Transpor Polutan. Persamaan Konveksi Difusi Penyelesaian Analitik

Transpor Polutan Persamaan Konveksi – Difusi Penyelesaian Analitik Referensi Graf and Altinakar, 1998, Fluvial Hydraulics: Chapter 8, pp. 517-609, J. Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England.

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-2

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-3

 More stories on Harbin’s Songhua River pollution • http://www.gov.cn/english/200511/25/content_108891.htm

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-4

Transpor Polutan  Mekanisme penyebaran polutan di sungai • Difusi • Konveksi

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-5

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-6

Difusi  Dalam bhs. matematis, difusi dituliskan sbb. q f  k c f q f  k

q f  k grad c f

difusi  gradien

c f xi

• k = konstanta = koefisien difusi = difusiviti • k merupakan parameter karakteristik fluida (polutan) • k bergantung pada temperatur dan tekanan Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-7

Difusi  Sifat proses difusi • Tidak dapat kembali (irreversible) • Mengakibatkan kehilangan/peredaman energi

 Contoh difusi • Difusi massa • Difusi panas • Difusi momentum (ist: ingat Pers. NavierStokes?) Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-8

Difusi  Difusi massa  Fick’s law qm ,i

c   m xi

 Difusi panas  Fourier’s law T qh,i   ah C p xi

 C

p

 konstan

 Difusi momentum  Newton’s law qmt ,ij Teknik Sungai

Vi     ij x j

Transpor Polutan

  konstan 4-9

Konveksi-Difusi  Bahasan: hanya transpor massa  Apabila air sungai bergerak (mengalir) maka terjadi proses konveksi  Penyebaran polutan, dengan demikian, didorong oleh • beda konsentrasi (gradien)  difusi • aliran  konveksi



c  V  grad c  div  m grad c t c = konsentrasi (lokal) Teknik Sungai

Transpor Polutan

 4-10

Konveksi-Difusi  Jika ditulis dalam koordinat Cartesius, maka   2c  2c  2c  c uc vc wc      m  2  2  2  t x y z z   x y untuk m = konstan

 Jika air sungai tak mengalir, kecepatan nol, terjadi difusi saja, tanpa konveksi   2c  2c  2c  c   m  2  2  2  t y z   x Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-11

Konveksi-Difusi (Turbulen)  Aliran di sungai  aliran turbulen c  c  c

u  u  u

v  v  v

w  w  w

 Konveksi-difusi dalam aliran turbulen



c  V  grad c  div  m  t  grad c t



umumnya t >> m

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-12

Konveksi-Difusi (Turbulen)  Ditulis dalam koordinat Cartesius c uc vc wc   c    c    c       tx    ty    tz  t x y z x  x  y  y  z  z 

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-13

Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi  Persamaan difusi 1D (tanpa konveksi, V = 0), ditulis dalam sistem koordinat Cartesius c  2c  m 2 t x

• karena tidak ada aliran, V = 0, maka t = 0 • yang terjadi adalah difusi murni

 dengan syarat batas dan syarat awal berikut

c , t   0

cx,0  M1 x 

• dimana M1 adalah massa per satuan luas [kg/m2] yang dimasukkan secara sekaligus dan tiba-tiba (instantaneous source) • M0 = M1 S M0 adalah massa total yang dimasukkan secara tiba-tiba dan di suatu titik, sedang S adalah luas permukaan Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-14

Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi •

(x) adalah fungsi delta Dirac dimana nilainya sama dengan nol kecuali di x = 0 

 x  d x  1



• Ingat, massa total M0 harus tetap sama sepanjang waktu yang ditinjau 





 cx, t  d x   cx,0 d x  M  x  d x  M 1



Teknik Sungai



1



Transpor Polutan

4-15

Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi  Penyelesaiannya adalah sbb.

 M1 x2   cx, t   exp   4  m t  4 m t   Penyelesaian tsb menunjukkan difusi suatu massa, M0 • yang dimasukkan secara tiba-tiba di satu titik • menyebar menurut distribusi Gauss Normal dan simetris ke arah sumbu x • konsentrasi maksimum, di x = 0, berkurang seirama dengan waktu Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-16

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-17

Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi  Penyelesaian tsb dapat pula ditulis sbb.

 x2  M1  c  x, t   exp   2  x 2   2 x   Untuk suatu distribusi normal, varian distribusi adalah:

 x t   2  m t 2

 95% luas daerah di bawah kurva distribusi normal

W  2 1,96 x  4  x

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-18

Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi  Koefisien difusi dapat dihitung dengan 1 d x 1  x t2    x t1  m   t2  t1  2 dt 2 2

2

2

• Persamaan di atas dapat dipakai untuk menetapkan koefisien difusi dengan pengukuran deviasi standar di suatu titik x pada dua waktu yang berbeda t1 dan t2

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-19

Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi  Penyelesaian persamaan difusi 2D 2 2   M    M x y y x   cx, y, t    exp   exp   2  2  2     x 2  y   2 x   y 2  

 Untuk medium homogen, x = y = 





 x2  y2  M2 c  x, y , t   exp   2 2 2     2



Teknik Sungai



Transpor Polutan

2 t   2  m t M2  M 0 L

4-20

Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi  Penyelesaian persamaan difusi 3D

 r2  c  x, y , z , t   exp   2  3  2   2



M3



r 2  x2  y 2  z 2

M3  M 0

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-21

Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi  Difusi di suatu medium yang dibatasi dinding



2 2    x  2 Lp M1  x  c  x, t    exp  exp  2 2 2 x x 2    2 x   

  2

   

 Konsentrasi di dinding 2   L 2 M2 p  cp  exp   2  2  x 2  x  

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-22

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-23

Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi  Apabila massa M0 dimasukkan secara terus-menerus (kontinu) di x = 0

c  2c  m 2 t x  dengan syarat batas dan syarat awal berikut cx  0, t  0  c0

cx  , t  0  0 cx  0, t  0  0 Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-24

Penyelesaian Analitik Persamaan Difusi  Penyelesaian persamaan tersebut adalah sbb.  x cx, t   c0 erfc   4 t m 

   

• complementary error function 

2  2 erfc   e d   • dapat menggunakan fungsi yang tersedia di MS Excel • =ERFC(…) Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-25

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-26

Konveksi-Difusi dalam Regime Turbulen c uc vc wc   c    c    c       tx    ty    tz  t x y z x  x  y  y  z  z 

 Koefisien difusi merupakan besaran tensorial • koefisien difusi longitudinal • koefisien difusi transversal • koefisien difusi vertikal  t tx , ty , tz 

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-27

Konveksi-Difusi dalam Regime Turbulen  Koefisien difusi vertikal

z tz   u h  z  h

 Koefisien difusi vertikal rata-rata kedalaman tz  0,067 h u 

 Difusi vertikal mencapai seluruh kedalaman setelah difusi mencapai jarak Lz tertentu atau setelah waktu tz tertentu, dimana

h2 Lz   z U tz

h2 tz  z tz

kedalaman aliran

= 0,1 jika polutan dimasukkan di tengah kedalaman aliran = 0,4 jika polutan dimasukkan di dasar sungai

kecepatan ratarata kedalaman Teknik Sungai

kecepatan geser

Transpor Polutan

4-28

Konveksi-Difusi dalam Regime Turbulen  Koefisien difusi transversal • di sungai

• di flume

ty  0,6 h u 

ty  0,15 h u 

 Difusi vertikal mencapai seluruh lebar sungai, B, setelah difusi mencapai jarak Ly tertentu atau setelah waktu ty tertentu, dimana

B2 Ly   y U ty

B2 ty  y ty

kedalaman aliran

= 0,1 jika polutan dimasukkan di tengah (separuh lebar) sungai = 0,5 jika polutan dimasukkan di tepi sungai

kecepatan ratarata kedalaman Teknik Sungai

kecepatan geser

Transpor Polutan

4-29

Konveksi-Difusi dalam Regime Turbulen  Koefisien difusi longitudinal

tx  0,23 h u   Difusi longitudinal karena turbulensi umumnya tidak begitu diperhatikan mengingat pengaruh dispersi (koefisien dispersi, Kx) lebih dominan  Dispersi terjadi karena adanya variasi besaran kecepatan (distribusi kecepatan)  beda kecepatan antara kecepatan rata-rata dan kecepatan di suatu titik

U  U U  Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-30

far-field zone of mixing

mid-field zone of mixing

near-field zone of mixing

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-31

Difusi Transversal  Persamaan konveksi-difusi dalam aliran turbulen, dimana V(u,0,0) = U c c  2c  2c  2c U  tx 2  ty 2  tz 2 t x x y z

 Apabila: • sumber polutan kontinu dan transpor polutan dianggap permanen • difusi longitudinal diabaikan • difusi vertikal telah tercapai

C  2C maka: U  ty 2 x y Teknik Sungai

C = konsentrasi rata-rata kedalaman (depth intergrated average)

Transpor Polutan

4-32

Difusi Transversal  Penyelesaian apabila sungai sangat lebar adalah:  y 2U  G0  G0  M 0 t [kg/s] Cu x, y   exp    4 x  h 4 ty x U ty   debit polutan, merata di seluruh kedalaman h

 Penyelesaian apabila lebar B membatasi: N

C x, y   Cu x, y  y0    Cu x,2nB  y  y0  n 1

lokasi asal polutan Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-33

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-34

Dispersi C C   C  U  tx  K x   t x x  x 

tx  K x  K x

Aliran permanen dan seragam, Kx = konstanta C C  2C U  Kx 2 t x x

Berlaku setelah difusi vertikal dan transversal tercapai

B2 setelah t y   y U ty Teknik Sungai

B2 atau setelah Ly   y ty Transpor Polutan

4-35

Koefisien Dispersi  Saluran segi empat sangat lebar, Rh = h K x  6 h u 

 Sungai

B2 U 2 K x  0,011 h u  Saluran, sungai dimana terdapat distribusi kecepatan ke arah vertikal maupun ke arah transversal 140  K x  500 Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-36

Dispersi Longitudinal  Persamaan dispersi longitudinal

C C  2C U  Kx 2 t x x  yang berlaku dalam kondisi: • konsentrasi polutan merata di seluruh tampang • di far-field zone of mixing

B2 Ly   y ty Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-37

Dispersi Longitudinal  Polutan M0 dimasukkan secara merata di suatu tampang dan secara tiba-tiba

 x  U t 2  M1  C  x, t   exp    4 K t 4  Kx t x  

M1  M 0 S [kg/m 2 ]

M1 M1 Cmax t   1  4  Kx t 4  Kx x U

sumber polutan merata di seluruh tampang Teknik Sungai

konsentrasi maximum (bergerak dengan kec. U, dan berkurang seiring waktu t)

Transpor Polutan

4-38

Dispersi Longitudinal  Polutan M0 dimasukkan secara merata di suatu tampang dan selama waktu tertentu T • dapat dilihat spt satu seri polutan yang dimasukkan secara berurutan, masing-masing dalam waktu  yang sangat kecil

 x  U t  i 2  mi Ci x, t   exp     4 K t   S 4  K x t  i  x i  

mi  M 0 T   n

1 cx, t    Ci x, t   S 4  Kx i 1 Teknik Sungai

n

 i 1

 x  U t  i 2  mi exp   t  i   4 K x t  i  

Transpor Polutan

4-39

Dispersi Longitudinal  Polutan M0 dimasukkan secara merata di suatu tampang dan terus-menerus (kontinu) serta konstan C C  x, t   0 2

 U x   x U t  erfc exp   4K t   K x  x 

C0  konstanta pada saat t   erfc(+) = 0 erfc() = 2 Teknik Sungai

C 1 C0

  x U t   erfc   4K t x  

jika U(x) positif

 Ux  C   exp   C0  Kx  Transpor Polutan

   

jika U(x) negatif 4-40

Teknik Sungai

Transpor Polutan

4-41

Transpor Polutan The End