremén a II-1 alfejezetben bemutatott képlet megjelenítése.
14
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
II-6. ábra A foátló-arány változásának feszültségállapotára gyakorolt hatása. A perem feszültségállapotának jellegét, nagyságát legfontosabb befolyásoló tényezo (adott egységnyi feszültség teher mellett) a foátlók aránya. A II-6. ábrán jól megfigyelheto, hogy a húzott tárcsában elhelyezkedo lyuknál két oldalt szimmetrikusan jelentos mértéku egyezo nyomások is keletkeznek, valamint az, hogy a terhelo feszültség háromszorosa keletkezik már a legkevésbé „veszélyes” kör alakú lyukkal gyengített tárcsa peremén is. Itt szeretnénk kiemelni, hogy a kör alakú gyengítés típus igen gyakori az építomérnöki szerkezeteknél, például csavarozott illesztések, szegecsek esetén. Észreveheto továbbá, hogy egy viszonylag kicsiny módosítás a fotengelyek arányaiban is mekkora többletfeszültséget okoz a lyuk peremén. Nagyon lényeges észrevétel, hogy az analitikus megoldás a vékony rések feszültségmaximumánál (elméletileg „réssé” való átalakításokkal) a feszültség korlátlan mértékig történo növekedését jelzi. A valóságban természetesen az anyagok teherbírása korlátos, így ezt csupán elméleti szélsoértéknek tekinthe tjük. A következo illusztráción négy különbözo paraméteru ellipszis alakú gyengítés feszültség vizsgálatát együttesen mutatjuk be (II-7), melyeket jellemzoen az animáció különbözo fázisaiból választottuk. Az elso (bal felso nyújtott) ellipszis alakú gyengítés hosszabbik foátlója a terhelés hatásvonalával párhuzamos repedés peremének feszültségeit modellezi. Fontos észrevennünk, hogy az ilyen jellegu gyengítés lényegesen nem változtatja meg a diszlokáció peremén a feszültségá llapotot a gyengítés nélküli tárcsához képest. A második (jobb felso) modell (a már korábban bemutatott kör alakú gyengítés), mely peremén legnagyobb húzófeszültsége a terhelo feszültség háromszorosa. 15
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
A harmadik képen egy elnyújtott ellipszis látható (a terhelo feszültség hatásvonalára meroleges tengelyt a párhuzamos tengely négyszeresére vettük fel). A képen megfigyelheto az a tendencia, mely a legveszélyesebb pontban a feszültség nagyságának változására utal. A pozitív húzófeszültségek az ellipszis ívének csak kis részében alakulnak ki, de ott igen veszélyes mé rtékben. Kiemelnénk azt a problémát, hogy ha a maximális feszültségek elérnek egy kritikus értéket, ahol az anyag már elveszti teherbíró képességét, a gyengítést továbbra is ellipszisként modellezve (melynek a nyomott fotengelyét állandónak vesszük figyelembe), ez a homogén anyag hirtelen szakadását vetíti elore, mert a repedés növekedésével a „veszélyes” fotengely aránya a rá merolegeshez képest tovább növekszik, ami a feszültségcsúcs növekedését vonja maga után. Megjegyezzük, hogy diszkrét-elem módszerrel végzett szakítási kísérleteink, melyek elvi alapjaiban, és eredményeinkben is jelentos különbözoséget mutatnak az analitikus megoldáshoz képest, ezeket az eredményeket egyértelmuen alátámasztják.
II-7 ábra Az eloadáson bemutatandó (illetve a CD mellékleten szereplo) animáció fázisainak jellemzo képei.
16
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Az animáció utolsó fázisában megvizsgáljuk az ellipszis fotengely (Koloszov eredeti szemlélete szerint a teher) forgatásának a feszültségeloszlás alakulására gyakorolt hatását. Mivel a késobbi numerikus vizsgálatokhoz ez nem volt szükséges, itt a részletekre már nem tértünk ki. A II.7 ábra képeit együtt elemezve, illetve összegezve a következoket emeljük ki: jól megfigyelheto például, hogy a nyomó feszültség minimumértékének abszolút értéke minden példán a terhelo feszültséggel egyenlo. Látható továbbá, hogy a réssel párhuzamos gyengítésben (bal felso ábra) például alig keletkezik nagyobb feszültség, mint a terhelés, ugyanakkor a kör gyengítésben – sugártól függetlenül – a háromszorosa. A terhelésre meroleges legnagyobb foátlójú gyengítések esetében észreveheto a hihetetlen gyors növekedés. Az ábrán látható elliptikus lyukak igen jól modellezhetnek egy rés alakú gyengítést. Kiemeljük mint konklúziót, hogy minél vékonyabb, laposabb a gyengítés, a foátlók végpontjaiban annál nagyobb a feszültség értéke, tehát véletlenül sem a gyengítés mérete (területe) határozza meg a tárcsán a mértékadó feszültségértéket, annál inkább annak geometriai alakja. Analitikus modellünk alapveto hiányosságára is felhívjuk a figyelmet. A valóságban a vizsgált feladatunk mindig véges (így természetesen bonyolultabb peremfeltételekkel rendelkezo), nem végtelen kiterjedésu tárcsa. Véges kiterjedésu tárcsa analitikusan csak igen körülményesen kezelheto. A peremfeltételek elhanyagolásának hatása is csak nehezen becsülheto, a numerikus megoldás közelítésébol vonhatunk le csak értékes következtetéseket.
17
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Végezetül a fejezet végén bemutatjuk az analitikus megoldás azon eseteit, melyeknek a következo fejezetekben numerikus modellekkel diszkrét megoldásait vizsgáljuk.
II-8. ábra Numerikus modellekkel vizsgált esetek analitikus megoldásai
18
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
III. Végeselem-módszer A feladatat analitikus megoldása után bemutatjuk ennek a mechanikai problémának egy lehe tséges numerikus közelítését: a végeselem- módszeren alapuló megoldást. A végeselemmódszer - amely méltán közismert numerikus eljárás a mérnöki gyakorlatban gyorsasága, automatizálhatósága, és egyszeru mérnöki kezelhetosége miatt – klasszikus tananyagnak számít az építomérnöki oktatásban, így elméleti hátterének részletes ismertetésére nem térünk ki, de az általunk felhasznált irodalomra az irodalomjegyzékben utalunk. Az analitikus megoldással ellentétben, ahol bonyolult és hosszadalmas elméleti levezetés után a vizsgált érintoirányú feszültségre egyszeru többváltozós (a, b, α , β) függvényt kaptunk, a numerikus eljárásokkal általában minden külön esetre külön futtatást kellett végrehajtani. Így három különálló esetet vizsgáltunk meg – emlékeztetoül bemutatjuk az egyes esetek analitikus modellel leírt megfeleloit: •
π ) paraméterhármassal meghatározott - körrel - gyengített tárcsa, 2 mely igen elterjedten alkalmazott a mérnöki szerkezetek (például csavarok, szegecsek elhelyezésére alkalmas lyukak) vizsgálatakor.
Az (a = 2, b =2, β =
III-1. ábra Körrel gyengített végtelen tárcsa modellje
19
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
•
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
π ) paraméterekkel leírt ellipszisre is végeztünk futtatásokat, mellyel 2 célunk feszültségmaximumok vizsgálata „köztes” rés esetére.
(a = 2, b =1, β =
III-2. ábra Ellipszissel gyengített végtelen tárcsa modellje. π • (a = 2, b =0.1, β = ) paraméteru rés (illetve „repedés”) jellegu példa, amivel már a 2 törésmechanika alapfeladatát próbáltuk közelíteni.
III-3. ábra Ellipszis alakú réssel gyengített végtelen tárcsa modellje.
20
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Most (és a másik numerikus megoldási módszer esetén is) a valósághoz, a mérnöki gyakorla thoz közelebb álló véges méretekkel definiált tárcsát alkalmaztunk a végtelen kiterjedésu analitikus modellel ellentétben. Ismételten hangsúlyozzuk, hogy végtelen tárcsamodell csak közelítheto numerikus eljárásokkal, illetve (megfordítva) egy véges méretu feladat csak igen komplikáltan lenne kezelheto analitikus módszerrel a peremfeltételek bonyolultsága miatt. A véges méretek használata mindkét numerikus eljárás végeredményét - mint arra késobb rámutatunk – természetesen befolyásolta. A számításokhoz a tárcsa szélességének (v) az ellipszis hosszabbik (vízszintes) foátlójának négyszeresét vettük fel, a tárcsa magasságát (h) pedig legalább a foátló hétszeresének választottuk, ezzel próbáltuk csökkenteni a véges kiterjedésbol adódó feszültség-eloszlás zavarokat a vizsgált lyuk környezetében. Az alkalmazott modellnek csak a negyed részét vettük figyelembe, mert modellünk kétszeresen tengelyesen szimmetrikus, és így a III-4. ábrának megfelelo egyszerusítésekkel éltünk.
III-4. ábra Numerikus megoldási módszereknél használt véges tárcsa, illetve a végeselemmódszeren alapuló megoldás egyszerusített modellje, az ábrán egyszerre feltüntettük mind a három gyengítést A feladat megoldásához a Skanska Software Hungary Kft (ahol a programrendszer fejlesztoi tevékenységben mi is részt vettünk, és így kissé a szokásosnál mélyebben beleláthattunk a végeselem-program szerkezetébe) – FEM Design programjának tárcsa modulját használtuk. A modul nem-szinguláris nyolc csomópontos serendipity négyszög illetve hat csomópontos háromszögelemekkel dolgozik. Természetesen tisztában vagyunk azzal, hogy törésmechanikai problémák pontosabb vizsgálatánál célszerubb szinguláris elemek alkalmazása, melyek már kisebb elemszám esetén is jobban konvergálnak. Jelenleg azonban más elemtípus vagy tárcsamodul kipróbálására nem volt lehetoségünk.
21
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Hozzá kell tennünk azt is, hogy a rendelkezésre álló programrendszer inkább mérnöki tervezést illetve ellenorzést hivatott segíteni, nem kifejezetten törés- mechanikai kutatási célokra fejlesztették. A véges-elemes hálót a FEM Design automatikus hálógeneráló algoritmusával állítottuk elo. Megpróbáltunk a lyuk környe zetében igen suru hálót alkalmazni, mert (egyeztetve a fejlesztokkel) felismertük a modul egy hiányosságát, miszerint bár a program rajzoló modulja a szerkezet definiálásakor még képes kezelni íves peremfeltételeket, azonban az ilyen peremen lévo szélso elemek középso csomópontjait lineárisan interpolálja, holott azoknak másodrendben illene illeszkedniük, a program így körív helyett mindig poligonokkal számol. A relatív magas elemszámnál a számítási ido jelentos csökkentése különösen indokolttá tette, hogy a szerkezetnek csak a negyedrészét vizsgáljuk. A végeselem- módszer hatékonyságának elemzése miatt több hálósuruséget vizsgáltunk, melyekbol dolgozatunkban végülis egy ritkább illetve egy surubb hálót mutatunk be, majd ele mzünk.
III-5. ábra FEM Design automatikus hálógenerálóval generált, a lyuk környezetében surített háló. Az ábrán látható a tárcsa folytonos megoszló megtámasztása, és a megoszló teher Megjegyezzük, hogy kényszeru okokból – az ellipszis alakú lyukat az adott programrendszer nem képes automatikusan kezelni - az ellipszist úgynevezett kosárgörbével kellett helyettesítenünk. A kosárgörbe négy másodrendben illeszkedo körívvel közelíti az ellipszist. A gyengítés helyes közelítése szempont jából a foátlók méretének helyes megválasztása kulcskérdés. A kosárgörbét három független adat jellemzi, a mi esetünkben: R; r; x, a többi adat belolük származtatható. III-6. ábra Kosárgörbe szerkesztése, megadott paramét eru ellipszis közelítése körívekkel
22
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Ebbol a három adatból kell egy, két független adattal jellemezheto alakzatot közelítenünk. A megoldás során az egyik adatot szabadon választottuk úgy, hogy a leghelyesebb megoldást kapjuk. A kosárgörbe meghatározó adatainak számítását az alábbi algoritmus alapján végeztük el: A foátlók számítása:
a = R − z, b = x + r , de z = a= R−
( R − r )2 − x 2 ,
(R − r )2 − x 2 , tehát
b = x +r.
A vizsgált esetekben elore tudjuk, hogy a illetve b értéke mivel egyenlo (pl.: a=1 és b=2 stb.), ekkor r + x értéke adott. Egy tetszoleges r felvételével (0 < r < b) x értéke is egyértelmuvé válik. A végleges megoldást a másodfokú egyenlet pozitív gyöke adja. Ezt a kosárgörbét a közelített ellipszis mellé felvéve megkapjuk, hogy mennyire közelítik egymást. Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg az ellipszis és a kosárgörbe közti terület az eredeti terület 1-2%-a nem lesz. Ekkor a legjobban közelítot kiválasztva, megkapjuk a végleges értékeket, melyek hibái elenyészok. A fent ismertetett feltételek mellett oldottuk meg a feladatot. A kapott eredményeket az alábbi táblázatban foglaljuk össze:
σy számított értékei Maximum értékek
Minimum értékek
Kör
Ellipszis
Rés
Egyszerubb háló
3293,82
4671,63
16452,41
Surubb háló
3258,34
4590,68
15138,92
Elméleti érték
3000,00
5000,00
41000,00
Egyszerubb háló
-86,27
-45,41
-113,20
Surubb háló
-55,46
-31,99
-30,04
Elméleti érték
0,00
0,00
0,00
Kör
Ellipszis
Rés
Egyszerubb háló
396,69
833,41
3133,09
Surubb háló
387,86
656,29
3366,12
Elméleti érték
0,00
0,00
0,00
Egyszerubb háló
-1218,67
-1122,91
-1053,36
Surubb háló
-1198,45
-1115,36
-1052,59
Elméleti érték
-1000,00
-1000,00
-1000,00
σx számított értékei Maximum értékek
Minimum értékek
III-1. táblázat FEM Design végeselem-moduljának eredményeinek összefoglalása Az eredményekbol az alábbi következtetéseket vontuk le: •
Kör esetén a vízszintes átméro végpontjainál a σ y feszültségértékek láthatóan nagyon lassan, de közelítenek az analitikus megoldás által szolgáltatott 3000 értékhez. A közeledés lassúsága alapvetoen az alkalmazott modellek („véges” ⇔ „végtelen” tárcsa) közötti eltérésbol, illetve az alkalmazott elemtípus fent említett hiányosságaiból adódhat.
23
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
• • •
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Jellegét tekintve a numerikus megoldás feszültségeloszlása követi az analitikus me goldás eredményeit. Megfigyelheto a σ x minimum értékek közeledése is. Körnél suru háló esetén a feszültség 1200-as értéket mutat, rés esetén (a = 2, b = 0,1) már igen jól megközelíti az analitikus módszerbol származtatott konstans 1000 feszültségértéket. Az analitikus megoldást röviden összevetve az itt ismertetett eredményekkel megállapítható, hogy σ y maximumértékét tekintve a végtelen tárcsa alkalmazása, illetve a numerikus közelítés elemhibája és a hálósurítés okozta eltérések mintegy maximum háromszoros szorzóval jelennek meg. A III-1 táblázat utolsó oszlopa σ y maximumértékei elméleti értékek 41000 szolgáltatnak míg a végeselemes megoldás 15000 körüli eredményt ad. (Ez a nagy eltérés különösen jól mutatja a nem-szinguláris elemek miatti numerikus közelítést.)
Az alábbiakban a futtatások eredményeinek bemutatására különbözo, a programrendszer által biztosított vizualizációs módszerekkel illusztráljuk a tárcsa feszültségállapotát. Az adott grafikus eredményekkel nemcsak a fofeszültségek illetve a tengelyirányú feszültség-összetevok maximum illetve minimum értékei elemezhetok, hanem azok helye is pontosan lokalizálható a tárcsa síkján. Természetesen várakozásoknak megfeleloen a fotengelyek (illetve az x és y irányú átmérok) végpontjai szo lgáltatják a mértékadó feszültségértékeket. Az analitikus eljárásokkal kezelt módszerrel ellentétben a tárcsán a lyuktól távolabbi helyeken is megfigyelhetok a feszültségek eloszlása. Bemutatunk egy trajektória sereget jellemzo ábrát ellipszis esetén, mely a fofeszültségek irányát ábrázolják, a vona lak nagysága a fofeszültségek értékét jellemzi. Minden példából mutatunk azonos jellegu 3 dimenziós feszültségteret bemutató ábrákat is, melyek vezethetik az olvasót az eredmények összevetésekor.
III-7. ábra Kör (a=2, b=2) alakú lyukkal gyengített tárcsa feszültség eloszlását jellemzo σ y színkvótás ábrája, háromdimenziós feszültségeloszlás ábra (σ y ), a bal sarokban a tárcsa egyenletes hálóval látható
24
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
A színkvótás ábrán (III-7 ábra bal oldalán) jól megfigyelheto, hogy a körtol távolodva σ y bármely egyenes mentén konstans (jelen esetben 1000) feszültségértékhez konvergál. A programrendszer lehetoségeit bemutatva, a 2-1 arányú ellipszis megoldás trajektória vonalait jellemzo fofeszültség irányokat reprezentáló ábrát (III-8.) is készítettünk. A képen láthatóak a tárcsa σ1 (mely szinte teljesen azonos σ y ábrával) illetve σ2 ábrája is. Látható, hogy a gyengítéstol távolodva az 1-es foirány igen gyorsan rendezodik jellegzetesen függoleges irányba.
III-8. ábra Ellipszissel (a=2, b=2) gyengített tárcsa trajektória vonalainak ábrája, alatta ugyanezen tárcsa σ 1 illetve σ2 3 dimenziós ábrái Az utolsó bemutatott ábrán a repedés környékén kialakuló igen magas feszültségértéket jelenítjük meg, mely láthatóan jelentosen eltér az analitikus megoldással meghatározott maximális feszültségértéktol.
25
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
III-9. ábra Réssel gyengített tárcsa három-dimenziós feszültségterét törésmechanikai szempontból legveszélyesebb σ y feszültség bemutató ábra Megjegyezzük, hogy az adott feladat vizsgálatán kívül számos elemzést végeztünk a felhasznált programrendszer hálógenerálástól függo numerikus stabilitásának becslésére. Ezzel kapcsolatos eredményeinkre itt most nem térünk ki, tapasztalatainkat a program fejlesztoinek átadtuk.
26
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
IV. Diszkrét elemes módszer („Distinct element method”) IV. 1. Elméleti összefoglaló A két elozo eljárás a klasszikus rugalmasságtan kontinuum feltevéséve l élt. A diszkrét elemes a modellben azonban az anyagot kicsiny szemcsék együtteseként modellezzük. E kiinduló alapelvbol következoen a diszkrét elemes modell kontinuum- mechanikai vizsgálatokkal öszszehasonlítva akár nagymértékben különbözo eredményeket szo lgáltathat. A diszkrételemmódszeren alapuló numerikus kísérletek sokféle jelenség leírására alkalmasak lehetnek, mint például silófeladatok vagy talajmechanikai problémák vizsgálata, sodrodó jéghegyek vagy lecsúszó kogörgetegek mozgásának szimulálása, stb. (Megemlítjük, hogy leggyakrabban kör vagy gömb alakú elemeket alkalmaznak egyszeru és gyors kezelhetoségük miatt; kevésbé elterjedtek az elliptikus, poligonális, stb. elemek.) Ezen új módszer segíthet mélyebben megérteni például a törésmechanika fontosabb kérdéseit is, ugyanis szuk repedések, rések széle (feszültségcsúcsok kialakulásának helyei) valójában korántsem tekinthetok a klasszikus értelemben vett kontinuumnak. A diszkrét modellezéssel több futtatással, statisztikák készítésével (esetleges laboratóriumi kísérletekkel párhuzamosan) mikro-szinten is megértheto az anyagok viselkedése. A fo eltérés a végeselem- módszer és a diszkrételem- módszer között a következoképp fogla lható össze: Míg a végeselem- módszer, makro jellemzok alkalmazásával kontinuumnak (esetünkben homogénnek) tekinti a tartomány viselkedését, addig a diszkrételem- módszer alulról építkezik, a vizsgált tartományt különálló szemcsék együtteseként kezeli. Az anyagok mikro-szerkezeti szinten történo szimulációs vizsgálatában alapvetoen két eltéro numerikus modellrol tudunk: •
kvázistatikus modellek: egy vagy több szemcse egyensúlyi egyenleteinek felírásán alapulnak. A kapcsolatok merevségi jellemzoibol – megfelelo transzformációs mátrixok segítségével – összeállítják a szemcsék, illetve a halmaz merevségi mátrixát, majd az elmozdulás- módszerhez hasonlóan meghatározzák a szemcsék elmozdulásait.
•
dinamikus modellek: a halmaz idobeli viselkedését követik, a Newton-törvények alapján.
Vizsgálataink során a numerikus elonyök miatt a Cundall- féle dinamikus modellt használtuk. A dinamikus megoldási módszer alapelve Newton II. törvénye, amelynek értelmében a sze mcsék gyorsulása a rájuk ható erokbol bármely idopontban számítható. A modell a szemcséket végtelen merevnek feltételezi, rugalmas tulajdonságukat a kapcsolatok írják le. Minden sze mcsének saját véges tömege, és forgással szembeni tehetetlensége van. A program ∆t végesen piciny iterációs idoközönként meghatározza minden szemcse elmozdulását: eloször minden ciklus elején kiszámítja a szemcsékre ható kapcsolati eroket, majd ezekbol és a szemcsék tömegeinek és inerciáinak ismeretében eloállítható az átlagos sebesség, és szögsebesség. Az iterációs idolépés ∆t ismeretében a sebességek alapján a szemcsék új helyzete számítható.
27
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
IV-1. ábra Az F és M a szemcsére ható ero illetve nyomatékvektorok; a és β a szemcse gyorsulás-illetve szöggyorsulás-vektora Két szemcse között a kapcsolatban normál-, nyíróerok illetve nyomatékok adódhatnak át (IV2 ábra).
IV-2. ábra A szemcsék között létrejövo kapcsolat, T nyíróero, M nyomaték illetve N normálero komponensek A normál illetve nyíróerok és a nyomatékok növekménye a kapcsolati relatív normál- és érintoirányú elmozd ulások (un, ut) valamint elfordulások (ϕ m) növekményekbol számítható, az alábbi összefüggések alapján: dN=kn dun dT=kt dut dM=km dϕm ahol a kn, km illetve kt merevségek lehetnek állandók, vagy függhetnek a relatív elmozdulásoktól vagy akár az idotol is. (A Coulomb-féle súrlódási törvény alapján ( T ≤ N tg µ ahol µ a súrlódási tényezo) figyelembe veheto a kapcsolatok súrlódási teherbírása is.) Két szemcse közötti kapcsolat akkor szunik meg, ha a kapcsolat teherbírása akár húzásra, akár nyírásra, akár hajlításra kimerül.
28
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
IV. 2. A diszkrét elemek módszerének gyakorlati alkalmazása A diszkrét modellen alapuló számítógépes numerikus kísérleteinket az Itasca Consulting Group Inc. által kifejlesztett PFC2D 2.0-s verziójával készítettük, mely programrendszer a fent si mertetett Cundall- féle dinamikus modellt támogatja. A PFC2D programmal vizsgált probléma esetén az alábbi lépéseket követjük: • • • •
halmazgenerálás anyagjellemzok beállítása terhelés, és kiegyensúlyozás eredmények vizsgálata, értékelése
A fent említett négy lépés a feladatunk vizsgálata során új gondolkodásmódot igényelt, ugyanis a diszkrét módszer új szemléletet jelent a mérnöki problémák megoldása terén, és különösképp a törésmechanikai vizsgálatokban. Olyan problémákkal is találkoztunk, melyek ma még nem megoldhatók, mint például szemcseszám drasztikus növelése, illetve kör alakú szemcsék helyett elliptikus szemcsék alkalmazása. Sokszor kellett apró trükköket alkalmaznunk a vizsgálatok egyes lépéseinél, melyekrol az adott helyeken említést teszünk.
IV. 2. a. Halmazgenerálás Egy meghatározott méretu területet szemcsékbol fel kellett töltenünk adott szemeloszlású, stabil feszültségmentes halmazzá, és valamilyen módszerrel azt is el kellett érnünk, hogy a lyuk helyére szemcse ne kerüljön. Az általános - PFC 2D programban megszokott - halmazgenerálási módszer lépései a következok: • Az adott területre golyókat helyezünk, a golyók helyét véletlenszeruen generálva. • A golyók sugarát kis lépésekben növelve belenöveljük oket a tartományba, miközben egymással érintkezésbe kerülnek, összefeszülnek, ily módon hozva létre egy kezdeti feszültségekkel terhelt halmazt. • Ezután a halmazt a vizsgálat célja szerint vibráljuk, a falakat lépésekben elmozdítjuk, illetve szemcséket erokkel vagy elmozdulásokkal terhelünk, újra és újra kiegyens úlyozva a halmazt, míg a belso erok kelloen le nem csökkenek, hogy végül egy szinte feszültségmentes, de tömör kiindulási halmazt kapjunk. Számunkra ez a megoldás egyrészt azért nem volt megfelelo, mert az elozo kontinuum modellekben a rendszer saját feszültsége feltételezés szerint zérus, a diszkrét elemes módszerben azonban a kezdeti belso erok zérushoz közelítése a számítási ido növekedésével jár együtt, esetenként kivitelezhetetlen mértékben. Megoldhatatlan lett volna ezen kívül a lyukak korrekt kezelése is: nem találtunk olyan módszert mellyel megoldható lett volna azonos halmaznak különbözo alakú és méretu lyukkal való gyengítése. Így a halmaz feltöltésére alkalmaztunk egy a diszkrét rendszerek vizsgálatában korábban már publikált {[10]} generáló algoritmust. Ezt feladatunknak megfeleloen továbbfejlesztve, a PFC2D Fish programnyelvében halmazgeneráló programot írtunk.
29
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Az eljárás az un. „dropping”- algoritmusra épül melynek lényege: a halmazt felépíto sze mcséket egyenként a halmaz tetejérol potyogtatjuk mindaddig, míg a szemcsék a teljes tartományt be nem töltik. Egy-egy szemcse a következo algoritmus alapján kerül a helyére (IV-3. ábra): IV-3. ábra A „dropping” eljárás algoritmusát bemutató vázlatos rajz
• • • • •
elore meghatározott szemeloszlás alapján véletlenszeruen generáljuk a szemcse sugarát; véletlenszeruen generált vízszintes koordinátáról ejtjük a már eddig fix golyók tetejére, vagy a tárcsa alsó szélére; miután a golyó „ráesett” az alatta levo golyóra, azon szabadon legördülhet az alatta levo szemcséken addig gördül tovább, amíg olyan helyre nem kerül, ahol két golyó stabilan meg nem támasztja. Így minden egyes golyó az alatta levoket pontosan érinti, tehát természetesen a sze mcsék közt nincsen átfedés, ami globálisan feszültségmentes halmazt eredményez.
IV-4. ábra A PFC 2D program Fish rendszerében írt halmazgeneráló a generálás néhány közbenso fázisában
30
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Fontos kérdés az anyagjellemzok megfelelo alkalmazása miatt az elore definiálható szeme loszlás kezelése. Programunk inputként területszázalékosan kezeli a szemeloszlási tartományokat. A IV. táblázatban foglaljuk össze a szemeloszlást jellemzo tervezett illetve generált értékeit (megjegyezzük, hogy a generálás módszerébol adódóan porozitásra tervezni igen nehéz). Tervezett mennyi- Generált mennyiGenerált szemsége ség csék száma [terület %] [terület %] 0,0352 0,064 85 77,4 48075 0,064 0,128 10 8,98 1489 0,128 0,16 3,5 2,931 216 0,16 0,211 1,5 1,22 54 porozitás 0 9,46 összesen 100 99,991 IV. táblázat A halmazgenerálás eredményét szemlélteto táblázat egy tipikus halmaz esetén Szemeloszlás (dfrakció-min- dfrakció-max )
A fenti táblázat azt mutatja, hogy a generálás eredménye jól követi a tervezett szemeloszlást. A gyengítést a tárcsán úgy vesszük figyelembe, hogy a már legenerált halmazból elhagyjuk a lyuk által lefedett területet. Ezt úgy tesszük, hogy a megadott területen a lévo körközéppontokhoz tartozó köröket letöröljük Ezen egyszeru megoldással véleményünk szerint lehetoségeinkhez képest a legjobb közelítést érhetjük el. A körnél például körülbelül 50000 elemu ha lmaz esetén, mely a számítógépeink felso határát jelentette, ez körülbelül 1000 kimaradó szemcsét jelent, míg rés esetén százat, ami azt jelzi, hogy e muvelet nem változtatja jelentos mértékben a teljes szemcseszámot.
IV-5 ábra Tárcsa gyengítésének diszkrét modellezése A diszkrét modell alapjaiban hordozza magában a véletlenszeru elrendezésbol adódó anyagi viselkedésbeli különbségeket. Tehát egy konkrét halmaz eredményeibol nem vonhatunk le általános következtetéseket. Dolgozatunkban ezért három független, véletlenszeruen generált halmazt vizsgáltunk. (Tudjuk, hogy komoly statisztikai elemzésekhez három halmaz nem elegendo, ehhez jóval több mintán végzett numerikus vizsgálatokra lenne szükség statisztikai feldolgozással, esetlegesen laboratóriumi kísérletek me llett. Célunk azo nban nem ez volt.) A halmazgenerálás végeredményeképp a végeselem- módszer elemzéséhez használt tárcsával megegyezo oldalarányú tárcsát vettünk fel, és az elobbiekben vizsgált elliptikus gyengítéseket alkalmaztuk, így a késobbi összehasonlító elemzést téve lehetové. 31
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
IV. 2. b. Anyagjellemzok felvétele Az elvégzett kísérleteinkben az anyagi viselkedést Dr. Gálos Miklós (BME Építoanyagok és Mérnökgeológia Tanszék) laboratóriumi mérési eredményei alapján a következo makrojellemzok írják le: N 2 mm N Húzószilárdság 2 mm
Nyomószilárdság
Rugalmassági modulus
9,07 1,09
N 2 mm
1100,00
Poisson-tényezo
0.24
IV-1. táblázat Makro-anyagjellemzok értékei a fent említett munka alapján, a Dmin :Dmax = 1:6 szemeloszlású halmaz esetén A fenti táblázatnak megfelelo makro-anyagjellemzok az alábbi kapcsolati paraméterekkel közelíthetok a legjobban (Dmin :Dmax = 1:6 esetén) : Jele (PFC2D)
Angol megfelelo
Értéke
Jele (PFC2D)
Angol megfelelo
Értéke
Kn
normal stiffness
50000
Pb_kn
parallel bond normal stiffness
50000
Ks
shear stiffness
24000
Pb_ks
parallel bond shear stiffness
24000
n_bond
contact bond normal strength
750
Pb_n
parallel bond normal strength
750
s_bond
contact bond shear strength
480
pb_s
parallel bond shear strength
480
0,1
den
Fric
Friction
Súrlódás
density
suruség
2000
IV. 2. c. Terhelés és kiegyensúlyozás A tárcsát a két korábbi módszerhez hasonlóan egyenletes húzófeszültséggel kívántuk terhelni. A diszkrételemes gyakorlat erre több megoldást is ismer: az egyik legelterjedtebb a falak mozgatása, illetve általában elmozdulás-jellegu terhek alkalmazása. Mi azonban más mego ldást választottunk: a tárcsa alját nagyobb szemcsékre alapoztuk, majd ezeket terheltük azonos nagyságú erokkel (IV-6 ábra). A terhelo eroket úgy választottuk, hogy a tárcsa zavarásmentes (azaz a támaszokhoz és a terhekhez már nem közeli) részén a vízszintes metszetekben átadódó erok eredoje összevetheto legyen az elobbiekben ismertetett vizsgálatokkal. A tárcsa felso szemcséit rögzítettük, így biztosítottuk mechanikai értelemben a tárcsa kényszereit.
32
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
IV-6 ábra A generált tárcsa háromdimenziós képe, amely a nagyobb elemeknél (bal alsó sarok) terhelt, illetve a felso végén befogott
A fenti (IV-6) látható a feladatunk diszkrét elem eljáráshoz használt modelljének térbeli képe. Piros vonalak jelzik a húzó, és kék a nyomó kapcsolati eroket. A következo ábrákon (például IV-7 ábrán) jól megfigyelheto erovonalakat rajzolnak ki.
IV-7 ábra Kapcsolati erok eloszlása a tárcsán. Piros vonalak a húzást, míg a kék vonalak nyomást jelentenek Diszkrét elemes módszer esetén lényeges, a hogy a terhelo erokbol létrejövo belso köto erok eloszlását dinamikai alapon számítjuk. Ciklikusan addig egyensúlyozzuk a rendszert, míg a kiegyensúlyozatlan kapcsolati erok minimálisra nem csökkennek. Így olyan a tárcsa felületén eloszló erorendszert kapunk mellyel következtetni tudunk a tárcsában, mint diszkrét rendsze rben a kapcsolati erok eloszlására. (Megjegyezzük, hogy a halmaz rugalmas állapotban volt a teljes folyamat során.) 33
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Összefoglalva tehát a következo numerikus kísérleteket végeztük el: • három különbözo, véletlenszeru geometriájú halmaz mindegyikén • három különbözo alakú (kör, ellipszis, rés) lyuk esetén vizsgáljuk a feszültségeloszlást.
IV. 2. d. A futási eredmények vizsgálata és értékelése A kiegyensúlyozatlan kapcsolati erok minimalizálása után a kialakult kapcsolati erorendszer elemzésével foglalkozunk, annak lehetséges módszereit mutatjuk most be. •
Legegyszerubben szemrevételezéssel a kapcsolati erovonalak bemutatásával (IV-8 ábra) állapítható meg a feszültségcsúcsok helye, jellege, illetve kialakulásuk módja. A piros vastagabb vonalak a lyuk oldalain keletkezo igen nagy húzóeroket mutatják. (A vonalak vastagsága a kötoero nagyságával arányos.) Látható, hogy a gyengítés közve tlen peremén az úgynevezett kapcsolati erovonalak iránya megváltozik az mintegy követi a lyuk peremét. A IV-7 és a IV-8 ábrákon megfigyelheto, hogy a tárcsát jellemzo terhelo erovonalak csak a rés kis környeztében rendezodnek így át. Visszautalnánk a III-9 ábrára, melyen ugyanezen példa megoldásának végeselem- módszerrel készített illusztrációja látható: megfigyelheto, hogy ott is a rés környezetétol távolodva a többlet feszültségértékek gyorsan vesznek el. A felso illetve alsó övekben nyomott kapcsolatok dominálnak (kék vonalak), mely összhangban van a más módszerekkel kapott eredményeinkkel is.
IV-8 ábra A rés alakú gyengítés környezeténél lévo elemek, és köztük lévo kapcsolati erok és az erojátékot szemlélteto illusztráció
34
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
•
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
Diszkrét halmazok esetében a halmazon feszültséget a hagyományos rugalmasságtanban tanult módon nem értelmezhetünk, így nem beszélhetünk feszültség- mezorol, illetve alakváltozás- mezorol sem. Feszültségeket tehát valamely új, nem megszokott módszert alkalmazva, értelmeznünk kell. o A Gauss-Osztrogradszkij tétel alkalmazásával bármely szemcse átlagos feszültség-tenzora meghatározható a szemcsére ható kapcsolati erokbol. Ezt alkalmaztuk akkor, amikor az egyes szemcsék feszültségállapotát külön-külön meghatároztuk, majd – megfelelo színskála segítségével – ábrázoltuk.
IV-9 ábra Gauss-Osztrogradszkij tétel szemléltetése A IV 10-12. ábrák ilyen képeket mutatnak be. Minden képen jól látható, hogy a diszkrét elemes módszer által szolgáltatott feszültségkép alapvetoen más jellegu, mind az elotte tárgyaltak; a feszültségeloszlás nem rendezett, inkább csak közelíto szabályszeruségeket mutat, melyek természetesen nagyon fontosak. Kiemeljük, hogy például a IV-10. ábrán ugyan a megoldás menete alapjaiban különbözik a kontinuum alapú modellektol, de a megoldás (a feszültség maximumok) értéke közel azonos: körülbelül 3600-as értéket szolgáltat egy a maximális feszültségu szemcsében a feszültségkomponens konkrét értéke. (Ha a kontinuum- mechanikai összehasonlítást szeretnénk elemezni, akkor a pórusok szerepét is figyelembe kellene ve nnünk, így számszeruen igen közel járunk a kontinuum-szeru megoldáshoz.) Rés numerikus vizsgálatánál szembetuno különbséget vettünk észre a kontinuum modellek és a diszkrét-elem módszer eredményei között, történetesen nem látható olyan arányú eltérés a körrel és réssel gyengített tárcsa állapota között, minthogy arra számítottunk volna. Véleményünk szerint a fo oka az eltérésnek az alapjaiban különbözo megoldási módszer és modellalkotási filozófia. A jelenségnek egyéb okait is feltétele ztük: § valószínuleg nagyságrendekkel több szemcsével dolgozva az eltérés a kontinuum modellektol nem lenne ilyen jelentos, de ezt a mai technika szintjén egyelore nem látjuk megvalósíthatónak; § anyagmodell változtatásának hatását dolgozatunkban nem volt lehetoségünk vizsgálni (más szemeloszlás, más anyagjellemzok felvétele); § a kör alakú szemcsékbol álló halmaz viselkedése erosen eltérhet az elliptikus szemcséktol, illetve egyéb bonyolultabb alakzatokból álló ha lmazokétól.
35
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
IV-10 ábra Gauss-Osztrogradszkij tétel alkalmazásával készült, egy adott kör gyengítésu halmaz szemcséinek σy és σx ábrája
36
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
IV-11 ábra Gauss-Osztrogradszkij tétel alkalmazásával készült, az egyes szemcsék feszültségállapotát rés alakú gyengítés esetén bemutató halmaz σy és σx ábrája
37
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
IV-12 ábra Gauss-Osztrogradszkij tétel alkalmazásával készült, az egyes szemcsék feszültségállapotát rés alakú gyengítés esetén bemutató halmaz τxy ábra
38
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
o Valamely véges tartományban, úgynevezett ekvivalens kontinuum alkalmazásával (pl.: {Cundall-Drescher-Strack, 1983}) vizsgá lható a kialakult átlagos feszültségi állapot.
IV-9 ábra Cundall-Drescher-Strack „feszültségszámítási” módszer Az adott véges tartományon belüli szemcsékbol így számíthatók a feszültségtenzor komponensei: 1 ∑ Fi c l cj A c Ahol Fi a kapcsolati ero i- irányú komponense, lj az „él- vektor”, illetve „branch vector” (azaz a két szemcse középpontját összeköto vektor) j irányú komponense, „A” az adott véges vizsgált tartomány területe. Az összegzésben azokat a kapcsolatokat kell figyelembe venni, amelyek a vizsgált tartományon belüli szemcsék között jöttek létre. (Vizsgált tartományon belülinek azokat az elemeket tekintjük, amelyek középpontja a körön belül helye zkedik el.) σi j =
Eszerint a módszer szerint úgy kaphatunk átfogó képet a tárcsa feszültségeloszlásáról, hogy egy kicsiny körrel, nagyon apró lépésekkel végigmegyünk a tartó egy jellemzo metszetén, az elobb bemutatott feszültségszámítási módszerrel. Mi azt a metszetet választottuk ki, amelyen a feszültségmaximum található.
39
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
IV-10 A három gyengítés (kör – kék, ellipszis – zöld, rés – piros) feszültségeloszlását mutatja be a tárcsán belül, a feszültségmaximum metszetében. A IV-10 ábrán látható, hogy azok a nagy feszültségkülönbségek, melyek az egyes szemcsék vizsgálatakor jól láthatóak voltak, eltuntek az átlagolás hatására. Megjegyezzük, hogy (a feszültség számértéke maximum/minimum hasonló az elozo megoldásokhoz) további vizsgálat tárgya volt, hogy a generálásának véletlenszeru módja mennyiben érzékelheto az eredményekben, azaz egymással tökéletesen egyezo szemeloszlású és mikro-anyagtényezoju, egymástól kizárólag a mikro-geometria véletlenszerusége miatt különbözo minták vajon eltéro viselkedést mutatnak-e.
IV-11 A három függetlenül generált halmaz feszültségképe. A három szín mind egy-egy halmaz feszültségállapotát mutatja be. A IV-11 ábrán látható, hogy a halmazok különbözosége 15 – 20 %-s feszültség különbséget okozhat ugyanabban a pontban, két különbözo véletlenszeru generálás esetében. (Az eredmények szórása különösen a lyuktól távol nagy, a lyuk széléhez közeledve kissé csökkeni lá tszik.) Látható tehát, hogy a diszkrét elemes megoldásoknál az anyag mikro-struktúrája az 40
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
egyik legfontosabb kérdés. Próbálkozni szerettünk volna egy nagyságrenddel nagyobb ha lmazrendszer futtatásaival, azonban ma ez egy asztali számítógépen nem lehetséges. Feltételezéseink szerint, ha a halmaz szemcseszáma megfeleloen nagy lenne, és a gyengítés méretéhez képest a szemcseméret elhanyagolható lenne, akkor talán nem lenne ekkora jelentossége a véletlenszeru mikro-struktúrának. Most térjünk át dolgozatunk befejezo szakaszára: az összefo glaló fejezetekre.
41
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
V. Összehasonlító elemzés Az alábbiakban egyrészt összehasonlítjuk az analitikus és az annak közelítésére szolgáló végeselem- módszerrel kapott eredményeket, másrészt megvizsgáljuk a kontinuum és diszkrét modelleken alapuló megoldások hasonlóságát. Az elso összehasonlítás, amit végrehajtottunk az analitikus megoldás (végtelen tárcsa) és a végeselem-módszer (véges tárcsa) összehasonlítása volt. Arra törekedtünk, hogy mindkét módszerbol az elérheto legjobb eredményt vegyük figyelembe. Látható, hogy a vé gtelen jelleg az eredményt a kis foátló arányú gyengítéseknél nemigen befolyásolja, a végeredmények közötti különbségek egyéb hiba következményei is lehetnek (numerikus közelítés, nem megfelelo elemszám, az ellipszis kosárgörbével való közelítése, stb.). A nagy foátló arányú ellipszisek esetében az igen komoly eltérést három alapveto okra vezettük vissza: az elemek nem szinguláris elemek (ilyen vizsgálatokhoz a jó eredmény eléréséhez többnyire ezt használják a gyakorlatban); kosárgörbével helyettesítettük az ellipszist; illetve az elemszám még mindig nem elég nagy ahhoz, hogy jó konvergenciát érjünk el. Úgy gondoljuk, hogy egy szerencsésebb elemválasztással jobb eredményeket érhettünk volna el, azaz analitikus megoldásból kapott eredményt néhány százalékos közelséggel megkaphattuk vo lna a végeselem- módszerrel. Úgy véljük, hogy az összehasonlításunk azt mutatja, hogy a két eredmény között nincs nagyságrendi eltérés, és az eredmények közti eltérés csak a FEM-ben alkalmazott numerikus közelítésbol eredhet. Módszer Analitikus
VEM
DEM
Feszültség
Kör
Ellipszis
Rés
Minimum
-1000
-1000
-1000
Maximum
3000
5000
41000
Minimum
-1198,45
-1115,36
-1052,59
Maximum
3258,34
4590,68
15138,98
Minimum
-1072,54
-1096,39
-1200,45
Maximum
3578,43
4261,68
6523,34
A másik összehasonlítás, amit elvégeztünk, a kontinuummodell-alapú megoldások összehasonlítása a diszkrét elemes módszerrel. Mint a korábbiakban láthattuk, a feszültség vagy belso erok eloszlása a két módszernél igen hasonló, a diszkrét módszer esetében azonban igen sok más feltételtol is függ a vizsgált tárcsában a „feszültség”. A klasszikus összehasonlítási módszerekkel ezért a két megoldás összevetése körülményes. Érdekes hasonlóság az eredmények között, hogy a diszkrét eljárás esetében a szemcsékben ébredo feszültségek közül a legnagyobb illetve a legkisebb számértéke körülbelül a végeselem- módszerrel szerzett eredményekkel egyezik meg (ez lehet csupán a véletlen muve is, de nem zárható ki az sem, hogy ez a jelenség más vizsgálatoknál is hasonlóan alakuljon, és megtalálható legyen a pontos történés magyarázata is). Fontosnak tartjuk megjegyezni, hogy ahhoz is igen magas elemszámra volt szükség (körülbelül 50000), hogy az eroeloszlások legalább jellegükben hasonlítsanak a kontinuum megoldásokhoz. Feltehetoen az elemszám növelésével, az alkalmazott ciklusok számának növelésével kis feszültségek esetében az analitikus megoldásokhoz nagyon hasonló eredményeket fogunk kapni, azonban a nagyobb feszültségértékeknél várhatóan igen eltéro
42
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
eredmények adódhatnak továbbra is. Törésmechanikai vizsgálatoknál ez a különbség egyáltalán nem tekintheto „hibának”, mert a vizsgálatok nagy része már olyan feszültségi állapotokban mozog, hogy ott a klasszikus kontinuum módszerekkel való eredménykeresés igen körülményes vagy egyes esetekben nem is lehetséges.
43
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
VI. Összefoglalás Összefoglalásképp megfogalmazzuk elért eredményeinket, illetve rámutatunk a továbblépés néhány lehetoségére: Sikerült megismerni a század elején kialakult, mély matematikai elveken alapuló illetve a jelenleg használt modern számítógépes, közelíto numerikus eljárások egy részét. Sikerült továbbá lefektetni egy késobbi, sokkal összetettebb vizsgálat alapjait, melynek célja, hogy megtudjuk, hogyan lehet a diszkrét elemeken alapuló megoldásokat va lódi mérnöki alkalmazásokban használni. Dolgozatunk segítheti továbbá megérteni e három megoldási módszer alapveto különbségeit is. Illusztráló ábráink, animációink jól használhatók akár az oktatásban is, hiszen érthetobbé teszik a rugalmasságtan tananyagát. A vizsgálatokhoz írt programjaink (analitikus demonstráció, PFC2D-ben a halmazfeltöltés; feszültségszámítás, stb.) felhaszná lhatóak az esetleges késobbi vizsgálatokban, vagy könnyíthetik más, ebben a témában dolgozó kutatók munk áját.
44
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre
VII. Felhasznált források VII. 1. Irodalomjegyzék 1. N. I. Muskhelishvili (1953): Some basic problems of the mathematical theory of elasticity. P. Noordhoff Ltd. 2. Bagi, K. (1996): Stress and strain in granular assemblies. Mechanics of Materials, Vol. 22, pp. 165-177 3. Christoffersen J. - Mehrabadi, M. M. - Nemat-Nasser, S. (1981): A micromechanical description of granular material behavior. Journal of Applied Mechanics, Vol. 48., pp. 339-344 4. Jagota, A. – Dawson, P.R. – Jenkins, J.T. (1988): An anisotropic continuum model for the sintering and compaction of powder packings. Mechanics of Materials, Vol. 7, pp. 255-269 5. Kanatani, K. (1981): A theory of contact force distribution in granular materials. Powder Technology, Vol. 28., pp. 167-172 6. Rothenburg, L. - Selvadurai, A. P. S. (1981): A micromechanical definition of the Cauchy stress tensor for particulate media. Procs. Intl. Symp. on the Mechanical Behavior of Structured Media, Ottawa, ed. Selvadurai, Part B, pp. 469-486 7. Weber, J. (1966): Recherches Concernant les Contraintes Intergranulaires dans les Milieux Pulvérulents Application a la Rhéologie de ces Milieux, Conférence au Groupe Francais de Rhéologie, pp. 161-170 8. Rothenburg, L. – Bathurst, R. J. (1991): Numerical simulation of idealized granular assemblies with plane elliptical particles. Computers and Geotechnics, Vol. 11. pp. 315 – 329) 9. Cundall, P. A. and O.D.L. Strack (1979): A discrate numerical model for granular assemblies, Geotechnique 29 (1), 47 – 65. 10. Cundall, P. A. (1988), Computer simulations of dense sphere assemblies, Micromechanics of Granular Materials, Elsevier, Amsterdam, pp. 113 – 123. 11. Serrano, A. A. and J. M. Rodriguez-Ortiz (1973): A contribution to the mechanics of heterogeneous granular media, Proc. of the Syp. on Plasticity and Soil Mechanics, pp. 215 – 227.
45
Lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlásának numerikus vizsgálata Nasztanovics Ferenc, Füstös Attila
VII. 2. Szoftverjegyzék 1. Adobe Photoshop 5.0 2. AutoCAD Release 2000 3. Itasca Pfc 2.0 for Windows 4. Mathematica 4 5. Microsoft Office 2000 6. Skanska FEM design 3.51 7. És még sok apró kisebb…
46
Konzulensek:
Dr. Bagi Katalin Dr. Bojtár Imre