K´erd´esek e´ s feladatok rezg˝omozg´asokb´ol Dr. Horv´ath Andr´as 0.1-es v´altozat
Tudnival´ok Kedves Hallgat´o! Az al´abbiakban egy v´alogat´ast k¨ozl¨unk az elm´ult e´ vek vizsga- e´ s ZH-feladataib´ol. Id˝onk e´ s energi´ank nincs egy lektor´alt, szerkesztett feladatgy˝ujtem´eny megjelentet´es´ere, ez´ert a feladatok sorrendje o¨ nk´enyes. T¨obb szak azonos t´em´ahoz tartoz´o feladatai is keverednek itt, ´ıgy el˝ofordulhat, hogy egy-egy t´em´ab´ol van feladat, de a kedves Olvas´o kurzus´an az a t´ema nem ker¨ul el˝o sem el˝oad´ason, sem vizsg´an. Az azonban biztos, hogy ebben a form´aban is sokat k¨onny´ıt a vizsg´ara val´o k´esz¨ul´esben, mert a f˝oiskolai szakokon a t´emak¨ort szinte 100%-osan lefedi. A k¨ovetkez˝o dolgokat figyelembe kell venni az olvas´askor: 1. Az elm´eleti e´ s kidolgozott feladatok egy megold´as´at adjuk. Term´eszetesen tartalmilag azonos, de m´as megfogalmaz´as´u, illetve a r´eszeredm´enyekhez m´as sorrendben eljut´o megold´asokat is elfogadunk. 2. A kidolgozott feladatok megold´asa csak a legfontosabb r´eszleteket tartalmazza. Nincsenek pl. a r´eszletsz´am´ıt´asok, k´eplet´atrendez´esek l´ep´esei ki´ırva. (Elk´epeszt˝oen sok munka lenne beg´epelni.) A sz´amonk´er´es sor´an term´eszetesen a r´eszletsz´am´ıt´asoknak rajt kell lenni a beadott pap´ıron, azaz egy sz´amol´os feladat megold´asa vizsg´an vagy ZH-n az itt k¨oz¨oltekn´el b˝ovebb kell legyen. 3. A sz´amszer˝u v´egeredm´enyek n´eha f¨uggenek a sz´am´ıt´asok sor´an elk¨ovetett kerek´ıt´esi hib´akt´ol. Kisebb-nagyobb elt´er´esek ebb˝ol is ad´odhatnak. ´ 4. A gy˝ujtem´enyt id˝onk´ent jav´ıtjuk e´ s b˝ov´ıtj¨uk. Erdemes n´eha ut´anan´ezni, van-e frissebb v´altozat. A b˝ov´ıt´eskor a feladatok sorsz´amoz´asa a´ trendez˝odhet. K´erj¨uk ezt figyelembe venni. ´ tilos :-) Szigoruan 1. ... bemagolni az itt k¨oz¨olt megold´asokat. Ez nem vezet a meg´ert´eshez, viszont t¨obb vesz´elye is van. Pl. a vizsg´an szerepl˝o k´erd´es lehet, hogy k¨oz´ept´ajon egyetlen sz´oban k¨ul¨onb¨ozik csak az itteni kidolgozott k´erd´est˝ol. Ekkor a bemagolt v´alasz teljesen rossz lehet. M´asik vesz´ely: a magol´as nyom´an le´ırt megold´as nem fogja tartalmazni a r´eszletsz´am´ıt´asokat. Ezek n´elk¨ul a megold´as e´ rt´eke 0 pont, hisz a vizsg´az´o nem mutatja meg, hogy egyed¨ul is k´epes megoldani a feladatot. ˝ 2. ... pusk´at k´esz´ıteni ebb˝ol a gyujtem´ enyb˝ol. Ezt nem kell bizonygatni :-).
1
3. ... szidni a tan´art, mi´ert nem csak innen v´alogat a vizsg´an. Ez a feladatgy˝ujtem´eny el˝oseg´ıti a tanul´ast. Aki ez alapj´an meg´erti az adott t´em´at, az minden feladatot k´epes megoldani. Az azonban elfogadhatatlanul cs¨okkenten´e a sz´ınvonalat, ha csak ebb˝ol a gy˝ujtem´enyb˝ol adn´ank feladatokat. ˝ 4. ... szidni a tan´art, mi´ert nem dolgozott ki ilyen feladatgyujtem´ enyt minden t´em´ahoz. Energi´aink v´egesek. Ha l´atjuk a feladatgy˝ujtem´eny pozit´ıv hat´as´at a di´akok tud´as´ara, akkor m´eg jelen felt´etelek mellett (ingyenmunka) is folytatni fogjuk a munk´at. K´erj¨uk, jelezz´ek, ha hib´at tal´alnak a feladatgy˝ujtem´enyben. J´o tanul´ast: Dr. Horv´ath Andr´as
Elm´eleti k´erd´esek E-1.: Egy test egyenes ment´en mozoghat. Rajzoljon fel egy F (x) grafikont (azaz az er˝ot a hely f¨uggv´eny´eben) u´ gy, hogy pontosan h´arom egyens´ulyi helyzete legyen a testnek, melyek k¨oz¨ul kett˝o k¨or¨ul (A e´ s B) kialakulhasson rezg´es, a harmadik k¨or¨ul (C) nem. (A, B e´ s C szerepeljen az a´ br´an!) V´alasz:
F
B A
C
x
E-2.: Mondjon p´eld´at a gyakorlati e´ letb˝ol olyan egyens´ulyi helyzetre, mely k¨or¨ul nem alakulhat ki rezg´es! V´alasz: Egy lehets´eges v´alasz: Kis domb tetej´ere helyezett labda ott egyens´ulyban van, de b´armelyik ir´anyban kit´er´ıtve legurul onnan, azaz nem alakul ki rezg˝omozg´as. E-3.: Harmonikus rezg˝omozg´as peri´odusidej´et k´etszeres´ere szeretn´enk n¨ovelni. Hogyan v´altoztassuk a rezg˝o test t¨omeg´et? V´alasz: Mivel
m D azaz a peri´odusid˝o a test t¨omeg´enek n´egyzetgy¨ok´evel ar´anyos, ez´ert T k´etszerez´es´ehez at m t¨omeget n´egyszerezni kell. r
T = 2π
2
E-4.: Egy test el˝osz¨or 1 cm, majd ut´ana 2 cm amplitud´oval v´egez harmonikus rezg˝omozg´ast azonos felf¨uggeszt´es mellett. Melyik esetben nagyobb a frekvenci´aja? V´alasz: A harmonikus rezg´es frekvenci´aja f¨uggetlen az amplitud´ot´ol, csak a test t¨omeg´et˝ol e´ s a felf¨uggeszt´es rug´oa´ lland´oj´at´ol f¨ugg. Ez´ert mindk´et esetben azonos lesz a frekvencia. E-5.: Rug´on rezg˝o test csillapod´o rezg˝omozg´as´an´al mi t¨ort´enik a rezg˝o test kezdeti energi´aj´aval? V´alasz: A k¨ozegell´an´all´ason e´ s a s´url´od´ason kereszt¨ul h˝ov´e alakul. E-6.: Egy rug´ora akasztott testet kit´er´ıt¨unk egyens´ulyi helyzet´eb˝ol, majd elengedj¨uk. A test ezut´an nem rezg˝omozg´ast v´egez, hanem lassan visszat´er az egyens´ulyi helyzetbe. Milyen k¨or¨ulm´enyek k¨ozt lehets´eges ez? V´alasz: Akkor, ha a testre nagyon er˝os csillap´ıt˝oer˝o is hat. (Line´aris csillap´ıt´oer˝o eset´en akkor, ha β > ω0 .) Ilyen eset pl. s˝ur˝u folyad´ekba mer¨ul´eskor k´epzelhet˝o el. E-7.: Egy f¨ugg˝oleges rug´o als´o v´eg´ehez egy test van r¨ogz´ıtve. A rug´o fels˝o v´eg´et f¨ugg˝oleges ir´anyban kis amplit´ud´oval mozgathatjuk. Milyen k¨or¨ulm´enyek k¨ozt lehets´eges, hogy a fels˝o v´eget csak 1 mm amplit´ud´oval mozgatjuk, de a test 10 cm-es, a´ lland´o amplitud´oj´u rezg´eseket v´egez? V´alasz: Ez akkor lehets´eges, ha a gerjeszt˝o er˝o frekvenci´aja, azaz a fels˝o v´eg mozgat´as´anak frekvenci´aja k¨ozel egyenl˝o a test rezonanciafrenvenci´aj´aval, valamint a k¨ozegellen´all´as csillap´ıt´o szerepe viszonylag kicsi. E-8.: Rajzoljon fel egy rezonanciag¨orb´et! R¨oviden magyar´azza meg, milyen mennyis´egek tal´alhat´ok a tengelyeken! V´alasz: Ag
ω
ω g
0
ωg : a gerjesz˝o er˝o frekvenci´aja Ag : a gerjeszett rezg˝omozg´as hossz´u t´avon megmarad´o komponens´enek amplitud´oja ω0 : a rendszer saj´atfrekvenci´aja E-9.: Mikor lesz k´et egyir´any´u szinuszos rezg´es ered˝oje nem peri´odikus? V´alasz: Ha a k´et rezg´es frekvenci´aj´anak ar´anya nem racion´alis. E-10.: Milyen rezg´es lesz k´et azonos frekvenci´aj´u, egyir´anyba es˝o harmonikus rezg´es ered˝oje? V´alasz: Azonos frekvenci´aj´u harmonikus rezg´es. Az ered˝o amplitud´o a k´et rezg´es amplit´ud´oj´at´ol e´ s a f´azisk¨ul¨onbs´egt˝ol f¨ugg, de mindig a k´et amplitud´o o¨ sszege e´ s k¨ul¨onbs´ege k¨ozt lesz.
3
E-11.: Lehets´eges-e, hogy k´et 5 cm amplit´ud´oj´u, egyir´any´u harmonikus rezg´es ered˝oje is 5 cm amplit´ud´oj´u lesz? V´alasz´at indokolja r¨oviden. V´alasz: Igen. A k´et rezg´es f´azisk¨ul¨onbs´eg´et˝ol f¨ugg˝oen az ered˝o rezg´es amplit´ud´oja a k´et amplit´ud´o o¨ sszege (jelenleg 10 cm) e´ s k¨ul¨onbs´ege (jelenleg 0 cm) k¨ozt van, e´ s ebben az intervallumban minden e´ rt´ek lehets´eges. A k´erdezett 5 cm ered˝o amplit´ud´o pedig ebben az intervallumban van, ´ıgy lehets´eges. E-12.: K´et egyir´any´u harmonikus rezg´es ered˝oj´et vizsg´aljuk. Lehet-e az ered˝o amplitud´o a k´et amplitud´o o¨ sszeg´en´el nagyobb? Mi´ert? Lehet-e az ered˝o kisebb amplitud´oj´u, mint a kisebbik amplitud´o? Mi´ert? V´alasz: Az o¨ sszegn´el nagyobb amplitud´o sohasem alakulhat ki, mert a legnagyobb er˝os´ıt´eskor (azonos f´azis) eset´en is csak az amplitud´ok o¨ sszege alakul ki. Kisebb amplitud´o lehets´eges, hisz ellent´etes f´azis e´ s azonos amplitud´ok eset´en az ered˝o amplitud´o 0 lesz. (Teljes kiolt´as.) E-13.: Mi lesz h´arom, azonos frevkvenci´aj´u, egy ir´anyba es˝o szinuszos rezg´es ered˝oje? V´alasz´at indokolja! V´alasz: Az o¨ sszegz´est r´eszenk´ent is megtehetj¨uk, mivel az o¨ sszead´as asszociat´ıv m˝uvelet. ´Igy az els˝o kett˝o o¨ sszegek´ent egy ugyanolyan frekvenci´aj´u szinuszos rezg´est kapunk, e´ s ehhez a harmadikat adva ism´et csak egy ugyanilyen frekvenci´aj´u szinuszos rezg´eshez jutunk. (Ennek amplitud´oja e´ s f´azisa a h´arom rezg´es adatait´ol f¨ugg bonyolult m´odon.) Teh´at az ered˝o az eredeti reszg´esekkel megegyez˝o frekvenci´aj´u, szinuszos rezg´es lesz. E-14.: K´et egyir´any´u szinuszos rezg´es ered˝oj´enek amplit´ud´oja lassan, peri´odikusan v´altakozik. Mit mondhatunk a k´et rezg´es frekvenci´aj´ar´ol? Hogyan nevezz¨uk ezt a jelens´eget? V´alasz: A k´et rezg´es frekvenci´aja k¨ozel egyenl˝o, de biztosan nem teljesen egyforma. A jelens´eg neve: lebeg´es. E-15.: Milyen mozg´asfajt´ak alakulhatnak ki k´et, azonos amplit´ud´oj´u e´ s frekvenci´aj´u, egym´asra mer˝oleges harmonikus rezg´es ered˝ojek´ent? Mi hat´arozza meg, melyik eset a´ ll fenn? V´alasz: Ebben az esetben az ered˝o lehet egyenes, ellipszis vagy k¨or. Azt, hogy melyik eset val´osul meg, a rezg´esek f´azisk¨ul¨onbs´ege hat´arozza meg.
Kidolgozott feladatok K-1.: Egy 4 kg-os test egyenes ment´en mozoghat, e´ s SI-egys´egekben az al´abbi er˝o hat r´a: F (x) = 2x3 − 4,5x. • Hol vannak a test egyens´ulyi helyzetei? • Melyik(ek) k¨or¨ul alakulhat ki rezg´es? • Mennyi a kis rezg´esek peri´odusideje? Megold´as: A test egyens´ulyi helyzeteiben F (x) = 0, azaz 2x3 − 4,5x = 0 Ennek legnyilv´anval´obb megold´asa: x1 = 0 4
(1)
Ez ett˝ol k¨ul¨onb¨oz˝o megold´asok keres´esekor a tov´abbiakban felt´etelezhetj¨uk, hogy x 6= 0, ez´ert (1) leoszthat´o x-szel. Az ´ıgy kapott 2x2 − 4,5 = 0 m´asodfok´u egyenlet gy¨okei nyilv´anval´oan: x2 = −1,5,
x2 = +1,5
e´ s
Rezg´es olyan egynes´ulyi helyzetek k¨or¨ul alakulhat ki, ahol F (x) monoton fogy´o. Ezt a grafikon felrajzol´as´aval vagy deriv´al´assal lehet eld¨onteni. /Mindegyik j´o megold´as./ Eredm´eny: Csak x1 = 0 k¨or¨ul fogy´o F (x), teh´at e k¨or¨ul alakulhat ki rezg´es. A kis rezg´esek k¨orfrekvenci´aja: s
ω=
1 − F 0 (x1 ) = m
s
q 1 1 − (6x21 − 4,5) = 4,5/4 = 1,06 4 s
Ebb˝ol a k´erdezett peri´odusid˝o: T =
2π = 5,93 s ω
K-2.: Egy 3 kg t¨omeg˝u test rugalmasan van r¨ogz´ıtve valahol. Kis kit´er´esek eset´en m´asodpercenk´ent pontosan 2 rezg´est v´egez, de a rezg´esek amplit´ud´oja 3 s alatt megfelez˝odik. Mekkora a csillap´ıt´asi t´enyez˝o e´ s a befog´ast jellemz˝o rug´oa´ lland´o”? ” Megold´as: A m´asodpercenk´enti 2 rezg´es azt jelenti, hogy a csillap´ıtott rezg´esek frekvenci´aja: ωcs =
1 2π = 4π 0.5 s s
A 3 s alatti amplit´ud´ofelez˝od´es miatt: A(3) =
A0 = A0 · e−β·3 2
Inn´et a csillap´ıt´asi t´enyez˝o: 1 ln2 = 0.231 3 s
β=
A csillap´ıtatlan e´ s a csillap´ıtott frekvencia k¨ozti o¨ sszef¨ugg´es alapj´an: ω0 =
q
2 + β 2 = 12.5 ωcs
Tudjuk, hogy: s
ω0 =
D m
Inn´et a k´erdezett rug´oa´ lland´o: D = mω02 = 468
5
N m
1 s
K-3.: Egy rezg˝o test l´eg¨ures t´erben (csillap´ıt´as n´elk¨ul) 32.5 Hz-es k¨orfrekvenci´aval rezeg. Leveg˝oben frekvenci´aja 31.9 Hz-re cs¨okken. Mekkora a csillap´ıt´asi t´enyez˝o e´ rt´eke itt? Mennyi id˝o alatt cs¨okken a csillap´ıtott rezg´es amplit´ud´oja az eredeti 1/10 r´esz´ere? Megold´as: A szok´asos jel¨ol´esekkel: ω0 = 32.5
ωcs = 31.9
Tudjuk, hogy ωcs =
q
ω02 − β 2
ahonn´et a csillap´ıt´asi t´enyez˝o: β=
q
2 = 6.22 ω02 − ωcs
1 s
Az amplit´ud´o cs¨okken´es´et megad´o o¨ sszef¨ugg´est alkalmazva az 1/10-r´eszre cs¨okken˝o esetre: A0 = A0 · e−βt 10 Inn´et:
1 ln 10 = 0.37 s β
t=
Teh´at kb. 0.37 s alatt cs¨okken a rezg´esek amplit´ud´oja az eredeti 10-ed r´esz´ere. K-4.: Egy csill. rezg˝omozg´as amplit´ud´oja kezdetben 13 cm, 20 s m´ulva m´ar csak 9 cm. Mekkora a csillap´ıt´asi t´enyez˝o? A kezdett˝ol sz´am´ıtva mennyi id˝o m´ulva cs¨okken az amplit´ud´o 5 mm al´a? Megold´as: Tudjuk, hogy az amplit´ud´o id˝of¨ugg´ese: A(t) = A0 · e−βt ahol A0 = 13 cm, a kezdeti amplit´ud´o, β pedig a csillap´ıt´asi t´enyez˝o. t1 = 20 s-ra alkalmazva ezt: A1 = A0 · e−βt1 Inn´et egyszer˝u a´ trendez´esekkel: β=−
1 1 A1 ln = 0.0184 t1 A0 s
A m´asodik k´erd´esre a v´alasz az al´abbi m´odon hat´arozhat´o meg: Legyen az ismeretlen id˝opont t2 . Tudjuk, hogy t2 -kor az amplit´ud´o A2 = 0.5 cm. Azaz: A2 = A0 · e−βt2 Inn´et: t2 = −
1 A2 ln = 177.2 s β A0
Teh´at 177.2 s sz¨uks´eges az amplit´ud´o 0.5 cm al´a cs¨okken´es´ehez.
6
K-5.: Egy rezg´es saj´atfrekvenci´aja ω0 = 12,4 1/s. A rezg´es amplitud´oja 3,2 s alatt felez˝odik meg. H´anyszor nagyobb amplitud´oj´u gerjesztett rezg´esek j¨onnek l´etre a saj´atfrekvenci´an, mint igen kis frekvenci´akon? Megold´as: A feladat megold´as´ahoz a gerjeszett rezg´esek amplitud´oj´at megad´o al´abbi o¨ sszef¨ugg´esb˝ol kell kiindulni: a0 Ag (ωg ) = q 2 (ω0 − ωg2 )2 + 4β 2 ωg2 A saj´atfrekvenci´an kialakul´o rezg´esek amplitud´oja ez´ert: a0
Ag (ω0 ) = q
(ω02 − ω02 )2 + 4β 2 ω02
=
a0 2βω0
=
a0 ω02
Az igen kis frekvenci´akon kialakul´ok´e pedig: a0
Ag (0) = q
(ω02 − 02 )2 + 4β 2 02
Ezek ar´any´at k´erdezi a feladat, azaz a k¨ovetkez˝o mennyis´eget: Ag (ω0 ) ω0 = Ag (0) 2β Innen egyed¨ul a β csillap´ıt´asi t´enyez˝o e´ rt´eke nem ismert. Ez viszont k¨onnyen megkaphat´o abb´ol a t´enyb˝ol, hogy a rezg´es amplitud´oja t = 3,2 s alatt felez˝odik meg: A0 = A0 · eβt 2 ahonn´et β=
1 ln 2 = 0,217 t s
A k´erdezett ar´any teh´at: Ag (ω0 ) ω0 = = 28,6 Ag (0) 2β Teh´at a rezonanciafrekvenci´an kialakul´o rezg´esek amplitud´oja 28,6-szor nagyobb a kis frekvenci´ak mellett kialakul´o amplitud´on´al. K-6.: Egy a´ ramk¨ori elemre k´et forr´asb´ol is e´ rkezhetnek (azonos frekvenci´aj´u) szinuszos jelek. Ha csak az egyik jelforr´as m˝uk¨odik, 10 V-os, ha csak a m´asik, akkor 6 V-os, ha mindegyik egyszerre, akkor 11 V-os amplit´ud´oj´u jeleket kapunk. Felt´eve, hogy a jelek o¨ sszead´odnak, hat´arozza meg a k´et forr´as f´aziselt´er´es´et! Megold´as: A feladat sz¨ovege szerint azonos frekvenci´aj´u harmonikus rezg´esek egyir´any´u ered˝oj´evel kell sz´amolnunk. Azt tudjuk, hogy a k´et rezg´es A1 = 10 V e´ s A2 = 6 V-os amplit´ud´oj´u, az ered˝o pedig A = 11 V-os. Ismert, hogy ebben az esetben: A=
q
A21 + A22 + 2A1 A2 cos ∆ϕ
Inn´et a k´erdezett f´aziselt´er´es koszinusza: cos ∆ϕ =
A2 − A21 − A22 = −0.125 2A1 A2 7
Azaz a f´aziselt´er´es:
∆ϕ = ±1.696 = ±97.2o
(A f´aziselt´er´es el˝ojele a feladat adataib´ol nem hat´arozhat´o meg.)
Gyakorl´o feladatok Gy-1.: Egy 4 kg-os test egyenes ment´en mozoghat, e´ s SI-egys´egekben az al´abbi er˝o hat r´a: F (x) = 10 − 2/x2 . • Hol vannak a test egyens´ulyi helyzetei? • Melyik(ek) k¨or¨ul alakulhat ki rezg´es? • Mennyi a kis rezg´esek peri´odusideje? Gy-2.: Egy csillap´ıtott rezg˝omozg´as amplit´ud´oja kezdetben 17 cm. 20 s m´ulva m´ar csak 4 cm. Mekkora a csillap´ıt´asi t´enyez˝o? A kezdett˝ol sz´am´ıtva mennyi id˝o m´ulva lesz az amplit´ud´o 5 mm? Gy-3.: Egy a´ ramk¨ori elemre k´et forr´asb´ol is e´ rkezhetnek (azonos frekvenci´aj´u) szinuszos jelek. Ha csak az egyik jelforr´as m˝uk¨odik, 10 V-os, ha csak a m´asik, akkor 6 V-os, ha mindegyik egyszerre, akkor 5 V-os amplit´ud´oj´u jeleket kapunk. Felt´eve, hogy a jelek o¨ sszead´odnak, hat´arozza meg a k´et forr´as f´aziselt´er´es´et!
8
